MEMORIAS DEL XXIV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 19 al 21 DE SEPTIEMBRE DE 2018 CAMPECHE, CAMPECHE, MÉXICO
Tema A1a. Diseño Mecánico: Rotodinámica.
Identificación algebraica de parámetros de desbalance de un sistema rotor asimétrico -cojinete de 2 GDL.
Luis A. Baltazar Tadeoa,*, Joel Morales Pereza, Saulo J. Landa Damasa, Benjamín González
Vizcarrab, Miriam Siqueiros Hernándezb, Jorge Colín Ocampoa, Andrés Blanco Ortegaa.
a Departamento de Ingeniería Mecánica, CENIDET, Interior Internado Palmira, s/n, Cuernavaca, Morelos, 62490, México. bEscuela de Ciencias de la Ingeniería y Tecnología /Universidad Autonoma de Baja California ,Blvd. Universitario #1000. Unidad Valle de las palmas.
Tijuana, Baja California, Mexico.
*Autor contacto. Dirección de correo electrónico: [email protected].
R E S U M E N
En este trabajo se propone un modelo matemático para la identificación algebraica en línea del parámetro del desbalance
en un rotor asimétrico de dos grados de libertad a velocidad constante. El modelo matemático propuesto requiere como
dato de entrada únicamente la respuesta de vibración del rotor (desplazamiento). Los resultados numéricos muestran la
rapidez en la convergencia de la identificación de los parámetros, sin importar la velocidad de rotación del rotor. La
ventaja que ofrece el método propuesto, es que se puede aplicar en el balanceo de rotores sin la necesidad de llevar al
rotor hasta su velocidad nominal de operación.
Palabras Clave: Rotor asimétrico, identificación algebraica, vibraciones mec.
A B S T R A C T
In this work, a mathematical model for the online algebraic identification of the imbalance parameter in an asymmetric
rotor of two degrees of freedom at constant speed is proposed. The proposed mathematical model requires as input only
the rotor vibration response (displacement). The numerical results show the rapidity in the convergence of the
identification of the parameters, regardless of the rotation speed of the rotor. The advantage offered by the proposed
method is that it can be applied in rotor balancing without the need to take the rotor to its nominal operating speed.
Keywords: Asymmetric rotor, algebraic identification, mechanical vibrations.
Nomenclatura:
m Masa del sistema
c Amortiguamiento del sistema
vk Rigidez máxima del sistema
uk Rigidez mínima del sistema
um Masa de desbalance
um e Desbalance del sistema
e Excentricidad de la masa de desbalance
Posición angular del desbalance
Posición angular del sistema
Velocidad angular del sistema
t Tiempo
ϵ Incremento en el tiempo
1. Introducción
El estudio del movimiento de las maquinas rotatorias,
particularmente las vibraciones en rotores, permite tomar las
medidas necesarias para preservar la vida útil de las mismas,
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reduciendo así costos de mantenimiento, producción, entre
otros. Una de las fuentes más comunes de generación de
vibración en máquinas rotatorias es el desbalance. El
desbalance ocurre cuando el eje principal de inercia del rotor
no coincide con el eje geométrico del sistema, lo que
provoca vibraciones que generan fuerzas indeseables que se
transmiten directamente a los elementos mecánicos, así
como, soportes y cojinetes del rotor, disminuyendo la vida
útil de los mismos.
De acuerdo con la rigidez que poseen los rotores en su
sección transversal, estos pueden clasificarse en dos tipos:
rotores simétricos y asimétricos. Los primeros son de
sección transversal circular y poseen parámetros de rigidez
igual en toda su sección, mientras que los rotores
asimétricos, poseen parámetros de rigidez diferente en los
ejes principales de inercia de su sección transversal, esto
afecta a las velocidades críticas y a la magnitud de la
respuesta al desbalance del rotor, ya que la respuesta
depende principalmente de dos parámetros adimensionales:
factor de asimetría y factor de amortiguamiento. De acuerdo
con diversos investigadores [1-4], estos dos parámetros
provocan que la respuesta de vibración del rotor presente
diferentes amplitudes y ángulos de fase para diferentes
posiciones angulares de la fuerza de excitación, haciendo
difícil la identificación del desbalance presente en el
sistema. Algunos casos en los que se presentan rotores
asimétricos son: rotores de algunos generadores de dos
polos, hélices de dos palas, turbinas de viento, árboles de
levas, etc. [1].
Existe una gama de métodos de identificación y
estimación de parámetros, que por su naturaleza son difíciles
de implementar en la realidad [5-8]. Hoy en día existe el así
llamado método de identificación algebraica. Éste se basa en
el álgebra diferencial y el cálculo operacional y ha sido
empleado para la estimación de parámetros desconocidos de
un sistema a partir de su modelo matemático [9-11]. El
método tiene las ventajas de realizar la estimación de
parámetros en línea, independientemente de las condiciones
iniciales del sistema en un corto periodo de tiempo.
Este artículo presenta el desarrollo de un modelo
matemático para la estimación en línea del desbalance y su
posición angular, para un sistema rotor asimétrico-cojinete
de dos grados de libertad, el cual se basa en el método de
identificación algebraica en línea reportado por [12]. La
ventaja que ofrece el modelo propuesto, es que solo se
necesita la respuesta de vibración en línea del sistema como
dato de entrada, y no es necesario llevarlo hasta su velocidad
nominal de operación, para identificar el desbalance y su
posición angular y proceder a balancear el rotor.
2. Modelado de sistemas rotor asimétrico-cojinete de
2GDL.
Para el análisis, se consideró un modelo simplificado de dos
grados de libertad de un rotor asimétrico reportado por [13],
donde la asimetría en la sección transversal de la flecha se
considera constante en cualquier punto a lo largo del eje
axial del rotor.
Por otra parte, los elementos básicos que componen un
sistema rotor-cojinete son: el disco, el eje, los cojinetes y los
sellos [13,14], además de las masas de desbalance.
Basándose en lo anterior, se obtienen ecuaciones generales
del sistema que se obtienen a partir de los siguientes pasos:
1) Se determina la energía cinética T, la energía de
deformación U, y el trabajo virtual de las fuerzas externas
para los elementos que conforman el sistema. 2) Se aplica la
ecuación de Lagrange para obtener las ecuaciones de
movimiento para cada uno de los elementos. La ecuación de
Lagrange se define como:
i
i i i
d T T UFq
dt q q q
(1)
Donde i es el número de grados de libertad del sistema,
qi son las coordenadas generalizadas, Fqi son las fuerzas
generalizadas, y �̇�𝑖 indica diferenciación con respecto al
tiempo t.
2.1. Modelo matemático de un sistema rotor asimétrico-
cojinete
El modelo matemático para el sistema rotor asimétrico –
cojinete, se obtiene con la ayuda del modelo analítico
mostrado en la fig. 1. Utilizando la metodología de [13].
Figura 1. Sección transversal de un rotor asimétrico en rotación.
El resultado es la ecuación de movimiento para un rotor
asimétrico de dos grados de libertad.
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1
1
2 2
2 2
2
2
0 0 0
0 0 0
0 0cos(2 ) (2 )
0 0
cos( )
( )u
m x c x k x
m z c z k z
k x k xsen
k z k z
m esen
(2)
Donde:
12
v uk kk
(3)
22
u vk kk
(4)
3. Modelo matemático para la identificación algebraica
de desbalance y posición angular a velocidad constante.
El objetivo del identificador algebraico en línea propuesto,
es determinar la magnitud y posición angular del desbalance
presente en sistemas rotor asimétrico - cojinete. Para el
desarrollo del identificador, se toma como base el modelo
matemático del sistema rotodinámico de dos grados de
libertad ec. (2), asimismo, se considera que el vector de
desplazamientos del sistema {δ} se conoce (respuesta de
vibración del sistema), y está disponible como dato de
entrada para utilizarse en el esquema de identificación. Para
un sistema rotodinámico real, el vector {δ} representa la
señal de vibración que se presenta en el rotor a causa del
desbalance y que se obtiene a partir de sensores de
desplazamiento, colocados en puntos estratégicos a lo largo
del rotor.
La ec. (2) puede reescribirse como:
M C K F …(5)
Donde M, C, K y F representan las matrices de masa,
amortiguamiento, rigidez y vector de fuerza de excitación
del rotor asimétrico respectivamente. Para este análisis, se
considera que en el sistema rotor asimetrico-cojinete solo
existe una masa de desbalance.
Para obtener el modelo del identificador algebraico de
acuerdo con la metodología de [12], se hace necesario
multiplicar la ec. (2) por t2 e integrar dos veces con respecto
al tiempo “t”, tal como se muestra en la ecuación (6)
(2) (2) (2)2 2 2
1
(2) (2)2 2
2 2
(2)
2
[ ] [ ] [ ]
cos(2 )[ ] (2 )[ ]
[ ]
M t C t K t
K t sen K t
F t
(6)
La ec. (6) se integra por partes con respecto al tiempo y
a través de un tratamiento matemático esta puede expresarse
como (7):
(2) (2)
2 2
(2) (2) (2)
2 2 21 2 2
(2) (2)
2 2 2 2
(2) (2)
2 2 2 2
- 4 2 -2
cos(2 ) (2 )
cos -cos
cos
u
u
Mt M t M Ct Ct
K t K t K sen t
t sen tm e
m esensen t t
(7)
Ahora, la ec. (7) se puede expresar por separado en las
direcciones x y z respectivamente como (8):
(2) (2)
2 2
(2) (2) (2)
2 2 2
(2) (2)2 2 2 2
(2) (2)
2 2
(2)
2
- 4 2 -2
1 2cos(2 ) 2 (2 )
cos - cos
- 4 2 -2
1 2cos(
u
mt x m tx m x C t x C tx
K t x K t x K sen t z
t sen t m e
mt z m tz m z C t z C tz
K t z K
(2) (2)
2 2
(2) (2)
2 2 2 2
2 ) 2 (2 )
cos u
t z K sen t x
sen t t m esen
(8)
La ec. (8) se puede expresar en sistemas de ecuaciones
lineales de la forma mostrada en la ec. (9).
(t) (t)A b (9)
Donde 𝛩 = { 𝒎𝒖𝒆𝒖 = 𝒎𝒖𝑒 𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝒎𝒖𝒆𝒗 =𝒎𝒖𝑒 𝑠𝑒𝑛𝛼}𝑇 denota el vector del desbalance por identificar,
asimismo, A(t) y b(t) se expresan como:
11 12
12 11
(t) (t)(t)
(t) (t)
a aA
a a (10)
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1
2
(t)( )
(t)
bb t
b
(11)
Con
(2)
2 211
(2)2 2
12
cosa t
a sen t
(12)
Y
(2) (2)
2 21
(2) (2) (2)
2 2 21 2
(2) (2)
2 22
(2) (2) (2)
2 2 2
(t) - 4 2 -2
2cos(2 ) (2 )
(t) - 4 2 -2
1 2cos(2 ) 2 (2 )
b mt x m tx m x C t x C tx
K t x K t x K sen t z
b mt z m tz m z C t z C tz
K t z K t z K sen t x
(13)
De acuerdo con lo anterior, el identificador algebraico
queda expresado en la ec. (14).
2 11 1 122 2
11 12
1 12 2 112 2
11 120 0
2 2
1
( , ]
cos
u u
u v
u u u
u
u
b a b am e
a a
b a b am e
a a t t t
m e m e m e
m e
m e
(14)
4. Simulación del identificador algebraico de
parámetros de desbalance del sistema rotor asimétrico -
cojinete de 2GDL a velocidad constante.
Para la solución de las ecuaciones de movimiento del rotor
asimétrico-cojinete (ec. (2)), se utilizó el método de
integración directa de Newmark. De esta forma se obtiene la
respuesta vibratoria del sistema que servirá como dato de
entrada del identificador algebraico. Los datos utilizados
para la simulación del modelo se describen en la tabla 1:
Tabla 1 - Datos del rotor asimétrico
Datos del rotor m 0.91 [kg]
C 15.05 [Ns/m]
𝑘𝑣 30831.1 [N/m]
𝑘𝑢 29563.2 [N/m]
𝑚𝑢𝑒 0.3 [gr-cm]
En las Figs. de la 2 a la 10, se muestran las simulaciones
de los modelos matemáticos para el rotor asimétrico con las
propiedades descritas en la tabla 1, para distintas posiciones
de masa de desbalance y velocidad angular �̇� constante.
Para este caso se utilizó un intervalo de tiempo discreto
∆𝑡 = 1𝑥10−4s.
Figura 2 – Respuesta vibratoria del rotor = 1000 RPM, 𝛂 = 𝟒𝟓°.
Figura 3 – Identificación de la posición angular del desbalance del
rotor con = 1000 RPM y 𝛂 = 𝟒𝟓°.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-3
-2
-1
0
1
2
3x 10
-6 Señal de vibración
tiempo (s)
Am
plit
ud (
m)
Horizontal
Vertical
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-50
0
50
100
150
X: 0.3348
Y: 45
Identificación de la posición angular
tiempo (s)
(
gra
dos)
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Figura 4 – Identificación de la magnitud del desbalance del rotor con
= 1000 RPM y 𝛂 = 𝟒𝟓°.
Figura 5 – Respuesta vibratoria del rotor = 2000 RPM, 𝛂 = 𝟎°.
Figura 6 – Identificación de la posición angular del desbalance del
rotor con = 2000 RPM y 𝛂 = 𝟎°.
Figura 7 – Identificación de la magnitud del desbalance del rotor con
= 2000 RPM y 𝛂 = 𝟎°.
Figura 8 – Respuesta vibratoria del rotor = 3500 RPM, 𝛂 = 𝟐𝟕𝟎°.
Figura 9 – Identificación de la posición angular del desbalance del
rotor con = 3500 RPM y 𝛂 = 𝟐𝟕𝟎°.
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
x 10-6
X: 0.2287
Y: 3e-06
Identificación de la excentricidad
tiempo (s)
mue (
kgm
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10
-5 Señal de vibración
tiempo (s)
Am
plit
ud (
m)
Horizontal
Vertical
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
X: 0.2391
Y: -0.001655
Identificación de la posición angular
tiempo (s)
(
gra
dos)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
x 10-6
X: 0.5176
Y: 3e-06
Identificación de la excentricidad
tiempo (s)
mue (
kgm
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x 10
-5 Señal de vibración
tiempo (s)
Am
plit
ud (
m)
Horizontal
Vertical
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
150
200
250
300
350
400
X: 0.2565
Y: 270
Identificación de la posición angular
tiempo (s)
(
gra
dos)
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Figura 10 – Identificación de la magnitud del desbalance del rotor con
= 3500 RPM y 𝛂 = 𝟐𝟕𝟎°.
Como se puede observar, el identificador a velocidad
angular constante, converge de forma eficiente a los valores
de magnitud y ángulo de desbalance introducidos en la
simulación del rotor asimétrico-cojinete, sin importar la
velocidad angular del sistema o la posición angular del
desbalance.
5. Conclusión
En este trabajo se presenta el desarrollo matemático para el
modelo de un identificador algebraico de parámetros en
línea que determina la magnitud del desbalance y su
posición angular en un rotor asimétrico. El identificador
propuesto requiere únicamente de la respuesta de vibración
del rotor como dato de entrada. Los resultados numéricos,
muestran la rapidez y convergencia en la identificación de
los parámetros del desbalance y posición angular en un
tiempo menor a 1 segundo. La ventaja que ofrece el método
aquí presentado, es que el identificador propuesto identifica
el desbalance global del sistema independientemente de la
velocidad de rotación del rotor, sin que el sistema pase por
la resonancia.
Agradecimientos
Agradecemos al Centro Nacional de Investigación y
Desarrollo Tecnológico por su apoyo.
REFERENCIAS
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response of rotors. 53th Shock and Vibration Bulletin. pp.
103-111. (1983).
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
x 10-6
X: 0.2793
Y: 3e-06
Identificación de la excentricidad
tiempo (s)
mue (
kgm
)
ISSN 2448-5551 DM 73 Derechos Reservados © 2018, SOMIM