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SINPSIS DEL CONTENIDO
UNIDAD I Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden
UNIDAD II Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
UNIDAD IIITransformadas de Laplace y Sistema de EcuacionesDiferenciales Lineales.
ESTRATEGIAS GENERAL DE INSTRUCCIN
y Clases terico prctico
y Clases especficas de ejercicios, donde el estudiante muestre en s, ellogro de los objetivos propuestos
y Horas especficas para consultas individuales con los alumnos
BIBLIOGRAFA- BOYCE DIPRIMA. Ecuaciones diferenciales elementales y problemas decontornos. Limusa 1977.- MAKARENKO. Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. EditorialMIR Mosc 1972.- RAINVILLE BEDIENT. Ecuaciones Diferenciales. Editorial Interamericana1977.- ROBERTS, CH. Ecuaciones Diferenciales. Editorial Interamericana 1977.- ROOS. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales. Editorial Interamericana1985.
-D. ZILL, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Wadsworth Internationa l/Iberoamrica 1982-D. SNCHEZ, Ordinary Differential Equations and Stability Theory. W. H.Freeman and Company 1968-C. EDWARDS,Jr. and D. PENNEY. Ecuaciones diferenciales elementales conaplicaciones. Printece-Hall Hispanoamericana 1986
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2.5.1.1 Ejercicios2.5.2 Ecuaciones Lineales No Homogneas con Coeficientes Constantes.2.5.2.1 Mtodo de Coeficientes indeterminad os
2.5.2.1.1 Ejercicios2.5.2.2 Mtodo de Variacin de Parmetros.
2.5.2.2.1 Ejercicios
2.5.3 Ecuaciones Lineales con Coeficientes Variables.2.5.3.1 Mtodo de Reduccin de Orden.2.5.3.1.1 Ejercicios
2.5.4 Ecuacin de Euler - Cauchy2.5.4.1 Ejercicios
UNIDAD III: TRANSFORMADA DE LAPLACE Y SISTEMAS DEECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
3.1 Objetivo Didctico3.2 Transformada de Laplace. Definicin.3.2.1 Ejercicios.
3.3 Teorema de Linealidad.3.4 Inversa de la Transformada de Laplace.3.4.1Propiedad de Desplazamiento3.4.2Ejercicios3.5 Funcin Escaln Unitario.3.5.1 Ejercicios3.6Convolucin. Definicin. Propiedades3.7 Aplicaciones. Problemas de Valor Inicial3.7.1 Ejercicios3.8 Transformada de la Derivada3.9 Integracin de Transformadas3.10 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales3.10.1 Ejercicios
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UNIDAD I
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
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1.1 OBJETIVO DIDCTICO: Adquirir los conocimientos esenciales deecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, que permitan formularsoluciones a problemas, tanto tericos como aplicados, los cuales conducen aplantear modelos matemticos, mediante el uso de tales ecuaciones.
1.2 ECUACIONES DIFERENCIALES
Hay problemas de la vida diaria que se pueden modelar por una ecuacin en laque la incgnita es una funcin y entre las operaciones que se realizan seencuentra la derivada (ordinaria y parcial).
Por ejemplo;
(1) Determinar el tamao de la poblacin en cada instante t suponiendo quela tasa de nacimiento es directamente proporcional a la poblacinpresente en cada instante t y la poblacin inicial es p 0
Entonces
!
!d
0
21
)0(
)(
1.)(.)(
pP
tPktPktP
(2) Sea )(tx la posicin de una partcula en el instante t. se conoce de la
cinemtica que si la aceleracin es constante y el movimiento rectilneoentonces la velocidad es
Entonces
0)0(
)(
x
atvtx o
1.3 DEFINICIN DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL
Definicin (1): Una Ecuacin Diferencial definida en una regin nR esuna ecuacin de la forma
0),,,,,,( 101 !kffxxTF--
Para todon
nxx ),,( 1 - donde las funciones jf son algunas de las
derivadas parciales de algn orden de la funcin T con respecto a algunas (o
todas) las variables nxx ,,1 - . Si n > 1 la ecuacin diferencial se llamaEcuacin Diferencial en Derivadas Parciales.Definicin (2): ecuacin en la que interviene una variable dependiente y susderivadas con respecto a una o mas variables independientes.
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Ejemplo:
a) Senxxydx
yd!
2
2
b) Cosxexyxyxy x.)(.3)()( )2()3( !d
c) 02
2
2
2
2
2!
x
xx
xx
xz
u
y
u
x
u
1.4 CLASIFICACIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Las ecuaciones diferenciales se clasifican de distintas formas segn suspropiedades, se clasifican de la siguiente mane ra:
Segn su tipo:
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO): es aquella en la que solo existeuna variable independiente, de manera que todas las derivadas que aparecenen ella son derivadas ordinarias.
Ejemplo:
a) )(xLnxydx
dy!
b) Cosxexyxyxyx .)()()( !dddddd
Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP): aquellas donde la ecuacincontiene derivadas de una o ms variables dependientes con respecto a mas
de una variable independiente.
Ejemplo:
a) 02
2
2
2
2
2
!x
x
x
x
x
x
z
u
y
u
x
u
b) 0!x
x
x
x
t
u
s
u
Segn su orden:
Segn el orden de la derivada. Orden uno, dos, tres, superior (cuando el ordende la derivada es mayor a uno).
Ejemplo:
a) )(xnxydx
dy! Orden uno.
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b) 02
2
2
2
2
2
!x
x
x
x
x
x
z
u
y
u
x
uOrden dos. (Orden Superior)
c) Cosxexyxyxy x.)(.3)()( )2()3( !d Orden tres (orden Superior)
d) 0,
4
22 "!
xCosxy
dxdy
dx
yd Orden dos, ya que el mayor orden de
derivacin es dos, sin importar el exponente (en este caso es 4)
e) 0,).(
4
2
2
!
xCosxy
dx
dy
dx
ydxx Orden uno. El trmino
0! xx si 0x . Y por lo tanto podemos escribirla como
0, ! xCosxydxdy
. Este ejemplo muestra que cuando tenemos unaecuacin diferencial es importante saber en que intervalo estamos trabajando.
Segn su grado: lo define el mayor exponente de la ecuacin diferencial.
Ejemplo:
a) 0,
4
2
2
"!
xCosxy
dx
dy
dx
ydGrado 4.
Segn su Linealidad: una ecuacin ordinaria es lineal de orden n en unintervalo RJ si es de la forma.
)()().()()()()()()( 011
1 xhxyxaxyxaxyxaxyxan
n
n
n !d
.
Donde haaaa nn ,,,,, 011 - son funciones continuas en el intervalo y
0)( {xan en dicho intervalo.
A su vez, una ecuacin diferencial lineal posee las siguientes propiedades:
- No debe aparecer la variable dependiente como argumento de otra funcin.- No deben aparecer producto de la variable dependiente por si misma y porsus derivadas.- Debe haber una sola variable dependiente y una independiente.
Ejemplo:
a) )(xnxydx
dy! Lineal de orden uno.
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b) 0,
4
2
2
"!
xCosxy
dx
dy
dx
ydNo lineal, el exponente 4 es lo que
hace que la ecuacin no sea lineal.
1.5 SOLUCIN DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL ORDINARIA
Definicin: una funcin J se llamar solucin o solucin particular de la EDO
),,,,( )1()( d! nn yyyxfy - en el intervalo RJ si:a) J : RJp es una funcin.
b) )(,,, nJJJ -ddd existen.
c) ))(,),(),(,()( )1()( xxxxfx nnd! JJJJ - para todo Jx .
En otras palabras si la funcin satisface a la ecuacin diferencial.
Al conjunto de todas las soluciones de la EDO en algn intervalo J se llamasolucin general de la EDO cuando aparece la constante de integracin C sinningn valor conocido, y si no aparece esa constante o se conoce su valor se ledenomina solucin particular. Decimos que una solucin esta dadaexplcitamente si la variable dependiente esta despejada, en caso contrariodecimos que esta escrita implcitamente.
Ejemplo:
a) La funcin xecx 2.)( !J , c es constante, es solucin general de la
EDO yy 2!d en x. Pues, )(.2).(2)(2
xecx
x
JJ !!d
quesatisface a la EDO. Observemos que dicha solucin esta escritaexplcitamente. Por otra parte si tenemos la solucin escrita
cxex !)(.2 J , decimos que esta escrita implcitamente.
Cuando nos encontramos con problemas de valor inicial, es decir, que tengan
condicin inicial 00 )( yxy ! , la solucin de la EDO es una solucin particular.Siguiendo con el ejemplo anterior, si tenemos condicin inicial 1)0( !J , la
solucin serx
ex 2)(!J la cual es particular, ya que no aparece la constante
de integracin como incgnita.
1.6 Resumen
Una ecuacin diferencial es una ecuacin donde aparece la operacinderivacin y se tiene que encontrar las funciones que satisfacen dicha ecuacin(si existen).
Las ecuaciones las clasificamos de acuerdo al siguiente esquema:
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Linealidad
Grado
SuperiorOrden
UnoOrdenOrden
Ordinaria
arcialTipo
DifEc.
Solucin de una ecuacin, es cualquier funcin que satisface la ecuacindiferencial y la clasificamos de acuerdo al cuadro siguiente:
plicitas
xplicitas
Particular
eneralSolucion
Im
1.7 EJERCICIOS
1. Verifique si la funcin o funciones son solucin de la E. D dada, y seale silas soluciones estn escritas en forma explcita o implcita:
a. 1.3)( !d! xyycexx xJ
b. 0.12.7.5.2)(43 !ddd! yyyeexy xx
c.22 .4.2.37.6.2)( xyyyxxexf
x !ddd!
d. 0.2..)( !ddd! yyyexcxy x
e. 02.4).1(1
1)(
2
22
2!
! y
dx
dyx
dx
ydx
xxf
f. ).(..1
..)( PbaP
dt
dP
ecb
ecatP
at
at
!
!
g. 016)4(.)()4(.)( 21 !dd!! yyxCosbxxSenax JJ
h. 04.5.)(.)()( 2222
1 !ddd!! yyxyxxLnxxyxxy
2. Determine los valores de m tales quemx
ey ! sea solucin de cada E. D:
a. 065 !ddd yyy b. 02510 !ddd yyy c. 02 !d yy
3. a. Demuestre que 21 xy ! y3
2 xy ! son solucin de
0642 !ddd yyxyx .
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b. Son tambin soluciones 1.ya y 2.yb con a y b constantes arbitrarias.
c. La suma de 21 yy es solucin?
1.8 TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE PICARD
Es natural hacerse las siguientes preguntas:
Cundo un problema de valor inicial tiene solucin? Cundo un problema de valor inicial que tiene solucin, tiene solucin
nica?
Teorema (Picard). Sea R una regin rectangular en el plano xy, definida por
dycbxa eeee , que contiene al punto ),( 00 yx en su interior. Si
),( yxf yy
f
x
xson continuas en R , entonces existe un intervalo - con centro
en 0x y contenido en ? A,,ba y una nica funcin )(xy J! que satisface elproblema de valor inicial.
!
!d
00 )(
),(
yxy
yxfy
Para todo -x .
Un conocido teorema de Peano asegura que la continuidad de ),( yxf en R
es suficiente para garantizar la existencia de al menos una solucin del
problema ),( yxfy !d sujeto a la condicin inicial 00 )( yxy ! , si ),( 00 yx
est en el interior de R .
Ejemplo:
1) Determine la regin del plano xy que garantice la existencia de al menosuna solucin de la ecuacin diferencial dada
yx
y
dx
dy
!
y
x
d
c
a b
R
(x0, y0)
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Solucin:
Tenemos que la funcinyx
yyxf
!),( , donde se sabe que su dominio en
el plano xy es _ ayxyx { /),( 2 , a su vez
2)( yx
x
y
f
!
x
x, tambin tiene como dominio _ ayxyx { /),( 2 , por lo
que en todo el plano xy menos en donde x = y, se garantiza que existe almenos una solucin de la ecuacin diferencial
1.9 EJERCICIOS
1. Para cada problema de valor inicial halle un rectngulodycbxa eeee , en el cual se pueda garantizar la validez del Teorema de
Picard.
a. 4)1(, !!d yxyy
b. 1)1(,).2( !!d yyxyxy
c. 0)0(,12 !!d yyy
1.10 MTODOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES DEPRIMER ORDEN
Tenemos:
1.10.1 SEPARACIN DE VARIABLES:
Sea la ecuacin E. D )().( yhxgdx
dy! , o
)(
)(
yh
xg
dx
dy! donde cada una de las
funciones )()( yhxg dependen de una sola variable; se procede entonces
a separar variables.
Pasos a seguir:
1.-
Se separan variables dxxgyh
dy
yhxgdx
dy
).()()().(!!
dxxgdyyhyh
xg
dx
dy).().(
)(
)(!!
2.- Integrar ambos lados de la igualdad de la E. D con respecto a la variable
independiente ! dxxfdxdx
dy).(.
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3.- Simplificar dx de la primera integral ! dxxfdy ).( .4.- Integrar Cxy ! )(
C constante de integracin de la integral indefinida.)(x funcin solucin de la E. D.
Ejemplo:
Resolver la ecuacin yxy .!d
Solucin: la ecuacin toma la forma yxdx
dy.! , es una ecuacin separable.
Entonces resolviendo !!! cx
ydxxy
dydxx
y
dy
4..
2
En este caso se puede tener una forma explcita de estas solucin gene ral, yaque al despejar la variable dependiente (y) resulta
Rccxy
! ,4
22
1.10.1.1 EJERCICIOS:
1. Resuelva la EDO por separacin de variables:
a. 03 ! dyedx x b. 0)1( 2 ! dxydy
c. yxyx eedx
dyye
! 2. d.2
54
32
!
x
y
dx
dy
e. 0).3(.2).3(3 ! dyxCosydxxSen f. ).( aQk
dt
dQ!
g. 0..)1(..)1( 32 ! dyeedxee xxyy
h. 2..! tetNN
dt
dNi.
842.
33.
!
yxyx
yxyx
dx
dy
2. Resuelva la E. D por separacin de variables con valor inicial:
a. 1)();1(44
2 !! Txxdt
dxb. 2)2(;
1
1
2
2
!
! yx
y
dx
dy
1.10.2 CAMBIO DE VARIABLE:
Se define una nueva variable en trminos de las variables dadas y luego sereescribe la E. D en trminos de una nueva variable indep endiente. Al final paradar la solucin se debe devolver el cambio.
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Pasos a seguir:
1.- Se aplica el cambio de variable )(),(),( ufyxfyxfdx
dy!!
Luegodx
dx
dx
du
dx
dy
dx
dy
dx
dx
dx
du!!
2.- Se procede con los mtodos anteriores; primero se aplica separacin devariable, segundo integracin directa y por ultimo se devuelve el cambio devariable.
Ejemplo:
Resolver la ecuacin 2)3( ! yxdx
dy
Solucin: se observa que por separacin de variable no se puede resolver yaque la funcin involucrada en el ejercicio es de dos variables, por lo tantoaplicamos el cambio de variable, quedando
11
113
22 !!
!!!
udx
duu
dx
du
dx
du
dx
dy
dx
dy
dx
duyxu
Ahora aplicamos separacin de variables
!!
!
cxugdx
u
dudx
u
du)(tan
11
1
22
)(tan3)(tan cxgyxcxgu !!
Escribiendo en forma explcita es 3)(tan ! xcxgy
1.10.2.1 EJERCICIOS:
1. Resuelva la E. D por Cambio de variable:
a. 2)1( ! yxdx
dyb. )(
2yxang
dx
dy!
c. 322 ! xydxdy d. 51 ! xye
dxdy
2. Resuelva la E. D por Cambio de variable con valor inicial:
a.4
)0();( T!! yyxCosdx
dyb. 1)1(;
223
23!
! y
yx
yx
dx
dy
-
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1.10.3 FUNCIN HOMOGNEA:
Una funcin se dice homognea de grado n si ),(),( yxftytxf ! , significaque las variables yx , se sustituyen por tytx, respectivamente, sacando
luego el factor comn nt quedando la funcin original.
Pasos a seguir:
1.- Probar que la funcin ),( yxfdx
dy! es homognea.
2.- Hacer el siguiente cambio de variable: ,.xuyx
yu !! luego
uug
du
x
dx
dx
duxu
dx
dyxyg
dx
dy
!!!
)(.)/(
3.- Luego se aplican los dos primeros mtodos, devolviendo el cambio.
Ejemplo:
Resuelva la ecuacinxy
xyy
2
22 !d
Solucin: probando que la funcin es homognea tenemos,
),(),(
2)2(
)(),(
...2
..
)..2(
)()(),(
2),(
22
2
222
2
22222222
yxftytxf
xy
xy
xyt
xyttytxf
yxt
xtyt
tytx
txtytytxf
xy
xyyxf
!
!
!
!
!
!
Cumple con la definicin.
Ahora, se realiza el cambio y nos quedau
uux
dx
du
2
1.
2 !
Separando variables, resolviendo tenemos
22
2
12
12
122
2
.
1.)1(.
)1ln(1lnln.1
2
yx
xxk
x
yxkuex
uucxduu
u
x
dx
c
!
!s!
!!
!
Es una solucin general escrita de forma implcita.
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1.10.3.1 EJERCICIOS:
1. Resuelva la E. D aplicando el mtodo para ecuaciones Homogneas con lasustitucin adecuada:
a. 0.).( ! dyxdxyx b. 0)( 22 ! dyxdxyxy
c.xyxy
dxdy
! d. 22. yxy
dxdyx !
2. Resuelva la E. D aplicando el mtodo para ecuaciones Homogneas con lasustitucin adecuada y valor inicial:
a. 2)1(;..332 !! yxy
dx
dyyx
b. 0)1(;0.).( !! ydyexdxeyx xy
xy
1.10.4 ECUACION DIFERENCIAL EXACTA:
La expresin 0).,().,( ! dyyxdxyxM se le denomina exacta si y solo
six
yx
y
yxM
x
x!
x
x ),(),(.
Pasos a seguir: 1.- La EDO debe estar de la forma 0).,().,( ! dyyxNdxyx , paraverificar si es exacta.
2.- Calcular dxyxM ).,( dyyx ).,( Si )(),().,( yyxFdxyxM J! Si )(),().,( xyxdyyxN J!
3.- Se determina )(yJd )(xJd , dependiendo de lo calculado en (2) y seiguala a la funcin ),( yx ),( yxN no usada en el paso anterior.
Ejemplo:
Si )(),(),(
)(),().,( yyxFy
yxFyyxFdxyxM JJ dd!
x
x!
Luego ),(),()(),()(),( yxyxNyyxNyyx d!d!dd JJ
4.- Se calcula )(yJ ,integrando ambos lados de ),(),()( yxyxNy d!dJ ; es decir
? A !d!d CydyyxFyxdyy )(.),(),().( JJ
5.- Se da la solucin implcita Cyxf !),(
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Ejemplo:
Resolverla ecuacin 0).3cos()..2( 223 ! dyeyyxdxeysenyx xx
Solucin: verificamos si es exacta
xxeyyxyxNeysenyxyx 223 3cos),(,.2),( !!
xxeyyx
x
yxNeyyx
y
yx 223cos2
),(,3cos2
),(!
x
x!
x
x
Observamos que es exactax
yxN
y
yx
x
x!
x
x ),(),(
Ahora, !! )()2().,(323
yeysenyxdxeyxsenydxyxxx J
cyyeyyxyeyyx xx !!d!d )(0)(3cos)(3cos 2222 JJJ
Por lo tanto la solucin general en forma implcita es ceysenyx
x ! 32
1.10.5 ECUACION DIFERENCIAL NO EXACTA:
La expresin 0).,().,( ! dyyxNdxyx se le denomina no exacta si y
solo six
yxN
y
yx
x
x{
x
x ),(),(.
Pasos a seguir: 1.- Verificar que la EDO no es exacta.
2.- Buscar un factor integrante:
dxx
N
y
Nexu
.1
)(
!
-
x
x
x
x
dy
y
x
N
eyu.
1
)(
!
-
x
x
x
x
3.- Multiplicar el factor integrante por la E. D no exacta para hacerla exacta.4.- Resolver aplicando los pasos de la E. D exacta.
Ejemplo:
Resolver la ecuacin 0).2().145( 22 ! dyxyxdxyxy
Solucin: Se verifica si es o no exacta
xyxyxyxyyxM 2),(,145),( 22 !!
yxx
yxNyx
y
yx22
),(,85
),(!
x
x!
x
x
-
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Observamos que no es exactax
yxN
y
yx
x
x{
x
x ),(),(
Al no ser exacta hay que determinar un factor integrante que la haga exacta,entonces
? A33
)22()85(.22
1
)()( xexuexuxLn
dxyxyxxyx !!
!
Ahora se multiplica la ecuacin por el factor integrante calculado y se trabajacomo en el caso de ecuacin diferencial exacta.
Por lo que la solucin es cx
yxyx !4
4245
1.10.5.1 EJERCICIOS:
1. Determine si la ecuacin respectiva es Exacta, de ser as resulvala:
a. 0).73().12( ! dyydxx b. 0).4.2().3.2( 22 ! dyyxdxyx c. 0).)(.)(()).(.)(( ! dyyyCosxxCosdxxSenyySen
d. 0)3(.34.)3(1
23
2!
xSenyxx
y
dx
dyxCos
xy
e. 0.3).( 233 ! dyyxdxyx f. 26.2. xyexdx
dyx x !
g. 0)).().(()).().()(( ! dyyCosxCosdxySenxSenxTang
2. Determine el valor de k para que la EDO sea Exacta:
a. 0)...20.3().2..( 32243 ! dyyxyxdxxyxky
b. 0)).(....2()).(.6( 223 ! dyySenxyxkdxyCosyx
3. Verifique que la EDO no es Exacta. Multiplique por el factor integranteindicado ),( yxu y compruebe que la ecuacin resultante es exacta:
a. yxyxudyxCosxdxxCosyxSenyx .),(;0).(.2)).(.2)(..( !!
b.
22222
)(),(;0).2()..2(
!!
yxyx
udyxxyydxyyxx
4. Resuelva la EDO encontrando un factor integrante adecuado:
a. 0..2).32(2 ! dyyxdxxy b. 0).2().1( ! dyyxdxyxy
c. 0.2).610(3 ! dydxey x d. 0).()
21().( ! dyxSen
ydxxCos
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1.11 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
La forma en que se presenta es )1()().( xqyxpdx
dy! en su forma
diferencial .0.)().( ! dxxqyxpdy
Si la funcin 0)( !xq (1) se transforma en una E. D con variables separables,
llamndose E. D lineal homognea. En caso que 0)( {xq , se resuelve por elmtodo llamado Factor Integrante.
1.11.1 MTODO DEL FACTOR INTEGRANTE:
Sea .0.)().( ! dxxqyxpdy una E. D lineal homognea:
Pasos a seguir:
1.- Dividir por dx toda la ecuacin; quedando )().( xqyxpdx
dy! .
2.- Calcular el factor integrante: !dxxp
exu).(
)(
3.- Determinar la solucin general por medio de
- !
dxexqey
dxxpdxxp ).().().(. ? Adxxuxqxuy ! ).().(.)(1
Ejemplo:
Resolver la ecuacin xy
xdx
dy3.
1!
Solucin: Observamos que la ecuacin esta escrita de forma lineal por lo tanto
podemos determinar ax
xp1
)( ! .y xxq 3)( !
Ahora calculamos el factor integrante xeexux
ndx
x !!
!
1
)(
Calculamos la solucin de la ecuacin ? A 1221 .3. !! xcxydxxxy 1.12 ECUACIN DE BERNOULLI:Cuando se nos presenta el caso de una E. D No Lineal para resolverladebemos hacerla Lineal, la clase mas importante de estas ecuaciones es de la
forma kyxqyxpdx
dy).().( ! , k .
Estas ecuaciones se conocen como Ecuacin de Bernoulli, en honor a JakobBernoulli.
i) Si 0!y , se obtiene una solucin de la ecuacin.
-
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ii) Si 0{y , se debe:
1.- Dividir por toda la ecuacin por ky :
)().(.)1(
xqyxp
dx
dyy
kk !
2.- Hacer un cambio de variable )1( kyv !
Dondedx
dv
kdx
dyy
dx
dyyk
dx
dv kk.
)1(
1.).1(
!!
3.- Sustituir la nueva variable en la ecuacin que se obtuvo en el paso 1.
Quedando )().(.)1(
1xqvxp
dx
dv
k!
4.-
Multiplicar esta nueva ecuacin por )1( k
.
5.- Resolver la ecuacin lineal resultante )().1().().1( xqkvxpkdx
dv!
por el mtodo de factor integrante.
Ejemplo:
Resolver la ecuacin 2..1
yxyx
y !d
Solucin: escribamos la ecuacin de la forma 2..1
yxy
xdx
dy!
Aplicamos el mtodo de bernoulli, donde 2yyk !
Entonces xyxdx
dyy ! 12 .
1.
Hacemos el cambio de variable y nos queda
xvxdx
dvxv
xdx
dv
dx
dv
dx
dyy
dx
dyy
dx
dvyv
!!
!!!
.1
.1
..221
Ahora, trabajamos como una ecuacin lineal y nos queda la solucin
2
1
xcxy
!
1.12.1 EJERCICIOS
1. Resuelva la E. D Lineal, dando la solucin general:
-
8/9/2019 Intro, Cap1
20/25
a. ydx
dy5! b. xey
dx
dy 3! c. 22 .3 xyxy !d
d. 1..2 !d yxyx e. 52 2 !d xyy f. Senxxydx
dyx ..
2!
g. 2.).1( xxyxdx
dyx ! h. 0)..(4. 6 ! dyyxdxy
i. 1).(. ! ySenxdx
dyCosx j. 0).1.(..
32 ! dxxCosydySenxxCos
k. yxydx
dyx .485)2(
2 ! m. xeyxdx
dyx
3).13(.
!
2. Resuelva la E. D Lineal con valor inicial:
a. 2)1(;. !!d yeyyx x b. 10)1(;).1( !! ynxydxdyx
c. oo ymkmTkdt
dT,;)0();.( !! constantes.
3. Resuelva la E. D de Bernoulli dada empleando una sustitucin adecuada:
a.2
2.
yy
dx
dyx ! b. 2.yey
dx
dy x! c. )1..( 3 ! yxydx
dy
d. 2.).1( yxyx
dx
dyx ! e. )1.(.2).1.(3 32 ! yyt
dx
dyt
4. Resuelva la E. D de Bernoulli con valor inicial:
a.2
142 )1(;3.2. !! yyyxdx
dyx b. 4)0(;1. 2
32
1!! yy
dx
dyy
1.13 APLICACIONES. MODELOS MATEMTICOS
Es la relacin estrecha que puede surgir en ciertos aspectos de la vida real quepueden ser asociados a E. D. entre los cuales tenemos:
Ley de enfriamiento y calentamiento de Newton. Propagacin de enfermedades. Crecimiento Biolgico o Poblacional. Mezclas. Inters compuesto.
Hay expresiones del lenguaje coloquial que tiene una traduccin sencilla allenguaje matemtico. La siguiente tabla muestra la traduccin de algunas deesas expresiones.
-
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LENGUAJE COLOQUIAL LENGUAJE MATEMTICOTasa, rapidez, velocidad, razn decambio de variable y con respecto a lavariable t dt
dytyy ),(d!d
A es directamente proporcional a B teconskBkA tan.! A es inversamente proporcional a B
teconskk tan. 1!
Ley de enfriamiento y calentamiento de Newton
La relacin es Temperatura con respecto al tiempo: ).( TmTkdt
dT!
Donde se involucraT Temperatura.Tm Temperatura del medio.k Constantet Tiempo.
i) Si 0"k y TmT " , se va calentando.ii) Si 0"k y TmT , se va enfriando.iii) Si 0k y TmT " , se va enfriando.iv) Si 0k y TmT , se va calentando.
Ejemplo:
Un pastel es retirado del horno a 210 F y dejado enfriarse a la temperaturaambiente, 70 F. Despus de 30 minutos, la temperatura del pastel es de 140F. Cundo estar a 100 F?
Solucin:
Primero extraemos los datos del ejercicio
?100)(
140)min30(
210
70
0
!r!
r!
r!
r!
tFtT
FtT
FT
FTm
!!!
!!
).()70()70(
.)70(
)70.().(
ctkTLndtkT
dTdtk
T
dT
Tkdt
dTTmTk
dt
dT
-
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70..70
)70( )70(
!!
!!
ktkt
ktTLn
eBTBeT
eeAktTLn
ttLnt
eeFtT
eTk
LnkeeFT
eTBeBFT
tt
t
kk
tkk
min67)140
30(.023,0
140
3070.140100100)(
70.140023,0
)21(30
1407070.140140140)30(
70.14014070.210210
.023,0.023,0
.023,0
3030.
.0.0
!!
!!r!
!!
!!!r!
!!!r!
El pastel estar a 100F despus de 67 mint
Propagacin de enfermedades. Crecimiento Biolgico o Poblacional
La relacin es poblacin con respecto al tiempo: )(. tPkdt
dP!
Donde se involucran:P Poblacin.k Constantet Tiempo.
i) Si 0"k la poblacin crece con respecto al tiempo.ii) Si 0k la poblacin decrece.
Ejemplo:La poblacin de una comunidad crece a razn proporcional a la poblacin encualquier momento t. Su poblacin inicial es de 500 y aumenta 15% en 10aos. Cul ser la poblacin en 30 aos?
Solucin:
Primero extraemos los datos del ejerciciohabP 5000 !
habPaost 5757550010 !!! ?)30( !aosP
-
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!!!! dtkP
dPdtPkdPPk
dt
dPtPk
dt
dP...)(.
761.500?)30(
.500014,0
500
575.500575575)10(
.500500.500500
.).()(
)30.(014,0
.014,0
1010.
0.0
!!!
!!
!!!
!!!!
!!!
ePP
ePk
eeP
ePBBeP
BePePctkPLn
t
kk
ktk
ktAkt
La poblacin dentro de 30 aos ser de 761 habitantes
Mezclas
La relacin es cantidad de concentracin de la mezcla con respecto al tiempo:
XtV
rcr
dt
dX oii .
)(. !
Donde se involucran:X(t) Cantidad de concentracin.
)(tV Volumen de concentracin. trrt oio ).()( !
o Volumen inicial.
ir Entrada de fluido.
or Salida de fluido.
ic Concentracin.
Ejemplo:
ir
or
-
8/9/2019 Intro, Cap1
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Un tanque contiene 100 litros (L) de una solucin de agua y sal, que consta de10 Kg de sal disueltos en agua. Se bombea dentro del tanque a razn de 6L/min una solucin que contiene Kg de sal por cada litro de agua, se extraea una razn de 4 L/min. Hallar la cantidad de sal que hay en el tanque encada instante t?
Solucin:Primero extraemos los datos del ejercicio
)(t Volumen de concentracin. ttt 2100).46(100)( !! 100!oV
min/6Lri ! min/4Lro !
LKgci /2/1!
350
2
50
.23
2100.43
2100.42/1.6.
)(.
!
!
!!!
t
X
dt
dX
t
X
dt
dX
t
X
dtdX
t
X
dtdX
XtVrcr
dtdX
oii
? A
2442
22
3222
22)50()50(250
2
)50.(10*10)50()(10*10)50.(5010
)050.()050(10)50.()50()(
))50.(()50()50.(3.)50(
)50()(
!!!!!
!!
!!!
!
tttXcc
ctcttX
cttXdtttX
teeetutLntLn
dtt
La funcin resultante nos da la ecuacin que permite calcular la cantidad de salque hay en el tanque en cualquier instante t.
Inters Compuesto
La relacin es Cantidad de dinero con respecto al tiempo:
rtSrdt
dS)(.! tasa de inters
Ejemplo:
Se deposita una suma de dinero 0S en una cuenta bancaria que paga inters
a una tasa anual r (con capitalizacin continua). Hallar el valor de r que produceuna duplicacin del capital inicial transcurrido 7 aos.
Solucin:
-
8/9/2019 Intro, Cap1
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!!!! ).()(... ctrSLndtrS
dSdtr
S
dSSr
dt
dS
%.10
10,0.7)2(2..27
.
.
.77.00
00.
00
.
!
!!!!!
!!
!
r
rrLneeSSaost
SBeBSS
eBS
rr
r
tr
El inters ser del 10% transcurrido 7 aos al haber duplicado el capital inicial.
1.13.1 EJERCICIOS:
a. En cualquier tiempo t la cantidad de bacterias en un cultivo crece a raznproporcional al nmero de bacterias presentes. Al cabo de tres horas se
observa que hay 400 individuos. Despus de 10 horas hay 2000 especimenes.Cul era la cantidad de bacterias inicial?
b. Un termmetro se lleva del interior de una habitacin al exterior, donde latemperatura del aire es 5 F. Despus de un minuto, el termmetro indi ca 55F; 5 minutos despus marca 30 F. Cul era la temperatura del interior?
c. Si una barra metlica pequea, cuya temperatura inicial es de 20 C, se dejacaer en un recipiente con agua hirviente con una temperatura de 120C,Cunto tiempo tardar en alcanzar 90 C si se sabe que su temperaturaaument 2 C en un segundo? Cunto tiempo tardar en llegar a 98 C?
d. Un cultivo bacterial se multiplica en cada instante t (medido en horas) conrapidez proporcional al nmero de bacterias presentes en dich o instante. Si alcabo de una hora el cultivo aument 50%, calcule el tiempo necesario para queel cultivo se quintuplique.
e. Se disuelve inicialmente 50 libras (lb) de sal en un gran tanque que contiene300 galones (gal) de agua. Se bombea salmuera al t anque a razn de 3gal/min; y luego la solucin adecuadamente mezclada se bombea fuera deltanque tambin a razn de 3 gal/min. Si la concentracin de la solucin queentra es de 2 lb/gal, determine la cantidad de sal que hay en el tanque en uninstante cualquiera. Cunta sal hay despus de 50 min? Cuanta despus deun tiempo largo?
f. En una cuenta de ahorros se depositan 5000 Bsf a un inters compuesto, quese capitaliza continuamente, del 5 % anual. Calcule la cantidad de dineroacumulada despus de 5 aos. En cuantos aos se duplicar la sumadepositada inicialmente?