4 Transformaciones4.1 Traslaciones4.2 Reflexiones4.3 Rotaciones4.4 Congruencia y transformaciones4.5 Dilataciones4.6 Semejanza y transformaciones
Puerta giratoria (pág. 195)
Caleidoscopio (pág. 196)
Aumento (pág. 213)
Ajedrez (pág. 179)
Aumento (pág. 213)
Caleidoscopio (pág 196)
Puerta giratoria (pág 195)
CONSULTAR la Gran IdeaCONSULTAR la Gran Idea
Fotografías autoadhesivas (pág. 211)
Fotografías autoadhesivas
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171
Mantener el dominio de las matemáticasMantener el dominio de las matemáticas
Identificar transformaciones
Ejemplo 1 Indica si la figura roja es una traslación, reflexión, rotación o dilatación de la figura azul.
a. La fi gura azul b. La fi gura roja es gira para formar una imagen la fi gura roja, especular de la entonces es una fi gura azul,
rotación. entonces es una refl exión.
Indica si la figura roja es una traslación, reflexión, rotación o dilatación de la figura azul.
1. 2. 3. 4.
Identificar figuras semejantes Ejemplo 2 ¿Qué rectángulo es semejante al rectángulo A?
8
41
6
34
Rectángulo A
Rectángulo BRectángulo C
Cada figura es un rectángulo, entonces los ángulos correspondientes son congruentes. Verifica si las longitudes de los lados correspondientes son proporcionales.
Rectángulo A y Rectángulo B Rectángulo A y Rectángulo C
Longitud de A —— Longitud de B
= 8 — 4 = 2 Longitud de A ——
Longitud de B = 4 —
1 = 4 Longitud de A ——
Longitud de C = 8 —
6 = 4 —
3 Ancho de A —
Ancho de C = 4 —
3
no proporcional proporcional
Entonces, el Rectángulo C es semejante al Rectángulo A.
Indica si las dos figuras son semejantes. Explica tu razonamiento.
5.
12
5
7
14
6. 9
12
6
10 158
7.
6
3
510
8. RAZONAMIENTO ABSTRACTO ¿Puedes hacer dos cuadrados que no sean semejantes? Explica tu razonamiento.
Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com
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172 Capítulo 4 Transformaciones
Prácticas Prácticas matemáticasmatemáticasUsar software de geometría dinámica
Los estudiantes que dominan las matemáticas usan el software de geometría dinámica estratégicamente.
Monitoreo del progreso Monitoreo del progreso Usa el software de geometría dinámica para dibujar el polígono con los vértices dados. Usa el software para hallar las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos del polígono. Redondea tus respuestas a la centésima más cercana.
1. A(0, 2), B(3, −1), C(4, 3) 2. A(−2, 1), B(−2, −1), C(3, 2)
3. A(1, 1), B(−3, 1), C(−3, −2), D(1, −2) 4. A(1, 1), B(−3, 1), C(−2, −2), D(2, −2)
5. A(−3, 0), B(0, 3), C(3, 0), D(0, −3) 6. A(0, 0), B(4, 0), C(1, 1), D(0, 3)
Hallar las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos
Usa el software de geometría dinámica para dibujar un triángulo con los vértices en A(−2, 1), B(2, 1) y C(2, −2). Halla las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos del triángulo.
SOLUCIÓNAl usar el software de geometría dinámica, puedes crear △ABC, tal como se muestra.
−2 −1 0
0
−2
−3
−1
1
2
1 2 3
A B
C
En la representación, las longitudes de los lados son AB = 4 unidades, BC = 3 unidades, y AC = 5 unidades. Las medidas de los ángulos, redondeadas a dos lugares decimales, son m∠A ≈ 36.87°, m∠B = 90° y m∠C ≈ 53.13°.
Usar software de geometría dinámicaEl software de geometría dinámica te permite crear dibujos geométricos, entre ellos:
• trazar un punto• trazar una línea• trazar un segmento de línea• trazar un ángulo
• medir un ángulo• medir un segmento de línea• dibujar un círculo• dibujar una elipse
• trazar una línea perpendicular• hacer un polígono• copiar y trasladar un objeto• refl ejar un objeto en una línea
Concepto Concepto EsencialEsencial
MuestraPuntosA(−2, 1)B(2, 1)C(2, −2)SegmentosAB = 4BC = 3AC = 5Ángulosm∠A = 36.87°m∠B = 90°m∠C = 53.13°
hs_geo_span_pe_04co.indd 172hs_geo_span_pe_04co.indd 172 7/7/15 1:25 PM7/7/15 1:25 PM
Sección 4.1 Traslaciones 173
4.1 Traslaciones
Trasladar un triángulo en un plano de coordenadas
Trabaja con un compañero.
a. Usa el software de geometría dinámica para dibujar cualquier triángulo y rotúlalo △ABC.b. Copia el triángulo y trasládalo (o deslízalo) para formar una nueva fi gura llamada
imagen △A′B′C′ (se lee: “triángulo A prima, B prima, C prima”).
c. ¿Cuál es la relación entre las coordenadas de los vértices de △ABC y los de
△A′B′C′?d. ¿Qué observas en las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos de los
dos triángulos?
0
1
2
3
4
−1
−1
−2
0 1 2 3 4 5 76
A B
C
A′ B′
C′
MuestraPuntosA(−1, 2)B(3, 2)C(2, −1)SegmentosAB = 4BC = 3.16AC = 4.24Ángulosm∠A = 45°m∠B = 71.57°m∠C = 63.43°
Trasladar un triángulo en un plano de coordenadas
Trabaja con un compañero.
a. El punto (x, y) se traslada a unidades horizontalmente y b unidades verticalmente.
Escribe una regla para determinar las coordenadas de la imagen de (x, y).
(x, y) → ( , ) b. Usa la regla que escribiste en la parte (a) para trasladar △ABC 4 unidades hacia la
izquierda y 3 unidades hacia abajo. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de
la imagen, △A′B′C′?c. Dibuja △A′B′C′. ¿Sus longitudes de los lados son las mismas que las de △ABC?
Justifi ca tu respuesta.
Comparar ángulos de traslación
Trabaja con un compañero.
a. En Exploración 2, △ABC es un triángulo rectángulo? Justifi ca tu respuesta.
b. En Exploración 2, △A′B′C′ es un triángulo rectángulo? Justifi ca tu respuesta.
c. ¿Crees que las traslaciones siempre conservan las medidas de los ángulos? Explica
tu razonamiento.
Comunicar tu respuestaComunicar tu respuesta 4. ¿Cómo puedes trasladar una fi gura en un plano de coordenadas?
5. En Exploración 2, traslada △A′B′C ′ 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia
arriba. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de la imagen, △A″B ″C ″? ¿Cómo
se relacionan estas coordenadas con las coordenadas de los vértices del triángulo
original, △ABC ?
Pregunta esencial Pregunta esencial ¿Cómo puedes trasladar una fi gura en un plano
de coordenadas?
USAR HERRAMIENTAS ESTRATÉGICAMENTEPara dominar las matemáticas, necesitas usar las herramientas apropiadas de forma estratégica, incluyendo el software de geometría dinámica.
x
y
4
2
−4
−2
4−2−4
A
B
C
hs_geo_span_pe_0401.indd 173hs_geo_span_pe_0401.indd 173 7/1/15 2:50 PM7/1/15 2:50 PM
174 Capítulo 4 Transformaciones
Qué aprenderásQué aprenderás Hacer traslaciones.
Hacer composiciones.
Resolver problemas de la vida real que incluyan composiciones.
Hacer traslacionesUn vector es una cantidad que tiene tanto dirección como magnitud, o tamaño, y se
representa en el plano de coordenadas mediante una fl echa trazada de un punto a otro.
4.1 Lección
vector, pág. 174punto inicial, pág. 74punto terminal, pág. 174componente horizontal, pág. 174componente vertical, pág. 174forma de componente, pág. 174transformación, pág. 174imagen, pág. 174preimagen, pág. 174traslación, pág. 174movimiento rígido, pág. 176composición de
transformaciones, pág. 176
Vocabulario EsencialVocabulario Eseencial
CONSEJO DE ESTUDIOPuedes usar la notación primapara nombrar una imagen. Por ejemplo, si la preimagen es el punto P, entonces su imagen es el punto P′, que se lee “punto P prima.”
Concepto Concepto EsencialEsencialVectoresEl diagrama muestra un vector. El punto inicial o
punto de partida del vector es P, y el punto terminal o punto fi nal de un vector es Q. El vector se llama
PQ ⃑, que se lee “vector PQ.” El componente horizontal de PQ ⃑ es 5, y el componente vertical es
3. La forma de componente de un vector combina
los componentes horizontal y vertical. Entonces, la
forma de componente de PQ ⃑ es ⟨5, 3⟩.
Identifi car componentes de vectores
En el diagrama, nombra el vector y escribe su forma de componente.
SOLUCIÓN El vector es JK ⃑. Para pasar del punto inicial J al punto terminal K, lo desplazas
3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia arriba. Entonces, la forma de
componente es ⟨3, 4⟩.
Concepto Concepto EsencialEsencialTraslacionessUna traslación desplaza todo punto
de una fi gura la misma distancia en la
misma dirección. Más específi camente,
una traslación relaciona, o desplaza, los
puntos P y Q de una fi gura plana a lo
largo de un vector ⟨a, b⟩ a los puntos
P′ y Q′, de manera que uno de los
siguientes enunciados sea verdadero.
• PP′ = QQ′ y — PP′ � — QQ′ , o
• PP′ = QQ′ y — PP′ y — QQ′ son colineales.
x
y
P(x1, y1)
P′(x1 + a, y1 + b)
Q′(x2 + a, y2 + b)
Q(x2, y2)
Una transformación es una función que desplaza o cambia una fi gura de alguna
manera para producir una nueva fi gura llamada imagen. Otro nombre de la
fi gura original es preimagen. Los puntos de la preimagen son las entradas de la
transformación y los puntos de la imagen son las salidas.
P 5 unidades ala derecha
Q 3unidades
haciaarriba
Las traslaciones relacionan rectas con líneas paralelas y segmentos con segmentos
paralelos. Por ejemplo, en la fi gura de arriba, — PQ � — P′Q′ .
J
K
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Sección 4.1 Traslaciones 175
Escribir una regla de traslación
Escribe una regla para la traslación de △ABC a △A′B′C′.
SOLUCIÓNPara ir de A hacia A′, te desplazas 4 unidades hacia la izquierda y 1 unidad hacia
arriba, entonces te desplazas a lo largo del vector ⟨−4, 1⟩.
Entonces, una regla de la traslación es (x, y) → (x − 4, y + 1).x
y
3
42 86
BC
AA′
B′C′
Trasladar una fi gura usando un vector
Los vértices de △ABC son A(0, 3), B(2, 4), y C(1, 0). Traslada △ABC usando el vector
⟨5, −1⟩.
SOLUCIÓN
Primero, haz una gráfi ca de △ABC. Usa ⟨5, −1⟩para mover cada vértice 5 unidades hacia la
derecha y 1 unidad hacia abajo. Rotula los
vértices de la imagen. Dibuja △A′B′C′. Observa que los vectores trazados desde los
vértices de la preimagen hacia los vértices de
la imagen son paralelos.
También puedes expresar traslación a lo largo del vector ⟨a, b⟩ usando una regla, que
tiene la notación (x, y) → (x + a, y + b).
x
y
2
8
BA
C
B′(7, 3)
A′(5, 2)
C′(6, −1)
Trasladar una fi gura en el plano de coordenadas
Haz una gráfi ca del cuadrilátero ABCD con vértices A(−1, 2), B(−1, 5), C(4, 6) y
D(4, 2) y su imagen después de la traslación (x, y) → (x + 3, y − 1).
SOLUCIÓNHaz una gráfi ca del cuadrilátero ABCD. Para hallar las coordenadas de los vértices de
la imagen, suma 3 a las coordenadas x y resta 1 de las coordenadas y de los vértices de
la preimagen. Luego haz una gráfi ca de la imagen, tal como se muestra a la izquierda.
(x, y) → (x + 3, y − 1)
A(−1, 2) → A′(2, 1)
B(−1, 5) → B′(2, 4)
C(4, 6) → C′(7, 5)
D(4, 2) → D′(7, 1)
Monitoreo del progresoMonitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
1. Nombra el vector y escribe su forma de componente.
2. Los vértices de △LMN son L(2, 2), M(5, 3) y N(9, 1). Traslada △LMN usando el
vector ⟨−2, 6⟩.
3. En el Ejemplo 3, escribe una regla para trasladar △A′B′C′ otra vez a △ABC.
4. Haz una gráfi ca de △RST con vértices R(2, 2), S(5, 2) y T(3, 5) y su imagen luego
de la traslación (x, y) → (x + 1, y + 2).
x
y
4
6
42 6
BC
A DA′
B′C′
D′
K
B
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176 Capítulo 4 Transformaciones
Hacer composicionesUn movimiento rígido es una transformación que conserva la longitud y la medida
del ángulo. Otro nombre para el movimiento rígido es una isometría. Un movimiento
rígido relaciona líneas con líneas, rayos con rayos y segmentos con segmentos.
Hacer una composición
Haz una gráfi ca de — RS con puntos fi nales R(−8, 5) y S(−6, 8) y su imagen luego de la
composición.
Traslación: (x, y) → (x + 5, y − 2)
Traslación: (x, y) → (x − 4, y − 2)
SOLUCIÓN
Paso 1 Haz una gráfi ca de — RS .
Paso 2 Traslada — RS 5 unidades hacia la derecha
y 2 unidades hacia abajo. — R′S′ tiene
extremos R′(−3, 3) y S′(−1, 6).
Paso 3 Traslada — R′S′ 4 unidades hacia la
izquierda y 2 unidades hacia abajo.
— R″S″ tiene extremos R″(−7, 1) y S″(−5, 4).
TeoremaTeoremaTeorema 4.1 Teorema de la composiciónLa composición de dos (o más) movimientos rígidos es un movimiento rígido.
Prueba Ej. 35, pág. 180
P
QP′
Q′
P″
Q″
traslación 1
com
posic
ión
traslación 2
x
y
4
2
8
6
−2−4−6−8
R(−8, 5)
S(−6, 8)
R″(−7, 1)
S″(−5, 4)
R′(−3, 3)
S′(−1, 6)
Dado que una traslación es un movimiento rígido y un movimiento rígido conserva
la longitud y la medida del ángulo, los siguientes enunciados son verdaderos para la
traslación que se muestra.
• DE = D′E′, EF = E′F′, FD = F′D′
• m∠D = m∠D′, m∠E = m∠E′, m∠F = m∠F′
Cuando dos o más transformaciones se combinan para formar una sola transformación,
el resultado es una composición de transformaciones.
D F
E
E′
F′D′
Postulado 4.1 Postulado de la traslaciónUna traslación es un movimiento rígido.
PostuladoPostulado
El teorema anterior es importante
porque enuncia que no importa
cuántos movimientos rígidos hagas, las
longitudes y las medidas de los ángulos
se conservarán en la imagen fi nal. Por
ejemplo, la composición de dos o más
traslaciones es una traslación, tal como
se muestra.
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Sección 4.1 Traslaciones 177
Resolver problemas de la vida real
Representar con matemáticas
Estás diseñando un ícono de favoritos
para una página web sobre golf. En
un programa de edición de imágenes,
desplazas el rectángulo rojo 2 unidades
hacia la izquierda y 3 unidades hacia
abajo. Luego desplazas el rectángulo
rojo 1 unidad hacia la derecha y 1 unidad
hacia arriba. Reescribe la composición
como una sola traslación.
SOLUCIÓN1. Comprende el problema Te dan
dos traslaciones. Necesitas reescribir
el resultado de la composición de
las dos traslaciones como una sola
traslación.
2. Haz un Plan Puedes elegir un punto arbitrario (x, y) en el rectángulo rojo y
determinar el cambio horizontal y vertical en las coordenadas del punto después de
ambas traslaciones. Esto te indica cuánto necesitas cambiar cada coordenada para
relacionar la fi gura original con la imagen fi nal.
3. Resuelve el problema Imagina que A(x, y) es un punto arbitrario en el
rectángulo rojo. Después de la primera traslación, las coordenadas de su imagen son
A′(x − 2, y − 3).
La segunda traslación relaciona A′(x − 2, y − 3) con
A″(x − 2 + 1, y − 3 + 1) = A″(x − 1, y − 2).
La composición de traslaciones usa el punto original (x, y) como la entrada y
retorna el punto (x − 1, y − 2) como la salida.
Entonces, la única regla de traslación de la composición es
(x, y) → (x − 1, y − 2).
4. Verifícalo Verifi ca que la regla sea correcta poniendo a prueba un punto. Por
ejemplo, (10, 12) es un punto del rectángulo rojo. Aplica las dos traslaciones a (10, 12).
(10, 12) → (8, 9) → (9, 10)¿El resultado fi nal se relaciona con la regla que hallaste en el Paso 3?
(10, 12) → (10 − 1, 12 − 2) = (9, 10) ✓
Monitoreo del progresoMonitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
5. Haz una gráfi ca de — TU con extremos T(1, 2) y U(4, 6) y su imagen después de la
composición.
Traslación: (x, y) → (x − 2, y − 3) Traslación: (x, y) → (x − 4, y + 5)
6. Haz una gráfi ca de — VW con extremos V(−6, −4) y W(−3, 1) y su imagen después
de la composición.
Traslación: (x, y) → (x + 3, y + 1) Traslación: (x, y) → (x − 6, y − 4)
7. En el Ejemplo 6, desplazas el cuadrado gris 2 unidades hacia la derecha y
3 unidades hacia arriba. Luego desplazas el cuadrado gris 1 unidad hacia la
izquierda y una unidad hacia abajo. Reescribe la composición como una sola
transformación.
x
y
4
2
8
6
12
10
14
42 86 1210 14
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178 Capítulo 4 Transformaciones
Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com
1. VOCABULARIO Nombra la preimagen y la imagen de la transformación △ABC → △A′B′C ′.
2. COMPLETAR LA ORACIÓN Un(a) ______ desplaza todos los puntos de una fi gura la misma distancia en la misma dirección.
Ejercicios4.1
Verifi cación de vocabulario y concepto esencial Verifi cación de vocabulario y concepto esencial
En los Ejercicios 3 y 4, nombra el vector y escribe su forma de componente. (Consulta el Ejemplo 1).
3.
C
D
4. S
T
En los Ejercicios 5–8, los vértices de △DEF son D(2, 5), E(6, 3) y F(4, 0). Traslada △DEF usando el vector dado. Haz una gráfi ca de △DEF y su imagen. (Consulta el Ejemplo 2).
5. ⟨6, 0⟩ 6. ⟨5, −1⟩
7. ⟨−3, −7⟩ 8. ⟨−2, −4⟩
En los Ejercicios 9 y 10, halla la forma de componente del vector que traslada P(−3, 6) en P′.
9. P′(0, 1) 10. P′(−4, 8)
En los Ejercicios 11 y 12, escribe una regla para la traslación de △LMN a △L′M′N ′. (Consulta el Ejemplo 3).
11.
x
y4
−2
6−2−4NL
MN′L′
M′
12.
NLN′L′
x
y1
−5
31−3−7 MM′
En los Ejercicios 13–16, usa la traslación.
(x, y) → (x − 8, y + 4)
13. ¿Cuál es la imagen de A(2, 6)?
14. ¿Cuál es la imagen de B(−1, 5)?
15. ¿Cuál es la preimagen de C ′(−3, −10)?
16. ¿Cuál es la preimagen de D′(4, −3)?
En los Ejercicios 17–20, haz una gráfi ca de △PQR con vértices P(−2, 3), Q(1, 2) y R(3, −1) y su imagen después de la traslación. (Consulta el Ejemplo 4).
17. (x, y) → (x + 4, y + 6)
18. (x, y) → (x + 9, y − 2)
19. (x, y) → (x − 2, y − 5)
20. (x, y) → (x − 1, y + 3)
En los Ejercicios 21 y 22, haz una gráfi ca de △XYZ con vértices X(2, 4), Y(6, 0) y Z(7, 2) y su imagen luego de la composición. (Consulta el Ejemplo 5).
21. Traslación: (x, y) → (x + 12, y + 4)
Traslación: (x, y) → (x − 5, y − 9)
22. Traslación: (x, y) → (x − 6, y)
Traslación: (x, y) → (x + 2, y + 7)
Monitoreo del progreso y Representar con matemáticasMonitoreo del progreso y Representar con matemáticas
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Sección 4.1 Traslaciones 179
En los Ejercicios 23 y 24, describe la composición de las traslaciones.
23.
x
y4
2
−2
42−2−4
A
C B
A″
C″ B″
A′
B′C′
24.
x
y
3
−2
5−1
D
G F
E
D″
G″
E″
F″
D′
F′G′
E′
25. ANÁLISIS DE ERRORES Describe y corrige el error
cometido al hacer una gráfi ca de la imagen del
cuadrilátero EFGH luego de la traslación
(x, y) → (x − 1, y − 2).
E
HG
F
G′
F′E′
H′
x
y
3
5
1
31 5 9
✗
26. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS En el ajedrez,
el caballo se mueve en un patrón en forma de L.
El tablero muestra dos jugadas consecutivas de
un caballo negro durante una partida. Escribe una
composición de traslaciones para las jugadas. Luego
reescribe la composición como una sola traslación que
desplaza el caballo desde su posición original hacia su
posición fi nal. (Consulta el Ejemplo 6).
27. RESOLVER PROBLEMAS Estás estudiando una ameba
en un microscopio. Supón que la ameba se desplaza
en un portaobjetos cuadriculado de microscopio en
una línea recta del cuadrado B3 al cuadrado G7.
7654321
A B C D E F G H
8X
a. Describe la traslación.
b. La longitud de los lados de cada cuadrado de
la cuadrícula es de 2 milímetros. ¿Cuál es la
distancia que recorre la ameba?
c. La ameba se desplaza del cuadrado B3 al cuadrado
G7 en 24.5 segundos. ¿Cuál es su velocidad en
milímetros por segundo?
28. CONEXIONES MATEMÁTICAS La traslación A
relaciona (x, y) con (x + n, y + t). La traslación B
relaciona (x, y) con (x + s, y + m).
a. Traslada un punto usando la traslación A, seguida
de la traslación B. Escribe una regla algebraica
para la imagen fi nal del punto luego de esta
composición.
b. Traslada un punto usando la traslación B, seguida
de la traslación A. Escribe una regla algebraica
para la imagen fi nal del punto luego de esta
composición.
c. Compara las reglas que escribiste para las partes
(a) y (b). ¿Importa qué traslación haces primero?
Explica tu razonamiento.
CONEXIONES MATEMÁTICAS En los Ejercicios 29 y 30, una traslación relaciona la fi gura azul con la fi gura roja. Halla el valor de cada variable.
29.
s 2tr°
162° 100°
3w°
10
8
30.
4c − 6
b + 6a°
55°
20
14
hs_geo_span_pe_0401.indd 179hs_geo_span_pe_0401.indd 179 7/1/15 2:51 PM7/1/15 2:51 PM
180 Capítulo 4 Transformaciones
Mantener el dominio de las matemáticasMantener el dominio de las matemáticasIndica si la fi gura se puede doblar por la mitad de manera que un lado corresponda con el otro. (Manual de revisión de destrezas)
43. 44. 45. 46.
Simplifi ca la expresión. (Manual de revisión de destrezas)
47. −(−x) 48. −(x + 3) 49. x − (12 − 5x) 50. x − (−2x + 4)
Repasar lo que aprendiste en grados y lecciones anteriores
31. USAR LA ESTRUCTURA El cuadrilátero DEFG tiene vértices D(−1, 2), E(−2, 0), F(−1, −1) y G(1, 3). Una traslación relaciona el cuadrilátero DEFG con el cuadrilátero D′E′F′G′. La imagen de D es D′(−2, −2). ¿Cuáles son las coordenadas de E′, F′ y G′?
32. ¿CÓMO LO VES? ¿Qué dos fi guras representan una traslación? Describe la traslación.
14
7
8
9
6
5
2
3
33. RAZONAR La traslación (x, y) → (x + m, y + n) relaciona — PQ con — P′Q′ . Escribe una regla para la traslación de — P′Q′ hacia — PQ . Explica tu razonamiento.
34. SACAR CONCLUSIONES Los vértices de un rectángulo son Q(2, −3), R(2, 4), S(5, 4) y T(5, −3).
a. Traslada el rectángulo QRST 3 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia abajo para generar el rectángulo Q′R′S′T ′. Halla el área del rectángulo QRST y el área del rectángulo Q′R′S′T ′.
b. Compara las áreas. Haz una conjetura acerca de las áreas de una preimagen y su imagen luego de una traslación.
35. DEMOSTRAR UN TEOREMA Demuestra el teorema de la composición (Teorema 4.1).
36. DEMOSTRAR UN TEOREMA Usa las propiedades de la traslación para demostrar cada teorema.
a. Teorema de los ángulos correspondientes (Teorema 3.1)
b. Recíproco de los ángulos correspondientes (Teorema 3.5)
37. ESCRIBIR Explica cómo usar las traslaciones para hacer un prisma rectangular.
38. CONEXIONES MATEMÁTICAS El vector PQ = ⟨4, 1⟩ describe la traslación de A(−1, w) a A′(2x + 1, 4) y de B(8y − 1, 1) a B′(3, 3z). Halla los valores de w, x, y y z.
39. ARGUMENTAR Una traslación relaciona —GH con —G′H′ . Tu amigo asegura que si trazas segmentos que conectan G con G′ y H con H′, entonces el cuadrilátero resultante es un paralelogramo. ¿Lo que dice tu amigo es correcto? Explica tu razonamiento.
40. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO Eres un diseñador gráfi co de una empresa que fabrica baldosas para el piso. Diseña una baldosa en un plano de coordenadas. Luego usa traslaciones para mostrar cómo las baldosas cubren todo un piso. Describe las traslaciones que relacionan la baldosa original con otras cuatro baldosas.
41. RAZONAR Los vértices de △ABC son A(2, 2), B(4, 2)y C(3, 4). Haz una gráfi ca de la imagen de △ABCdespués de la transformación (x, y) → (x + y, y). ¿Esta transformación es una traslación? Explica tu razonamiento.
42. DEMOSTRACIÓN —MN es perpendicular a la líneaℓ. —M′N′ es la traslación de —MN 2 unidades hacia la izquierda. Demuestra que —M′N′ es perpendicular aℓ.
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Sección 4.2 Refl exiones 181
4.2 Refl exiones
Refl ejar un triángulo usando un dispositivo refl ector
Trabaja con un compañero. Usa una regla para hacer cualquier triángulo en un
papel. Rotúlalo △ABC.
a. Usa la regla de nivelar para trazar una línea que no pase por el triángulo. Rotúlala m.
b. Coloca un dispositivo refl ector en la línea m.
c. Usa el dispositivo refl ector para marcar las imágenes de los vértices de △ABC. Rotula las imágenes de los vértices A, B y C como A′, B′ and C′, respectivamente.
d. Usa una regla de nivelar para dibujar △A′B′C′ conectando los vértices.
Refl ejar un triángulo en un plano de coordenadas
Trabaja con un compañero. Usa el software de geometría dinámica para dibujar
cualquier triángulo y rotúlalo △ABC.
a. Refl eja △ABC en el eje y para formar △A′B′C′.b. ¿Cuál es la relación entre las coordenadas de los vértices de △ABC y las de △A′B′C′?c. ¿Qué observas acerca de las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos de
los dos triángulos?
d. Refl eja △ABC en el eje x para formar △A′B′C′. Luego repite las partes (b) y (c).
0
1
2
3
4
−1−2−3
−1
0 1 2 4
A
C
B
A′
C′
B′
3
1
2
Comunicar tu respuestaComunicar tu respuesta 3. ¿Cómo puedes refl ejar una fi gura en un plano de coordenadas?
Pregunta esencial Pregunta esencial ¿Cómo puedes refl ejar una fi gura en un plano
de coordenadas?
BUSCAR UNA ESTRUCTURA
Para dominar las matemáticas, necesitas observar con atención para discernir un patrón o estructura.
MuestraPuntosA(−3, 3)B(−2, −1)C(−1, 4)SegmentosAB = 4.12BC = 5.10AC = 2.24Ángulosm∠A = 102.53°m∠B = 25.35°m∠C = 52.13°
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182 Capítulo 4 Transformaciones
4.2 Lección Qué aprenderásQué aprenderás Hacer refl exiones.
Hacer deslizamientos con inversión.
Identifi car ejes de simetría.
Resolver problemas de la vida real que incluyan refl exiones.
Hacer refl exiones
Hacer una refl exión en líneas horizontales y verticales
Haz una gráfi ca de △ABC con vértices A(1, 3), B(5, 2) y C(2, 1) y su imagen luego de
la refl exión descrita.
a. En la línea n: x = 3 b. En la línea m: y = 1
SOLUCIÓN
a. El punto A está 2 unidades hacia la
izquierda de la línea n, entonces su
refl exión A′ está 2 unidades hacia
la derecha de la línea n en (5, 3).
También, B′ está 2 unidades hacia la
izquierda de la línea n en (1, 2), y C′ está 1 unidad hacia la derecha de la
línea n en (4, 1).
AB
n
Cx
y4
2
42 6
A′
C′B′
b. El punto A está 2 unidades hacia
arriba sobre la línea m, entonces A′ está 2 unidades hacia abajo de la
línea m en (1, −1). También, B′ está
1 unidad debajo de la línea m en
(5, 0). Dado que el punto C está en la
línea m, sabes que C = C′.
AB
m
x
y4
2
6
A′
B′C
C′
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Haz una gráfi ca de △ABC del Ejemplo 1 y su imagen luego de una refl exión en la línea dada.
1. x = 4 2. x = −3
3. y = 2 4. y = −1
refl exión, pág. 182eje de refl exión, pág. 182deslizamiento con inversión,
pág. 184simetría lineal, pág. 185eje de simetría, pág. 185
Vocabulario EsencialVocabulario Eseencial
Concepto Concepto EsencialEsencialRefl exiones
Una refl exión es una transformación que usa una línea como espejo para refl ejar
una fi gura. La línea especular se conoce como el eje de refl exión.
Una refl exión en una línea m relaciona
todo punto P en el plano con un punto
P′, de manera que para cada punto una de
las siguientes propiedades es verdadera.
• Si P no está en m, entonces m es la
mediatriz de — PP′ , o
• Si P está en m, entonces P = P′.
P
m
punto P no está en m
P′
P
m
punto P está en m
P′
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Sección 4.2 Refl exiones 183
Hacer una refl exión en la línea y = −x
Haz una gráfi ca de — FG del Ejemplo 2 y su imagen luego de una refl exión en la línea
y = −x.
SOLUCIÓNUsa la regla de coordenadas para refl ejar en la línea
y = −x para hallar las coordenadas de los extremos de
la imagen. Luego haz una gráfi ca de — FG y su imagen.
(a, b) → (−b, −a)
F(−1, 2) → F′(−2, 1)
G(1, 2) → G′(−2, −1)
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Los vértices de △JKL son J(1, 3), K(4, 4) y L(3, 1).
5. Haz una gráfi ca de △JKL y su imagen luego de una refl exión en el eje x.
6. Haz una gráfi ca de △JKL y su imagen luego de una refl exión en el eje y.
7. Haz una gráfi ca de △JKL y su imagen luego de una refl exión en la línea y = x.
8. Haz una gráfi ca de △JKL y su imagen luego de una refl exión en la línea y = −x.
9. En el Ejemplo 3, verifi ca que — FF′ sea perpendicular a y = −x.
Hacer una refl exión en la línea y = x
Haz una gráfi ca de — FG con extremos F(−1, 2) y G(1, 2) y su imagen luego de una
refl exión en la línea y = x.
SOLUCIÓNLa pendiente de y = x es 1. El segmento de F hacia su
imagen, — FF′ , es perpendicular a la línea de la refl exión
y = x, entonces la pendiente de — FF′ será −1 (porque
1(−1) = −1). Desde F, desplázate 1.5 unidades hacia la
derecha y 1.5 unidades hacia abajo hasta y = x. Desde ese
punto, desplázate 1.5 unidades hacia la derecha y
1.5 unidades hacia abajo para localizar F′(2, −1).
La pendiente de — GG′ también será −1. Desde G,
desplázate 0.5 unidades hacia la derecha y 0.5 unidades
hacia abajo hasta y = x. Luego desplázate 0.5 unidades
hacia la derecha y 0.5 unidades hacia abajo para localizar G′(2, 1).
Puedes usar las reglas de coordenadas para hallar las imágenes de los puntos refl ejados
en cuatro líneas especiales.
Concepto Concepto EsencialEsencialReglas de coordenadas para refl exiones• Si (a, b) se refl eja en el eje x, entonces su imagen es el punto (a, −b).
• Si (a, b) se refl eja en el eje y, entonces su imagen es el punto (−a, b).
• Si (a, b) se refl eja en la línea y = x, entonces su imagen es el punto (b, a).
• Si (a, b) se refl eja en la línea y = −x, entonces su imagen es el punto (−b, −a).
x
y4
−2
4−2
F G
F′
G′
y = x
F′
G′x
y
−2
2
F G
y = −x
RECORDAREl producto de las pendientes de las líneas perpendiculares es −1.
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184 Capítulo 4 Transformaciones
Hacer deslizamientos con inversión
Dado que una refl exión es un movimiento rígido, y un movimiento rígido conserva
la longitud y la medida del ángulo, los siguientes enunciados son verdaderos para la
refl exión que se muestra.
• DE = D′E′, EF = E′F′, FD = F′D′
• m∠D = m∠D′, m∠E = m∠E′, m∠F = m∠F′
Dado que una refl exión es un movimiento rígido, el teorema de la composición
(Teorema 4.1) garantiza que toda composición de refl exiones y traslaciones sea un
movimiento rígido.
Un deslizamiento con inversión es una transformación
que incluye una traslación seguida de una refl exión en
la que todo punto P is mapped to a point P ″ by the
following steps.
Paso 1 Primero, una traslación relaciona P con P′.
Paso 2 Entonces, una refl exión en la línea k paralela
a la dirección de la traslación relaciona
P′ con P ″.
Hacer un deslizamiento con inversión
Haz una gráfi ca de △ABC con vértices A(3, 2), B(6, 3) y C(7, 1) y su imagen luego del
deslizamiento con inversión.
Traslación: (x, y) → (x − 12, y)
Refl exión: en el eje x
SOLUCIÓNComienza por hacer una gráfi ca de △ABC. Luego, haz una gráfi ca de △A′B′C′ luego de
una traslación 12 unidades hacia la izquierda. Finalmente, haz una gráfi ca de △A″B″C″ luego de una refl exión en el eje x.
x
y
2
−2
42 86−2−4−6−8−10−12
A(3, 2)
B(6, 3)
C(7, 1)A′(−9, 2)
A″(−9, −2)
B′(−6, 3)
B″(−6, −3)
C′(−5, 1)
C″(−5, −1)
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10. ¿QUÉ PASA SI? En el Ejemplo 4, △ABC se traslada 4 unidades hacia abajo y
luego se refl eja en el eje y. Haz una gráfi ca de △ABC y su imagen después del
deslizamiento con inversión.
11. En el Ejemplo 4, describe un deslizamiento con inversión desde △A″B″C ″ hacia
△ABC.
CONSEJO DE ESTUDIO
El eje de refl exión debe ser paralelo a la dirección de la traslación para ser un deslizamiento con inversión.
PostuladoPostuladoPostulado 4.2 Postulado de las refl exionesUna refl exión es un movimiento rígido.
D F
mE E′
F′ D′
P
P′
P″
Q′ Q″
Q
k
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Sección 4.2 Refl exiones 185
Identifi car líneas de simetríaUna fi gura en el plano tiene simetría lineal cuando la fi gura se puede relacionar en sí
misma mediante una refl exión en una línea. Este eje de refl exión es un eje de simetría,
tal como la línea m a la izquierda. Una fi gura puede tener más de un eje de simetría.
Identifi car ejes de simetría
¿Cuántos ejes de simetría tiene cada hexágono?
a. b. c.
SOLUCIÓN
a. b. c.
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Determina el número de ejes de simetría de la fi gura.
12. 13. 14.
15. Dibuja un hexágono sin ejes de simetría.
Resolver un problema de la vida real
Hallar una distancia mínima
Vas a comprar libros. Tu amigo va a
comprar unos CD. ¿Dónde deberías
estacionarte para minimizar la distancia
que ambos caminarán?
SOLUCIÓNRefl eja B en la línea m para obtener B′. Luego
traza — AB′ . Rotula la intersección de
— AB′ y m como C. Dado que AB′ es la distancia
más corta entre A y B′ y BC = B′C,
estaciónate en el punto C para minimizar
la distancia combinada, AC + BC, que
ambos tendrán que caminar.
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16. Vuelve al Ejemplo 6. Responde la pregunta usando una refl exión del punto A en
vez del punto B.
m
Bm
A
B
C m
A
B′
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186 Capítulo 4 Transformaciones
4.2 Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.comEjercicios
1. VOCABULARIO ¿Un deslizamiento con inversión es una combinación de qué dos transformaciones?
2. ¿CUÁL NO CORRESPONDE? ¿Cuál de las siguientes transformaciones no pertenece al grupo de las
otras tres? Explica tu razonamiento.
Verifi cación de vocabulario y concepto esencial Verifi cación de vocabulario y concepto esencial
En los Ejercicios 3–6, determina si el plano de coordenadas muestra una refl exión en el eje x, en el eje y, o en ninguno.
3. 4.
x
y2
−4
−6
4−4 A B
C
DE
F
x
y4
−4
−2
4−4 A
B
C
D
E
F
5. 6.
x
y4
2
42−2−4AB
C
D
E
F
x
y4
2
−4
−2
4A
B
CD
E
F
En los Ejercicios 7–12, haz una gráfica de △JKL y su imagen luego de una refl exión en la línea dada. (Consulta el Ejemplo 1).
7. J(2, −4), K(3, 7), L(6, −1); eje x
8. J(5, 3), K(1, −2), L(−3, 4); eje y
9. J(2, −1), K(4, −5), L(3, 1); x = −1
10. J(1, −1), K(3, 0), L(0, −4); x = 2
11. J(2, 4), K(−4, −2), L(−1, 0); y = 1
12. J(3, −5), K(4, −1), L(0, −3); y = −3
En los Ejercicios 13–16, haz una gráfi ca del polígono y su imagen luego de una refl exión en la línea dada. (Consulta los Ejemplos 2 y 3).
13. y = x 14. y = x
x
y
2
−4
−2
4 6
AB
C
x
y4
−2
4−2A
BC
D
15. y = −x 16. y = −x
x
y4
2
−4
2
A
BC
D
x
y4
2
−4
−2
4 6−2
A B
C
Monitoreo del progreso y Representar con matemáticasMonitoreo del progreso y Representar con matemáticas
x
y
4
6
2
2−2
x
y
2
−2
42 x
y
2
−2
−2−4 x
y
2
−2−4
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Sección 4.2 Refl exiones 187
En los Ejercicios 17–20, haz una gráfi ca de △RST con vértices R(4, 1), S(7, 3) y T(6, 4) y su imagen luego del deslizamiento con inversión. (Consulta el Ejemplo 4).
17. Traslación: (x, y) → (x, y − 1)
Refl exión: en el eje y
18. Traslación: (x, y) → (x − 3, y)
Refl exión: en la línea y = −1
19. Traslación: (x, y) → (x, y + 4)
Refl exión: en la línea x = 3
20. Traslación: (x, y) → (x + 2, y + 2)
Refl exión: en la línea y = x
En los Ejercicios 21–24, determina el número de ejes de simetría de la fi gura. (Consulta el Ejemplo 5).
21. 22.
23. 24.
25. USAR LA ESTRUCTURA Identifi ca la simetría lineal
(si la hubiese) de cada palabra.
a. LOOK
b. MOM
c. OX
d. DAD
26. ANÁLISIS DE ERRORES Describe y corrige el error
cometido al describir la transformación.
x
y
2
−2
42 86−2−4−6−8
BA
B″ B′
A′A″
— AB hacia — A″B″ es un deslizamiento con inversión.✗
27. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Te estacionas
en algún punto K en la línea n. Entregas una pizza
en la Casa H, regresas a tu auto y entregas una pizza
en la Casa J. Suponiendo que puedes cortar camino
por ambos jardines, ¿cómo puedes determinar la
ubicación del estacionamiento K que minimice la
distancia HK + KJ ? (Consulta el Ejemplo 6).
n
H J
28. PRESTAR ATENCIÓN A LA PRECISIÓN Usa los
números y símbolos para crear el deslizamiento
con inversión que tiene como resultado la imagen
que se muestra.
x
y
4
6
2
−4
−2
4 6 82−2−4A(3, 2)
C(2, −4)
B(−1, 1)
A″(5, 6)
B″(4, 2)
C″(−1, 5)
Traslación: (x, y) → ( , ) Refl exión: en y = x
x −+y
21 3
En los Ejercicios 29–32, halla el punto C en el eje x de manera que AC + BC sea mínima.
29. A(1, 4), B(6, 1)
30. A(4, −5), B(12, 3)
31. A(−8, 4), B(−1, 3)
32. A(−1, 7), B(5, −4)
33. CONEXIONES MATEMÁTICAS La línea y = 3x + 2
está refl ejada en la línea y = −1. ¿Cuál es la ecuación
de la imagen?
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188 Capítulo 4 Transformaciones
34. ¿CÓMO LO VES? Usa la Figura A.
x
y
Figura A
x
y
x
y
Figura 1 Figura 2
x
y
x
y
Figura 3 Figura 4
a. ¿Cuál de las fi guras es una refl exión de la Figura A
en la línea x = a? Explica.
b. ¿Cuál de las fi guras es una refl exión de la Figura A
en la línea y = b? Explica.
c. ¿Cuál de las fi guras es una refl exión de la Figura A
en la línea y = x? Explica.
d. ¿Hay alguna fi gura que represente un deslizamiento
con inversión? Explica tu razonamiento.
35. CONSTRUCCIÓN Sigue estos pasos para construir una
refl exión de △ABC en la línea m. Usa un compás y
una regla de nivelar.
Paso 1 Dibuja △ABC y la línea m.
Paso 2 Usa un ajuste del compás
para hallar dos puntos que
sean equidistantes de A en la
línea m. Usa el mismo ajuste
del compás para hallar un
punto en el otro lado de m
que esté a la misma distancia
desde estos dos puntos.
Rotula ese punto como A′.
Paso 3 Repite el paso 2 para hallar los puntos B′ y
C′. Dibuja △A′B′C′.
36. USAR HERRAMIENTAS Usa un dispositivo refl ector
para verifi car tu construcción en el Ejercicio 35.
37. CONEXIONES MATEMÁTICAS Refl eja △MNQ en la
línea y = −2x.
x
y4
−3
1−5
y = −2x
Q
M
N
38. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO ¿La composición
de una traslación y una refl exión es conmutativa?
(En otras palabras, ¿obtienes la misma imagen
sin importar el orden en el que hagas las
transformaciones?). Justifi ca tu respuesta.
39. CONEXIONES MATEMÁTICAS El punto B′(1, 4) es la
imagen de B(3, 2) luego de una refl exión en la línea c.
Escribe una ecuación para la línea c.
Mantener el dominio de las matemáticasMantener el dominio de las matemáticasUsa el diagrama para hallar las medidas de los ángulos. (Sección 1.5)
40. m∠AOC 41. m∠AOD
42. m∠BOE 43. m∠AOE
44. m∠COD 45. m∠EOD
46. m∠COE 47. m∠AOB
48. m∠COB 49. m∠BOD
Repasar lo que aprendiste en grados y lecciones anteriores
9090
8010070
1106012050
130
40140
30150
2016
0
10 170
0 180
10080
11070 12060 13050 14040 15030
1602017010
1800
BOA
E
DC
A
C
B
m
hs_geo_span_pe_0402.indd 188hs_geo_span_pe_0402.indd 188 7/1/15 2:51 PM7/1/15 2:51 PM
Sección 4.3 Rotaciones 189
4.3 Rotaciones
Rotar un triángulo en un plano de coordenadas
Trabaja con un compañero.
a. Usa el software de geometría dinámica para dibujar cualquier triángulo y rotúlalo △ABC.
b. Gira el triángulo 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj en torno al
origen para formar △A′B′C′.c. ¿Cuál es la relación entre las coordenadas de los vértices de △ABC y los de △A′B′C′?d. ¿Qué observas acerca de las longitudes de los lados
y las medidas de los ángulos de los dos triángulos?
Rotar un triángulo en un plano de coordenadas
Trabaja con un compañero.
a. El punto (x, y) se hace girar 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj en torno
al origen. Escribe una regla para determinar las coordenadas de la imagen de (x, y).
b. Usa la regla que escribiste en la parte (a) para girar △ABC 90° en sentido contrario
a las manecillas del reloj en torno al origen. ¿Cuáles son las coordenadas de los
vértices de la imagen, △A′B′C′?c. Dibuja △A′B′C′. ¿Las longitudes de sus lados son las mismas que las de △ABC?
Justifi ca tu respuesta.
Rotar un triángulo en un plano de coordenadas
Trabaja con un compañero.
a. El punto (x, y) se hace girar 180° en sentido contrario a las manecillas del reloj en
torno al origen. Escribe una regla para determinar las coordenadas de la imagen de
(x, y). Explica cómo hallaste la regla.
b. Usa la regla que escribiste en la parte (a) para girar △ABC (de Exploración 2) 180º
en sentido contrario a las manecillas del reloj en torno al origen. ¿Cuáles son las
coordenadas de los vértices de la imagen △A′B′C′?
Comunicar tu respuestaComunicar tu respuesta 4. ¿Cómo puedes girar una fi gura en un plano de coordenadas?
5. En Exploración 3, gira △A′B′C′ 180° en sentido contrario a las manecillas del
reloj en torno al origen. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de la imagen,
△A″B″C″? ¿Cómo se relacionan estas coordenadas con las coordenadas de los
vértices del triángulo original, ABC?
CONSTRUIR ARGUMENTOS VIABLES
Para dominar las matemáticas, necesitas usar los resultados previamente establecidos al construir argumentos.
Pregunta esencial Pregunta esencial ¿Cómo puedes girar una fi gura en un plano de
coordenadas?
x
y5
1
−3
−5
51−1−3−5
A
B
C
0
1
2
3
4
−1−2−3
−1
0 1 2 4
A
D
C
B
A′
C′B′
3
2
3
MuestraPuntosA(1, 3)B(4, 3)C(4, 1)D(0, 0)SegmentosAB = 3BC = 2AC = 3.61Ángulosm∠A = 33.69°m∠B = 90°m∠C = 56.31°
hs_geo_span_pe_0403.indd 189hs_geo_span_pe_0403.indd 189 7/1/15 2:52 PM7/1/15 2:52 PM
190 Capítulo 4 Transformaciones
4.3 Lección Qué aprenderásQué aprenderás Hacer rotaciones.
Hacer composiciones con rotaciones.
Identifi car la simetría rotacional.
Hacer rotaciones
La fi gura anterior muestra una rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj de 40°. Las rotaciones pueden ser en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario a las manecillas del reloj. En este capítulo, todas las rotaciones son en sentido contrario a las manecillas del reloj a no ser que se indique lo contrario.
Trazar una rotación
Traza una rotación de 120° de △ABC en torno al punto P.
SOLUTION
Paso 1 Traza un segmento desde P hacia A.
P
A
BC
Paso 2 Traza un rayo para formar un ángulo de 120° con — PA .
P
A
BCP
C9090
80100
70110
60 120
50 130
40 140
30 150
20 160
10 170
0 180
10080
11070
12060
13050
14040
15030 16020 17010 1800
Paso 3 Traza A′ de manera que PA′ = PA.
P
A
A′ BC120°
Paso 4 Repite los Pasos 1–3 por cada vértice. Dibuja △A′B′C′.
P
A
A′
B′
C′B
C
rotación, pág. 190centro de rotación, pág. 190ángulo de rotación, pág. 190simetría rotacional, pág. 193centro de simetría, pág. 193
Vocabulario EsencialVocabulario Eseencial
Concepto Concepto EsencialEsencialRotacionesUna rotación es una transformación en la que una fi gura se hace girar en torno a un punto fi jo llamado el centro de rotación. Los rayos trazados desde el centro de rotación hacia un punto y su imagen forman el ángulo de rotación.
Una rotación en torno a un punto P a través de un ángulo de x° relaciona cada punto Q en el plano con un punto Q′ de manera que una de las siguientes propiedades es verdadera.
• Si Q no es el centro de rotación P, entonces QP = Q′P y m∠QPQ′ = x°, o
• Si Q es el centro de rotación P, entonces Q = Q′.
R
Q
P
Q′
R′
40°ángula derotación
centro derotación
P
A
BC
en el sentido de las manecillas del reloj
en sentido contrario a las manecillas del reloj
Dirección de rotación
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Sección 4.3 Rotaciones 191
Rotar una fi gura en el plano de coordenadas
Haz una gráfi ca del cuadrilátero RSTU con vértices R(3, 1), S(5, 1), T(5, −3) y
U(2, −1) y su imagen luego de una rotación de 270° en torno al origen.
SOLUCIÓNUsa la regla de coordenadas para una rotación
de 270° para hallar las coordenadas de los
vértices de la imagen. Luego haz una gráfi ca
del cuadrilátero RSTU y su imagen.
(a, b) → (b, −a)
R(3, 1) → R′(1, −3)
S(5, 1) → S′(1, −5)
T(5, −3) → T′(−3, −5)
U(2, −1) → U′(−1, −2)
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1. Traza △DEF y el punto P. Luego dibuja una rotación de 50° de △DEF en torno
al punto P.
PFD
E
2. Haz una gráfi ca de △JKL con vértices J(3, 0), K(4, 3), y L(6, 0) y su imagen luego
de una rotación de 90° en torno al origen.
Puedes hacer girar una fi gura más de 180°. El diagrama
muestra rotaciones del punto A 130°, 220°, y 310° en torno al origen. Observa que el punto A y sus
imágenes pertenecen al mismo círculo. Una rotación
de 360° relaciona una fi gura consigo misma.
Puedes usar las reglas de coordenadas para hallar las
coordenadas de un punto luego de una rotación de
90°, 180° o 270° en torno al origen.
USAR ROTACIONESPuedes hacer girar una fi gura más de 360°. El efecto, sin embargo, es el mismo que hacer girar la fi gura por el ángulo menos 360°.
Concepto Concepto EsencialEsencialReglas de coordenadas para rotaciones en torno al origenCuando un punto (a, b) se hace girar en sentido
contrario a las manecillas del reloj en torno al
origen, los siguientes enunciados son verdaderos.
• Para una rotación de 90°, (a, b) → (−b, a).
• Para una rotación de 180°, (a, b) → (−a, −b).
• Para una rotación de 270°, (a, b) → (b, −a).
x
y
AA′
A″
A‴
130°
220°
310°
x
y
90°180°
270°
(a, b)(−b, a)
(−a, −b)(b, −a)
x
y2
−6
6−2−4
R S
T
UU′R′
S′T′
hs_geo_span_pe_0403.indd 191hs_geo_span_pe_0403.indd 191 7/1/15 2:52 PM7/1/15 2:52 PM
192 Capítulo 4 Transformaciones
Hacer composiciones con rotaciones
Dado que una rotación es un movimiento rígido, y un movimiento rígido conserva
la longitud y la medida del ángulo, los siguientes enunciados son verdaderos para la
rotación que se muestra.
• DE = D′E′, EF = E′F′, FD = F′D′
• m∠D = m∠D′, m∠E = m∠E′, m∠F = m∠F′
Dado que una rotación es un movimiento rígido, el teorema de las composiciones
(Teorema 4.1) garantiza que las composiciones de las rotaciones y otros movimientos
rígidos, tales como traslaciones y refl exiones, son movimientos rígidos.
Hacer una composición
Haz una gráfi ca de — RS con extremos R(1, −3) y S(2, −6) y su imagen después de la
composición.
Refl exión: en el eje y
Rotación: 90° en torno al origen
SOLUCIÓN
Paso 1 Haz una gráfi ca de — RS .
Paso 2 Refl eja — RS en el eje y. — R′S′ tiene extremos
R′(−1, −3) y S′(−2, −6).
Paso 3 Haz girar — R′S′ 90° en torno
al origen. — R″S″ tiene extremos
R″(3, −1) y S″(6, −2).
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3. Haz una gráfi ca de — RS del Ejemplo 3. Haz la rotación primero, seguida de la
refl exión. ¿Importa el orden de las transformaciones? Explica.
4. ¿QUÉ PASA SI? En el Ejemplo 3, — RS se refl eja en el eje x y se hace girar 180°
en torno al origen. Haz una gráfi ca de — RS y su imagen luego de la composición.
5. Haz una gráfi ca de — AB con extremos A(−4, 4) y B(−1, 7) y su imagen luego de
la composición.
Traslación: (x, y) → (x − 2, y − 1)
Rotación: 90° en torno al origen
6. Haz una gráfi ca de △TUV con vértices T(1, 2), U(3, 5) y V(6, 3) y su imagen
después de la composición.
Rotación: 180° en torno al origen
Refl exión: en el eje x
ERROR COMÚNA no ser que te indiquen algo distinto, haz las transformaciones en el orden dado.
PostuladoPostuladoPostulado 4.3 Postulado de la rotaciónUna rotación es un movimiento rígido.
D
F
E
E′
F′ D′
x
y
−6
8−2−4
R(1, −3)
S(2, −6)
R′(−1, −3)
S′(−2, −6)
R″(3, −1)
S″(6, −2)
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Sección 4.3 Rotaciones 193
Identifi car la simetría rotacionalUna fi gura en el plano tiene simetría rotacional cuando la fi gura se puede relacionar
consigo misma mediante una rotación de 180° o menos en torno al centro de la fi gura.
Este punto es el centro de simetría. Observa que la rotación puede ser en el sentido de
las manecillas del reloj o en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Por ejemplo, la fi gura a continuación también tiene simetría rotacional, ya que una
rotación de 90° o de 180° relaciona la fi gura consigo misma (aunque una rotación de
45°, no).
0° 45°90°
180°
La fi gura anterior también tiene simetría de puntos, que es 180° de simetría rotacional.
Identifi car la simetría rotacional
¿La fi gura tiene simetría rotacional? Si es así, describe toda rotación que relacione la
fi gura consigo misma.
a. paralelogramo b. octágono regular c. trapezoide
SOLUCIÓN
a. El paralelogramo tiene simetría rotacional. El
centro está en la intersección de las diagonales.
Una rotación de 180° en torno al centro relaciona
al paralelogramo consigo mismo.
b. El octágono regular tiene simetría rotacional. El
centro está en la intersección de las diagonales.
Las rotaciones de 45°, 90°, 135°, o 180° en torno
al centro relacionan al octágono consigo mismo.
c. El trapezoide no tiene simetría rotacional porque
ninguna rotación de 180° o menos relaciona al
trapezoide consigo mismo.
Monitoreo del progresoMonitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
Determina si la fi gura tiene simetría rotacional. Si es así, describe toda rotación que relacione la fi gura consigo misma.
7. rombo 8. octágono 9. triángulo rectángulo
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194 Capítulo 4 Transformaciones
4.3 Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.comEjercicios
1. COMPLETAR LA ORACIÓN Cuando un punto (a, b) se hace girar en sentido contrario a las manecillas
del reloj en torno al origen, (a, b) → (b, −a) es el resultado de una rotación de ______.
2. DISTINTAS PALABRAS, LA MISMA PREGUNTA ¿Cuál es diferente? Halla “ambas” respuestas.
Verifi cación de vocabulario y concepto esencial Verifi cación de vocabulario y concepto esencial
En los Ejercicios 3–6, traza el polígono y el punto P. Luego haz una rotación del polígono en torno al punto P usando el número de grados dado. (Consulta el Ejemplo 1).
3. 30° 4. 80°
A
B
C
P
D
G F
EP
5. 150° 6. 130°
J
G
F
P
R
Q
P
En los Ejercicios 7–10, haz una gráfi ca del polígono y su imagen luego de una rotación del número de grados en torno al origen. (Consulta el Ejemplo 2).
7. 90°
x
y
4
42−2−4
A
B
C
8. 180°
D
E
F
x
y
−2
4
9. 180° 10. 270°
M L
KJ
x
y
4
2
42 6
Q T
SRx
y
−2
−6
En los Ejercicios 11–14, haz una gráfi ca de — XY con extremos X(−3, 1) y Y(4, −5) y su imagen luego de la composición. (Consulta el Ejemplo 3).
11. Traslación: (x, y) → (x, y + 2)
Rotación: 90° en torno al origen
12. Rotación: 180° en torno al origen
Traslación: (x, y) → (x − 1, y + 1)
13. Rotación: 270° en torno al origen
Refl exión: en el eje y
14. Refl exión: en la línea y = xRotación: 180° en torno al origen
Monitoreo del progreso y Representar con matemáticasMonitoreo del progreso y Representar con matemáticas
A
B
C
x
y4
2
−4
−2
42−2−4
¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de la imagen luego de una rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj de
90° en torno al origen?
¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de la imagen luego de una rotación en el sentido de las manecillas del reloj de 270° en torno al origen?
¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de la imagen luego
de girar la fi gura 90° hacia la izquierda en torno al origen?
¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de la imagen luego de una rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj de 270° en torno al origen?
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Sección 4.3 Rotaciones 195
En los Ejercicios 15 y 16, haz una gráfi ca de △LMN con vértices L(1, 6), M(−2, 4) y N(3, 2) y su imagen luego de la composición. (Consulta el Ejemplo 3).
15. Rotación: 90° en torno al origen
Traslación: (x, y) → (x − 3, y + 2)
16. Refl exión: en el eje xRotación: 270° en torno al origen
En los Ejercicios 17–20, determina si la fi gura tiene simetría rotacional. Si es así, describe toda rotación que relacione la fi gura consigo misma. (Consulta el Ejemplo 4).
17. 18.
19. 20.
RAZONAMIENTO REPETIDO En los Ejercicios 21–24,selecciona los ángulos de simetría rotacional para el polígono regular. Selecciona todos los que correspondan.
○A 30° ○B 45° ○C 60° ○D 72°
○E 90° ○F 120° ○G 144° ○H 180°
21. 22.
23. 24.
ANÁLISIS DE ERRORES En los Ejercicios 25 y 26, los extremos de — CD son C(−1, 1) y D(2, 3). Describe y corrige el error cometido al hallar las coordenadas de los vértices de la imagen luego de una rotación de 270° en torno al origen.
25. C (−1, 1) → C ′ (−1, −1) D (2, 3) → D ′ (2, −3)✗
26. C (−1, 1) → C ′ (1, −1) D (2, 3) → D ′ (3, 2)✗
27. CONSTRUCCIÓN Sigue estos pasos para construir una
rotación de △ABC por el ángulo D alrededor de un
punto O. Usa un compás y una regla de nivelar.
O
DC
BAA′
Paso 1 Dibuja △ABC, ∠D y O, el centro de
rotación.
Paso 2 Dibuja — OA . Usa la construcción para copiar
un ángulo para copiar ∠D en O, tal como
se muestra. Luego usa la distancia OA y el
centro O para hallar A′.
Paso 3 Repite el Paso 2 para hallar los puntos B′ y
C′. Dibuja △A′B′C′.
28. RAZONAR Entras a la puerta giratoria de un hotel.
a. Haces girar la puerta 180°. ¿Qué signifi ca esto en el
contexto de la situación?
Explica.
b. Haces girar la puerta 360°. ¿Qué signifi ca esto en el
contexto de la situación?
Explica.
29. CONEXIONES MATEMÁTICAS Usa la gráfi ca de
y = 2x − 3.
a. Gira la línea 90°, 180°, 270° y 360° en torno al origen.
Escribe la ecuación de la
línea para cada imagen.
Describe la relación entre la
ecuación de la preimagen y
la ecuación de cada imagen.
b. ¿Crees que las relaciones que describiste en la
parte (a) son verdaderas para toda línea? Explica
tu razonamiento.
30. ARGUMENTAR Tu amigo dice que girar una fi gura
180° es lo mismo que refl ejar una fi gura en el eje y y
luego refl ejarla en el eje x. ¿Es correcto lo que dice tu
amigo? Explica tu razonamiento.
x
y
−2
2−2
hs_geo_span_pe_0403.indd 195hs_geo_span_pe_0403.indd 195 7/1/15 2:52 PM7/1/15 2:52 PM
196 Capítulo 4 Transformaciones
31. SACAR CONCLUSIONES Una fi gura solo tiene punto
de simetría. ¿Cuántas veces puedes girar la fi gura
antes de que vuelva a estar donde comenzó?
32. ANALIZAR RELACIONES ¿Es posible para una fi gura
tener simetría rotacional de 90° pero no tener simetría
rotacional de 180°? Explica tu razonamiento.
33. ANALIZAR RELACIONES ¿Es posible para una fi gura
tener simetría rotacional de 180° pero no tener
simetría rotacional de 90°? Explica tu razonamiento.
34. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO ¿Las rotaciones de
90°, 180°, 270°, y 360° pueden escribirse como la
composición de dos refl exiones? Justifi ca tu respuesta.
35. USAR UNA ECUACIÓN Dentro de un caleidoscopio, se
colocan dos espejos uno junto a otro para formar una
V. El ángulo entre los espejos determina el número de
ejes de simetría en la
imagen. Usa la fórmula
n(m∠1) = 180° para
hallar la medida de ∠1,
el ángulo entre los espejos,
para el número n de ejes de simetría.
a. b.
36. RAZONAR Usa las reglas de coordenadas para las
rotaciones en sentido contrario a las manecillas del reloj
en torno al origen para escribir reglas de coordenadas
para rotaciones en el sentido de las manecillas del reloj
de 90°, 180°, o 270° en torno al origen.
37. USAR LA ESTRUCTURA △XYZ tiene vértices X(2, 5),
Y(3, 1) y Z(0, 2). Gira △XYZ 90° en torno al punto
P(−2, −1).
38. ¿CÓMO LO VES? Estás terminando el rompecabezas.
Las dos piezas que faltan tienen simetría rotacional.
1 2
a. Describe la simetría rotacional de la Pieza 1 y de
la Pieza 2.
b. Tomas la Pieza 1. ¿De cuántas maneras puede
calzar en el rompecabezas?
c. Antes de poner la Pieza 1 en el rompecabezas,
la conectas con la Pieza 2. ¿Ahora de cuántas
maneras puede calzar en el rompecabezas?
Explica.
39. USAR LA ESTRUCTURA Un sistema de coordenadas
polares ubica un punto en un plano según su distancia
desde el origen O y según la medida de un ángulo con
su vértice en el origen. Por ejemplo, el punto A(2, 30°) está a 2 unidades del origen y m∠XOA = 30°. ¿Cuáles
son las coordenadas polares de la imagen del punto A
luego de una rotación de 90°?, ¿y de una rotación de
180°?, ¿y de una rotación de 270°? Explica.
90°60°
30°
X 0°3
330°
300°270°
240°
210°
180°
150°
120°
1 2
A
O
Mantener el dominio de las matemáticasMantener el dominio de las matemáticasLas fi guras son congruentes. Nombra los ángulos correspondientes y los lados correspondientes. (Manual de revisión de destrezas)
40. PQ
RS
T
VW
X
YZ
41. A B
CDJ K
LM
Repasar lo que aprendiste en grados y lecciones anteriores
1espejo
vidrio negro
hs_geo_span_pe_0403.indd 196hs_geo_span_pe_0403.indd 196 7/1/15 2:52 PM7/1/15 2:52 PM
197197
4.1–4.3 ¿Qué aprendiste?
Vocabulario EsencialVocabulario Esencialvector, pág. 174punto inicial, pág. 174punto terminal, pág. 174componente horizontal, pág. 174componente vertical, pág. 174forma de componente, pág. 174transformación, pág. 174imagen, pág. 174
preimagen, pág. 174traslación, pág. 174movimiento rígido, pág. 176composición de transformaciones,
pág. 176refl exión, pág. 182eje de refl exión, pág. 182deslizamiento con inversión,
pág. 184
simetría lineal, pág. 185eje de simetría, pág. 185rotación, pág. 190centro de rotación, pág. 190ángulo de rotación, pág. 190simetría rotacional, pág. 193centro de simetría, pág. 193
Conceptos EsencialesConceptos EsencialesSección 4.1Vectores, pág. 174Traslaciones, pág. 174
Postulado 4.1 Postulado de la traslación, pág. 176Teorema 4.1 Teorema de la composición, pág. 176
Sección 4.2Refl exiones, pág. 182Reglas de coordenadas para refl exiones, pág. 183
Postulado 4.2 Postulado de las refl exiones, pág. 184Simetría lineal, pág. 185
Sección 4.3Rotaciones, pág. 190Reglas de coordenadas para rotaciones en torno al origen, pág. 191
Postulado 4.3 Postulado de la rotación, pág. 192Simetría rotacional, pág. 193
Prácticas matemáticasPrácticas matemáticas1. ¿Cómo puedes determinar si tus resultados tienen sentido en el Ejercicio 26 de la página 179?
2. Enuncia el signifi cado de los números y símbolos que elegiste en el Ejercicio 28 de la página 187.
3. Describe los pasos que darías para llegar a la respuesta del Ejercicio 29 parte (a) de la página 195.
¿Alguna vez te sientes frustrado o abrumado por las matemáticas? No estás solo. Sólo respira hondo y evalúa la situación. Intenta encontrar un ambiente de estudio productivo, revisa tus notas y ejemplos en el libro de texto y pide ayuda a tu maestro o a tus compañeros.
Destrezas de estudio
Mantener una actitud positiva
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198 Capítulo 4 Transformaciones
4.1–4.3 Prueba
Haz una gráfi ca del cuadrilátero ABCD con vértices A(−4, 1), B(−3, 3), C(0, 1) y D(−2, 0) y su imagen luego de la traslación. (Sección 4.1)
1. (x, y) → (x + 4, y − 2) 2. (x, y) → (x − 1, y − 5) 3. (x, y) → (x + 3, y + 6)
Haz una gráfi ca del polígono con los vértices dados y su imagen luego de una refl exión en la línea dada. (Sección 4.2)
4. A(−5, 6), B(−7, 8), C(−3, 11); eje x 5. D(−5, −1), E(−2, 1), F(−1, −3); y = x
6. J(−1, 4), K(2, 5), L(5, 2), M(4, −1); x = 3 7. P(2, −4), Q(6, −1), R(9, −4), S(6, −6); y = −2
Haz una gráfi ca de △ABC con vértices A(2, −1), B(5, 2) y C(8, −2) y su imagen luego del desplazamiento con inversión. (Sección 4.2)
8. Traslación: (x, y) → (x, y + 6) 9. Traslación: (x, y) → (x − 9, y)Refl exión: en el eje y Refl exión: en la línea y = 1
Determina el número de ejes de simetría de la fi gura. (Sección 4.2)
10. 11. 12. 13.
Haz una gráfi ca del polígono y su imagen luego de una rotación del número dado de grados en torno al origen. (Sección 4.3)
14. 90°
x
y4
2
−4
−2
42−2−4A C
B 15. 270°
x
y
−4
−2
42−2−4G
D
E
F
16. 180°
x
y4
2
−4
42
J
H
K
I
Haz una gráfi ca de △LMN con vértices L(−3, −2), M(−1, 1) y N(2, −3) y su imagen luego de la composición. (Secciones 4.1–4.3)
17. Traslación: (x, y) → (x − 4, y + 3)Rotación: 180° en torno al origen
18. Rotación: 90° en torno al origenRefl exión: en el eje y
19. La fi gura muestra un juego en el que el objeto es crear fi las continuas usando las piezas dadas. Usando solo traslaciones y rotaciones, describe las transformaciones para cada pieza en la parte superior que formarán dos fi las continuas en la parte inferior. (Sección 4.1 y Sección 4.3)
x
y
hs_geo_span_pe_04mc.indd 198hs_geo_span_pe_04mc.indd 198 7/1/15 2:50 PM7/1/15 2:50 PM
Sección 4.4 Congruencia y transformaciones 199
4.4 Congruencia y transformaciones
Refl exiones en líneas paralelas
Trabaja con un compañero. Usa el software de geometría dinámica para dibujar
cualquier triángulo escaleno y rotúlalo △ABC.
a. Dibuja cualquier línea ⃖ ��⃗ DE . Refl eja
△ABC en ⃖ ��⃗ DE para formar △A′B′C′.
b. Dibuja una línea paralela a ⃖ ��⃗ DE .
Refl eja △A′B′C′ en la nueva línea
para formar △A″B″C″.
c. Dibuja la línea a través el punto A
que sea perpendicular a ⃖ ��⃗ DE . ¿Qué
observas?
d. Halla la distancia entre los puntos A
y A″. Halla la distancia entre las dos
líneas paralelas. ¿Qué observas?
e. Esconde △A′B′C′. ¿Hay una sola
transformación que relacione △ABC con △A″B″C″? Explica.
f. Haz conjeturas basadas en tus respuestas de las partes (c) – (e). Pon a prueba tus
conjeturas cambiando △ABC y las líneas paralelas.
Refl exiones en líneas intersecantes
Trabaja con un compañero. Usa el programa de geometría dinámica para dibujar
cualquier triángulo escaleno y rotúlalo △ABC.
a. Traza cualquier línea ⃖ ��⃗ DE . Refl eja
△ABC en ⃖ ��⃗ DE para formar △A′B′C′.
b. Traza cualquier línea ⃖ ��⃗ DF de manera
que el ángulo EDF sea menor que o
igual que 90°. Refl eja △A′B′C′ en ⃖��⃗ DF para formar △A″B″C″.
c. Halla la medida de ∠EDF. Gira
△ABC en sentido contrario a las
manecillas del reloj en torno al
punto D usando un ángulo dos
veces la medida de ∠EDF.
d. Haz una conjetura sobre una fi gura
refl ejada en dos líneas intersecantes.
Pon a prueba tu conjetura cambiando
△ABC y las líneas.
Comunicar tu respuestaComunicar tu respuesta 3. ¿Qué conjeturas puedes hacer sobre una fi gura refl ejada en dos líneas?
4. El punto Q se refl eja en dos líneas paralelas, ⃖ ��⃗ GH y ⃖ ��⃗ JK , para formar Q′ y Q″. La distancia de ⃖ ��⃗ GH a ⃖ ��⃗ JK es 3.2 pulgadas. ¿Cuál es la distancia QQ″?
Pregunta esencial Pregunta esencial ¿Qué conjeturas puedes hacer acerca de una
fi gura refl ejada en dos líneas?
CONSTRUIR ARGUMENTOS VIABLES
Para dominar las matemáticas, necesitas hacer conjeturas y justifi car tus conclusiones.
A
C
E
D
F
B
A′
A″
B″C″
C′
B′
Muestra
A
C
E
D
F
B
A′ A″
B″C″
C′
B′
Muestra
hs_geo_span_pe_0404.indd 199hs_geo_span_pe_0404.indd 199 7/1/15 2:53 PM7/1/15 2:53 PM
200 Capítulo 4 Transformaciones
4.4 Lección Qué aprenderásQué aprenderás Identifi car fi guras congruentes.
Describir transformaciones de congruencia.
Usar teoremas sobre transformaciones de congruencia.
Identifi car fi guras congruentesDos fi guras geométricas son fi guras congruentes si y solo si hay un movimiento
rígido o una composición de movimientos rígidos que relacione una de las fi guras
con la otra. Las fi guras congruentes tienen el mismo tamaño y la misma forma.
Congruente
el mismo tamaño y la misma forma
No congruente
diferentes tamaños o formas
Puedes identifi car las fi guras congruentes en el plano de coordenadas identifi cando
el movimiento rígido o la composición de movimientos rígidos que relaciona una de
las fi guras con la otra. Recuerda de los Postulados 4.1 a 4.3 y el Teorema 4.1 que las
traslaciones, refl exiones, rotaciones y composiciones de estas transformaciones son
movimientos rígidos.
Identifi car fi guras congruentes
Identifi ca toda fi gura congruente en el plano
de coordenadas. Explica.
SOLUCIÓNEl cuadrado NPQR es una traslación del
cuadrado ABCD 2 unidades hacia la
izquierda y 6 unidades hacia abajo. Entonces,
el cuadrado ABCD y el cuadrado NPQR
son congruentes.
△KLM es una refl exión de △EFG en el eje x.
Entonces, △EFG y △KLM son congruentes.
△STU es una rotación de 180° de △HIJ.
Entonces, △HIJ y △STU son congruentes.
Monitoreo del progresoMonitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
1. Identifi ca toda fi gura congruente en el
plano de coordenadas. Explica.
fi guras congruentes, pág. 200transformación de congruencia,
pág. 201
Vocabulario EsencialVocabulario Eseencial
x
y5
−5
5
I H
J
G E
F
C B
AD
Q P
NR
S T
U
M
L
K
x
y
4
42−2−4
I H
J G
E
FC
B
A
D
Q P
NR
S
T
UM
L
K
hs_geo_span_pe_0404.indd 200hs_geo_span_pe_0404.indd 200 7/1/15 2:53 PM7/1/15 2:53 PM
Sección 4.4 Congruencia y transformaciones 201
Transformaciones de congruenciaOtro nombre para el movimiento rígido o la combinación de movimientos rígidos es
transformación de congruencia porque la preimagen y la imagen son congruentes.
Los términos “movimiento rígido” y “transformación de congruencia” son
intercambiables.
Describir una transformación de congruencia
Describe una transformación de congruencia que
relaciona ▱ABCD con ▱EFGH.
SOLUCIÓNLos dos lados verticales de ▱ABCD surgen de
izquierda hacia derecha y los dos lados verticales
de ▱EFGH caen desde la izquierda hacia la
derecha. Si refl ejas ▱ABCD en el eje y, tal como
se muestra, entonces la imagen, ▱A′B′C′D′, tendrá la misma orientación que ▱EFGH.
Luego puedes relacionar ▱A′B′C′D′ con ▱EFGH usando una traslación de 4 unidades hacia abajo.
Entonces, una transformación de congruencia que relaciona ▱ABCD con
▱EFGH es una refl exión en el eje y seguida de una traslación de 4 unidades
hacia abajo.
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2. En el Ejemplo 2, describe otra transformación de congruencia que relacione
▱ABCD con ▱EFGH.
3. Describe una transformación de congruencia que relacione △JKL con △MNP.
x
y4
−4
−2
42−2−4
L J
K
P M
N
LEERPuedes leer la notación▱ABCD as “paralelogramo A, B, C, D.”
x
y4
2
−2
42
C
BA
D
F E
HG
x
y4
−2
42
C
BA
DD′
A′B′
C′
F E
HG
hs_geo_span_pe_0404.indd 201hs_geo_span_pe_0404.indd 201 7/1/15 2:53 PM7/1/15 2:53 PM
202 Capítulo 4 Transformaciones
Usar teoremas sobre transformaciones de congruenciaLas composiciones de dos refl exiones tienen como resultado o bien una traslación o
bien una rotación. Una composición de dos refl exiones en líneas paralelas tiene como
resultado una traslación, tal como se describe en el siguiente teorema.
Usar el Teorema de las refl exiones en líneas paralelas
En el diagrama, una refl exión en la línea k
relaciona — GH to
— G′H′ . Una refl exión en la
línea m relaciona — G′H′ con
— G″H″ . También,
HB = 9 y DH″ = 4.
a. Nombra todo segmento congruente con
cada segmento: — GH , — HB , and
— GA .
b. ¿AC = BD? Explica.
c. ¿Cuál es la longitud de — GG″ ?
SOLUCIÓN
a. — GH ≅
— G′H′ , y — GH ≅
— G″H″ . — HB ≅ — H′B . — GA ≅
— G′A .
b. Si, AC = BD porque — GG″ y
— HH″ son perpendiculares tanto a k como a m. Entonces, — BD y — AC son lados opuestos de un rectángulo.
c. Por las propiedades de las refl exiones, H′B = 9 y H′D = 4. El teorema de las
refl exiones en las líneas paralelas implica que GG″ = HH″ = 2 ⋅ BD, entonces la
longitud de — GG″ es 2(9 + 4) = 26 unidades.
Monitoreo del progresoMonitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
Usa la fi gura. La distancia entre la línea k y la línea m es 1.6 centímetros.
4. La preimagen se refl eja en la línea k, luego en
la línea m. Describe una sola transformación
que relacione la fi gura azul con la fi gura verde.
5. ¿Cuál es la relación entre — PP′ y la línea k?
Explica.
6. ¿Cuál es la distancia entre P y P ″?
TeoremaTeoremaTeorema 4.2 Teorema de las refl exiones en líneas paralelas
Si las líneas k y m son paralelas, entonces una
refl exión en la línea k seguida de una refl exión
en la línea m es igual que una traslación.
Si A″ es la imagen de A, entonces
1. — AA″ es perpendicular a k y m, y
2. AA″ = 2d, donde d es la distancia
entre k y m.
Prueba Ej. 31, pág. 206
kB
A
d
B′ B″
A″A′
m
k
H
B
A
D
CG
H′ H″
G″G′m
k
P
m
P″P′
hs_geo_span_pe_0404.indd 202hs_geo_span_pe_0404.indd 202 7/1/15 2:53 PM7/1/15 2:53 PM
Sección 4.4 Congruencia y transformaciones 203
Usar el Teorema de las refl exiones en líneas intersecantes
En el diagrama, la fi gura se refl eja en la línea k. La imagen entonces se refl eja en la línea m. Describe una transformación que relacione F con F ″.
FP
m
kF″ F′70°
SOLUCIÓN
Mediante el Teorema de las refl exiones en las líneas intersecantes, una refl exión en la línea k seguida de una refl exión en la línea m es igual a una rotación en torno al punto P.La medida de este ángulo agudo formado entre las líneas k y m es 70°. Entonces, mediante el Teorema de las refl exiones en las líneas intersecantes, el ángulo de rotación es 2(70°) = 140°. Una transformación que relaciona F con F ″ es una rotación de 140° en torno al punto P.
Puedes verifi car que esto es correcto trazando las líneas k y m y el punto P, y luego haciendo girar el punto 140°.
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7. En el diagrama, la preimagen se refl eja en la línea k, y luego en la línea m. Describe una transformación que relacione la fi gura azul con la fi gura verde.
8. Una rotación de 76° relaciona C con C′. Para relacionar C con C′ usando dos refl exiones, ¿cuál es la medida del ángulo formado por los ejes de refl exión intersecantes?
TeoremaTeoremaTeorema 4.3 Teorema de las refl exiones en líneas intersecantesSi las líneas k y m se intersecan en el punto P, entonces una refl exión en la línea k seguida de una refl exión en la línea m es igual a una rotación en torno al punto P.
El ángulo de rotación es 2x°, donde x° es la medida del ángulo agudo o recto formado por las líneas k y m.
m∠BPB″ = 2x°Prueba Ej. 31, pág. 250
k
BAP
B′B″
A″A′
x°2x°
m
P
m
k
80°
Una composición de dos refl exiones en líneas intersecantes tiene como resultado una rotación, como se describe en el siguiente teorema.
hs_geo_span_pe_0404.indd 203hs_geo_span_pe_0404.indd 203 7/7/15 1:29 PM7/7/15 1:29 PM
204 Capítulo 4 Transformaciones
4.4 Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.comEjercicios
1. COMPLETAR LA ORACIÓN Dos fi guras geométricas son _________ si y solo si hay un movimiento
rígido o una composición de movimientos rígidos que desplaza una de las fi guras hacia la otra.
2. VOCABULARIO ¿Por qué se usa el término transformación de congruencia para referirse a un
movimiento rígido?
Verifi cación de vocabulario y concepto esencial Verifi cación de vocabulario y concepto esencial
En los Ejercicios 3 y 4, identifi ca toda fi gura congruente en el plano de coordenadas. Explica. (Consulta el Ejemplo 1).
3.
x
y
4
2
−4
−2
4−2−4
J
KHM N
PL
B
A C T V
U GD
E F
S
Q R
4.
x
y
−4
−2
−3J K
H
M
NP
L
B
A
C
T V
U
G
D
E
F
S Q
R
En los Ejercicios 5 y 6, describe una transformación de congruencia que relacione la preimagen azul con la preimagen verde. (Consulta el Ejemplo 2).
5.
x
y4
2
42−2−4−6
A
CB
G F
E
6.
x
y
4
−4
−2
4 62−2−4−6S
PQ
R
W X
YZ
En los Ejercicios 7–10, determina si los polígonos con los vértices dados son congruentes. Usa transformaciones para explicar tu razonamiento.
7. Q(2, 4), R(5, 4), S(4, 1) y T(6, 4), U(9, 4), V(8, 1)
8. W(−3, 1), X(2, 1), Y(4, −4), Z(−5, −4) y
C(−1, −3), D(−1, 2), E(4, 4), F(4, −5)
9. J(1, 1), K(3, 2), L(4, 1) y M(6, 1), N(5, 2), P(2, 1)
10. A(0, 0), B(1, 2), C(4, 2), D(3, 0) y
E(0, −5), F(−1, −3), G(−4, −3), H(−3, −5)
En los Ejercicios 11–14, k � m, △ABC se refl eja en la línea k, y △A′B′C′ se refl eja en la línea m. (Consulta el Ejemplo 3).
11. ¿Una traslación
relaciona △ABC
con qué triángulo?
12. ¿Qué líneas son
perpendiculares a — AA″ ?
13. Si la distancia entre
k y m es 2.6 pulgadas,
¿cuál es la longitud de — CC ″ ?
14. ¿La distancia de B′ a m es la misma que la distancia
de B ″ a m? Explica.
Monitoreo del progreso y Representar con matemáticasMonitoreo del progreso y Representar con matemáticas
k
B
C
A
B′ B″
A″
C″
A′
C′
m
hs_geo_span_pe_0404.indd 204hs_geo_span_pe_0404.indd 204 7/1/15 2:53 PM7/1/15 2:53 PM
Sección 4.4 Congruencia y transformaciones 205
En los Ejercicios 15 y 16, halla el ángulo de rotación que relaciona A con A″. (Consulta el Ejemplo 4).
15. m
k55°
A
A″A′
16.
m
k15°
AA″
A′
17. ANÁLISIS DE ERRORES Describe y corrige el
error cometido al describir la transformación de
congruencia.
x
y
2
−2
42−2−4
A C
B
B″C″
A″
△ABC se relaciona con △A″B ″C ″ mediante una traslación 3 unidades hacia abajo y una refl exión en el eje y.
✗
18. ANÁLISIS DE ERRORES Describe y corrige el error
cometido al usar el teorema de las refl exiones en las
líneas intersecantes (Teorema 4.3).
P
72°
Una rotación de 72° en torno al punto P relaciona la imagen azul con la imagen verde.
✗
En los Ejercicios 19–22, halla la medida del ángulo agudo o recto formado por líneas intersecantes, de manera que C se pueda relacionar con C′ utilizando dos refl exiones.
19. Una rotación de 84° relaciona C con C′.
20. Una rotación de 24° relaciona C con C′.
21. La rotación (x, y) → (−x, −y) relaciona C con C′.
22. La rotación (x, y) → (y, −x) relaciona C con C′.
23. RAZONAR Usa el Teorema de las refl exiones de las
líneas paralelas (Teorema 4.2) para explicar cómo
puedes hacer un deslizamiento con inversión usando
tres refl exiones. ¿Cómo se relacionan los ejes de
refl exión?
24. SACAR CONCLUSIONES El patrón que se muestra se
llama mosaico.
a. ¿Qué transformaciones usó el artista al crear este
mosaico?
b. ¿Las fi guras individuales del mosaico son
congruentes? Explica tu razonamiento.
PENSAMIENTO CRÍTICO En los Ejercicios 25–28, indica si el enunciado es verdadero siempre, a veces, o nunca. Explica tu razonamiento.
25. Una transformación de congruencia cambia el tamaño
de una fi gura.
26. Si dos fi guras son congruentes, entonces hay un
movimiento rígido o una composición de movimientos
rígidos que relaciona una fi gura con la otra.
27. La composición de dos refl exiones tiene como
resultado la misma imagen que la de una rotación.
28. Una traslación tiene como resultado la misma imagen
que la de la composición de dos refl exiones.
29. RAZONAR Durante una presentación, un
representante de marketing usa un proyector para que
todo el público en el auditorio pueda ver el anuncio
publicitario. ¿Esta proyección es una transformación
de congruencia? Explica tu razonamiento.
hs_geo_span_pe_0404.indd 205hs_geo_span_pe_0404.indd 205 7/7/15 1:30 PM7/7/15 1:30 PM
206 Capítulo 4 Transformaciones
30. ¿CÓMO LO VES? ¿Qué tipo de transformación
de congruencia se puede usar para verifi car cada
enunciado acerca del vitral?
1 4
56
8
23
7
a. El triángulo 5 es congruente con el triángulo 8.
b. El triángulo 1 es congruente con el triángulo 4.
c. El triángulo 2 es congruente con el triángulo 7.
d. El pentágono 3 es congruente con el pentágono 6.
31. DEMOSTRAR UN TEOREMA Demuestra las
refl exiones en el Teorema de las líneas paralelas
(Teorema 4.2).
K
J
d
K′ K″
J″J′
m
Dado Una refl exión en la líneaℓrelaciona — JK
con — J′K′ , un eje de refl exión en la línea m
relaciona — J′K′ con
— J ″K″ , yℓ � m.
Demuestra a. Que — KK ″ es perpendicular aℓy m.
b. Que KK ″ = 2d, donde d es la
distancia entreℓy m.
32. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO Un mosaico es la
cobertura de un plano con fi guras congruentes de
manera que no haya brechas ni superposiciones
(ver Ejercicio 24). Dibuja un mosaico que incluya
dos o más tipos de transformaciones. Describe las
transformaciones que se usan para crear el mosaico.
33. ARGUMENTAR — PQ , con extremos P(1, 3) y Q(3, 2),
se refl eja en el eje y. La imagen — P′Q′ en el eje x para
producir la imagen — P ″Q ″ . Un compañero de clase dice
que — PQ se relaciona con
— P ″Q ″ por la traslación
(x, y) → (x − 4, y − 5). Otro compañero de clase dice
que — PQ se relaciona con
— P ″Q ″ por una rotación de
(2 ⋅ 90)°, o 180°, en torno al origen. ¿Cuál compañero
tiene razón? Explica tu razonamiento.
34. PENSAMIENTO CRÍTICO ¿Importa el orden de las
refl exiones de una composición de dos refl exiones en
líneas paralelas? Por ejemplo, ¿es igual refl ejar △XYZ
en la líneaℓy luego su imagen en la línea m que
refl ejar △XYZ en la línea m y luego su imagen en la
línea ℓ?
Y
X Z
m
CONSTRUCCIÓN En los Ejercicios 35 y 36, copia la fi gura. Luego usa un compás y una regla de nivelar para construir dos ejes de refl exión que generen una composición de refl exiones que tenga como resultado la misma imagen que la transformación dada.
35. Traslación: △ABC → △A″B ″C ″
A C
BB″
C″A″
36. Rotación en torno a P: △XYZ → △X ″Y ″Z ″
Y PZ
XX″
Z″
Y″
Mantener el dominio de las matemáticasMantener el dominio de las matemáticasResuelve la ecuación. Verifi ca tu solución. (Manual de revisión de destrezas)
37. 5x + 16 = −3x 38. 12 + 6m = 2m 39. 4b + 8 = 6b − 4
40. 7w − 9 = 13 − 4w 41. 7(2n + 11) = 4n 42. −2(8 − y) = −6y
43. El año pasado, la venta de objetos usados del equipo de atletismo recaudó $500. Este año, la venta de
objetos usados recaudó $625. ¿Cuál es el porcentaje del aumento? (Manual de revisión de destrezas)
Repasar lo que aprendiste en grados y lecciones anteriores
hs_geo_span_pe_0404.indd 206hs_geo_span_pe_0404.indd 206 7/1/15 2:53 PM7/1/15 2:53 PM
Sección 4.5 Dilataciones 207
4.5 Dilataciones
Dilatar un triángulo en un plano de coordenadas
Trabaja con un compañero. Usa el software de geometría dinámica para dibujar
cualquier triángulo y rotúlalo △ABC.
a. Dilata △ABC usando un factor de escala de 2 y un centro de dilatación en el
origen para formar △A′B′C′. Compara las coordenadas, longitudes de los lados y
medidas de los ángulos de △ABC y △A′B′C′.
DA
B
CA′
B′
C′
0
3
2
1
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8
MuestraPuntosA(2, 1)B(1, 3)C(3, 2)SegmentosAB = 2.24BC = 2.24AC = 1.41Ángulosm∠A = 71.57°m∠B = 36.87°m∠C = 71.57°
b. Repite la parte (a) usando un factor de escala de 1 —
2 .
c. ¿Qué sugieren los resultados de las partes (a) y (b) acerca de las coordenadas,
longitudes de los lados y medidas de los ángulos de la imagen de △ABC luego de
una dilatación con un factor de escala de k?
Dilatar líneas en un plano de coordenadas
Trabaja con un compañero. Usa el software de geometría dinámica para trazar ⃖ ��⃗ AB que pasa por el origen y ⃖ ��⃗ AC que no pasa por el origen.
a. Dilata ⃖ ��⃗ AB usando un factor de
escala de 3 y un centro de dilataciónen el origen. Describe la imagen.
b. Dilata ⃖ ��⃗ AC usando un factor de
escala de 3 y un centro de dilataciónen el origen. Describe la imagen.
c. Repite las partes (a) y (b) usando
un factor de escala de 1 —
4 .
d. ¿Qué observas acerca de las
dilataciones de líneas que pasan a
través del centro de dilatación y las
dilataciones de líneas que no pasan
a través del centro de dilatación?
Comunicar tu respuestaComunicar tu respuesta 3. ¿Qué signifi ca dilatar una fi gura?
4. Repite la Exploración 1 usando un centro de dilatación en un punto distinto
al origen.
Pregunta esencial Pregunta esencial ¿Qué signifi ca dilatar una fi gura?
A
CB
1
0
2
−1−2−3
−1
−2
0 1 2 3
BUSCAR UNA ESTRUCTURA
Para dominar las matemáticas, necesitas observar con atención para discernir un patrón o estructura.
PuntosA(−2, 2)B(0, 0)C(2, 0)
Líneasx + y = 0x + 2y = 2
Muestra
hs_geo_span_pe_0405.indd 207hs_geo_span_pe_0405.indd 207 7/1/15 2:54 PM7/1/15 2:54 PM
208 Capítulo 4 Transformaciones
4.5 Lección Qué aprenderásQué aprenderás Identifi car y hacer dilataciones.
Resolver problemas de la vida real que incluyan factores de escala y dilataciones.
Identifi car y hacer dilataciones
Identifi car dilataciones
Halla el factor de escala de la dilatación. Luego indica si la dilatación es una reduccióno un agrandamiento.
a.
C
PP′
128
b.
C
P
P′ 30
18
SOLUCIÓN
a. Dado que CP′—CP
= 12—8 , el factor de escala es k = 3
—2 . Entonces, la dilatación es un
agrandamiento.
b. Dado que CP′—CP
= 18—30
, el factor de escala es k = 3—5 . Entonces, la dilatación es una
reducción.
Monitoreo del progresoMonitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
1. En una dilatación CP′ = 3 y CP = 12. Halla el factor de escala. Luego indica si
la dilatación es una reducción o un agrandamiento.
LEEREl factor de escala de una dilatación se puede escribir como fracción, decimal, o porcentaje.
dilatación, pág. 208centro de dilatación, pág. 208factor de escala, pág. 208agrandamiento, pág. 208reducción, pág. 208
Vocabulario EsencialVocabulario Eseencial
Concepto Concepto EsencialEsencialDilatacionesUna dilatación es una transformación en la que se agranda o reduce una fi gura con
respecto a un punto fi jo C llamado centro de dilatación y un factor de escala k, que es
la razón de las longitudes de los lados correspondientes de la imagen y la preimagen.
Una dilatación con un centro de dilatación C y un factor de escala k relaciona todo
punto P en una fi gura con un punto P′ de manera que los siguientes enunciados son
verdaderos.
• Si P es el punto centro C, entonces P = P′.
• Si P no es el punto centro C, entonces el
punto imagen P′ pertenece a ���⃗ CP . El factor de
escala k es un número positivo de manera tal
que k = CP′ — CP
.
• Se conservan las medidas de los ángulos.
QC
P
R
P′
Q′
R′
Una dilatación no cambia ninguna línea que pase por el centro de dilatación. Una
dilatación relaciona una línea que no pasa por el centro de dilatación con una línea
paralela. En la fi gura de arriba, ⃖ ��⃗ PR � ⃖ ����⃗ P′R′ , ⃖ ��⃗ PQ � ⃖ ����⃗ P′Q′ and ⃖ ��⃗ QR � ⃖ ����⃗ Q′R′ .
Cuando el factor de escala k > 1, una dilatación es un agrandamiento. Cuando
0 < k < 1, una dilatación es una reducción.
hs_geo_span_pe_0405.indd 208hs_geo_span_pe_0405.indd 208 7/1/15 2:54 PM7/1/15 2:54 PM
Sección 4.5 Dilataciones 209
Dilatar una fi gura en el plano de coordenadas
Haz una gráfi ca de △ABC con vértices A(2, 1), B(4, 1) y C(4, −1) y su imagen luego
de una dilatación con un factor de escala de 2.
SOLUCIÓNUsa la regla de coordenadas para una dilatación
con k = 2 para hallar las coordenadas de los
vértices de la imagen. Luego haz una gráfi ca
de △ABC y su imagen.
(x, y) → (2x, 2y)
A(2, 1) → A′(4, 2)
B(4, 1) → B′(8, 2)
C(4, −1) → C′(8, −2)
Observa las relaciones entre las longitudes y las pendientes de los lados de los
triángulos en el Ejemplo 2. Cada longitud de los lados de △A′B′C′ es más larga
que su lado correspondiente por el factor de escala. Los lados correspondientes son
paralelos porque sus pendientes son las mismas.
Concepto Concepto EsencialEsencialRegla de coordenadas para dilatacionesSi P(x, y) es la preimagen de un punto, entonces su
imagen luego de una dilatación centrada en el
origen (0, 0) con factor de escala k es el punto P′(kx, ky).LEER DIAGRAMASEn este capítulo, para todas las dilataciones en el plano de coordenadas, el centro de dilatación es el origen a no ser que se indique algo distinto.
x
y P′(kx, ky)
P(x, y)
x
y
2
−2
2 6
A
CC′
B′A′
B
Dilatar una fi gura en el plano de coordenadas
Haz una gráfi ca del cuadrilátero KLMN con vértices K(−3, 6), L(0, 6), M(3, 3) y
N(−3, −3) y su imagen luego de una dilatación con un factor de escala de 1 —
3 .
SOLUCIÓNUsa la regla de coordenadas para una dilatación con
k = 1 —
3 para hallar las coordenadas de los vértices de
la imagen. Luego haz una gráfi ca del cuadrilátero
KLMN y su imagen.
(x, y) → ( 1 — 3 x, 1 — 3 y ) K(−3, 6) → K′(−1, 2)
L(0, 6) → L′(0, 2)
M(3, 3) → M′(1, 1)
N(−3, −3) → N′(−1, −1)
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Haz una gráfi ca de △PQR y su imagen luego de una dilatación con factor de escala k.
2. P(−2, −1), Q(−1, 0), R(0, −1); k = 4
3. P(5, −5), Q(10, −5), R(10, 5); k = 0.4
x
y
4
42−2−4
K L
M
N
K′ L′
M′
N′
(x, y) → (kx, ky)
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210 Capítulo 4 Transformaciones
En el plano de coordenadas, puedes tener factores de escala que son números
negativos. Cuando esto ocurre, la fi gura gira 180°. Entonces, cuando k > 0, una
dilatación con un factor de escala de −k es igual que la composición de una dilatación
con un factor de escala de k seguida por una rotación de 180º en torno al centro de
dilatación. Usando las reglas de coordenadas para una dilatación y rotación de 180°, puedes pensar en la rotación como
(x, y) → (kx, ky) → (−kx, −ky).
Usar un factor de escala negativo
Haz una gráfi ca de △FGH con vértices F(−4, −2), G(−2, 4), y H(−2, −2) y su
imagen luego de una dilatación con un factor de escala de − 1 — 2 .
SOLUCIÓNUsa la regla de coordenadas para una dilatación con k = − 1 —
2 para hallar las coordenadas
de los vértices de la imagen. Luego haz una gráfi ca de △FGH y su imagen.
(x, y) → ( − 1 — 2 x, − 1 — 2 y ) F(−4, −2) → F′(2, 1)
G(−2, 4) → G′(1, −2)
H(−2, −2) → H′(1, 1)
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4. Haz una gráfi ca de △PQR con vértices P(1, 2), Q(3, 1) y R(1, −3) y su imagen
luego de una dilatación con un factor de escala de −2.
5. Supón que una fi gura que contiene el origen está dilatada. Explica por qué el
punto correspondiente en la imagen de la fi gura también es el origen.
centro dedilatación
preimagen
factor deescala k
factor deescala −k
x
y
G
HF
F′H′
G′
x
y4
2
−4
−2
42−4
Paso 1 Paso 2 Paso 3
Q
C
P
R
Q
C
P
R
P′
Q′
R′
Q
C
P
R
P′
Q′
R′
Dibuja un triángulo Dibuja △PQR y
elige el centro de dilatación C fuera del
triángulo. Traza rayos desde C por los
vértices del triángulo.
Usa un compás Usa un compás para
ubicar P′ en ���⃗ CP de manera que
CP′ = 2(CP). Ubica Q′ y R′ usando el
mismo método.
Une los puntos Une los puntos
P′, Q′, y R′ para formar △P′Q′R′.
Construir una dilatación
Usa un compás y una regla de nivelar para construir una dilatación de △PQR con un
factor de escala de 2. Usa un punto C fuera del triángulo como centro de dilatación.
SOLUCIÓN
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Sección 4.5 Dilataciones 211
Resolver problemas de la vida real
Hallar un factor de escala
Estás haciendo tus propias fotografías autoadhesivas. Tu
foto es de 4 pulgadas por 4 pulgadas. La imagen de las
calcomanías es de 1.1 pulgadas por 1.1 pulgadas.
¿Cuál es el factor de escala de esta dilatación?
SOLUCIÓN
El factor de escala es la razón de la longitud
de un lado de la imagen de la calcomanía
en proporción a la longitud de un lado de la
foto original, o 1.1 pulg
— 4 pulg
.
Entonces, en su forma más simple, el factor de escala es 11
— 40
.
Hallar la longitud de una imagen
Estás usando una lupa que muestra la imagen de un objeto cinco veces más grande que
el tamaño real del objeto. Determina la longitud de la imagen de la araña vista a través
de la lupa.
SOLUCIÓN
longitud de la imagen
—— longitud real
= k
x —
1.5 = 6
x = 9
Entonces, la longitud de la imagen a través de la lupa es de 9 centímetros.
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6. Un optometrista dilata las pupilas de los ojos de un paciente para poder ver mejor
el fondo de los ojos. Una pupila se dilata de 4.5 milímetros a 8 milímetros. ¿Cuál
es el factor de escala de esta dilatación?
7. La imagen de una araña vista a través de la lupa del Ejemplo 6 se muestra a la
izquierda. Halla la longitud real de la araña.
Cuando una transformación, tal como una dilatación, cambia la forma o el tamaño de
una fi gura, la transformación es no rígida. Además de las dilataciones, hay muchas
transformaciones no rígidas posibles. A continuación se muestran dos ejemplos. Es
importante prestar mucha atención a si una transformación no rígida conserva las
longitudes y medidas de ángulo.
Alargamiento horizontal Alargamiento vertical
A
C B B′
A
C B
A′
4 pulg
1.1 pulg
1.5 cm
12.6 cm
LEERLos factores de escala se escriben de tal manera que las unidades en el numerador y el denominador se dividan para cancelar.
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212 Capítulo 4 Transformaciones
4.5 Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.comEjercicios
1. COMPLETAR LA ORACIÓN Si P(x, y) es la preimagen de un punto, entonces su imagen luego de una dilatación centrada en el origen (0, 0) con factor de escala k es el punto ___________.
2. ¿CUÁL NO CORRESPONDE? ¿Cuál de los siguientes factores de escala no corresponde al grupo de los otros tres? Explica tu razonamiento.
5 — 4 115% 260%
Verifi cación de vocabulario y concepto esencial Verifi cación de vocabulario y concepto esencial
En los Ejercicios 3–6, halla el factor de escala de la dilatación. Luego indica si la dilatación es una reducción o un agrandamiento. (Consulta el Ejemplo 1).
3.
C
PP′
14
6
4.
CP
P′ 24
9
5.
C
P
P′15
9
6.
C
P
P′
828
CONSTRUCCIÓN En los Ejercicios 7–10, copia el diagrama. Luego usa un compás y una regla de nivelar para construir una dilatación de △LMN con el centro y factor de escala k dados.
M
L
N
P
C
7. Centro C, k = 2
8. Centro P, k = 3
9. Centro M, k = 1 — 2
10. Centro C, k = 25%
CONSTRUCCIÓN En los Ejercicios 11–14, copia el diagrama. Luego usa un compás y una regla de nivelar para construir una dilatación del cuadrilátero RSTU con el centro dado y factor de escala k.
U
R
S
T
P
C
11. Centro C, k = 3 12. Centro P, k = 1 — 3
13. Centro R, k = 0.25 14. Centro C, k = 75%
En los Ejercicios 15–18, haz una gráfi ca del polígono y su imagen luego de una dilatación con factor de escala k. (Consulta los Ejemplos 2 y 3).
15. X(6, −1), Y(−2, −4), Z(1, 2); k = 3
16. A(0, 5), B(−10, −5), C(5, −5); k = 120%
17. T(9, −3), U(6, 0), V(3, 9), W(0, 0); k = 2 — 3
18. J(4, 0), K(−8, 4), L(0, −4), M(12, −8); k = 0.25
En los Ejercicios 19–22, haz una gráfi ca del polígono y su imagen luego de una dilatación con factor de escala k. (Consulta el Ejemplo 4).
19. B(−5, −10), C(−10, 15), D(0, 5); k = − 1 — 5
20. L(0, 0), M(−4, 1), N(−3, −6); k = −3
21. R(−7, −1), S(2, 5), T(−2, −3), U(−3, −3); k = −4
22. W(8, −2), X(6, 0), Y(−6, 4), Z(−2, 2); k = −0.5
Monitoreo del progreso y Representar con matemáticasMonitoreo del progreso y Representar con matemáticas
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Sección 4.5 Dilataciones 213
ANÁLISIS DE ERRORES En los Ejercicios 23 y 24, describe y corrige el error cometido al hallar el factor de escala de la dilatación.
23.
k = 12 — 3
= 4
✗
24.
k = 2 — 4
= 1 — 2
✗
En los Ejercicios 25–28, la fi gura roja es la imagen de la fi gura azul luego de una dilatación con centro C. Halla el factor de escala de la dilatación. Luego halla el valor de la variable.
25.
C
35
9 15x
26.
C
28
12
14
n
27.
C
2 2y 3
28. C
74 m
28
29. HALLAR UN FACTOR DE ESCALA Recibes copias de
tu fotografía escolar tamaño billetera. La foto es
de 2.5 pulgadas por 3.5 pulgadas. Decides dilatar la
foto a 5 pulgadas por 7 pulgadas en la tienda. ¿Cuál
es el factor de escala de esta dilatación? (Consulta el Ejemplo 5).
30. HALLAR UN FACTOR DE ESCALA Tu amigo que
tiene problemas de visión te pidió que agrandaras
tus apuntes de la clase para que él pueda estudiar.
Tomaste apuntes en papel de 8.5 por 11 pulgadas. La
copia ampliada tiene un lado más pequeño con una
longitud de 10 pulgadas. ¿Cuál es el factor de escala
de esta dilatación? (Consulta el Ejemplo 5).
En los Ejercicios 31–34, estás usando una lupa. Usa la longitud del insecto y el nivel de aumento para determinar la longitud de la imagen vista a través de la lupa. (Consulta el Ejemplo 6).
31. mariposa emperador 32. mariquita
Aumento: 5× Aumento: 10×
60 mm 4.5 mm
33. libélula 34. hormiga carpintera
Aumento: 20× Aumento: 15×
47 mm
12 mm12 mm
35. ANALIZAR RELACIONES Usa las longitudes reales
y aumentadas dadas para determinar cuáles de los
siguientes insectos se observaron usando la misma
lupa. Explica tu razonamiento.
saltamontes escarabajo negro
Real: 2 pulg Real: 0.6 pulg
Aumentada: 15 pulg Aumentada: 4.2 pulg
abeja mielífera mariposa monarca
Real: 5 —
8 pulg Real: 3.9 pulg
Aumentada: 75
— 16
pulg Aumentada: 29.25 pulg
36. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO Dibuja △ABC y
△A′B′C′ de manera que △A′B′C′ sea una dilatación
de △ABC. Halla el centro de dilatación y explica
cómo lo hallaste.
37. RAZONAR Tu amigo imprime una foto tuya de 4 por
6 pulgadas del baile de la escuela. El único marco
de fotos que tienes es de 8 por 10 pulgadas. ¿Puedes
dilatar la foto para que quepa en el marco? Explica tu
razonamiento.
C
P
P′12
3
x
y4
−4
−6
P′(−4, 2)P(−2, 1)
4
21
2
hs_geo_span_pe_0405.indd 213hs_geo_span_pe_0405.indd 213 7/1/15 2:54 PM7/1/15 2:54 PM
214 Capítulo 4 Transformaciones
38. ¿CÓMO LO VES? El punto C es el centro de
dilatación de las imágenes. El factor de escala es 1 —
3 .
¿Cuál de las fi guras es la original? ¿Cuál de las
fi guras es la fi gura dilatada? Explica tu razonamiento.
C
39. CONEXIONES MATEMÁTICAS El triángulo más
grande es una dilatación del triángulo más pequeño.
Halla los valores de x y y.
C2
6
x + 1
2x + 8
(3y − 34)°
(y + 16)°
40. ESCRIBIR Explica por qué un factor de escala de 2 es
igual que 200%.
En los Ejercicios 41–44, determina si la fi gura dilatada o la fi gura original está más cerca del centro de dilatación. Usa la ubicación dada del centro de dilatación y el factor de escala k.
41. Centro de dilatación: dentro de la fi gura; k = 3
42. Centro de dilatación: dentro de la fi gura; k = 1 —
2
43. Centro de dilatación: fuera de la fi gura; k = 120%
44. Centro de dilatación: fuera de la fi gura; k = 0.1
45. ANALIZAR RELACIONES Dilata la línea que pasa por
O(0, 0) y A(1, 2) usando un factor de escala de 2.
a. ¿Qué observas acerca de las longitudes de — O′A′
y — OA ?
b. ¿Qué observas acerca de ⃖ ����⃗ O′A′ y ⃖ ��⃗ OA ?
46. ANALIZAR RELACIONES Dilata la línea que pasa por
A(0, 1) y B(1, 2) usando un factor de escala de 1 —
2 .
a. ¿Qué observas acerca de las longitudes de — A′B′
y — AB ?
b. ¿Qué observas acerca de ⃖ ����⃗ A′B′ y ⃖ ��⃗ AB ?
47. PRESTAR ATENCIÓN A LA PRECISIÓN Estás haciendo
un plano de tu casa. Mides las longitudes de las paredes
de tu habitación y determinas que miden 11 por
12 pies. Cuando dibujas tu habitación en el plano, las
longitudes de las paredes son de 8.25 por 9 pulgadas.
¿Qué factor de escala dilata tu habitación con respecto
al plano?
48. ARGUMENTAR Tu amigo dice que dilatar una fi gura
por 1 es lo mismo que dilatar una fi gura por −1
porque la fi gura original no se agrandará o reducirá.
¿Tiene razón tu amigo? Explica tu razonamiento.
49. USAR LA ESTRUCTURA El rectángulo WXYZ tiene
vértices W(−3, −1), X(−3, 3), Y(5, 3) y Z(5, −1).
a. Halla el perímetro y el área del rectángulo.
b. Dilata el rectángulo usando un factor de escala
de 3. Halla el perímetro y el área del rectángulo
dilatado. Compara con el rectángulo original.
¿Qué observas?
c. Repite la parte (b) usando un factor de escala de 1 —
4 .
d. Haz una conjetura de cómo cambian el perímetro
y el área cuando se dilata una fi gura.
50. RAZONAR Colocas la reducción de una página en la
página original. Explica por qué hay un punto que
está en el mismo lugar en ambas páginas.
51. RAZONAR △ABC tiene vértices A(4, 2), B(4, 6) y
C(7, 2). Halla las coordenadas de los vértices de la
imagen luego de una dilatación con centro (4, 0) y un
factor de escala de 2.
Mantener el dominio de las matemáticasMantener el dominio de las matemáticasLos vértices de △ABC son A(2, −1), B(0, 4) y C(−3, 5). Halla las coordenadas de los vértices de la imagen luego de la traslación. (Sección 4.1)
52. (x, y) → (x, y − 4) 53. (x, y) → (x − 1, y + 3) 54. (x, y) → (x + 3, y − 1)
55. (x, y) → (x − 2, y) 56. (x, y) → (x + 1, y − 2) 57. (x, y) → (x − 3, y + 1)
Repasar lo que aprendiste en grados y lecciones anteriores
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Sección 4.6 Semejanza y transformaciones 215
4.6 Semejanza y transformaciones
Dilataciones y semejanza
Trabaja con un compañero.
a. Usa el programa de geometría dinámica para dibujar cualquier triángulo y rotúlalo
△ABC.
b. Dilata el triángulo usando un factor de escala de 3. ¿La imagen es semejante al
triángulo original? Justifi ca tu respuesta.
0
1
2
3
−1
−1
−2
−3
−2−3−4−5−6 0 1 2
A
DC
B
A′
C′
B′
3
BB
MuestraPuntosA(−2, 1)B(−1, −1)C(1, 0)D(0, 0)SegmentosAB = 2.24BC = 2.24AC = 3.16Ángulosm∠A = 45°m∠B = 90°m∠C = 45°
Movimientos rígidos y semejanza
Trabaja con un compañero.
a. Usa el software de geometría dinámica para dibujar cualquier triángulo.
b. Copia el triángulo y trasládalo 3 unidades hacia la izquierda y 4 unidades hacia
arriba. ¿La imagen es semejante al triángulo original? Justifi ca tu respuesta.
c. Refl eja el triángulo en el eje y. ¿La imagen es semejante al triángulo original?
Justifi ca tu respuesta.
d. Gira el triángulo original 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj en torno
al origen. ¿La imagen es semejante al triángulo original? Justifi ca tu respuesta.
Comunicar tu respuestaComunicar tu respuesta 3. Cuando una fi gura es trasladada, refl ejada, rotada o dilatada en el plano, ¿la
imagen es siempre semejante a la fi gura original? Explica tu razonamiento.
4. Una fi gura pasa por una composición de transformaciones, que incluyen traslados,
refl exiones, rotaciones y dilataciones. ¿La imagen es semejante a la fi gura
original? Explica tu razonamiento.
PRESTAR ATENCIÓN A LA PRECISIÓN
Para dominar las matemáticas, necesitas usar defi niciones claras en las conversaciones con otras personas y en tu propio razonamiento.
Pregunta esencial Pregunta esencial Cuando una fi gura es trasladada, refl ejada,
rotada o dilatada en el plano, ¿la imagen siempre es semejante a la fi gura
original?
Dos fi guras son fi guras semejantes
cuando tienen la misma forma,
pero no necesariamente tienen el
mismo tamaño.
A
CB
F
G
E
Triángulos semejantes
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216 Capítulo 4 Transformaciones
4.6 Lección Qué aprenderásQué aprenderás Hacer transformaciones de semejanza.
Describir transformaciones de semejanza.
Demostrar que las fi guras son semejantes.
Hacer transformaciones de semejanzaUna dilatación es una transformación que conserva la forma pero no el tamaño.
Entonces, una dilatación es un movimiento no rígido. Una transformación de semejanza es una dilatación o una composición de movimientos rígidos y
dilataciones. Dos fi guras geométricas son fi guras semejantes si y solo si hay una
transformación de semejanza que relacione una de las fi guras con la otra. Las fi guras
semejantes tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño.
Las transformaciones de congruencia conservan la longitud y la medida del
ángulo. Cuando el factor de escala de la(s) dilatación(es) no es igual a 1 o −1, las
transformaciones de semejanza conservan solamente la medida del ángulo.
Hacer una transformación de semejanza
Haz una gráfi ca de △ABC con vértices A(−4, 1), B(−2, 2) y C(−2, 1) y su imagen
luego de la transformación de semejanza.
Traslación: (x, y) → (x + 5, y + 1)
Dilatación: (x, y) → (2x, 2y)
SOLUCIÓN
Paso 1 Haz una gráfi ca de △ABC.
Paso 2 Traslada △ABC 5 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia arriba.
△A′B′C′ tiene vértices A′(1, 2), B′(3, 3), y C′(3, 2).
Paso 3 Dilata △A′B′C′ usando un factor de escala de 2. △A″B″C ″ tiene vértices
A″(2, 4), B″(6, 6), y C ″(6, 4).
Monitoreo del progresoMonitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
1. Haz una gráfi ca de — CD con extremos C(−2, 2) y D(2, 2) y su imagen luego de la
transformación de semejanza.
Rotación: 90° en torno al origen
Dilatación: (x, y) → ( 1 — 2 x,
1 —
2 y )
2. Haz una gráfi ca de △FGH con vértices F(1, 2), G(4, 4) y H(2, 0) y su imagen
luego de la transformación de semejanza.
Refl exión: en el eje x
Dilatación: (x, y) → (1.5x, 1.5y)
transformación de semejanza, pág. 216
fi guras semejantes, pág. 216
Vocabulario EsencialVocabulario Eseencial
x
y
4
2
8
6
42 86−2−4
B(−2, 2)A(−4, 1)
C(−2, 1)C′(3, 2)A′(1, 2)
B′(3, 3)
A″(2, 4)B″(6, 6)
C″(6, 4)
hs_geo_span_pe_0406.indd 216hs_geo_span_pe_0406.indd 216 7/1/15 2:55 PM7/1/15 2:55 PM
Sección 4.6 Semejanza y transformaciones 217
Describir transformaciones de semejanza
Describir una transformación de semejanza
Describe una transformación de semejanza que relacione el trapezoide PQRS con el
trapezoide WXYZ.
x
y4
2
−4
4 6−2−4
P Q
S R
W
ZY
X
SOLUCIÓN — QR cae de izquierda a derecha
— XY se eleva de izquierda a derecha. Si
refl ejas el trapezoide PQRS en el eje
y tal como se muestra, entonces la
imagen, el trapezoide P′Q′R′S′, tendrá la misma orientación que el
trapezoide WXYZ.
El trapezoide WXYZ parece tener aproximadamente un tercio del tamaño del
trapezoide P′Q′R′S′. Dilata el trapezoide P′Q′R′S′ usando un factor de escala de 1 —
3 .
(x, y) → ( 1 — 3 x, 1 — 3 y )
P′(6, 3) → P″(2, 1)
Q′(3, 3) → Q″(1, 1)
R′(0, −3) → R″(0, −1)
S′(6, −3) → S″(2, −1)
Los vértices del trapezoide P″Q″R″S″ se relacionan con los vértices del trapezoide WXYZ.
Entonces, una transformación de semejanza que relaciona el trapezoide PQRS con
el trapezoide WXYZ es una refl exión en el eje y seguida por una dilatación con un
factor de escala de 1 —
3 .
Monitoreo del progresoMonitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
3. En el Ejemplo 2, describe otra transformación de
semejanza que relacione el trapezoide PQRS
con el trapezoide WXYZ.
4. Describe una transformación de semejanza que
relacione el cuadrilátero DEFG to con el
cuadrilátero STUV.
x
y4
2
4−2−4
W
ZY
X
P(−6, 3) P′(6, 3)Q′(3, 3)
S′(6, −3)R′(0, −3)
Q(−3, 3)
S(−6, −3) R(0, −3)
x
y4
2
−4
2−4
DE
FGU
TS
V
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218 Capítulo 4 Transformaciones
Demostrar que las fi guras son semejantesPara demostrar que dos fi guras son semejantes, debes demostrar que una transformación
de semejanza relaciona una de las fi guras con la otra.
Demostrar que dos cuadrados son semejantes
Demuestra que el cuadrado ABCD es semejante al cuadrado EFGH.
Dado el cuadrado ABCD con una longitud
de lado r, el cuadrado EFGH con una
longitud de lado s, — AD � — EH
Demuestra que el cuadrado ABCD es
semejante al cuadrado EFGH.
SOLUCIÓNTraslada el cuadrado ABCD de manera que el punto A se relacione con el punto E.
Dado que las traslaciones relacionan segmentos con segmentos paralelos y — AD � — EH ,
la imagen de — AD pertenece a
— EH .
E H
GF
D′
B′ C′
rs
A E H
GF
D
CB
rs
Dado que las traslaciones conservan la longitud y la medida del ángulo, la imagen de
ABCD, EB′C′D′, es un cuadrado con longitud de lado r. Dado que todos los ángulos
interiores de un cuadrado son ángulos rectos, ∠B′ED′ ≅ ∠FEH. Cuando ����⃗ ED′ coincide con ���⃗ EH , ����⃗ EB′ coincide con ���⃗ EF . Entonces,
— EB′ pertenece a — EF . Seguidamente,
dilata el cuadrado EB′C′D′ usando el centro de dilatación E. Elige que el factor de
escala sea la razón de las longitudes de los lados de EFGH y EB′C′D′, que es s —
r .
E H
GF
D′
B′ C′
rs
E H
GF
s
Esta dilatación relaciona — ED′ con
— EH y — EB′ con
— EF porque las imágenes de — ED′ y
— EB′
tienen una longitud lateral s —
r (r) = s y los segmentos
— ED′ y — EB′ pertenecen a líneas que
pasan a través del centro de dilatación. Entonces, la dilatación relaciona B′ con F y D′
con H. La imagen de C′ pertenece a s —
r (r) = s unidades a la derecha de la imagen de
B′ y s —
r (r) = s unidades por encima de la imagen D′. Entonces, la imagen de C′ es G.
Una transformación de semejanza relaciona el cuadrado ABCD con el cuadrado
EFGH. Entonces, el cuadrado ABCD es semejante al cuadrado EFGH.
Monitoreo del progresoMonitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
5. Demuestra que △JKL es semejante a △MNP.
Dado el isósceles recto △JKL con longitud de cateto t, el isósceles recto △MNP
con longitud de cateto v, — LJ � — PM
Demuestra que △JKL es semejante a △MNP.
A E H
GF
D
CB
rs
P
N
L
K
J
M
v
t
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Sección 4.6 Semejanza y transformaciones 219
1. VOCABULARIO ¿Cuál es la diferencia entre fi guras semejantes y fi guras congruentes?
2. COMPLETAR LA ORACIÓN Una transformación que genera una fi gura semejante, tal como una
dilatación, se llama _________.
Verifi cación de vocabulario y concepto esencial Verifi cación de vocabulario y concepto esencial
En los Ejercicios 3–6, haz una gráfi ca de △FGH con vértices F(−2, 2), G(−2, −4) y H(−4, −4) y su imagen luego de la transformación de semejanza. (Consulta el Ejemplo 1).
3. Traslación: (x, y) → (x + 3, y + 1)
Dilatación: (x, y) → (2x, 2y)
4. Dilatación: (x, y) → ( 1 — 2 x,
1 —
2 y )
Refl exión: en el eje y
5. Rotación: 90° en torno al origen
Dilatación: (x, y) → (3x, 3y)
6. Dilatación: (x, y) → ( 3 — 4 x,
3 —
4 y )
Refl exión: en el eje x
En los Ejercicios 7 y 8, describe una transformación de semejanza que relacione la preimagen azul con la imagen verde. (Consulta el Ejemplo 2).
7.
x
y
2
−4
−4−6
F
ED
V
T U
8. L
K
JM
QR
SPx
y
6
4 62−2
En los Ejercicios 9–12, determina si los polígonos con los vértices dados son semejantes. Usa transformaciones para explicar tu razonamiento.
9. A(6, 0), B(9, 6), C(12, 6) y D(0, 3), E(1, 5), F(2, 5)
10. Q(−1, 0), R(−2, 2), S(1, 3), T(2, 1) y
W(0, 2), X(4, 4), Y(6, −2), Z(2, −4)
11. G(−2, 3), H(4, 3), I(4, 0) y
J(1, 0), K(6, −2), L(1, −2)
12. D(−4, 3), E(−2, 3), F(−1, 1), G(−4, 1) y
L(1, −1), M(3, −1), N(6, −3), P(1, −3)
En los Ejercicios 13 y 14, demuestra que las fi guras son semejantes. (Consulta el Ejemplo 3).
13. Dado el isósceles recto △ABC con longitud de
cateto j, el isósceles recto △RST con longitud
de cateto k, — CA � — RT
Demuestra que △ABC es semejante a △RST.
R
S
AC
B
T
jk
14. Dado el rectángulo JKLM con longitudes de los lados
x y y, el rectángulo QRST con longitudes de los
lados 2x y 2y
Demuestra que el rectángulo JKLM es semejante al
rectángulo QRST.
J K
LM y
x
T
R
S
Q
2y
2x
Monitoreo del progreso y Representar con matemáticasMonitoreo del progreso y Representar con matemáticas
Ejercicios4.6 Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com
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220 Capítulo 4 Transformaciones
15. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Determina si la
señal de alto de tamaño regular y la calcomanía de la
señal de alto son semejantes. Usa transformaciones
para explicar tu razonamiento.
12.6 pulg
4 pulg
16. ANÁLISIS DE ERRORES Describe y corrige el error
cometido al comparar las fi guras.
x
y
4
6
2
42 86 1210 14
B
A
La Figura A es semejante a la Figura B.
✗
17. ARGUMENTAR Una miembro del comité de
decoración de la reunión de ex alumnos le da a una
empresa de impresiones una banderola de 3 por 14
pulgadas para que la agrande. La miembro del comité
dice que la banderola que recibió está distorsionada.
¿Crees que la empresa de impresiones distorsionó la
imagen que ella les dio? Explica.
84 pulg
18 pulg
18. ¿CÓMO LO VES? Determina si cada par de fi guras es
semejante. Explica tu razonamiento.
a. b.
19. ANALIZAR RELACIONES Haz una gráfi ca de un
polígono en un plano de coordenadas. Usa una
transformación de semejanza que incluya una dilatación
(donde k sea un número entero) y una traslación para
hacer una gráfi ca de un segundo polígono. Luego
describe una transformación de semejanza que relacione
el segundo polígono con el primero.
20. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO ¿La composición
de una rotación y una dilatación es conmutativa?
(En otras palabras, ¿obtienes la misma imagen
sin importar el orden en el que hagas las
transformaciones?) Justifi ca tu respuesta.
21. CONEXOINES MATEMÁTICAS El cuadrilátero JKLM
se relaciona con el cuadrilátero J′K′L′M′ usando
la dilatación (x, y) → ( 3 — 2 x,
3 —
2 y ) . Entonces, el
cuadrilátero J′K′L′M′ se relaciona con el cuadrilátero
J″K″L″M″ usando la traslación (x, y) → (x + 3, y − 4).
Los vértices del cuadrilátero J′K′L′M′ son J(−12, 0),
K(−12, 18), L(−6, 18) y M(−6, 0). Halla las
coordenadas de los vértices del cuadrilátero JKLM y
el cuadrilátero J″K″L″M″. ¿El cuadrilátero JKLM y el
cuadrilátero J″K″L″M″ son semejantes? Explica.
22. RAZONAMIENTO REPETIDO Usa el diagrama.
x
y
4
6
2
42 6
R
Q S
a. Conecta los puntos medios de los lados de △QRS
para hacer otro triángulo. ¿Este triángulo es
semejante a △QRS? Usa transformaciones para
respaldar tu respuesta.
b. Repite la parte (a) para otros dos triángulos. ¿Qué
conjetura puedes hacer?
Mantener el dominio de las matemáticasMantener el dominio de las matemáticasClasifi ca el ángulo como agudo, obtuso, recto o llano. (Sección 1.5)
23.
113°
24. 25.
82°
26.
Repasar lo que aprendiste en grados y lecciones anteriores
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221
4.4–4.6 ¿Qué aprendiste?
221
Vocabulario EsencialVocabulario Esencialfi guras congruentes, pág. 200transformación de congruencia, pág. 201dilatación, pág. 208centro de dilatación, pág. 208factor de escala, pág. 208
agrandamiento, pág. 208reducción, pág. 208transformación de semejanza, pág. 216fi guras semejantes, pág. 216
Conceptos EsencialesConceptos EsencialesSección 4.4Identifi car fi guras congruentes, pág. 200Describir una transformación de congruencia, pág. 201Teorema 4.2 Teorema de las refl exiones en líneas paralelas, pág. 202Teorema 4.3 Teorema de las refl exiones en líneas intersecantes, pág. 203
Sección 4.5Dilataciones y factor de escala, pág. 208Regla de coordenadas para dilataciones, pág. 209
Factores de escala negativos, pág. 210
Sección 4.6Transformaciones de semejanza, pág. 216
Prácticas matemáticasPrácticas matemáticas1. Revisa nuevamente el Ejercicio 31 de la página 206. Trata de recordar el proceso que usaste para lograr la
solución. ¿Tuviste que cambiar de procedimiento? Si así fue, ¿cómo abordaste la situación?
2. Describe una situación de la vida real que se pueda representar mediante el Ejercicio 28 de la página 213.
Tarea de desempeño
La magia de la opticaObsérvate en una cuchara brillante. ¿Qué pasó con tu refl ejo? ¿Puedes describirlo de forma matemática? Ahora da vuelta a la cuchara y observa tu refl ejo desde el dorso de la cuchara. ¿Qué pasó? ¿Por qué?
Para explorar las respuestas a estas preguntas y más, visita BigIdeasMath.com.
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222 Capítulo 4 Transformaciones
44 Repaso del capítulo
Traslaciones (págs. 173–180)4.1
Haz una gráfi ca del cuadrilátero ABCD con vértices A(1, −2), B(3, −1), C(0, 3) y D(−4, 1) y su imagen luego de la traslación (x, y) → (x + 2, y − 2).
Haz una gráfi ca del cuadrilátero ABCD. Para hallar las coordenadas de los vértices de la imagen, suma 2 a las coordenadas del eje x y resta 2 de las coordenadas del eje y de los vértices de la preimagen. Luego haz una gráfi ca de la imagen.
(x, y) → (x + 2, y − 2)
A(1, −2) → A′(3, −4)
B(3, −1) → B′(5, −3)
C(0, 3) → C′(2, 1)
D(−4, 1) → D′(−2, −1)
Haz una gráfi ca de △XYZ con vértices X(2, 3), Y(−3, 2), y Z(−4, −3) y su imagen luego de la traslación.
1. (x, y) → (x, y + 2) 2. (x, y) → (x − 3, y)
3. (x, y) → (x + 3, y − 1) 4. (x, y) → (x + 4, y + 1)
Haz una gráfi ca de △PQR con vértices P(0, −4), Q(1, 3), y R(2, −5) y su imagen luego de la composición.
5. Traslación: (x, y) → (x + 1, y + 2) 6. Traslación: (x, y) → (x, y + 3)Traslación: (x, y) → (x − 4, y + 1) Traslación: (x, y) → (x − 1, y + 1)
Refl exiones (págs. 181–188)4.2
Haz una gráfi ca de △ABC con vértices A(1, −1), B(3, 2) y C(4, −4) y su imagen en la línea y = x.
Haz una gráfi ca de △ABC y la línea. Luego usa la regla de coordenadas para refl ejar en la línea y = x para hallar las coordenadas de los vértices de la imagen.
(a, b) → (b, a)
A(1, −1) → A′(−1, 1)
B(3, 2) → B′(2, 3)
C(4, −4) → C′(−4, 4)
Haz una gráfi ca del polígono y su imagen luego de una refl exión en la línea dada.
7. x = 4
AC
B
x
y
4
2
4 62
8. y = 3 E
GH
F
x
y4
2
4 6
9. ¿Cuántos ejes de simetría tiene la fi gura?
x
y4
−4
4−4
D
A
C
B′A′
C′
D′ B
x
y4
−4
−2
4−2−4A
C
B′
A′
C′
B
y = x
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Capítulo 4 Repaso del capítulo 223
Rotaciones (págs. 189–196)4.3
Haz una gráfi ca de △LMN con vértices L(1, −1), M(2, 3) y N(4, 0) y su imagen luego de una rotación de 270° en torno al origen.
Usa la regla de las coordenadas para una rotación de 270° para hallar las coordenadas de los vértices de la imagen. Luego, haz una gráfi ca de △LMN y su imagen.
(a, b) → (b, −a)
L(1, −1) → L′(−1, −1)
M(2, 3) → M′(3, −2)
N(4, 0) → N′(0, −4)
Haz una gráfi ca del polígono con los vértices dados y su imagen luego de una rotación del número de grados dado en torno al origen.
10. A(−3, −1), B(2, 2), C(3, −3); 90° 11. W(−2, −1), X(−1, 3), Y(3, 3), Z(3, −3); 180° 12. Haz una gráfi ca de — XY con extremos X(5, −2) y Y(3, −3) y su imagen luego de una refl exión en
el eje x y luego una rotación de 270° en torno al origen.
Determina si la fi gura tiene simetría rotacional. Si es así, describe toda rotación que relacione la fi gura consigo misma.
13. 14.
Congruencia y transformaciones (págs. 199–206)4.4
Describe una transformación de congruencia que relacione el cuadrilátero ABCD con el cuadrilátero WXYZ, tal como se muestra a la derecha.— AB desciende de izquierda a derecha, y — WX asciende de izquierda a derecha. Si refl ejas el cuadrilátero ABCD en el eje x tal como se muestra en la parte inferior derecha, entonces la imagen, el cuadrilátero A′B′C′D′, tendría la misma orientación que el cuadrilátero WXYZ. Luego puedes relacionar el cuadrilátero A′B′C′D′ con el cuadrilátero WXYZ usando una traslación de 5 unidades hacia la izquierda.
Entonces, una transformación de congruencia que relaciona el cuadrilátero ABCD con el cuadrilátero WXYZ es un refl ejo en el eje x seguida de una traslación de 5 unidades hacia la izquierda.
Describe una transformación de congruencia que relacione △DEF con △JKL.
15. D(2, −1), E(4, 1), F(1, 2) y J(−2, −4), K(−4, −2), L(−1, −1)
16. D(−3, −4), E(−5, −1), F(−1, 1) y J(1, 4), K(−1, 1), L(3, −1)
17. ¿Cuál de las transformaciones es igual que refl ejar un objeto en dos líneas paralelas? ¿Y en dos líneas intersecantes?
x
y4
2
4−2−4
M
NL
M′
N′
L′
A
B
C
D
W
Z
YX x
y4
2
42
A
BC
D
W
Z
YX x
y4
2
C′
D′B′
A′
hs_geo_span_pe_04ec.indd 223hs_geo_span_pe_04ec.indd 223 7/1/15 2:49 PM7/1/15 2:49 PM
224 Capítulo 4 Transformaciones
Dilataciones (págs. 207–214)4.5
Haz una gráfi ca del trapezoide ABCD con vértices A(1, 1), B(1, 3), C(3, 2) y D(3, 1) y su imagen luego de una dilatación con un factor de escala de 2.
Usa la regla de coordenadas para una dilatación con k = 2 para hallar las coordenadas de los vértices de la imagen. Luego haz una gráfi ca del trapezoide ABCD y su imagen.
(x, y) → (2x, 2y)
A(1, 1) → A′(2, 2)
B(1, 3) → B′(2, 6)
C(3, 2) → C′(6, 4)
D(3, 1) → D′(6, 2)
Haz una gráfi ca del triángulo y su imagen luego de una dilatación con factor de escala k.
18. P(2, 2), Q(4, 4), R(8, 2); k = 1 — 2
19. X(−3, 2), Y(2, 3), Z(1, −1); k = −3
20. Estás usando una lupa que muestra la imagen de un objeto que es ocho veces más grande que el tamaño real del objeto. La longitud de la imagen es de 15.2 centímetros. Halla la longitud real del objeto.
Semejanzas y transformaciones (págs. 215–220)4.6
Describe una transformación de semejanza que relaciona △FGH con △LMN, tal como se muestra a la derecha. — FG es horizontal, y — LM es vertical. Si rotas △FGH 90° en torno al origen como se muestra en la parte inferior derecha, entonces la imagen, △F′G′H′, tendrá la misma orientación que △LMN. △LMN parece tener la mitad de tamaño que △F′G′H′. Dilata △F′G′H′ usando un factor de escala de 1 —
2 .
(x, y) → ( 1 — 2 x, 1 — 2 y ) F′(−2, 2) → F ″(−1, 1)
G′(−2, 6) → G ″(−1, 3)
H′(−6, 4) → H ″(−3, 2)
Los vértices de △F ″G ″H ″ corresponden con los vértices de △LMN.
Entonces, una transformación de semejanza que relaciona △FGH con △LMN es una rotación de 90° en torno al origen seguida de una dilatación con factor de escala de 1 —
2 .
Describe una transformación de semejanza que relacione △ABC con △RST.
21. A(1, 0), B(−2, −1), C(−1, −2) y R(−3, 0), S(6, −3), T(3, −6)
22. A(6, 4), B(−2, 0), C(−4, 2) y R(2, 3), S(0, −1), T(1, −2)
23. A(3, −2), B(0, 4), C(−1, −3) y R(−4, −6), S(8, 0), T(−6, 2)
x
y
4
2
6
42 6A
B
D
CD′
C′
B′
A′
H
GFN
L
M
x
y6
2
−2
4 62−2−4−6
H
GFNL
M
G′
H′
F′x
y6
2
−2
4 62−2−4−6
hs_geo_span_pe_04ec.indd 224hs_geo_span_pe_04ec.indd 224 7/1/15 2:49 PM7/1/15 2:49 PM
Capítulo 4 Prueba del capítulo 225
44 Prueba del capítulo
Haz una gráfi ca de △RST con vértices R(−4, 1), S(−2, 2) y T(3, −2) y su imagen luego de la traslación.
1. (x, y) → (x − 4, y + 1) 2. (x, y) → (x + 2, y − 2)
Haz una gráfi ca del polígono con todos los vértices dados y su imagen luego de una rotación del número dado de grados en torno al origen.
3. D(−1, −1), E(−3, 2), F(1, 4); 270° 4. J(−1, 1), K(3, 3), L(4, −3), M(0, −2); 90°
Determina si los polígonos con los vértices dados son congruentes o semejantes. Usa transformaciones para explicar tu razonamiento.
5. Q(2, 4), R(5, 4), S(6, 2), T(1, 2) y 6. A(−6, 6), B(−6, 2), C(−2, −4) yW(6, −12), X(15, −12), Y(18, −6), Z(3, −6) D(9, 7), E(5, 7), F(−1, 3)
Determina si el objeto tiene simetría lineal y si tiene simetría rotacional. Identifi ca todos los ejes de simetría y los ángulos de rotación que relacionan la fi gura consigo misma.
7. 8. 9.
10. Dibuja un diagrama usando un plano de coordenadas, dos líneas paralelas y un paralelogramo que demuestre el Teorema de las refl exiones de las líneas paralelas (Teorema 4.2).
11. Un rectángulo con vértices W(−2, 4), X(2, 4), Y(2, 2) y Z(−2, 2) se refl eja en el eje y. Tu amigo dice que la imagen, el rectángulo W′X′Y′Z′, es exactamente igual que la preimagen. ¿Tiene razón tu amigo? Explica tu razonamiento.
12. Escribe una composición de transformaciones que relacione △ABC con △CDB en el mosaico que se muestra. ¿La composición es una transformación de congruencia? Explica tu razonamiento.
13. Hay una rebanada de una pizza grande y una rebanada de una pizza pequeña en la caja.
a. Describe una transformación de semejanza que relacione la rebanada de pizza ABC con la rebanada de pizza DEF.
b. ¿Cuál es un posible factor de escala para una rebanada de pizza mediana? Explica tu razonamiento. (Usa una dilatación en la rebanada grande de pizza).
14. La fotografía original que se muestra es de 4 por 6 pulgadas.
a. ¿Qué transformaciones puedes usar para generar la nueva fotografía?
b. Dilatas la fotografía original por un factor de escala de 1 — 2 .
¿Cuáles son las dimensiones de la nueva fotografía?
c. Tienes un marco en el que caben fotos de 8.5 por 11 pulgadas. ¿Puedes dilatar la fotografía original para que quepa en el marco? Explica tu razonamiento.
x
y4
2
−2
42−2−4 A
B
C
E
F
D
nueva
original
x
y
4
2
0420 86
A B
DC
hs_geo_span_pe_04ec.indd 225hs_geo_span_pe_04ec.indd 225 7/1/15 2:49 PM7/1/15 2:49 PM
226 Capítulo 4 Transformaciones
44 Evaluación acumulativa
1. ¿Qué composición de transformaciones relaciona △ABC con △DEF?
A
F
D
C
B
x
y4
−4
42−2−4 E
○A Rotación: 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj en torno al origenTraslación: (x, y) → (x + 4, y − 3)
○B Traslación: (x, y) → (x − 4, y − 3)Rotación: 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj en torno al origen
○C Traslación: (x, y) → (x + 4, y − 3) Rotación: 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj en torno al origen
○D Rotación: 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj en torno al origenTraslación: (x, y) → (x − 4, y − 3)
2. Usa los diagramas para describir los pasos que darías para construir una línea perpendicular a la línea m pasando por el punto P, que no está en la línea m.
Paso 1 Paso 2 Paso 3
A Bm
PP
A Bm
P
B
P
A Bm
P
Q
3. Tu amiga asegura que puede hallar el perímetro de la señal de cruzar de la escuela sin usar la fórmula de distancia. ¿Estás de acuerdo con lo que dice tu amiga? Explica tu razonamiento.
x
y4
−2
4−2
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Capítulo 4 Evaluación acumulativa 227
4. Haz una gráfi ca del segmento de línea dirigido ST con extremos S(−3, −2) y T(4, 5). Luego halla las coordenadas del punto P a lo largo del segmento de línea dirigido ST de manera que la razón de SP con respecto a PT sea 3 a 4.
5. La gráfi ca muestra el cuadrilátero WXYZ y el cuadrilátero ABCD.
A
B
C
D
W
Z
Y
X
x
y
−4
−2
42−4
a. Escribe una composición de transformaciones que relacione el cuadrilátero WXYZ con el cuadrilátero ABCD.
b. ¿Los cuadriláteros son congruentes? Explica tu razonamiento.
6. ¿Cuál de las ecuaciones representa la línea que pasa por el punto (−6, 3) que es paralela a la línea y = − 1 —
3 x − 5?
○A y = 3x + 21
○B y = − 1 — 3 x − 5
○C y = 3x − 15
○D y = − 1 — 3 x + 1
7. ¿Qué factor(es) de escala crearía(n) una dilatación de — AB que sea más corta que — AB ? Selecciona todos los que correspondan.
3 — 4 2 7 —
2 1 —
2 31 1 —
3 3 —
2
A B
8. Enumera un posible conjunto de coordenadas de los vértices del cuadrilátero ABCD por cada descripción.
a. Una refl exión en el eje y relaciona el cuadrilátero ABCD consigo mismo.
b. Una refl exión en el eje x relaciona el cuadrilátero ABCD consigo mismo.
c. Una rotación de 90° en torno al origen relaciona el cuadrilátero ABCD consigo mismo.
d. Una rotación de 180° en torno al origen relaciona el cuadrilátero ABCD consigo mismo.
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