![Page 1: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/1.jpg)
Iluminando galerías de arte en 3D
Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia
XVIII Coloquio Víctor Neumann-Lara de Teoría de Gráficas, Combinatoria y sus Aplicaciones, 2013
martes 12 de marzo de 2013
![Page 2: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/2.jpg)
Problema de la galería de arte
¿Cuántos focos son suficientes y a veces necesarios para iluminar el interior de una galería de arte?
martes 12 de marzo de 2013
![Page 3: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/3.jpg)
Problema de la galería de arte
¿Cuántos focos son suficientes y a veces necesarios para iluminar el interior de una galería de arte?
martes 12 de marzo de 2013
![Page 4: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/4.jpg)
Problema de la galería de arte
¿Cuántos focos son suficientes y a veces necesarios para iluminar el interior de una galería de arte?
martes 12 de marzo de 2013
![Page 5: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/5.jpg)
Problema de la galería de arte
¿Cuántos focos son suficientes y a veces necesarios para iluminar el interior de una galería de arte?
martes 12 de marzo de 2013
![Page 6: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/6.jpg)
�n
3�
Problema de la galería de arte
¿Cuántos focos son suficientes y a veces necesarios para iluminar el interior de una galería de arte?
martes 12 de marzo de 2013
![Page 7: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/7.jpg)
Iluminando poliedros¿Cuántos focos son suficientes y a veces necesarios para
iluminar el interior de una galería de arte, en 3-D?
martes 12 de marzo de 2013
![Page 8: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/8.jpg)
Iluminando poliedros
¡¡No siempre se puede con vértices, y a veces puntos son necesarios!!
ω(n)
¿Cuántos focos son suficientes y a veces necesarios para iluminar el interior de una galería de arte, en 3-D?
martes 12 de marzo de 2013
![Page 9: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/9.jpg)
Los vértices no son suficientes
martes 12 de marzo de 2013
![Page 10: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/10.jpg)
Los vértices no son suficientes
martes 12 de marzo de 2013
![Page 11: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/11.jpg)
Los vértices no son suficientes
martes 12 de marzo de 2013
![Page 12: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/12.jpg)
Los vértices no son suficientes
martes 12 de marzo de 2013
![Page 13: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/13.jpg)
Los vértices no son suficientes
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![Page 14: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/14.jpg)
Los vértices no son suficientes
martes 12 de marzo de 2013
![Page 15: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/15.jpg)
¡¡Mejor lámparas ahorradoras!!
(lámparas-arista)
martes 12 de marzo de 2013
![Page 16: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/16.jpg)
¡¡Mejor lámparas ahorradoras!!
(lámparas-arista)
martes 12 de marzo de 2013
![Page 17: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/17.jpg)
¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?
martes 12 de marzo de 2013
![Page 18: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/18.jpg)
¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?
Es fácil probar una cota superior de lámparas-arista, donde es el número de aristas.
m−O(1)m
martes 12 de marzo de 2013
![Page 19: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/19.jpg)
¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?
Es fácil probar una cota superior de lámparas-arista, donde es el número de aristas.
m−O(1)m
En 1998 Jorge se preguntó si era posible iluminar un poliedro usando lámparas-arista, concm c < 1
martes 12 de marzo de 2013
![Page 20: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/20.jpg)
¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?
Es fácil probar una cota superior de lámparas-arista, donde es el número de aristas.
m−O(1)m
En 1998 Jorge se preguntó si era posible iluminar un poliedro usando lámparas-arista, concm c < 1
Por fin, pudimos contestar que sí es posible...
martes 12 de marzo de 2013
![Page 21: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/21.jpg)
¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?
La estrategia:
martes 12 de marzo de 2013
![Page 22: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/22.jpg)
¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?
La estrategia:
Primero, encontramos un conjunto de aristas que cubra todos los vértices
E1
martes 12 de marzo de 2013
![Page 23: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/23.jpg)
¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?
La estrategia:
Primero, encontramos un conjunto de aristas que cubra todos los vértices
Después, partimos el resto de aristas en 4 clases, tales que cualquier punto del poliedro que no vea ningún vértice ve
al menos 2 aristas en clases distintas. Tomamos las tres clases más pequeñas.
E1
martes 12 de marzo de 2013
![Page 24: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/24.jpg)
¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?
La estrategia:
Primero, encontramos un conjunto de aristas que cubra todos los vértices
Después, partimos el resto de aristas en 4 clases, tales que cualquier punto del poliedro que no vea ningún vértice ve
al menos 2 aristas en clases distintas. Tomamos las tres clases más pequeñas.
E1
Usamos: |E1| +34(m− |E1|) =
3m + |E1|4
lámparas
martes 12 de marzo de 2013
![Page 25: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/25.jpg)
Cubriendo los vértices
martes 12 de marzo de 2013
![Page 26: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/26.jpg)
Cubriendo los vérticesUn cubrimiento mínimo con aristas de los vértices,
contiene un emparejamiento maximal y una arista por cada vértice que no cubre .
MM
martes 12 de marzo de 2013
![Page 27: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/27.jpg)
Cubriendo los vérticesUn cubrimiento mínimo con aristas de los vértices,
contiene un emparejamiento maximal y una arista por cada vértice que no cubre .
MM
(Edmonds-Gallai) Si es un emparajemiento maximal de , entonces existe un subconjunto de vértices con las propiedades siguientes:
MU
G
martes 12 de marzo de 2013
![Page 28: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/28.jpg)
Cubriendo los vérticesUn cubrimiento mínimo con aristas de los vértices,
contiene un emparejamiento maximal y una arista por cada vértice que no cubre .
MM
(Edmonds-Gallai) Si es un emparajemiento maximal de , entonces existe un subconjunto de vértices con las propiedades siguientes:
- tiene un emparejamiento perfecto de la componenetes pares de .- tiene un emparejamiento casi perfecto de las componentes impares de .- empareja a todos los vértices de U con vértices en componentes impares de .
M
M
M
M
UG
G[V \ U ]
G[V \ U ]
G[V \ U ]martes 12 de marzo de 2013
![Page 29: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/29.jpg)
Cubriendo los vértices
El -esqueleto de un poliedro será una gráfica en la que toda componente es 3-conexa.
1
martes 12 de marzo de 2013
![Page 30: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/30.jpg)
Cubriendo los vértices
El -esqueleto de un poliedro será una gráfica en la que toda componente es 3-conexa.
¡Veamos qué podemos hacer para gráficas 3-conexas!
1
martes 12 de marzo de 2013
![Page 31: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/31.jpg)
Cubriendo los vértices
martes 12 de marzo de 2013
![Page 32: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/32.jpg)
Cubriendo los vérticesSi entonces es un emparejamiento casi perfecto
de con aristas, y con una más obtenemos un cubrimiento con aristas.
U = ∅ MG
�|V |2
�
�|V |2
�
martes 12 de marzo de 2013
![Page 33: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/33.jpg)
Cubriendo los vérticesSi entonces es un emparejamiento casi perfecto
de con aristas, y con una más obtenemos un cubrimiento con aristas.
Pero queremos hacer las cuentas en términos del número de aristas de .
U = ∅ MG
�|V |2
�
�|V |2
�
G
martes 12 de marzo de 2013
![Page 34: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/34.jpg)
Cubriendo los vérticesSi entonces es un emparejamiento casi perfecto
de con aristas, y con una más obtenemos un cubrimiento con aristas.
Pero queremos hacer las cuentas en términos del número de aristas de .
es 3-conexa así que tiene grado mínimo 3, por lo que tenemos , así que nuestro cubrimiento tiene a
lo más aristas.
U = ∅ MG
�|V |2
�
�|V |2
�
G
Gm ≥ 3|V |/2
(m + 1)/3
martes 12 de marzo de 2013
![Page 35: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/35.jpg)
Cubriendo los vérticesU
Componentes pares Componentes impares
G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk
martes 12 de marzo de 2013
![Page 36: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/36.jpg)
Cubriendo los vérticesU
Componentes pares Componentes impares
Sean las aristas con al menos un extremo en .
G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk
Ei G
martes 12 de marzo de 2013
![Page 37: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/37.jpg)
Cubriendo los vérticesU
Componentes pares Componentes impares
Sean las aristas con al menos un extremo en .
Tenemos .
G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk
Ei G
|Ei| ≥ 3(|Vi| + 1)/2
martes 12 de marzo de 2013
![Page 38: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/38.jpg)
Cubriendo los vérticesU
Componentes pares Componentes impares
G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk
martes 12 de marzo de 2013
![Page 39: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/39.jpg)
Cubriendo los vérticesU
Componentes pares Componentes impares
Tenemos un emparejamiento perfecto acá
G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk
martes 12 de marzo de 2013
![Page 40: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/40.jpg)
Cubriendo los vérticesU
Componentes pares Componentes impares
Tenemos un emparejamiento perfecto acáEntonces cubrimos sus vértices con la tercera parte de aristas
G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk
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![Page 41: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/41.jpg)
Cubriendo los vérticesU
Componentes pares Componentes impares
G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk
martes 12 de marzo de 2013
![Page 42: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/42.jpg)
Cubriendo los vérticesU
Componentes pares Componentes impares
Acá tenemos uno casi perfecto
G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk
martes 12 de marzo de 2013
![Page 43: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/43.jpg)
Cubriendo los vérticesU
Componentes pares Componentes impares
Acá tenemos uno casi perfecto
Para el vértice sin emparejar agregamos una arista más (¡si es adyacente a uno en mejor!).
G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk
U
martes 12 de marzo de 2013
![Page 44: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/44.jpg)
Cubriendo los vérticesU
Componentes pares Componentes impares
Haciendo cuentas, ¡no usamos más de la tercera parte de las aristas!
G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk
martes 12 de marzo de 2013
![Page 45: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/45.jpg)
Cubriendo los vérticesU
Componentes pares Componentes impares
Haciendo cuentas, ¡no usamos más de la tercera parte de las aristas!
G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk
�m + 13
�
martes 12 de marzo de 2013
![Page 46: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/46.jpg)
Cubriendo los vérticesU
Componentes pares Componentes impares
Si G no es conexa, podemos llegar a que en el peor caso usaríamos aristas.
G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk
3m/8
martes 12 de marzo de 2013
![Page 47: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/47.jpg)
Cubriendo los vérticesU
Componentes pares Componentes impares
Ahora tenemos iluminado a cada punto del poliedro que ve algún vértice. ¡Veamos qué hacer con el resto!
G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk
martes 12 de marzo de 2013
![Page 48: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/48.jpg)
Las cuatro clases
x
y
z
martes 12 de marzo de 2013
![Page 49: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/49.jpg)
Las cuatro clases
x
y
z
Arista derechamartes 12 de marzo de 2013
![Page 50: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/50.jpg)
Las cuatro clases
x
y
z
martes 12 de marzo de 2013
![Page 51: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/51.jpg)
Las cuatro clases
x
y
z
Arista izquierdamartes 12 de marzo de 2013
![Page 52: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/52.jpg)
Las cuatro clases
x
y
z
martes 12 de marzo de 2013
![Page 53: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/53.jpg)
Las cuatro clases
x
y
z
martes 12 de marzo de 2013
![Page 54: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/54.jpg)
Las cuatro clases
x
y
z
Arista techo
Interior
martes 12 de marzo de 2013
![Page 55: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/55.jpg)
Las cuatro clases
x
y
z
martes 12 de marzo de 2013
![Page 56: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/56.jpg)
Las cuatro clases
x
y
z
Arista piso
Interior
martes 12 de marzo de 2013
![Page 57: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/57.jpg)
Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas izquierdas (igual derechas)
x
y
z
martes 12 de marzo de 2013
![Page 58: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/58.jpg)
Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas izquierdas (igual derechas)
x
y
martes 12 de marzo de 2013
![Page 59: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/59.jpg)
Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas izquierdas (igual derechas)
x
y
martes 12 de marzo de 2013
![Page 60: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/60.jpg)
Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas izquierdas (igual derechas)
x
y
martes 12 de marzo de 2013
![Page 61: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/61.jpg)
Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas izquierdas (igual derechas)
x
y
Qa
martes 12 de marzo de 2013
![Page 62: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/62.jpg)
Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas izquierdas (igual derechas)
x
y
Qa
martes 12 de marzo de 2013
![Page 63: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/63.jpg)
Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas izquierdas (igual derechas)
x
y
Qa
martes 12 de marzo de 2013
![Page 64: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/64.jpg)
Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas izquierdas (igual derechas)
x
y
Qa
martes 12 de marzo de 2013
![Page 65: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/65.jpg)
Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)
x
y
z
martes 12 de marzo de 2013
![Page 66: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/66.jpg)
Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)
x
y
z
Cortina
martes 12 de marzo de 2013
![Page 67: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/67.jpg)
Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)
x
y
z
Cortina
martes 12 de marzo de 2013
![Page 68: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/68.jpg)
Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)
x
y
z
Cortina
martes 12 de marzo de 2013
![Page 69: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/69.jpg)
Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)
x
y
z
Cortina
martes 12 de marzo de 2013
![Page 70: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/70.jpg)
Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)
x
y
z
Cortina
martes 12 de marzo de 2013
![Page 71: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/71.jpg)
Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)
x
y
z
Cortina
martes 12 de marzo de 2013
![Page 72: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/72.jpg)
Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)
x
y
z
Cortina
martes 12 de marzo de 2013
![Page 73: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/73.jpg)
Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)
x
y
z
martes 12 de marzo de 2013
![Page 74: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/74.jpg)
Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)
x
y
z
martes 12 de marzo de 2013
![Page 75: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/75.jpg)
Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)
x
y
z
martes 12 de marzo de 2013
![Page 76: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/76.jpg)
Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)
x
y
z
martes 12 de marzo de 2013
![Page 77: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/77.jpg)
Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)
x
y
z
martes 12 de marzo de 2013
![Page 78: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/78.jpg)
Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)
x
y
z
martes 12 de marzo de 2013
![Page 79: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/79.jpg)
¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?
La estrategia:
martes 12 de marzo de 2013
![Page 80: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/80.jpg)
¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?
La estrategia:
Primero, encontramos un conjunto de aristas que cubra todos los vértices
E1
martes 12 de marzo de 2013
![Page 81: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/81.jpg)
¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?
La estrategia:
Primero, encontramos un conjunto de aristas que cubra todos los vértices
Después, partimos el resto de aristas en 4 clases, tales que cualquier punto del poliedro que no vea ningún vértice ve
al menos 2 aristas en clases distintas. Tomamos las tres clases más pequeñas.
E1
martes 12 de marzo de 2013
![Page 82: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/82.jpg)
¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?
La estrategia:
Primero, encontramos un conjunto de aristas que cubra todos los vértices
Después, partimos el resto de aristas en 4 clases, tales que cualquier punto del poliedro que no vea ningún vértice ve
al menos 2 aristas en clases distintas. Tomamos las tres clases más pequeñas.
E1
Usamos: |E1| +34(m− |E1|) =
3m + |E1|4
lámparas
martes 12 de marzo de 2013
![Page 83: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/83.jpg)
¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?
martes 12 de marzo de 2013
![Page 84: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/84.jpg)
¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?
Podemos iluminar el interior de cualquier poliedro usando más o menos lámparas aristas.27m/32
martes 12 de marzo de 2013
![Page 85: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022042713/5faea1570874c2214302c8f8/html5/thumbnails/85.jpg)
¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?
Podemos iluminar el interior de cualquier poliedro usando más o menos lámparas aristas.
Si el -esqueleto fuera conexo, con lámparas arista sería suficiente.
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martes 12 de marzo de 2013
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¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?
Podemos iluminar el interior de cualquier poliedro usando más o menos lámparas aristas.
Si el -esqueleto fuera conexo, con lámparas arista sería suficiente.
No hacemos ninguna suposición sobre el género del poliedro...
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martes 12 de marzo de 2013
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¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?
Podemos iluminar el interior de cualquier poliedro usando más o menos lámparas aristas.
Si el -esqueleto fuera conexo, con lámparas arista sería suficiente.
No hacemos ninguna suposición sobre el género del poliedro...
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Sin embargo, la cota sigue bastante holgada, la mejor cota inferior la da un poliedro que necesita lámparas arista.�m
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