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Introducción a los ángulos
Preparado por:
Prof. Evelyn Dávila
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Un ángulo consta de dos rayos que tienen el mismo punto inicial.
Al punto inicial que comparten se le llama vértice.
VéRTICE
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Un ángulo puede ser positivo o negativo según la dirección en que da origen el ángulo
Lado inicial
Lado terminal
ANGULO NEGATIVO
Lado inicial
Lado terminal
ANGULO POSITIVO
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Medimos los ángulos en grados o en radianes
¿Cuánto mide el ángulo si sabemos que una revolución es dada por 3600 ?
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Medimos los ángulos en grados o en radianes
¿Cuánto mide el ángulo si sabemos que una revolución es dada por 3600 ?
Observa que es una octava parte del circulo por tanto
=360/8 = 45 grados
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Si dividimos el circulo en 360 partes iguales cada una de esas partes equivale a un grado.
La medida de
ese ángulo es
un grado
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ANGULO CENTRAL
Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice es el centro de un
circulo con radio r.
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•Un ángulo central que encierra a toda la circunferencia del círculo mide 3600
•La medida del ángulo central que encierra a un semicírculo es 180, es decir, 360/2 = 180
La circunferencia completa de un círculo mide 3600.
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•En general, un ángulo central
que corresponde a una parte del
círculo medirá 360/n , donde n
representa la cantidad de partes
iguales en que se divide el
círculo.
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Una revolución corresponde a 360
¿Cuánto mide un ángulo que ha recorrido dos revoluciones?
360 + 360 = 2(360) = 720
¿Cuántas revoluciones máximo puede recorrer un ángulo?
No hay límite podemos recorres infinita cantidad de revoluciones.
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En general, la medida de un ángulo central que ha completado n
revoluciones se calcula:
360n
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Radianes
Un ángulo central mide un radián si este ángulointercepta un arco con longitud igual a la longitud del radio del circulo (r).
r
s
Arco formado por el ángulo
de longitud s
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Analiza la siguiente fórmula:
La longitud del arco formado por el ángulo es dada por el producto del radio del circulo y la medida de en radianes, es decir
S = r por lo tanto
= s/r
Si s = r , tal como establecimos en la definición de radianes, entonces
= 1 radian
En conclusión cuando s = r , mide un radián
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•Un ángulo central que encierra a toda la circunferencia del círculo mide 2
•La medida del ángulo central que
encierra a un semicírculo es , es decir, 2/2 =
La circunferencia completa de un círculo mide 2
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•En general, un ángulo central que
corresponde a una parte del círculo
medirá 2/n , donde n representa la
cantidad de partes iguales en que se
divide el círculo.
EJEMPLO
Un ángulo central que corresponde a una cuarta parte de un círculo mide
2/4 = /2
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Una revolución corresponde a 2
¿Cuánto mide un ángulo que ha recorrido dos revoluciones?
2+ 2 = 2(2) = 4
¿Cuántas revoluciones máximo puede recorrer un ángulo?
No hay límite podemos recorrer infinita cantidad de revoluciones.
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En general, la medida de un ángulo central que ha completado n
revoluciones se calcula:
2n
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Medida de los ángulos cuadrantales en GRADOS y RADIANES
2900
0180
3
22700
23600
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Expresar la medida de un ángulo dado en grados en
RADIANES
)180
)((
:dimPr
0
gradosenángulodelmedida
ientooce
EJEMPLO
618030300
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Cambiar la medida de un ángulo dado en RADIANES a GRADOS
0180)(
:dimPr
radianesenángulodelmedida
ientooce
EJEMPLO
00
144180
5
4
5
4
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Práctica
ANGULOS ENGRADOS
ANGULOS ENRADIANES
0
/6
60
/4
120
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ANGULOS COTERMINALES
Angulos coterminales son ángulos que tienen el mismo lado inicial y el mismo lado terminal.
EJEMPLOLado inicial
Lado terminal
Observa que = +360
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Si = 40 grados halla dos ángulos coterminales a éste.
( = +360 )
Un ángulo coterminal añadiendo una revolución40 + 360= 400 grados
Otro ángulo coterminal lo obtenemos al dar dos revoluciones por tanto la fórmula es:40 + 2(360) = 760 grados
¿Cuántos ángulos coterminales a puedo encontrar?
Ejemplo - Angulos coterminales
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FORMULA PARA HALLAR ANGULOS COTERMINALES
DE UN ANGULO DADO
Observa que obtenemos un ángulo coterminal completando revoluciones completas.
scompletadaesrevolucion
decantidadlaesndonde
n
gradosenMedida
)360( 0
Fórmula para obtener un ángulo
coterminal a
scompletadaesrevolucion
decantidadlaesndonde
n
radianesenMedida
)2(