SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA INDUSTRIAL CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLOGICO industrial y de servicios No. 209
INTEGRALES INDEFINIDAS INMEDIATAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Por: M. C. Arturo Vázquez Córdova
RECUPERACION DE CONOCIMIENTOS PREVIOS Ecuaciones cuadráticas Completando el cuadrado C de un trinomio cuadrado perfecto de una ecuación cuadrática de la forma x2 + bx + c, cuando c no es un término cuadrático Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma:
x2 + bx + c Regla para hallar el último término de x2 + bx + c El último término de un trinomio cuadrado perfecto (con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son:
𝑥2 + bx + (𝑏2
)2 – (𝑏2)2 +c ec. (1)
Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación. Para su estudio se presentan los siguientes casos:
Caso 1: Cuando a=1: Ejemplo: Completar el trinomio cuadrado perfecto de la siguiente ecuación cuadrática:
X2 + 2x - 3=0
Sean los coeficientes: a =1 b = 2 c = 3 Análisis: X2 +2x -3=0 Completando el trinomio cuadrado perfecto, aplicando el modelo matemático o ec. (1), se obtiene:
X2 +2x + (22)2 - (2
2)2 – 3 = 0
X2 +2x + 1 – 1 - 3 = 0
Aplicando la propiedad asociativa y agrupando términos para obtener un trinomio cuadrado perfecto y la suma de dos términos independientes, resolviendo la ecuación cuadrática resulta:
Suma de términos independientes
(X2 +2x + 1) – 1 - 3 = 0
Trinomio cuadrado perfecto
(x +1)2 - 4 = 0 u2 + a2 = 0
a=1 ⇒ √1 = 1: es un factor cuadrático
c=3 ⇒ √3 , no es un término cuadrático
Comprobación (x +1)2 - 4 = 0
X2 +2x +1- 4 = 0 X2 +2x – 3 = 0
Caso 2: Cuando a≠1 Ejemplo: Completa el trinomio cuadrado perfecto de la siguiente ecuación cuadrática.
4x2 + 4x + 5 = 0
Análisis:
4x2 + 4x + 5 = 0 c = 5 ⇒ √5 ; no es un factor cuadrático Factorizando la ecuación cuadrática. Resulta:
4(x2 + x + 54) = 0
Completando el trinomio cuadrado perfecto, aplicando el modelo matemático o ec. (1), se obtiene:
4[x2 + x + �12�2 - �1
2�2 + 5
4] = 0
Aplicando la propiedad asociativa y agrupando términos para obtener un trinomio cuadrado perfecto y la suma de dos términos independientes, resolviendo la ecuación cuadrática resulta:
4[x2 + x + 14 - 1
4 + 5
4] = 0
4[(x2 + x + 𝟏
𝟒 ) - 1
4 + 5
4] = 0
4[�𝑥 + 12�2 - 1
4 + 5
4] = 0
4[(2x + 1)2 + 44 ]= 0
4(2x + 1)2 + 4�44� = 0
4(2x + 1)2 + 4 = 0
u2 + a2
a= 4 ⇒ √4 = 2; es un factor cuadrático
Actividad de aprendizaje Instrucción: resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el cuadrado: 1) x2 + 6x + 7 = 0 2) x2 – 10x + 5 = 0 3) 2x2 - 3x - 4 = 0
INTEGRALES INDEFINIDAS INMEDIATAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Integral inmediata de la forma ∫ 𝒅𝒖𝒖𝟐 +𝒂𝟐.
Fórmula
∫ 𝒅𝒖𝒖𝟐+𝒂𝟐
= 𝟏𝒂
arctan ua +C = 1
𝑎𝑇𝑎𝑛−1 𝑢
𝑎+ 𝐶
Ejemplo: Integrar la expresión ∫ 2𝑑𝑥
4𝑥2+ 4x +5.
Solución Factorizando la ecuación cuadrática del denominador del integrando y completando el trinomio cuadrado perfecto, se obtiene: ∫ 2𝑑𝑥
4𝑥2+ 4x +5 = ∫ 2𝑑𝑥
𝟒(𝒙𝟐 + 𝒙+54) =∫ 2𝑑𝑥
𝟒(𝒙𝟐 + 𝒙+(𝟏𝟐)𝟐−(122
)+54) = ∫ 2𝑑𝑥
𝟒[(𝒙𝟐 + 𝒙+𝟏𝟒)−14+54]
= ∫ 2𝑑𝑥
𝟒[�𝒙+𝟏𝟐)𝟐�−14+54]
∫ 2𝑑𝑥
𝟒[�𝒙+𝟏𝟐)𝟐�+44] = ∫ 2𝑑𝑥
𝟒�𝒙+𝟏𝟐)𝟐�+4
u2 + a2
Análisis u2 = 4(x + 1
2)2 a2 = 4
u = 2(x + 12) a = 2
du = d[2(x + 12)] = d(2x) + d(1
2)= 2dx +0 = 2dx
Fórmula ∫ 𝒅𝒖𝒖𝟐+ 𝒂𝟐 = 𝟏
𝒂arctan u
a + C = 1
𝑎𝑇𝑎𝑛−1 𝑢
𝑎+ 𝐶
Resolución
∫ 2𝑑𝑥4𝑥2+ 4x +5
= 12𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
2�𝑥+12�
2 = 1
2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 �𝑥 + 1
2� = 1
2𝑇𝑎𝑛−1 �𝑥 + 1
2� +C