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1
Introducción a las ecuaciones de
Lagrange
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Ecuaciones de Lagrange para una particula (cartesianas)
1,2,3.i
,i iM x F
1x2x
3x
Triedro físico (3-D)
P
M
Fr
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
,
.
F Fe F e F e
r x e x e x e
2
2.
d rM F
dt
32 21 1
2 2
1
,i
i
T M v M x
,
1, 2,3.
i
i
d TF
dt x
i
,i
i
d TM x
dt x
Ecuaciones de
Lagrange
1, 2, 3.
,i
i i
i
d T TF
dt x x
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3
Ecuaciones de Lagrange para una particula
(coordenadas arbitrarias)
Triedro físico (3-D)
1x
2x
3x P
M
Fr
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3, .F Fe F e F e r x e x e x e
1 2 3¿ ( ), ( ), ( )?q t q t q t
, 1,2,3.j
j
ra j
q
Base de vectores
tangentes
211 2 3 1 2 32
( , , , , , , ) ,T M v T q q q q q q t
drv
dt
1 2 3¡ ( , , , )!r q q q t
3 3
1 1
,j j j
j jj
r r rq q a
t q t
1 2 3 1 2 3( , , , , , , )v q q q q q q t
1 2 3( , , , ) ,
1,2,3.
i i
i
x q q q t
i q
Coordenadas generalizadas
jq Velocidades generalizadas
2
2.
d rM F
dt
i iQ F a
Componente
generalizada de la fuerza
,
1,2,3.
i
i i
d T TQ
dt q q
i
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4
Demostración
,dv
M Fdt
,i i
dvM a Q
dt ,i
i i
d daM v a v Q
dt dt
3
1
,j
j j
r rv q
t q
i
i
ra
q
,i
v
q
id a
dti
d r
dt q
2 2
j
j i j i
r rq
q q q t
2j
j
j i i
a rq
q q t
i
v
q
,ii i
d v vM v M v Q
dt q q
,
1,2,3.
i
i i
d T TQ
dt q q
i
2 2
1 12 2
,ii i
d v vM M Q
dt q q
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5
Ec. De Lagrange: Particula moviendose sobre curva
(sin rozamiento)
F F N
,d T T
Qdt q q
1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , ),x q t x q t x q t
1 1 2 2 3 3 .r e e e
q
ra
q
Tangente a la curva
N
F
qa
.dv
M Fdt
q q
dvM a F a
dt qF a Q
drv
dt ,q
r r rq qa
t q t
,
, ,
q
q q
q
q
dadv d d T TM a M v a v
dt dt dt dt q q
dav va
q dt q
212
( , , ),T Mv T q q t
1x2x
3x
P
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6
Ec. De Lagrange: Particula moviendose sobre
superficie (sin rozamiento)
,F F N
1
1 1
2
2 2
,
,
d T TQ
dt q q
d T TQ
dt q q
1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2( , , ), ( , , ), ( , , ),x q q t x q q t x q q t
1 1 2 2 3 3 .r e e e
1 2
1 2
, ,r r
a aq q
Tangentes a la
superficie N
F
.dv
M Fdt
1 1
dvM a F a
dt 1 1F a Q
1 1 2 2 ,dr r
v q a q adt t
21
1 2 1 22( , , , , ),T Mv T q q q q t
3x
2x
1xP
1a2a
2 2
dvM a F a
dt
2 2F a Q
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7
Resumen: Ecuaciones de Lagrange para una particula
Triedro físico (3-D)
1x
2x
3x P
M
Fr
3
1 2 3
1
( , , , )i i
i
r q q q t e
, 1,2,3.j
j
ra j
q
Base de vectores
tangentes
211 2 3 1 2 32
( , , , , , , ) ,T M v T q q q q q q t
1,2,3. jj q Coordenadas generalizadas
jq Velocidades generalizadas
i iQ F a
Componente generalizada
de la fuerza
,
1,2,3.
i
i i
d T TQ
dt q q
i
Casos particulares:
Movimiento sobre curva: 1( , ), 1,2,3.j j q t j
Movimiento sobre superficie: 1 2( , , ), 1,2,3.j j q q t j
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Ejemplos:
1) Plantear explícitamente las ecuaciones de Lagrange para una partícula
de masa M moviéndose en un triedro inercial y sometida al peso.
Usar como coordenadas generalizadas las coordenadas cartesianas
de un triedro que se mueve paralelamente al anterior y su origen (O’)
se desplaza con una ley arbitraria. '( )Or t
1x
2x
3x P
M g
1q 2q
3q
O’
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Solución:
1)
1x
2x
3x P
M g
1q 2q
3q
O’
'( )or t ' 1 ' 2 ' 3( ) ( ) ( ) ,o o ox t e y t e z t e
r ' 1 1 2 2 3 3( ) ,or t q e q e q e
1 1 2 2 3 3
1
, , ,r
a e a e a eq
' 1 1 2 2 3 3,ov v q e q e q e
2 2 2 2 21 11 2 32 2
1 ' 1 2 ' 2 3 ' 32 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ,
o
o o o
T M v M v q q q
q v e q v e q v e
0,j
T
q
'( ) ,j o j
j
TM q v e
q
'( ) ,j o j
j
d TM q a e
dt q
3,F Mge 1 1 0,Q F a 2 2 0,Q F a 3 3 ,Q F a Mg
1 '( ) 0,oM q x t 2 '( ) 0,oM q y t 3 '( ) ,oM q z t Mg
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Ejemplos:
2) Plantear explícitamente las ecuaciones de Lagrange para una péndulo
ideal: partícula de masa M moviéndose en un plano vertical y sujeta
por un hilo ideal. Usar como coordenada generalizada el ángulo que
forma el hilo con la vertical descendente.
x
z
P
M g
R
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Solución:
2)
x
z
M g
R
1 3(sin (1 cos ) ),r R e e
1 3(cos sin ),r
a R e e
N1 3(cos sin ),v R e e
3 1 3( sin cos ),F Mge N e e
2 2 21 12 2
,T Mv MR
,d T T
F adt
2 sinMR MgR
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Ejemplos:
3) Una partícula de masa M se mueve en un triedro (O,x,y,z) bajo la
acción de una fuerza atractiva desde el origen O del triedro y
proporcional a la distancia. Plantear explícitamente las ecuaciones de
Lagrange usando como coordenadas generalizadas las coordenadas
esféricas de la partícula . , ,r
r
x
y
z
M
F k r
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Solución:
3)
1 2 3, , , ,q q q r
r
x
y
z
M
F k r
Coordenadas
generalizadas:
1 2 3sin cos sin sin cos ,r r e e e
1 2 3sin cos sin sin cos ,r
ra e e e
r
1 2 3cos cos cos sin sin ,r
a r e e e
1 2sin sin sin cos ,r
a r e e
rv
t
,j j r
j
q a ra a a 2 2 2 2 2 212
sinT M r r r
,r rQ F a kr 0,Q F a 0,Q F a
2 2 212 2 sin ,
2
TM r r
r
2 212
2 sin cos ,T
M r
0,
T
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r
x
y
z
M
F k r
2 2 2 2 2 212
sin ,T M r r r
,r rQ F a kr 0,Q F a 0,Q F a
2 2 212 2 sin ,
2
TM r r
r
2 21
22 sin cos ,
TM r
0,T
12
2 ,T
M rr
21
22 ,
TM r
2 21
22 sin ,
TM r
,d T
M rdt r
21
24 2 ,
d TM rr r
dt
2 22 sin sin 2 sin cos 0,Mr r r r
,r
d T TQ
dt r r
2 2 2sin ,M r Mr kr
,d T T
Qdt
2 22 sin cos 0,Mr r r Mr
,d T T
Qdt
2 2 2 212
4 sin 2 sin 4 sin cos ,d T
M rr r rdt
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Ejemplos:
4) Una partícula de peso Mg se mueve sin rozamiento sobre la parábola
(donde es una constante). Plantear la ecuacion de
Lagrange para el movimiento de la partícula usando como
coordenada generalizada.
x
z
Mg
2z a x aq x
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Solución:
4)
x
z
Mg
2z a x
,q x
2 ,r xi ax k 2 ,x
ra i axk
x
2 ,dr
v xi axxkdt
2 2 21 12 2
2 2 2 2 2 2 21 12 2
4 1 4 ,
T Mv M x z
M x a x x Mx a x
2 24 ,T
a M x xx
2 21 4 ,
TMx a x
x
2 2 2 21 4 8 ,
d TMx a x a Mx x
dt x
,F Mgk N
N
2 ,x xQ F a Mg ax ,x
d T TQ
dt x x
2 2 2 2 2 21 4 8 4 2 ,Mx a x a Mx x a M x x Mg ax
2 2 2 21 4 4 2 ,x a x a x x g ax
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Potencial de fuerzas (primera definición)
,F Mgk
El peso de una partícula, la fuerza de un muelle ideal,
La fuerza de un campo eléctrico sobre una carga
eléctrica, gravitación, .. etc, son fuerzas que derivan de
un “potencial” : ( , )U r t
x
y
z
Mg
Peso:
,U U U U
F U i j kr x y z
,U Mgz
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Muelle ideal (OP):
212
,U Kr
x
y
z
Muelle ideal (O’P):
21
'2( ) ,OU K r r t
,F Kr
x
y
z
P r
P
r O’ '( )Or t
'' ( ) ,OF KO P K r r t
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,eU q
Gravitación:
'
,( )O
Ur r t
'
33'
' ( ),
( )'
O
O
O P r r tF
r r tO P
Campo electrostático :
campo eléctrico , potencial eléctrico
donde
E ,
.E
eqLa fuerza sobre carga eléctrica es ,e eq E q
x
y
zP
O’ r'( )Or t
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Potencial generalizado de fuerzas
Una fuerza deriva de un “potencial generalizado
” cuando : ( , , )U r v t
,
d U UF
dt v r
d U U U U U Ui j k i j k
dt x y z x y z
F
Observar que !!!!!!! ( , , , , , , )U x y z x y z t
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Ejemplos:
Fuerza de inercia:
212( ) ( ) ,oU M a r r v r
( ) 2 ,I o
dF M a r r v
dt
Comprobarlo !!!!!!!
Fuerza de campo magnético constante (por
sencillez): 0 ,mag eF q v B k
1 10 02 2
( ) ( ),e eU q r B k v q B yx xy Comprobarlo !!!!!!!
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Componentes generalizadas de las fuerzas que
derivan de un potencial generalizado : ( , , )U r v t
j
j j
dad U U Ua a
dt v v dt r
Observar que !!!!!!! ( , , )U q q t
1 2 3( , , , )r q q q tj
j
ra
q
j j
d U UQ a
dt v r
j j j
d U v U v U r
dt v q v q r q
,j j
d U U
dt q q
![Page 23: Introducción a las ecuaciones de Lagrange - aero.upm.es · M a M v a v dt dt dt dt q q vvda a ... Plantear explícitamente las ecuaciones de Lagrange para una partícula de masa](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022012403/5c08701d09d3f2cd778c2461/html5/thumbnails/23.jpg)
Ec. de Lagrange para una partícula en un
campo de las fuerzas que deriva de un
potencial generalizado : ( , , )U r v t
Definición: ( , , )L q q t T U
1 2 3( , , , ),r q q q t , 1,2,3.j
j
ra j
q
,j j j j
d T T d U U
dt q q dt q q
Partícula sin ligaduras:
( , , ), ( , , ),T q q t U q q t
Función de Lagrange o
Lagrangiana de la partícula
0,j j
d L L
dt q q
3 grados de
libertad
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1 1( , , )L q q t T U
1( , ),r q t
Partícula con ligaduras geométricas ideales (holónomas ideales):
1 1 1 1( , , ), ( , , ),T q q t U q q t
1 grado de
libertad • Sobre curva (sin rozamiento):
1 1
0,d L L
dt q q
L T U
1 2( , , ),r q q t
1 2 1 2 1 2 1 2( , , , , ), ( , , , , ),T q q q q t U q q q q t
2 grados de
libertad • Sobre superficie (sin rozamiento):
1 1
2 2
0,
0,
d L L
dt q q
d L L
dt q q
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Definición de sistema lagrangiano:
Una partícula sin ligaduras (o con ligaduras holónomas ideales) bajo
la acción de una fuerza que deriva de un potencial generalizado se
dice que es un sistema lagrangiano.
Un sistema físico cuya evolución en el tiempo ( ) se
determina a partir de las ecuaciones
para una cierta función , se dice que es un sistema
lagrangiano.
0, 1,2,3,j j
d L Lj
dt q q
( ), 1,2,3,jq t j
( , , )L q q t
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26
Más ejemplos!
1) Determinar la lagrangiana de un péndulo simple (partícula de peso Mg)
de longitud R cuando además sobre el péndulo actúa la fuerza de un
muelle ideal de constante elástica K . Usar el ángulo como
coordenada generalizada y escribir la ecuación del movimiento a partir de
la lagrangiana.
x
z
P
M g
R
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Solución:
1)
x
z
M g
R
1 3(sin (1 cos ) ),r R e e ,a
N
,v
212
2(1 cos ) 1 cos
( ) 1 cos ,
U Mgz K OP
MgR KR
R Mg KR
2 2 21 12 2
,T Mv MR
0,d L L
dt
2 ( )sin 0MR R Mg KR
P
2 212
( ) 1 cos ,L T U MR R Mg KR
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28
2) Una partícula de peso Mg se mueve sin rozamiento sobre el
paraboloide, de eje vertical, . Sobre la partícula actúa
además un muelle ideal de constante elástica K, cuyo extremo está fijo al
origen de coordenadas. Determinar la lagrangiana de la partícula y sus
ecuaciones del movimiento usando x, y, como coordenadas generalizadas.
2 2z ax by
xy
z
P
Mg
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29
2 2z ax by
xy
z
P
Mg
2) Solución. 2 2( ) ,r xi y j zk xi y j ax by k
2( ) ,v xi y j zk xi y j axx byy k
2 2 2 21 12 2
4( ) ,T Mv M x y axx byy
212
2 2 2 2 2 2 212
( ) ( ) ,
U Mgz K OP
Mg ax by K x y ax by
2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 12 2
4( ) ( ) ( ) ,
L T U
M x y axx byy Mg ax by K x y ax by
4 ( ) ,L
M x ax axx byyx
2 2 21 12 2
8( ) 2 2 4 ( )L
M axx byy ax Mgax K x y ax ax byx
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30
4 ( ) ,L
M y by axx byyy
2 2 21 12 2
8( ) 2 2 4 ( )L
M axx byy ay Mgby K y x by ax byy
,d L
dt x
,
d L
dt y
0,d L L
dt x x
0,d L L
dt y y
2 2 2 3
2 2 2
(1 4 ) 2 2
2 4 ( ) 4 0,
M a x x x agM K a Kx
x abKy aM ax by abMyy
2 2 2 3
2 2 2
(1 4 ) (2 ) 2
2 4 ( ) 4 0,
M b y y bgM K y b Ky
y abKx bM ax by abMxx
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31
Ligaduras no holónomas
1 2 3, , ,q q q q
3
1 1
1
( , ) ( , ) 0,i i
i
A r t x A r t
1 1 11 1 12 2 13 3 1 1
1 11 1 12 2 13 3
( , ) ( , ) ( , ) ,
( , ) ( , ) ( , ) ,
CNf A r t e A r t e A r t e b
b A r t e A r t e A r t e
( , ),r r q t
1x2x
3x
Triedro físico (3-D)
P
M r
Coordenadas generalizadas:
3 3
1 1 1 1 1
1 1
( , ) , ( , ) ,j j
i j j
j ji
x xB q t A B q t A A
q t
1 2 3( , , , )i ix x q q q t
,ja
Ligadura no holónoma ideal
Trabajo en un
desplazamiento
pequeño
3
1 1 1 1 1 2 2 3 3 1 1
1
( ) ,CN
j j
j
f vdt A e x e x e x e dt A dt
3
1 1
1
( , ) ( , ) 0,i i
i
B q t q B q t
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32
Teorema:
3 3 3
1 1 1 1 11
1 1 11 1
( ) ( ) ,j
j j j j j
j i i
xrA e a A e A B
q q
3
1 1
1
1, ,,
0, ,
( 1,2,3; 1,2,3)
j j
j i ji
j
i jb B a a a
i j
i j
1 1 11b a B 1x
2x
3x
Triedro físico (3-D)
P
M r
Demostración:
1 2 12 1 3 13, ,b a B b a B
3 3
1 1 1 1 1 1 1
1 1
, , , ( , ) ( , ) 0,CN j j
j i ji i i
j i
f b b B a a a B q t q B q t
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33
Ecuaciones de Lagrange para una partícula con
una ligadura no holónoma (ideal):
1x2x
3x
Triedro físico (3-D)
P
M
*
1
CNF F f r
3
1 1
1
( , ) ( , ) 0,i i
i
B q t q B q t
3 grados de libertad
1 1 1 11 1 2 1 12 1 3 1 13, , ,CN CN CNf a B f a B f a B
1 1 , 1,2,3.i
i i
d L LB i
dt q q
( , , ) ,L q q t T U
Incógnitas: 1 2 3 1( ), ( ), ( ), ( ),q t q t q t t
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34
Ecuaciones de Lagrange para una partícula con
dos ligaduras no holónomas (ideales):
1x2x
3x
Triedro físico (3-D)
P
M
* ,CNF F f r
3
1
( , ) ( , ) 0, 1,2ri i r
i
B q t q B q t r
3 grados de libertad
1 1 11 2 21 2 1 12 2 22 3 1 13 2 23, , ,CN CN CNf a B B f a B B f a B B
2
1
, 1, 2,3.r ri
ri i
d L LB i
dt q q
Incógnitas:
1 2 3 1 2( ), ( ), ( ), ( ), ( ),q t q t q t t t
3
1
( , ) ( , ) 0, 1,2ri i r
i
B q t q B q t r
1 2 1 1 2 2 ,CN CN CNf f f b b
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35
Ecuaciones de Lagrange para una partícula
moviendose sobre una superficie sin rozamiento y con
una ligadura no holónoma (ideal):
2
1 1
1
( , ) ( , ) 0,i i
i
B q t q B q t
2 grados de libertad
1 1 , 1, 2i
i i
d L LB i
dt q q
Incógnitas:
1 2 1( ), ( ), ( ),q t q t t
2
1 1
1
( , ) ( , ) 0,i i
i
B q t q B q t
1 2
1 1 1 1 11 12, ,CNf b b B a B a N
F
3x
2x
1xP
1a2a
1
CNf
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36
Ejemplo (ligaduras no holónomas ideales):
Una partícula de peso Mg se mueve en un triedro inercial x,y,z bajo la
acción de la fuerza de un muelle ideal de constante elástica K y longitud
natural despreciable. El vector velocidad de la partícula es paralelo en
cada instante al vector
siendo una constante conocida. Obtener las ecuaciones de Lagrange
que describen el movimiento de la partícula.
( ) (2 sin ) (3 cos ) (4 sin ) ,u t t i t j t k
x
y
z
Mg
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37
Solución (ligaduras no holónomas ideales):
v xi yj zk Coordenadas generalizadas x,y,z,
v paralelo a ( )u t ,2 sin 3 cos 4 sin
x y z
t t t
2 ligaduras no holónomas:
(1) : (3 cos ) (2 sin ) 0,t x t y 11 12
13 1
(3 cos ), (2 sin ) 0,
0,
B t B t
B B
(2) : (4 sin ) (3 cos ) 0,t y t z 22 23
21 2
(4 sin ), (3 cos ),
0,
B t B t
B B
2 2 21
2( ),T M x y z 2 2 21
2( ),U Mgz K x y z ,L T U
1 11 12 13 2 21 22 23( ) ( ) ,CNd L Lf i B i B j B k B i B j B k i
dt x x
1 11 12 13 2 21 22 23( ) ( ) ,CNd L Lf j B i B j B k B i B j B k j
dt y y
1 11 12 13 2 21 22 23( ) ( ) ,CNd L Lf k B i B j B k B i B j B k k
dt z z
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38
Solución (ligaduras no holónomas ideales):
(3 cos ) (2 sin ) 0, (1)t x t y
(4 sin ) (3 cos ) 0, (2)t y t z
1(3 cos ),Mx Kx t
1 2(2 sin ) (4 sin ),My Ky t t
2 (3 cos ),Mz Kz Mg t
Incógnitas: 1 2( ), ( ), ( ), ( ), ( ),x t y t z t t t
Condiciones iniciales:
0 0 0( ), ( ), ( ),x t y t z t
0 0 0( ), ( ), ( ),x t y t z t Compatibles con (1) y (2) !!