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Colegio La Salle Envigado “FORMANDO EN VALORES PARA LA VIDA”

PROFESOR: NELSON RUEDA ~ 1 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de A)

ESTUDIANTE DE MAESTRIA EN “ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES” (UN)

GUIA FACTORIZACION

Esta guía tiene como objetivo afianzar los conocimientos teórico-prácticos en los diferentes casos de factorización, para ello se darán en esta guía algunos ejercicios de factorización para complementar lo trabajado y explicado en clase, para cada caso de factorización se deberán realizar 10 ejercicios de práctica en casa. Esta guía será evaluada como trabajo de practica (actitudinal) y será considerado como trabajo de clase (20%).

Antes de iniciar con el proceso de factorización es importante revisar algunos elementos importantes que se han estudiado en periodos y grados anteriores.

Propiedades de la Potenciación:

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Exponente radical: Como se indica con la igualdad , la radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de un cierto orden de un número es equivalente a elevar a dicho número a la potencia inversa. Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación.

Ejemplo: =

Propiedades que no cumple la potenciación: No es distributiva con respecto a la adición y sustracción, es decir, no se puede distribuir cuando dentro del paréntesis es suma o resta:

No cumple la propiedad conmutativa: exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el

mismo valor o son equivalentes. En general

Tampoco cumple la propiedad asociativa:

Potencia de base 10: Para las potencias con base 10, el efecto será desplazar la coma decimal tantas posiciones como indique el exponente, hacia la izquierda si el exponente es negativo, o hacia la derecha si el exponente es positivo.

Ejemplos (derecha):

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Propiedades de la radicación:

Las leyes siguientes son verdaderas para los enteros positivos m y n, siempre que existan las raíces indicadas; es decir, siempre que las raíces sean números reales.

Es frecuente cometer errores cuando se trabaja con radicales, el más común de estos es:

PRODUCTOS NOTABLES

Producto notable Expresión algebraica Nombre (𝐚 + 𝐛)𝟐 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 Binomio cuadrado (𝐚 + 𝐛)𝟑 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 Binomio al cubo 𝐚𝟐 − 𝐛𝟐 (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) Diferencia de cuadrados 𝐚𝟑 − 𝐛𝟑 (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) Diferencia de cubos 𝐚𝟑 + 𝐛𝟑 (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) Suma de cubos 𝐚𝟒 − 𝐛𝟒 (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑏2) Diferencia cuarta

(𝐚 + 𝐛 + 𝐜)𝟐 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 Trinomio al cuadrado

COCIENTES NOTABLES

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FACTOR COMÚN Sacar factor común consiste en encontrar el elemento común a un conjunto de sumandos, una operación numérica a veces se simplifica sacando factor común para realizar la operación. Ten presente la propiedad distributiva y observa los ejemplos para ver cómo se usa el factor común.

EJEMPLO:

𝒂𝒃 + 𝒂𝒄 = 𝒂 (𝒃 + 𝒄)

El factor común es a; es el factor que está incluido en los dos términos; luego multiplicamos el factor común por lo que queda de los dos términos, es decir, al aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación nos debe dar como resultado de esta operación los dos términos iniciales, por tanto el término a no debe ser incluido dentro de los paréntesis.

EJEMPLO:

9𝒂𝑏𝒙𝟐 − 3𝒂𝟐𝑏3𝒙 + 12𝒂𝒙𝟐𝑧 = 𝟑𝒂𝒙(3𝑥𝑏 − 1𝑎𝑏3 + 4𝑥𝑧)

Buscamos inicialmente el factor común entre los números, para ello buscamos el Máximo Divisor Común entre los números, el menor número por el que podemos dividir el 9, 3, 12; este número es el 3, todos los números se pueden dividir por 3. Luego busco el factor común entre las letras (parte literal), es decir los factores que se repiten con su menor exponente en cada uno de los términos, estas son 𝒙 y 𝒂, los tres términos tienen a la vez 𝒙 y 𝒂, la z solo la encontramos en el tercer término y la b solo en el primero y segundo por lo tanto no son factores comunes. Es importante aclarar que cuando uno de los términos (en este caso el numero 3) es parte del factor común, se debe colocar entonces 1, para que al aplicar propiedad distributiva, se obtengo como resultado el mismo número que es factor común.

EJEMPLO:

45𝒂5𝒃4 + 60𝒂4𝒃5𝑐3 − 15𝒂3𝒃6 + 30𝒂3𝒃4𝑐5 =

Paso 1: Se extra el factor común. Para ello se halla el MCD (Máximo Común Divisor) de las cantidades y de los factores literales.

El MCD de los números es: 𝟑 ∙ 𝟓 = 𝟏𝟓

En la parte literal: MCD de las letras comunes con menor exponente es 𝒂𝟑𝒃𝟒

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Por tanto, el factor común de la expresión algebraica es 𝟏𝟓𝒂𝟑𝒃𝟒

Paso 2: Una forma de factorizar es dividir cada uno de los términos por el factor común (simplificar)

45𝒂5𝒃4 + 60𝒂4𝒃5𝑐3 − 15𝒂3𝒃6 + 30𝒂3𝒃4𝑐5 = 𝟏𝟓𝒂𝟑𝒃𝟒 �𝟒𝟓𝒂𝟓𝒃𝟒

𝟏𝟓𝒂𝟑𝒃𝟒+ 𝟔𝟎𝒂𝟒𝒃𝟓𝒄𝟑

𝟏𝟓𝒂𝟑𝒃𝟒− 𝟏𝟓𝒂𝟑𝒃𝟔

𝟏𝟓𝒂𝟑𝒃𝟒+ 𝟑𝟎𝒂𝟑𝒃𝟒𝒄𝟓

𝟏𝟓𝒂𝟑𝒃𝟒�

= 𝟏𝟓𝒂𝟑𝒃𝟒�𝟑𝒂𝟐 + 𝟒𝒂𝒃𝒄𝟑 − 𝒃𝟐 + 𝟐𝒄𝟓�

Recuerda que en cocientes de potencias de igual base se restan los exponentes. Al resolver producto se debe obtener la expresión inicial.

FACTOR COMÚN DE UN POLINOMIO (CASO ESPECIAL)

Esto sucede cuando el factor común no es un monomio, sino que puede ser un binomio, trinomio o polinomio. Para factorizar se utiliza el mismo procedimiento que en el caso anterior.

Para resolverlo de manera sencilla basta con tomar el factor común (a − b), este es el término que se repite en los términos dados se procede como en el caso anterior, es decir dividir los dos términos por el factor común, recuerda que cosas iguales en una división se cancelan, de cancelar los factores (a − b), queda m y n, los que se agrupan independientemente y este término multiplicado por el factor común (verificando la factorización) con seguridad nos da los términos iniciales.

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FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo. Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se encuentra a cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios, tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará más sencillo el resolver estos problemas.

EJEMPLO 1:

𝟐𝒂𝒙 + 𝟐𝒃𝒙 − 𝒂𝒚 + 𝟓𝒂 − 𝒃𝒚 + 𝟓𝒃 Ahora hay que agrupar estos términos en factores comunes (𝟐𝒂𝒙 − 𝒂𝒚 + 𝟓𝒂) + (𝟐𝒃𝒙 − 𝒃𝒚 + 𝟓𝒃)

𝒂(𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟓) + 𝒃(𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟓) Saco el factor común a cada de los términos agrupados

Observemos que los términos entre paréntesis son iguales, por tanto se convierten en factor común y la a y la b se agrupan por separado, así:

(𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟓)(𝒂 + 𝒃)

Luego: 𝟐𝒂𝒙 + 𝟐𝒃𝒙 − 𝒂𝒚 + 𝟓𝒂 − 𝒃𝒚 + 𝟓𝒃 = (𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟓)(𝒂 + 𝒃)

EJEMPLO 2:

b)y)(a(x b)y(ab)x(aby)(aybx)(ax

byaybxax

++++++++

+++

Agrupar en dos paréntesis

En cada paréntesis hacer factor común monomio luego factor común polinomio

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EJERCICIOS DE PRÁCTICA FACTOR COMUN

Recuerda que estos son los primeros ejercicios que debes resolver, cuando los tengas listos debes entregarlos, en una hoja bien ordenada y marcada con tu nombre, fecha y grupo, además debes conservar esta hoja en una carpeta para entregar todo los ejercicios de practica al final del periodo y calificarla (20% del periodo)

1. 𝟖𝒂 − 𝟒𝒃 + 𝟏𝟔𝒄 + 𝟏𝟐𝒅 =

2. 𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐𝒛 − 𝒚𝟒𝒛𝟐𝒙 − 𝟒𝒙𝟑𝒚𝟑 =

3. −𝒂𝟒𝒃𝟐𝒄 + 𝟐𝒃𝟑𝒂𝟐 − 𝟓𝒂𝟕𝒃𝟒𝒅 =

4. 𝟔𝒙𝒚𝟕 − 𝟐𝒙𝟓𝒚𝟑 + 𝒂𝒙𝟑𝒚𝟕 =

5. 𝒂𝟒𝒃𝟑𝒙 + 𝟓𝒂𝒃𝟒𝒚 − 𝟏𝟑𝒂𝟐𝒃𝟖𝒛 =

6. 𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟒 − 𝒙𝟖

7. 𝟏𝟕𝒂𝒙 − 𝟏𝟕𝒎𝒙 + 𝟑𝒂𝒚 − 𝟑𝒎𝒚 + 𝟕 𝒂𝒛 − 𝟕𝒎𝒛 =

8. 𝒎(𝒙 + 𝟐) − 𝒙 − 𝟐 + 𝟑(𝒙 + 𝟐) =

9. 𝟐𝒂𝒙 + 𝟐𝒃𝒙 − 𝒂𝒚 + 𝟓𝒂 − 𝒃𝒚 + 𝟓𝒃 =

10. 𝟒𝟑𝒙 − 𝟖

𝟗𝒙𝟑 + 𝟏𝟔

𝟏𝟓𝒙𝟕 − 𝟐

𝟑𝒙𝟓 =

Ayuda: http://www.youtube.com/watch?v=XvRwXCvZ-Lc&feature=related

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DIFERENCIA DE CUADRADOS Son llamados cuadrados perfectos aquellas expresiones algebraicas que tienen raíz cuadrada exacta, en este caso hablamos entonces de dos términos que se restan entre sí pero que además son cuadrados perfectos. Esta diferencia que caracteriza por tener la siguiente estructura: 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐. La diferencia de cuadrados perfectos se factoriza como el producto de los términos, uno como suma y otro como resta, en este tipo de expresiones de debe inicialmente encontrar las raíces cuadradas de los términos (expresiones algebraicas) así:

𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃)

√𝒂𝟐𝟐 √𝒃𝟐𝟐 Buscamos las raíces cuadradas de los términos

𝒂 𝒃 Raíces cuadradas de los dos términos

(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) Escribo las raíces de los términos como producto factorizado

Por propiedades de los radicales recuerda que decir √𝒂𝟐𝟐 = 𝒂𝟐 𝟐⁄ = 𝒂𝟏 = 𝒂, la expresión 𝟐 𝟐⁄ (exponente e índice de la raíz) se divide y el resultado es 1, es decir 𝒂𝟏 y tener esta expresión (𝒂𝟏) es lo mismo que tener solo 𝒂, pues aunque esta siempre tiene como exponente 1 no es necesario escribirlo. De la misma forma procedemos para hallar la raíz de 𝒃𝟐; Por propiedades de los radicales recuerda que

decir √𝒃𝟐𝟐 = 𝒃𝟐 𝟐⁄ = 𝒃𝟏 = 𝒃, la expresión 𝟐 𝟐⁄ (exponente e índice de la raíz) se divide y el

resultado es 1, es decir 𝒃𝟏 y tener esta expresión (𝒃𝟏) es lo mismo que tener solo 𝒃, pues aunque esta siempre tiene como exponente 1 no es necesario escribirlo. Para verificar que nos haya quedado bien factorizado aplicamos propiedad uniforme sobre el producto factorizado:

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EJEMPLO:

Factorizar: 𝟏 − 𝒚𝟐

𝟏 − 𝒚𝟐 = (𝟏 + 𝒚)(𝟏 − 𝒚)

√𝟏𝟐 �𝒚𝟐𝟐 Buscamos las raíces cuadradas de los términos √𝟏𝟐 = 𝟏 y para el segundo

�𝒚𝟐𝟐 = 𝒚𝟐 𝟐⁄ = 𝒚𝟏 = 𝒚 𝟏 𝒚 Raíces cuadradas de los dos términos

(𝟏 + 𝒚)(𝟏 − 𝒚) Escribo las raíces de los términos como producto factorizado.

Para verificar si esta expresión si cumple con ser producto de la factorización del término 𝟏 − 𝒚𝟐, debemos aplicar propiedad uniforme, como se explicó en el ejemplo anterior, así: (𝟏 + 𝒚)(𝟏 − 𝒚) = 𝟏 + 𝒚 − 𝒚 − 𝒚𝟐, en esta expresión resultante se cancelan los términos

+𝒚 − 𝒚 , por ser términos iguales con signos diferentes, al hacer esto me queda como resultado:

𝟏 − 𝒚𝟐 EJEMPLO:

Factorizar: 𝟐𝟓 − 𝟑𝟔𝒂𝟒

𝟐𝟓 − 𝟑𝟔𝒂𝟒 = (𝟓 + 𝟔𝒂𝟐)(𝟓 − 𝟔𝒂𝟐)

√𝟐𝟓𝟐 √𝟑𝟔𝒂𝟒𝟐 Buscamos las raíces cuadradas de los términos √𝟐𝟓𝟐 = 𝟓 y para el segundo;

en el numero √𝟑𝟔𝟐 = 𝟔 , y para las letras √𝒂𝟒𝟐 = 𝒚𝟒 𝟐⁄ = 𝒚𝟐 ; toda la

expresión √𝟑𝟔𝒂𝟒𝟐 = 𝟔𝒂𝟒 𝟐⁄ = 𝟔𝒂𝟐

𝟓 𝟔𝒂𝟐 Raíces cuadradas de los dos términos

(𝟓 + 𝟔𝒂𝟐)(𝟓 − 𝟔𝒂𝟐) Escribo las raíces de los términos como producto factorizado una con más y otra con menos. Al verificar me debe dar la expresión inicial, para hacerlo aplico propiedad uniforme sobre el producto

factorizado: (𝟓 + 𝟔𝒂𝟐)(𝟓 − 𝟔𝒂𝟐) = 𝟐𝟓 − 𝟑𝟎𝒂𝟐 + 𝟑𝟎𝒂𝟐 − 𝟑𝟔𝒂𝟒 , se cancelan los términos

azules por ser iguales con signos diferentes, luego el resultado es 𝟐𝟓 − 𝟑𝟔𝒂𝟒

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EJERCICIO DE PRACTICA DIFERENCIA DE CUADRADOS

Factorizar las siguientes expresiones y verificar los resultados obtenidos:

1. 𝒃𝟐 − 𝒕𝟐

2. 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐

3. 𝟒𝒂𝟐 − 𝟗

4. 𝟗𝒃𝟐 − 𝟏𝟔

5. 𝟏𝟔𝒂𝟒 − 𝟗𝒃𝟔

6. 𝟐𝟓 𝒙𝟐𝒚𝟒 − 𝟒𝒛𝟔

7. 𝟒𝟗 𝒙𝟐𝒃𝟒 − 𝟐𝟐𝟓

8. �𝟏𝟒� 𝒂𝟐 − 𝒃𝟔

9. � 𝟒𝟒𝟗� 𝒂𝟒𝒃𝟔 − 𝟏

𝟏𝟔

10. � 𝟗𝟏𝟔� 𝒙𝟐𝒚𝟒 − �𝟐𝟓

𝟑𝟔� 𝒂𝟔

Ayuda: http://www.youtube.com/watch?v=PaT2DdRhkMo&feature=related Ayuda: http://www.youtube.com/watch?v=tABhBMtBmSY

Factorizar 4a2 − 9 49x2b4 − 225 1 4 49

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SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Un cubo perfecto es aquella expresión cuya raíz cubica es exacta, para este caso hablamos de dos términos cúbicos dispuestos en forma de una suma o una resta 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 ó 𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 respectivamente.

Suma de cubos: Este producto notable al factorizarlo se obtiene del producto de los dos factores: el primero formado por la suma de las bases y el segundo factor formado por el cuadrado de la primera base, menos el producto de las dos bases más el cuadrado de la segunda base.

Resta de cubos: Es equivalente al producto de dos factores: donde el primer factor lo forma la diferencia de las bases; y el segundo factor por la suma del cuadrado de la primera base por el producto de las dos bases, más el cuadrado de la segunda base.

𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐) 𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 = (𝒂 − 𝒃)(𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐)

Para factorizar esta expresión debemos recordar los cocientes notables:

𝒂𝟑 + 𝒃𝟑

𝒂 + 𝒃= 𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

𝒂𝟑 − 𝒃𝟑

𝒂 − 𝒃= 𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

Para el caso de la suma y teniendo en cuenta el resultado de la división anterior se verifica que:

𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐)

Y en el caso de la resta y basándonos en el resultado de la división anterior se verifica que:

𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 = (𝒂 − 𝒃)(𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐)

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EJEMPLO:

Factorizar: 𝒂𝟑 − 𝒃 𝟑

𝒂𝟑 − 𝒃 = (𝒂 −𝟑 )(𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 +𝒃 𝒃 ) 𝟐

√𝒂𝟑𝟑 − √𝒃𝟑𝟑buscamos las raices cubicas de 𝒂𝟑 y 𝒃 ,𝟑 en el caso de la 𝒂𝟑 = √𝒂𝟑𝟑 = 𝒂𝟑 𝟑⁄ = 𝒂𝟏

para el caso de la 𝒃 =𝟑 √𝒃𝟑𝟑 = 𝒃 𝟑𝟑⁄ = 𝒃 𝟏

Recuerda que se busca un termino que multiplicado tres veces por si mismo de como resultado los terminos, estas raices son respectivamente 𝒂 y , los exponentes 1 no se colocan. 𝒃

Ya hemos encontrado las raices de los terminos 𝒂𝟑, 𝒃 ahora debemos factorizar la diferencia de 𝟑

cubos, para ello hallamos un termino corto que esta conformado por las raices encontradas (𝒂 − ) y 𝒃otro largo, constituido por un trinomio que se arma de la siguiente manera; el primer termino del trinomio la forma la primera raiz al cuadrado 𝒂𝟐, el segundo termino del trinomio lo constituye el producto de las dos raices (𝒂)(𝒃) 𝒂𝒃 y el tercer termino lo constituye la segúnda raiz encontrada =al cuadrado 𝒃 , ahora el trinomio quedaria asi (𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 +𝟐 𝒃 ). Con respecto a los signos el 𝟐

termino corto corserva el mismo signo menos (−) para la diferencia de cubos, y los terminos del trinomio todos son positivos, para el caso de la suma de cubos el termino corto conserva su signo (+) y los signos de los terminos son intercalados empezando con +. Ahora todo el termino factorizado nos quedaria así: 𝒂𝟑 − 𝒃 = (𝒂 −𝟑 )(𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 +𝒃 𝒃 ) 𝟐

EJEMPLO:

Factorizar: 𝟐𝟕𝒙𝟑 + 𝟖

𝟐𝟕𝒙𝟑 + 𝟖 = (𝟑𝒙 + 𝟐)(𝟗𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟒)

√𝟐𝟕𝒙𝟑𝟑 √𝟖𝟑

Buscamos las raíces cubicas de los términos 𝟐𝟕𝒙𝟑 y 𝟖, es decir la √𝟐𝟕𝒙𝟑𝟑 = 𝟑𝒙, iniciemos buscando la raíz cubica de 27 (√𝟐𝟕𝟑 ) es encontrar un número que multiplicado

tres veces por sí mismo dé como resultado 𝟐𝟕 , este número es 𝟑, también podemos

realizar la descomposición del termino en factores primos, es decir 𝟑𝟑 = (𝟑)( 𝟑)( 𝟑)= 𝟐𝟕.

Para la raíz de 𝒙𝟑, �√𝒙𝟑𝟑 � se procede igual que en la diferencia de cuadrados, recuerda que el

exponente de la letra se puede dividir con el índice de la raíz, así: √𝒙𝟑𝟑 = 𝒙𝟑 𝟑⁄ = 𝒙𝟏 por la tanto la

raíz de 𝒙𝟑 = 𝒙, porque 𝟑 𝟑⁄ = 𝟏, y el exponente uno no se coloca.

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Ahora para encontrar la raíz cubica de ocho �√𝟖 𝟑 � procedemos de la misma forma que para encontrar la raíz cubica de 27, es decir buscamos un número que multiplicado tres veces por sí mismo dé como resultado 8, tal como lo muestra la descomposición del

número en sus factores primos, tal número es 𝟐, es decir: 𝟐𝟑 = (𝟐)(𝟐)(𝟐) = 𝟖

Resumamos: ya encontramos las raíces de los términos √𝟐𝟕𝒙𝟑𝟑 = 𝟑𝒙; √𝟖𝟑 = , la factorización 𝟐de una suma de cubos perfectos está compuesta por un término corto, las raíces encontradas (𝟑𝒙 + ) y un término largo que está constituido por un trinomio, el primer término es la primera 𝟐raíz al cuadrado (𝟑𝒙)𝟐 = 𝟗𝒙𝟐, el segundo lo forma el producto de las dos raíces (𝟑𝒙)(𝟐 = 𝟔𝒙, y )el tercer término la segunda raíz al cuadrado 𝟐𝟐 = 𝟒 luego el trinomio queda constituido así: , (𝟗𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟒)

Todo el cubo factorizado nos quedaría así: 𝟐𝟕𝒙𝟑 + 𝟖 = (𝟑𝒙 + 𝟐)(𝟗𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟒)

EJERCICIOS DE PRACTICA CUBOS PERFECTOS

1. 1 + 𝑥3

2. 1 − 𝑎3

3. 𝑥3 + 𝑦3

4. 1000 − 𝑚3

5. 216 − 𝑥12

6. 27𝑎3 + 125𝑏3

7. 8𝑎3 − 64𝑏3

8. 64𝑥3𝑦6 + 216𝑧9

9. 512𝑥6 − 729𝑦3

10. 𝑎3𝑏3 − 𝑥6

Ayuda: http://www.youtube.com/watch?v=LZE5eWFeAo4&feature=relmfu

Ayuda: http://www.youtube.com/watch?v=yEeYghrUWa4&feature=related


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