Download - integrales impropias
UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA MATEMATICA II
UNIDAD II INTEGRALES IMPROPIAS
Hasta ahora hemos estudiado integrales definidas sobre un intervalo cerrado [a, b] En este tema estudiaremos integrales de funciones continuas sobre intervalos semiabiertos ]a, b], [a, b[, sobre un intervalo abierto ]a, b[, sobre los intervalos [a , +∞[ , ]−∞
, b], ]−∞,+∞[ y sobre un intervalo [a, b] en el que tiene puntos de discontinuidad . Dichas integrales se conocen con el nombre de INTEGRALES IMPROPÌASEjemplos de integrales impropias
1. ∫1
∞dx
x2(x+1)
Es una integral impropia por que el límite superior es tiende al +∞ y la función
integrando f(x) = 1
x2(x+1) es continua en [1, +∞[
2. ∫−∞
∞dx
(x2+1)2
Es una integral impropia por que los limites inferior y superior tienden al −∞ y+∞,
respectivamente y la función integrando f(x) = 1
(x2+1)2 es continua en el intervalo ]
−∞ ,+∞ ¿.
3. ∫a
bxdx
√(x−a)(b−x ) , (a¿b¿
No está definida en x=a y en x=b pero es continua en en el intervalo ]a,b[, a<b.
Definición.- Decimosque la integral ∫a
b
f ( x )d x es IMPROPIA si:
1) “a” o “b” es infinito.2) La función integrando f(x) tiene puntos de discontinudad en “a” o en “b” o en alguna
parte “c” tal que a<c<b.
Si la integral impropia ∫a
b
f (x )dx resulta un número real, diremos que es
CONVERGENTE
Si la integral impropia ∫a
b
f (x )dx resulta +∞ó−∞, diremos es DIVERGENTE
Solo estudiaremos las integrales impropias de primera clase (tipo I). A continuación se da un resumen de las integrales impropias de las dos clases.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
INTEGRALES IMPROPIAS DE TIPO I
Definición.-
1. Si f(x) es continúa en 0≤x¿+∞, se define: ∫a
∞
f ( x )dx= limb→+∞
∫a
b
f ( x )dx
Ejemplo:
∫0
+∞
e−ax dx = limb→+∞
∫0
b
e−axdx , a > 0
= limb→+∞
¿]b0
= −1a
limb→+∞
¿[e−ab−e0]
= -1a
limb→+∞
¿[1
eab -1]
= −1a [0-1] =
1a
2. Si f(x) es continúa en −∞≤x¿b, se define: ∫−∞
b
f ( x )dx= lima→−∞
∫a
b
f ( x )dx
Ejemplo:
∫−∞
0xdx
(x2+1)5/2 = limb→∞
∫b
0xdx
(x2+1)5 /2
integremos aparte en formaindefinida :
∫❑
❑xdx
(x2+1)5/2 ….(∝ ¿ u=x2+1
du = 2xdx → du = xdx2
en (∝ ¿
12∫❑
❑du
u5/2 = 12∫❑
❑
u−5 /2du = 12[u
−52
+1
−52
+1] =
12[ u
−3 /2
−3/2]=−12.23u−3 /2
=- 13u−3 /2 =
−1
3(x2+1)3 /2
Entonces:
limb→∞
∫b
0xdx
(x2+1)5 /2 = limb→∞[ −1
3 (x2+1 )32
]|0blimb→∞
∫b
0xdx
(x2+1)5 /2 = limb→∞¿[
−13 +
1
3 (b2+1 )32]=
−13 +
1
3 (∞2+1 )32 =
−13 +
1∞
limb→∞
∫b
0xdx
(x2+1)5 /2 = −13
+0 = −13
PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE
Calcule la convergencia o divergencia de las siguientes integrales del tipo I
1. ∫−∞
1x
(x2+9)2dx Rpta.- 120
2. ∫−∞
+∞dx
x2+2 x+2 Rpta. π
3. ∫1
+∞ √x(1+x)2dx Rpta. π4 + 1
2
4. ∫5
∞dxx ln2 x
Rpta. 0
5. ∫−∞
+∞
e−|x|dx Rpta. 2
6. ∫1
+∞dx
x (x+1) Rpta. ln2
7. ∫1
∞
x e−xdx Rpta. 2e
8. ∫0
∞dxx2+4
Rpta. π4
Tacna, 18 de marzo del 2015 Docente: Ingº Luis Nina Ponce
7. ∫1
∞
x e−xdx
