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1
INGENIERÍA ECONÓMICA Y FINANZAS
Interés Compuesto
PEDRO PRADA VEGA
2012 - I
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2
Interés Compuesto
niVAVF )1(
)1(...)1()1()1( iiiiVAVF
1)1( iVA 2)1( iVA 3)1( iVA )1()1( iiVA )1()1( 2 iiVA )1()1( 1 iiVA n
iVAVA iiVAiVA )1()1( iiVAiVA 22 )1()1( iiVAiVA nn 11 )1()1( iVA iiVA )1( iiVA 2)1( iiVA n 1)1(
(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) 1 2 3 4 ......… n-1 n VA
i por periodo
niVAVF )1(
VAVFI VAiVAI n )1( 1)1( niVAItambién:
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3
Tasa Nominal y Tasa Proporcional
• Tasa Nominal (j)
• Tasa Proporcional (i)
%100m
ji
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4
Valor Futuro y Valor Actual con Tasa Constante
Actualización
niVAVF )1(
(1+i) (1+i) (1+i) (1+) (1+i) 1 2 3 4 ……… n-1 n
i
ni
VFVA
)1(
Capitalización
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5
Valor Futuro en el Interés Compuesto con Tasa Constante
IVAVF
1)1( niVAVAVF
niVAVF )1(
)1(...)1()1()1( iiiiVAVF
niVAVF )1(
o también:
n factores
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6
Valor Actual en el Interés Compuesto con Tasa Constante
IVAVF
IVFVA 1)1( niVAVFVA
ni
VFVA
)1(
)1(...)1()1()1( iiii
VFVA
ni
VFVA
)1(
o también:
n factores
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7
Interés con Valor Futuro y Tasa Constante
IVAVF VAVFI
ni
VFVFI
)1(
ni
VFVFI
)1(1
Por lo tanto, reemplazando y despejando convenientemente:
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8
Interés con Valor Actual Constante y Tasa Constante
1
1
n
VA
VFi
IVAVF VAVFI
Por lo tanto, reemplazando y despejando convenientemente:
VAiVAI n )1( 1)1( niVAI
Tasa de Interés (i) y el Tiempo (n)
)1( iLog
VA
VFLog
n
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9
Tasa Efectiva (ie)
niVAVF )1(
(1+i) (1+i) (1+i) (1+i)
1 2 3 ……… n VA ie
%100
VA
VAVFi
%100)1(
VA
VAiVAi
n
e %1001)1( n
e ii
Por lo tanto, reemplazando y despejando convenientemente:
por periodo
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10
Tasa Equivalente (ieq)
qe
peq ii )1()1(
%1001)1(
p
q
eeq ii por periodo
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Interés Devengado entre Periodos con Tasa Constante
(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i)
0 k-1 k ………………… z n VA i por período
11 )1(
kk iVAVF z
z iVAVF )1(
1 kzkz VFVFI 1)1()1( kz
kz iVAiVAI
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Valor Futuro de un Valor Actual Variable con Tasa Constante
• En este caso el capital inicial varía durante el plazo de la operación financiera, es decir, se producen ingresos o egresos en referencia al capital inicial período a período, la variación del capital corresponde a la capitalización de intereses a la tasa constante cuando se produce un ingreso o un egreso.
• Para solucionar esta situación se fracciona la operación financiera en tramos, durante los cuales el valor actual y la tasa permanezcan constantes, es decir se hace un corte cuando se produzca un ingreso o un egreso y se resuelve como en los casos anteriores.
• También puede hallarse el valor futuro calculando el valor futuro de los ingresos y restándole el valor futuro de los egresos, a la correspondiente tasa de interés.
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13
Valor Futuro y Valor Actual con Tasa Variable
VF (1+i1) ….. (1+i1) (1+i2) ….. (1+i2) (1+i3) ….. (1+i3) ….. (1+ik) ….. (1+ik)
0 VA …...
1i 2i 3i ki
1n 2n 3n kn
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Valor Futuro y Valor Actual con Tasa Variable
• Valor Futuro de un Valor Actual Constante con Tasa Variable
• Valor Actual de un Valor Futuro con Tasa Variable
knk
nnn iiiiVAVF )1(.....)1()1()1( 321321
knk
nnn iiii
VFVA
)1(.....)1()1()1( 321321
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Valor Futuro y Valor Actual con Tasa Variable
• Interés con Valor Actual Constante y Tasa Variable
• Interés con Valor Futuro y Tasa Variable
IVAVF
VAVFI
VAiiiiVAI knk
nnn )1(.....)1()1()1( 321321
1)1(.....)1()1()1( 321321 kn
knnn iiiiVAI
knk
nnn iiiiVFI
)1(.....)1()1()1(
11
321321
knk
nnn iiii
VFVFI
)1(.....)1()1()1( 321321
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Valor Futuro de un Valor Actual Variable con Tasa Variable
• En este caso el capital inicial varía durante el plazo de la operación financiera, es decir, se producen ingresos o egresos en referencia al capital inicial período a período, la variación del capital corresponde a la capitalización de intereses a las tasas variables y cuando se produce un ingreso o un egreso.
• Para solucionar esta situación se fracciona la operación financiera en tramos, durante los cuales el valor actual y la tasa permanezcan constantes, es decir se hace un corte cuando se produzca un ingreso, o un egreso o un cambio en la tasa de interés y se resuelve como en los casos anteriores.
• También puede hallarse el valor futuro calculando el valor futuro de los ingresos y restándole el valor futuro de los egresos, a las correspondientes tasas de interés.
Interés Devengado entre Periodos con Tasa Variable• Para determinar el interés devengado entre el periodo z-ésimo y el
periodo k-ésimo del horizonte temporal se debe restar el VFz del VFk-1 calculados a sus correspondientes tasa de interés.
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Ecuaciones de Valor Equivalente a Interés Compuesto • En el interés compuesto un flujo de ingresos y un flujo de
egresos ubicados en diferentes períodos de un horizonte temporal son equivalentes, si a una fecha determinada o fecha focal, sus respectivos valores actualizados, capitalizados, o uno actualizado y otro capitalizado; aplicando en todos los casos la misma tasa de interés, son iguales.
• VA(Ingresos) = VA(Egresos)• VF(Ingresos) = VF(Egresos)
• Propiedades– Si un flujo de ingresos y un flujo de egresos son
equivalentes en una determinada fecha focal o de evaluación, también lo serán en cualquier otra fecha focal.
– Si un flujo de ingresos y un flujo de egresos no son equivalentes en una determinada fecha focal o de evaluación, tampoco lo serán en cualquier otra fecha focal.
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Tasas de Interés en el Sistema Financiero Peruano
• Según el balance bancario: Activa (MN y ME) y Pasiva (MN y ME)
• Según el momento de cobro de intereses: Vencida y Adelantada.
• De acuerdo al cumplimiento de la obligación. Compensatoria y Moratoria.
• De acuerdo a su anuncio en la operación financiera: Explícita e Implícita.
• Para operaciones no financieras: Legal.