Download - I INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
I
PRESENTA:
ING. MIGUEL ANGEL CERRO RAMIREZ
T E S I S P A R A O B T E N E R E L G R A D O
D E M A E S T R O
E N I N G E N I E R ÍA D E M A N U F A C T U R A
EVALUACIÓN NUMÉRICA DEL COMPORTAMIENTO
MECÁNICO DE UNA TOBERA DE LAVAL
DIRIGIDA POR:
DR. LUIS ARMANDO FLORES HERRERA. DR. JUAN MANUEL SANDOVAL PINEDA
MEXICO 2014
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENÍERIA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN UNIDAD AZCAPOTZALCO
La vida es como una bicicleta. Si quieres mantener el
equilibrio tienes que mantenerte en movimiento.
Albert Einstein
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval
Dedico el presente trabajo de investigación en especial a mis padres quienes han sido el pilar central
sobre el cual me he apoyado durante toda una vida, quienes han sabido enderezar mi camino cuando
se ha torcido, y darme la mano cuando siento que el camino se ha acabado, a ustedes por siempre
mi corazón y agradecimiento.
Vicente Martin Cerro Álvarez.
Bertha Olivia Ramírez Valverde.
A mi hermana por brindarme una mano de manera incondicional siempre que se lo he pedido.
Dulce Denisse Cerro Ramírez.
A mis abuelos, quienes han creído en mí y siempre me dan ánimos para seguir.
Vicente Cerro Castro.
María Paula Valverde.
A toda mi familia.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval
Agradezco infinitamente a los doctores de la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de
la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica unidad Azcapotzalco en especial a los
doctores:
Dr. Luis Armando Flores Herrera.
Dr. Juan Manuel Sandoval Pineda.
Dr. Pedro Alejandro Tamayo Meza.
Que sin su apoyo nada de esto hubiera sido posible.
Al Instituto Politécnico Nacional a quien debo toda mi formación académica.
A mis compañeros y amigos que tiene el conocimiento y lo comparten. Y que hicieron de la
estancia en la maestría una época inolvidable
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología por el apoyo económico brindado durante estos dos
años de estudios.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval
Resumen.
RESUMEN.
Durante el presente trabajo de investigación se logró unificar dos áreas de la mecánica, como son
la mecánica estructural y la mecánica de fluidos, por medio de la mecánica computacional, para
obtener un fin común que es el de conocer los efectos estructurales de la tobera de tipo De Laval,
debido al paso de un flujo de trabajo a presión.
Para lograr esto se lleva a cabo la investigación histórica del uso del elemento finito en la industria
aeroespacial. Así como en la indagación de las principales relaciones termodinámicas que se usan
para realizar el dimensionamiento del perfil de la tobera. Se realiza la investigación sobre la teoría
general de elemento finito para plantear una metodología correcta para realizar la evaluación
numérica por medios computacionales en el programa de computo ANSYS® (mecánica
computacional), que nos ayuda para ampliar el criterio sobre las condiciones básicas para obtener
una simulación que de buenas resultados.
Con la investigación y la comprensión de las principales relaciones termodinámicas, se lleva acabo
el dimensionamiento de un perfil de tobera para 5000 N que trabaje a presión atmosférica de la
Ciudad de México; posteriormente se lleva a cabo una investigación general de la mecánica de
fluidos, para poder llevar acabo las simulaciones numéricas de flujo que se emplea para definir los
perfiles de presión en las paredes internas de la tobera.
Con un espesor de pared arbitrariamente propuesta de 3mm se encontró que los esfuerzos máximos
se encuentran en el soporte de la tobera y en la garganta de la misma. La importancia de este estudio
nos permite realizar un mejor diseño mecánico de toberas de cohete de tipo De Laval.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval i
Abstract
ABSTRACT.
During this research we were able to unify two areas of mechanics, such as structural mechanics
and fluid mechanics, through computational mechanics, for a common goal which is to understand
the structural effects of the nozzle De Laval type due to the passage of a workflow pressure.
To accomplish this is performed using historical research finite element in the aerospace industry.
As in the investigation of the main thermodynamic ratios used for sizing nozzle profile. Research
on the general theory of finite element is performed to raise a proper methodology for the numerical
evaluation by computational means in the computer program ANSYS ® (Computational
Mechanics), which helps us to expand the criterion on the basic conditions for a good simulation
results.
With research and understanding of the main thermodynamic relations, takes just sizing profile
nozzle for 5000 N to work at atmospheric pressure in Mexico City; subsequently carrying out a
comprehensive investigation of fluid mechanics, to carry out numerical flow simulations that are
used to define the pressure profiles in the inner walls of the nozzle.
With a wall thickness of 3mm arbitrarily proposal was found that the maximum stresses are found
in the nozzle holder and throat thereof. The importance of this study allows us to better mechanical
design of rocket nozzles De Laval type.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval ii
Objetivos.
Objetivos.
Determinar el comportamiento mecánico de una Tobera de tipo De Laval mediante el análisis
numérico de deformaciones y esfuerzos que surgen como resultado del paso de un fluido a presión.
Para lo cual se aplica el análisis de un modelo computacional de elementos finitos resuelto por el
software ANSYS®.
Para lograr el objetivo general se deben de cumplir los siguientes objetivos particulares.
Objetivos Particulares:
• Determinar el perfil de la tobera mediante el desarrollo de cálculos analíticos.
• Investigar cuáles son los materiales comúnmente más empleados en la fabricación de las
toberas de tipo De Laval.
• Realizar la simulaciones de flujo por medio del software Fluent de ANSYS® para obtener
el gradiente de presión que se encuentra a lo largo del perfil de la tobera.
• Realizar el proceso de intercambio de datos y la simulación mecánica por medio del
Software Structural Mechanical de ANSYS® para obtener la distribución de los esfuerzos
a lo largo de la Tobera De Laval.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval iii
Justificación
Justificación.
En el marco de la reciente creación o reapertura de la Agencia Espacial Mexicana (AEM), y la
colaboración que se tiene con el Instituto Politécnico Nacional (IPN), se presenta este trabajo de
investigación; para dar a conocer los aspectos básicos, pero fundamentales, del desarrollo de una
de las partes principales de un cohete (lanzador de carga útil). La AEM ha expuesto un programa
nacional de actividades espaciales como un instrumento estratégico y que ha sido desarrollado a
través de cinco ejes principales:
• Eje 1. Capacitación del capital humano en el campo espacial.
• Eje 2. Investigación científica y desarrollo de tecnología espacial.
• Eje 3. Desarrollo industrial, comercial y competitivo en el sector espacial.
• Eje 4. Estandarización y negocios internacionales y cuestiones de seguridad espacial.
• Eje 5. Financiamiento, organización e información tecnológica en cuestiones espaciales.
La AEM ha propuesto y presentado una selección de tecnologías que son relevantes para México
teniendo en cuenta las usadas por la “National Aeronautics and Space Administración” (NASA) y
las ha agrupado en cuatro diversas áreas (AEM y ProMexico, 2012) que son:
a) Modelaje, simulación, sistemas de información y procesamiento
b) Materiales, estructuras, sistemas mecánicos y manufactura
c) Comunicación y navegación
d) Instrumentos científicos, observatorios y sistemas remotos de sensores.
En ese sentido es sumamente importante abordar y establecer los fundamentos para que este
proyecto nacional se desarrolle y existan las bases teóricas suficientes para que a corto plazo se
desarrolle y manufacture en nuestro país esta tecnología.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval iv
Índice.
Índice general
Resumen i
Abstract ii
Objetivo iii
Justificación iv
Índice general V
Índice de Figuras Viii
Índice de Tablas xii
Glosario xiii
Simbología xv
Introducción xviii
Capítulo 1. Estado del Arte. 1
1.1 Generalidades. 2
1.2 Desarrollos tecnológicos. 2
1.3 El método del elemento finito en la tecnología espacial. 5
1.4 Planteamiento del problema. 8
1.5 Sumario. 9
Capítulo 2. Descripción del problema. 10
2.1 Generalidades 11
2.2 Componentes generales de un cohete. 11
2.3 Sistemas de propulsión. 16
2.3.1 Sistemas de propulsión de combustible sólido. 17
2.3.1 Motores de combustible híbrido. 17
2.3.3 Motores de combustible líquido. 18
2.4 ¿Qué es la propulsión? 22
2.5 ¿Qué es el empuje? 23
2.6 Tobera. 24
2.7 Tipos de tobera. 25
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval v
Índice.
2.8 Tobera ideal. 27
2.9 Principios termodinámicos con flujo isentropicos. 29
2.10 Flujo isentropico través de tobera. 33
2.11 Configuración de tobera. 34
2.12 Dimensionamiento de la tobera. 37
2.13 Uso de las simulaciones numéricas en la tecnología espacial. 42
2.14 Condiciones de la simulación. 43
2.15 Sumario. 44
Capítulo 3. Marco Teórico 45
3.1 Generalidades. 46
3.2 Análisis de flujo. 46
3.2.1 Ecuaciones de gobierno. 47
3.2.2 Modelos de turbulencia. 49
3.2.3 Discretización espacial. 54
3.2.4 Condiciones de contorno. 58
3.3 Análisis mecánico. 59
3.3.1 Hipótesis de la discretización. 62
3.4 Mallado. 70
3.5 Características para la discretización. 72
3.5.1 Discretización del volumen del control. 72
3.5.2 Discretización del solido 72
3.5 Sumario. 74
Capítulo 4. Evaluación numérica 75
4.1 Generalidades. 76
4.2 Generación de la geometría. 77
4.3 Generación del archivo de intercambio de datos. 78
4.4 Errores de intercambio de datos. 78
4.5 Análisis de flujo 80
4.5.1 Pre-procesamiento (mallado) 81
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval vi
Índice.
4.5.2 Procesamiento 83
4.5.3 Post-procesamiento 89
4.6 Análisis mecánico 96
4.6.1 Pre-procesamiento 96
4.6.2 Procesamiento 100
4.6.3 Post-procesamiento 101
4.7 Sumario 110
Conclusiones. 112
Trabajo Futuros. 115
Referencias. 116
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval vii
Índice de figuras.
ÍNDICE DE FIGURAS.
Figura 2.1 Componentes generales de un cohete 12
Figura 2.1 Fuselaje de un cohete 13
Figura 2.3 Figura 2.3 Carga útil 14
Figura 2.4 Figura 2.4 Sistemas guía 14
Figura 2.5 Figura 2.5. Partes del cohete Soyuz 15
Figura 2.6 Clasificación de los sistemas de propulsión. 16
Figura 2.7 Componentes de un motor de combustible sólido. 17
Figura 2.8 Componentes de un motor de combustible hibrido. 18
Figura 2.9 Componentes principales de un sistema de alimentación por gas 19
Figura 2.10 Componentes principales de un ciclo generador de gas 20
Figura 2.11 Ciclo expansor; a) Ciclo cerrado; b) Ciclo cerrado 21
Figura 2.12 Ciclo de combustión escalonada 22
Figura 2.13 Distribución de la presión en la tobera 24
Figura 2.16 Secciones de una tobera 25
Figura 2.17 Perfil normalizado para el diseño de la tobera 40
Figura 2.18 Angulo inicial y final de una tobera contorneada 41
Figura 2.19 Dimensiones generales de la tobera 42
Figura 2.20 Ciclo de validación para piezas espaciales. 43
Figura 2.21 Condiciones empleadas para la realización de la simulaciones 44
Figura 3.1 Análisis numérico de campos acoplados. 46
Figura 3.2 Algoritmo de solución CFD Fluent 47
Figura 3.3 Simplificación de los modelos viscosos 50
Figura 3.4 Esquema general del procedimiento de la solución computacional. 55
Figura 3.5
Representación de una malla cartesiana para el método de
Diferencias Finitas
Una dimensión; b) Dos dimensiones
56
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval viii
Índice de figuras.
Figura 3.6 Representación de una malla para volumen finito
a) Malla estructurada; b) Malla no estructurada 57
Figura 3.7 Condiciones de contorno en el contacto del flujo con una superficie
a) No deslizamiento; b) Tangencia 59
Figura 3.8 Proceso del análisis por medio de elemento finito 61
Figura 3.9 Elemento Truss tridimensional 65
Figura 3.10 Elemento Beam tridimensional 66
Figura 3.11 Elemento bidimensional
a) Triangular; b) Cuadrilátero 66
Figura 3.12 Mallado con elementos triangulares y cuadriláteros. 67
Figura 3.13 a) Cilindro bajo presión; b) Modelo axisimetrico;
c) Elementos finitos cuadrilátero y triangular 68
Figura 3.14 Elemento tipo brick y sus grados de libertad por nodo (8 nodos) 68
Figura 3.15 a) Tetraedro de 5 nodos; b) Tetraedro de 10 nodos 69
Figura 3.16 Equivalentes de algunas figuras isoperimétricas. 70
Figura 3.17
a) Malla estructurada, generada por un mapeo de triángulos del
cuadrado unitario a la región; b) Malla no estructurada, generada
usualmente por algún criterio de ángulo mínimo sobre el conjunto
de nodos de la malla estructurada.
71
Figura 3.18 Figura 3.18 Descripción grafica del elemento SOLID 186 a) Hexaédrico; b) Tetraédrico; c) Piramidal d)Prismático 73
Figura 3.19 Descripción grafica del elemento SOLID 186 73
Figura 3.20 Descripción grafica del elemento SOLID 186 74
Figura 4.1 Esqueleto de una simulación fluido-mecánica en ANSYS®. 76
Figura 4.2 Solidos creados en CATIA. 80
Figura 4.3 Tobera y Flujo de control. 80
Figura 4.4 Malla del volumen de control. 81
Figura 4.5 Detalle de la malla del volumen de control 81
Figura 4.6 Rangos de calidad Orthogonal Quality 83
Figura 4.7 Rangos de calidad Skewness 83
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval ix
Índice de figuras.
Figura 4.8 Residuales de la simulación de flujo (3D), Criterio de
convergencia(0.001) 85
Figura 4.9 Residuales de la simulación de flujo (3D), Criterio de
convergencia(0.000001) 86
Figura 4.10 Mallado del flujo en un espacio 2D 87
Figura 4.11 Residuales de la simulación de flujo 2D. 89
Figura 4.12 Contorno de velocidades. ; a) Simulación 3D; b) Simulación 2D 90
Figura 4.13 Grafica comparativa de velocidad vs longitud de la tobera 91
Figura 4.14 Contorno de presiones. ; a) Simulación 3D; b) Simulación 2D 92
Figura 4.15 Grafica comparativa de velocidad vs longitud de la tobera 93
Figura 4.16 Grafica comparativa de velocidad vs longitud pared de la tobera 94
Figura 4.17 Distribución de la presión en la pared de la tobera (Simulación 3D). 96
Figura 4.18 Malla de la tobera 98
Figura 4.19 Detalle de la malla de la tobera 99
Figura 4.21 Condiciones de frontera (simulación mecánica) 100
Figura 4.22 Vectores de la presión aplicada a la tobera 101
Figura 4.23 Distribución de los esfuerzos en la tobera. 101
Figura 4.24 Distribución de los esfuerzos internos a lo largo de la tobera. 102
Figura 4.25 Detalle de los esfuerzos máximos. 102
Figura 4.26 Esfuerzos a 0-1 mm de pared. 103
Figura 4.27 Grafica de la distribución de esfuerzos en la pared de la tobera 104
Figura 4.28 Grafica de la distribución de esfuerzos a 1 mm de la pared de la
tobera 105
Figura 4.29 Esfuerzos a 1-2 mm de pared. 105
Figura 4.30 Grafica de la distribución de esfuerzos a 2 mm de la pared de la
tobera 106
Figura 4.31 Esfuerzos a 2-3 mm de pared. 107
Figura 4.32 Grafica de la distribución de esfuerzos a 3 mm de la pared de la
tobera 108
Figura 4.33 Grafica de comparativa de distribución de esfuerzos 109
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval x
Índice de tablas.
ÍNDICE DE TABLAS
Capítulo 2
Tabla 2.1 Diferentes configuraciones de tobera 26
Tabla 2.2 Clasificación de la toberas de acuerdo a su velocidad 36
Tabla 2.3 Datos iniciales para el calculo 38
Tabla 2.4 Parámetros geométricos para el diseño de la tobera 41
Capítulo 4
Tabla 4.1 Generalidades de la malla. 82
Tabla 4.2 Valores de calidad de malla. 82
Tabla 4.3 Generalidades de la simulación de flujo. 84
Tabla 4.4 Generalidades del criterio de convergencia. 84
Tabla 4.5 Generalidades del criterio de convergencia menor. 85
Tabla 4.6 Generalidades de la malla plana. 87
Tabla 4.7 Valores de calidad de malla plana. 87
Tabla 4.8 Generalidades de la simulación de flujo bidimensional. 88
Tabla 4.9 Generalidades del criterio de convergencia de la simulación bidimensional. 89
Tabla 4.10 Valores comparativos de velocidad 90
Tabla 4.11 Valores comparativos de presión. 92
Tabla 4.12 Valores comparativos de presión en la pared de la tobera 95
Tabla 4.13 Tabla comparativa del comportamiento de la presión. 95
Tabla 4.14 Materiales usados en la construcción de la cámara de combustión y tobera. 97
Tabla 4.15 Propiedades del Inconel 600. 98
Tabla 4.16 Generalidades de la malla mecánica. 99
Tabla 4.18 Valores de calidad de la malla mecánica. 99
Tabla 4.19 Valores máximos y mínimos de esfuerzo en la pared de la tobera 103
Tabla 4.20 Valores máximos y mínimos de esfuerzo en la pared de la tobera (1mm) 104
Tabla 4.21 Valores máximos y mínimos de esfuerzo en la pared de la tobera (2mm) 106
Tabla 4.21 Valores máximos y mínimos de esfuerzo en la pared de la tobera (3mm) 108
Conclusiones
Tabla I Valores comparativos de velocidad. 113
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval xi
Glosario
GLOSARIO
Cohete Es un vehículo, aeronave o nave espacial que obtiene su empuje por la reacción de la
expulsión rápida de gases de combustión del motor. A ciertos tipos de cohete se los
denomina misil y en este cambio de nombre no interviene el tamaño o potencia, sino
que generalmente se llama misil a todo cohete de uso militar con capacidad de ser
dirigido o manejado activamente para alcanzar un blanco
Propelente Es una fuente de energía termoquímica que se utiliza en determinados
vehículos como medio de propulsión, y que no necesita del aire
atmosférico para funcionar.
Combustible Es cualquier material capaz de liberar energía cuando se oxida de forma
violenta con desprendimiento de calor.
Oxidante Es cualquier sustancia que en ciertas condiciones de temperatura y presión
puede combinarse con un combustible, provocando la combustión;
actúa oxidando al combustible y por lo tanto siendo reducido por este
último.
Carga Útil Es la carga que va a transportar el cohete, esta puede ser: satélites,
suministros para la estación espacial, explosivos, etc.
Mach Es una medida de velocidad relativa que se define como el cociente entre
la velocidad de un objeto y la velocidad del sonido en el medio en que se
mueve dicho objeto
Flujo
másico
En física e Ingeniería, es la magnitud que expresa la variación de la masa
en el tiempo a través de un área específica.
Convergente Superficie tiende hacia un mismo punto.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval xii
Glosario
Divergente Superficie que se aparte de otra.
Condiciones
de frontera.
Son las condiciones con las cuales está restringido un sistema, para la
simulación del modelo.
Modelo Representación geométrica del elemento mecánico a analizar, en un
espacio computacional.
Aguas
Arriba
Punto de referencia en un análisis de flujo. Donde comienza un análisis de
flujo
Aguas
abajo
Punto de referencia en un análisis de flujo. Donde termina o segundo
punto de análisis de un flujo
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval xiii
Simbología
Simbología.
Δv Diferencia de velocidades.
𝑔𝑔𝑜𝑜 Gravedad estándar de la tierra.
𝐼𝐼𝑆𝑆 Impulso especifico.
M0 Masa inicial del cohete.
Mf Masa final del cohete.
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐 Masa de la carga útil.
𝑀𝑀𝑝𝑝𝑝𝑝 Masa del propelente.
𝑀𝑀𝑖𝑖 Masa inerte del cohete.
𝑇𝑇𝑚𝑚 Empuje del motor.
𝑃𝑃𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚 Presión del vapor.
𝐴𝐴 𝑛𝑛𝑜𝑜𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑠𝑠 Área de salida de la tobera.
F Fuerza producida por el sistema de propulsión.
�̇�𝑚 Flujo másico (0 de estancamiento, “x” “y” en diferentes puntos de la tobera).
𝑣𝑣 Velocidad del flujo en salida de la tobera. (“1” inicio de la sección
convergente, “t” garganta, “2” salida de la tobera, “x” “y” en diferentes puntos
de la tobera).
�̇�𝑤 Velocidad del flujo másico.
h Entalpia (0 de estancamiento, “x” “y” en diferentes puntos de la tobera).
Cp Calor especifico a presión constante.
Cv Calor especifico a volumen constante.
T Temperatura (0 de estancamiento, “x” “y” en diferentes puntos de la tobera).
A Área de sección transversal (“1” inicio de la sección convergente, “t” garganta,
“2”, “c” cámara de combustión salida de la tobera , “x” “y” en diferentes
puntos de la tobera).
J Equivalente mecánico del calor
V Volumen especifico del fluido. (“1” inicio de la sección convergente, “t”
garganta, “2” salida de la tobera, “x” “y” en diferentes puntos de la tobera).
R Constante universal de los gases afectados por el peso molecular del gas.
ɱ Peso molecular propio del gas
𝛾𝛾 Relación de volúmenes específicos
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval xiv
Simbología
a Velocidad del sonido (“0” de estancamiento, “x” “y” en diferentes puntos de la
tobera)
M Numero Mach
𝜀𝜀 Relación de expansión
Lcono Longitud del cono
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval xv
CAPÍTULO 1
Estado del arte
La Tierra es la cuna de la mente; pero uno no puede vivir eternamente en una cuna.
Konstantín Eduárdovich Tsiolkovski, Fundador de la teoría de la cohetería contemporánea. (URRS 1857-1935)
Capítulo 1|
1.1 Generalidades
El incremento de la demanda de altos rendimientos en los cohetes lanzadores promueve un alto
desarrollo en los sistemas de propulsión, básicamente la mayoría de las investigaciones se han
enfocado en la relación de expansión de la tobera, sin enfocarse mucho en la disminución del
peso el cual es un factor primordial en la optimización de los sistemas de propulsión. Asimismo
se han realizado numerosos estudios del flujo a través de la tobera mediante simulación numérica
abarcando numerosos temas, desde los modelos viscosos, inestabilidades en el flujo, hasta el flujo
transitorio, para apreciar el comportamiento del flujo ya sea de manera estable (Cuasi estático) o
de manera transitoria en donde se observan las diferentes fases del flujo al pasar por la tobera. Sin
embargo simulaciones numéricas con un enfoque mecánico de los sistemas de propulsión en
donde se podrían apreciar los esfuerzos mecánicos de las mismas y poder disminuir material en
ciertas zonas, mejorando el rendimiento del sistema de propulsión disminuyendo el peso del
sistema de propulsión de acuerdo con la ecuación de Tsiolkovski [Maksimov, 2007] no han sido
totalmente desarrolladas.
1.2. Desarrollos tecnológicos.
A principios del siglo 20, Robert H. Goddard un científico de los Estados Unidos de Norte-
América conducía experimentos prácticos con propelentes líquidos, lo cual era más complicado
que experimentar con combustibles sólidos, estos requerían de un tanques de oxidante, un tanque
de combustible, turbo-bombas, cámara de combustión, etc. El 16 de Mazo de 1926 Goddard logra
el primer vuelo exitoso de un cohete que funcionaban a base de una mezcla combustible líquido a
base de oxígeno y gasolina, este cohete marcó el comienzo de los propelentes almacenables, que
hoy en día son el núcleo de la mayoría de los cohetes [Cassio, et.al., 2009].
A comienzos de 1930´s el enfriamiento regenerativo para un cohete con motor propelente líquido
fue diseñado por un científico alemán llamado Eugen Saenger, este sistema de propulsión
demostró ser un importante desarrollo de los grandes motores de propulsión líquida debido al alto
rendimiento que poseen [Cassio, et.al., 2009].
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval 2
Capítulo 1|
De 1933 a 1934 Robert H. Goddard, desarrolló y probó en tierra el primer motor de cohetes para
grandes alturas equipado con turbo-bombas. En 1939 Goddard prueba exitosamente un motor de
cohete equipado con turbo-bombas con generador de gases [Sutton, 2006].
En 1942 los alemanes formados por el investigador Von Braun y su equipo prueban el primer
motor de cohete llamado el A4 a base LOX/alcohol el cual es desarrolla un gran empuje. La
presión en la cámara se mantenía moderada y el desarrollo de los grandes motores se vio
obstaculizado por las bajas frecuencias de inestabilidades hidráulicas que se presentaban en el
caso de motores de propelente almacenable [Cassio, et.al., 2009].
En 1949 Alexey Isaev propone un motor de combustible líquido de combustión escalonada. El
primer motor de combustión escalonada fue el S1 5400 usado en un cohete soviético, este fue
diseñado por un ex asistente de Alexey Isaev [Sutton, 2006].
En 1950 la propulsión nuclear estaba siendo altamente estudiada en USA, a consecuencia de un
mejor conocimiento de la aplicación del hidrogeno para la propulsión y basado en el ciclo
termodinámico del hidrogeno se llegó a la conclusión de que este tipo de propulsión era plausible
para el uso en la propulsión de cohetes [Cassio, et.al., 2009]. Se puso un mayor énfasis en la
década de los 60´s en el desarrollo del programa Rover/NERVA dirigido por el laboratorio de
propulsión “Los Alamos” en donde se desarrolló la tecnología para un motor nuclear para cohete
y fueron demostradas sus altas capacidades en cuanto a empuje [Robbins y Finger, 1991].
En 1957 Koroliov desarrolla un misil balístico intercontinental de múltiples etapas llamado R7.
El cual va disminuyendo la masa bruta del cohete, esto mejora la eficiencia del cohete. Logrando
tener un mayor impuso especifico [Reuter, 2000].
A inicios de los 1960`s la compañía Messerschmitt-Boelkow-BlohmGmbH (MBB) ubicada en
Ottobrun Alemania desarrolla una tecnología innovadora la cual permitía el diseño de las cámaras
de combustión a presión. Esta consistía en una pared interna de cobre con ductos de refrigeración
fresados y recubiertos con una camisa de níquel estructural, la carcasa de níquel se obtuvo
mediante electrodeposición sobre la pared fresada de cobre. Este progreso en la tecnología para
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval 3
Capítulo 1|
las cámaras de combustión a presión fue aplicada por las empresas MBB/ROCKEDYNE para el
proyecto BORD (1966-1968). Los resultados de la prueba de este proyecto mostraron que el
Hidrogeno líquido podría ser el refrigerante más adecuado; exitosamente se obtuvo una presión
nominal de 210 bars (3045 PSIA) e incluso presiones más altas como 286 Bars (4150 psi), la cual
corresponde a la presión más alta jamás lograda para un motor de cohete de LOX/LH2. Las altas
presiones permitidas en la cámara de combustión permiten un mayor empuje y por lo tanto un
mejor rendimiento [Cassio, et.al., 2009].
A principio de la década de los 60´s estaban en desarrollo los motores criogénicos en Francia
(HM4) y en Rusia (RD 56 y RD 57), los cuales permitían un mayor empuje [Cassio, et.al., 2009].
En la década de los 70´s la NASA, junto con la industria privada conduce investigaciones sobre
el desarrollo de materiales fuertes, neometalicos que podrían desplazar a los metales pesados y el
aluminio en las aeronaves. Los materiales compuestos han remplazado gradualmente a los
materiales en las aeronaves; usando los materiales compuestos se puede reducir el peso en las
aeronaves y mejora la eficiencia en las mismas [Dunbar, 2008].
En 1974 la corporación Thiokol comienza con el desarrollo del primer motor de cohete de
combustible sólido reutilizable para el programa del transbordador espacial para reducir los
costos de fabricación. En julio de 1977 se llevan a cabo las primeras pruebas de este tipo de
motores. En 1980 hay planes para mejorar el rendimiento de los motores reutilizables de
combustible sólido mediante el desarrollo de un armazón de filamentos de epoxy/grafito para
remplazar el armazón de acero, este armazón compuesto redujo su peso de 44500 a 31300 kg
resultando en 2700 kg más de capacidad de carga útil [Moore y Phelps, 2011].
En 1998 Lockheed Martin, (2014) desarrolla un tanque de combustible externo súper-ligero para
el transbordador espacial a base de una aleación de aluminio-litio el cual pesa aproximadamente
26535 kg, comparado con el tanque original del transbordador espacial que pesaba
aproximadamente 34473 kg esto es una reducción de peso significativa y equivale a una mayor
capacidad de peso en la carga útil.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval 4
Capítulo 1|
En 2001 la NASA usa la soldadura por fricción debido al cambio de material del tanque externo
de combustible del transbordador espacial, por lo que la aplicación de las técnicas de soldadura
convencionales para unir materiales compuestos resultaba deficientes. La soldadura por fricción
desarrollada por el Instituto de Soldadura (TWI por sus siglas e inglés) en gran Bretaña mostró un
gran resultado libre de defectos en las soldadura con propiedades mecánicas superiores en
comparación con los métodos de soldadura convencionales, actualmente este tipo de soldadura es
ampliamente usado en cohetes como el Delta IV, el Atlas V el Falcon IX así como en él vehículo
de exploración Orion, así este tipo soldadura de materiales compuestos con matriz de metal
(Aleaciones de metales reforzados con cerámicos) [Trater, 2013].
1.3. El Método del Elemento Finito en la tecnología espacial.
En 1960 la NASA, en conjunto con la industria desarrolla un software (NASTRAN “ NASA
Structural Analysis”) para que los ingenieros lo pudieran usar para el modelaje y los análisis de
diferentes estructuras aeroespaciales, incluyendo cualquier tipo de nave espacial o aeronave
[Dunbar, 2008].
Case W., (1968), realiza el modelado matemático para un tipo de elemento finito en tres
dimensiones para predecir deflexión, tención y esfuerzo de un medio continuo elástico, que se
pudiera usar en él para el análisis de estructuras en tres dimensiones por medio de simulaciones
numéricas computacionales.
Manson B., (1968), realiza un estudio en el que se analiza un proceso análogo a la teoría clásica
para el estudio de las vibraciones estructurales inducidas térmicamente mediante elemento finito,
en la investigación se demuestra que el problema de las vibraciones puede ser tratado por el
análisis de la respuesta a una fuerza de una estructura excitada idealizada por cargas mecánicas
equivalentes dependientes del tiempo. Por lo que el problema se redujo a la determinación de las
cargas mecánicas equivalentes asociadas a los elementos finitos usados en la idealización.
Pinson L. (1970), realiza la evaluación numérica mediante elemento finito para un cohete
lanzador de carga útil de propelente líquido axisimetrico. Los resultados del análisis numérico
fueron comparados con un modelo a escala 1/100 de Saturno V en el cual se experimentaron con
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval 5
Capítulo 1|
frecuencias de resonancia y modos de deformación así como con los resultados de los análisis de
masa-resorte. Los resultados de la aplicación del método del elemento finito dieron mejor
resultado que los modelos de masa resorte.
Hewit R. (1971), Realiza la evaluación de la configuración de la fase A para una nave espacial
usando el programa de análisis NASTRAN. La evaluación predice la posición óptima de las
partes estructurales, perfiles de carga y deflexiones. En este estudio se llega a una estructura
recomendada para una nave de exploración espacial en solo 3 meses, en este lapso de tiempo
hubiera sido imposible realizar los cálculos a mano los cuales hubieran requerido un mayor
número de tiempo.
Manson J. (1971), realiza el código para NASTRAN, así como el modelaje matemático para
problemas hidro-elásticos mediante el método del elemento finito. Este estudio era de suma
importancia en la predicción del movimiento de los líquidos y gases en varios contenedores. Este
código y modelaje era de gran importancia en el análisis y diseño de misiles y vehículos
espaciales, en este tipo de estructuras livianas en donde las paredes de los contenedores no
pueden ser consideradas rígidas y el acoplamiento del movimiento de varios fluidos, las
deformaciones elásticas deben de ser consideradas.
Raju I., Rao V., et al. (1974), realizan el modelaje matemático de la matriz de rigidez para un
elemento cónico de tipo Shell usando la derivada de Novozhilov de la relación de esfuerzo-
deformación para el Shell cónico que podría ser usado en el análisis de cohetes y/o misiles.
En 1976 se analiza el uso de la súper computadora Illiac para realizar las simulaciones numéricas
de flujo (CFD) las cuales requerían de capacidades de procesamiento que en ese tiempo las
computadoras convencionales no poseían, estas simulaciones salían más económicas que lo
experimental o se podía ver el comportamiento del flujo que no podía ser estudiado por métodos
experimentales en este estudio dos aplicaciones son descritas en detalle: (1) La determinación del
campo de flujo alrededor del transbordador espacial y (2) La computación de un flujo separado
turbulento trans-sonico pasando un flujo de espesor biconvexo [Mc Cormack y Stevens, 1976].
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval 6
Capítulo 1|
Barbe T., Ives D., et al. (1985), hacen uso de herramientas computacionales como es el método
del elemento finito aplicado a la dinámica de fluidos para el diseño de un inyector subsónico, el
diseño fue corroborado por medio de los resultados en una prueba, dando resultados muy
favorables y próximos al campo de flujo real.
Manson D. y Blotter O. (1986), llevaron a cabo una investigación en la cual desarrollaron una
herramienta analítica para tratar la estabilidad aero-elástica en elementos cónicos con un flujo
supersónico, con especial aplicación en las toberas de los cohetes.
Rai M. (1987), lleva acabo el análisis numérico de la interacción de un Rotor/Estator el cual
sirve para optimizar el rendimiento de la turbo-maquinaria. En este estudio se empleó un sistema
de encimado y suerposisición de mallas, para el rotor /estator para una turbina axial. Los
resultados encontrados por este trabajo se encontraron muy de acorde con los experimentales
(Velocidad Mach, Preción, presiones inestables, amplitudes y fases).
Liang P., Jensen R., y Chang Y. (1987), realizan el análisis de la inyección en spray y campos de
combustión del pre-combustor del transbordador espacial, usando un código numérico de tres
fases con el objetivo de definir las características de la flama y obtener los contornos de
temperatura en varias localizaciones, esta información es crucial para delimitar los factores en el
control de las inestabilidades de la combustión y la eficiencia.
Wey T. y Li C. (1991), realizan simulaciones numéricas de dinámica computacional de fluidos
(C.F.D.) para investigar las discrepancias del patrón de flujo en el transbordador espacial entre
los datos arrojados por el túnel de viento y durante el vuelo real. El entendimiento del campo de
flujo durante el ascenso del transbordador espacial, ayudaría a la implementación de una
metodología de diseño para la siguiente generación de vehículos espaciales.
El método del elemento finito y su constante desarrollo en diferentes tipos de elementos para
diversos propósitos, se comenzó a emplear como un criterio de diseño para el desarrollo de los
vehículos espaciales, telescopios, satélites, etc. que serían puestos en órbita o bien en el diseño de
los componentes auxiliares; esto se puede observar en trabajos como “Finite element solución for
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval 7
Capítulo 1|
a craked two layered elastic cylinder” se muestra la solución al problema de dos capas elásticas
en pleno esfuerzo y bajo condiciones de presión interna con un centro hueco cilíndricas mediante
elemento finito, este problema es de aplicación pertinente a la fractura mecánica de los estudios
de integridad en los granos del propelente solido [Swanson, 1971].
En el trabajo titulado “Numerical simulation of the dynamic thermostructural reponce a
composite rocket nozzle throat” en donde por medio del elemento finito se analiza la respuesta
termo-estructural de la garganta de una tobera de material compuesto [Morozov y Pitot de la
Beaujardiere, 2009].
En el trabajo titulado “Two-phases effect on hybrid rocket combustion” es un estudio donde se
analiza mediante elemento finito la aerodinámica y el procesos de combustión en la cámara de
combustión de un cohete hibrido bajo dos fases de flujo considerando la evaporación la
combustión y el arrastre de las gotas para predecir la temperatura, el modo en que se realiza la
combustión, la velocidad, etc [Lung, 2009.].
Sería interminable la lista de estudios que se han realizado mediante elemento finito para el
diseño, validación y propuestas de nuevos cohetes, elementos estructurales, subsistemas, etc.
1.4. Planteamiento del problema.
De acuerdo a la investigación realizada sobre el estado del arte, es posible plantear la siguiente
problemática: El uso del método de los elementos finitos, actualmente es muy usado para analizar
los comportamientos como son: mecánicos, flujo, análisis modales, térmicos, etc. Cada día es
más común ver mejora en los diseños de varios elementos mecánicos mediante el método del
elemento finito, ya que con el uso de este método los criterios a tomar en cuenta para el diseño se
amplían, debido, a que con este método se puede apreciar de una manera más precisa y detallada
el fenómeno mecánico al cual está sometido la pieza a diseñar. Como se puede apreciar con más
detalle los fenómenos mecánicos, en los elementos a diseñar o los sistemas mecánicos a diseñar,
el número de prototipos realizados disminuye muy abruptamente, ya que solo se requieren muy
pocos para validar el diseño por medio de experimentación.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval 8
Capítulo 1|
Los elementos mecánicos que interaccionan con un fluido, son muy comunes en todas las ramas
de la ingeniería. El estudio de un fluido puede ser de los análisis más complicados de manera
analítica, debido a la aleatoriedad de las partículas y a la diversas variables que intervienen en los
sistemas fluido-estructurales, más sin embargo con el desarrollo del método de los elemento
finitos y los métodos computacionales estos tipos de cálculos y/o aproximaciones se han vuelto
más fáciles de realizar y nos pueden ampliar el criterio de diseño de una manera impensable.
1.5. Sumario.
En el presente capítulo se han expuesto, varias investigaciones que se enfocan en la optimización
del diseño de los cohetes, ya sea reduciendo el peso en los materiales, en la aerodinámica de un
cohete, o en el flujo interno de los motores de cohetes para obtener mayores prestaciones de los
mismos. Así como varios trabajos en los cuales se puede apreciar el desarrollo del método de los
elementos finitos en el ámbito espacial. En el siguiente capítulo se aborda la problemática desde
lo general de un cohete hasta lo particular del problema de este trabajo de investigación que es la
tobera De Laval. También se realiza el dimensionamiento analítico básico del perfil de una tobera
el cual va a ser analizado numéricamente.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval 9
CAPÍTULO 2
Descripción del problema
No hay nada imposible, solo hay que descubrir los medios para conseguirlo.
Herman Julius Oberth. Físico alemán considerado uno de los tres padres de la astronáutica. (Alemania-Estados Unidos de Norte America 1984-1989)
Capítulo 2|
2.1 Generalidades.
Una rápida evaluación de las consecuencias en la carga útil puede ser por medio de la ley de
Tsiolkovsky. La Δv para un cohete de etapa simple está dada por la siguiente expresión.
Δv = 𝑔𝑔𝑜𝑜 𝐼𝐼𝑆𝑆 ∙ ln �M0
Mf� (2.1)
Donde Is es e impulso especifico, M0 es la masa inicial del sistema en donde se puede asumir que
𝑀𝑀0 = 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑀𝑀𝑖𝑖; Mi es la masa inerte, Mcu es la carga útil y Mf es la masa final del sistema
después del término de la misión asumiendo que 𝑀𝑀𝑓𝑓 = 𝑀𝑀𝑝𝑝𝑝𝑝; Mpr es la masa del propelente. g0 es
la gravedad y esta es constante. Por lo tanto la carga útil que puede llevar un cohete lanzador está
dada por la siguiente Ecuación [Maggi F., Bandera A., et al., 2009].
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑀𝑀𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 � ∆𝑣𝑣𝐼𝐼𝑠𝑠𝑔𝑔0�− 𝑀𝑀𝑖𝑖
(2.2)
En la Ecuación 2.1 se puede observar que variando la velocidad de expulsión de los gases y la
relación de la masa del combustible respecto a la masa del cohete, es teóricamente posible
obtener una velocidad e impulso deseado. En la Ecuación 2.2 se puede observar que si se reduce
la masa inerte del cohete, se puede llevar una mayor carga útil al espacio.
2.2 Componentes generales de un cohete.
A partir de un proceso de diseño es que se pueden crear diferentes implementos mecánicos
complejos. Durante el desarrollo de este proceso de diseño se contempla inicialmente un conjunto
de necesidades a resolver y posteriormente se desarrolla un sistema que pueda dar solución a las
problemáticas planteadas. Muchas veces en la construcción de una máquina y al dar solución a un
problema de diseño se requiere de la formación de conjuntos que, trabajando de manera
sincronizada den como resultado la solución esperada. Por esta razón se describen a continuación
las necesidades principales por las cuales se requiere de la construcción de un cohete.
Las necesidades principales para el uso de un cohete son , para poner satélites en sus diferentes
orbitas ( GEO, MEO LEO), misiones espaciales robóticas o tripuladas, compostura o
modificación de satélites o telescopios en órbita ( Hubble), misiones de investigación espacial
(International Space Station), para fines bélicos como son los te llevar carga explosiva ( ICBM ”
Inter-Continental Ballistic Missile”). Para cumplir con este tipo de misiones los componentes
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 11
Capítulo 2|
esenciales de un cohete deben de ser los que se muestran en la Figura 2.1. Y en donde la
optimización y ahorro de peso pueden ser vitales para mejorar el rendimiento del mismo.
Figura 2.1 Componentes generales de un cohete.
A continuación se describen por separado cada una de las partes generales de un cohete:
• Estructura del cohete o marco. En la Figura 2.2 se muestra la estructura general de un cohete.
El marco está construido por materiales muy resistentes pero livianos, como titanio o aluminio, y
usualmente emplean grandes “largueros” estos van desde la parte superior hasta la parte inferior
del cohete estos están conectados por anillos los cuales rodean todo el cohete [Soriano, 2014].
•
La “piel” o cubierta está unida a los largueros y anillos” que tienen la forma básica del cohete. La
piel debe estar recubierta por un sistema de protección térmica para mantener el calor producido
por la fricción del aire durante el vuela fuera de los componentes internos del cohete y mantener
las temperaturas bajas necesarias para algunos combustibles y oxidantes. Todos los cohetes si no
es que la mayoría poseen aletas en la parte inferior del marco, para proveer de estabilidad durante
el vuelo [Benson, 2011].
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 12
Capítulo 2|
Figura 2.2 Fuselaje de un cohete.
•
• Carga útil. Como se muestra en la Figura 2.3 la carga útil se localiza en la punta del cohete. Este
depende de la misión del cohete, Las primeras cargas útiles fueron fuegos pirotécnicos para los
días festivos. La carga del alemán V-2, eran varios miles de kilogramos de explosivos. Después
de la Segunda Guerra Mundial muchos países desarrollaron misiles balísticos guiados armados
con ojivas nucleares como carga útil. Los mismos cohetes fueron modificados para lanzar
satélites con un amplio rango de misiones; comunicaciones, monitoreo del clima, espionaje,
exploración planetaria y observación como el telescopio espacial Hubble, Cohetes espaciales
fueron desarrollados para poner personas en la órbita lunar y en la superficie lunar.
• Sistema de guía del cohete. En la Figura 2.4 se muestran los sistemas guías más típicos de un
cohete. Estos pueden incluir varios sofisticados sensores, computadoras abordo, radares y
equipamiento de comunicación para maniobras de vuelo del cohete. Diferentes métodos han sido
desarrollados paras el control del cohete en vuelo.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 13
Capítulo 2|
Figura 2.3 Carga útil.
Los sistemas guía del V-2 incluían unas pequeñas paletas ubicadas en la tobera de salida para
dirigir el empuje del motor. Todos los sistemas guía pueden producir un torque en el cohete que a
su ves desbalancean el centro de gravedad para causar que el cohete rote en pleno vuelo. En los
cohetes modernos el que rota y dirige el empuje es la tobera que típicamente gira para realizar las
maniobras de vuelo [Benson, 2011].
Figura 2.4 Sistemas guía de un cohete
• Sistema de propulsión. Como se observa en la Figura 2.5 la mayor parte del cohete consta del
sistema de propulsión [Arianespace service & solutions, 2012]. Hay dos clases principales de
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 14
Capítulo 2|
sistemas de sistemas de propulsión de los motores los de propelente líquido y motores de
propelente sólido. El V2 empleaba un motor de propelente líquido en cual consiste en los tanques
de almacenaje, bombas, una cámara de combustión con todo y tobera de salida, con todo y la
tubería asociada. El Transbordador espacial, el Delta III y el Titán III usan cohetes solidos como
potenciadores [Benson, 2011].
•
Figura 2.5.Coponentes del cohete Soyuz empleado en el año 2012.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 15
Capítulo 2|
2.3 Sistemas de propulsión.
Los sistemas de propulsión de son la llave al espacio. El futuro de la economía y logística del
espacio dependerá de una gran variedad y eficiencia de los motores de propulsión espacial, de
manera similar que en el transporte y comercio dependen de la locomoción del motor de
combustión interna. Los sistemas de propulsión pueden ser clasificados de acuerdo al tipo de
energía esta puede ser química, nuclear, o solar. Su función básica como es etapa, potenciador,
sustentador, control de altitud, para mantener la posición de orbita, etc. El tipo de vehículo
(aeronave, misil, asistente en el despegue, vehículo espacial), tamaño, tipo de propelente, tipo de
construcción o por el número de etapas que contiene el cohete, o por el modo en el que producen
empuje. A partir de la creación de misil balístico V-2 en 1942 los cohetes de combustión química
son los más usados, pero una de sus limitantes es que poseen un bajo impulso específico [Sutton
G y O Biblard, 2001]. La Figura 2.8 muestra los sistemas de propulsión más usados para el
lanzamiento y/o puesta en órbita de la carga útil en el espacio.
Figura 1.6 Clasificación de los sistemas de propulsión.
Tipos de combustible
Solido Hibrido Liquido
Suministro del combustible por preción de gas
Suministro del combustible por turbo-bombas
Ciclo generador
Ciclo expansor
Combustion escalonada
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 16
Capítulo 2|
2.3.1 Sistemas de propulsión de combustible sólido.
Son sistemas químicos “simples”, son comúnmente identificados por no tener ningún tipo de
parte móvil y generalmente son de operación simple, con respecto a las partes móviles, aunque es
cierto que los motores de combustión solida no emplean turbomaquinaria o válvulas aguas arriba,
la tobera de salida del flujo de trabajo puede moverse o una válvula de inyección de fluido actúa
en la tobera de salida., para actuar como vector de control de empuje [Greatrix D, 2012].
Los motores de combustible sólido son compuestos generalmente por un cámara hueca en la cual
va el propelente (propegol o grano). Dicho propelente es una mezcla de un oxidante y un
combustible que son independientes al medio que lo rodean; es decir que pueden generar
combustión sin la necesidad del aire, el tamaño y la forma del grano influyen de manera
significativa en el rendimiento de este tipo de motores; de una cámara de post-combustión, así
como de una tobera de salida la cual también es diseñada de acuerdo a la especificación de la
misión (Figura 2.7). También cuentan con un dispositivo automático de ignición. Dicho
dispositivo es el encargado de iniciar la combustión en el propelente [Shearer D y G Vogth,
1999].
Figura 2.7 Componentes de un motor de combustible sólido.
2.3.2 Motores de combustible hibrido.
Los motores de combustible hibrido (HRM) están compuestos por en su mayor parte de un
oxidante líquido y de un combustible sólido, sus principales componentes son un tanque de
almacenamiento de oxidante y una cámara hueca donde es alojado el combustible sólido.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 17
Capítulo 2|
El oxidante es inyectado a la cámara de alojamiento del combustible sólido, gracias a un tanque
de gas a presión. Al entrar a la cámara donde se encuentra alojado el combustible sólido este es
vaporizado y sufre una pre-combustión, después es mezclado con el combustible sólido, y antes
de que llegue a la tobera de salida es quemado completamente, produciendo los gases necesarios
para suministrar el empuje necesario. Sus componentes principales se muestran en la Figura 2.8
Comparado con los motores de combustible sólido (SRM), los HRM son más seguros y pueden
tener un mayor promedio de impulso específico. Comparado con los motores de combustible
líquido son menos complejos y más baratos [Guobiao C, et al., 2013].
Figura 2.8 Componentes de un motor de combustible hibrido.
2.3.3 Motores de combustible líquido.
Los motores de combustible líquido pueden ser clasificados de dos maneras, las cuales son
caracterizadas por la manera en que suministran combustible a la cámara de combustión del
motor de cohete. Estos motores están compuestos en su mayoría por dos tanques en los cuales se
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 18
Capítulo 2|
almacena el combustible y el oxidante líquido, diferente tipo de válvulas que controlan y/o
restringen el paso del propelente, sistema de inyectores (plato de inyección) para atomizar el
líquido y realizar la mezcla, cámara de combustión y tobera de salida [Sutton G y O Biblard,
2001]. A continuación se describen estos dos tipos de motores.
• Suministro por presión de gas. En este sistema el combustible es suministrado por medio de un
gas presurizado como se muestra en la Figura 2.9.
Figura 2.9 Componentes principales de un sistema de alimentación por gas.
• Suministro por turbo-bombas. Este tipo de sistema de alimentación de combustible consta de:
un impelente más un difusor, para presurizar el propelente en un solo camino, (sin flujo de
retorno), este sistema es el encargado de inyectar el combustible a la cámara de combustión
[Greatrix, 2011]. Este tipo de motores se clasifican de acuerdo al tipo de ciclo del motor. Un ciclo
de motor para la alimentación de las turbo-bombas lo describe específicamente el flujo del
propelente a través de los componentes del motor. [Redondo, 2009].
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 19
Capítulo 2|
o Ciclo generador de gas: El gas que evoluciona en la turbina para mover las bombas, es generado
por la quema del oxidante y el combustible en una cámara pequeña llamada generador de gas tras
esto, los gases producto de la combustión atraviesan la turbina(Figura 2.10) [Redondo, 2009].
o
Figura 2.10 Componentes principales de un ciclo generador de gas
o Ciclo expansor: En un ciclo de expansión el combustible se calienta antes de su combustión, por
lo general con el calor residual de la cámara principal de combustión. A medida que el
combustible líquido pasa a través de conductos de refrigeración en las paredes de la cámara de
combustión, se produce un cambio de fase a estado gaseoso. El combustible en estado gaseoso se
expande a través de una turbina con la diferencia de presión entre la presión de suministro y la de
escape ambiental para iniciar la rotación de la turbo bomba. En un ciclo de expansión el
combustible se calienta antes de su combustión, por lo general con el calor residual de la cámara
principal de combustión. A medida que el combustible líquido pasa a través de conductos de
refrigeración en las paredes de la cámara de combustión, se produce un cambio de fase a estado
gaseoso (Figura 2.11) [i Bel y M., Martínez, 2001].
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 20
Capítulo 2|
Figura 2.11 Ciclo expansor
a) Ciclo cerrado; b) Ciclo cerrado
o Ciclo de combustión escalonada: En el ciclo de combustión escalonada, la trayectoria de alguno
de los propelentes criogénicos es prácticamente similar al del ciclo expansor. En este ciclo una
alta presión se genera en el pre-combustor (generador de gases.) debido a la quema del
combustible con una parte del oxidante los cual provee una alta energía a las turbinas de gas. El
flujo de salida de gas en las turbinas es totalmente inyectado dentro de la cámara principal de
combustión donde se quema con el demás oxidante. Este ciclo se presta para una cámara de
combustión relativamente pequeña (Figura 2.14) [Di Matteo, 2011].
A pesar de que los sistemas de propulsión tienen diferentes componentes para realizar su función,
el principio de operación es el mismo; la combustión de un oxidante y un propelente que toma
lugar en la “cámara de combustión”, produce un gas a alta presión y temperatura, este pasa a la
tobera de salida, la cual es la encargada de convertir la alta presión del gas caliente generado en la
cámara de combustión, en un flujo de salida en movimiento a gran velocidad. La expansión de
este gas a través de la tobera produce el trabajo y la aceleración del cohete. La tobera de salida es
por lo general idéntica en forma tanto en motores sólidos, híbridos y líquidos [Turner M, 2009].
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 21
Capítulo 2|
Figura 2.12 Ciclo de combustión escalonada.
2.4 ¿Que es la propulsión?
Los sistemas de propulsión por lo general trabajan del mismo modo. El oxidante y el combustible
que es quemado en la cámara de combustión producen una reacción exotérmica en el caso del
oxígeno líquido y el hidrogeno líquido la reacción que se obtiene es la siguiente.
2𝐻𝐻2 + 𝑂𝑂2 → 2𝐻𝐻2𝑂𝑂(𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔) + 𝐻𝐻𝑒𝑒𝑔𝑔𝐻𝐻
Al principio de la Ecuación química se tienen 2 moléculas de hidrogeno y una de oxigeno que
como , productos de esta combustión en este caso es vapor de agua súper caliente el cual ejerce
presión sobre las paredes de la cámara de combustión, cuando el vapor de agua escapa a través de
la tobera del motor del cohete crea un desbalance de fuerzas, el cual ejerce una fuerza normal y
opuesta a la sección transversal de la tobera de salida, por ende el empuje del cohete aproximado
puede ser dado por:
𝑇𝑇𝑏𝑏 ≅ (𝑃𝑃𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑝𝑝𝑠𝑠)(𝐴𝐴 𝑛𝑛𝑜𝑜𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑠𝑠) (2.3)
Donde Tb es el empuje del motor, Pstream es la presión del vapor y Anozzle es el área de salida de la
tobera.
Todos los motores de cohete son diseñados de acuerdo a al empuje deseado. Se tiene claro que el
empuje es directamente proporcional a la presión de gas generada en la cámara de combustión del
motor de cohete y al área de la garganta de la tobera de salida.
Para incrementar el empuje que es proporcionado por el motor de cohete se debe de incrementar
la presión en la cámara de combustión. También podemos incrementar el empuje incrementando
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 22
Capítulo 2|
el área de la garganta de la tobera de salida, pero podría requerir una mayor tasa de expulsión de
vapor; Para mantener la relación de presión estable en la cámara de combustión la taza de
expulsión de vapor a través de la tobera no debe de ser mayor a la relación de la quema de
combustible en la cámara de combustión [Chandrahas, 2011].
2.5 Discusión sobre el empuje.
La tercera ley de Newton se establece que, “Si un objeto A ejerce una fuerza F sobre un objeto B,
entonces el objeto B ejerce una fuerza- F sobre el objeto, de igual magnitud y dirección que F
pero en el sentido opuesto”, este es el principio de operación de todos los cohetes [Sánchez,
2013].
El empuje es la fuerza producida por un sistema de propulsión actuando sobre un fluido de
trabajo, generando la aceleración de la masa del gas por medio de la expulsión de los gases por
medio de la tobera de salida, generando una fuerza en dirección contraria al sentido del cohete.
La magnitud del empuje depende de la cantidad de gas que es acelerado y de la diferencia de
velocidad en la garganta de la tobera del cohete [NASA, 2014] si el flujo másico y la velocidad es
axial y uniforme, el empuje es dado por:
𝐹𝐹 =
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝐻𝐻
𝑣𝑣2 = �̇�𝑑𝑣𝑣2 =�̇�𝑤𝑔𝑔𝑜𝑜𝑣𝑣2 (2.4)
Donde �̇�𝑑 es el flujo másico, 𝑣𝑣2. Es la velocidad del fluido al final de la tobera; �̇�𝑤 es la velocidad
del flujo másico; 𝑔𝑔0 es la gravedad estándar
Esta ecuación representa la fuerza total de propulsión cuando la presión de salida de la tobera es
igual a la presión del medio ambiente. La Figura 2.13 muestra esquemáticamente la presión
externa actuando uniformemente en la cara externa del cohete y la presión de gas en el lado en un
motor de cohete típico.
El empuje axial puede ser determinado por la integral de la presión actuando en las áreas que
pueden proyectar un plano normal al eje de la tobera.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 23
Capítulo 2|
Figura 2.13 Distribución de la presión en la tobera
Debido a que la geometría del motor es constante y la presión ambiental cambia conforme a la
altura, se produce un desbalance en las condiciones externas o atmosféricas de la presión (p3) y el
la presión local (p2) de los gases calientes que son expulsados de la tobera. Para razones de
estudio el sistema de propulsión opera moviéndose a través de una atmosfera homogénea, es
decir que la presión atmosférica no cambia por la altura obtenida en el trayecto del cohete, por lo
tanto el total del empuje es igual a:
𝐹𝐹 = �̇�𝑑𝑣𝑣2 + (𝑒𝑒3 − 𝑒𝑒3)𝐴𝐴2 (2.5)
Donde el primer término representa momento de empuje y es representado por la relación del
flujo másico del propelente y la velocidad relativa de salida del gas. El segundo término
representa la presión del empuje y consiste en el área transversal de la tobera de salida A2 y la
diferencia entre la presión del gas y la presión ambiental. La tobera del cohete es usualmente
diseñada para una presión de salida igual o ligeramente mayor a la presión atmosférica [Sutton G,
2001].
2.6 Tobera.
La tobera es un componente primario de los sistemas de propulsión. Esta transforma la energía
interna aleatoria que se encuentra en la cámara de combustión en energía cinética para
incrementar el momento del flujo [Terawi A, 2007]. Esta es un dispositivo simple, con forma de
cono por el cual pasan los gases calientes producidos en la cámara de combustión [Benson T,
2014].
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 24
Capítulo 2|
2.7 Tipos de tobera.
Hay diversas conFiguraciones actualmente que proveen un diferente empuje, la mayoría
usualmente son de sección transversal circular y tiene una sección convergente, una sección
transversal más pequeña llamada garganta, y una sección divergente como se muestra en la
Figura 2.16.
Figura 2.16 Secciones de una tobera
La sección convergente de la tobera entre la cámara y la garganta de la tobera no es un valor
crítico para lograr un alto rendimiento. El flujo subsónico en esta sección puede ser fácil mente
transformada en un flujo de baja presión en cualquier radio, ángulo de cono, el contorno de la
pared, o forma de la entrada a la tobera de manera satisfactoria. El contorno de la garganta no es
muy crítico para el rendimiento, y cualquier radio curvatura es usualmente aceptable. El gradiente
de presión es alto en estas dos regiones y el flujo se adhiere a la pared. La principal diferencia
entre las diferentes configuraciones de la tobera es la sección divergente en la sección en donde el
flujo es supersónico, en esta parte de la tobera la superficie debe de ser lisa y pulida para
minimizar la fricción, la absorción por radiación, y la transferencia de calor debido a la superficie
rugosa. La tabla 2.1 Muestra las diferentes configuraciones más ampliamente usadas. El diseño
de una tobera y/o motor de cohete puede hacerse de manera ideal el cual simplifica las
ecuaciones del diseño en simples
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 25
Capítulo 2|
Tabla 2.1 Diferentes configuraciones para toberas.
Distribución de
la masa de
fluido en la
salida
Flujo con
sobre-
expansión a
nivel del mar
Flujo con sub-
expansión a
altitud
Forma
Cono
(15° mitad del
ángulo)
longitud
completa con
perfil de
Contorneada o
forma de
campana corta
Aerospike
completo
Aerospike corta
Expansión-
deflexión
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 26
Capítulo 2|
Relaciones termodinámicas. Los valores de diseño de la tobera y/o motor pueden ser
modificados por factores de corrección para convertir los parámetros de diseño en valores más
aproximados a los reales, Mediante experimentación se ha comprobado que los valores ideales
comparados con los reales poseen una variación del 1 al 6%. En el diseño de nuevos cohetes está
aceptado el uso de las ecuaciones ideales y posteriormente añadir modificaciones, según
corresponda al caso, para realizar las correcciones apropiadas
2.8 Tobera ideal.
Para el diseño de un propulsor ideal se deben de tomar varias asunciones para que el diseño sea
válido las cuales se describen a continuación:
1. El flujo de trabajo es homogéneo (o los productos de la reacción química).
2. Todas las substancias de flujo de trabajo son gaseosas. Cualquier fase de condensación es
despreciable para el total de la masa.
3. La substancia de trabajo obedece perfectamente a la ley de los gases ideales.
4. No existe transferencia de calor a través de las paredes del fluido, de tal manera que el
flujo es adiabático.
5. La fricción no es apreciable y los efectos de la capa limite son despreciables.
6. No existen ondas de impacto o discontinuidades en el flujo de la tobera.
7. El flujo del propelente es estable y constante. La expansión en el fluido de trabajo es
uniforme y constante. Los efectos transitorios son de corta duración que pueden ser
despreciables.
8. La salida de los gases a través de la tobera de salida poseen una velocidad axial.
9. La velocidad, presión, temperatura y densidad son uniformes a travez de toda la sección
normal del eje de la tobera.
10. El equilibrio químico es establecido dentro de la cámara del cohete y la composición del
gas no cambia en la tobera.
11. Los propelentes almacenables están a la temperatura de almacenaje. Los propelentes
criogénicos están en su punto de ebullición.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 27
Capítulo 2|
Se debe aclarar suposición que la suposición 6. Esta suposición se realiza en base a que cuando se
diseña un motor cohete para aplicación real, sólo una tobera supersónica resulta interesante, en la
cual discontinuidades de estos tipos solo pueden aparecer en el exterior de la tobera.
Otro punto a aclarar es el número 7. En toberas axilsimétricas no ideales, es el valor de v2 es
normalmente mayor en el centro y se reduce según nos acercamos a las paredes, por lo que la
velocidad no es uniforme en la sección de salida. La media de la velocidad se puede determinar
en una tobera axilsimétrica, como función del radio.
𝑣𝑣2 =
2𝜋𝜋𝐴𝐴2
� 𝑣𝑣2𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑝𝑝2
0
(2.6)
Donde 𝑣𝑣2 es la velocidades de salida del gas en la tobera; 𝐴𝐴2 es el Área de salida del gas en la
tobera; r es el radio de la tobera.
Estas suposiciones serán más o menos acertadas según el tipo y las características del cohete
utilizado. En sistemas con combustible líquido y un buen sistema de inyección, el combustible y
el oxidante se mezclan perfectamente, resultando un fluido de trabajo homogéneo. En un cohete
de combustible sólido, el gas es necesariamente homogéneo y uniforme y el consumo es
estacionario. En sistemas de propulsión nuclear, por calentamiento solar o por arco, se asume que
la temperatura del fluido de trabajo es uniforme en cualquier sección transversal de la tobera.
Dado que las temperaturas en la cámara anterior a la tobera son elevadas, superiores a 2000
grados Kelvin con facilidad, los gases están muy por encima de sus puntos de saturación y se
comportan como gases ideales. Las pérdidas por fricción en la tobera son muy difíciles de
calcular con precisión, pero normalmente son muy pequeñas. Exceptuando las cámaras muy
pequeñas las pérdidas de energía debidas a pérdidas de calor por las paredes son despreciables. Si
a esto le sumamos la suposición de flujo estacionario, la tobera puede considerarse isentrópica y
reversible, y por lo tanto la transformación de energía térmica en cinética es máxima. En una
tobera simple supersónica esta transformación ocurre de manera progresiva y sin
discontinuidades u ondas de choque.
Los diez postulados anteriores permiten derivar una teoría simple, cuasi unidimensional, para el
flujo en toberas.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 28
Capítulo 2|
2.9 Principios termodinámicos con flujo isentrópicos.
Los principios termodinámicos que gobiernan la operación de una tobera son varios, dentro de
los cuales se encuentran, el principio de la conservación de la energía, el principio de la
conservación de la masa, la ley de los gases ideales, etc.
El principio de conservación de la energía aplicada a un proceso con flujo adiabático esto quiere
decir que no hay intercambio de calor con el ambiente, sin adición o pérdida de calor ni
intercambio de trabajo con el ambiente, puede aplicarse a este caso. Cuando no existe fricción, el
proceso pasa a ser isentrópico y reversible, lo que significa que la variación de entropía es nula.
El concepto de entalpía aquí es útil, ello consiste en la suma de la energía interna del gas más el
trabajo que realiza o recibe el gas, y se expresa como la constante del calor específico Cp
multiplicado por la temperatura absoluta T. En un proceso adiabático la entalpía total, o de
estancamiento, ℎ0 es contante. También se puede expresar de la forma:
ℎ0 = ℎ +
𝑣𝑣2
2= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑔𝑔𝐻𝐻𝑔𝑔𝑐𝑐𝐻𝐻𝑒𝑒 = 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑇𝑇0
(2.7)
En donde ℎ0 es la entalpia de estancamiento; h es la entalpia; v es la velocidad; Cp es el calor
específico a presión constante.
La conservación de la energía en un flujo isentrópico entre dos secciones x e y muestra que una
variación de entalpía, es decir en la temperatura, será compensada con una variación igual en la
energía cinética del fluido.
ℎ𝑥𝑥 − ℎ𝑦𝑦 =12�𝑣𝑣𝑦𝑦2 − 𝑣𝑣𝑥𝑥2� = 𝐶𝐶𝑝𝑝�𝑇𝑇𝑥𝑥 − 𝑇𝑇𝑦𝑦�
(2.8)
En donde ℎ𝑥𝑥 es la entalpia en un punto “x” a lo largo de la tobera; ℎ𝑦𝑦 es la entalpia en un punto
“y” a lo largo de la tobera; 𝑣𝑣𝑦𝑦 es la velocidad del fluido en un punto “y” de la tobera; 𝑣𝑣𝑥𝑥 es la
velocidad del fluido en un punto “x” de la tobera; 𝑇𝑇𝑥𝑥 es la temperaura en un punto “x” en la
tobera;
𝑇𝑇𝑦𝑦 es la temperatura en un punto “y” de la tobera.
El principio de conservación de la masa en un flujo estacionario indica que el flujo másico a
través de cualquier sección de un conducto, o tobera, es constante. Matemáticamente a esta
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 29
Capítulo 2|
ecuación se la denomina Ecuación de continuidad. Dicha ecuación en su forma diferencial sería
como sigue:
𝑑𝑑 �𝑣𝑣𝐴𝐴𝑉𝑉� = 0 (2.9)
Donde V representa el volumen específico, v la velocidad local del gas y A es el área de la
sección. Cuando esta Ecuación se integra en un conducto en cualquiera de sus secciones, a o b, se
obtiene:
�̇�𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑦𝑦̇ =
𝐴𝐴𝑥𝑥𝑣𝑣𝑥𝑥𝑉𝑉𝑥𝑥
=𝐴𝐴𝑦𝑦𝑣𝑣𝑦𝑦𝑉𝑉𝑦𝑦
(2.10)
Donde �̇�𝑑𝑥𝑥 es el flujo másico en un punto “x” a lo largo de la tobera; �̇�𝑑𝑦𝑦 es el flujo másico en un
punto “y” de la tobera, 𝐴𝐴𝑥𝑥, 𝐴𝐴𝑦𝑦 es el área en diferentes puntos “x” y “y” de la tobera; 𝑣𝑣𝑥𝑥, 𝑣𝑣𝑦𝑦 es la
velocidad en diferentes puntos “x” y “y” de la tobera; 𝑉𝑉𝑥𝑥, 𝑉𝑉𝑦𝑦 es el volumen en diferentes puntos
“x” y “y” de la tobera.
Otra ecuación importante es la de los gases ideales. Es un gas hipotético formado por partículas
puntuales, sin atracción ni repulsión entre ellas y cuyos choques son perfectamente elásticos
(conservación de momento y energía cinética). La energía cinética es directamente proporcional a
la temperatura en un gas ideal.
𝑃𝑃𝑉𝑉 = 𝑅𝑅𝑇𝑇 (2.11)
Donde R es la constante del gas, resultado de la división de la constante universal de los gases R’
entre el peso molecular del propio gas ɱ. Cuando se trata de una mezcla de gases, el peso
molecular debe promediarse; P es la presión del fluido; V es el volumen; T es la temperatura.
La relación entre el calor específico a presión constante del gas 𝐶𝐶𝑝𝑝 y su calor específico a
volumen constante 𝐶𝐶𝑣𝑣, se conoce como gamma, γ,
𝛾𝛾 =
𝐶𝐶𝑝𝑝𝐶𝐶𝑣𝑣
(2.12)
También es interesante la siguiente relación de términos para más adelante:
𝐶𝐶𝑝𝑝𝑅𝑅
=𝛾𝛾
(𝛾𝛾 − 1) (2.13)
El calor específico a presión contante también se puede definir como la derivada parcial de la
entalpía respecto a la temperatura a presión constante.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 30
Capítulo 2|
Para un flujo isentropico y adiabático las siguientes relaciones se cumplen a lo largo de un
conducto:
𝑇𝑇𝑥𝑥𝑇𝑇𝑌𝑌
= �𝑃𝑃𝑥𝑥𝑃𝑃𝑦𝑦�
(𝛾𝛾−1)𝛾𝛾
= �𝑉𝑉𝑦𝑦𝑉𝑉𝑥𝑥�𝛾𝛾−1
(2.14)
En una expansión isentrópica en tobera de un flujo estacionario, la presión disminuye, la
temperatura absoluta desciende en un factor bastante menor y el volumen específico se
incrementa.
Cuando flujo isentropico se encuentra virtualmente estático en la garganta de la tobera prevalecen
las condiciones que se conocen como condiciones de estancamiento (“0”). La temperatura de
estancamiento 𝑇𝑇0 se puede encontrar con la Ecuación de la energía y está dada por
𝑇𝑇0 = 𝑇𝑇 +
𝑣𝑣2
�2𝐶𝐶𝑝𝑝𝐽𝐽� (2.15)
Donde T es la temperatura absoluta del fluido estático; v es la velocidad; J es el equivalente
mecánico del calor.
En un proceso adiabático las condiciones de estancamiento permanecen constantes y se siguen
cumpliendo las relaciones anteriores para temperatura, presión y volumen.
𝑇𝑇0T
= �𝑃𝑃0P�
(𝛾𝛾−1)𝛾𝛾
= �V𝑉𝑉0�𝛾𝛾−1
(2.16)
Donde T0 es la temperatura de estancamiento, P0 es la presión de estancamiento, V0 es el
volumen especifico de estancamiento, T es la temperatura estática del fluido, P la presión estática
del fluido y V el volumen estático especifico del fluido
Otro parámetro muy importante es la velocidad del sonido en un gas, que determinará qué
velocidad marca la frontera entre subsónico y supersónico en nuestro fluido, y en un gas ideal es
independiente de la presión. Su definición es la siguiente:
𝑔𝑔 = �𝛾𝛾𝑅𝑅𝑇𝑇 (2.17)
El numero mach es una relación inversamente proporcional entre la velocidad del flujo v y la
velocidad local acústica “a”.
𝑀𝑀 = 𝑣𝑣𝑔𝑔
= 𝑣𝑣
�𝛾𝛾𝑅𝑅𝑇𝑇 (2.18)
Donde M es el numero mach
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 31
Capítulo 2|
Cuando se tiene una relación menor a uno se dice que el flujo es sub-sónico, con una relación
igual a 1 el flujo es sónico y mayor a 1 el flujo es supersónico.
En un proceso adiabático la temperatura de estancamiento permanece constante. La relación entre
la presión de estancamiento y la presión local en el flujo son relacionadas en la siguiente
expresión matemática.
𝑃𝑃0𝑃𝑃
= �1 +𝑣𝑣2
�2𝑐𝑐𝑝𝑝𝐽𝐽𝑇𝑇��
𝛾𝛾(𝛾𝛾−1)
= �𝑉𝑉𝑉𝑉0�𝛾𝛾
(2.19)
Donde 𝑃𝑃0 es la presión de estancamiento; 𝑉𝑉0 es el volumen de estancamiento
Cuando la velocidad local es cercana a cero, la temperatura local y la presión son aproximadas a
las de estancamiento, esta región se encuentra en la cámara de combustión donde la velocidad de
gas es pequeña.
La relación entre el numero mach y la temperatura de estancamiento está dada por
𝑇𝑇0 = 𝑇𝑇 �1 +12
(𝛾𝛾 − 1)𝑀𝑀2� (2.20)
Despejando M se tiene:
𝑀𝑀 = �
2𝛾𝛾 − 1
�𝑇𝑇0𝑇𝑇− 1� (2.21)
Donde M es el numero mach deseado.
A comparación de la temperatura, la presión de estancamiento es constante durante un proceso
adiabático, la presión puede ser calculada mediante la siguiente Ecuación.
𝑃𝑃0 = 𝑃𝑃 �1 +
12
(𝛾𝛾 − 1)𝑀𝑀2�𝛾𝛾
(𝛾𝛾−1) (2.22)
La relación de áreas para las toberas con un flujo isentropico puede ser expresada en términos de
número Mach
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 32
Capítulo 2|
𝐴𝐴𝑦𝑦𝐴𝐴𝑥𝑥
=𝑀𝑀𝑥𝑥
𝑀𝑀𝑦𝑦
��1 + �(𝛾𝛾 − 1)
2� �𝑀𝑀𝑦𝑦2
1 + �(𝛾𝛾 − 1)2� �𝑀𝑀𝑥𝑥
2�
(𝛾𝛾+1)(𝛾𝛾−1)�
(2.23)
Donde Ay y Ax son las áreas en diversos puntos de la tobera.
Teniendo en cuenta que el valor mach en la garganta es uno la Ecuación queda de la siguiente
manera
𝐴𝐴𝑦𝑦𝐴𝐴𝑥𝑥
=1𝑀𝑀𝑦𝑦
��1 + �(𝛾𝛾 − 1)
2� �𝑀𝑀𝑦𝑦2
1 + �(𝛾𝛾 − 1)2� �1
�
(𝛾𝛾+1)(𝛾𝛾−1)�
(2.24)
La contracción de la cámara de combustión a la garganta tiene valores pequeños estos valores van
desde una relación 3 a 6. Cuando la tobera se encuentra en la sección divergente la relación de
áreas es de suma importancia para el diseño de la tobera, los valores de esta relación suelen variar
de 15 a 30 con un Mach de 4 dependiendo del valor de 𝛾𝛾.
2.9.1 Flujo isentropico a través de tobera
A partir de la primera Ecuación 2.8 podemos obtener la velocidad del fluido a la salida de la
tobera, 𝑣𝑣2:
𝑣𝑣2 = �2𝐽𝐽(ℎ1 − ℎ2) + 𝑣𝑣12 (2.25a)
Donde J es el equivalente mecánico del calor
Esta Ecuación es aplicable a cohetes tanto ideales como no ideales. Esta Ecuación puede ser
reescrita haciendo uso de relaciones termodinámicas anteriores como:
𝑣𝑣2 = �2𝛾𝛾𝛾𝛾 − 1
𝑅𝑅𝑇𝑇1 �1 − �𝑃𝑃2𝑃𝑃1�
(𝛾𝛾−1)𝛾𝛾�
� + 𝑣𝑣12
(2.25b)
En los casos en los que la sección de la cámara de combustión es mucho mayor que la de la
tobera la velocidad v1 puede despreciarse y simplificar la Ecuación de la siguiente manera.
Pudiendo referirse todo a condiciones de estancamiento:
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 33
Capítulo 2|
𝑣𝑣2 = �2𝛾𝛾𝛾𝛾 − 1
𝑅𝑅𝑇𝑇1 �1 − �𝑃𝑃2𝑃𝑃1�
(𝛾𝛾−1)𝛾𝛾�
� = �2𝛾𝛾𝛾𝛾 − 1
𝑅𝑅′𝑇𝑇0ɱ
�1 − �𝑃𝑃𝑦𝑦𝑃𝑃0�
(𝛾𝛾−1)𝛾𝛾�
� (2.26)
Se puede observar que la velocidad de escape de los gases es una función de la relación p1/p2 y
del parámetro γ, y es proporcional a la raíz de la temperatura. También se puede hacer el cambio
de T0 a la velocidad del sonido de estancamiento a0:
𝑔𝑔0 = �𝛾𝛾𝑅𝑅𝑇𝑇0 (2.27)
𝑣𝑣2 = 𝑔𝑔0�2
𝛾𝛾 − 1�1 − �
𝑃𝑃2𝑃𝑃1�
(𝛾𝛾−1)𝛾𝛾�
� (2.28)
De estas ecuaciones podemos deducir que existe una velocidad máxima teórica para la salida del
gas de la tobera. Cuando tengamos una relación de presiones infinita:
(𝑣𝑣2)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 = �
2𝛾𝛾𝑅𝑅𝑇𝑇0𝛾𝛾 − 1
= 𝑔𝑔0�2
𝛾𝛾 − 1 (2.29)
La velocidad de salida tiene un máximo finito para esta situación. En esta expansión, la
temperatura del gas cae por debajo del punto de licuefacción o incluso del punto de
solidificación, por lo que la velocidad teórica calculada no puede ser alcanzada.
2.9.2 Configuración de tobera.
Si en una tobera se desean alcanzar velocidades superiores a las del sonido, el área necesaria de
tobera decrece hasta un mínimo, para posteriormente crecer. Las toberas de este tipo, muchas
veces llamadas toberas de De Laval, consisten en un tramo convergente seguido uno divergente
de conducto. El área mínima de la tobera se llama garganta. Según la Ecuación de conservación
de la masa, o de continuidad, el área es inversamente proporcional a la relación v/V, velocidad -
volumen específico. A la relación del área de salida frente al área de garganta se le denomina
ratio o relación de expansión el cual es un factor importante en el diseño de cohetes y esta dada
por la siguiente Ecuación:
∈=𝐴𝐴2𝐴𝐴𝑠𝑠
(2.30)
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 34
Capítulo 2|
El máximo flujo de gas por unidad de área ocurre en la garganta en donde hay una relación de
presión de gas única, la cual está en función de la relación de calores específicos γ, está dada por
la siguiente Ecuación:
𝑃𝑃𝑠𝑠𝑃𝑃1
= ��2
(𝛾𝛾 + 1)��𝛾𝛾
(𝛾𝛾−1) (2.31)
La presión en la garganta Pt hace que el flujo másico sea el máxima y es llamada presión critica.
La presión de entrada a la tobera es muy cercana a la presión de estancamiento de la cámara de
combustión. En el punto que la presión es crítica, el número Match es uno y los valores de
volumen especifico y temperatura pueden ser obtenidos de las siguientes ecuaciones:
𝑉𝑉𝑠𝑠 = 𝑉𝑉1 �
(𝛾𝛾 + 1)2
�
1(𝛾𝛾−1)
(2.32)
𝑇𝑇𝑠𝑠 =2𝑇𝑇1
(𝛾𝛾 + 1) (2.33)
En donde la T1 es muy cercana a la temperatura de combustión y por lo tanto muy cercano al
flujo de estancamiento T0. Haciendo uso de las ecuaciones 2.25, 2.31 y 2.33 se puede obtener la
velocidad crítica en la garganta:
𝑣𝑣𝑠𝑠 = �
2𝛾𝛾𝛾𝛾 + 1
𝑅𝑅𝑇𝑇1 = �𝛾𝛾𝑅𝑅𝑇𝑇𝑠𝑠 = 𝑔𝑔𝑠𝑠 (2.34)
Es decir, en la garganta con condiciones de presión críticas, la velocidad de fluido coincide con la
del sonido, lo que equivale a un Mach. Esto se conoce como bloqueo sónico. Esta velocidad no se
puede superar en un conducto meramente convergente. La parte divergente de la tobera nos
permite disminuir más la presión e incrementar la velocidad más allá de la velocidad del sonido.
Si la tobera acaba en la garganta, la salida del fluido es sónica. La condición de flujo sónico o
supersónico sólo puede darse si se alcanza presión crítica en la tobera. Por lo que básicamente
existen tres posibles tipos de toberas: subsónicas, sónicas y supersónicas. Sus características se
pueden comparar en la Tabla 2.2.
Las toberas supersónicas son las normalmente utilizadas en cohetes. La relación de presiones
entre la cámara de combustión y el ambiente en todos los cohetes es lo suficientemente grande
como para conseguir flujo supersónico. Si la presión de la cámara baja de las 2.17 atm,
aproximadamente, el chorro será subsónico con la tobera funcionando al nivel del mar.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 35
Capítulo 2|
La velocidad del sonido es igual a la velocidad de propagación de una onda de presión en el
medio, ya que el sonido es una onda de presión. Si se alcanza la velocidad sónica en algún punto
de una corriente estacionaria, será imposible que ninguna onda atraviese dicha sección aguas
arriba de la corriente. Por otra parte, cualquier perturbación o pequeña obstrucción del flujo aguas
abajo de la garganta, no tiene influencia sobre el flujo en la garganta o aguas arriba de la misma,
siempre y cuando, esta perturbación no haga aumentar la presión aguas abajo por encima de la
presión crítica. No es posible aumentar la velocidad del flujo en la garganta disminuyendo la
presión aguas abajo. A esta situación se le llama bloqueo sónico.
El flujo a través de la sección crítica o garganta en una tobera supersónica se puede obtener a
partir de las ecuaciones 2.10, 2.32 y 2.34 y es igual al flujo másico en cualquier sección dentro
de la tobera resultando:
�̇�𝑑 =𝐴𝐴𝑠𝑠𝑣𝑣𝑠𝑠𝑉𝑉𝑠𝑠
= 𝐴𝐴𝑠𝑠𝑃𝑃1𝛾𝛾
�� 2𝛾𝛾 + 1�
(𝛾𝛾+1)(𝛾𝛾−1)
�𝛾𝛾𝑅𝑅𝑇𝑇1
(2.35)
Tabla 2.2.- Clasificación de la toberas de acuerdo a su velocidad
Subsónicas Sónicas Supersónicas
Velocidad en la
garganta 𝑣𝑣1 < 𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑣𝑣1 = 𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑣𝑣1 = 𝑔𝑔𝑠𝑠
Velocidad a la salida 𝑣𝑣2 < 𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑣𝑣2 = 𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑣𝑣2 > 𝑔𝑔𝑠𝑠
Numero Mach 𝑀𝑀2 < 1 𝑀𝑀2 = 𝑀𝑀𝑠𝑠 = 1 𝑀𝑀2 > 1
Relación de presiones 𝑃𝑃1𝑃𝑃2
< �𝑘𝑘 + 1
2�
𝑘𝑘(𝑘𝑘−1)
𝑃𝑃1𝑃𝑃2
=𝑃𝑃1𝑃𝑃𝑠𝑠�𝑘𝑘 + 1
2�
𝑘𝑘(𝑘𝑘−1)
𝑃𝑃1𝑃𝑃2
> �𝑘𝑘 + 1
2�
𝑘𝑘(𝑘𝑘−1)
Perfil de la tobera
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 36
Capítulo 2|
Para una tobera supersónica la relación entre el área garganta y el área a lo largo de la parte
divergente, en la que la presión Px prevalece, puede ser expresada como en función de la relación
de presiones y calores específicos como se expresa en la siguiente Ecuación
𝐴𝐴𝑠𝑠𝐴𝐴𝑥𝑥
=𝑉𝑉𝑠𝑠𝑣𝑣𝑥𝑥𝑉𝑉𝑥𝑥𝑣𝑣𝑠𝑠
= �𝛾𝛾 + 1
2�
1(𝛾𝛾−1)
�𝑃𝑃𝑥𝑥𝑃𝑃1�1𝛾𝛾�𝛾𝛾 + 1𝛾𝛾 − 1
�1 − �𝑃𝑃𝑥𝑥𝑃𝑃1�
(𝛾𝛾−1)𝛾𝛾
�
(2.36)
Cuando sea Px=P2, entonces Ax/At=A2/At=ε. En aplicaciones a bajo nivel (o-10.000m), las
relaciones de área en toberas suelen tener valores de ε=3-35, dependiendo de la presión en la
cámara de combustión, para altitudes mayores se usan valores de entre 40 y 100, aunque a se ha
llegado hasta 400. Una expresión simila para la relación de velocidades en cualquier punto en la
parte divergente de la tobera está dada en función de la presión Px, y la velocidad puede ser
expresada con la siguiente Ecuación
𝑣𝑣𝑥𝑥𝑣𝑣𝑠𝑠
= �𝑘𝑘 + 1𝑘𝑘 − 1
�1 − �𝑃𝑃𝑥𝑥𝑃𝑃1�
(𝛾𝛾−1)𝛾𝛾�
(2.37)
Estas ecuaciones permiten obtener inmediatamente la relación de áreas y velocidades en toberas
ideales. Y realizar el dimensionamiento básico de una tobera supersónica de tipo De Laval.
2.10 Dimensionamiento de la tobera.
A pesar de la complejidad, este proceso es básico que para efectos funcionales deberá
corroborarse con un trabajo experimental completo el cual queda fuera de los alcances de este
trabajo.
Para llevar a cabo el dimensionamiento del perfil de una tobera de tipo De Laval se requiere de
una presión en de entrada (cámara de combustión) que para este caso es de 10 Mpa que es una
presión típica para las cámaras de combustión de acuerdo a Valera (2012) y una presión de salida
de 77.327 KPa que es la presión atmosférica en el D.F, que usa como combustible Hidrogeno y
Oxígeno líquido, el cual tiene como relación de calor especifico de 1.26 con una temperatura en
la cámara de combustión de 2959 K° [Sotton y Biblard, 2001]. La tabla 2.3 los datos iniciales
para el cálculo.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 37
Capítulo 2|
Tabla 2.3.- Datos iniciales para el calculo
Concepto Valor Unidades
Presión en la cámara de combustión
(P1)
10 Mpa
Presión de salida (P2) 0.077327 MPa
Relación de calores específicos (k) 1.26 ---
Temperatura en la cámara de
combustión
2959 K°
Empuje 5000 N
Constate de los gases 8314.3 𝐽𝐽𝑑𝑑𝑐𝑐𝑚𝑚 − 𝐾𝐾°
Masa molar 8.9 𝐾𝐾𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐𝑚𝑚
Con la Ecuación 2.34 se obtiene la velocidad del fluido en la garganta, sustituyendo los valores se
tiene.
𝑣𝑣𝑠𝑠 = �2𝛾𝛾𝛾𝛾 + 1
𝑅𝑅𝑇𝑇1 = �2(1.26)1.26 + 1
8314.38.9
2959 = 1758.49 𝑑𝑑𝑔𝑔
Con la Ecuación 2.26 se obtiene a velocidad de escape del fluido.
𝑣𝑣2 = �2𝛾𝛾𝛾𝛾 − 1
𝑅𝑅′𝑇𝑇0ɱ
�1 − �𝑃𝑃𝑦𝑦𝑃𝑃0�
(𝛾𝛾−1)𝛾𝛾�
�
𝑣𝑣2 = �2(1.26)1.26 − 1
8314.3(2959)8.9
�1 − �(0.077327)
(10)�
(1.26−1)1.26�
� = 4119.248𝑑𝑑𝑔𝑔
El consumo ideal de propelente ideal para condiciones óptimas de expansión puede ser obtenido
con la siguiente Ecuación.
�̇�𝑑 =𝐹𝐹𝑣𝑣2
=5000
4119.248= 1.2138
𝑘𝑘𝑔𝑔𝑔𝑔𝑒𝑒𝑔𝑔
El volumen específico a la entrada de la tobera se puede obtener con la Ecuación de los gases
ideales:
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 38
Capítulo 2|
𝑉𝑉1 =𝑅𝑅𝑇𝑇1ɱ𝑃𝑃1
=8314.3(2959)(8.9)(10𝑒𝑒106)
= 0.27642 𝑑𝑑3
𝑘𝑘𝑔𝑔
Los volúmenes específicos de la garganta y de la sección de salida son obtenidos de las
ecuaciones 2.14 y 2.32:
𝑉𝑉𝑠𝑠 = 𝑉𝑉1 �(𝛾𝛾 + 1)
2�
1(𝛾𝛾−1)
= 0.27642 �(1.26 + 1)
2�
1(1.26−1)
= 0.4423𝑑𝑑3
𝑘𝑘𝑔𝑔
𝑉𝑉2 = 𝑉𝑉1 �𝑃𝑃1𝑃𝑃2�1𝛾𝛾
= 0.27642 �10
0.077327�
11.26
= 13.1068𝑑𝑑3
𝑘𝑘𝑔𝑔
Con los volúmenes específicos de la garganta y de salida se pueden obtener el área de sección
transversal de la tobera y su relación de expansión de la misma con el uso de la Ecuación 2.35 y
su variación para el área de salida.
𝐴𝐴𝑠𝑠 =�̇�𝑑𝑉𝑉𝑠𝑠𝑣𝑣𝑠𝑠
=1.2138(0.4423)
1758.49= 0.000305298 𝑑𝑑2 = 3.05298 𝑐𝑐𝑑𝑑2
𝐴𝐴2 =�̇�𝑑𝑉𝑉2𝑣𝑣2
=1.2138(13.1068)
4119.248= 0.000386212 𝑑𝑑2 = 38.6212 𝑐𝑐𝑑𝑑2
∈=𝐴𝐴2𝐴𝐴𝑠𝑠
=38.62123.05298
= 12.65
Para obtener la temperatura de salida del dluo se usa la Ecuación 2.16
𝑇𝑇2 = 𝑇𝑇1 �𝑃𝑃2𝑃𝑃1�
(𝛾𝛾−1)𝛾𝛾
= 2959 �0.077327
10�
(1.26−1)1.26
= 1085.935 °𝐾𝐾
De acuerdo a Sharma, et. al (2011) el área de la cámara de combustión se puede obtener con la
siguiente Ecuación.
𝐴𝐴𝑐𝑐 = 3𝐴𝐴𝑠𝑠 = 3(3.05298) = 9.15894 𝑐𝑐𝑑𝑑2
Para obtener el radio de cada una de las áreas se despeja r de la Ecuación del área de un círculo.
𝑟𝑟 = �𝐴𝐴𝜋𝜋
Radio de la garganta.
𝑟𝑟𝑠𝑠 = 0.9857 𝑐𝑐𝑑𝑑
Radio de la cámara de combustión.
𝑟𝑟𝑐𝑐 = 1.7074 𝑐𝑐𝑑𝑑
Radio a la salida de la tobera.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 39
Capítulo 2|
𝑟𝑟𝑠𝑠 = 3.5062 𝑐𝑐𝑑𝑑
Para obtener la longitud de la tobera se usa la siguiente relación.
𝐿𝐿𝑐𝑐𝑜𝑜𝑛𝑛𝑜𝑜 =𝑟𝑟𝑠𝑠 − 𝑟𝑟𝑠𝑠tan𝜃𝜃
𝐿𝐿𝑐𝑐𝑜𝑜𝑛𝑛𝑜𝑜 =3.5062 − 0.9857
tan 15°= 9.4066 𝑐𝑐𝑑𝑑
Con los datos obtenidos se puede realizar el diseño del perfil normalizado de la tobera como. Los
valores obtenidos se emplean para realizar el trazo del perfil que finalmente queda como se
muestra en la figura 2.17
Figura 2.16. Perfil normalizado para el diseño de la tobera
Para obtener el ángulo inicial y final de una tobera contorneada se hace uso de la siguiente gráfica
(Figura 2.18) en donde se hace uso de la relación de expansión para determinar dichos ángulos
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 40
Capítulo 2|
Figura 2.18 Angulo inicial y final de una tobera contorneada.
La Tabla 2.3 muestra los datos geométricos requeridos para obtener el perfil de la tobera de
longitud completa.
Tabla 2.3 Parámetros geométricos para el diseño de la tobera.
Geometría Media
Radio de la garganta. 0.9857cm
Radio de salida. 3.5062 cm
Radio de la cámara de
combustión.
1.7074 mm
Longitud total del cono. 9.4066 cm
Angulo inicial de la
parábola.
22°
Angulo final de la
parábola.
6°
En la Figura 2.19 se puede apreciar las dimensiones generales de la tobera.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 41
Capítulo 2|
Figura 2.19 Dimensiones generales de la tobera.
2.11 Uso de las simulaciones numéricas en la tecnología espacial.
La validación de las estructuras de vehículos espaciales por análisis numéricos y pruebas físicas
es planteada en normas como la ECSS-E-ST-10-03C. y la ECSS-E-ST-10-02C, uno de los ciclos
de validación más común es expuesto en el procedimiento en la Figura 2.20.
A fin de avaluar un potencial desajuste entre las cargas de diseño y las cargas actuales en un
vuelo de un cohete. Los análisis numéricos de verificación practicados comúnmente mediante
elemento finito son:
• Análisis modal.
• Análisis de esfuerzos, incluyendo los termo-elásticos.
• Análisis de estabilidad a la flexión.
• Análisis transitorios.
• Análisis de respuesta a la frecuencia.
• Análisis de fatiga y crecimiento de grieta.
• Análisis acústicos.
• Análisis a respuesta aleatorias.
• Análisis de micro-vibraciones.
• Análisis de desplazamiento.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 42
Capítulo 2|
Este trabajo de investigación se enfoca en el análisis estructural mediante elemento finito de la
estructura básica de una tobera de tipo convergente-divergente (De Laval).
Figura 2.16 Ciclo de validación para piezas espaciales.
2.12 Condiciones de la simulación.
Se analizara mediante el método del elemento finito, los esfuerzos en un a tobera de tipo De
Laval, por la presión ejercida por un flujo a través de la misma. El estudio de este tipo de efectos
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 43
Capítulo 2|
es de suma importancia para el diseño eficiente, en donde se podrían ver afectados varios
aspectos mecánicos de la tobera. En la Figura 2.17 se muestran las condiciones de frontera y
cargas a aplicar para la obtención de los esfuerzos en la tobera.
2.21 Condiciones empleadas para la realización de la simulaciones
2.13 Sumario.
En el presente capítulo se expuesto las diferentes partes que conforman un cohete de manera
general; así como los diferentes sistemas de propulsión que existen, y sus partes principales, en
donde se puede apreciar que cada uno de ellos, tienen como parte similar la tobera de salida, la
cual es un elemento impórtate, ya que esta es la encargada de transformar la presión de gas
generado en la combustión, en energía cinética y brindar de empuje al cohete.
Así como también lar relaciones termodinámicas que se usan para el dimensionamiento de un
perfil de tobera ideal. Y los cálculos básicos para el dimensionamiento de la misma. Y el ciclo
por el cual debe de pasar las estructuras espaciales para su validación, el cual incluye el uso del
elemento finito. Así como las condiciones de frontera generales para la simulación.
En el siguiente capítulo se aborda la teoría general de flujo, así como también se expone la teoría
general del elemento finito, para de esta manera ampliar la visión general del método del
elemento finito y tener un criterio más amplio sobre lo realiza el programa de computo.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 44
CAPÍTULO 3
Marco Teórico
Es difícil decir que algo es imposible, para el sueño del ayer la esperanza hoy será la realidad del mañana.
Robert Huchings Goddard. Es considerado uno de los padres de la cohetería moderna. (Octubre 1882-Agosto 1945
Capítulo 3|
3.1 Generalidades.
Debido a que el interés del presente trabajo de investigación se enfoca en el análisis de esfuerzos
en una Tobera de tipo De Laval, por el paso de un fluido a presión a través de la misma, se requiere
de un análisis de campos acoplados, en la Figura 3.1 se plantea la metodología para este tipo de
simulación [ANSYS, 2013].
Figura 3.1 Análisis numérico de campos acoplados.
Para este propósito es importante la siguiente limitante: En análisis numéricos de este tipo se
supone que la geometría no se deforma o se deforma muy poco, como para cambiar el patrón de
flujo. El propósito de una simulación numérica es dar una descripción de la realidad o fenómeno
físico, basada en el método científico [Álvarez, 2014]. Algunos autores definen a la simulación
como la técnica numérica para realizar experimentos en un ordenador digital, que implica ciertos
tipos de modelos lógicos y matemáticos que logran describir el comportamiento de los sistemas
sobre un cierto periodo de tiempo [García, et al., 2005]
3.2. Análisis de flujo.
La Dinámica computacional de fluidos o CFD es una rama de la mecánica de fluidos que usa
métodos numéricos y algoritmos para resolver y analizar problemas que involucran el flujo de un
fluido [Satyanarayana, et al., 2013]. Las características físicas de un flujo son usualmente descritas
a través de ecuaciones matemáticas fundamentales, usualmente en forma de ecuaciones
diferenciales parciales, las cuales gobiernan un proceso de interés y son regularmente llamadas
ecuaciones de gobierno en CFD [Tu, Yeoh, et al. 2008]. Uno de los softwares que incluyen esta
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 46
Capítulo 3|
relación de ecuaciones fundamentales es ANSYS ® Fluent, el cual consiste en tres principales
elementos: pre-procesamiento, solver o solucionador y post-procesos. La Figura 3.1 presenta la
inter-conectividad de estos tres elementos [Quintao, 2012].
3.2 Algoritmo de solución CFD Fluent
3.2.1 Ecuaciones de gobierno.
Las ecuaciones de gobierno están basadas en la conservación de la masa, el momentum y la energía.
Las ecuaciones de conservación están relacionadas con la tasa de cambio en la cantidad de esa
propiedad dentro de un volumen de control arbitrario, la velocidad de transporte atreves de la
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 47
Capítulo 3|
superficie del volumen de control y la tasa de relación de producción dentro de ese volumen
[Tu,Yeoh, et al., 2008; Quintao, 2012].
Las ecuaciones de Navier-Stokes para flujos compresibles son un ejemplo de las ecuaciones de
gobierno. Las siguientes ecuaciones incluyen transferencia de calor ��̇⃗�𝑞� y fuerzas de cuerpo
�𝑏𝑏�⃗ �[Tu,Yeoh, et al., 2008; Quintao, 2012, Alvarez, 2014; Najar, et al., 2013].
Ecuación de la continuidad. Describe la conservación de la masa:
𝜕𝜕𝜌𝜌𝜕𝜕𝑡𝑡
+ ∇�𝜌𝜌𝑉𝑉�⃗ � = 0 (3.1)
Ecuaciones del momento.
𝜕𝜕(𝜌𝜌𝜌𝜌)𝜕𝜕𝑡𝑡
+ ∆(𝜌𝜌𝜌𝜌𝑉𝑉) = �−𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕� + 𝜌𝜌𝑓𝑓𝑥𝑥 (3.2)
𝜕𝜕(𝜌𝜌𝜌𝜌)𝜕𝜕𝑡𝑡
+ ∆(𝜌𝜌𝜌𝜌𝑉𝑉) = �−𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕� + 𝜌𝜌𝑓𝑓𝑦𝑦 (3.3)
𝜕𝜕(𝜌𝜌𝜌𝜌)𝜕𝜕𝑡𝑡
+ ∆(𝜌𝜌𝜌𝜌𝑉𝑉) = �−𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕� + 𝜌𝜌𝑓𝑓𝑧𝑧 (3.4)
Ecuación de la energía.
𝜕𝜕𝜕𝜕𝑡𝑡�𝜌𝜌 �𝑒𝑒 +
𝑉𝑉2
2�� + ∇ �𝜌𝜌 �𝑒𝑒 +
𝑉𝑉2
2�𝑉𝑉�⃗ � = 𝜌𝜌�̇⃗�𝑞 −
𝜕𝜕(𝜌𝜌𝜕𝜕)𝜕𝜕𝜕𝜕
+𝜕𝜕(𝜌𝜌𝜕𝜕)𝜕𝜕𝜕𝜕
+𝜕𝜕(𝜌𝜌𝜕𝜕)𝜕𝜕𝜕𝜕
+ 𝜌𝜌𝑓𝑓 ∙ 𝑉𝑉�⃗ (3.5)
Ecuaciones de Navier-Stokes
Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel
Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el
movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes
oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el
que se involucren fluidos newtonianos.
Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la
termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulación integral de
las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando ciertas
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 48
Capítulo 3|
consideraciones, principalmente aquella en la que los esfuerzos tangenciales guardan una relación
lineal con el gradiente de velocidad (ley de viscosidad de Newton), obteniendo de esta manera la
formulación diferencial que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se
plantean en la mecánica de fluidos.
Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas
parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y
salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica;
por lo que en muchas ocasiones es preciso recurrir al análisis numérico para determinar una
solución aproximada.
3.2.2 Modelos de turbulencia.
La solución de las ecuaciones que gobiernan el comportamiento del fluido no presentan gran
dificultad en el caso de flujos laminares o no viscos. Por el contrario, la dificultad de predicción de
los flujos turbulentos. La estructura de un fluido en régimen turbulento es caracterizado por la
aleatoriedad, del movimiento tridimensional de las partículas de un fluido además del movimiento
medio, en el cual es un mescla macroscópica de partículas de fluido con las capas de fluido
adyacentes [Quintao, 2012]. La turbulencia es un fenómeno susceptible a ser definido como:
• Un movimiento tridimensional y caótico de torbellinos de distintos tamaños superpuestos
a un movimiento o flujo principal del fluido
• Un disipador importante de energía
• Se considera el último gran problema sin resolver de la Dinámica de Fluidos.
Todos los modelos de turbulencia conocidos tiene sus limitaciones, un modelo de turbulencia
definitivo aún no ha sido desarrollado [Álvarez, 2014]. La clasificación de los principales modelos
de turbulencia que existentes en la literatura se muestra en la Figura 3.2 en donde se ordenan en
función del costo asociado a su empleo [Sanchez 2004].
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 49
Capítulo 3|
Figura 3.3. Simplificación de los modelos viscosos
Simulación Numérica Directa (DNS).
No se trata en si de un modelo de turbulencia, sino la solución completa de las ecuaciones de
Navier-Stokes. Este método resulta inabordable en problemas con altos números de Reynolds, ya
que sería preciso resolver todas las escalas del movimiento (desde la dimensión característica del
problema hasta la escala de pequeños torbellinos). Para ello resulta necesario definir un gran
número de elementos, el cual se estima en el orden de Re9/4[Deissler, 1998] aproximadamente. No
obstante, las supercomputadores y grandes clúster, han obtenidos buenos resultados para flujos
simples a números de Reynolds moderados, ayudándonos a comprender el fenómeno de la
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 50
Capítulo 3|
turbulencia y a desarrollar modelos más simples [Álvarez, 2014; Sánchez, 2004]. Los
requerimientos computacionales incrementan con el número de Reynolds. Esto hace que la
aplicabilidad del DNS para uso industrial sea limitada. Las restricciones provienen del hecho de
que se resuelven escalas de flujo del orden de Kolmogorov(𝜂𝜂). En el orden en que se resuelve el
campo turbulento para DNS, diferentes soluciones en sido sugeridas en la literatura. Acuerdo con
Leonard, para realizar una simulación numérica confiable la energía de disipación turbulenta, el
espacio dela malla deben de ser tan pequeñas que la longitud de la escala correspondiente para el
pico en el espectro de disipación y el espacio medio entre la malla no sean más largos que
determinaciones viscosa de Kolmogorov [Uddin, 2008].
Gran simulación de Eddy (Large Eddy Simulation “LES”).
La simulación completa de un flujo turbulento, dependen del tiempo y a elevados números de
Reynols, es prácticamente imposible por la finura de la desratización que se necesita; el tamaño de
los elementos debe de ser menor que la más pequeña escala de movimiento. Así es como él LES
aparece como una alternativa más viable que el DNS [Zapata, 2014]. El desarrollo del LES se basa
en la observación de que las pequeñas escalas de turbulencia poseen un carácter más universal que
las grandes. Por lo tanto, la idea es resolver únicamente las grandes escalas de la turbulencia y
aproximar el efecto de las pequeñas escalas (por esto él LES necesita una desratización menos fina
que el DNS) [Sánchez, 2004]. La razón del LES es que un fluido a gran escala sea turbulento es
debido directamente por inestabilidad del flujo principal (esfuerzos cortantes y efectos de
flotabilidad) debe ser simuladas directamente como dependientes del problema, anisotrópico y
juegan un papel en el transporte de la masa, el momentum y la energía. Por otro lado, las escalas
más pequeñas pueden ser modeladas con menos efecto en la calidad de predicción [Uddin, 2008].
El modelo LES se basa en un filtrado espacial de las ecuaciones de gobierno del fluido de tal
manera que se resuelven computándose las grandes escalas (el movimiento turbulento de grandes
remolinos), mientras que para escalas más pequeñas se asume un modelo que permite considerar
de forma aproximada su influencia en la variación general de los parámetros del flujo.
Teóricamente esto corresponde al filtrado matemático de las ecuaciones de conservación mediante
la convoluciòn de estas con diferentes funciones filtrantes, que pueden ser de dependencia espacial
o frecuencial. Comúnmente se emplean dos funciones espaciales, una de tipo rectangular y otra
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 51
Capítulo 3|
gausiana y una frecuencial de tipo filtro pasa bajo. Las más empleadas son las de filtrado espacial
[Capote,J., et al., 2008]. Cabe mencionar que este tipo de modelos se comportan bien en las
regiones alejadas de la frontera de contorno, mientras que el comportamiento turbulento del flujo
cerca de la frontera no es tan bueno.
Promedio de Reynolds Navier-Stokes (Reynolds Average Navier-Stokes “RANS”).
El siguiente modelo de aproximación es el promedio de Reynolds de las ecuaciones de Navier-
Stokes. Esta aproximación propuesta por Reynolds en 1895 está basada en la descomposición de
las variables de flujo en un valor medio y otro fluctuante. Las ecuaciones de Navier-Stokes se
formulan en función de las variables promedio, obteniendo así un nuevo sistema de ecuaciones
denominado RANS, muy parecido al original, pero con un término adicional y desconocido que
hace falta modelar [Alvarez, 2014] en adición se requieren de otras ecuaciones para cerrar el
sistema, Se presentan dos variantes principales de evaluación: La de Reynolds y la de Favre. Esta
última emplea magnitudes promedias por unidad de masa. En todos los casos la dificultad para el
cierre del sistema de ecuaciones se deriva de la elección de las ecuaciones para representar el tensor
𝜏𝜏𝑖𝑖𝑖𝑖 que representan las tenciones de turbulencia de Reynolds.
𝜏𝜏𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜇𝜇𝑡𝑡 �𝑆𝑆𝑖𝑖𝑖𝑖23𝛿𝛿𝑖𝑖𝑖𝑖(∇ ∙ 𝜌𝜌��)�
En la actualidad existen diferentes métodos o modelos de solución para el RANS encaminados a
calcular este coeficiente de viscosidad dinámica (𝜇𝜇𝑡𝑡),. Los grandes grupos se pueden dicidir en los
siguientes incisos [Capote, et al., 2008]:
• Modelos de cero ecuaciones.
El método más sencillo para hallar el coeficiente de viscosidad dinámica (𝜇𝜇𝑡𝑡), es emplear un
modelo que no precise ninguna ecuación adicional. Esta es la base del modelo de la longitud
mezclada de Prandtl que establece un enlace entre (𝜇𝜇𝑡𝑡) y el gradiente de velocidad a través de una
expresión algebraica [Capote, et al., 2008].
• Modelos de una ecuación.
Existen diferentes modelos que emplean una ecuación para calcular (𝜇𝜇𝑡𝑡), el modelo de Baldwin-
Barth, el modelo Sparlat-Allmara, el modelo Prandtl-Kolmgorov, etc. El modelo Sparlat-Allmara
el cual resuelve las ecuaciones de conservación para viscosidad cinemática turbulenta (Eddy
viscosity) [Capote, et al., 2008]. Este modelo fue diseñado específicamente para las aplicaciones
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 52
Capítulo 3|
aeroespaciales concernientes a paredes delimitadas y ha mostrado excelentes resultados para capa
límite sometido a gradientes de presión adversos, este modelo fue desarrollado para perfiles
aerodinámicos y no para flujos industriales en general. La variable de transporte dentro del modelo
Sparlat-Allmaras es la viscosidad dinámica (�⃗�𝜌) y por lo regular se aproxima mucho a la viscosidad
cinemática, excepto en la región cercana a la pared [Álvarez, 2014].
• Modelos de dos ecuaciones.
Los modelos de dos ecuaciones son los más empleados dentro de los modelos RANS. Existen
diferentes modelos dentro de este apartado, siendo los más conocidos el modelo 𝑘𝑘 − 𝜀𝜀 y el modelo
𝑘𝑘 − 𝜔𝜔. Estos modelos están vasados en la energía cinetica tubulenta, para las ecuaciones de cierre.
Y en la ecuación de la relación de disipación para el caso de 𝑘𝑘 − 𝜀𝜀 y el la ecuación de la disipación
especifica par el caso de 𝑘𝑘 − 𝜔𝜔 [Quintao, 2012].
o Modelo 𝑘𝑘 − 𝜀𝜀.
El modelo estándar 𝑘𝑘 − 𝜀𝜀 es un modelo semi-empirico basado en las ecuaciones de
energía cinetica del fluido turbulento (K) y en la velocidad de disipacion (ԑ) al sistema
de ecuaciones del fluido. Mediante estas dos ecuaciones se calculan los valores de estas
variables para posteriormente calcular 𝜇𝜇𝑡𝑡 [Capot, et al, 2008].
𝜇𝜇𝑡𝑡 = �̅�𝜌𝐶𝐶𝜇𝜇𝑘𝑘2
𝜀𝜀
o Modelo 𝑘𝑘 − 𝜔𝜔
El modelo 𝑘𝑘 − 𝜔𝜔 es un modelo empírico basado en el las ecuaciones del modelo de
transporte de la energía cinética turbulenta (k) y el las tasa de disipación especifica (𝜔𝜔)
estas ecuaciones interactúan para el posterior cálculo de 𝜇𝜇𝑡𝑡, en este caso de la energía
cinética del fluido turbulento k y de la disipación especifica 𝜔𝜔. Esta última variable
determina la escala de la turbulencia, mientras que k determina la energía de la
turbulencia [Capot, et al, 2008].
𝜇𝜇𝑡𝑡 = �̅�𝜌𝑘𝑘𝜔𝜔
• Modelos de más ecuaciones.
Existen modelos que emplean un mayor número de ecuaciones para poder calcular el
Valor de 𝜇𝜇𝑡𝑡.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 53
Capítulo 3|
Dentro de estos modelos se encuentra el modelo de tención de Reynolds (RSM): son modelos que
emplean siete ecuaciones para el cálculo de 𝜇𝜇𝑡𝑡. . Este método intenta resolver las ecuaciones del
transporte para las tensiones de Reynolds. Esto significa la introducción de varias ecuaciones del
transporte para todas las tensiones de Reynolds y por lo tanto un mayor coste computacional.
Actualmente hay muchas investigaciones en curso sobre este método, proponiéndose
continuamente nuevos modelos. Todavía no está claro que modelo es el mejor para cada clase de
flujo debido al hecho de que al estar en la necesidad de resolver un gran número de ecuaciones no
se sabe si los errores numéricos que se generan son excesivamente grandes [Capote, et al. 2008].
3.2.3 Discretización espacial.
Hay algunas técnicas computacionales que son requeridas para resolver las ecuaciones de gobierno.
El proceso para obtener la solución computacional consiste en dos etapas. La primera implica la
conversión de las ecuaciones parciales diferenciales y condiciones auxiliares (condiciones de
frontera e iniciales) en un sistema discreto de ecuaciones algebraicas. Esta etapa es conocida como
de desertización. La segunda etapa involucra la solución numérica de las ecuaciones algebraicas.
La cuales pueden ser resueltas por métodos directos, como el de la eliminación Gaussiana y el
algoritmo de Tomas, o por métodos iterativos como el de Jacobi y Gauss-Siedel [Tu, et al., 2008].
Una visión general de la solución del proceso computacional se presenta en la figura 3.4.
Dos de las más conocidas herramientas de discretización son el método de las diferencias finitas,
el método de los volúmenes finitos y el método del elemento finito.
Método de las diferencias finitas (DF).
En el método de las diferencias finitas, cada punto de la malla es usada para describir el dominio
del flujo el fluido, las expansiones de la serie de Taylor son usadas para generar las aproximaciones
de las diferencias finitas para las derivadas parciales de las ecuaciones de gobierno o un ajuste
polinominal, para obtener aproximaciones de la primera y segunda derivada de las variables con
respecto a las coordenadas
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 54
Capítulo 3|
Figura 3.4 Esquema general del procedimiento de la solución computacional.
Estas derivadas, remplazadas por aproximaciones en diferencias finitas, producen una ecuación
algebraica para la solución de flujo en cada punto de la cuadricula. Este método requiere
generalmente una malla uniformemente distribuida. Para mallas de distribución no uniforme,
alguna manipulación matemática es requerida para transforma las ecuaciones de gobierno en un
dominio computacional en coordenadas generalizadas antes de aplicar las aproximaciones de las
diferencias finitas [Quintao, 2008]. En principio el método de las diferencias finitas puede ser
aplicado a cualquier tipo de malla. Sin embargo, en todas las aplicaciones del método de las
Diferencias Finitas es aplicado a mallas estructuradas. Ya que el método de las DF´s se realiza
normalmente en una malla estructurada, esto es que cada nodo de la malla puede ser considerada
como el origen de un sistema de coordenadas, cuyos ejes coinciden con las líneas de la malla. Esto
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 55
Capítulo 3|
implica que dos líneas de la malla pertenecen a la misma familia, es decir 𝜉𝜉1, no interseca o se corta
y que cualquier par de líneas de la malla que pertenecen a diferentes familias, es decir 𝜉𝜉1 y 𝜉𝜉2 es
contante y solo se intersecan una vez, La Figura 3.5 muestra una representación de una y dos
dimensiones de una malla cartesiana para el método de las diferencias finitas.
Figura 3.5 Representación de una malla cartesiana para el método de Diferencias Finitas
a) Una dimensión; b) Dos dimensiones
Método de los Volúmenes Finitos (VF).
En el Método del Volumen Finito, el dominio computacional es sub-dividido en un número finito
de volúmenes contiguos. Por lo tanto, porque este método no trabaja como puntos de intersección
en la malla, tiene la capacidad de acomodarse a cualquier tipo de malla. Entonces, en lugar de una
malla estructurada, una malla no estructurada puede ser empleada. La solución del dominio esta
sub-dividido en un número contiguo de volúmenes de control (VC) y las ecuaciones de
conservación son aplicadas a cada volumen de control. En el centroide de cada VC se encuentra
un nodo de cálculo en el cual los valores de las variables han de ser calculados. La interpolación
es usada para para expresar los valores de las variables de las superficies del VC en términos del
valor nodal (centro del VC). Las integrales de superficie y de volumen se aproximan empleando
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 56
Capítulo 3|
fórmulas de cuadratura adecuadas. Como resultado se obtiene una ecuación algebraica para cada
VC, en que se presentan una seria de valores nodales vecinos. Debido a que no requiere de una
malla estruturada, es un método es adecuado para geometrías complejas, en donde la malla se limita
a definir las fronteras del VC y no necesita estar relacionado con un sistema de coordenadas. El
método es conservativo en cuanto las integrales de superficie (que representan los flujos
convectivos y difusivos) sean las mismas para los VC que comparten fronteras. El valor nominal
se deriva a partir de cantidades en la celda aguas arriba con respecto a la dirección normal de la
velocidad. De forma predeterminada, ANSYS Fluent ® almacena valores discretos del escalar en
el nodo central. En la Figura 3.6 se muestra una representación de una malla estructurada y no
estructurada para el método del volumen finito [Alvarez, 2014; Quintao, 2008]. La desventaja del
método del VF comparado con el de las DF es que en métodos de orden mayor al segundo son más
complicados de desarrollar para aplicaciones 3D. Esto es debido al hecho que las aproximaciones
del VF requieren de tres niveles de aproximación (interpolación, diferenciación e integración
[Álvarez, 2014].
3.6 Representación de una malla para volumen finito
a) Malla estructurada; b) Malla no estructurada
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 57
Capítulo 3|
Método del Elemento Finito.
Son en general extensiones de los métodos de estabilización desarrollados en diferencias finitas.
La estabilización en problemas de flujos compresibles consta de dos términos, uno para estabilizar
efectos de advección dominante, más un término de estabilización de discontinuidades o de choque
[Weht; Giovancchini, 2011]. El dominio es partido en un conjunto de volúmenes discretos o
elementos finitos los cuales generalmente están sin estructura definida (no estructurada). En dos
dimensiones, normalmente los elementos más empleados son triángulos o cuadriláteros, mientras
que en 3D se usan tetraedros o hexaedros En los métodos de los Elementos finitos más sencillos,
la solución es aproximada a través de una función de forma lineal dentro de cada elemento, de
manera que garantizar la continuidad de la solución a través de las fronteras del elemento.
Esta aproximación es sustituida posteriormente, en la integral ponderada de la ley de conservación
y las ecuaciones a resolver se derivan al requerir que la derivada de la integral con respecto a cada
valor nodal sea cero; esto corresponde a seleccionar la mejor solución dentro del conjunto de
funciones permitidas (la del residual mínimo). El resultado es un conjunto de ecuaciones
algebraicas no lineales. Una importante ventaja del método del elemento finito es la gran capacidad
en geometrías arbitrarias; existe amplia literatura dedicada a la construcción de mallas para el
método del elemento finito [Álvarez, 2014].
3.2.4 Condiciones de Contorno.
Independientemente de la metodología empleada para resolver las ecuaciones de gobierno, se
deben de especificar las condiciones de contorno e iniciales [Chattot, 2002]. Las condiciones
iniciales determinan el estado de las variables fluidas en el instante t = 0, o en el primer paso del
esquema de integración. Es obvio pensar que cuanto más cercana sea la condición inicial a la
solución final del problema, menor será el tiempo necesario empleado para la convergencia.
Además se reduce la posibilidad de que el problema se vuelva inestable y se llegue a la
convergencia de la solución. Una práctica general en aerodinámica es imponer como valores
iniciales las condiciones de flujo libre en velocidad, presión, densidad y temperatura.
En toda simulación numérica, se considera una parte del dominio fluido para la resolución de las
ecuaciones. Esto da lugar a un contorno artificial donde el valor de las variables fluidas tiene que
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 58
Capítulo 3|
ser especificados a través de lo que se conoce como condiciones de contorno (Figura 3.7). En
general, las condiciones de contorno se pueden clasificar en [Sánchez, 2004]:
• Condiciones de contorno de flujo libre: pueden ser de entrada, de salida o entrada/salida. Las
condiciones de contorno de entrada de flujo se especifican mediante las condiciones en el
infinito�𝜌𝜌∞,𝜇𝜇∞,𝜌𝜌∞,𝜌𝜌∞,𝜌𝜌∞,𝜕𝜕∞,𝑇𝑇∞�
• Condiciones de contorno de pared: modelan el comportamiento del flujo en las proximidades
de la superficie. Se puede imponer una condición de contorno de no deslizamiento (velocidad
nula en el punto de contacto, 𝜌𝜌 = 0), o de tangencia (velocidad normal a la superficie igual a
cero), como se puede observar en la figura 3.7.
•
Figura 3.7 Condiciones de contorno en el contacto del flujo con una superficie
a) No deslizamiento; b) Tangencia
3.3 Análisis Mecánico.
Klaus J. Bathe (1996) resume un proceso de análisis de elemento finito el cual se expone en la
Figura 3.8. El problema físico involucra una estructura o componente estructural sujeto a ciertas
cargas. La idealización de un problema físico en un modelo matemático requiere asumir ciertas
cosas que conllevan a ecuaciones diferenciales que gobiernan el modelo matemático. El análisis
de elemento finito resuelve el modelo matemático. Como la solución del elemento finito es un
procedimiento numérico, es necesario valorar la solución adecuadamente, de lo contrario, la
solución numérica debe repetirse con parámetros de solución refinados (mallado más fino) hasta
alcanzar valores aceptables. Una malla con pocos elementos proporciona resultados que de manera
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 59
Capítulo 3|
general indicarán las zonas críticas. Por otro lado una malla muy densa proporciona los puntos
críticos muy definidos.
Es claro que la solución del elemento finito resolverá únicamente el modelo matemático y que
todas las consideraciones en el modelo se reflejarán en la respuesta predecida. No se puede esperar
mayor información en la predicción del fenómeno físico, que la contenida en el modelo
matemático. Por lo tanto, la selección de un modelo matemático adecuado es crucial y determina
por completo la visión del problema físico que se puede obtener por medio del análisis.
Se enfatiza que por medio del análisis se obtiene una visión del problema físico considerado, no se
puede predecir la respuesta de un problema físico de manera exacta porque es imposible reproducir,
ni con el modelo matemático más refinado ,toda la información que está presente en la naturaleza
y, por lo tanto, contenida en el problema físico [Flores, 2002].
Una vez que se ha resuelto adecuadamente el modelo matemático y que los resultados han sido
interpretados se puede decidir si se refinará el modelo matemático para incrementar la visión de la
respuesta del modelo físico
.
La clave en el análisis de ingeniería es por lo tanto seleccionar modelos matemáticos apropiados,
dependiendo del fenómeno a evaluar por lo tanto es mejor seleccionar modelos matemáticos
confiables y efectivos para predecir las cantidades buscadas [Flores, 2002].
El método de los elementos finitos es un método de aproximación de problemas continuos, de tal
forma que [Zienkiewicz, 1994]:
• El continuo se divide en un número finito de partes, “elementos”; cuyo comportamiento se
especifica mediante un numero finito de parámetros asociados a ciertos puntos
característicos denominados “nodos”. Estos nodos son los puntos de unión de cada
elemento con sus adyacentes.
• La solución del sistema completo sigue las reglas de los problemas discretos. El sistema
completo se forma por ensamblaje de los elementos
• Las incógnitas del problema dejan de ser funciones matemáticas y pasan a ser el valor de
estas funciones en los nodos.
• El comportamiento en el interior de cada elemento queda definido a partir del
comportamiento de los nodos mediante las adecuadas funciones de interpolación o de forma
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 60
Capítulo 3|
Figura 3.8 Proceso del análisis por medio de elemento finito
• El comportamiento en el interior de cada elemento queda definido a partir del
comportamiento de los nodos mediante las adecuadas funciones de interpolación o de forma
El método del elemento finito, por lo tanto se basa en transformar un cuerpo de naturaleza continua
en un modelo discreto aproximado, estas transformaciones se denomina desratización del modelo.
El conocimiento de lo que sucede en su interior de este modelo del cuerpo aproximado, se obtiene
mediante la interpolación en donde os valores conocidos en los nodos. Es por tanto una
aproximación de los valores de una función a partir del conocimiento de un numero determinado
y finito de puntos [Zienkiewicz, 1994]
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 61
Capítulo 3|
3.3.1 Hipótesis de la discretización.
En una estructura discreta, su deformación viene definida por un número finito de parámetros,
que juntos conforman el vector de deformaciones Δ, y la estructura tiene tantas formas de
deformarse como términos tenga dicho vector. Un medio continuo tiene un número infinito de
formas posibles de deformarse, he independientes unas de otras, ya que cada punto puede
desplazarse manteniendo fijo un numero finito de puntos restantes, por lo tanto la deformación de
una estructura no puede venir dada por un vector finito Δ, sino que es una función vectorial u,
que nos muestra cuáles son sus deformaciones en cualquier punto del medio, este contiene tres
componentes escaleras.
𝜌𝜌 = �𝜌𝜌(𝜕𝜕,𝜕𝜕, 𝜕𝜕)𝜌𝜌(𝜕𝜕,𝜕𝜕, 𝜕𝜕)𝜌𝜌(𝜕𝜕,𝜕𝜕, 𝜕𝜕)
�
Esta función es la solución a una ecuación diferencial que gobierna el sistema, y si está bien
planteado, cumplirá las condiciones de frontera impuestas, pero no nos asegura que la ecuación
es una expresión analítica manejable, y/o que se pueda calcular, por lo tanto la función u no
podrá conocerse.
Para resolver este problema, el Método del elemento finito recurre a la hipótesis de la
discretización, que se basa en los siguientes supuestos:
• El continuo se divide por medio de líneas o superficies imaginarias en una serie de regiones
contiguas y disjuntas entre sí, de formas geométricas sencillas y normalizadas, llamadas
elementos finitos.
• Los elementos finitos se unen entre sí en un número finito de puntos, llamados nodos.
• Los desplazamientos de los nodos son las incógnitas básicas del problema, y éstos
determinan unívocamente la configuración deformada de la estructura. Sólo estos
desplazamientos nodales se consideran independientes.
• El desplazamiento de un punto cualquiera, viene unívocamente determinado por los
desplazamientos de los nodos del elemento al que pertenece el punto. Para ello se definen
para cada elemento, unas funciones de interpolación que permiten calcular el valor de
cualquier desplazamiento interior por interpolación de los desplazamientos nodales. Estas
funciones de interpolación serán de tal naturaleza que se garantice la compatibilidad de
deformaciones necesaria en los contornos de unión entre los elementos.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 62
Capítulo 3|
• Las funciones de interpolación y los desplazamientos nodales definen unívocamente el
estado de deformaciones unitarias en el interior del elemento. Éstas, mediante las
ecuaciones constitutivas del material definen el estado de tensiones en el elemento y por
supuesto en sus bordes.
• Para cada elemento, existe un sistema de fuerzas concentradas en los nudos, que equilibran
a las tensiones existentes en el contorno del elemento, y a las fuerzas exteriores sobre él
actuantes.
Los dos aspectos más importantes de esta hipótesis, sobre los que hay que hacer hincapié son:
• La función solución del problema u es aproximada de forma independiente en cada
elemento. Para una estructura discretizada en varios elementos, pueden utilizarse funciones
de interpolación distintas para cada uno de ellos, a juicio del analista, aunque deben
cumplirse ciertas condiciones de compatibilidad en las fronteras entre los elementos.
• La función solución es aproximada dentro de cada elemento, apoyándose en un número
finito (y pequeño) de parámetros, que son los valores de dicha función en los nudos que
configuran el elemento y a veces sus derivadas.
Esta hipótesis de desratización es el pilar básico del MEF, por lo que se suele decir de éste, que es
un método discretizante, de parámetros distribuidos [Celigueta, 2011].
Las propiedades de los elementos que unen a los nodos, están dadas por el material asignado al
elemento, que define la rigidez del mismo y la geometría de la estructura a modelisar (ley de
Hooke). Las deformaciones y las fuerzas externas se relacionan entre si mediante la rigidez y las
relaciones constitutivas del elemento. Trabajando en régimen elástico, las ecuaciones que definen
el sistema pueden expresarse de forma matricial como se muestra a continuación.
[𝐾𝐾] ∙ {𝛿𝛿} = {𝐹𝐹}
Dónde:
[K]: Es la matriz de rigidez.
{δ}: es el vector de desplazamiento.
{F}: E el vector de los esfuerzos.
Los tipos de elementos utilizados generalmente en la solución de un problema a través de FEM son
los elementos lineales, elementos planos o tipo Shell y elementos sólidos [Pezzoti y Antico, 2008]
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 63
Capítulo 3|
Tipos de elemento.
Hay muchos tipos de elementos como son los truss, beam, plane stress, plane strain, axisymmetric,
membrane, plate, shell, solid ó brick, tetrahedral, hexahedral, boundary, y gap. Los programas
comerciales de elementos finitos poseen una gran cantidad de elementos en sus librerías. Sin
embargo, la mayoría de las estructuras y aplicaciones mecánicas pueden ser solucionadas con los
elementos básicos ya mencionados.
Dependiendo la dimensión, los elementos básicos se pueden dividir en tres categorías: elemento de
línea, área y volumen. Truss, beam y los elementos de restricción, son de línea. Plane stress, plain
strain, axisymmetric, membrane, plate y shell son elementos de área. Solid ó brick, tetrahedral y
hexahedral son elementos de volumen.
• Elementos unidimencionales
o Elementos “Truss”: El elemento truss, es un elemento caracterizado básicamente
por que solo puede comportarse como un miembro sometido a dos fuerzas (se sabe
por tanto que estas cargas deben estar dirigidas a lo largo del eje longitudinal del
elemento). Una estructura los elementos se pueden modelar como un elementos
Truss si cumplen estos tres requerimientos:
Su longitud es mucho mayor que su alto o ancho (entre 8 y 10 veces);
Esta es conectada con el resto de la estructura con pasadores que no
transfieren momentos.; y
Las cargas externas solo son aplicadas en el extremo de los elementos, y son
paralelas al mismo (Carga Axial).
Los elementos Truss solo pueden ser sometidos a tracción o compresión. De esta forma, la
única propiedad de la sección que se debe especificar es el área axial del elemento. La figura
3.9 muestra la geometría y las fuerzas nodales en un elemento truss tridimensional, el cual
posee tres grados de libertad por nodo, es decir desplazamientos sobre los eje X, Y y Z
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 64
Capítulo 3|
Figura 3.9 Elemento Truss tridimensional
• Elemento tipo “Beam”: El elemento Beam, es probablemente el más usado. Además de sus
aplicaciones obvias en estructuras, muchos otros sistemas, como uniones mecánicas,
sistemas de conductos, tuberías y vigas en puentes pueden ser modeladas con el elemento
‘beam’. Para miembros estructurales para ser modelados con elementos ‘Beam’, una de sus
dimensiones debe ser mucho mayor, por lo menos 10 veces más grande que las otras dos.
Contrario al elemento truss, el elemento beam puede estar sometido a cargas transversales
y/o momentos flectores en adición a la tracción y compresión. La geometría y los
desplazamientos/rotación son mostrados en la figura. Note que el elemento beam
tridimensional posee seis grados de libertad por nodo, esto es, tres desplazamientos y tres
rotaciones sobre los ejes globales X, Y y Z. Figura 3.10. Elemento beam tridimensional.
Los perfiles comunes de elementos beam, son la sección I, sección en T, caja, circular y
canales. Dentro de las propiedades de la sección, se debe especificar el área axial, la
resistencia a la torsión y el momento de inercia.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 65
Capítulo 3|
Figura 3.10 Elemento Beam tridimensional
Elementos elásticos bidimensionales
• Elementos sometidos a Esfuerzo plano y Deformación plana: Para el caso de análisis plano
existen principalmente dos tipos de elementos: Triangular y Cuadrilátero como se muestra
en la figura 3.11. Dependiendo el tipo del tipo de esfuerzo al que está sometido el elemento,
este se debe modelar como esfuerzo plano o deformación unitaria plana.
Figura 3.11 Elemento bidimensional
a) Triangular; b) Cuadrilátero
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 66
Capítulo 3|
Como regla, se prefieren los elementos cuadriláteros a los triangulares por razones de isotropía
geométrica. Sin embargo, se sugiere el uso de elementos triangulares cuando se presentan
irregularidades en la geometría del elemento a modelar, como se muestra en la Figura 3.12
Figura 3.12 Mallado con elementos triangulares y cuadriláteros.
• Elementos axisimetricos: Tanques de acero y concreto, rotores, conchas, toberas y
contenedores son algunos ejemplos representativos de estructuras axisimétricas. De forma
similar a las estructuras tridimensionales que están bajo condición de esfuerzo plano o
deformación plana, las estructuras axisimétricas sometidas a cargas axisimétricas, pueden
ser analizadas en un modelo bidimensional. Para analizar una estructura axisimétrica, como
un cilindro de pared delgada t, sujeta a una presión constante p, el modelo es la intersección
del cilindro con el plano YZ como se muestra en la figura 3.13
La carga p, es aplicada al modelo de elementos finitos como se muestra en la figura 3.12
(b). Cuadriláteros y triángulos axisimétricos poseen dos grados de libertad en cada nodo,
figuras. 3.12 (c) y (d).
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 67
Capítulo 3|
Figura 3.13 a) Cilindro bajo presión; b) Modelo axisimetrico;
c) Alementos finitos cuadrilátero y triangular
Elementos elásticos tridimensionales.
• Elementos tipo Brick: Los elementos sólidos son elementos tridimensionales con tres
grados de libertad transnacional por nodo, como se muestra en la figura 3.13. Los nodos
son usualmente introducidos en la intersección de los tres planos, o en la mitad de la
intersección de dos planos Un elemento brick de 8 nodos, con sus respectivos grados de
libertad se puede apreciar en la figura 3.14
Figura 3.14 Elemento tipo brick y sus grados de libertad por nodo (8 nodos)
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 68
Capítulo 3|
El elemento brick puede proveer información acerca de la variación tridimensional de los
esfuerzos y deformaciones del elemento.
• Elementos Tetraédricos y Hexaédricos: Así como los elementos brick, los elementos
‘tetrahedral’ y ‘hexahedral’ pueden ser usados para modelar estructuras tridimensionales.
El tetraedro puede ser visto como un triángulo en tercera dimensión, como se ve en a figura
3.14, mientras que el hexaedro puede ser visto como un cuadrilátero extendido en la tercera
dimensión. Se puede apreciar entonces que el hexaedro tiene la misma geometría del
elemento brick de 8 nodos. La diferencia entre estos dos, es la formulación y precisión
computacional. Por lo general los elementos tetraedro y el hexaedro poseen solo tres grados
de libertad por nodo, y la precisión de estos elementos se puede incrementar colocando
nodos en la mitad de los lados
Figura 3.15 a) Tetraedro de 5 nodos; b) Tetraedro de 10 nodos
Elementos elásticos isoparametricos.
Cuando se tienen dificultades en idealizar superficies o fronteras curvas usando elementos con
lados rectos y superficies planas, se requiere emplear elementos con lados y/o caras curvas. Esto
elementos son parametricamenete equivalentes con sus elementos rectilíneos correspondientes, por
ello se les denomina “elementos isoparamentricos”. Las figuras 3.16 muestran este tipo de
elementos [Sandoval, 2004]
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 69
Capítulo 3|
Figura 3.16 Equivalentes de algunas figuras isoperimétricas.
3.4 Mallado.
Descomponer una región R como una unión de regiones elementales que en general llamamos
celdas; normalmente las celdas son triangulares o cuadrangulares (en caso de un dominio
bidimensional), o tetraédricas o hexaédricas (para tres dimensiones). A la salida de este proceso de
discretización es a lo que llamamos Malla.
Las mallas pueden clasificarse como estructuradas o no estructuradas, la figura 3.17 ilustra un
ejemplo de cada uno. Las mallas estructuradas topológicamente presentan una estructura en la
adyacencia que es uniforme mientras que las no estructuradas carecen de tal. En la malla
estructurada, los índices de los vecinos a cualquier nodo son fácilmente identificables por que la
adyacencia resulta natural, mientras que una malla no estructurada requiere del almacenamiento en
una lista de los vecinos de cada nodo.
Tanto la generación de mallas estructuradas como las no estructuradas presentan dificultades a
resolver, y cada una de ellas abre un campo de estudio interesante [Velázquez, 2009].
El problema de discretización de un dominio para la simulación numérica puede ser un problema
más difícil de lo que parece a simple vista. Una malla debe ajustarse a la región dominio a modelar,
y también, debe cumplir condiciones sobre el tamaño y la forma de sus elementos, a veces una
malla útil debe satisfacer condiciones que a primera instancia parecen contradictorias. El primer
objetivo del modelado de la región es mantener o conservar lo mejor posible su forma.
Un segundo objetivo de generación de mallas es ofrecer el máximo control posible sobre los
tamaños de los elementos de la malla. Idealmente, este control incluye la capacidad de pasar de
elementos pequeños a grandes a través de una distancia relativamente corta. Al resolver un
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 70
Capítulo 3|
problema numérico hay que considerar que los elementos pequeños, que conforman una región
densa, ofrecen más precisión que los grandes cuyo espaciamiento es mayor y que el tiempo de
cálculo para resolver el problema numérico es proporcional al número de elementos, por lo cual es
recomendable plantear la posibilidad de usar distintas distribuciones. Por lo tanto, elegir el tamaño
supone un elemento de negociación entre la velocidad de procesamiento y la precisión la
aproximación. Además, el tamaño del elemento necesario para alcanzar una determinada cantidad
de precisión depende del comportamiento de los fenómenos físicos en que se basa el modelo, y
puede variar a lo largo del dominio.
Figura 3.16 a) Malla estructurada, generada por un mapeo de triángulos del cuadrado
unitario a la región; b) Malla no estructurada, generada usualmente por algún criterio de
ángulo mínimo sobre el conjunto de nodos de la malla estructurada.
Un tercer objetivo de la generación de mallas, y la verdadera dificultad, es que los elementos
deberían ser relativamente de buena forma, ya que los elementos con ángulos interiores grandes o
pequeños pueden degradar la calidad de la solución numérica, así que se busca que el rango de los
ángulos sea corto [Velázquez, 2009].
En los métodos numéricos, los elementos con ángulos grandes pueden causar un gran error de
discretización, es decir, la precisión de la solución dada sobre la malla puede ser mucho menor que
si los tres ángulos de cada elemento son parecidos. En principio, la solución numérica se aproxima
a la solución exacta conforme el tamaño del elemento más grande se acerca a cero. Sin embargo,
Babuska y Aziz (1976) muestran que en mallas densas la convergencia a la solución exacta puede
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 71
Capítulo 3|
no ocurrir si los ángulos de la malla son muy abiertos. Debido a los errores de aproximación de las
derivadas de la solución, que surgen como efecto de interpolación sobre la malla.
3.5 Características para la discretización.
A partir de la teoría dada de elemento finito expuesta se lleva a cabo la selección de los elementos
adecuados para discretizar el sistema en donde para la simulación de flujo y la malla a generar.
3.5.1 Discretización del volumen de control.
Para distcretizar el volumen del control, se hace uso de elemento “Fluid 142”, el cual es un
elemento para modelar sistemas flujos transitorios y estáticos. Las ecuaciones de conservación para
fluidos viscosos y de energía son resueltas en la región de fluido mientras la ecuación de energía
es resuelta en la región de no-fluido.
En este elemento, la velocidad es obtenida por el principio de la conservación del momento, y la
presión es obtenida del principio de conservación de la masa y temperatura es obtenida del
principio de conservación de la energía.
3.5.2 Discretización del sólido.
Para discretizar el sólido, se hace uso de los elementos “Solid 187” y “Solid 187” los cuales nos
permiten discretisar todo el continuo y son los elementos más comúnmente usados en ANSYS®.
“SOLID 186”, es un elemento tridimensional (3D) de alto orden que exhibe un
comportamiento de desplazamiento cuadrático. El elemento es definido por 20 nodos
teniendo tres grados de libertad por nodo (traslación en el eje “X”, “Y” y “Z”). Este
elemento soporta análisis plásticos, hiper-elacticos, tensión (arrastre), rigidez al esfuerzo,
deflexiones largas y capacidades a tensión. En la figura 3.18 se muestra la descripción
grafica del elemento SOLID186.
“SOLID 187”, es un elemento tridimensional (3D) de alto orden que exhibe un
comportamiento de desplazamiento cuadrático de 10 nodos de tres grados d libertad por
cada nodo: T y es usado para mallados irregulares, al igual que el SOLID 186, este elemento
soporta análisis plásticos, hiper-elacticos, tensión (arrastre), rigidez al esfuerzo,
deflexiones largas y capacidades a tensión. En la figura 3.19 se muestra la descripción
grafica del elemento SOLID187.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 72
Capítulo 3|
“SURF 154”, es usado para varias cargas y aplicaciones de efectos de superficie en análisis
estructurales 3D. Este puede ser superpuesto en cualquier área del elemento 3D. En la figura
3.20 se muestra la descripción grafica del elemento SURF154 (Figura 3.20).
Figura 3.18 Descripción grafica del elemento SOLID 186 a) Hexaédrico; b) Tetraédrico; c) Piramidal d)Prismático
Figura 3.19 Descripción grafica del elemento SOLID 186
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 73
Capítulo 3|
Figura 3.20 Descripción grafica del elemento SOLID 186
3.6 Sumario.
En el presente capítulo se presentan los principales aspectos sobre la teoría del elemento finito,
para la parte de mecánica de fluidos o CDF y para la parte de análisis mecánico estructural.
El cual nos brinda un amplio criterio, para realizar en análisis numérico fluido-mecánico, en donde
se requiere del conocimiento de los pasos o metodología a seguir para realizar una simulación por
medio del elemento finito para ambos casos y como hacerlos interactuar. Así como de los diversos
modelos viscosos que existen, así como los de los requerimientos computacionales que requiere la
solución del método viscoso elegido, así como de las condiciones de contorno a usar. En las
condiciones mecánicas el tipo de elemento a usar y las condiciones de frontera a usar. Así como de
las características favorables para realizar una malla de buena calidad que nos lleve a la solución
correcta y con un tiempo computacional óptimo.
En el siguiente capítulo se exponen las características generales de la evaluación numérica a
realizar, así como las principales características de la malla realizada, y el análisis de los resultados
obtenidos de la evaluación numérica computacional.
Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 74
CAPÍTULO 4
EVALUACIÓN NUMÉRICA
Investigación, es lo que hago cuando no sé lo que estoy haciendo.
Werhern von Braun. Ingeniero aeroespacial, alemán nacionalizado estadunidense; dedico su vida al desarrollo de cohetes para la conquista espacial (Alemania 1912-USA1977)
Capítulo 4|
4.1 Generalidades.
La evaluación numérica se realiza en el software de ANSYS® Workbench la cual es una plataforma
multidisciplinaria en donde se puede trabajar con diferentes ambientes físicos, así como la
interacción entre ellos. En la figura 4.1 se muestra el diagrama de distribución de actividades de
análisis de una simulación con acoplamiento de campos fluido-mecánica, en la cual se puede
observar la metodología vista en el Capítulo 3 aplicada al software. En las simulaciones con un
esqueleto general suponemos que la geometría no se deforma y el patrón de flujo no se altera.
Como se muestra en la imagen, primero se tiene que realizar la evaluación numérica del flujo, y
los resultados obtenidos se exportan al módulo de análisis estructural parte estructural de
ANSYS®, para obtener los esfuerzos en las toberas.
Figura 4.1 Esqueleto de una simulación fluido-mecánica en ANSYS®.
De acuerdo a la metodología planteada en el Capítulo 3 y con el esquema antes mencionado
(figura 4.1) los pasos a seguir para realizar la simulación se presentan en el siguiente diagrama de
flujo.
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 76
Capítulo 4|
4.2 Generación de la geometría.
El desarrollo de la geometría CAD es muy importante para la obtención de resultados adecuados
en una simulación. Puede considerarse una buena geometría cuando ésta permite la interpretación
adecuada de los resultados del escenario a analizar. Sin embargo esto puede variar dependiendo de
los campos físicos de análisis. De esta forma las consideraciones para una geometría que puede ser
buena para un análisis de fluidos podrían no ser adecuadas para un análisis mecánico. Para el caso
de análisis de fluidos se requiere, que un volumen represente el espacio ocupado por el aire o el
gas contenido en un recipiente. Pero en el caso de la representación de espacios abiertos entonces
se deberá decidir el tamaño del volumen a construir de tal forma que el alcance de la observación
de resultados represente adecuadamente el comportamiento que se desea observar. A este volumen
se le conoce en algunos casos como el volumen de control y la mala decisión en el tamaño de este
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 77
Capítulo 4|
volumen puede generar tiempos de cómputo demasiado largos dependiendo de la capacidad de
cómputo o en algunos casos tiempos innecesarios. Geometrías básicas o sencillas son mejores para
generar este tipo de escenarios de análisis de flujo. Las geometrías complicadas o con muchos
detalles causarán en consecuencia una mayor cantidad de elementos. La distribución de los nodos
en el análisis de fluidos se emplea para ubicar la posición y dirección de los vectores que describen
el comportamiento del fluido. En el caso de las geometrías para los análisis mecánicos, la filosofía
de distribución de los nodos es diferente.
4.3 Generación del archivo de intercambio de datos.
Se trabajó el desarrollo del modelo mediante la creación de un sólido creado en el programa
CATIA® como se muestra en la figura 4.2 En este caso el uso de este programa se seleccionó
debido a que permite la generación de las geometrías curvas requeridas para formar la tobera De
Laval. Las herramientas de dibujo de este programa ayudaron a seguir con mucha fidelidad los
contornos requeridos. Una vez terminado el modelo se procedió a exportarlo al programa ANSYS®
que cuenta con una parte de modelado llamada Desing Modeler. Esta aplicación permite la lectura
digital del modelo creado ya sea en ANSYS® o en otro programa CAD respetando los formatos
comerciales, en este caso los formatos IGES o STEP. El formato IGES se refiere a Initial Graphics
Exchange Specification o Especificación inicial de intercambio de gráficos y el formato STEP se
refiere a Standard for the Exchange of Product Model Data o Estándar para el intercambio de datos
del modelo del producto.
4.4 Errores de intercambios de datos.
El intercambio de datos electrónicos de geometrías también tiene una serie de consideraciones que
se deben tomar en cuenta. No todos los formatos de intercambio de datos que comúnmente se
llaman archivos para exportación envían de manera ideal la información. Ha sido común darnos
cuenta de estos errores a lo largo de la realización de varias evaluaciones numéricas por medios
computacionales de varios fenómenos físicos en diversa piezas realizadas. En algunos casos una
geometría puede aparecer con cambios debido a que el proceso de intercambio no pudo detectar
adecuadamente un perfil o un contorno y genera en consecuencias geometrías incompletas. En
algunos casos esos faltantes de área o de volumen pueden corregirse pero en muchos casos no es
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 78
Capítulo 4|
posible ya que la aplicación de intercambio de datos solo genera una traducción del archivo pero
no siempre permite su posterior edición.
Otro caso típico de error que se puede presentar al intercambiar los archivos de datos es el error de
generación de elementos extra. En este caso la aplicación de traducción del archivo genera una
geometría compuesta por líneas de más, áreas o volúmenes que no estaban en el archivo original.
A simple vista pudiera no identificarse este error ya que la imagen se observa similar a la original.
En este caso un detallado proceso de observación es necesario para encontrar este error.
Es posible también observar el error de generación de elementos extra en una etapa ya avanzada
del trabajo de simulación que es la etapa de generación del mallado. Al tener la presencia de
volúmenes, áreas o líneas ocupando el mismo lugar geométrico se genera en consecuencia una
doble, triple o mayor generación de nodos y elementos ocupando los espacios de un mismo
volumen o de volúmenes dentro de otros volúmenes. En este caso el generador de malla identifica
errores debido a que la matriz matemática intenta crear ubicaciones en sus renglones y columnas
con diferencias numéricas muy pequeñas de sus ubicaciones coordenadas.
El error de corte del volumen original es un error en el cual una geometría si fue intercambiada
pero por medio de la construcción automática de partes o pedazos de la figura original. Es algo
similar a una división o corte de partes muy pequeñas del modelo original. En este caso un análisis
modal puede ayudar a revelar la existencia de este tipo de error. Si es detectable, se encontrará un
error de movimiento de cuerpo rígido que es a primera vista imperceptible.
El módulo de Desing Modeler de ANSYS® ayuda a realizar pequeñas correcciones en la geometría
y de esta manera disminuye el tiempo en la modificación de los modelos. Los diseños utilizados
para la manufactura, generalmente no pueden ser utilizados, debido a varias razones. Muchas veces
contienen detalles que no son necesarios para la simulación, como los logos o pequeños rasgos de
diseño estético, que complican el mallado y pueden incrementar el tiempo de simulación. Las notas
auxiliares y acotaciones también entran dentro de esta categoría de errores. Detalles de chaflanes
deben considerarse según el caso de estudio y el tamaño o dimensión del modelo con respecto al
resultado que se desea obtener y observar.
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 79
Capítulo 4|
Figura 4.2. Solidos creados en CATIA.
4.5 Análisis de flujo.
El análisis numérico del flujo se realiza en el módulo Fluent de ANSYS ® de manera
tridimensional para obtener el perfil de presiones a lo largo de toda la tobera y en toda la
circunferencia de la misma, así como la mejor visualización del fenómeno físico dentro de la
misma.
Para llevar a cabo la simulación de flujo se tiene que poseer un volumen de control del flujo para
realizar la discretización y la evaluación numérica del flujo como se muestra en la figura 4.3
Figura 4.3 Tobera y Flujo de control.
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 80
Capítulo 4|
4.5.1 Pre-procesamiento (mallado). La malla se realiza en el modulo ANSYS ICEM CDF ®, el cual es un programa de computo de capacidades
avanzadas que permite a los usuarios una variedad de tolerancias geometricas en el mallado y produce
calides muy buenas de malla sin mucho esfuerzo. En la figura 4.4 se muestra la malla del volumen de
control.
Figura 4.4 Malla del volumen de control.
En la figura 4.5 se muestra a detalle la malla en donde se aprecia que es una malla estructurada y con
elementos muy uniformes, este tipo de tiene las características para obtener una buena calificación de
calidad de malla.
Figura 4.5 Detalle de la malla del volumen de control
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 81
Capítulo 4|
En la tabla 4.1 se muestran las generalidades de la malla del volumen de control.
Tabla 4.1 Generalidades de la malla.
Descripción Numero
Nodos 102546
Elementos 97120
Para evaluar la calidad de la malla se recurren a tres factores de evaluación fundamentales para un análisis
de flujo los cuales son Orthogonal Quality, Skewness, y Apect Ratio, en la tabla 4.2 se muestran los valores
obtenidos en la malla para el modelo contorneado.
Tabla 4.2 Valores de calidad de malla.
Orthogonal Quality
Mínimo 0.556
Máximo 0.998
Promedio 0.9501
Skewness
Mínimo 0.02306
Máximo 0.6367
Promedio 0.18623
Aspect Ratio
Mínimo 1.0266
Máximo 5.3808
Promedio 1.85
Estos parámetro indican que la malla del modelo es de buena calidad de acuerdo a los parámetros
manejados por Fluent ANSYS® [ANSYS Lecture, 2013].
El Ortohonal Quality nos indica qué tan alineados están los elementos unos de otros, donde el valor
ideal es 1 el cual nos indica que la cara o célula está alineada perfectamente y un valor de cero nos
indica una desalineación total de la célula o cara como se muestra en la figura 4.6.
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 82
Capítulo 4|
Figura 4.6. Rangos de calidad Orthogonal Quality
El Skewness nos determina que tan cerca esta una cara o celula de lo ideal (Equilateral o
Equiangular), de acuerdo con la definición de oblicuidad un valor de cero indica una celula
equilátera y un valor de 1 indica una célula completamente degenerada. En la figura 4.7 se muestran
los rangos de calidadz. Una célula o cara con una alta oblicuidad es inaceptable ya que las
ecuaciones a resolver por el solver asumen que las células están relativamente
equilaterales/equinangulares
Figura 4.7 Rangos de calidad Skewness
Los parámetros para la relación de aspecto pueden variar de acuerdo la simulación a realizar, por
lo general cuando se tiene un gradiente muy grande de presión, temperatura o velocidad es
recomendable una relación de aspecto lo más cercano a 1. La relación de aspecto es una medida
del estrechamiento de la célula o cara [ANSYS Help, 2013].
4.5.2. Procesamiento.
En la tabla 4.3 Se muestran las generalidades de la simulación de flujo para el análisis de la
tobera.
Los modelos que basan su cálculo en las propiedades de densidad son aplicados cuando hay una
fuerte interrelación entre la densidad, la energía, momentum, y o la una mescla de gases. Un
ejemplo de ello son los flujos compresibles con combustión, flujos hipersónicos, o interacción de
ondas de choque [ANSYS, 2010]
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 83
Capítulo 4|
Tabla 4.3. Generalidades de la simulación de flujo.
General Espacio computacional Tridimensional (3D)
Tipo de solución Basado en densidad
Tiempo Estático
Formulación de la
velocidad
Absoluta
Modelos Ecuación de la energía on
Modelo viscoso K-ε Standar, funciones de pared
mejoradas [Deshpande, N.,
2014: ANSYS Lecture8, 2013
Materiales Vapor de agua Gas ideal
Peso
molecular 8.9 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘�
Condiciones de frontera Entrada (inlet) 10 Mpa
2959 °K
Salida (outlet) 77.327 Kpa
1085 °K
El modelo viscoso turbulento k-ε, (el cual fue seleccionado para esta simulación) es uno de los más
ampliamente usados [Kuttan y Sajesh, 2013] y ha mostrado buenos resultados muy precisos
comparados con los resultados experimentales [Yumusak, 2013].
En la tabla 4.4 se muestran las generalidades del criterio de convergencia para la simulación de
flujo.
Tabla 4.4. Generalidades del criterio de convergencia.
Residuales Criterio Absoluto
Continuidad 0.001
x-velocidad 0.001
y- velocidad 0.001
energía 0.001
k 0.001
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 84
Capítulo 4|
épsilon 0.001
En la figura 4.8 se muestran las gráficas de los residuales para el perfil contorneado en la cual se
puede observar que la gráfica tiende a cero y se logra la convergencia en 131 iteraciones.
Figura 4.8 Residuales de la simulación de flujo (3D), Criterio de convergencia(0.001)
Como se observa que la gráfica anterior (figura 4.8) los de residuales son muy estables y tiende a
la disminución del error iteración tras iteración, se establece un criterio de convergencia menor
para obtener resultados más exactos. Todo esto se realiza basándose en las capacidades
computacionales con las cuales y adaptarlos para obtener una solución adecuada en un tiempo
razonable. El criterio de convergencia establecido se muestra en la tabla 4.5
Tabla 4.5. Generalidades del criterio de convergencia menor.
Residuales Criterio Absoluto
Continuidad 0.000001
x-velocidad 0.000001
y- velocidad 0.000001
energía 0.000001
k 0.000001
épsilon 0.000001
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 85
Capítulo 4|
En la figura 4.9 se muestran las gráficas de los residuales con el criterio de convergencia menor
para el perfil contorneado en la cual se puede observar que la gráfica tiende a cero y se logra la
convergencia en 213 iteraciones.
Figura 4.9 Residuales de la simulación de flujo (3D), Criterio de convergencia(0.000001)
A fin de validar los resultados de la simulación del campo computacional tridimensional (3D) se
realiza paralelamente la simulación de flujo en un campo computacional bidimensional (2D),
debido a que el flujo en la tobera es simétrico y los resultados que se han obtenido en validaciones
de elemento finito mediante métodos experimentales. Se han observado que los resultados
aproximadas a los reales como se muestran en diversos trabajos de investigación [Deshpande, N.,
2014; Satyanarayana, et al., 2013; Quintao, 2012]. En la figura 4.10 se muestra el mallado del flujo
en un campo computacional
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 86
Capítulo 4|
Figura 4.10 Mallado del flujo en un espacio 2D
En la tabla 4.6 se muestran las generalidades de la malla plana de control del contorno de la tobera.
Tabla 4.6 Generalidades de la malla plana.
Descripción Numero
Nodos 3627
Elementos 3496
Como se menciona previamente la evolución de la calidad de la malla se ocupa tres factores
principales que se muestran en la tabla 4.7
Tabla 4.7 Valores de calidad de malla plana.
Orthogonal Quality
Mínimo 0.554
Máximo 0.999
Promedio 0.978
Skewness
Mínimo 0.001303
Máximo 0.63109
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 87
Capítulo 4|
Promedio 0.10229
Aspect Ratio
Minimo 1.0042
Maximo 2.5311
Promedio 1.4088
Estos parámetros indican que la malla del modelo es de buena calidad de acuerdo a los parámetros
manejados por Fluent ANSYS® [ANSYS Lecture, 2013].
Las características generales de la simulación para el espacio computacional 2D, son prácticamente
las mismas que en la de la simulación 3D y se muestran en la tabla 4.8
Tabla 4.8 Generalidades de la simulación de flujo bidimensional.
General Espacio computacional Bidimensional (2D), Plano.
Tipo de solución Basado en densidad
Tipo de solución. Basado en la densidad
Tiempo Estático
Formulación de la
velocidad
Absoluta
Modelos Ecuación de la energía on
Modelo viscoso K-ε Standar, funciones de pared
mejoradas [Deshpande, N.,
2014: ANSYS Lecture8, 2013
Materiales Vapor de agua Gas ideal
Peso
molecular 8.9 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘�
Condiciones de frontera Entrada (inlet) 10 Mpa
2959 °K
Salida (outlet) 77.327 Kpa
1085 °K
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 88
Capítulo 4|
El criterio de convergencia establecido para la simulación 2D se muestra en la tabla 4.9, el cual
como se observa es el mismo.
Tabla 4.9 Generalidades del criterio de convergencia de la simulación bidimensional.
Residuales Criterio Absoluto
Continuidad 0.000001
x-velocidad 0.000001
y- velocidad 0.000001
energía 0.000001
k 0.000001
épsilon 0.000001
En la figura 4.11 se muestran las gráficas de los residuales con el criterio de convergencia menor
para el perfil contorneado en la cual se puede observar que la gráfica tiende a cero y se logra la
convergencia en 326 iteraciones.
Figura 4.11 Residuales de la simulación de flujo 2D.
4.5.3 Post-procesamiento.
La simulación del fluido no termina con la predicción del mismo, para visualizar los resultados de
la predicción se requiere de un post-procesamiento para proveer una completa visualización del
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 89
Capítulo 4|
fenómeno que ocurre dentro del fluido, ANSYS® cuenta con su módulo de visualización (CDF
Post) el cual permite visualizar de una mejor manera los resultados gráfica, generar tablas, etc.
En la figura 4.12 se muestra la distribución de la velocidad a lo largo del flujo de la tobera.
Figura 4.12 Contorno de velocidades. ; a) Simulación 3D; b) Simulación 2D
En la figura 4.13 se puede apreciar las gráficas comparativas entre las simulaciones realizadas (2D
y 3D) de la velocidad del flujo en la parte interna del flujo. En estas graficas se pueden observar
los puntos de interés como son la velocidad del flujo en la garganta, y la velocidad del flujo en la
salida los cuales permiten realizar una comparativa con los cálculos analíticos previamente
realizados en el capítulo 2. En la tabla 4.10 se muestran estos valores.
Tabla 4.10 Valores comparativos de velocidad
Calculados Simulación 3D Simulación 2D
Garganta 1758.5 m/s 1650 m/s 1650 m/s
Salida 4119.24 m/s 4200 m/s 3600 m/s
Los valores de velocidad en la garganta en ambas simulaciones son cercanos a los calculados en el
capítulo 2, podría decirse que el valor calculado se encuentra en la sección de la garganta, como
se observa en la gráfica (figura 4.13). Los valores de salida del flujo son los que más se diferencían
de los valores calculados, como se puede apreciar en la gráfica (figura 4.13).
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 90
Capítulo 4|
Figura 4.13 Grafica comparativa de velocidad vs longitud de la tobera
En la figura 4.14 se puede observar el contorno de presión a lo largo de la tobera. En la figura 4.15
se puede apreciar las gráficas comparativas entre las simulaciones realizadas (2D y 3D) de la
presión del flujo en la parte interna del flujo. Se observa que el comportamiento de la presión en
ambas simulaciones es muy similar, en donde la presión del flujo tiende a disminuir conforme se
llega al final de la tobera.
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 91
Capítulo 4|
Figura 4.14 Contorno de presiones. ; a) Simulación 3D; b) Simulación 2D
En la figura 4.14 se puede observar el contorno de presión a lo largo de la tobera. En la figura 4.15
se puede apreciar las gráficas comparativas entre las simulaciones realizadas (2D y 3D) de la
presión del flujo en la parte interna del flujo. En donde podemos observar que el comportamiento
de la presión en ambas simulaciones es muy similar, en donde la presión del flujo tiende a disminuir
conforme se llega al final de la tobera.
En la tabla 4.11 se observan los valores de la presión para la salida de la tobera, los cuales nos
permites realizar una comparativa en relación con los cálculos teóricos, los valores obtenidos en
ambas simulaciones.
Tabla 4.11 Valores comparativos de presión.
Teórico Simulación 3D Simulación 2D
77327 [Pa] -25000 [Pa]- 320000 [Pa]
Esta diferencia entre los valores de ambas simulaciones entre presiones podría parecer muy grande
de aproximadamente 345000 [Pa]= 0.345 [MPa] y teniendo en cuenta que el esfuerzo permisible
para aceros al bajo carbón es de 165 Mpa [Popov, 1982], El valor de la diferencia de presiones es
prácticamente insignificante.
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 92
Capítulo 4|
Figura 4.15 Grafica comparativa de velocidad vs longitud de la tobera
En la figura 4.16 se pueden apreciar las gráficas comparativas entre las simulaciones realizadas
(2D y 3D) de la presión del flujo en las paredes de la tobera. Se observa que el comportamiento de
la presión en la pared es muy similar hasta la garganta, en la parte convergente de la tobera tiende
a ser un poco diferente, pero al igual que en los valores obtenidos en la gráfica de presión a través
de la longitud de la tobera estos valores pueden ser insignificantes.
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 93
Capítulo 4|
Figura 4.16 Grafica comparativa de velocidad vs longitud pared de la tobera
En la tabla 4.12 podemos observar los valores de la presión para la salida de la tobera, los cuales
permiten realizar una comparativa en relación con los cálculos teóricos, los valores obtenidos en
ambas simulaciones.
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 94
Capítulo 4|
Tabla 4.12 Valores comparativos de presión en la pared de la
tobera.
Simulación 3D Simulación 2D
Final de sección de
la garganta 4125000 [Pa] 4125000 [Pa]
Salida 42000[Pa] 490000 [Pa]
La diferencia más grande de presión entre ambas simulaciones en la pared es después de la garganta
como se muestra en la gráfica (figura 4.16) esta diferencia es de aproximadamente 650000
[Pa]=0.650 [Mpa] aproximadamente. La diferencia entre los valores de ambas simulaciones entre
presiones en la pares en la salida es de 448000 [Pa]= 0.448 [MPa].
La siguiente tabla 4.13 se una muestra una comparación con otro trabajo de investigación realizado
previamente del comportamiento de la presión a lo largo de la tobera.
Tabla 4.13 Tabla comparativa del comportamiento de la presión
Simulación realizada en el trabajo de
investigación
Simulación realizada por Pardhasaradhi, N., et. al. en Flow Analisys of Rocket Nozzle Using
Computational Fluid Dynamics (CFD)
El análisis anterior de las gráficas y los valores obtenidos, así como con la comparación con
trabajos previamente hechos como se muestra en la tabla se concluye que la simulación 3D tiene
validación. Cabe mencionar que una validación 100% correcta y segura se realiza mediante
métodos experimentales.
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 95
Capítulo 4|
Para realizar la simulación mecánica los datos que se van a exportar son los de la presión en la
pared de la tobera obtenidos por la simulación 3D. En la figura 4.17 se muestra el contorno de
presión en la pared de la tobera de la simulación 3D.
Figura 4.17 Distribución de la presión en la pared de la tobera (Simulación 3D).
4.6 Análisis mecánico.
El software de ANSYS Mechanical® es una herramienta de análisis estructural en el cual se pueden
resolver modelos lineales y no lineales. Esta herramienta tiene la capacidad de integrar varios
análisis de diferentes medios físicos que afectan al escenario estructural, como son los térmicos,
causados por presión debida al paso de un flujo, los acústicos, etc. En el análisis mecánico que se
realizó se supuso que la estructura no se deformaba por el paso del flujo como se explicó en las
generalidades del capítulo presente.
4.6.1 Pre-procesamiento.
El pre-procesamiento para la simulación mecánica, en el programa de cómputo ANSYS, incluye
varios pasos:
• Cargar los datos ingenieriles del material que se va a usar para la simulación.De acuerdo a Steel
(2004) los materia usados para la cámara de combustión y tobera, se muestran en la tabla 4.14
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 96
Capítulo 4|
Tabla 4.14 Materiales usados en la construcción de la cámara de combustión y tobera.
Motor Año Cohete Dispositivo Material
Alemán V-2 1942 V-2 Cámara de
combustión
Acero de baja
alecion Cr-
Mn-V
LR91
Aerojet
1960 Titan Stage II Cámara de
combustión
Acero
inoxidable
desues
Hastelloy X
RL-10 Pratt
& Whitney
1963 Centaur Cámara de
combustión
AISI 347
F-1
Rocketdyne
1967 SaturnV Cámara de
combustión
Inconel X
SSME
Rocketdyne
1981 Transbordador
espacial
Cámara de
combustión
CuAgZr liner
Inconel 718,
enchaquetdo
718
SSME
Rocketdyne
1981 Transbordador
espacial
Tobera A248 acero
inoxidable
Enchaquetado
Inconel 718
Vulcan 2
Astrium
2003 Ariane V Cámara de
combustión
CuAgZr liner
Enchaquetado
Niquel
Vulcain 2
Volvo
2003 Ariane V Tobera Inconel 600
Para el caso de análisis se usa como material de referencia el Inconel 600, tomando en cuenta como
temperatura 1000 C° como máxima de trabajo, tiene como datos característicos los mostrados en
la tabla 4.15 [Spacial Metals, 2008 ]
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 97
Capítulo 4|
Tabla 4.15 Propiedades Inconel 600
Densidad. 8470.1 kg/m3
Módulo de Young. 143 Gpa
Relación de
Poisson 0.339
• Mallado (Discretización)
El mallado se realiza en el ANSY Meshing multiphysics el cual es un software que realiza la
discretización para varios tipos de análisis mecánicos. En la figura 4.18 se muestra la malla de la
tobera. En donde se puede observar que es una malla hexaédrica.
Figura 4.18 Malla de la tobera
En la figura 4.19 se muestra a detalle la malla resultante, se aprecia que es una malla estructurada y con
elementos uniformes, dan una buena calidad de malla.
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 98
Capítulo 4|
Figura 4.19 Detalle de la malla de la tobera.
En la tabla 4.16 se muestran las generalidades de la malla del volumen de control.
Tabla 4.17 Generalidades de la malla mecánica.
Descripción Numero
Nodos 2998472
Elementos 888709
Para evaluar la calidad de la malla se concideran a tres factores de evaluación fundamentales para un análisis
de flujo los cuales son Orthogonal Quality y Skewness, en la tabla 4.18 se muestran los valores obtenidos
en la malla para el modelo contorneado.
Tabla 4.178Valores de calidad de malla mecánica.
Orthogonal Quality
Mínimo 0.00486
Máximo 0.999
Promedio 0.7195
Skewness
Mínimo 0.00109
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 99
Capítulo 4|
Máximo 0.9999
Promedio 0.397
Estos parámetros indican que la malla de ambos modelos es de buena calidad de acuerdo a los
parámetros previamente mencionados.
4.6.2 Procesamiento.
En la figura 4.21 se muestran las condiciones de frontera aplicadas a ambos perfiles de tobera,
donde se muestra que se tiene un soporte fijo y la zona en la cual se aplicó la presión importada
de Fluent ANSYS ®.
Figura 4.21 Condiciones de frontera (simulación mecánica)
En la figura 4.22 se puede observar con más detalle y de manera vectorizada la presión aplicada a
la tobera.
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 100
Capítulo 4|
Figura 4.22 Vectores de la presión aplicada a la tobera.
4.6.3 Post-Procesamiento
Para visualizar los resultados, ANSYS Static Structural® cuenta con varias herramientas que
permiten visualizar los resultados, como son esfuerzos máximos principales, esfuerzos von Misses,
deformaciones, etc. en la forma de contornos, obteniendo una tabla de datos y generación
degráficas. En la figura 4.23 se puede observar la distribución de los esfuerzos a lo largo de la
tobera.
Figura 4.23 Distribución de los esfuerzos en la tobera.
En la figura 4.24 se puede observar la distribución de los esfuerzos internos a lo largo de la tobera.
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 101
Capítulo 4|
Figura 4.24 Distribución de los esfuerzos internos a lo largo de la tobera.
En la figura 4.25 se puede aprecia la zona máxima de esfuerzo la cual se encuentra en el soporte
fijo de la tobera. En este acercamiento de manera conjunta se puede observar que esta misma zona
se encuentra esfuerzos debidos a la compresión.
Figura 4.25 Detalle de los esfuerzos máximos.
Para apreciar de una manera más exacta y entendible el comportamiento mecánico, se hacen uso
de diferentes graficas en tres diferentes espesores de la pared (1 mm, 2 mm y 3 mm).
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 102
Capítulo 4|
En la figura 4.26 se puede apreciar la distribucón los esfuerzos debidos al flujo a 1 mm de pared
en la tobera.
Figura 4.26 Esfuerzos a 0-1 mm de pared.
En la gráfica siguiente (Figura 4.27) se puede apreciar la distribución de los esfuerzos, así como el
comportamiento mecánico de la tobera de una manera más precisa en la pared de la tobera. En la
gráfica se puede observar que de un punto máximo de esfuerzo ubicado en el soporte fijo, este
valor decae abruptamente hasta llegar a un punto mínimo, para volver a incrementar en la sección
de la garganta, en donde después decrece de manera gradual hasta llegar a su valor mínimo al final
de la tobera. En la tabla 4.19 se pueden observar estos valores.
Tabla 4.19 Valores máximos y mínimos de esfuerzo en la pared de la tobera (0mm)
Sección convergente Garganta-Sección divergente.
Máximo soporte fijo Mínimo Máximo Minimo
145 [Mpa] 0.999 [MPa] 24.023 [Mpa] 0.508 [Mpa]
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 103
Capítulo 4|
Figura 4.27 Grafica de la distribución de esfuerzos en la pared de la tobera.
En la gráfica de la figura 4.28 se puede apreciar la distribución de los esfuerzos, así como el
comportamiento mecánico de la tobera de una manera más precisa a 1 mm de la pared de la tobera.
En la gráfica de la figura 4.28 se puede observar que el valor en el soporte fijo disminuye
considerablemente de 145 [Mpa] a 19.897 [MPa], al igual que en la gráfica anterior el valor del
esfuerzo disminuye, para volver a incrementar en la sección de la garganta, para después decrecer
gradualmente hasta llegar a su valor mínimo al final de la tobera. En la tabla 4.20 se pueden
observar estos valores.
Tabla 4.20 Valores máximos y mínimos de esfuerzo en la pared de la tobera (1mm)
Sección convergente Garganta-Sección divergente.
Máximo Mínimo Máximo Minimo
26.632 [Mpa] 9.5439 [MPa] 23.76 [Mpa] 0.4901 [Mpa]
0
20
40
60
80
100
120
140
160
02.
921
5.84
218.
7631
11.6
8414
.605
17.1
520
.115
23.0
826
.044
29.0
0931
.974
34.9
3937
.91
40.8
9543
.881
46.8
6649
.851
52.8
3655
.821
58.8
0761
.792
64.7
7767
.762
70.7
4873
.733
76.7
1879
.703
82.6
8985
.674
88.6
5991
.644
94.6
397
.615
100.
610
3.59
106.
5610
9.52
112.
47
Esfu
erzo
en
la p
ared
[MPa
]
Longitud [mm]
Esfuerzo en la pared Vs Longitud
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 104
Capítulo 4|
Figura 4.28 Grafica de la distribución de esfuerzos a 1 mm de la pared de la tobera
En la figura 4.29 se pueden apreciar los esfuerzos debidos al flujo a 1-2 mm de pared en la tobera.
Figura 4.29 Esfuerzos a 1-2 mm de pared.
En la gráfica de la figura 4.30 se puede apreciar la distribución de los esfuerzos, así como el
comportamiento mecánico de la tobera de una manera más precisa a 2 mm de la pared de la tobera.
0
5
10
15
20
25
02.
6238
5.59
148.
5589
11.5
2714
.494
17.4
4420
.409
23.3
7426
.339
29.3
0332
.268
35.2
3338
.209
41.1
944
.172
47.1
5450
.136
53.1
1756
.099
59.0
8162
.062
65.0
4468
.026
71.0
0773
.989
76.9
7179
.953
82.9
3485
.916
88.8
9891
.879
94.8
6197
.843
100.
825
103.
8110
6.78
109.
7311
2.69
Esfu
erzo
a 1
mm
de
pare
d [M
pa]
Longitud [mm]
Esfuerzo a 1 mm de pared Vs Longitud
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 105
Capítulo 4|
Figura 4.30 Grafica de la distribución de esfuerzos a 2 mm de la pared de la tobera.
En la gráfica de la Figura 4.30 se observa que el comportamiento mecánico de la tobera en este
espesor ha cambiado considerablemente que en los espesores anteriores, en este caso se puede
observar que los valores desde un principio aumentan hasta un máximo antes de la garganta en la
sección convergente, para después decrecer gradualmente hasta su valor mínimo a la salida de la
tobera.
En la tabla 4.21 se pueden observar estos valores.
Tabla 4.21 Valores máximos y mínimos de esfuerzo en la pared de la tobera (2mm)
Sección convergente Sección divergente.
Mínimo Máximo Mínimo
0.9818 [Mpa] 26.197 [MPa] 0.4792 [Mpa]
0
5
10
15
20
25
30
02.
7286
45.
7024
8.67
6111
.649
814
.623
417
.178
420
.143
423
.107
426
.072
429
.037
432
.002
434
.966
437
.950
440
.944
443
.938
446
.932
449
.925
452
.919
455
.913
458
.907
461
.900
464
.894
467
.888
470
.882
473
.875
476
.869
479
.863
482
.857
485
.850
488
.844
491
.838
494
.832
497
.825
410
0.81
9410
3.81
7410
6.78
7410
9.74
7411
2.69
74
Esfu
erzo
a 2
mm
de
pare
d [M
pa]
Longitud [mm]
Esfuerzo a 2 mm de pared Vs Longitud
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 106
Capítulo 4|
En la figura 4.31 se pueden apreciar los esfuerzos debidos al flujo a 2-3 mm de pared en la tobera.
Figura 4.31 Esfuerzos a 2-3 mm de pared.
En la gráfica de la figura 4.32 se puede apreciar la distribución de los esfuerzos, así como el
comportamiento mecánico de la tobera de una manera más precisa a 3 mm de la pared de la tobera,
se observaron esfuerzos negativos o de compresión, en la zona del soporte fijo, después a los
esfuerzos de tensión para alcanzar el esfuerzo máximo en la sección convergente de la tobera, para
pasar a decrecer gradualmente hasta llegar a su valor mínimo
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 107
Capítulo 4|
Figura 4.32 Grafica de la distribución de esfuerzos a 3 mm de la pared de la tobera
En la tabla 4.21 se pueden observar los valores resultantes
Tabla 4.21 Valores máximos y mínimos de esfuerzo en la pared de la tobera (3mm)
Sección convergente Sección divergente.
Máximo a compresión Máximo a tensión Mínimo
-19.484 [Mpa] 30.674 [MPa] 0.469 [Mpa]
En la gráfica de la figura 4.33 se pueden apreciar las comparaciones del comportamiento mecánico
de la tobera debido al paso de un flujo en sus diferentes espesores.
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
02.
8655
35.
8423
8.81
9111
.795
814
.772
417
.425
420
.390
423
.354
426
.319
429
.284
432
.248
435
.213
438
.194
441
.179
444
.163
447
.147
450
.132
453
.116
456
.100
459
.085
462
.069
465
.053
468
.038
471
.022
474
.006
476
.991
479
.975
482
.959
485
.944
488
.928
491
.912
494
.897
497
.881
410
0.86
5410
3.84
9410
6.81
9410
9.77
9411
2.72
94
Esfu
erzo
a 3
mm
de
pare
d [M
Pa]
Longitud [mm]
Esfuerzo a 3 mm de pared Vs Longitud
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 108
Capítulo 4|
Figura 4.33 Grafica de comparativa de distribución de esfuerzos
En la gráfica comparativa de la figura 4.33 se puede observar de manera más amplia el
comportamiento general de la tobera a través de su espesor, en esta grafica se puede observar lo
que se ha mencionado previamente, como es el paso de esfuerzos de tensión a los de compresión
en la zona del soporte fijo, como también que los esfuerzos máximos después de los del soporte
fijo se encuentra antes de la garganta o muy cercanos a esta en la sección convergente, pero sin
llegar a la sección divergente, y que los valores mínimos de los esfuerzos se encuentran al final de
la sección divergente.
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
1601 13 25 37 49 61 73 85 97 109
121
133
145
157
169
181
193
205
217
229
241
253
265
277
289
301
313
325
337
349
361
373
385
397
409
421
433
445
457
Esfu
erzo
s [M
Pa]
Grafica comparativa de esfuerzos atraves de la pared.
Esfuerzo en la pared
Esfuerzo a 1 mm de pared
Esfuerzo a 2 mm de pared
Esfuerzo a 3 mm de pared
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 109
Capítulo 4|
4.7 Sumario.
En el presente capítulo se expusieron las principales características de la simulación, tanto de flujo
como las mecánicas, como son las características de la malla con las que se realizaron la simulación
y su evaluación para determinar la calidad del mallado. También se pueden apreciar las
condiciones de frontera empleadas para la realización de la simulaciones, y el análisis de los
resultados obtenidos a partir de las simulaciones, los cuales son de interés para este trabajo de
investigación en donde se obtuvieron valores, como son la presión del fluido a través de la tobera
y en las paredes de la misma, velocidad de flujo, esfuerzos mecánicos a través del espesor de la
tobera, los cuales fueron graficados para observar el comportamiento fluido-mecánico.
Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 110
Conclusiones y Trabajos futuros
“Politécnico, fragua encendida con la chispa del genio creador en ti forja su nueva estructura nuestra noble y pujante nación. En la aurora de un día venturoso te dio vida la Revolución; una estrella te puso en las manos, ¡que no apague su limpio fulgor!...”
Conclusiones|
CONCLUCIONES.
Durante el desarrollo del presente trabajo de investigación se observó que la propulsión a pesar de
que es una ciencia exacta no es una ciencia básica, ya que depende de otras ciencias básicas y
aplicadas como la Química, Mecánica de fluidos, Mecánica estructural, Transferencia de calor
El dimensionamiento de la tobera que aquí se presenta es básico teorico, ya que no se tomaron en
cuenta los factores de corrección que lleva el diseño del perfil de una tobera real. El espesor de la
pared se tomó arbitrariamente de 3 milímetro a fin de realizar la evaluación numérica. Cabe
mencionar que para calcular el espesor de la pared se tienen que tomar en cuenta factores
experimentales que estaban fuera del alcance de esta investigación, como son la tasa de erosión de
la tobera debida a la fricción producida por el fluido que como se sabe en la reacción química
producida en la cámara de combustión no todo es gas, existen partículas sólidas y/o liquidas que
afectan el rendimiento de la tobera y provocan como menciono anteriormente erosión en la tobera,
otro factor faltante es con la transferencia de calor que se lleva a cabo entre el fluido y las paredes
y el correcto dimensionamiento del sistema de refrigeración de la tobera, las inestabilidades en la
combustión, la tasa de regresión y las ondas acústicas producidas por el sistema deben de ser
tomadas en cuenta para dimensionar la pared de la tobera a prueba de fatiga. El proceso de
dimensionamiento de la tobera que aquí se presenta no es el único, existen otros métodos en los
cuales no se indagaron, como son el Método Característico, por medio de perfiles NACA, etc.
También se pudo conocer que actualmente existen una gran variedad de programas de cómputo
que no ayudan a diseñar el perfil de la tobera con factores de corrección, como son las perdidas por
fricción, transferencias de calor (principalmente en la garganta), gases imperfectos y una
combustión incompleta, así como programas de cómputo en los cuales el diseño completo de un
sistema de propulsión se vuelve más fácil, como son: ESPSS (European Space Propulsion System
Simulation) el cual consta de una librería existente en el software EcosimPro, MatLab también
cuenta con una librería especializada en este tipo de cálculos, Rocket Nozzle Desing, el cual es un
programa que nos ayuda al diseño de la tobera y a la visualización del flujo dentro de la misma,
entre otros más. Por otro lado se llevaron a cabo las evaluaciones numéricas con un perfil
previamente calculado, en cual al final de la evaluación numérica se pudo corroborar que los datos
calculados de velocidad que fueron los valore que no fueron manipulados en la simulación de flujo
fueron muy cercanos a los calculados en el capítulo 2, por lo tanto pudimos dar cierta validez a la
Evaluación un numérica del comportamiento mecánico de una Tobera De Laval 112
Conclusiones|
evaluación numérica realizada con el programa fluent ANSYS® en la tabla I se puede apreciar esto
en porcentaje de error diferencia:
Tabla I. Valores comparativos de velocidad
Calculados Simulación 3D Simulación 2D
Garganta 1758.5 m/s 1650 m/s 1650 m/s
Salida 4119.24 m/s 4200 m/s 3600 m/s
Porcentaje de
erros diferencial
Garganta 6.17% 6.17%
Salida 1.96% 12.605%
Otra manera de validar la simulaciones era comparándolas con trabajos previos realizados en otras
instituciones y/o personas, en donde se pueda apreciar que el comportamiento del flujo es similar.
Los datos obtenidos se platearon en la pared de la tobera, para realizar la evaluación numérica de
la parte mecánica cumpliéndose así los objetivos plateados al principio de la tesis.
Durante el desarrollo de las evaluaciones numérica se concluyó que se debe tener especial cuidado
en el mallado del flujo y de la incidencia directa que tiene en la convergencia de la solución del
flujo, teniéndose como una malla correcta una malla hexaédrica y ordenada con un método
“sweep”, el cual mantiene el mismo número de elementos a través de toda la tobera.
Para la realización de simulaciones se invirtió un aproximado de 1000 horas, en donde más de la
mitad de las horas se emplearon en la investigación y la obtención de las condiciones generales
para la simulación y la obtención del mallado así como en el razonamiento y comprensión del uso
del software.
Otro aspecto importante de las simulaciones, es la capacidad de cómputo con la que se cuenta,
cuando se iniciaron las simulaciones se contaba con equipos de cómputo básicos, con las siguientes
capacidades: Laptop con un procesador i5-3210M a 2.50 GHz con 6 Gb de Ram, y con una tarjeta
gráfica dedicada nvidia GEFORCE de 2GB, con este equipo de cómputo, la realización de la malla
tardaba de 1-3 horas dependiendo del número de elementos generados, del método de mallado
usado, etc. La simulación del flujo 3D tardaba alrededor de 4 a 6 hrs por simulación para llegar a
un criterio de convergencia relativamente bajo, todo esto dependiendo del número de elementos
usados. En la búsqueda de opciones para reducir el tiempo de la simulación la más practica fue la
Evaluación un numérica del comportamiento mecánico de una Tobera De Laval 113
Conclusiones|
de armar un equipo de cómputo más sofisticado con las siguientes características Procesador i7 a
3.1 GHz 16 Gb en memoria Ram con un bus de 1600 Ghz, una tarjeta gráfica dedicada nvidia
QUADRO de 2gb con 194 corequads, con este equipo de cómputo el tiempo del mallado se redujo
drásticamente de 0.5 de 1.5 hrs. Y el tiempo de la simulación de redujo de 2 a 4 hrs. Con esto nos
pudimos dar cuenta que para realizar simulaciones más complejas se requieres de capacidades de
computo mayores.
Evaluación un numérica del comportamiento mecánico de una Tobera De Laval 114
Trabajos futuros|
TRABAJOS FUTUROS.
Con forme se desarrolló este trabajo de investigación se identificaron diversos trabajos que se
pueden a realizar en un futuro y que se describen a continuación:
• Observación de los comportamientos de distintos escenarios de análisis y simulaciones
como son:
o Simulaciones transitorias para observar el comportamiento del paso de flujo,
cuando se presenta el arranque y paro del flujo, así como los efectos de las
inestabilidades de la combustión.
o Simulaciones de transferencia de calor para observar el comportamiento mecánico
de la tobera debido a la transferencia de calor así como la efectividad del sistema
de refrigeración.
o Simulaciones armónicas y de fatiga en donde se puedan apreciar las zonas de
fatiga debido a las frecuencias de inestabilidad de la combustión, ondas acústicas y
tasas de regresión.
• Validación experimental de las simulaciones numéricas.
Para llevar a cabo este trabajo se requiere de un conjunto de trabajos, como son la
investigación y desarrollo de un sistema de manufactura de la tobera, el diseño y
construcción de un banco de prueba para los sistemas de propulsión, diseño e
implementación del banco de pruebas para controlar las variables a las que se somete el
sistema.
• Creación de un grupo interdisciplinario para llevar acabo el diseño y desarrollo óptimo de
un sistema de propulsión.
Evaluación un numérica del comportamiento mecánico de una Tobera De Laval 115
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