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GUIA RESUMEN PRUEBA 1 MAT440 -‐ MAT430
DESARROLLO GUIA
Ejercicio 1
Una pastelería produce chocolate blanco y chocolate amargo. El costo de material y mano de obra por producir un kilo de chocolate blanco es de 6 dólares y el de amargo es de 5 dólares. Suponga que la empresa tiene costos fijos semanales de 1.200 dólares.
a) Encuentre el costo semanal como función de la cantidad de kilos de chocolates de cada tipo producido a la semana.
Costo de un kilo de chocolate blanco = US$ 6 Costo de un kilo de chocolate amargo = US$ 5 Costos Fijos semanales = US$ 1.200
Cantidad de kilos semanales de chocolate blanco = x Cantidad de kilos semanales de chocolate amargo = y
200.156),( ++= yxyxCCosto semanal:
DESARROLLO
Ejercicio 1
Una pastelería produce chocolate blanco y chocolate amargo. El costo de material y mano de obra por producir un kilo de chocolate blanco es de 6 dólares y el de amargo es de 5 dólares. Suponga que la empresa tiene costos fijos semanales de 1.200 dólares.
b) Determine el costo semanal de producir 100 kilos de chocolates blanco y 230 kilos de chocolate amargo.
DESARROLLO
950.2200.123051006)230,100( =+⋅+⋅=C
El costo semanal de producir 100 kilos de chocolate blanco y 230 kilos de chocolate amargo es de US$ 2.950.
Ejercicio 1
Una pastelería produce chocolate blanco y chocolate amargo. El costo de material y mano de obra por producir un kilo de chocolate blanco es de 6 dólares y el de amargo es de 5 dólares. Suponga que la empresa tiene costos fijos semanales de 1.200 dólares.
El ingreso semanal: yxyxI 810),( +=
Luego la utilidad semanal es ),(),(),( yxCyxIyxU −=
( )200.156810),( ++−+= yxyxyxU
200.134),( −+= yxyxU
c) Obtenga la función utilidad semanal como función del número de kilos de cada tipo producida y vendida a la semana. Si vende el kilo de cho- colate blanco a 10 dólares y el amargo a 8 dólares.
DESARROLLO
Ejercicio 2
Se modela la superficie de un balón de Rugby. La función de la altura respecto
del plano central viene dado por la función , con todas las
medidas en centímetros. Dibuje las curvas de nivel (indicando puntos de corte)
para la altura de 0, 2, 4 y 6 cm.
DESARROLLO
224,090),( xyyxf −−=
0=z
04,090 22 =−− xy
04,090 22 =−− xy
904,0 22 =+ xy
1904,090
22=+
xy
190225
22=+
xy
15,915 2
2
2
2=+
xy
2=z
24,090 22 =−− xy
44,090 22 =−− xy
864,0 22 =+ xy
1864,086
22=+
xy
186215
22=+
xy
13,97,14 2
2
2
2=+
xy
4=z
44,090 22 =−− xy
164,090 22 =−− xy
744,0 22 =+ xy
1744,074
22=+
xy
174185
22=+
xy
16,86,13 2
2
2
2=+
xy
6=z
64,090 22 =−− xy
364,090 22 =−− xy
544,0 22 =+ xy
1544,054
22=+
xy
154135
22=+
xy
13,76,11 2
2
2
2=+
xy
Ejercicio 2
Se modela la superficie de un balón de Rugby. La función de la altura respecto
del plano central viene dado por la función , con todas las
medidas en centímetros. Dibuje las curvas de nivel (indicando puntos de corte)
para la altura de 0, 2, 4 y 6 cm.
DESARROLLO
224,090),( xyyxf −−=
x
y 15 14,7 13,6 11,6
9,5 9,3 8,6 7,3
z = 0 z = 2 z = 4 z = 6
Ejercicio 4
Una compañía elabora dos tipos de televisores, uno LED y otro del tipo Smart TV. La función de costos conjuntos mensuales esta dada por donde x es el número de televisores LED e y el número de televisores Smart TV a producir.
DESARROLLO
a) Determine el costo de producir 150 televisores LED y 100 televisores Smart TV al mes
000.20010015041005,01501,0)100,150( 22 +⋅⋅+⋅+⋅=C
150=x 100=y
250.267)100,150( =C
Sean e
El costo de producir de 150 televisores LED y 100 del televisores Smart TV al mes es de $267.250
Ejercicio 4
Una compañía elabora dos tipos de televisores, uno LED y otro del tipo Smart TV. La función de costos conjuntos mensuales esta dada por donde x es el número de televisores LED e y el número de televisores Smart TV a producir.
DESARROLLO
b) Encuentre los costos marginales cuando se producen 100 televisores LED y 100 televisores Smart TV al mes
Derivando con respecto a x e y
yxxyxC 42,0),(
+=∂
∂ xyyyxC 4),(
+=∂
∂
42010041002,0)100,100(=⋅+⋅=
∂
∂
xC
El costo varía en $420 al variar x (TV Led) en una unidad, de 100 a 101, y fijo y en 100.
5001004100)100,100(=⋅+=
∂
∂
yC
El costo varía en $500 al variar y (Smart TV) en una unidad, de 100 a 101, y fijo x en 100.
Ejercicio 6
Demuestre que la función es armónica, es decir cumple con
DESARROLLO
02
2
2
2=
∂
∂+
∂
∂
yf
xf
( ) 1222−
+=∂
∂ yxxxf ( ) 1222
−+=
∂
∂ yxyyf
∂2 f∂x2
= 2x( ), x2 + y2( )−1"
#$
%&'+ 2x( ) x2 + y2( )
−1"#$
%&',= 2 x2 + y2( )
−1+ 2x( )(−1) x2 + y2( )
−2⋅2x
( )222
2
222
2 42
yx
xyxx
f
+−
+=
∂
∂
∂2 f∂y2
= 2y( ), x2 + y2( )−1#
$%
&'(+ 2y( ) x2 + y2( )
−1#$%
&'(,= 2 x2 + y2( )
−1+ 2y( )(−1) x2 + y2( )
−2⋅2y
( )222
2
222
2 42
yx
yyxy
f
+−
+=
∂
∂
Derivando con respecto a x e y, tenemos
Derivando nuevamente con respecto a x e y, tenemos
Ejercicio 6
Demuestre que la función es armónica, es decir cumple con
DESARROLLO
02
2
2
2=
∂
∂+
∂
∂
yf
xf
∂2 f∂x2
+∂2 f∂y2
=4
x2 + y2+−4 x2 + y2( )x2 + y2( )
2
∂2 f∂x2
+∂2 f∂y2
= 0
Sumando ambas derivadas de segundo orden
∂2 f∂x2
+∂2 f∂y2
=2
x2 + y2−
4x2
x2 + y2( )2 +
2x2 + y2
−4y2
x2 + y2( )2 Juntamos terminos
Factorizando ∂2 f∂x2
+∂2 f∂y2
=4
x2 + y2+−4x2 − 4y2
x2 + y2( )2
Simplificando
∂2 f∂x2
+∂2 f∂y2
=4
x2 + y2+
−4x2 + y2
La función es armónica
Ejercicio 8
Se estima que la producción semanal de un articulo, en cierta planta esta dada por la función donde x es el número de trabajadores calificados e y el número de trabajadores no calificados empelados en la planta. En la actualidad, hay 30 trabajadores calificados y 60 no calificados. Aplicar el análisis marginal para calcular el cambio resultante en la producción semanal al agregar un trabajador calificado, si no cambia el número de trabajadores no calificados.
DESARROLLO
Q(x, y) =1200x + 500y+ x2y− x3 − y2
Número de Trabajadores calificados: x = 30 Número de Trabajadores no calificados: y = 60 Se pide la variación respecto a los trabajadores calificados: variable x
∂Q(x, y)∂x
=1.200+ 2xy−3x2
Al agregar un trabajador calificado (de 30 a 31), y mantener los no calificados en 60, la producción aumenta en 2.037 articulos.
∂Q(31, 60)∂x
=1.200+ 2 ⋅31⋅60−3⋅312 = 2037
Ejercicio 10
Un liquido desinfectante contiene x miligramos de un compuesto A, e y miligramos de un compuesto B, produce una respuesta de unidades. ¿Qué cantidad de miligramos de cada componente ocasiona una respuesta máxima?.
DESARROLLO
Derivamos R(x,y)
∂R(x, y)∂x
= y ⋅ 3− x − 2y( )+ xy ⋅ −1( ) = y ⋅ 3− x − 2y( )− xy
a) Determine el punto critico para la situación.
∂R(x, y)∂y
= x ⋅ 3− x − 2y( )+ xy ⋅ −2( ) = x ⋅ 3− x − 2y( )− 2xy
Igualamos a cero
y ⋅ 3− x − 2y( )− xy = 0y ⋅ 3− x − 2y( ) = xy / simplificando y3− x − 2y = x ⇒ 2x + 2y = 3
x ⋅ 3− x − 2y( )− 2xy = 0x ⋅ 3− x − 2y( ) = 2xy / simplificando x3− x − 2y = 2y ⇒ x + 4y = 3
Ejercicio 10
Un liquido desinfectante contiene x miligramos de un compuesto A, e y miligramos de un compuesto B, produce una respuesta de unidades. ¿Qué cantidad de miligramos de cada componente ocasiona una respuesta máxima?.
DESARROLLO
a) Determine el punto critico para la situación.
Igualamos a cero, se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas 2x + 2y = 3x + 4y = 3
Resolviendo el sistema 2x + 2y = 3x + 4y = 3
⇒2x + 2y = 3x + 4y = 3
/ ⋅− 2
2x + 2y = 3−2x −8y = −6
⇒−6y = −3 / :−6⇒ y = 12
Luego x=1
El punto Critico es (1,1/2)
Ejercicio 10
Un liquido desinfectante contiene x miligramos de un compuesto A, e y miligramos de un compuesto B, produce una respuesta de unidades. ¿Qué cantidad de miligramos de cada componente ocasiona una respuesta máxima?.
DESARROLLO
b) Verifique que el punto critico es un máximo .
El punto Critico es (1,1/2)
Volvemos a derivar y reemplazamos en el punto critico
⇒ DRxx 1, 12( ) = −2 ⋅ 12 = −1< 0DRyy = x ⋅ −2( )− 2x = −4xDRxy =1⋅ 3− x − 2y( )+ x ⋅ −1( )− 2y = 3− 2x − 4y
DRxx = y ⋅ −1( )− y = −2y
⇒ DRyy 1, 12( ) = −4 ⋅1= −4 < 0⇒ DRxy 1, 12( ) = 3− 2 ⋅1− 4 ⋅ 12 = −1
D 1, 12( ) = DRxx 1, 12( ) ⋅DRyy 1, 12( )− DRxy 1, 12( )( )2
D 1, 12( ) = −1( ) ⋅ −4( )− −1( )2 = 3> 0
Utilizamos el criterio de la Segunda Derivada
Se tiene que (1,1/2) es un máximo, ya que DRxx 1, 12( ) < 0 y D 1, 12( ) > 0
Ejercicio 12
Un fabricante tiene 80000 dólares para invertir en desarrollo y publicidad de un nuevo producto. Se estima que si se invierte x miles de dólares en desarrollo e y miles de dólares en publicidad, se venderán aproximadamente uni- dades. ¿Cuánto dinero deberán asignar el fabricante a desarrollo y cuanto a publicidad para maximizar las ventas?
DESARROLLO
DVx = 20 ⋅ 32( ) x12y
Utilizamos el Metodo de Multiplicaremos de Lagrange, con x+y=80
DVy = 20 ⋅1⋅ x32
Dgx =1⋅λDgy =1⋅λ
x + y = 80
Formamos el sistema
30 ⋅ x12y = λ
20 ⋅ x32 = λ
x + y = 80
⇒ 30 ⋅ x12y = 20 ⋅ x
32
⇒3020
⋅ y = x32
x12
⇒32y = x
Ejercicio 12
Un fabricante tiene 80000 dólares para invertir en desarrollo y publicidad de un nuevo producto. Se estima que si se invierte x miles de dólares en desarrollo e y miles de dólares en publicidad, se venderán aproximadamente uni- dades. ¿Cuánto dinero deberán asignar el fabricante a desarrollo y cuanto a publicidad para maximizar las ventas?
DESARROLLO
Reemplazando x en x+y=80
x + y = 8032y+ y = 80⇒ y = 32
x + y = 80 si y = 32⇒ x = 48
Luego
El fabricante de asignar 48.000 dólares en desarrollo y 32.000 dólares en publicidad
SIGUE PRACTICANDO
Ejercicio 3
La temperatura en grados Celsius en cualquier punto (x, y) de una placa circular de
22 metros de radio es , donde x e y se miden en metros.
Dibuje las curvas de nivel (curvas isotermas) para 0, 20, 40 y 60.
DESARROLLO
22 5,05,0200),( yxyxT −−=
0=z05,05,0200 22 =−− yx
2005,05,0 22 =+ yx40022 =+ yx
222 20=+ yx
20=z
205,05,0200 22 =−− yx1805,05,0 22 =+ yx
36022 =+ yx222 19=+ yx
40=z405,05,0200 22 =−− yx
1605,05,0 22 =+ yx32022 =+ yx222 9,17=+ yx
60=z605,05,0200 22 =−− yx
1405,05,0 22 =+ yx28022 =+ yx
222 7,16=+ yx
x
y
r = 20 r = 19 r = 17,9 r = 16,7
z = 0 z = 2 z = 4 z = 6
∂z∂x
=∂z∂u⋅∂u∂x
),( vufvuz +⋅=
⇒∂z∂x
=12u−1 2 ⋅ v1 2 + ∂f
∂u%
&'
(
)*⋅2x =
12x−1 ⋅ y+1
%
&'
(
)*⋅2x = y+ 2x
yv
vz
yz
∂
∂⋅
∂
∂=
∂
∂⇒
∂z∂y
=12u1 2 ⋅ v−1 2 + ∂f
∂v%
&'
(
)*⋅2y =
12x ⋅ y−1 +1
%
&'
(
)*⋅2y = x + 2y
y ∂z∂x− x ∂z
∂y= y y+ 2x( )− x x + 2y( ) = y2 + 2xy− x2 − 2xy = y2 − x2
y ∂z∂x− x ∂z
∂y= y2 − x2
Queda demostrado
Ejercicio 5
Si , donde . Demuestre que
DESARROLLO
Si , entonces
Derivamos z
Luego
Así
Ejercicio 7
Una empresa produce dos tipos de productos x e y. El costo de material y mano de
obra, en dólares, por producir una unidad de x y una unidad de y esta dada por
DESARROLLO
La utilidad mensual esta dada por
Luego, el ingreso esta dado por , y el costo
Así
a) Si la compañía vende el producto x a 4 dólares y el y a 6 dólares. Obtenga la
función utilidad mensual como función del número de unidades producidas
U(x, y) = I(x, y)−C(x, y)
yxyxI 64),( += C(x, y) = 3x + 4y+1.000
U(x, y) = I(x, y)−C(x, y)
U(x, y) = 4x + 6y− 3x + 4y+1.000( ) = 4x + 6y−3x − 4y−1.000 = x + 2y−1000U(x, y) = x + 2y−1000
Ejercicio 7
Una empresa produce dos tipos de productos x e y. El costo de material y mano de
obra, en dólares, por producir una unidad de x y una unidad de y esta dada por
DESARROLLO
Derivando la utilidad
b)Determine la utilidad marginal de producir 20 productos del tipo x y 15 del tipo y.
∂U(x, y)∂x
=1∂U(x, y)∂y
= 2
∂U(20,15)∂x
=1∂U(20,15)
∂y= 2
Al variar x, manteniéndose constante y, la utilidad aumenta en US$1. Al variar y, manteniéndose constante x, la utilidad aumenta en US$2.
Reemplazando las derivadas obtenidas en x=20 e y=15
Ejercicio 9
En un supermercado se venden dos productos que compiten entre si a precios de x e y pesos respectivamente. Si el ingreso debido a la venta de esos productos viene dado por Calcule los precios para que el ingreso sea máximo
DESARROLLO
Derivando I(x,y)
Igualamos las derivadas a 0, tenemos el sistema
∂I(x, y)∂x
= −14x + 2y+10 ∂I(x, y)∂y
= −8y+ 2x +14
−14x + 2y = −102x −8y = −14
Utilizamos el criterio de la Segunda Derivada ∂2I(x, y)∂x2
= −14⇒ ∂2I(1, 2)∂x2
= −14 < 0
∂2I(x, y)∂y2
= −8⇒ ∂2I(1, 2)∂y2
= −8 < 0
∂2I(x, y)∂x∂y
= 2⇒ ∂2I(1, 2)∂x∂y
= 2
⇒x =1y = 2
⇒ D 1,2( ) = DIxx 1,2( ) ⋅DIyy 1,2( )− DIxy 1,2( )( )2
D 1,2( ) = −14( ) ⋅ −8( )− 2( )2 =108 > 0
Para maximizar el ingreso los precios de los artículos deben ser de $1 y $2 respectivamente.
Se tiene que (1,2) es un máximo, ya que
DIxx 1, 2( ) < 0 y D 1,2( ) > 0
Ejercicio 11
La temperatura en cualquier punto (x , y) de la curva es T grados Celsius, donde .
DESARROLLO
Derivamos
a) Encuentre los puntos en la curva donde la temperatura es máxima y donde es mínima.
Utilizamos el Metodo de Multiplicaremos de Lagrange, con
T (x, y) = 4x2 + 24y2 − 2x
∂T (x, y)∂x
= 8x − 2
∂T (x, y)∂y
= 48y
∂g(x, y)∂x
= 8xλ
∂g(x, y)∂y
= 24yλ
g(x, y) = 4x2 +12y2 −1= 0
Formamos el sistema 8x − 2 = λ(8x) (*)
48y = λ(24y) (**)4x2 +12y2 −1= 0 (***)
Despejando λ en (**) se tiene λ = 2
Reemplazamos en (*), (Siempre que y ≠ 0)
8x − 2 = 2(8x) ⇒ 8x − 2 =16x ⇒ x = −0,25
Ejercicio 11
La temperatura en cualquier punto (x , y) de la curva es T grados Celsius, donde .
DESARROLLO
a) Encuentre los puntos en la curva donde la temperatura es máxima y donde es mínima.
Reemplazando en g(x, y) 4(−0,25)2 +12y2 −1= 0 ⇒ y = ±0,25
Luego los puntos son y (−0, 25; − 0, 25) (−0, 25; 0, 25)
Calculando la Temperatura en esos puntos
T (−0,25;−0,25) = 4 −0,25( )2 + 24 −0,25( )2 − 2 −0,25( ) = 2,25
T (−0, 25; 0, 25) = 4 −0, 25( )2 + 24 0, 25( )2 − 2 −0, 25( ) = 2, 25
Como la Temperatura en esos puntos es la misma, tomaremmos otro punto del dominio y verificaremos cual es el punto maximo y el punto minimo. Tomemos (0, 5;0)
T (0, 5;0) = 4 0,5( )2 + 24 0( )2 − 2 0,5( ) = 0
Luego, se tiene que en los puntos y la temperatura es maxima y en la temperatura minima
(−0, 25; − 0, 25)(−0, 25; 0, 25) (0, 5;0)
Ejercicio 11
La temperatura en cualquier punto (x , y) de la curva es T grados Celsius, donde .
DESARROLLO
Reemplazando en T(x, y), los puntos encotrados en a)
T (−0,25;−0,25) = 4 −0,25( )2 + 24 −0,25( )2 − 2 −0,25( ) = 2,25
T (−0, 25; 0, 25) = 4 −0, 25( )2 + 24 0, 25( )2 − 2 −0, 25( ) = 2, 25
La temperatura en (-1/4,1/4) y (-1/4,-1/4) es de 2,25ºC y en (1/2,0) es de 0ºC.
T (0, 5;0) = 4 0,5( )2 + 24 0( )2 − 2 0,5( ) = 0
b) Encuentre la temperatura en esos puntos .