IV. VibraciΓ³n bajo condiciones
forzadas generalesObjetivos:
1. Reconocer que existen excitaciones periΓ³dicas no harmΓ³nicas yno periΓ³dicas.
2. Analizar la respuesta de un sistema de primer y de segundoorden bajo una fuerza periΓ³dica general.
3. Analizar la respuesta de un sistema de segundo orden bajo unafuerza periΓ³dica irregular.
4. Describir el mΓ©todo de transformada de Laplace para resolverla ecuaciΓ³n de movimiento ante una fuerza de excitaciΓ³narbitraria, la cuΓ‘l puede ser no periΓ³dica.
PPT elaborado por Arturo Arosemena 1
1. IntroducciΓ³n
Muchos sistemas estΓ‘n sujetos a diferentes tipos de excitaciΓ³n
que no son harmΓ³nicas. Dichas funciones pueden ser
periΓ³dicas o no periΓ³dicas. Ejemplos de fuerzas no periΓ³dicas
incluyen fuerzas repentinas constantes (fuerzas tipo escalΓ³n),
fuerzas lineales (fuerzas tipo rampa), y fuerzas que varΓan de
forma exponencial.
2. Respuesta bajo una fuerza
periΓ³dica general
Cuando una fuerza externa πΉ(π‘) es
periΓ³dica con un periodo π = 2π π,
esta puede ser expandida por medio de
una serie de Fourier.
πΉ π‘ =π02+
π=1
β
ππ cos πππ‘ +
π=1
β
ππ sin πππ‘
Donde
π0 =π
π 0
2π π
πΉ π‘ ππ‘ =2
π 0
π
πΉ π‘ ππ‘
ππ =π
π 0
2π π
πΉ π‘ cos πππ‘ ππ‘ =2
π 0
π
πΉ π‘ cos πππ‘ ππ‘
ππ =π
π 0
2π π
πΉ π‘ sin πππ‘ ππ‘ =2
π 0
π
πΉ π‘ sin πππ‘ ππ‘
AquΓ π = 1,2,3, β¦
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forzadas generales
2
2. Respuesta bajo una fuerza periΓ³dica general
A continuaciΓ³n se considerarΓ‘n tanto sistemas de primer orden
(sistemas de masa despreciable) como sistemas de segundo
orden.
Sistemas de primer orden
Considere el sistema resorte-amortiguador sujeto a una
excitaciΓ³n periΓ³dica en el punto π΄ tal como se observa en la
figura (a). AquΓ la ecuaciΓ³n de movimiento del sistema en el
punto π΅ estarΓa dada por:
βππ₯ + ππ¦ β π π₯ = π π₯ = 0
ππ¦ = π π₯ + ππ₯
ππ¦ = π₯ + ππ₯
Donde π = π/π. SΓ π¦(π‘) es una excitaciΓ³n
periΓ³dica descrita por
π¦ π‘ =π02+
π=1
β
ππ cos πππ‘ +
π=1
β
ππ sin πππ‘
ππ¦ π‘ =ππ02
+
π=1
β
πππ cos πππ‘ +
π=1
β
πππ sin πππ‘
ππ¦ π‘ = π΄0 +
π=1
β
π΄π cos πππ‘ +
π=1
β
π΅π sin πππ‘
Donde: π΄0 = ππ0 2, π΄π = πππ, π΅π = πππ
IV. VibraciΓ³n bajo condiciones
forzadas generales
3
2. Respuesta bajo una fuerza periΓ³dica general
Sistemas de primer orden
La soluciΓ³n asociada al tΓ©rmino senoidal
serΓa
Por lo tanto la ecuaciΓ³n diferencial podrΓa re escribirse como
π΄0 +
π=1
β
π΄π cos πππ‘ +
π=1
β
π΅π sin πππ‘ = π₯ + ππ₯
Puede observarse que el lado izquierdo de la ecuaciΓ³n de
movimiento consiste de una constante mΓ‘s la suma lΓneal de
funciones harmΓ³nicas. Y la soluciΓ³n particular o en estado
estable puede ser encontrada por medio del principio de
superposiciΓ³n, al suponer que dicha soluciΓ³n corresponde a la
suma de las soluciones en estado estable correspondiente a
cada uno de los tΓ©rminos individuales presentes en el lado
izquierdo.
La soluciΓ³n asociada al tΓ©rmino constante serΓa
π΄0 = π₯0 + ππ₯0
Suponiendo que π₯0 π‘ =π΄0
π, se encuentra que efectivamente
se satisface la ecuaciΓ³n diferencial.
π΄0 = ππ΄0π
π΅π sin πππ‘ = π₯π,π΅ + ππ₯π,π΅
Suponiendo que π₯π,π΅ =
ππ,π΅ sin π ππ‘ β ππ΅ , donde ππ,π΅ y
ππ΅ son constantes por determinar.
La soluciΓ³n supuesta es igual a la parte
imaginaria de la siguiente soluciΓ³n
compleja
π₯π,π΅ = Im ππ,π΅ππ π ππ‘βππ΅ = Im ππ,π΅π
π πππ‘ πβπ πππ΅
π₯π,π΅ = Im ππ,π΅ππ πππ‘
Donde: π = β1, y ππ,π΅ = ππ,π΅πβπ πππ΅
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forzadas generales
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2. Respuesta bajo una fuerza periΓ³dica general
Sistemas de primer orden
Derivando la expresiΓ³n anterior
π₯π,π΅ = Im π ππ ππ,π΅ππ πππ‘
Expresando la fuerza de excitaciΓ³n en forma compleja, la
ecuaciΓ³n diferencial podrΓa re escribirse como (aquΓ recuerde
que solo nos interesa la parte imaginaria de la soluciΓ³n
producto de la forma para π₯π,π΅ que ha sido supuesta)
Im π΅πππ πππ‘ = π₯π,π΅ + ππ₯π,π΅
π΅πππ πππ‘ = π ππ ππ,π΅π
π πππ‘ + πππ,π΅ππ πππ‘
π΅π = π ππ + π ππ,π΅
ππ,π΅ =π΅π
π + π ππ
ππ,π΅ = π΅π1
π + π ππ
π β π ππ
π β π ππ
ππ,π΅ = π΅ππ β π ππ
π2 + ππ 2=
π΅π
π2 + ππ 2
π
π2 + ππ 2β π
ππ
π2 + ππ 2
ππ,π΅ =π΅π
π2 + ππ 2cos πππ΅ β π sin πππ΅ =
π΅ππβπ πππ΅
π2 + ππ 2
πππ΅ = tanβ1ππ
π
Recordando que
ππ,π΅ = ππ,π΅πβπ πππ΅
Entonces
π΅ππβπ πππ΅
π2 + ππ 2= ππ,π΅π
βπ πππ΅
ππ,π΅ =π΅π
π2 + ππ 2
πππ΅ = tanβ1ππ
π
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forzadas generales
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2. Respuesta bajo una fuerza periΓ³dica general
Sistemas de primer orden
Por ΓΊltimo, la soluciΓ³n asociada al tΓ©rmino cosenoidal serΓa
π΄π cos πππ‘ = π₯π,π΄ + ππ₯π,π΄
Suponiendo que π₯π,π΄ = ππ,π΄ cos π ππ‘ β ππ΄ , donde ππ,π΄ y ππ΄son constantes por determinar. Siguiendo un procedimiento
anΓ‘logo al seguido al considerar el tΓ©rmino senoidal se
tendrΓa
ππ,π΄ =π΄π
π2 + ππ 2
πππ΄ = tanβ1ππ
π
Por lo tanto la soluciΓ³n particular completa para el sistema de
primer orden serΓa
π₯π π‘ = π₯0 π‘ + π₯π,π΅ π‘ + π₯π,π΄(π‘
π₯π π‘ =π΄0π+
π=1
βπ΄π
π2 + ππ 2cos πππ‘ β tanβ1
ππ
π+
π=1
βπ΅π
π2 + ππ 2sin πππ‘ β tanβ1
ππ
π
Una vez se encuentra la soluciΓ³n particular π₯π π‘ ,
se determina la soluciΓ³n homogΓ©nea π₯β π‘ ,
teniendo presente la condiciΓ³n inicial π₯ 0 = π₯0 y
recordando que
π₯ π‘ = π₯β π‘ + π₯π π‘
Para mΓ‘s detalles vea por favor la secciΓ³n 4.2.1 de
su libro de texto
IV. VibraciΓ³n bajo condiciones
forzadas generales
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2. Respuesta bajo una fuerza periΓ³dica general
Sistemas de segundo orden
Considere el sistema masa-resorte-amortiguador sujeto a una
excitaciΓ³n periΓ³dica π(π‘), figura (a). AquΓ la ecuaciΓ³n de
movimiento del sistema estarΓa dada por
)π π₯ + π π₯ + ππ₯ = π(π‘
SΓ π(π‘) es una funciΓ³n periΓ³dica que se puede expandir en
serie de Fourier de la forma
π π‘ =π02+
π=1
β
ππ cos πππ‘ +
π=1
β
ππ sin πππ‘
Entonces la ecuaciΓ³n diferencial resultante
estarΓa dada por
π π₯ + π π₯ + ππ₯ =π02+
π=1
β
ππ cos πππ‘ +
π=1
β
ππ sin πππ‘
Empleando el principio de superposiciΓ³n, la
soluciΓ³n particular de esta ecuaciΓ³n, estarΓa
dada por la suma de las soluciones
particulares del siguiente grupo de
ecuaciones no homogΓ©neas
π π₯ + π π₯ + ππ₯ =π02
π π₯ + π π₯ + ππ₯ = ππ cos πππ‘
π π₯ + π π₯ + ππ₯ = ππ sin πππ‘
IV. VibraciΓ³n bajo condiciones
forzadas generales
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2. Respuesta bajo una fuerza periΓ³dica general
Sistemas de segundo orden
Las cuΓ‘les pueden ser resueltas siguiendo un procedimiento
anΓ‘logo al usado en los sistemas de primer orden. Por lo
tanto la soluciΓ³n particular estarΓa dada por
π₯π π‘ =π02π
+
π=1
β ππ π
1 β π2π2 2 + 2πππ 2cos πππ‘ β tanβ1
2πππ
1 β π2π2+
π=1
β ππ π
1 β π2π2 2 + 2πππ 2sin πππ‘ β tanβ1
2πππ
1 β π2π2
Donde π =π
2πππ, π = π/ππ.
AquΓ si ππ = ππ, para algΓΊn valor de π, se tendrΓ‘ en dicho
punto la mayor amplitud π₯π π‘ del sistema amortiguado.
Puede observarse que a medida que π β β los coeficientes
tienden a cero y por lo tanto basta con evaluar los primeros
tΓ©rminos de la serie para obtener una resultado con precisiΓ³n
razonable.
3. Respuesta bajo una fuerza periΓ³dica irregular
En algunos casos, las fuerzas actuando
sobre un sistema pueden ser periΓ³dicas pero
bastante irregulares y no pueden ser
determinadas mΓ‘s que de forma
experimental. Ejemplos de dichos tipos de
fuerzas que se inducen sobre un sistema,
son la fuerza del viento o los movimientos
sΓsmicos.
En tales casos, las fuerzas estarΓ‘n
disponibles en forma grΓ‘fica, y solo para
algunos ciertos puntos discretos de tiempo
π‘1, π‘2, β¦ , π‘π . En todos estos casos, es
posible encontrar los coeficientes de la serie
de Fourier que representa a πΉ(π‘) por medio
de mΓ©todos de integraciΓ³n numΓ©rica
(mΓ©todo del trapecio, reglas de Simpson,
etc).
IV. VibraciΓ³n bajo condiciones
forzadas generales
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3. Respuesta bajo una fuerza periΓ³dica irregular
MΓ©todo de los trapecios
El Γ‘rea limitada por una curva CD se calcula dividiendo la
proyecciΓ³n MN de la curva en un numero cualquiera de
partes iguales separadas por un intervalo fijo (πΌ). Una vez
realizada la divisiΓ³n se levantan perpendiculares por los
puntos de divisiΓ³n y la figura queda dividida en trapecios
curvilΓneos, cuyas Γ‘reas son aproximadamente iguales a la de
los trapecios rectilΓneos correspondientes. El Γ‘rea total es la
suma de todos ellos.
Como se puede observar las Γ‘reas (ππ )
consisten en un trapecio compuesto por un
rectΓ‘ngulo de altura π¦π , y un triΓ‘ngulo de
altura π¦π+1 β π¦π . Para ambos la base tiene
un valor de πΌ de acuerdo con la figura
anterior.
El Γ‘rea por lo tanto se calcularΓa como
ππ = πΌ π¦π +π¦π+1 β π¦π
2= πΌ
π¦π+1 + π¦π2
Donde πΌ =ππ
π; aquΓ ππ se refiere a la
longitud total de la secciΓ³n de interΓ©s en la
curva, y π al nΓΊmero de divisiones que se
desean obtener.
IV. VibraciΓ³n bajo condiciones
forzadas generales
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3. Respuesta bajo una fuerza periΓ³dica irregular
MΓ©todo de los trapecios
Considere ahora la fuerza irregular presentada en el
grafico mostrado a continuaciΓ³n, donde πΉ1, πΉ2, β¦πΉπrepresenta el valor de πΉ(π‘) en π‘1, π‘2, β¦ π‘π ,
respectivamente, donde π denota la cantidad de
puntos pares equidistantes ( π = 1,2,3β¦ )
considerados en el periodo de la fuerza irregular π =
πβπ‘.
π0 =2
π 0
π
πΉ π‘ ππ‘ β 2
πβπ‘
πΉ02+
π=1
πβ1
πΉπ +πΉπ2
π0 β 2
π
πΉ02+
π=1
πβ1
πΉπ +πΉπ2
ππ =2
π 0
π
πΉ π‘ cos πππ‘ ππ‘
ππ β 2
πβπ‘
πΉ02cos π
2π
ππ‘0 +
π=1
πβ1
πΉπ cos π2π
ππ‘π +
πΉπ2cos π
2π
ππ‘π
ππ β 2
π
πΉ02cos
2πππ‘0π
+
π=1
πβ1
πΉπ cos2πππ‘ππ
+πΉπ2cos
2πππ‘ππ
ππ =2
π 0
π
πΉ π‘ sin πππ‘ ππ‘
ππ β 2
πβπ‘
πΉ02sin π
2π
ππ‘0 +
π=1
πβ1
πΉπ sin π2π
ππ‘π +
πΉπ2sin π
2π
ππ‘π
ππ β 2
π
πΉ02sin
2πππ‘0π
+
π=1
πβ1
πΉπ sin2πππ‘ππ
+πΉπ2sin
2πππ‘ππ
IV. VibraciΓ³n bajo condiciones
forzadas generales
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3. Respuesta bajo una fuerza periΓ³dica irregular
MΓ©todo de los trapecios
Una vez los coeficientes de la series de Fourier de πΉ(π‘) son
conocidos, la respuesta en estado estable del sistema puede
ser encontrada por medio de
π₯π π‘ =π02π
+
π=1
β ππ π
1 β π2π2 2 + 2πππ 2cos πππ‘ β tanβ1
2πππ
1 β π2π2+
π=1
β ππ π
1 β π2π2 2 + 2πππ 2sin πππ‘ β tanβ1
2πππ
1 β π2π2
Donde
π =2π
πππ
4. Respuesta bajo una fuerza no periΓ³dica
Cuando la fuerza de excitaciΓ³n πΉ(π‘) es no periΓ³dica, se
requiere de algΓΊn mΓ©todo diferente a la expansiΓ³n en series
de Fourier para calcular la respuesta del sistema.
Existen diferentes mΓ©todos que pueden ser
utilizados para determinar la respuesta de
un sistema a una excitaciΓ³n arbitrarΓa.
Algunos de estos mΓ©todos son los
siguientes:
1. RepresentaciΓ³n de la excitaciΓ³n por
medio de una integral de Fourier.
2. ResoluciΓ³n por medio del mΓ©todo de
integral de convoluciΓ³n.
3. ResoluciΓ³n por medio del mΓ©todo de
transformada de Laplace.
4. ResoluciΓ³n de la ecuaciΓ³n diferencial por
medio de mΓ©todos de integraciΓ³n numΓ©rica.
De los mΓ©todos anteriores solo
discutiremos el mΓ©todo de transformada de
Laplace. SΓ desea comprender el mΓ©todo de
integral de convoluciΓ³n puede referirse a la
secciΓ³n 4.5 de su libro de texto.
IV. VibraciΓ³n bajo condiciones
forzadas generales
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4. Respuesta bajo una fuerza no periΓ³dica
Recuerde que al final del capΓtulo 3 se presentΓ³ el
procedimiento general para resolver la ecuaciΓ³n diferencial
de un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento
viscoso sujeto a una excitaciΓ³n arbitraria πΉ(π‘) por medio de
la transformada y la transformada inversa de Laplace.
Sin embargo, en tΓ©rminos generales, la aplicaciΓ³n del mΓ©todo
de transformada de Laplace para encontrar la respuesta de un
sistema (de cualquier orden) bΓ‘sicamente involucra los
siguientes pasos:
1. Escribir la ecuaciΓ³n de movimiento del sistema.
2. Transformar cada tΓ©rmino de la ecuaciΓ³n, usando las
condiciones iniciales conocidas.
3. Resolver la ecuaciΓ³n algebraica resultante para la
respuesta del sistema en el dominio de la frecuencia (aquΓ se
emplean fracciones parciales).
4. Obtener la soluciΓ³n deseada (respuesta) al usar la
transformada de Laplace inversa.
AquΓ en la soluciΓ³n general se tendrΓ‘ tanto
la respuesta en estado transitorio como en
estado estable. La respuesta en estado
transitorio es aquella parte de la soluciΓ³n
asociada a las condiciones iniciales y que se
desvanece con el tiempo, mientras que la de
estado transitorio es aquella que estΓ‘
asociada a la fuerza de excitaciΓ³n externa
arbitraria (dicha respuesta puede ser
encontrada imponiendo condiciones
iniciales iguales a cero).
IV. VibraciΓ³n bajo condiciones
forzadas generales
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4. Respuesta bajo una fuerza no periΓ³dica
Valor inicial y valor de estado estable de la respuesta
-Valor inicial de la respuesta: SΓ la respuesta o soluciΓ³n de un
sistema es conocida en el dominio del tiempo, el valor inicial
de la respuesta, π₯(0), puede ser determinado al evaluar la
respuesta en π‘ = 0. SΓ la respuesta del sistema es conocida en
el dominio de la frecuencia, el valor inicial puede ser
encontrada a partir del teorema de valor inicial:
π₯ π‘ = 0 = limπ ββ
)π π(π
-Valor de la respuesta en estado estable: SΓ la respuesta de un
sistema es conocida en el dominio del tiempo, el valor de la
respuesta en estado estable π₯π π , puede ser determinado al
tomar el lΓmite de la respuesta cuando π‘ β β. SΓ la respuesta
del sistema estΓ‘ dada en el domino de la frecuencia, el valor
en estado estable puede ser encontrado por medio del
teorema del valor final, al tomar el lΓmite de la respuesta en
el dominio de la frecuencia cuando π β 0.
Un ejemplo de lo anterior puede ser visto al
analizar la respuesta en estado estable de un
sistema de primer orden, a una funciΓ³n impulso
unitario πΏ(π‘):
)π π₯ + ππ₯ = πΏ(π‘
) π₯ + ππ₯ = πΉπΏ(π‘
Donde π = π/π, πΉ = 1/π.
β π₯ + ππ₯ = β )πΉπΏ(π‘
π π π β π₯ 0 + ππ π = πΉ
Sea π₯ 0 = 0
π π =πΉ
π + π
ββ1 π π = ββ1πΉ
π + π
π₯ π‘ = πΉπβππ‘
IV. VibraciΓ³n bajo condiciones
forzadas generales
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4. Respuesta bajo una fuerza no periΓ³dica
Valor inicial y valor de estado estable de la respuesta
La aplicaciΓ³n de la transformada de Laplace
para sistemas de primer y segundo orden bajo
diferentes funciones de excitaciΓ³n no periΓ³dicas
puede apreciarla en la secciΓ³n 4.7 de su libro de
texto.
Valor inicial de la respuesta:
π₯ π‘ = 0 = πΉ
O bien
π π π =πΉπ
π + π
π₯ π‘ = 0 = limπ ββ
)π π(π = limπ ββ
πΉ1
1 +ππ
= πΉ
Valor de la respuesta en estado estable:
π₯π π = limπ‘ββ
π₯ π‘ = limπ‘ββ
πΉπβππ‘ = 0
O bien
π₯π π = limπ β0
)π π(π = limπ β0
πΉ1
1 +ππ
= 0