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Universidad TecnicaFederico Santa MarıaDepartamento de Matematica
Matematica IVSeptima Guıa
Integrales de SuperficiePrimer Semestre 2015
Contenidos
Teoremas de Stokes y Gauß.
Ejercicios Resueltos
1. Calcular el flujo del campo de vectores ∇×F , donde: F (x, y, z) = (h(x),− cos(xy)+2x+yz2, cos(xy)+y2z), hes una funcion diferenciable en y a traves de la superficie S, que se obtiene uniendo el origen O por segmentosrectilıneos con los puntos de la curva C que resulta de la interseccion del paraboloide z = 4x2 + 9y2 , con elplano Π : z = 2y + 3 y con orientacion inducida por el vector (0,−2, 1).Solucion. Sean P = h(x), Q = −2 cos(xy) + 2x+ yz2 y R = cos(xy) + y2z, entonces
∇× F =
∣∣∣∣∣∣ı k∂x ∂y ∂zh(x) Q R
∣∣∣∣∣∣ = (2yz − x sen(xy), y sen(xy), 2y sen(xy) + 2)
Figura 1: A la izquierda, curva C formada por la interseccion del paraboloide y plano, orientada antireloj debidoa la normal del plano z = 2y+ 3 que se une al origen por rectas. A la derecha, S1, que considera la region interior
a la elipse en el espacio z = 2y + 3, 4x2 + 9(y − 1
9
)2 ≤ 289
La interseccion del paraboloide y el plano es la elipse C : z = 4x2 + y2 = 2y+ 3 cuya proyeccion en el plano xy
se puede escribir como 4x2+9(y − 1
9
)2= 28
9 . La superficie S yla superficie S1 : z = 2y+3, 4x2+9(y − 1
9
)2 ≤ 289
tienen por frontera comun a la curva C. Por el teorema de Stokes y de acuerdo a la orientacion inducida por
Pagina 1 de 6 Coordinacion MAT024
el vector ~n = (0,−2, 1), se tiene que∫∫S
∇× F · ~n dS =
∫C
F · d~r =
∫∫S1
∇× F · ~n dS
=
∫∫4x2+9(y− 1
9 )2≤ 28
9
∇× F · (0,−2, 1) dxdy
=
∫∫4x2+9(y− 1
9 )2≤ 28
9
2 dxdy
= 2Area(4x2 + 9
(y − 1
9
)2
≤ 28
9) =
√7
3· 2√
7
9· π =
14π
27.
2. Considere el campo vectorial~F (x, y, z) = (4z, 0, 4y),
y la curva C dada por la interseccion de las superficies
S1 : z = 2x2 + 2y2, S2 : 4x2 + 4y2 + 1 = 4x+ 4y.
(a) Calcule el trabajo usando la definicion de integrales de lınea.
(b) Calcule el trabajo mediante el Teorema de Stokes y aplique este resultado usando dos superficies distintas.
Solucion:
(a) Primero se parametriza la curva interseccion, de la forma
x(t) = 1/2 + 1/2 cos t
y(t) = 1/2 + 1/2 sin t
z(t) = 2(1/2 + 1/2 cos t)2 + 2(1/2 + 1/2 sin t)2 = 3/2 + sin t+ cos t,
con t ∈ [0, 2π]. Usando definicion el trabajo se obtiene como∮~F · dr =
∫ 2π
0
~F (x(t), y(t), z(t)) · (x′(t), y′(t), z′(t))dt
=
∫ 2π
0
(4z(t), 0, 4y(t)) · (x′(t), y′(t), z′(t))dt
=
∫ 2π
0
(6 + 4 sin t+ 4 cos t, 0, 2 + 2 sin t) · (−1/2 sin t, 1/2 cos t, cos t− sin t)dt
= −4π,
(b) Para utilizar el Teorema de Stokes, es necesario el rotacional el cual es ∇× ~F = (4, 4, 0).Forma 1: Parametrizando la superficie S limitada por el plano,
ϕ(x, y) =
(x, y,
4x+ 4y − 1
2
),
con (x, y) ∈ D =
(x, y) ∈ R2 :
(x− 1
2
)2
+
(y − 1
2
)2
≤ 1
4
cuya normal es ~n = (−2,−2, 1) y el vector
unitario es n = ~n/||~n|| , luego∮~F · dr =
∫∫S
∇× ~F · ndσ = −∫∫
D
16dA = −4π
Forma 2: Parametrizando la superficie S limitada por el paraboloide,
ϕ(x, y) =(x, y, 2x2 + 2y2
),
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con (x, y) ∈ D =
(x, y) ∈ R2 :
(x− 1
2
)2
+
(y − 1
2
)2
≤ 1
4
cuya normal es ~n = (−4x,−4y, 1) y el
vector unitario es n = ~n/||~n|| , luego∮~F · dr =
∫∫S
∇× ~F · ndσ = −16
∫∫D
(x+ y) dA = −4π......Usar coordenadas polares
3. Sea S el manto del hiperboloide acotado x2 + y2− z2 = 1, −1 ≤ z ≤ 2 y T1, T2 las tapas superior e inferior delsolido respectivamente, encerrado por las tres superficies y orientado por la normal exterior. Sea ademas
~X(x, y, z) = (2x+ z, y + x,−3z)
(a) Haga un bosquejo del solido.
(b) Encontrar el flujo a traves de la superficie S.
Solucion.
(a) El contexto de trabajo se muestra a continuacion.
Figura 2: Ω, el solido acotado por la superficie S del hiperboloide, la superficie T2 formada por la tapa superiorz = 2, x2 + y2 ≤ 5, y T1 la superficie formada por la tapa inferior z = −1, x2 + y2 ≤ 2. Se muestran las normalesa cada superficie en rojo.
(b) La frontera del solido, ∂Ω es una superficie cerrada simple que se obtiene como ∂Ω = S∪T1∪T2, orientada
por el vector normal unitario exterior. El campo de vectores ~X es de clase C1 en todo conjunto abiertoΩ? ⊃ Ω. Entonces por el teorema de la divergencia∫∫∫
Ω
∇ · ~X dV =
∫∫∂Ω
~X · ~n dS
Como la divergencia del campo ~X es ∇ · ~X = ∂x(2x+ z) + ∂y(y + z) + ∂z(−3z) = 0, entonces
0 =
∫∫∫Ω
∇ · ~X dV =
∫∫S
~X · ~n dS +
∫∫T1
~X · ~n dS +
∫∫T2
~X · ~n dS
⇒∫∫
S
~X · ~n dS = −∫∫
T1
~X · ~n dS −∫∫
T2
~X · ~n dS
Sobre la tapa superior z = 2, ~X ·~n = (2x+2, y+x,−3z)·(0, 0, 1) = −3z = −6∫∫T2
~X ·~n dS =∫∫T2
(−6)dS =
−6Area(T2) = −30π.
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Sobre la tapa inferior z = −1, ~X · ~n = (2x + z, y + x,−3z) · (0, 0,−1) = 3z = −3∫∫T1
~X · ~n dS =
−3∫∫T1dS = −3Area(T1) = −6π. El flujo sobre la superficie S es∫∫
S
~X · ~n dS = −∫∫
T1
~X · ~n dS −∫∫
T2
~X · ndS = 30π + 6π = 36π
4. Sea Ω ⊆ R3 un abierto acotado de frontera regular a trozos ∂Ω, orientada segun la normal exterior. Considereun campo escalar φ de clase C2 en un dominio Ω ∪ ∂Ω ⊆ D, tal que ∆φ = 0. Sea ~a ∈ Ω. Se define la funcion
u(~r) =1
‖~r − ~a‖, ~r = (x, y, z).
(a) Calcule ∇u(~r) para ~r 6= ~a. Muestre que ∆u = 0 en R3 \ ~a.
(b) Sea S(~a, ε) ⊆ Ω, la esfera de centro ~a y radio ε > 0 que se orienta por su normal exterior. Pruebe que∫∫∂Ω
(φ∇u− u∇φ) · d~S =
∫∫∂S(~a,ε)
(φ∇u− u∇φ) · d~S.
Solucion.
(a) Definimos a ~ρ = ~r − ~a y notamos que ~ρx = ~rx, ~ρy = ~ry, ~ρz = ~rz. De esta manera, se tiene que
u(~ρ ) =1
ρ, donde ρ = ‖~ρ ‖,
y ademas
∇u = − ~ρ
ρ3= ~ρf(r), f(r) = − 1
ρ3.
Ahora, ∆u = ∇ · ∇u y luego, si ~r 6= ~a:
∆u = 3f(ρ) + ρdf
dr= − 3
ρ3+
3
ρ3= 0.
(b) Definimos a ~F = φ∇u−u∇φ y notamos que el teorema de Gauß es aplicable al dominio Ω∗ = Ω \S(~a, ε).Esto se ilustra en la figura:
dS
Figura 3: Contexto de trabajo. Teorema de Gauß es aplicable en Ω∗ = Ω\S(~a, ε). Notamos ademas que las normalesexterior de ∂Ω e interior de ∂S(~a, ε) apuntan hacia afuera y dentro respectivamente.
Como
∇ · ~F = ∇ · (φ∇u− u∇φ)
= ∇φ · ∇u+ φ∆u−∇u · ∇φ− u∆φ
= 0,
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por la hipotesis del problema y el inciso anterior. De esta manera
0 =
∫∫∫Ω∗
∇ · ~F dV =
∫∫∂Ω
(φ∇u− u∇φ) · d~S +
∫∫∂S(~a,ε)
(φ∇u− u∇φ) · d~S
(orientacion) =
∫∫∂Ω
(φ∇u− u∇φ) · d~S −∫∫
∂S(~a,ε)
(φ∇u− u∇φ) · d~S
=⇒∫∫∂Ω
(φ∇u− u∇φ) · d~S =
∫∫∂S(~a,ε)
(φ∇u− u∇φ) · d~S.
Ejercicios Propuestos
1. Sea el campo F (x, y, z) = (3, 5, 2) y S una superficie tal que su borde es la curva x2 + y2 = 9 y z = 1.
Calcular
∫∫S
F · ~n dσ con normal exterior a la superficie, usando el teorema de Stokes. Asuma que la curva
con orientacion antihoraria cumple la hipotesis del teorema de Stokes.
2. Sea C la curva de interseccion del paraboloide hiperbolico z = y2−x2 y el cilindro x2 + y2 = 1 que vista desdearriba esta orientada en sentido antihoraria. Sea ~F (x, y, z) = (ax3 − 3xz2, x2y+ by3, cz3). Sea S un superficie
cuya frontera es C. Encuentre los valores de a, b y c para los cuales
∫∫S
~F ·~n dσ es independiente de la seleccion
de S.
3. Evalue la integral de superficie
∫∫S
~F · ~n dσ del campo vectorial ~F dado y la superficie orientada S indicada.
~F = xzi− 2yj + 3xk; S es la esfera x2 + y2 + z2 = 4 con orientacion hacia fuera.
4. Calcular el flujo del campo de vectores ∇× ~F , donde: ~F (x, y, z) = (h(x),−2 cos(xy)+2x+yz2, cos(xy)+y2z), sih es una funcion diferenciable en y a traves de la superficie S, que se obtiene uniendo el origen O por segmentosrectilıneos con los puntos de la curva C, que resulta de la interseccion del paraboloide z = 4x2 + 9y2, con elplano Π : z = 2y + 3 y con orientacion inducida por el vector (0,−2, 1). Bosqueje la grafica de S.
5. Determinar una expresion para el flujo del campo F (x, y, z) = (1, z, 1 + 2y) a traves de la parte de la superficieS : x2 + y2 + (z − 3)2 = 4, z ≥ 3, interior a D : x2 + y2 ≤ 2x, z ≥ 0.
6. Aplique el Teorema de Stokes para demostrar o refutar la siguiente identidad∫γ
~F · d~r = 2a(a+ b),
donde γ es la curva interseccion entre el cilindro x2 +y2 = a2 y el plano x/a+z/b = 1 y ~F = (y−z, z−x, x−y).
7. Hallese el flujo de ~F (x, y, z) = 2x2i + 3y2j + z2k a traves de toda la superficie del cuerpo√x2 + y2 ≤ z ≤√
2R2 − x2 − y2 en direccion de la normal exterior.
8. Hallar la integral de superficie
∫∫S
~F · ~n dσ donde ~F (x, y, z) = (x, y,−2z) , S es la caja sin tapa formada por
los planos x = 1, x = 3, y = −2, y = 3, z = −1, −1 ≤ z ≤ 2 (la tapa no considerada es la que esta sobre elplano z = 2), y la normal considerada es la que apunta hacia el exterior de la caja.
9. Resuelva los siguientes problemas
(a) Encuentre el valor de a de modo que el area de la superficie S obtenida como la parte superior del conoz2 − x2 − y2 = 0 y limitada por x2 + y2 + z2 = 2ax sea
√2π.
(b) Hallar el flujo del rotacional del campo ~F (x, y, z) = (−y3, x3, z3) sobre la semiesfera S dada por x2 +y2 +z2 = 1 con x ≥ 0.
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10. Sea S una superficie cerrada orientable la cual se puede considerar compuesta como S = S1 ∪ S2 ∪ S3, dondelas superficies S1 y S2 estas descritas de la forma
S1 : x+ z = 9, S2 : z + x2 = 4x,
con (x, y) ∈ D = (x, y) ∈ R3 / x2 + y2 + 4 ≤ 4(x+ y) y en la que S3 representa una superficie que permitecerrar S.
(a) Verifique que existen constantes a y b de modo que∫∫S3
∇× ~F · ~n dσ + a
∮C1
~F · d~r + b
∮C2
~F · d~r = 0,
donde C1 y C2 son las correspondientes fronteras de S1 y S2 orientadas en sentido antihorario respecto ala normal unitaria exterior.
(b) Determine el flujo del campo rotacional de ~F a traves de S3 respecto a la normal unitaria exterior, paraesto considere que
~F (x, y, z) = (y, x, z)
11. Considere el solido K encerrado por las superficies S1 : x2 +y2 = 4, S2 : z = 4−√x2 + y2 y S3 : z+4 = x2 +y2
y el campo ~F (x, y, z) =
(x
(x2 + y2 + z2)3/2,
y
(x2 + y2 + z2)3/2,
z
(x2 + y2 + z2)3/2
)(a) Demuestre que div(~F ) = 0
(b) Usando el teorema de Divergencia, calcule
∫∫S
F · ~n dσ donde S = S1 ∪ S2 ∪ S3
12. Demostrar que
(a) Si ~r = (x, y, z) y r = ‖~r‖ entonces
∫∫∫K
dV
r2=
∫∫S
~r · ~nr2
dσ
(b) Si f y g son CAMPOS ESCALARES de clase C2, sea C curva cerrada que es a frontera de una superficieS, entonces ∫
C
f∇g · d~r =
∫∫S
(∇f ×∇g) · ~n dσ
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