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TORQUE
Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, el cuerpo
tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje. La propiedad
de la fuerza para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud física que
llamamos torque o momento de la fuerza.
El torque Τ de una fuerza F que actúa sobre algún punto del cuerpo rígido, en
una posición r respecto de cualquier origen O, por el que puede pasar un eje
sobre el cual se produce la rotación del cuerpo rígido, al producto vectorial
entre la posición r y la fuerza aplicada F.
T = r x F
El torque es una magnitud vectorial, si θ es el ángulo entre r y F, su valor
numérico por definición del producto vectorial, es:
Por convención se considera el torque positivo o negativo si la rotación queproduce la fuerza es en sentido antihorario u horario respectivamente, se
expresa en unidades de fuerza por unidades de distancia, en el Sistema
Internacional de Unidades resulta Newton·metro
El momento de una fuerza con respecto a un punto da a conocer en qué
medida existe capacidad en una fuerza o desequilibrio de fuerzas para causar
la rotación del cuerpo con respecto a éste, el momento tiende a provocar un
giro en el cuerpo o masa sobre el cual se aplica y es una magnitud
característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de
maquinaria) y en elementos que trabajan sometidos a flexión (como las vigas).
Momento de inercia
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Es una magnitud que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un
sistema de partículas, respecto de un eje, en un movimiento de rotación.
El momento de inercia no depende de las fuerzas que intervienen, sino de
la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro.
donde
m es la masa del punto, y
r es la distancia mínima entre ella y el eje de rotación.
Dado un eje arbitrario, para un sistema de partículas se define como la suma
de los productos entre las masas de las partículas que componen un sistema, y
el cuadrado de la distancia r de cada partícula al eje escogido.
Matemáticamente se expresa como:
Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo) lo anterior se generaliza
como:
El subíndice V de la integral indica que hay que integrar sobre todo el volumen
del cuerpo.
Este concepto, desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al
de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. (La masa es
la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el
Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado
en rotación). Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: maF = tiene como
equivalente para la rotación:
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donde:
• es el momento aplicado al cuerpo (torque).
• es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y
• es la aceleración angular .
Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos
El teorema de Steiner establece que el momento de inercia con respecto a
cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de gravedad, es igual al
momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de gravedad
más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:
donde: I eje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro
de masa
I (CM )eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa
por el centro de gravedad
M es la Masa Total
h - Distancia entre los dos ejes paralelos considerados.
Eje de rotación es la línea en un cuerpo (o en una extensión del cuerpo) sobre
el cual el cuerpo tiene o parece tener rotación en un desplazamiento no
traslacional.
Un eje de simetría es una línea imaginaria que al dividir una forma cualquiera,
lo hace en dos partes, cuyos puntos opuestos son equidistantes entre sí, es
decir, quedan simétricos.
Energía Cinética
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La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es ,
mientras que la energía de cinética de un cuerpo en rotación con velocidad
angular ω es
.
Donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación
Para un sólido rígido que está rotando puede descomponerse la energía
cinética total como dos sumas: la energía cinética de traslación (que es la
asociada al desplazamiento del centro de masa del cuerpo a través del
espacio) y la energía cinética de rotación (que es la asociada al movimiento de
rotación con cierta velocidad angular). La expresión matemática para la energía
cinética es:
22
2
1
2
1ω I mv E E E r t c +=+=
donde: E c es la energía cinética total
E t es la energía cinética de traslación
E r es la energía de rotación o energía cinética angular en este sistema.
El valor de la energía cinética siempre es positivo, y depende del sistema de
referencia que se considere al determinar el valor (módulo) de la velocidad y
ALGUNOS PROBLEMAS TÍPICOS DE ROTACIÓN
Se detallan a continuación algunas situaciones fácilmente resolubles y
características en las cuales se aplican las fórmulas anteriores de dinámica de
rotación.
Cuerpos rodantes
Cuando un cuerpo rueda sin deslizarse se establece una ligadura, hablando en
lenguaje físico, entre el ángulo que rota el cuerpo y la distancia que avanza.
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Para un cuerpo redondo, que es el caso común, θ R X = , siendo R el radio de
la figura. Esto es muy lógico porque si el camino que va recorriendo el móvil
fuera mayor que la longitud de cuerpo que toca el suelo necesariamente
debería haber algún tipo de deslizamiento.
Teniendo esta igualdad es muy fácil establecer que
α
ω
R a
R V
=
=
Poleas
En problemas en los que aparezcan poleas, como éstas giran alrededor de su
centro de masas y su momento de inercia será el de un círculo (o un cilindro, si
es tridimensional), tendremos ya toda la situación conocida.
1. El momento de las fuerzas o torque será simplemente el producto de la
fuerza, o la tensión de la cuerda, por el radio de la polea al que se
aplica.
2. El momento de inercia de un círculo es2
2
1MR I = .
3. Tendremos así que, si la cuerda pasa por la parte exterior de la polea,
como es habitual (hay que tener más cuidado si la polea tiene más
gargantas o éstas no están sobre la superficie externa del disco) para
cada tensión aplicada en la polea:
α
= 2
2
1MR TR
4. Como la cuerda gira sin deslizar existe la condición R a α = que se
aplica a la ecuación anterior.
Estática y equilibrios
En aquellos problemas en los cuales, no existiendo movimiento de ningún tipo,
se nos pida calcular la geometría de alguna estructura o bien las fuerzas de
acción o de reacción que hay que tener para mantener la estructura en
equilibrio basta con aplicar dos fórmulas.
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1. Al no haber movimiento del centro de masas tendremos que la
resultante de todas las fuerzas deberá ser nula. Así que ∑ =0F
Esta ecuación se descompondrá en tantas como dimensiones tenga el
problema.
2. Cuando hay una situación estática o un equilibrio el cuerpo tampoco gira
respecto a ningún punto. Por ello podremos aplicar también que los
momentos resultantes o torque deben ser nulos: ∑ =0τ
Cálculo de la aceleración angular de un cuerpo
Para ello hay que aplicar la ecuación general de la dinámica de rotación.
1. Se consigue el momento de inercia de la figura respecto al eje en que se
produce la rotación.
2. Se calculan los momentos de fuerzas (torque) tomando como punto uno
del eje de rotación. Si el problema es bidimensional este eje será
perpendicular al plano, generalmente, y podremos reducir el momento
de fuerzas tridimensional a su módulo, es decir θ τ senR F ⋅⋅= , siendo
el ángulo que forman F con R.
3. Se relacionan estas magnitudes con la aceleración angular α mediante
α τ I TOTAL =
Cálculo de momentos de inercia
Para la resolución de los problemas de cálculo de momentos de inercia es
habitual el planteamiento según algunos distintos tipos.
1. Si no conocemos el momento de la figura en absoluto respecto a ningún
otro eje, y ésta no está compuesta de otras figuras tendremos que
aplicar 2
i i R mI ∑= para un cuerpo discreto o bien
∫ ∫ == V R dmR I ρδ 22
para uno continuo.
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2. Si conocemos el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el
centro de masas y nos piden hallar el de otro eje paralelo a este
usaremos el Teorema de Steiner
3. Si nuestra figura está compuesta por otras figuras de las cuales
conocemos su I , o bien parece una figura sencilla a la que se ha extraído
alguna otra figura simple, usando la linealidad del momento de inercia
podremos poner nuestro momento incógnita como sumas o restas de
otros momentos más sencillos, teniendo siempre cuidado de que todos
los momentos estén referidos al mismo eje de rotación.
Conservación de la energía para cuerpos rodantes
Si tenemos un caso de un cuerpo simétrico que rueda respecto a un eje que
pasa por su centro de masas y todas las fuerzas externas son conservativas,
podremos aplicar el teorema de conservación de la energía y tendremos que:
22
2
1
2
1ω I mv E E E
ROTACION traslacion c c c +=+=
Además, si el cuerpo rueda sin deslizar se podrá relacionar V y ω mediante
ω R V =
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F
M
m
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Una varilla de 500 g y 75 cm de longitud lleva soldada en un extremouna esfera de 10 cm de radio y 250 g de masa. Calcular el momento de inerciacuando gira alrededor de un eje perpendicular a la varilla que pasa por elextremo libre.
El momento de inercia será la suma del momento de inercia de una varilla másel de la esfera. Como el eje de simetría de la esfera no coincide con el eje derotación aplicamos el Teorema de los ejes paralelos, de manera que:
( )2
ev eev v ev
KgmI
R LmR mLmI I I
27.0
5
2
12
1 222
=
+++=+=
2.- Un cilindro de 50 Kg y 20 cm de radio gira respecto de un eje verticalque coincide con su eje de simetría debido a una fuerza constante, la cual seaplica sobre su periferia y que después de 40 seg de iniciado el movimientoalcanza 200 rpm. Calcular:
a. El valor de la fuerzab. El momento de la fuerza aplicada (Torque)
t
f
mR I
I
o f
f
ω ω
α
π ω
α τ
−=
=
=
⋅=
60
2
2
1 2
Nm52 .0 =τ
θ
τ θ τ senR
F senR F ⋅
=⇒⋅⋅=
N 62 .2 F =
3.- Una polea homogénea de 0.3 m de radio, 20 Kg y momento de inerciaigual a 18 Kgm2 gira alrededor de su eje de simetría debido a la acción de dosmasas: M (15 Kg) y m (10 Kg), determine:
a. Las tensiones de las cuerdas
b. La aceleración angular de la polea
Eje de simetríaEje de rotación
200 rpm es el valor de la frecuencia (f) y se transforma a
rad/s para obtener el valor de la velocidad final (ω f )
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∑∑
⋅=
⋅=
giran)que(objetos
)trasladanseque(objetos
α τ I
am F
Supongamos que el sistema acelera hacia el lado de la masa mayor M
R
aI tR TR I tR TR I I
mamg t
MaT Mg
t T total =−⇒=−⇒=−⇒=
=−=−
α α τ τ α τ
Por lo tanto se tiene un sistema de tres ecuaciones:
R
aI tR TR
mamg t
MaT Mg
=−
=−=−
Resolviendo:2
sm22 .0 a =
2 srad 73.0 =α
N 100.2 t
N 2 .143T
=
=
4.- Un cilindro macizo homogéneo de 20 Kg y 40 cm de radio baja rodando,sin deslizar, por un plano inclinado 30º sobre la horizontal, partiendo del reposodesciende una altura vertical de 2 m, calcular:
a. Energía cinética de rotación y traslación adquiridas en el tiempo duranteel que desciende verticalmente esos dos m.
b. El momento de inercia del cilindro suponiendo que gira respecto de unageneratriz
2 c
2 c
mV 2
1E
I
2
1E
traslación
rotación
=
= ω
Como no se pueden resolver estas expresiones se realiza un balance deenergía desde la parte superior del plano hasta la inferior para obtener lavelocidad del cilindro, teniendo en cuenta que como baja sin deslizar R V ω =
3gh4V
R
V mR
2
1
2
1mV
2
1mghI
2
1mV
2
1mgh
E E
2
2
2 2 2 2
B A
=
+=⇒+=
=
ω
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F
m
J 67 .266 E
J 33.133E
traslación
rotación
c
c
=
=
Para determinar el momento de inercia respecto a una generatriz se aplica elteorema de los ejes paralelos:
2 2
2
cm
mR mR 2
1I
md I I
+=+=
2 Kgm8 .4I =
5.- La figura representa un cilindro macizo y homogéneo de 20 cm de radioy 20 Kg de masa, a su periferia va arrollado un hilo ideal de cuyo extremo libre
cuelga una masa de 8 Kg; por una hendidura muy fina se le enrolla otro hiloideal a una distancia horizontal de 10 cm a cuyo extremo libre se le aplica unafuerza constante F= 200N. Calcule:
a. Aceleración con que sube la masa m b. Aceleración angular del cilindroc. Tensión del hilo que sostiene la masad. Momento de inercia del cilindro respecto
a un eje que coincida con una generatriz
∑∑
⋅=
⋅=
giran)que(objetos
)trasladanseque(objetos
α τ I
am F
=−⇒=−⇒=−⇒=
=−
R
aMRTR Fr I TR Fr I I
mamg T
R F TOTAL
2
2
1α α τ τ α τ
Por lo tanto se tiene un sistema de dos ecuaciones:
=−
=−
R
aMRTR Fr
mamg T
2
2
1
Resolviendo:
2
m1.2a
N88
s
T
=
=
Como R a α = entonces 26 srad =α
Para determinar el momento de inercia respecto a una generatriz se aplica elteorema de los ejes paralelos:
22
2
2
1MR MR I
md I I cm
+=
+=
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2
2
3MR I =
6.-
Alrededor de un ejehorizontalfijo de unvolante va
enrolladoun hilo demasa
despreciable. Del extremo libre cuelga una pesa de 8 Kg. Si partiendo delreposo la pesa desciende 4 m en 4 seg, calcular:
a. Aceleración con que desciende la pesa b. Tensión que actúa sobre el hiloc. Energía cinética de rotación del volante cuando la pesa ha descendido 4
m
Como la pesa desciende con movimiento uniformemente acelerado:
2
22
2 t
Y a
at t V Y Y f
oy of =⇒+±=2
sm 5.0=a
⇒=− maT mg N4.74=T Realizando un balance de energía entre el punto de inicio y los 4 metros:
m
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ROTACION c
B A
E mV mghI mV mgh
E E
+=⇒+=
=
222
2
1
2
1
2
1ω
Como la velocidad de la pesa cuando ha descendido 4 m en 4 seg es:
sV at V V f of m2=⇒+= , entonces:
⇒−=2
2mV mghE
ROTACION c J6.297=
ROTACION c E
7.- Una polea doble, de momento de inercia 0.6 kg.m2
está formada por dos poleas de radios 4 cm y 8 cmsolidarias. En cada una de ellas hay una cuerda sin masa
enrollada de la que cuelgan masas de 40 y 60 kg. Calcular la aceleración angular del sistema y las tensiones de lascuerdas.
El momento que produce la masa de 40 kg es mayor que elproducido por la masa de 60 kg, por lo que el sistema, degirar, girará a la izquierda:
Nm2 .3R g m 111 =⋅=τ Nm4.2 R g m 2 2 2 =⋅=τ
Las tensiones en las cuerdas son:
11111111 R mT g mamT g m α =−⇒=−
2 2 2 2 2 2 2 2 R mg mT amg mT α =−⇒=−
α I R T R T 2 2 11 =−
Resolviendo:
N 76 .607 T
N 65 .365 T
srad 235 .8
2
1
2
===α
8.- Un disco homogéneo A gira alrededor del eje Y bajo la acción de lamasa C unida a una cuerda que pasa por una polea sin peso ni rozamientoenrollada alrededor de un tambor cilíndrico macizo B, solidaria del disco A. Aéste esta unida una masa puntual D, como indica la figura. Las masas A, B, C yD son respectivamente 65, 15, 8 y 4 Kg, se supone que la cuerda permanecesiempre horizontal. Calcular:
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a. Aceleraciónangular del disco
b. Aceleracióntangencial de D
α α τ I TR I
amT g m
BTOTAL
c c
=⇒=
=−
Como A, B y D son la parte del sistema que giran, entonces
( )
+++
+
=++= 22222
12
1
2
1
2
1DDDBB A ADB ATOTAL R mbamR mR mI I I I
Dado que D es una masa puntual sus dimensiones tienden a cero, por lo que
( ) 0121 22 =
+bamD , de manera:
( ) 2222Kgm56.51
2
1
2
1 =+
+
=++= DDBB A ADB ATOTAL R mR mR mI I I I
Por lo tanto se tiene un sistema de dos ecuaciones:
α
α
I TR
R mT g m
B
Bc c
==−
Resolviendo2
66.0 srad =α
Y como DD R a α = entonces 2 6.0 sma =
9.- Un cilindro enrollado a unacuerda fuertemente sujeta caelibremente tal como indica la figura.Halle la aceleración con que cae.
maT
R
amR TR I TR
maT mg
2
1
2
1 2 =⇒
=⇒=
=−
α
Entonces
⇒=− mamamg 2
1
3
2g a =
10.- Un cilindro macizo de 20 cm deradio y 5 Kg de masa gira alrededor de
su eje, en posición horizontal, por la
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acción de una pesa de 0.2 Kg que cuelga del extremo de una cuerda enrolladaal cilindro. Calcular:
a. Aceleración angular del cilindro b. Aceleración lineal de la pesac. Torque durante el movimiento
d. Si en lugar de accionar el cilindropor la pesa se ejerce una tracciónde la cuerda hacia debajo de 0.2Nw ¿Cuál será el valor de laaceleración angular?
Planteando la segunda ley de Newtonpara la masa: maT mg =−
Y para el cilindro:
α α τ
=⇒= 2
2
1MR TR I TOTAL
Por tanto se tiene un sistema de dos ecuaciones:
α
α
=
=−
2
2
1
MR TR
R mT mg
Resolviendo 2srad 63.3=α
⇒= Rα a 2sm 726.0=a
mN 363.0 ⋅=τ
⇒=⇒=I
FR I FR α α
2rad 4.0 s=α
11.- Una bala de 100 g y velocidad horizontal de 100 m/s chocainelasticamente con el borde de un volante anular de 1 Kg y 25 cm de radio.Calcular la velocidad angular del sistema
Al ser un choque inelástico consideraremos la conservación de la cantidad de
movimiento
( )
( )
⇒=⇒=
=+
+
=
+=+
R
V R V
smmm
u mu m
V
V mmu mu m
ω ω
09.921
2211
12
12212211
srad 36.36=ω
12.- Un cilindro homogéneo de 40 cm de radio y 10 Kg tienelibertad para girar en torno a su eje de simetría sobre cojinetescarentes de fricción. Supongamos que súbitamente se aplica
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una fuerza de 10 Nw que se mantiene constante y tangencial a la superficielateral. Calcular:
a. Energía cinética a los 2 seg de haber aplicado la fuerzab. Trabajo realizado por dicha fuerza en ese tiempo
22
22
2
Kgm 8.02
1
srad 10
srad 52
1
21
=⇒
=
=⇒+=
=⇒
=⇒=
=
I MR I
t
MR FR I
I E
f of
c ROTACION
ω α ω ω
α α α τ
ω
J 40=ROTACION c E
⇒•= R F ω J 40=ω
13.- Un disco de 2 Kg y 20 cm de radio gira alrededor de su eje horizontal a600 rpm. Apoyado sobre la periferia del disco descansa una lámina metálica demasa m que actúa por su peso frenando el movimiento con un coeficiente defricción de 0.2. El disco se detiene a los 2 min de actuar el freno. Hallar:
a. Valor de la masa m b. Energía cinética del disco al minuto de actuar el freno
La fuerza que detiene al disco es la fuerza de roce yequivale a mg N Fr µ µ ==La cual ejerce un torque de mgR R Fr µ τ =⋅= , lo que
conduce ag
R M mR M mgR disco
disco µ
α α µ
22
1 2 =⇒
=
( )t
f
t f of π ω ω ω
α 2−
=−
=
Kg 05340 m .=Para calcular la Energía cinética de rotación, se procede:
( ) ⇒+⋅
== 2
o2
disco2
c t R M 2 1
2 1I
2 1E
ROTACION α ω ω
J 7419E ROTACION c .=
14.- Sobre un plano inclinado 30º y que ofrece una resistencia aldeslizamiento de coeficiente µ=0.2, desliza un bloque de 3 kg de masa unido auna cuerda que se enrolla en la periferia de una polea formada por dos discosacoplados de 1 kg y 0.5 kg y de radios 0.3 m y 0.1 m respectivamente. De la
cuerda enrollada al disco pequeño pende un bloque de 10 kg de peso.Calcular:
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c. Las tensiones de las cuerdasd. La aceleración de cada cuerpo
∑∑
⋅=
⋅=
giran)que(objetos
)trasladanseque(objetos
α τ I
am F
α ⋅=⋅−⋅⋅=−
⋅=−−
I RT RT
amT P
am x P Fr T
101033
10101010
3333
α 475.03
108.9
38.19
103
1010
33
=−=−=−
T T
aT
aT
Sabiendo que:r a ⋅= α
ernodiscoexternodisco I I I int +=
Se resuelve el sistema de ecuaciones
N 6 .0 T
N 11.28 T
s / m92 .0 a
s / m77 .2 a
s / rad 25 .9
10
3
10
3
2
=
=
=
=
=α
15.- Una masa de 20 Kg se halla sobre un plano inclinado 30° respecto a lahorizontal, con el que tiene un rozamiento cuyo coeficiente de fricción vale 0.3,unida a una cuerda sin masa e inextensible que pasa por una polea de 160 Kgcuyo radio geométrico es de 20 cm y radio de giro 15 cm. De otra cuerda pendeuna masa de 40 Kg que es abandonada libremente. Calcular:
a. Aceleración con que se mueve elsistema
b. Tensiones de las cuerdas
m2
m1
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Partiendo de la suposición que la masa colgante acelera hacia abajo, seplantearan las tres ecuaciones correspondientes al movimiento de las tresmasas:
( )
=−⇒=−
=−−
=−
R
ar M R T R T I R T R T
amcosg mgsenmT
amT g m
2
giro p12 12
1111
2 2 2
α
θ µ θ
Resolviendo
N 327 T
N 181T
sm 62 .1a
2
1
2
===