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Las matemáticas nacieron en las antiguas civilizaciones que poblaron la tierra. Las necesidades sociales y económicas en cada comunidad impulsaron el desarrollo del pensamiento matemático y sus aplicaciones.
En casi todos los pueblos surgió un sistema de numeración que permitió contar los objetos, pero el desarrollo del concepto de número fue muy lento. Transcurrieron muchos siglos desde el momento en que los números se utilizaron para contar hasta que se pudieron escribir. Las ramas de las matemáticas que primero se desarrollaron fueron la aritmética y la geometría, a pesar de que en algunos casos, la aritmética se limitaba al arte de contar, y la geometría a medir tierras y trazar fronteras.
Introducción
LA RECTA NUMÉRICA, UN CAMINO AL ESTUDIO DE LOS NÚMEROS REALES
Descripción del conjunto de números racionales
Los antiguos chinos utilizaron un sistema de numeración decimal y multiplicativo. En cambio los romanos utilizaron un sistema aditivo y acumulativo. En Egipto existió la tendencia a utilizarlas matemáticas en la solución de problemas prácticos cotidianos: dividir porciones de alimentos
116
132 1
64
12
18
14
Figura 1. Niño
Figura 2. Sistema de numeración decimal
Observa la animación donde se consume una pizza por fracciones, y se presentan algunos tips para que puedas identificar aspectos de los números racionales.
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entre hombres o animales; calcular la cantidad de ladrillos para construir una edificación o el número de hombres necesarios para transportar un bloque pesado. La egipcia fue la primera gran civilización que utilizó las fracciones y el cálculo con fracciones, las cuales no surgieron de la división de los números naturales, sino del proceso de medición que combina la aritmética con la geometría.
La geometría nació en Egipto y más tarde fue transmitida a los griegos. La medición de los
Figura 3. Conjunto de los racionales
Determinar las características del conjunto de los números racionales.
A partir de la anterior animación y el siguiente diagrama sobre el conjunto de los números racionales ℚ, responde los siguientes interrogantes:
Objetivos de aprendizajeIdentificar las propiedades del conjunto de números racionales
Actividad 1Definición y elementos de los números racionales
NZ
Q
cuerpos sólidos: pirámides, cubos y esferas, fue hecha probablemente por medios experimenta-les, más que por cálculo matemático. Pero los más importantes descubrimientos en geometría son obra de los griegos. Con ellos el mundo pasó de los intentos por resolver problemas prácticos de aritmética y geometría, a la construcción de las más audaces y afortunadas estructuras teóricas. Los antiguos afirmaban que Tales, que vivió en la primera mitad del siglo VI A.C, aprendió la geometría en Egipto (Escobar, O. 2014).
1. ¿Qué conjuntos numéricos están dentro del conjunto de los racionales?
_____________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
3
3. Si tienes un tira de papel como esta, y la doblas a la mitad, ¿qué número obtienes? Si la vuelves a doblar a la mitad, ¿qué número obtienes?
¿Cuántas veces puedes seguir doblando el papel? Ahora piensa en la recta numérica, ¿cuantos números racionales hay en un segmento de unidad, por ejemplo entre el tres y cuatro?
5. Teniendo en cuenta el comportamiento de los números enteros en la recta numérica:• Un número racional que esté a la derecha del cero, y más alejado de este, ¿cómo es con respecto a los demás números? _____________________________________________________________________________• En igual sentido, un número que esté a la izquierda del cero y más alejado de este, ¿cómo es con respecto a los números que están a la derecha de él? ______________________________________________
6. Retomando la animación de los niños comiendo pizza:¿Un número racional se puede representar en qué formas?___________________________________________ y __________________________________________
4. ¿De acuerdo al signo o la posición en la que se encuentren con respecto al cero, sobre la recta numérica, los racionales pueden ser?
_______________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
2. Escribe dentro de la gráfica, al menos cuatro elementos diferentes para cada uno de los conjuntos
Figura 4.Segmento
NZ
Q
0 10
4
7. De acuerdo a las preguntas anteriores:
Enuncia cuatro características de los números racionales
__________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
8. Por último, y teniendo en cuentas las preguntas anteriores:
Da una definición del conjunto de los números racionales
_________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
Figura 5. Recta 1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ......
Actividad 2
Observa la animación de la actividad y luego resuelve el siguiente ejercicio:
Ubicación de los números racionales en sobre la recta numérica.
5
Ejercicio
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Teniendo en cuenta la animación de la actividad, ubica los siguientes números racionales sobre la recta. Recuerda que el denominador indica el número de partes iguales en que se divide la unidad, y el numerador el número de partes que se toman.Para ello, escribe el número en el lugar exacto que le corresponde sobre la recta
¿A qué conjunto numérico pertenecen los números que representan las oraciones?
_________________________________________________________________________________________________________
Figura 6. Ubicación en la recta
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
3/7 9/4 -3/4 -7/5 6/3 1,5 3,5 -8/3
Actividad 3Transformación de los números racionalesLee las siguientes oraciones y luego resuelve los ejercicios: a) Deme un octavo de pintura.b) Necesito un cuarto de galon de gasolina.c) Media libra de arroz.d) Un cuarto de pulgada. e) Compraré cuatro kilos y medio de papa.f) He caminado un tercio del recorrido
Escribe el número específico que representa cada oracióna) b) c) d) e) f)
6
Ejercicio 1
Ahora observa la animación de la actividad y resuelve los ejercicios
Figura 7. Ciclista
De acuerdo a la animación de la actividad, y a la clasificación de los decimales, realiza las operaciones e indica qué tipo de decimales son (da el resultado con tres decimales)
954 =
1272 =
2812 =
2508 =
3626 =
452360 =
Tipo de decimal:
Tipo de decimal:
Tipo de decimal:
Tipo de decimal:
Tipo de decimal:
Tipo de decimal:
Posteriormente indica que características tienen los números que calculaste
1.__________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________
2.__________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
7
3._________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________
4._________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________
5._________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________
6._________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________
Ejercicio 2Transformar de decimal a fraccionarios los siguientes valores; simplifícalos hasta donde sea posible
0,12 = ; 0,88 = ; 0,35 =
Actividad 4Racionales equivalentesSi los racionales que se presentan en la imagen son equivalentes, resuelve las siguientes preguntas y ejercicios:
Figura 8. Equivalencias
12
24
48
510
36
8
Figura 9. Flores
Pregunta 1
Pregunta 2
De acuerdo a la imagen anterior, ¿cómo es cada racional y la torta que representa, con respecto a los demás racionales de la imagen?
_________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________
Completa la siguiente oración en la que se da una definición de los racionales equivalentes, para ello usa las siguientes palabras:
misma, diferentes, fracciones
Racionales equivalentes son aquellas ________________ que representan una________________ cantidad a
pesar de que se escriben con números ____________
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Multiplica en cruz los siguientes racionales, y observa el resultado de cada multiplicación e Indica cuál par de racionales es equivalente, encerrando con un círculo rojo aquellos que sí lo son.
Si en un cultivo de flores, las rosas ocupan del total del cultivo, indica: ¿Cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes al área que cubre el cultivo de rosas? Marca con una x en los recuadros las que NO lo son, y con un chulo las que SÍ los son:
3
3
3 2512 6 8
5
9
8
6 =
=
=
=
6
5
16
4
5
10 30 20 10 12
4
2
3
8
8
3
6
•
•
•
•
9
Actividad 5Amplificación y simplificaciónObserva detenidamente el diagrama y resuelve los ejercicios
Figura 10. Ampliación y simplificación
==
2∙2∙
==
2∙2∙
==
==
1∙1∙ ÷ 1
÷ 1 ==÷ 2
÷ 2 =
=÷ 2÷ 2
Fracción original
3248
46
23
1624
812
812
812
Amplificación Simplificación
Ejercicio 1De acuerdo a la imagen de ampliación y simplificación, define cada proceso y descríbelo:Ampliación:
____________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
Simplificación:
____________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
¿ Qué relación tienen entre sí, las fracciones resultantes del proceso de amplificación y simplificación?
______________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________
10
Ejercicio 2Ejercicio de amplificación
División inicial
Piensas dividir la torta para tu fiesta en ocho porciones iguales, y repartir solo la mitad entre tus cuatro invitados, dando a cada uno de ellos la misma cantidad. Pero si el número de invitados se duplica, ello te obliga a dividir la torta de otra forma. Encuentra, por medio de la amplificación, la fracción equivalente que te permita dar un pedazo de torta igual a cada uno, y que solo implique la repartición de la mitad de la misma.
Figura 11. Torta
11
Figura 12. Galpón
11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212
Ejercicio 3Ejercicio de simplificaciónUna granja está dividida en doce corrales iguales, de los cuales nueve están destinados para gallinas. Debido a que hoy se vendió una tercera parte de las gallinas, el granjero desea reducir el número de corrales y así brindar a las gallinas corrales más amplios, pero sin cambiar el área total que sumaban los doce anteriores, ni la proporción del área total que se usaba para las gallinas. Encuentra, por medio de la simplificación, la fracción equivalente que le permita lograr su deseo.
12
23
25
15
25
13
25
Figura 14. Fracciones 1 Figura 15. Fracciones 2 Figura 16. Fracciones 3
Si dos fracciones tienen igual numerador, es mayor la de ___________ denominador
Si dos fracciones tienen igual denominador, es mayor la de ___________ numerador
Si las dos fracciones tienen dife-rente numerador y denomina-dor, un camino para saber cuál es mayor, es utilizar el Mínimo común múltiplo (m.c.m).
Ahora observa las imágenes y completa las oraciones con las palabras: mayor o menor
Preguntas
1. ¿Es mayor -5, 25 que -1, 5? : ____________________________________________
2. ¿Es menor -11/3 que -1/3? : _____________________________________________
3. ¿Es mayor 1/2 que 11/3? : _____________________________________________
4. ¿Es mayor 4,5 que -1.5? : ____________________________________________
5. ¿Es mayor -11/3 que 11/3? : ______________________________________________
Actividad 6Compara números racionales en sus diversas presentacionesTeniendo en cuenta las preguntas que resolviste en la primera actividad, y la posición de los números racionales sobre la recta numérica, resuelve las siguientes preguntas:
Figura 13. Regla
-6
-5,25 -1,5 1,5 4,5113
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
113-
13-
12
13
Después de ver el ejemplo compara 2/4 y 1/3 y socializa tu resultado en clase
6 , 1 4 7
6,147
6 , 1 9 5
6,195
Figura 17. Fracciones 4
4. Para comparar decimales:Compara las cifras del número de la izquierda, con las cifras del número de la derecha, y al final indica cuál de los dos números es menor que el otro.Para ello usa los signos de = y <
3. Después multiplica el numerador y el denominador de cada fracción por el número obtenido en el paso anterior, así:
Ejemplo:
Si deseas comparar las fracciones: y , considera los siguientes pasos:
1. Saca el mínimo común múltiplo de los denominadores (5 y 3), para lo cual puedes multiplicar ambos números, si ninguno de los dos contiene al otro un número exacto de veces. En este caso el m.c.m es 15
1
15 15
23
5 = 3 = 53
5
25
13
33
55
615
515= =• •
2. Luego divide el m.c.m por cada uno de los denominadores de las fracciones, así:
Actividad 7Ubica y ordena números racionales De acuerdo a la actividad anterior, ubica los siguientes números sobre la recta numérica (escríbelos sobre la recta)
128 -1,5 0,75 0,25 9
466
Luego ordénalos de mayor a menor en los recuadros, de tal forma que se cumpla la relación planteada:
es > es > es >es > es >
Figura 18. Regla
-2 -1 0 1 2
14
El conjunto de los números racionales
Estar representados por fracciones Entre dos números
positivos, el mayor es el que esté mas alejado del cero
Son infinitos Se pueden representar con
una recta
No poseenun consecutivo
fijo
Estanrepresentados por decimales
Entre dos números
negativos, el mayor es el que
esté más cercano al cero
Fracciones decimales
La amplificacion
EquivalentesFinitos
Periódicos puros
Fracciones comunes
La simplificación
Infinitos
Periodicos Mixtos
Sus números tienen caracteristicas como
Aquel que contiene los números fraccionarios, los decimales (positivos
y negativos), y los números enteros
Es
Las cuales pueden ser
Se pueden obtener de ellas
Y a ellas se pueden llegar através de
Los cules pueden ser
Que se dividen en
15
Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales, utiliza para ellos el signo <:
Transformar a fraccionario o decimal los siguientes números, luego simplifica cada fracción, si es posible.
78
89
49
150,25 ; 2,5 ; 0,4; ; ; ;
6,2597258,1217586578
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Soluciona la siguiente situacion problema Un grupo de 4 estudiantes decide realizar un taller de matemáticas de 24 ejercicios:
El primero decide hacer 1/4 El segundo piensa en hacer 8/32 El tercero dice hacer 4/16 El cuarto se decide por 2/8 Y entre los 4 deciden que si falta algo lo hará un 5° miembro. ¿Cual hizo más ejercicios?
Actividad 1
Actividad 2
Actividad 3
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Lista de figurasFigura 1. Niño
Figura 2. Sistema de numeración decimal
Figura 3. Conjunto de los racionales
Figura 4. Segmento
Figura 5. Recta 1
Figura 6. Ubicación en la recta
Figura 7. Ciclista
Figura 8. Equivalencias
Figura 9. Floreshttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tulip_field_Kamiyubetsu_Hokkaido_japan.jpg
Figura 10. Ampliación y simplificación
Figura 11. Torta
Figura 12. Galpón
Figura 13. Regla
Figura 14. Fracciones 1
Figura 15. Fracciones 2
Figura 16. Fracciones 3
Figura 17. Fracciones 4
Figura 18. Regla
Lista ReferenciasEscobar, O. (s.f.). es.slideshare.net. Recuperado el 19 de Agosto de 2014, tomado de http://ima ge.slidesharecdn.com/numerosracionales