Guia de Cálculo II Pág.
Ciudad Ojeda Agosto 2010 Prof. Pedro R. Guédez
1
UNIVERSIDAD “ALONSO DE OJEDA”
FACULTAD DE INGENIERIA
CIUDAD OJEDA - ZULIA
Guia de Cálculo II
EL CÁLCULO DESARROLLA TU MENTE TRANSFORMA TU VIVIR
b
a (Disciplina + Esfuerzo + Consagración)dv = Profesionales Altamente Capacitados
“NADIE ME ENSEÑA SOLO YO APRENDO” ALBERT EINSTEIN
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CONTENIDO
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................. 3 Antiderivada .................................................................................................................. 5 Tabla de Integrales ......................................................................................................... 5 Tabla de Derivadas ......................................................................................................... 6 Tabla de Identidades Trigonométricas ............................................................................... 6 Integrales Inmediatas ..................................................................................................... 7
Ejemplos Ilustrativos ............................................................................................. 7 EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................... 10
Técnicas De Integración ................................................................................................ 11 Integración por Sustitución Elemental o Cambio de Variable .............................................. 11
Ejemplos Ilustrativos ........................................................................................... 11 EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE SUSTITUCIÓN ELEMENTAL O CAMBIO DE VARIABLE 17
Integración por partes. .................................................................................................. 18 Ejemplos Ilustrativos:.......................................................................................... 18 EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE INTEGRACIÓN POR PARTES ................................. 23
Integración de Potencias del Seno y el Coseno ................................................................. 24 EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE INTEGRACION DE POTENCIAS DEL SENO Y DEL
COSENO ............................................................................................................ 30 Integración de Potencias de la Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante ......................... 31
EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE INTEGRACION DE POTENCIAS DE LA TAN, COT, SEC Y
CSC .................................................................................................................. 39 Integración Por Sustitución Trigonométrica ...................................................................... 40
EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................... 43 Integrales que contienen ax2+bx+c (Completación de Cuadrados) ...................................... 45
EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................... 48 Integración De Funciones Racionales (Casos I Y II) ........................................................... 49
EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES .......... 52 Integración De Funciones Racionales (Casos III y IV) ........................................................ 54
EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES .......... 59 Integral Definida ........................................................................................................... 61
EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE INTEGRAL DEFINIDA .......................................... 63 Longitud de Arco de una Curva Plana .............................................................................. 64
EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................... 66 Área bajo una curva ...................................................................................................... 69 Área entre dos curvas ................................................................................................... 75
EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................... 81 Bibliografía .................................................................................................................. 90
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INTRODUCCIÓN
¿Por qué la resolución de problemas?
El hombre en su quehacer práctico dentro de la sociedad es un “solucionador” de
problemas lo cual lo ubica por encima de los animales más inteligentes del mundo entero y
dentro de su entorno se hace más importante, ser capaz de resolver problemas, que obtener o
acumular y manejar una simple información. El lenguaje matemático se universaliza cada vez
mas, haciéndose más preciso y exacto, y menos propenso a ambigüedades por esto el estudio
de la Matemática nos debe llevar por el camino del desarrollo de la inteligencia y
autorrealización hacia un mundo cada vez mas humano y perfecto.
La presente guía constituye un recurso didáctico para ser utilizado en el aprendizaje del
Cálculo II, aquí se proponen ejercicios que abarcan todos los aspectos considerados como
fundamentales en todo el curso de esta cátedra.
Mi motivación principal al realizar esta guía es ofrecer al estudiante, que cursa su nivel
universitario; una compilación de ejercicios que conforman el background para las asignaturas
Cálculo I, II, III y IV así como también para las todas asignaturas del área numérica. La misma
es producto de la recopilación de ejercicios interesantes a través de la investigación e
integración de textos de diversos autores y sobre todo del mí propio intelecto.
Los propósitos de la esta guía se centran en:
Propiciar la independencia intelectual del educando a través de la resolución de
problemas que le permitan desarrollar sus habilidades para aprender a autorregular
y controlar sus pensamientos y acciones.
Generar situaciones que propicien en el estudiante la adquisición de conocimientos,
habilidades, actitudes y valores relativos al área intelectual, científica, tecnológica y
humanística.
Promover en el educando el desarrollo de la investigación, la creatividad, el auto
aprendizaje, la transferencia de conocimientos habilidades y destrezas y la formación
de valores favorables para el desempeño como estudiante, futuro profesional y
generación de relevo en una sociedad democrática y en un mundo cada vez mas
globalizado.
Propiciar en el estudiante el desarrollo del autoestima e incentivación que estimulen
el aprendizaje efectivo de la Matemática.
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Apreciado estudiante para que pueda serte provechoso el contenido de esta guía te
aconsejo resolver paso a paso por lo menos el 80% de los ejercicios propuestos en cada grupo.
Los problemas y ejercicios se han distribuido y presentado con una jerarquización en su
nivel de dificultad de resolución de los más sencillos y significativo a lo más complejo e
interesante.
La realización ordenada de los ejercicios presentados en este material auxiliar conlleva al
afianzamiento de los hábitos de estudio no solo en Matemática sino también en todas las
asignaturas. Otro aspecto que considero fundamental en este trabajo es la abundante y variada
cantidad de ejemplos ilustrativos y ejercicios propuestos que se presentan agrupados por
objetivos y/o contenidos.
Estoy plenamente convencido que el uso adecuado de esta guía ayudara de forma
determinante y definitiva a los alumnos a superar las debilidades detectadas en los contenidos
matemáticos fundamentales.
Someto esta versión de la guía al criterio de mis colegas y alumnos con la finalidad de
realizar las modificaciones necesarias y enriquecerla con sus valiosos e importantes aportes a
través de sus criticas constructivas y poder así mejorarla para que pueda llevar por el camino
de la excelencia intelectual y profesional a los alumnos que la utilicen adecuadamente.
Para finalizar quiero expresar mi mas alto nivel de agradecimiento a las autoridades de
la Universidad Alonso de Ojeda, a todo el personal que labora en esta ilustre universidad y a los
estudiantes, por brindarme la excelente oportunidad de realizar una labor dirigida a
engrandecer nuestro país al aportar mi humilde trabajo formando la generación de relevo que
enaltecerá nuestra cultura e idiosincrasia.
Pedro R. Guédez L
Prof. de Matemática
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Antiderivada
Definición: Antiderivada Una función F(x) se llama antiderivada de una función f(x), en un
intervalo I, si F’(x) = f(x), valor de x en el intervalo I Ejm.
F(x) = 4x3 + x2 + 5 f’(x) = 12x2 + 2x
G(x) = 4x3 + x2 - 8 g’(x) = 12x2 + 2x
A(x) = 4x3 + x2 + C h’(x) = 12x2 + 2x
Teorema: Si F y G son dos funciones tales que f’(x) = g’(x) x I entonces C tq F(X) =
G(X) + C ∀ x ∈ I
Definición: Antidiferenciación es el procedimiento por medio del cual se determinan todas las
antiderivadas de una función dada. El símbolo ∫ denota la operación de antidiferenciación y se
escribe:
C)x(Fdx )x(F
Dos propiedades básicas de la antidiferenciación.
1.- dx )x(fadx )x(af siendo a una constante
2.- dx (x)f dx (x)f dx (x)f dx (x) f (x)f (x)f n21n21
Tabla de Integrales
1. vduuvdvu ; Integración por Partes 2. C)u(Tandu)u(Sec2
3. Cudu 4. C)u(Cotdu)u(Csc2
5. Ckukdu Donde k es una constante 6. C)u(Secdu)u(Tan)u(Sec
7. C1n
uduu
1nn
; para n -1 8. C)u(Cscdu)u(Cot)u(Csc
9. CuLnu
du 10. C
au
auLn
a2
1
au
du22
; ( u2 > a2 )
11. Cedue uu 11. Cau
auLn
a2
1
ua
du22
; ( a2 > u2 )
13. CaLn
adua
uu ; donde a>0 y a 1 14. C
a
uarcSen
ua
du
22
; donde a>0
15. C)u(Cosdu)u(Sen 16. Ca
uarcSec
a
1
auu
du
22
; donde a>0
17. C)u(Sendu)u(Cos 18. Ca
uarcTan
a
1
ua
du22
19. C)u(SecLndu)u(Tan 20. CauuLnau
du 22
22
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21. C)u(SenLndu)u(Cot 22. Cu)u(Tandu)u(Tan2
23. C)u(Tan)u(SecLndu)u(Sec 24. Cu)u(Cotdu)u(Cot2
25. C)u(Cot)u(CscLndu)u(Csc
26. Ca
uarcSen
2
aua
2
uduua
22222
27. CauuLn2
aau
2
uduau 22
22222
Tabla de Derivadas
1. uDnu)u(D x1nn
x 2. uD u Cos )u Sen(D xx 3.
2
xx
u1
uD )u arcSen(D
4. vDuD)vu(D xxx 5. uD u Sen- )u Cos(D xx 6. 2
xx
u1
uD - )u arcCos(D
7. uvDvuD)uv(D xxx 8. uD uSec )u Tan(D x2
x 9. 2
xx
u1
uD )u arcTan(D
10. 2
xxx
v
vuDuvD)
v
u(D
11. uD uCsc )u Cot(D x
2x 12. 2
xx
u1
uD- )u arcCot(D
13. uDe)e(D xuu
x 14. uD Cot u Csc )u Csc(D xx 15. 1uu
uD )u arcSec(D
2
xx
16. uD Ln(a) a)(aD xuu
x 17. uD u Tanu Sec )u Sec(D xx 18. 1uu
uD - )u arcCsc(D
2
xx
19. u
uDLn(u)D x
x
Tabla de Identidades Trigonométricas
1. 1)x(Sen)x(Cos 22 2. )x(Sen)x(Cos)x2(Cos 22
3. )x(Tan1)x(Sec 22 4. (x) Cos)x(Cos )x(Sen)x(Sen
5. )x(Cot1)x(Csc 22 6. (x) Cot)x(Cot )x(Tan)x(Tan
7. 1)x(Csc)x(Sen 8. (x) Csc)x(Csc )x(Sec)x(Sec
9. 1)x(Sec)x(Cos 10. co
h)(Csc
h
co)(Sen
h = Hipotenusa
co = Cateto Opuesto
ca = Cateto Adyacente
11. 1)x(Cot)x(Tan 12. ca
h)(Sec
h
ca)(Cos
13. )x(Cos
)x(Sen)x(Tan 14.
co
ca)(Cot
ca
co)(Tan
h co
ca
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7
15. )x(Sen
)x(Cos)x(Cot 16. x nm Cosx nm Cos
2
1nx Sen mx Sen
17. )x2(Cos12
1)x(Sen2 18.
x nm Cosx nm Cos2
1nx Cos mx Cos
19. )x2(Cos12
1)x(Cos2 20. x nm Senx nm Sen
2
1nx Cos mx Sen
21. )x(Cos)x(Sen2)x2(Sen 22. x nm Senx nm Sen2
1nx Sen mx Cos
Integrales Inmediatas
Ejemplos Ilustrativos
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular dxx3 4
dxx3 4
Cx5
3
C14
x3
dxx3
5
14
4
4 533x dx x C
5
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular dxx
13
dxx
13
Cx2
1
C2
x
C13
x
dxx
2
2
13
3
3 2
1 1dx C
x 2x
Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular dxx x223 23
dxx x223 23
23 3
113
111
3
22 x x dx
22 x dx
22 xC
111
3
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8 14
322 xC
14
3
66
14
143
143
x C
33x C
7
1433 2 3
3322x x dx x C
7
Ejemplo Ilustrativo 4 Calcula dx)x8x32(x2 322
dx)x8x32(x2 322
2 4 5
2 4 5
2 1 4 1 5 1
3 5 6
3 5 6
3 3 2
(4x 6x 16x )dx
4 x dx 6 x dx 16 x dx
4 x 6 x 16 xC
2 1 4 1 5 1
4 6 16x x x C
3 5 6
4 6 8x x x C
3 5 3
2x 20x 9x 10x C
15
2 2 3 3 3 222x (2 3x 8x )dx x 20x 9x 10x C
15
Ejemplo Ilustrativo 5 Calcula dy y
)1y2y( 24
dy y
)1y2y( 24
4 2
1 1 12 2 2
14 1/2 2 1/2 2
37 12 2 2
37 12 2 2
7 3 11 1 1
2 2 2
9 5 12 2 2
y 2y 1 dy
y y y
y 2y y dy
y 2y y dy
y dy 2 y dy y dy
y 2 y yC
7 3 11 1 1
2 2 2
y 2y yC
9 5 1
2 2 2
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9
9 5 12 2 2
9 52 2 1
2
14 22
2y 2 2y 2yC
9 5 1
2y 4y2y C
9 5
2y 5y 18y 45 C
45
4 2
14 22
(y 2y 1) 2 dy y 5y 18y 45 C
45y
Ejemplo Ilustrativo 6 Calcula 3Sen(t) - 2Cos(t) dt
dt 2Cos(t) - 3Sen(t)
C)t(sen2)tcos(3
dt Cos(t)2 - Sen(t)dt3
3Sen(t) - 2Cos(t) dt 3cos(t) 2sen(t) C
Ejemplo Ilustrativo 7 Calcula 2Csc ( ) Cot( ) 2Sec ( ) d
2Csc ( ) Cot( ) 2Sec ( ) d
2Csc ( ) Cot( )d 2 Sec ( )d
Csc ( ) 2Tan( )
2Csc ( ) Cot( ) 2Sec ( ) d Csc ( ) 2Tan( )
Ejemplo Ilustrativo 8 Calcula
dx)x(Cot 3
(x) Cot
3
33 Cot(x) dx
Cot (x)
)x(sen)xsec(Ln3
)x(senLn)xsec(Ln3
C)x(senLn3)xsec(Ln3
dx)x(Cot3dx)x(Tan3
dx)x(Cot 3)x(Tan3
3
3 Cot(x) dx 3 Ln sec(x) sen(x)Cot (x)
Ejemplo Ilustrativo 9 Calcula
x x
2
32 e 4 dx
Cos (x)
x x
2
32 e 4 dx
Cos (x)
2 x x
2 x x
xx
3Sec (x) 2 e 4 dx
3 Sec (x)dx 2 e dx 4 dx
43Tan(x) 2e C
Ln4
xx x x
2
3 42 e 4 dx 3Tan(x) 2e C
Ln4Cos (x)
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EJERCICIOS PROPUESTOS
INTEGRACIÓN INMEDIATA
Integral Respuesta Integral Respuesta
1. dxx3 2 Cx3 2.
dx3x5x 2
3
Cx3x3
10x
5
2 23
25
3. dxX
13
Cx2
1 2 4. dy7y
C7Ln
7y
5. 3 x
dx Cx
2
3 32
6. dy 3y2y 23
Cy4
3y
3
1 46
7. dxx3 32
Cx5
9 35
8. d)(Tan3Cot2 C)(Cos)(SenLn 32
9. x
dx Cx2 10. )x(Sen
dx2
C)x(Cot
11.
dyy3y5 41
2 Cy4y3
5 43
3 12. )u(Cos
du C)u(Tan)u(SecLn
13.
dxX
x2x4 2
Cx4x2 2 14. )t(Cos
dt)t(Sen C)t(SecLn
15. dxax C3
axx2 16. dx1x2x
2
2
4 34 xx x C
3 2
17.
dx
X
2
2
x2
2
CX
2
6
x3
18.
dxX
5x6x3
CxLn5x63
x3
19. t
dt CtLn 20. d)(Cos)(Sec3 C)(Tan
21. dyey
Cey 22.
dx5
X
3
x
223
Cx5x
3
x
12
23. dxx3 4 Cx5
3 5 24. dt tt232
Ct3
1tt3 32
25. duu5 23
Cu2 25
26. dx1xx Cx3
2x
5
2 23
25
27. dxx103 2
Cx6 35
28.
duuu 2
3
Cu2
1u
5
2 225
29. dxxx6 32
Cx5
9 310
30. dxx
1x
3
3
Cx
2
3x
4
3 32
34
31. dx e e6 x23 x2
Cex 32. dx xx4 23
Cx3
1x 34
33. dx 5x4x6x4 23
Cx5x2x2x 234
34.
dxx
4x4x2
Cx8x3
8x
5
2 21
23
25
35. dttCos2t Sen3 C)t(Sen2)t(Cos3
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36. d)(Tan3Cot2 22 C)(Tan3)(Cot2
37. dt)t(TantSec5tCsc3 2
C)t(Sec5)t(Cot3
Técnicas De Integración.
Integración por Sustitución Elemental o Cambio de Variable
Esta técnica se usa para integrar expresiones que surgen de la derivación por la regla de la
cadena. La técnica consiste como su nombre lo indica en cambiar la variable de tal forma que
dicho cambio transforme la integral original en una integral mas sencilla o menos complicada
para integrar.
Ejemplos Ilustrativos
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular d)(4 Cos
d)(4 Cos d)Cos(4
Hacemos 4 =t4
dtddtd4
C )t(Sen4
1
dt)Cos(t4
1
4
dt)Cos(t
1Cos (4 )d Sen(t) C
4
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular x
x
e -Sen(x) dx
e +Cos(x)
Cambio de variable:
Sea x xe +Cos(x) = r e -Sen(x) dx = dr que al sustituir en la integral original se obtiene:
x
x
e -Sen(x) dx
e +Cos(x)
xdrLn r C Ln e +Cos(x) C
r
xx
x
e -Sen(x) dx Ln e +Cos(x) C
e +Cos(x)
Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular dyy413
dyy413 dyy41 31
(A)
Cambio de variable
Sea 1-4y=u -4dy = du 4
dudy
Sustituyendo u y dy en (A) tenemos
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13
duu
4
1u du
4
43
43
1 uC
44
3
3u C
16
Volviendo a la variable original “y” Quitando el cambio de variable
Cy4116
3
Cy4116
3
3 4
34
4
333
1 4y dy 1 4y C16
Ejemplo Ilustrativo 4 Calcular dx 1) - (x x 1032
dx 1) - (x x 1032 dxx1) - (x 2103 (A)
Cambio de variable
Sea 1 -x3 = v 3x2dx = dv 3
dvdxx2
Sustituyendo v y dv en (A) se tiene
C11
v
3
dvv
11
10
Quitando el cambio de variable se tiene 3 11(x 1)
C11
3 112 3 10 (x 1)
x (x - 1) dx C11
Ejemplo Ilustrativo 5 Calcular
ds13s
s
2
ds13s
s
2
2
12 13s
sds
Haciendo 3s2+1 = x 6
dxsdsdxsds6
12
dx
6
x
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12
12
11
2
1 dx
6 x
1x dx
6
1 xC
161
2
12
12
1 xC
16
2
1x C
3
Volviendo a la variable original
C13s3
1
C 13s3
1
2
21
2
2
2
s 1ds 3s 1 C
33s 1
Observe que el ejercicio anterior se puede realizar haciendo el cambio de
variable 3s2+1 = x2 lo dejo como ejercitación al lector. ¿Se obtendrá el
mismo resultado?
Ejemplo Ilustrativo 6 Calcular
dxCos(x)) (1
(x) 4Sen2
dxCos(x)) (1
(x) 4Sen2
2Cos(x)) (1
dx (x) Sen4
Hacemos 1+Cos(x) = u -Sen(x) dx = du Sen(x) dx = -du
2
2
1
du4
u
4 u du
u4 C
1
4C
u
4C
1 Cos(x)
2
4Sen (x) 4dx C
1 Cos(x)(1 Cos(x))
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Ejemplo Ilustrativo 7 Calcular dx (2x)) Cot 2x) (Tan( 2
Desarrollando el producto notable 2(2x)) Cot 2x) (Tan( se tiene
2(2x)) Cot 2x) (Tan(
(2x)Csc(2x)Sec
22-(2x)Csc(2x)Sec
1-(2x)Csc21-(2x)Sec
(2x)Cot 12 (2x)Tan
(2x)Cot Cot(2x) 2Tan(2x) (2x)Tan
22
22
22
22
22
Asi la integral original se transforma en
dx (2x)) Cot 2x) (Tan( 2 dx (2x)) Csc 2x) ((Sec 22
Si cambiamos 2x por se tiene
2x = 2
ddxddx2
2
d ))( Csc )((Sec 22
C)(Cot)(Tan2
1
d ))( Csc )d((Sec2
1 22
Quitando el cambio se tiene finalmente
C)x2(Cot)x2(Tan2
1
2 1(Tan(2x) Cot (2x)) dx Tan(2x) Cot(2x) C
2
Ejemplo Ilustrativo 8 Calcular
2
2
x Ln(x +1) dx
x +1
Cambio de variable:
Sea 2
2 2
2x x dvLn(x +1) = v dx dv dx
2x +1 x +1 sustituyendo en la integral
original se obtiene:
2
2
x Ln(x +1) dx
x +1
2
2
xLn(x +1) dx
x +1
dvv
2
2
1v dv
2
1 vC
2 2
2 2
2
1Ln x +1 C
4
1Ln x +1 C
2
2
2
2
x Ln(x +1) 1 dx Ln x +1 C
2x +1
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Ejemplo Ilustrativo 9 Calcular arcSen(x)
2
e +x dx
1-x
La integral original se puede expresar como sigue:
arcSen(x)
2
e +x dx
1-x
arcSen(x)
2 2
2 2
I1 I2
e x+ dx
1-x 1-x
x xdx dx
1-x 1-x
Resolviendo estas dos integrales por separado se obtiene:
arcSen(x)
2
eI1 dx
1-xpara I1 el cambio de variable será:
2
dxarcSen(x) u du
1 x, por lo cual
arcSen(x)
2
arcSen(x)
2
u
u
1
arcSen(x)
1
eI1 dx
1-x
dxI1 e
1-x
I1 e du
I1 e C
I1 e C
2
xI2 dx
1-xpara I2 el cambio de variable será:
2 dv1-x v -2xdx dv xdx=
2, asi tenemos que
2
2
xI2 dx
1-x
1I2 xdx
1-x
12
1 dvI2
2v
1 1I2 dv
2 v
-12
1I2 v dv
2
1I2
2
2 12
2v C
1
12
2
2
2
2
I2 v C
I2 v C
I2 1-x C
La integral original es la suma de I1 e I2:
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16
arcSen(x)
2
e +x dx I1 I2
1-x
arcSen(x) 2
1 2
arcSen(x) 2
1 2
arcSen(x) 2
e C 1-x C
e 1-x C C
e 1-x C
siendo C1 + C2 = C
arcSen(x)arcSen(x) 2
2
e +x dx e 1-x C
1-x
Ejemplo Ilustrativo 10 Calcular 12
3 2x 2 x dx
La integral original se puede expresar como sigue:
12
3 2x 2 x dx
12
2 2x 2 x xdx (A)
Haciendo el cambio de variable:
2
2 2
12
12 13
1312
13 14
13
12-x =u -2xdx=du xdx=- du
2
Como 2-x =u x =2-u que al sustituir en (A) la integral original se obtiene:
12 u u du
2
12u u du
2
12 u du u du
2
1 2 1u u C
2 13 14
1 1u 28 13u C
2 182
132 2
132 2
132 2
volviendo a la variable x se tiene:
12-x 28 13(2-x ) C
364
12-x 28 26 13x C
364
12-x 2 13x C
364
12 13
3 2 2 21x 2 x dx x -2 13x 2 C
364
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17
EJERCICIOS PROPUESTOS
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN ELEMENTAL O CAMBIO DE VARIABLE
Integral Respuesta Integral Respuesta
1. dyy41 Cy416
12
3 2.
dx
e3
ex2
x2
Ce3Ln2
1 x2
3. dxx263 Cx268
33
4 4.
3 2
4
31
r
dr2r
C2r
5
35
31
5. dx9xx 2 C9x3
1 23
2 6. dxx)3
1Sen( C
3
x3Cos-
7. dxx4x3 2 Cx4 23
2 8. dx)Sen(x6x 32 C)(x2Cos- 3
9. dx1x2x62 72 1x2
28
1 10. dt)tCos(4t
2
1 2 Ct4Sen16
1 2
11.
32 1x
xdx
C
1x4
122
12. dr)(rSecr 322 CrTan
3
1 3
13. dxx49x53 22 Cx49
8
3 35
2 14. d)(2Csc2 C)Cot(22
1-
15. dx4x4x 34
2 C2x11
33
11 16. dx)x2(Cos2Sen(2x) C)x2(Cos2
3
12
3
17. dx5x3x 54 C5x345
2 35 18. dx)x(Cose )x(Sen
Ce)x(Sen
19.
54
3
y21
dyy
44y2132
1
20. dy3y Cot 3y yCsc 22 C3y Csc6
1- 2
21. 4x1
xdx2 C)x(arcSen 2 22. dxSen(x)2 Cos(x)
5 C)x(Sen26
1 6
23. dx4x33 C4x34
13
4 24.
)x(Tan9)x(Cos
dx
22 C
3
)x(TanarcSen
25. 2x
dx
x3
11 C
x3
112
23
26. 2))x(Cos1(
dx )x(Sen4 C
)x(Cos1
4
27.
323
2
1x2x
dxx8x6
C
1x2x
1223
28. dxx1
x1Cos
Cx1sen2
29. dxx3x 541
3 C12x53x135
4 345
3
30.
7r1
rdr2
616r 1 1 r C
15
31.
32
y3
dy3y Cy321y
4
33
1
32. 3t
tdt C3t6t
3
22
1
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18
33. dxxx23 2 Cx236x6x535
12
32
34. dxx2x1223 Cx22x13
364
1 1322
Integración por partes.
Entre las aplicaciones mas importantes del método de integración por parte se encuentra la
integración de :
a) Diferenciales que contienen productos.
b) Diferenciales que contienen logaritmos
c) Diferenciales que contienen Funciones Trigonométricas Inversas
Si u y v son funciones de la misma variable independiente se tiene que ∫udv = uv - ∫ vdu la
cual es llamada fórmula de integración por partes. Esta fórmula expresa la ∫udv en términos
de otra integral ∫vdu la cual es mas fácil de evaluar.
Para evaluar cualquier integral por este método se debe elegir un cambio para u y dv, por lo
general es recomendable que el dv sea el factor más complicado del integando. Otra
recomendación para la elección de u es la siguiente regla llamada por sus siglas, regla LIATE
L = Logarítmica.
I = Trigonométrica Inversa
A = Algebraica
T = Trigonométrica Directa
E = Exponencial
Ejemplos Ilustrativos:
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular dx Senx x
Tomando en cuenta la regla LI(A)TE se hace
dxdu
xu
)x(Cosv
dx)x(Sendv
dx)x(Sendv
Sustituyendo en la formula de integración por partes se tiene:
dx Senx x
C)x(Sen)x(Cos
dx)x(Cos)x(Cos
duvvu
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 2
ln xdx
x
Tomando en cuenta la regla (L)IATE se hace
dxu Ln(x) du
x
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19
2 1
2 2
dx dxdv dv dv x dx v x
x x
1v Observe que aqui no se consideró la constante C ya que al final
x
se tomará una constante única
Sustituyendo en la fórmula de integración por partes se tiene:
vduuvdvu
2
ln xdx
x
2
1 1 dxLn(x)
x x x
Ln(x) dx observe que esta integral se resolvio al inicio
x x
Ln(x) 1C
x x
11 Ln(x) C
x
2
lnx 1dx 1 Ln(x) C
xx
Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular dx Cosx ex
Siguiendo la regla LIA(T)E para seleccionar el cambio para u se tiene que la
primera prioridad es Trigonométrica por lo que:
dx)x(Sendu
)x(Cosu
x
x
x
ev
dxedv
dxedv
Sustituyendo en la formula de integración por partes se tiene:
vduuvdvu
xe Cos(x) dx
x x
x x
e Cos(x) e Sen(x)dx
e Cos(x) e Sen(x)dx (A)
Para resolver la integral dx)x(Senex usamos también la técnica de integración
por partes, para lo cual aplicamos la regla LIA(T)E
dx)x(Cosud
)x(Senu
x
x
x
ev
dxevd
dxevd
Por lo cual
x x x
udv u v v du
e Sen(x) dx e Sen(x) e Cos(x)dx (B)
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20
Sustituyendo la expresión (B) en la expresión (A)se tiene: x x x x
x x
e Cos(x) dx e Cos(x) e Sen(x) e Cos(x)dx Observe que esta integral es
la integral original
e Cos(x) dx e Cos(x)dx
x xe Cos(x) e Sen(x)
x x x
x x12
2 e Cos(x)dx e Cos(x) e Sen(x)
e Cos(x)dx e Cos(x) Sen(x) C
Ejemplo Ilustrativo 4 Calcular xarctg(x)dx
Siguiendo la regla L(I)ATE se tiene que el cambio mas indicado para u es
Trigonométrica inversa por lo que:
2
u arctg(x)
dxdu=
x +1
2
dv xdx
dv= xdx
1v x
2
Luego la integral original al aplicar la formula de integración por partes quedará
como sigue:
xarctg(x)dx
22
2
22
2
22
2
22
2 2
2
2
2
2
u v v du
1 1 xx arctg(x) dx
2 2 x 1
1 1 xx arctg(x) dx
2 2 x 1
1 1 x 1 1x arctg(x) dx
2 2 x 1
1 x 1 1x arctg(x) dx
2 x 1 x 1
1 1x arctg(x) 1 dx
2 x 1
1 1x arctg(x) dx dx
2 x 1
La última integral de la derecha se resuelve por la fórmula No. 18 del formulario
ubicado en la Pág. 05 de esta guía.
21xarctg(x)dx x arctg(x) x arctg(x) C
2
Ejemplo Ilustrativo 5 Calcular dxx-1
x
2
3
dxx-1
x
2
3
Observe que:
dxx-1
xx
2
2
Utilizando la regla LI(A)TE para seleccionar el cambio tiene que la primera prioridad
es Algebraica por lo que:
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21
xdx2du
xu 2
2
2
2
xdxdv
1 x
xdxdv
1 x
xdxv (A)
1 x
Para resolver la integral (A) se hace el cambio de variable
2 dt1 x t 2xdx dt xdx
2
Por lo que:
2212
1
21
2x1tt
2
1
t
2
1dtt
2
1
t
2
dt
x1
xdx
Lo cual se simplifica en:
2
2x1
x1
xdx
Sustituyendo el resultado anterior en la expresión (A) se obtiene que: 2x1v
Quedando la integral original al aplicar la formula de integración por partes como
sigue:
dxx-1
x
2
3
)B(
222
222
xdx2x1x1x
xdx2x1x1x
duvvu
La integral (B) será resuelta en forma análoga a la integral (A) por un cambio de variable siendo w=1-x2 dw=-2xdx así
3223
223
21
2 x13
2)x1(
3
2w
3
2dwwdwwxdx2x1
Volviendo a la expresión (B) se tiene:
udv uv vdu
dxx-1
x
2
3
2 2 2x 1 x 1 x 2xdx
2 2 2
(B)
x 1 x 1 x 2xdx
32 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2x 1 x 1 x C
3
21 x x 1 x C
3
2 21 x x x C
3 3
1 21 x x C
3 3
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22
3
2 2
2
x 1dx 1 x x 2 C
31-x
Ejemplo Ilustrativo 6 Calcular 2x Sen (3x)dx
2x Sen (3x)dx x 1 2 1 C os(6x) dx
1x xC os(6x) dx
2
2
I1
1xdx xC os(6x)dx
2
1 1xdx xC os(6x)dx
2 2
x 1xC os(6x)dx
4 2
La integral I1 se resuelve usando el metodo de integración por partes
Siguiendo la regla LI(A)TE se tiene que el cambio mas indicado para u es
Trigonométrica inversa por lo que:
u x
du=dx
dv C os(6x)dx
dv C os(6x)dx
6x = z
6dx = dz
dz dx =
6
dzdv C os(z)
6
1dv C os(z)dz
6
1v = Sen(z)
6
1v Sen(6x)
6
Resolviendo la integral I1 al aplicar la formula de integración por partes quedará
como sigue:
I1
1I1 xCos(6x)dx
2
1 xSen(6x) 1I1 Sen(6x)dx
2 6 6
1I1 xSen(6x) Sen(6x)dx
12
dr 6x = r 6dx = dr dx =
6
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1 drI1 xSen(6x) Sen(r)
12 6
1 1I1 xSen(6x) Sen(r)dr
12 72
1 1I1 xSen(6x) Sen(6x)dr
12 72
1 1I1 xSen(6x) Cos(6x) Sustituyendo en (A)
12 72
2x Sen (3x)dx 2
2
2
x 1 1xSen(6x) Cos(6x) C
4 12 72
x 1 1xSen(6x) Cos(6x) C
4 12 72
118x 6xSen(6x) Cos(6x) C
72
2 21x Sen (3x)dx 18x 6xSen(6x) Cos(6x) C
72
EJERCICIOS PROPUESTOS
INTEGRACIÓN POR PARTES
Integral Respuesta Integral Respuesta
1. dxxe x3 C3
1xe
3
1 x3
2. dxxLn C1)- x (Ln x
3. dx x Sen x C x Cos x - x Sen 4.
dx
1x
xe2
x
C1x
ex
5. dxx
xLn2
C1xLnx
1 6.
23 x
22
x edx
x 1
2x
2
eC
2 x 1
7. dxex x2 C2 2x- xe 2x 8.
dxx1
x
2
3
cx-12x3
1 21
22
9. dxex x2 C2x2xe 2x 10.
dxex2x3 C1xe
2
1 2x2
11. dx 3x Sen x 2 C6x Cos 72
1-
12
6x Sen x-x
4
1 2
12. dy y Sec y 2 C y CosLn y Tany
13. dx x) Ln(Cos x Sen C x CosLn-1 x Cos
14. dx x Cos ex C x Senx Cose
2
1 x
15. dx 2
x Sen x C
2
x Cos 2x -
2
x 4Sen
16. dxxLn2
C2xx Ln 2x- xLn x 2
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17. dx x Csc x 2 Cx SenLn x Cot x-
18. dx x arcTan x Cxx arcTan1x2
1 2
19. dxxLn Sen CxLn CosxLn Sen2
x
20. dxxLn Cos CxLn CosxLn Sen2
x
21. dx 1x2 Cos x C12x Cos4
112x Sen
2
x
22. dx x Tanx Sec x Cx Tanx SecLn -x Sec x
23. dx x Cos x2 Cx 2Sen- x Cos 2x x Sen x2
24. dx x Csc 3
CCtgxCscxLnCscxCtgx2
1
25. dxx1
arcTanx x2
2
Cx arcTan
2
1x1Ln
2
1x arcTanxx arcTan 22
Integración de Potencias del Seno y el Coseno
Caso 1 n nSen (u)du ó Cos (u)du ; donde n es un entero Impar
En este tipo de integrales se descompone n en (n – 1) y 1 ; para el exponente par (n–1) se
usa la fórmula Sen2(x) = 1–Cos2(x) ó Cos2(x) = 1–Sen2(x) y la función trigonométrica levada
al exponente 1 se agrupa con el diferencial, se hace el cambio de variable u=cos(x) para la
primera integral o u=sen(x) para la segunda integral.
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 3Cos (3x) dx
3Cos (3x) dx
Observe que: 2
2
Cos (3x) Cos(3x) dx
1-Sen (3x) Cos(3x) dx
2
2
3
3
Hagamos el siguiente cambio de variable
dvSea Sen(3x)=v 3Cos(3x)dx = dv Cos(3x)dx =
3
dv1-v
3
1dv v dv
3
1 vv C
3 3
Volviendo a la variable inicial x tenemos
1 1Sen(3x) Sen (x) C
3 3
1
2Sen(x) 3 Sen (x) C9
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3 21Cos (3x) dx Sen(x) 3 Sen (x) C
9
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 5Sen (x) dx
5Sen (x) dx
Observe que:
22
22
22
2 4
2 4
3 5
Sen (x) Sen(x) dx
1-Cos (x) Sen(x) dx
Hagamos el siguiente cambio de variable
Sea Cos(x)=u -Sen(x)dx = du Sen(x)dx = -du
1-u du
(1-2u u ) du
du 2 u du u du
2 1u u u C
3 5
Volviendo
3 5
4 2
a la variable inicial x tenemos
2 1Cos(x) Cos (x) Cos (x) C
3 5
1Cos(x) 3Cos (x) 10Cos (x) 15 C
15
5 4 21Sen (x) dx Cos(x) 3Cos (x) 10Cos (x) 15 C
15
Caso 2 n nSen (u)du ó Cos (u)du donde n es un entero par
Se usan la fórmulas: 2Sen (x) = ½ 1 - Cos(2x) 2Cos (x) = ½ 1 + Cos(2x)
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 2 x
Cos ( ) dx2
2 x
Cos ( ) dx2
11+Cos(x) dx
2
11+Cos(x) dx
2
1dx+ Cos(x)dx
2
1x+Sen(x) +C
2
2 x 1Cos ( ) dx x+Sen(x) +C
2 2
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 4Sen (3x) dx
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4Sen (3x) dx
22
2
Sen (3x) dx
11-Cos(6x) dx
2
211-Cos(6x) dx (A)
4
dSea 6x= 6dx=d dx= sustituyendo en (A) se tiene
6
2
2
1 d1-Cos( ) (A)
4 6
11-2Cos( )+Cos ( ) d
24
21d -2 Cos( )d + Cos ( )d
24
1 1d -2 Cos( )d + 1+Cos(2 ) d
24 2
1 1 1d -2 Cos( )d + d Cos(2 )d
24 2 2
Sea 2 = 2d =d d
1 1d -2 Cos( )d +
24
1 dd Cos( )
2 2 2
1 1 1d -2 Cos( )d + d Cos( )d
24 2 4
1 3 1d -2 Cos( )d Cos( )d
24 2 4
1 3 1-2Sen( )+ Sen( ) C
24 2 4
Quitando la variable
1 3 1-2Sen( )+ Sen(2 ) C
24 2 4
Quitando
la variable
1 3 16x-2Sen(6x)+ Sen(2 6x) C
24 2 4
1 19x-2Sen(6x)+ Sen(12x) C
24 4
136x-8Sen(6x)+Sen(12x) C
96
4 1Sen (3x) dx 36x-8Sen(6x)+Sen(12x) C
96
Caso 3 n mSen (u) Cos (u)du; donde al menos uno de los exponentes es impar (m ó n) es impar
La solución a este método es similar al método utilizado en el Caso 1
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Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 4 3Cos (x)Sen (x) dx
4 3Cos (x)Sen (x) dx
4 2
4 2
Cos (x)Sen (x)Sen(x)dx
Cos (x) (1-Cos (x)) Sen(x)dx
4 2
Haciendo Cos(x)=u Sen(x)dx=du Sen(x)dx=-du
u (1-u ) du
4 6
4 6
(u -u ) du
u du u du
5 7
5 7
u uC Quitando el cambio se tiene
5 7
1 1=- Cos (x) Cos (x) C5 7
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 5 4Cos (x)Sen (x) dx
5 4Cos (x)Sen (x) dx
4 4
24 2
24 2
24 2
4 2 4
4 6 8
4 6 8
5 7 9
Sen (x)Cos (x)Cos(x)dx
Sen (x) Cos (x) Cos(x)dx
Sen (x) 1-Sen (x) Cos(x)dx
Haciendo Sen(x)=u Cos(x)dx=du
u 1-u du
u 1-2u +u du
u -2u +u du
u du 2 u du u du
u 2u uC
5 7 9
Quitando el
5 7
5 2
cambio se tiene
1 1=- Cos (x) Cos (x) C
5 7
1Cos (x) 5Cos (x) 7 C
35
5 4 5 21Cos (x)Sen (x) dx Cos (x) 5Cos (x) 7 C
35
Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular Sen(5x) Cos(2x)dx
Usando la fórmula Sen(mx) Cos(nx) = ½ Sen (m-n) x + ½ Sen (m+n) x se tiene que:
Sen(5x) Cos(2x) = ½ Sen (5-2) x + ½ Sen (5+2) x
= ½ Sen(3x) + ½ Sen(7x)
Asi la integral original se convierte en :
= ½ Sen(3x) + ½ Sen(7x) dx
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Sen(5x) Cos(2x)dx
= ½ Sen(3x)dx + ½ Sen(7x)dx
Cambiando variables
3x=u 7x=v
3dx=du 7dx=dv
du dvdx= dx=
3 7
du dv= ½ Sen(u) + ½ Sen(v)
3 7
1 1= Sen(u)du+ Sen(v)dv
6 14
1 1Cos(u) Cos(v) C
6 14
1 1Cos(3x) Cos(7x) C
6 14
17Co
42
s(3x) 3Cos(7x) C
1Sen(5x) Cos(2x)dx 7Cos(3x) 3Cos(7x) C
42
Caso 4 n mSen (u).Cos (u)du donde m y n son números pares
La solución a este método es similar al método utilizado en el Caso 2
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 2 2Sen (x) Cos (x)dx
2 2Sen (x) Cos (x)dx
2
2
1-Cos(2x) 1+Cos(2x)dx
2 2
11-Cos(2x) 1+Cos(2x) dx
4
11-Cos (2x) dx
4
1Sen (2x)dx
4
1-Cos(4x)1dx
4 2
11-Cos(4x) dx
8
1dx- Cos(4x)dx
8
Para la segunda integral usamos el cambio 4x u
4dx du
dudx
4
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29
1 dudx- Cos(u)
8 4
1 1dx- Cos(u)du
8 32
1 1x Sen(u) C
8 32
1 1x Sen(4x) C
8 32
14x Sen(4x) C
32
2 2 1Sen (x) Cos (x)dx 4x Sen(4x) C
32
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 4 2Sen (x) Cos (x)dx
4 2Sen (x) Cos (x)dx 2
2
2
2 2 3
2 3
1-Cos(2x) 1+Cos(2x)dx
2 2
11-Cos(2x) 1+Cos(2x) dx
8
11-2Cos(2x)+Cos (2x) 1+Cos(2x) dx
8
11+Cos(2x)-2Cos(2x)-2Cos (2x)+Cos (2x)+Cos (2x) dx
8
11-Cos(2x)-Cos (2x) Cos (2x
8
2 2
2
) dx
11-Cos(2x)-Cos (2x) Cos (2x) Cos(2x) dx
8
1+Cos(4x)11-Cos(2x)- 1 Sen (2x) Cos(2x) dx
8 2
11-Cos(2x)
8
Cos(4x)1- Cos(2x)2 2 2
2
2
2
Sen (2x) Cos(2x) dx
Cos(4x)1 1Sen (2x) Cos(2x) dx
8 2 2
Cos(4x)1 1dx dx Sen (2x) Cos(2x)dx
8 2 2
1 1 1dx Cos(4x)dx Sen (2x) Cos(2x)dx
16 16 8
Usemos los siguientes cambios de variable
4x u
4dx du
dudx
4
Sen(2x) v
2Cos(2x)dx dv
dvCos(2x)dx
2
2
2
1 1 du 1 dvdx Cos(u) v
16 16 4 8 2
1 1 1dx Cos(u)du v dv
16 64 16
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30 3
3
1 1 1 vx Sen(u) C
16 64 16 3
1 1 1x Sen(4x) Sen (2x) C
16 64 48
3112x 3Sen(4x) 4Sen (2x) C
192
4 2 31Sen (x) Cos (x)dx 12x 3Sen(4x) 4Sen (2x) C
192
EJERCICIOS PROPUESTOS
INTEGRACION DE POTENCIAS DEL SENO Y DEL COSENO
Integral Respuesta
1. dx x Cos x Sen4
C x Sen5
1 5
2. dx 4x Sen 4xCos3 C 4x Cos16
1 4
3. dx 2
x Cos2 C x Senx
2
1
4. dx xSen2
1
2x-Sen 2x C4
5. dx xSen3
21Cos x Cos x -3 C
3
6. dx x Cos x Sen 32
3 21Sen x 3Sen x -5 C
15
7. dx 3x Sen 4x Cos 1
7Cos(x) Cos(7x) C14
8. dy 5y Cos 3y Sen 1
4Cos 2y Cos 8y C16
9. dt 3t Cos t3 Sen 22
1
12t-Sen 12t C96
10. dt2t Sen
2t Cos4 C 2t Csc
6
1 3
11. dx x Cos
x Sen2
3
C x Secx Cos
12. dt 2t Sen- 3t Sen2
C 6t Sen12
1- 5t Sen
5
14t Sen
8
1 - t Sent
13. dx x Cos x Sen 25
C x Cos7
1- x Cos
3
2 x Cos
3
1 753
14. dy ySen6
C 4y Sen64
3 2y Sen
48
1 2y Sen
4
1y
16
5 3
15. dx xCos4 C 4x Sen32
1 2x Sen
4
1x
8
3
16. dz zSen4
C 4z Sen32
1 2z Sen
4
1z
8
3
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31
17. dt t Cos t Sen2
2
C 4t Sen32
1 t Sen
3
2t
8
7 3
18. dt y Sen- 22
C 2y Sen4
1-y 4Cosy
2
9
19. dx 3x Sen
3xCos3
3
C 3x Sen4
1 - 3x Sen
2
1 38
32
20. dx xSen4
C 4x Sen32
1 2x Sen
4
1x
8
3
21. 5Sen (2x)dx 4 21
Cos(2x) 3Cos (2x) 10Cos (2x) 15 C30
22. 3 7x x
Cos Sen dx2 2
8 21 x xSen 4Sen 15 C
20 2 2
23. 1
5 3Sen (x)Cos (x)dx 4
4 233
Cos (x) 5Cos (x) 16Cos (x) 10 C80
24. 1
5 3Cos x Sen x dx
23 4 23
Sen x 2Sen x 7Sen x 14 C28
25. 4 2Cos x Sen x dx 31
4Sen 2x 3Sen 4x 12x C192
26. 6Cos 3x dx 21
Sen 6x 4Sen 6x 48 9Sen 12x 144x C576
Integración de Potencias de la Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante
Caso1 n nTg (u)du ó Ctg (u)du donde n es un entero positivo
Se desarrolla:
n (n-2) 2
n (n-2) 2
Tg (u) = Tg (u) Tg (u)
Tg (u) = Tg (u) Sec (u) - 1
Se usa el cambio de variable Tg(u) = z
ó
n (n -2) 2
n (n-2) 2
Ctg (u) = Ctg (u) Ctg (u)
Ctg (u) = Ctg (u) Csc (u) - 1
Se usa el cambio de variable Ctg(u) = z
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 4Tg (x)dx
4Tg (x)dx
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Tg (x)Tg (x)dx
Tg (x) Sec (x)-1 dx
Tg (x) Sec (x)-Tg (x) dx
Tg (x) Sec (x)- Sec (x)-1 dx
Tg (x) Sec (x)-Sec (x)+1 dx
2 2 2
2
2 2
Tg (x) Sec (x)dx- Sec (x)dx+ dx
Siendo Tg(x)=u Sec (x)dx=du
u du- Sec (x)dx+ dx
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32 3
3
uTg(x) x C
3
1Tg (x)-Tg(x)+x+C
3
4 31Tg (x)dx Tg (x)-Tg(x)+x+C
3
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 3Ctg (x)dx
3Ctg (x)dx 2
2
2
2
Ctg(x) Ctg (x)dx
Ctg(x) Csc (x)-1 dx
Ctg(x) Csc (x)-Ctg(x) dx
Ctg(x) Csc (x)dx- Ctg(x)dx
2 2
2
2
Siendo Ctg(x)=u Csc (x)dx=du Csc (x)dx=-du
udu- Ctg(x)dx Esta integral a la derecha se resuelve por
la fórmula No. 21 del formulario ubicado al principio de laguia
uLn Sen(x) C
2
1Ctg (x)-Ln S
2
en(x) +C
3 21Ctg (x)dx Ctg (x)-Ln Sen(x) +C
2
Caso 2 n nSec u du ó Csc u du donde n es un entero positivo par
Se desarrolla:
n-2n 2
(n-2)/2n 2 2
Sec u = Sec u Sec u
Sec u = Tg u +1 Sec u
ó
n-2n 2
(n -2)/2n 2 2
Csc u = Csc u Csc u
Csc u = Ctg u + 1 . Csc u
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 4Sec (2x)dx
4Sec (2x)dx 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
Sec (2x) Sec (2x)dx
Sec (2x) Tg (2x)+1 dx
Tg (2x) Sec (2x)+Sec (2x) dx
Tg (2x) Sec (2x)dx+ Sec (2x)dx
duSiendo Tg(2x)=u 2 Sec (2x)dx=du Sec (2x)dx=
2
du duu +
2 2
1 1u du+ du
2 2
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33
3
3
1 1u u C
6 2
1 1Tg (2x) Tg(2x) C
6 2
4 31 1Sec (2x)dx Tg (2x) Tg(2x) C
6 2
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 6 xCsc dx
3
6 xCsc dx
3
4 2
2
2 2
x xCsc Csc dx
3 3
x xCtg +1 Csc dx
3 3
2 2
22
4 2
4 2
5 3
4 2
4 2
x 1 x xSiendo Ctg =u Csc dx=du Csc dx=-3du
3 3 3 3
u 1 3du
3 u 2u 1 du
3 u du 2 u du du
1 23 u u u C
5 3
3u 3u 10u 15 C
15
3 x x xCtg 3Ctg 10Ctg
15 3 3 3
15 C
6 4 2x 3 x x xCsc dx Ctg 3Ctg 10Ctg 15 C
3 15 3 3 3
Caso 3 n nSec u du ó Csc u du donde n es un entero positivo impar
En este caso se usa la Integración por Partes
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 3Sec x dx
Tomando en cuenta la regla LIA(T)E se hace
u Sec(x)
du Sec(x) Tg(x)dx
2
2
dv Sec (x)dx
dv Sec (x)dx
v Tg(x)
Sustituyendo en la fórmula de integración por partes se tiene:
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34
3
3 2
3 2
3 3
3 3
Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Tg(x) Sec(x) Tg(x)dx
Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Tg (x) Sec(x)dx
Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Sec (x) 1 Sec(x)dx
Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Sec (x)dx Sec(x)dx
Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Sec
3 3
3
3
(x)dx Ln Sec(x) Tg(x) C
Sec (x)dx Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C
2 Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C
1Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C
2
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 5Csc x dx
Tomando en cuenta la regla LIA(T)E se hace
3
2
3
u Csc (x)
du 3Csc (x) Csc(x) Ctg(x)dx
du 3Csc (x) Ctg(x)dx
2
2
dv Csc (x)dx
dv Csc (x)dx
v Ctg(x)
Sustituyendo en la fórmula de integración por partes se tiene:
5Csc x dx
3 3 2
I1
Ctg(x)Csc (x) 3 Csc (x) Ctg (x)dx (A)
Resolviendo I1 tenemos:
3 2
3 2
5 3
5 3
I2
I1 Csc (x) Ctg (x)dx
I1 Csc (x) Csc (x) 1 dx
I1 Csc (x) Csc (x) dx
I1 Csc (x)dx Csc (x)dx (B)
Observe que la primera integral es nuestra integral original y la I2 se resuelve por
este mismo caso i.e. por integración por partes con el siguiente cambio de variale
u Csc(x)
du Csc(x) Ctg(x)dx
2
2
dv Csc (x)dx
dv Csc (x)dx
v Ctg(x)
Por lo tanto I2 quedara como sigue
3 2
3 2
3 3
3 3
Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Csc(x) Ctg (x)dx
Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Csc(x) Csc (x) 1 dx
Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Csc (x)dx Csc(x)dx
Csc (x)dx Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Csc(x)dx
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35 3
3
2 Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)
1Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)
2
Al sustituir esta integral en I1 en la expresión (B) se obtiene:
5 1I1 Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)
2
Sustituyendo I1 en la expresión (A) obtenemos:
5 3 5
5 3 5
5 5 3
1Csc x dx Ctg(x)Csc (x) 3 Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)
2
3 3Csc x dx Ctg(x)Csc (x) 3 Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)
2 2
3 3Csc x dx 3 Csc (x)dx Ctg(x)Csc (x) Csc(x) Ctg(x)
2
5 3
Ln Csc(x) Ctg(x)2
3 34 Csc (x)dx Ctg(x)Csc (x) Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)
2 2
5 3
5 3
1 3 3Csc (x)dx Ctg(x)Csc (x) Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x) C
4 2 2
1Csc (x)dx 2Ctg(x)Csc (x) 3Csc(x) Ctg(x) 3Ln Csc(x) Ctg(x) C
8
Caso 4 m n m nTg u Sec u du ó Ctg u Csc u du donde n es un entero positivo par
Se desarrolla:
n (n-2) 2
n (n-2) 2
Sec u = Sec u Sec u
Sec u = Sec u 1+Tg u
ó
n (n-2) 2
n (n-2) 2
Csc u = Csc u Csc u
Csc u = Csc u 1+Ctg u
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 4 4Tg (x)Sec x dx
4 4Tg (x)Sec x dx
4 2 2
4 2 2
Tg (x) Sec x Sec x dx
Tg (x) Tg (x)+1 Sec x dx
2
4 2
Sea v=Tg(x) dv=Sec (x)dx
v v +1 dv
6 4
6 4
7 5
v +v dv
= v dv v dv
1 1= v + v C
7 5
7 5
5 2
1 1= Tg (x)+ Tg (x) C
7 5
1Tg (x) 5Tg (x) 7 C
35
4 4 5 21Tg (x)Sec x dx Tg (x) 5Tg (x) 7 C
35
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Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 5 6Ctg (x) Csc x dx
5 6Ctg (x) Csc x dx
25 2 2
25 2 2
2 2
25 2
5 4 2
9 7 5
9 7 5
10 8 6
6
Ctg (x) Csc x Csc x dx
Ctg (x) Ctg (x)+1 Csc x dx
Sea v=Ctg(x) dv=-Csc (x)dx dv=Csc (x)dx
v v +1 dv
v v +2v 1 dv
v +2v v dv
= v dv 2 v dv v dv
1 1 1= v + v + v C
10 4 6
1= v 6
60
4 2
6 4 2
v +15v +10 C
1= Ctg (x) 6Ctg (x)+15Ctg (x)+10 C
60
5 6 6 4 21Ctg (x) Csc x dx= Ctg (x) 6Ctg (x)+15Ctg (x)+10 C
60
Caso 5 m n m nTg u Sec u du ó Ctg u Csc u du donde n es un entero positivo impar
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 5 5Ctg (x) Csc x dx
5 5Ctg (x) Csc x dx
4 4
22 4
22 4
4 2 4
8 6 4
8 6 4
9 7 5
Ctg (x) Csc x Ctg(x) Csc x dx
Csc (x) 1 Csc x Ctg(x) Csc x dx
Sea v=Csc(x) dv=-Csc(x) Ctg(x)dx dv=Ctg(x) Csc(x)dx
v 1 v dv
v 2v 1 v dv
v -2v v dv
=- v dv 2 v dv v dv
1 2 1= v + v v
9 7 5
5 4 7
5 4 7
C
1= v 35v 90v 63 C
315
1= Csc (x) 35Csc (x) 90Csc (x) 63 C
315
5 5 5 4 71Ctg (x) Csc x dx= Csc (x) 35Csc (x) 90Csc (x) 63 C
315
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 5 7Tg (x) Sec x dx
5 7Tg (x) Sec x dx
4 6
22 6
Tg (x) Sec x Tg(x) Sec x dx
Sec (x) 1 Sec x Tg(x) Sec x dx
Sea =Sec(x) d =Sec(x) Tg(x)dx
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37
22 6
4 2 6
10 8 6
10 8 6
11 9 7
7 4 2
7 4 2
1 d
2 1 d
-2 d
= d 2 d d
1 2 1= C
11 9 7
1= 63 154 99 C
693
1= Sec (x) 63Sec (x) 154Sec (x) 99 C
693
5 7 7 4 21Tg (x) Sec x dx= Sec (x) 63Sec (x) 154Sec (x) 99 C
693
Caso 6 m n m nTg u Sec u du ó Ctg u Csc u du donde m es un entero positivo par y n es
un entero positivo impar.
El integrando se puede expresar en términos de potencias impares de la secante o la
cosecante y luego se aplica integración por partes como en el Caso 3
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 2Ctg (x) Csc(x)dx
2Ctg (x) Csc(x)dx
2
3
I1 I2
Csc (x) 1 Csc(x)dx
Csc (x)dx Csc(x)dx
I1 se resolvio dentro del ejemplo ilustrativo 2 del caso 3 de este apartado por
favor vease linea (B) y siguientes para ver que su resultado es:
3 1Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)
2
I2 es una integral directa definida en el formulario de integrales como la
número 25 por lo cual nuestra integral original quedará como sigue
1Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)
2
1 1Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)
2 2
1 1Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x) C
2 2
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 2 3Tg (x) Sec x dx
2 3Tg (x) Sec x dx
2 3
2 3
5 3
5 3
I1 I2
Tg (x) Sec x dx
Sec (x) 1 Sec x dx
Sec (x) Sec x dx
Sec (x)dx Sec (x)dx (A)
I2 fue resuelta en el ejemplo ilustrativo 1 del caso 3 y cuyo resultado es:
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3 1Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) (B)
2
Debemos resolver ahora I1 5Sec (x)dx la que se resuelve por integración
por partes Tomando en cuenta la regla LIA(T)E se hace
3
2
3
u Sec (x)
du 3Sec (x) Sec(x) Tg(x)dx
du 3Sec (x) Tg(x)dx
2
2
dv Sec (x)dx
dv Sec (x)dx
v Tg(x)
Sustituyendo en la fórmula de integración por partes se tiene: 5 3 2 3Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Tg (x)Sec (x)dx (C)
Resolviendo 2 3Tg (x)Sec (x)dx
2 3 2 3
2 3 5 3
2 3 5 3
Tg (x)Sec (x)dx Sec (x) 1 Sec (x)dx
Tg (x)Sec (x)dx Sec (x) Sec (x) dx
Tg (x)Sec (x)dx Sec (x)dx Sec (x)dx (D)
Sustituyendo (D) en (C) tenemos
5 3 5 3
5 3 5 3
5 3 3
5 3 3
Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Sec (x)dx Sec (x)dx
Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Sec (x)dx 3 Sec (x)dx
4 Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Sec (x)dx
1Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Sec (x)dx (E)
4
Sustituyendo (B) en (E) tenemos
5 31 3Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) (F)
4 2
seguidamente ya para concluir sustituimos (B) y (F) en (A)
2 3Tg (x) Sec x dx 31 3Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x)
4 2
1
Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C2
31 3 3 1Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) Sec(x) Tg(x)
4 8 8 2
1
Ln Sec(x) Tg(x) C2
31 1 1Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C
4 8 8
312 Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C
8
2 3 21Tg (x) Sec x dx Tg(x) Sec(x) 2Sec (x) 1 Ln Sec(x) Tg(x) C
8
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39
EJERCICIOS PROPUESTOS
INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE LA TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE
Integral Respuesta
1. dx x Tan3 C x CosLn x Tan2
1 2
2.
2
uSec1
du
C 4
u 2Tan - u
3. dx 2x Cot x 22
C x2
1- 2x Cot
4
1 22
4. dx x Tan
x Sec4
3
C x Csc3
1 3
5. dx 2x Csc 2x Cot3 C 2x Csc6
1- 2x Csc
2
1 3
6. dw w Cos
w Sen4
2
C w Tan3
1 3
7. dt t Cot3 C t SenLn- t Cot2
1 2
8. dy y Sen
y Cos 6
4
C y Cot5
1- 5
9. dx 4
x Csc4 C
4
x 4Cot-
4
x Cot
3
4 3
10. dx 5x Tan2 C x- 5x Tan5
1
11. dx x Sec4 C x Tanx Tan3
1 3
12. dz z Sec z Tan 25
3 C z Sec5
2 -z Sec
9
2 25
29
13. dx x Sec x Tan 46 C x Tan9
1x Tan
7
1 97
14. dx 2x Cot 2x Tan2
C 2x Cot2x Tan2
1
15. dx 2x Cot2x Cot 42 C 2x Cot6
1 3
16. dw w Cos
1- w Sen 22 C w Tan-w 2Sec
17. 2x Cos 2x Sen
dx 42 C 2x Cot
2
1-2x Tan
6
12x Tan 3
18. dx 3x Csc 3x Cot 42
C 3x Cot15
1- 3x Cot
9
1 53
19. dx e Tane x4x C ee Tane Tan3
1 xxx3
20. dx 3x Tan5 C x3 Sec Ln3
13x Tan
6
1-3x Tan
12
1 24
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40
21.
dx
x
xLnSec xLnTan 63
CxLnTan8
1xLnTan
3
1xLnTan
4
1 864
22. dx 3x Tan6 C x-3x Tan3
13x Tan
9
1-3x Tan
15
1 25
23. dy 3y Tan4 Cxx Tan-x Tan3
1 3
24. dx x Csc3 Cx Cot -x CscLn2
1 x Cot x Csc
2
1
25. dx
x Cos
xSen
211
23
C x Tan9
2x Tan
5
2 29
25
26. 4Cot 2x dx 21Cot(2x) 2Cot (2x) 6 12x C
12
27. 5Cot 2x dx 2 21Cot (2x) Cot (2x) 2 4Ln(Sen(x)) C
4
28. 6Sec (3x)dx 41
Tan(3x) Tan (3x) 10Tan(3x) 15 C45
29. 8Csc (ax)dx 6 4 21
Cot(ax) 5Cot (ax) 21Cot (ax) 35Cot (ax) 35 C35a
30. 10Sec (x)dx 8 6 4 21
Tan(x) 35Tan (x) 180Tan (x) 378Tan (x) 420Tan (x) 315 C315
Integración Por Sustitución Trigonométrica Esta tecnica de integración se usa para resolver integrales con expresiones que
contienen 22 ua , 22 ua , 22 au , 22 ua , 22 ua , 22 au , el método mas corto para
integrar dichas expresiones es efectuar un cambio de variable trigonométrico como se indica a
continuación.
Caso 1 22 ua se hace el cambio u = a sen() para lo que 22 ua = a cos()
Caso 2 22 ua se hace el cambio u = a sen() para lo que 22 ua = a2 cos2()
Caso 3 22 ua se hace el cambio u = a tg() para lo que 22 ua = a sec()
Caso 4 22 ua se hace el cambio u = a tg() para lo que 22 ua = a2 sec2()
Caso 5 22 au se hace el cambio u = a sec() para lo que 22 au = a tg()
Caso 6 22 au se hace el cambio u = a sec() para lo que 22 au = a2 tg2()
Recordemos las funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo
co hSen( ) Csc( )
h co
ca hCos( ) Sec( )
h ca
co caTan( ) Cot( )
ca co
h = Hipotenusa
co = Cateto Opuesto
ca = Cateto Adyacente
h
co
ca
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Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 2 2
dx
x a
2 2
dx
x a
2 2
Según el caso 5 se propone el cambio x aSec( ) dx aSec( )T an( )d
Porlo que x a aTan( ) asi nuestra integral original quedara como:
a
Sec( )T an( ) d
a
T an( )
Sec( )d
Ln Sec( ) T an( ) C
Para volver a la variable inicial trabajamos con nuestro cambio de variable
h xSec( )
ca a
Por lo cual: 2 2x a
T an( )a
y como
xSec ( )
a
Así nuestra integral original quedará como:
2 2
2 2
2 2
2 2
x x aLn C
a a
x x aLn C
a
Ln x x a Ln a C
Ln x x a k donde k= Ln a C
2 2
2 2
dxLn x x a k
x a
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 2
8dx
4x 1
2
8dx
4x 1
22 2Observemos que 4x 1 2x 1
dzSea 2x=z 2dx=dz dx
2 asi nuestra integral original queda
2 2
8dx
(2x) 1
Ca=a
h = x
2 22
22 2
2 2
h Co Ca
x Co a
Co x a
Co
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2 2
2 2
dz8
2
z 1
dz4
z 1
El caso 4 propone el cambio de variable 2z Tg( ) dz Sec ( )d por lo que 2 2 2z 1 Sec ( )
2Sec ( )4
2
d
Sec ( )
4 d
4 C
Para volver a la variable inicial trabajamos con nuestro cambio de variable Tg( ) z ArcTg(z)
y como z=2x entonces
ArcTg(2x)
Así nuestra integral original quedara como: 4ArcTg(2x) C
2
8dx4ArcTg(2x) C
4x 1
Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular 2
2
3 xdx
x
2
2
3 xdx
x
2 2 2
2
Aplicando el caso 1 Se hace x 3Sen( ) dx 3Cos( )d
por lo que x 3Sen( ) x 3Sen (α) y 3 x 3Cos( )
3
Cos( ) Cos( )d
3
2
2
2
2
2
2
Sen ( )
Cos ( ) d
Sen ( )
Ctg ( ) d
Csc ( ) 1 d
Csc ( ) d d
Ctg( ) C
Para volver a la variable inicial trabajamos con nuestro cambio de variable
c o xSen( )
h 3
Ca
h = 3 Co=x
2 22
2 2 2
2
h Co Ca
3 x Ca
Ca 3 x
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2ca 3 x
Cos( )h 3
y como
xSen( )
3
23 x
3Cos( )Ctg( )
Sen( )
x
3
23 x
x
y 1 x
Sen3
Así nuestra integral original quedará como:
21
Ctg( ) C
3 x xSen C
x 3
2 21
2
3 x 3 x xdx Sen C
xx 3
EJERCICIOS PROPUESTOS
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Integral Respuesta Integral Respuesta
1. 22 x4x
dx 24 x
C4x
2.
4xx
dx
2 C
4x2
xLn
2
1
2
3. 2x25x
dx Cx
x25-5Ln
5
12
4.
23
2
2
xTan4
dx x Sec C
xTan44
x Tan
2
5. 22 ax
dx CaxxLn22
6.
2x4
xdx Cx4 2
7.
22
2
4x
dxx
C
4x2
x
2
xarcTan
4
12
8.
2
x41
dx Cx2 arcSen
2
1
9.
2xx4
dx Cxx42xLn
2 10.
x2
x
e1
dxe Ce arcTan
x
11.
2x41
dx Cx2 arcSen
2
1 12.
2
32 9x4
dx C9x4x9
1 21
2
13.
22xax
dx C
xaa
xLn
a
1
22
14.
x2
x
e7
dxe C
7
e arcTan
7
1x
15.
dx
x4
1x
2
C
2
x arcSenx4 2
16.
22
ax x
dx C
a
x arcSec
a
1
17.
2x52
dx C2
5x arcSen5
1
18.
23
22xa
dx C
xaa
x
222
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19. θCos2
θd θSen
2
C
2
θ Cos arcCos
20.
dx
x25
x
6
2
C
5
x arcSen
3
13
21. 2
dx
4 9x x
C
x94
x3Ln
4
1
2
22. 22 x5 x
dx C
x5
x5 2
23.
2x9 x
dx C
3
x9xLn
2
24. 16x9
dx2
C4
x3 arcTan
12
1
25.
2x52
dx Cx
2
10 arcSen
5
5 26.
2
x94
dx C
2
x3 arcSen
3
1
27. 4wLnw
wdwLn
2
3
C4wLnwLn83
1 22
28. 25tt
dt2
4
CtLn5
2525tLn
5
1 4
29.
dxx
x42
Cx4x
x4-2Ln2
22
30. dx
x9
x
2
2
C3
x arcSen
2
9x9 x
2
1 2
31. 9x x
dx
23
C
3
x arcSec
54
1
x8
9x
2
2
32. 2
2
x 1dx
x
22x 1
Ln x 1 x Cx
33.
2
2
xdx
4 x 2x 1
2ArcSen x 4 x C2 2
34.
3
2
xdx
2 x 2 21
2 x x 4 C3
35. 2 2x a
dxx
2 2 ax a a ArcCos C
x
36.
2x 4dx
x
22x 4 2
2Ln x 4 Cx
37. 2
dx
x 4x 9 1 3
ArcCos C3 2x
38. 2
dx
x 9x 16
21 9x 16 4Ln C
4 3x
39. 3
2
dx
x 2
2
xC
2 x 2
40.
2
322
x dx
9 x
2
x xArcSen C
39 x
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Integrales que contienen ax2+bx+c (Completación de Cuadrados)
Acá se usa la fórmula de completación de cuadrados la cual establece que: 2
2 b DP(x) ax bx c a x a 0
2a 4a
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 2
xdx
x 4x 8
2
xdx
x 4x 8
Apliquemos la fórmula para realizar la completación de cuadrados a 2x 4x 8 en este caso a=1 ; b=4 y c=8 por lo tanto
2 22
2 22
22
22 2
b bP(x) x bx c x c así
2 4
4 4x 4x 8 x 8
2 4
x 4x 8 x 2 4
x 4x 8 x 2 2
De esta manera nuestra integral se transforma en:
2 2
xdx
x 2 2
Se hace u x 2 (A) du dx
Notese que al despejar x en (A) obtenemos x u 2
Y la integral anterior se convierte en:
2 2
2 2 2
I1 I2
(u 2)du
u 2
udu du2
u 4 u 2
Para resolver I1 hacemos el cambio de variable 2z u 4
2z u 4
dz 2udu
dzudu
2
2
I1
udu
u 4
12
1 dz
2 z
1z dz
2
1
2
212
1
1
z c
z c
Quitando el cambio de variable de z para volver a la variable u tenemos
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2
xdx
x 4x 8
2
1u 4 c
Para resolver I2 usamos la fórmula 20 de la tabla de integrales de esta guía
2 2
22 2
I2
duLn u u a C
u 2
Por lo tanto nuestra integral original será
2 2 2
1 2u 4 c Ln u u a c
Revertimos el cambio de variable u=x+2 y consideramos 1 2
C c c
2 2
1 2
2 2
(x 2) 4 Ln (x 2) (x 2) 4 c c
x 4x 8 Ln (x 2) x 4x 8 C
2 2
2
xdxx 4x 8 Ln (x 2) x 4x 8 C
x 4x 8
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcularx
2x x 3/2
e dx
(e + 8e + 7)
x
2x x 3/2
e dx
(e + 8e + 7)
Apliquemos un cambio de variable x
x
u e
du e dx
Por lo cual la integral original se transforma en:
2 3/2
du (1)
(u + 8u + 7)
Apliquemos la fórmula para realizar la completación de cuadrados a 2u + 8u + 7en este caso a=1 ; b=8 y c=7 por lo tanto
22
2
2 22
22
22 2
b bP(u) u bu c u c así
2 4
8 8u 8u 7 u 7
2 4
u 8u 7 u 4 7 16
u 8u 7 u 4 3
Sustituyendo en (1) tenemos
3/22 2
32 2
du
(u+4) 3
du (2)
(u+4) 3
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Haciendo z u 4 dz du y sustituyendo en (2) tenemos
32 2
dz (3)
z 3
Hacemos un cambio de variable trigonométrico según lo propone el caso
5 y se sustituye en (3) obteniendo:
2 2
3
z 3Sec( ) dz 3Sec( )Tan( )d por lo cual z 3 3Tan( )
3Sec( )Tan( )d
3Tan( )
3
Sec( )Tan( ) d
27
3Tan
2
2
2
2
( )
1 Sec( )d
9 Tan ( )
1
1 Cos( )d
9 Sen ( )
Cos ( )
1 Cos( )d
9 Sen ( )
Haciendo un ultimo cambio de variable r Sen( )
dr Cos( )d
2
2
1 dr
9 r
1r dr
9
1 1C
9 r
Y aquí comenzamos a quitar los cambios Quitando r obtenemos
1C
9Sen( )
1csc( ) C 4
9
Como z h
z 3Sec( ) Sec( )3 ca
Ca=3
h = z
Co=?
2 22
22 2
2
h Co Ca
z 3 Co
Co z 9
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Entonces 2
h zCsc( )
Co z 9
sustituyendo en (4) tenemos:
2
1 zC
9 z 9
2
zC
9 z 9
Quitando el cambio de variable de z para volver a la variable u tenemos
2
2
(u 4)C
9 (u 4) 9
(u 4)C
9 u 8u 7
Como xu e tenemos que: x
2x x
(e 4)C
9 e 8e 7
Finalmente concluimos que: x x
2x x 3/2 2x x
e dx (e 4) C
(e + 8e + 7) 9 e 8e 7
EJERCICIOS PROPUESTOS
INTEGRACIÓN POR COMPLETACIÓN DE CUADRADOS
Integral Respuesta Integral Respuesta
1. x2x3
dx
2
C
2
1x arcSen
2.
23
2xx45
dx C
xx459
2x
2
3.
2xx2
dx C1x arcSen 4.
2xx28
dx x-1 Cxx28
2
5. 2x4x4
dx2
C1x2 arcTan2
1 6.
16x x4
dx
2
C
4
x arcSec
16
1
7. 5x2x
dx2
C2
1x arcTan
2
1
8.
4
r916
dr r C
4
3r arcSen
6
12
9.
x x1
dx Cx arcTan2 10.
2
xx215
dx C
4
x-1 arcCos
11. 2 xx
dx2
C7
1x2 arcTan
7
2
12.
23
xx2
x
7e8e
dxe C
7e8e9
4e
xx2
x
13. θSen4
θd θ Cos2
Cθ Sen2
θ Sen2Ln
4
1
14.
5x4x4
dx 32x2
C2
1x arcTan
2
15x4x4Ln
4
1 2
15. 5x4x
dx x2
21Ln x 4x 5 2arcTan x 2 C
2
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16. 5x2x
dx x
2
C5x2x1xLn5x2x
22
17.
2xx2
dx 1x Cxx21x arcSen 2
2
18.
3x4x
dx 1-x
2
C3x4x2xLn3x4x
22
19. 5x4x
dx x
2
C5x4x2xLn25x4x
22
20.
2xx45
dx x Cxx45
3
2xarcSen2
2
21.
2xx23
dx x Cxx23
2
x1 arcCos
2
22.
2xx24
dx x2 Cxx245
x1 arcSen
2
23.
4x6x2
dx 1x
2
C2x3x
2
3xLn
22
5
2
2x3x 22
24. 8x2x
dx
2
C8x2x1xLn
2
Integración De Funciones Racionales (Casos I Y II)
Una función racional es aquella cuyo numerador y denominador son funciones racionales
(la variable no está afectada por exponentes negativos o fraccionarios). Si el grado del
numerador es igual o mayor al del denominador, (Fracción Impropia) esta fracción puede
reducirse a una expresión mixta dividiendo el numerador entre el denominador. Por ejemplo
1 2x x
35x 3-x x
1 2x x
3x X2
2
2
34
Donde el último término de la derecha es una fracción reducida a su más simple
expresión (Fracción Propia), es fácil observar que x2 + x – 3 se puede integrar inmediatamente;
por lo que nuestro estudio se centrará en las fracciones propias.
Caso I Los factores del denominador son todos de primer grado (lineales) y ninguno se repite.
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular
dx
x2xx
3x223
3 2 2x x 2x x(x x 2) x(x 2)(x 1) (1)
Por lo tanto nuestra expresión original será:
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3 2
2x 3dx
x x 2x
3 2
2x 3 2x 3 A B C(2)
x(x 2)(x 1) x x 2 x 1x x 2x
2x 3 A(x 2)(x 1) Bx(x 1) Cx(x 2)
x(x 2)(x 1) x(x 2)(x 1)
De la igualdad anterior se tiene que, como los denominadores son iguales
los numeradores también lo son por lo que obtenemos la siguiente
ecuación
2x 3 A(x 2)(x 1) Bx(x 1) Cx(x 2) (3)
De la ecuación (1) podemos deducir que sus raíces son x=0 x=-2 x=1
Sustituyendo estos valores en la ecuación (3) tenemos.
Si x 0 2(0) 3 A(0 2)(0 1) B(0)(0 1) C(0)(0 2)
3 3 2A 0 B 0 C 3 2A A2
Si x 2 2( 2) 3 A( 2 2)( 2 1) B( 2)( 2 1) C( 2)( 2 2)
1 4 3 0 A 6B 0 C 1 6B B6
Si x 1 2(1) 3 A(1 2)(1 1) B(1)(1 1) C(1)(1 2
)
5 2 3 0 A 0 B 3C 5 3C C3
Así que al sustituir estos valores en (2) obtenemos
3 2
53 12x 3 6 32
x x 2 x 1x x 2x
Y nuestra integral original estará dada por:
I1 I2 I3
53 16 32 dx
x x 2 x 1
dx dx dx3 512 6 3x x 2 x 1
I1 Se resuelve directa
I2 Se hace el cambio de variable u x 2 du dx
I3 Se hace el cambio de variable z x 1 dz dx
Teniendo:
I3I2I1
dx du dz3 512 6 3x u z
3 51Ln(x) Ln(u) Ln(z) Ln(C)2 6 3
1 9Ln(x) Ln(u) 10Ln(z) 6Ln(C)6
Aplicando las propiedades logarítmicas tenemos:
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10 6
9
1 z CLn
6 x u
Quitando los cambios de variable 10 6
9 6
1 (x 1) CLn
6 x (x 2)
10 6
3 2 9 6
2x 3 1 (x 1) Cdx Ln
6x x 2x x (x 2)
Caso II Los factores del denominador son todos de primer grado (lineales) y algunos se repiten
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular2
3 2
3x 5xdx
x x x 1
Factorizando por agrupación de términos y sacando factor común 2x a los
dos primeros términos y factor común -1 al tercer y cuarto término
tenemos:
3 2 2x x x 1 x (x 1) 1 (x 1) ahora tomando el factor común
(x+1)
Tenemos: 3 2 2x x x 1 (x 1)(x 1) y factorizando la diferencia de
cuadrados 2 2x A (x A)(x A) se tiene: 3 2
3 2 2
x x x 1 (x 1)(x 1)(x 1)
x x x 1 (x 1)(x 1) (1)
Por lo tanto se tiene que :
2 2
3 2 2 2
2 2
3 2 2
3x 5x 3x 5x A B C(2)
x 1 x 1x x x 1 (x 1)(x 1) (x 1)
3x 5x A(x 1) B(x 1)(x 1) (x 1)C
x x x 1 (x 1)(x 1)
Como los denominadores son iguales los numeradores también lo son por
lo que obtenemos la siguiente ecuación
2 23x 5x A(x 1) B(x 1)(x 1) (x 1)C (3)
Por (1) podemos deducir que sus raíces son x=-1 x=1
Y al sustituir estos valores en la ecuación (3) tenemos.
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52
2
3 2
3x 5xdx
x x x 1
2 2
2 2
2 2
Si x 1 3(1) 5(1) A(1 1) B(1 1)(1 1) (1 1)C
3 5 4A 0 B 0 C 8 4A A 2
Si x 1 3( 1) 5( 1) A( 1 1) B( 1 1)( 1 1) ( 1 1)C
3 5 0 A 0 B 2 C 2 2C C 1
Si x 0 3(0) 5(0) A(0 1) B(0 1)(0 1) (0 1)C
0 0
A B C 0 (2) B (1) B 2 1 B 1
Al sustituir estos valores en (2) nuestra integral original quedara como:
2
2
I1 I2 I3
2 1 1dx
x 1 x 1 (x 1)
dx dx dx2
x 1 x 1 (x 1)
Las tres integrales anteriores se resuelven por cambio de variable:
I1 Se hace el cambio de variable z x 1 dz dx
Para I2 e I3 Se hace el cambio de variable u x 1 du dx
Teniendo:
2
I1 I2 I3
2
1
dz du du2
z u u
dz du2 u du
z u
u2Ln(z) Ln(u) C
1
Aplicando las propiedades logarítmicas tenemos: 2 1
2
Ln(z ) Ln(u) u C
1Ln z u C
u
Quitando los cambios de variable
2 1Ln (x 1) (x 1) C
x 1
2
2
3 2
3x 5x 1dx Ln (x 1) (x 1) C
x 1x x x 1
EJERCICIOS PROPUESTOS
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES (CASOS I Y II)
Integral Respuesta
Integral Respuesta
1. 4x
dx2
1 x 2
Ln C4 x 2
2.
x2xx
dx 2x423
C1x
x2xLn
2
2
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53
3. 23 x3x
dx C
x3
1
x
3xLn
9
1
4.
xx
dx 3x53
2
1xx CLn 23
5.
4x
dx 2x52
322x2x CLn 6.
4w7w2
dw 11-4w2
1w2
4w CLn
3
7.
dx
x2xx
4xx223
2
C1x
2xxLn
2
8.
xx4
dx 1x2x63
2
1x2
1x2x CLn
4
134
9.
2
1xx
dx C
1x
xLn
1x
1
10.
2x 1x
dx 1x2 C
1x
2xLn
3
11. dx
5x4x
x2
C1x5xLn6
1 5 12.
dx3x2x
x2
C1xLn4
13xLn
4
3
13. 2e3e
dtett2
t
Ce2
e1Ln
t
t
14.
5x4x
dx)1x(2
C1xLn4
13xLn
4
3
15. 2 Cos Cos
d Sen 2
C Cos1
Cos2Ln
3
1
16. 1x2x
dxx2
2
C1x
11xLn2x
17. 15 23x 9xx
dxx23
)1x(5)(x
C3x Ln
8
15
6
18.
2x 1x
dx 1x2 2
3
1)-(x
C2x Ln
19. 1x 1x
dx 2
CxarcTan
2
1
1x
1x Ln
4
12
2
20.
dx
x3x8x4
3x423
Cx
3x2 1x2 Ln
2
12
21.
dx
xx4
1x2x43
23
Cx
1x2 1x2 Ln
2
1x
2
2
22.
2
2
1x 1x
dx x5x3 C1x
11x 1x Ln
2
23.
22 1xx
dx C
1x
1
x
1
x
1xLn 2
24.
dz1z
z3
2
C1z2
1
1z
21zLn
2
25.
2
2
1x 3x2
dx 7x3x C3x2Ln2
11xLn
1x
3
26.
23
4
y2y
dy 8y Cy2yLn2
y
4y2
2
y 22
27.
dx
x4x
8xx3
45
C
2x
2x xLnx4
2
x
3
x3
5223
28. 2xx2x
dx423
C2xLn
3
16
1x
1x Ln
6
1x2
2
x3
2
29.
21x 2x
dx C1x
2xLn
1x
1
30.
x4x4x
dx)8x(23
Cx
2xLn2
2x
3
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31.
31xx
2)dx(3x C1x
xLn2
)1x(2
3x42
32.
22
2
4x2x
dx x C2x
4xLn2
8x6x
12x52
33.
dz
4z
13z22
C2z
2zLn
32
1
2z16
7
2z16
5
34.
dx
3x5xx
17x4x5x3x23
234
C3x2xLn1x
3x2x
2
1 22
35.
dx
4x4x11x6x9
17x52x30x24234
23
C1x
3
2x33
11x2x3Ln
23
2
Integración De Funciones Racionales (Casos III y IV)
Caso III Los factores del denominador son lineales y/o cuadráticos y ninguno de los factores
cuadráticos se repite.
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular3 2
2
(Sen (t) 8Sen (t) 1) Cos(t)dt
(Sen(t) 3) (Sen (t) 4Sen(t) 5)
Lo primero que se debe hacer es un cambio de variable
Consideremos x= Sen (t)dx=cos(t)dt por lo que la integral original
queda como:
3 2 3 2
2 2
(Sen (t) 8Sen (t) 1) Cos(t) (x 8x 1)dt dx
(Sen(t) 3) (Sen (t) 4Sen(t) 5) (x 3)(x 4x 5)
Ya que 2 3 2(x 3)(x 4x 5) x x 7x 15 se tiene que
3 2 3 2
2 3 2
x 8x 1 x 8x 1
(x 3)(x 4x 5) x x 7x 15
(1)
En la expresión anterior tanto el denominador como el denominador
tienen el mismo grado 3 por lo tanto se debe dividir dicha expresión
hasta obtener una fracción propia
Observemos que:
3 2 3 2 2x 8x 1 x x 7x 15 7x 7x 16
Es decir el numerador fue expresado en función del denominador y su
complemento.
Al sustituir la expresión anterior en (1) tenemos
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55
3 2 23 2
3 2 3 2
3 2 3 2 2
3 2 3 2 3 2
3 2 2
3 2 3 2
x x 7x 15 7x 7x 16x 8x 1
x x 7x 15 x x 7x 15
x 8x 1 x x 7x 15 7x 7x 16
x x 7x 15 x x 7x 15 x x 7x 15
x 8x 1 7x 7x 161 (1)
x x 7x 15 x x 7x 15
Expresemos en fracciones parciales la función racional 2
2
7x 7x 16
(x 3)(x 4x 5)
2
2 2
7x 7x 16 A Bx C(2)
x 3(x 3)(x 4x 5) x 4x 5
2 2
2 2
7x 7x 16 A(x 4x 5) (Bx C)(x 3)
(x 3)(x 4x 5) (x 3)(x 4x 5)
Como los denominadores son iguales los numeradores también lo son
por lo que obtenemos la siguiente ecuación
2 27x 7x 16 A(x 4x 5) (Bx C)(x 3)
Dando tres valores a la variable x en la ecuación anterior obtenemos
los valores de A, B y C
2 2
2 2
Si x 3 7( 3) 7( 3) 16 A(( 3) 4( 3) 5) (B( 3) C)( 3 3)
50 63 21 16 A(9 12 5) 0 100 26A A13
Si x 0 7(0) 7(0) 16 A((0) 4(0) 5) (B(0) C)(0 3)
50 16 A(0 0 5) 3C 16 5A 3C 16 5 3C
13
2 2
250 250 208 25016 3C 16 3C 3C
13 13 13
42 14 C C1313 3
Si x 2 7( 2) 7( 2) 16 A(( 2) 4( 2) 5) (B( 2) C)( 2 3)
28 14 16 A(4 8 5) ( 2B C) 58 17A 2B C
50 14 50 14 58 17 2B 2B 17 58
13 13 13 13
850 14 58 13 850 14 754 82 2B 2B 2B
13 13 13
82 B
13 2
41B
13
Sustituyendo los valores de A, B y C en (2) obtenemos:
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3 2
2
(x 8x 1)dx
(x 3)(x 4x 5)
2
2 2
50 41 14x7x 7x 16 13 13 13 (3)x 3(x 3)(x 4x 5) x 4x 5
Y sustituyendo (3) en (1) tenemos
3 2
3 2 2
50 41 14xx 8x 1 13 13 131x 3x x 7x 15 x 4x 5
Por lo cual la integral original queda como:
2
50 41 14x13 13 131 dx
x 3 x 4x 5
Completando cuadrado vemos que: 2 2x 4x 5 (x 2) 1
2 2
I1I2 I3 I4
50 dx 41 xdx 14 dxdx
13 x 3 13 13(x 2) 1 (x 2) 1
I1 Es una integral directa En I2 se hace el cambio de variable u=x+3du=dx
En I3 e I4 el cambio de variable será z=x-2dz=dx y x=z+2
2 2 2
2 2
2 2
50 du 41 zdz 41 2 dz 14 dzdx
13 u 13 13 13z 1 z 1 z 1
50 du 41 zdz 82 14 dzdx
13 u 13 13 13z 1 z 1
50 du 41 zdz 68 dzdx
13 u 13 13z 1 z 1
Para la tercera integral se hace
2 dvv z 1 dv 2zdz zdz
2
2
50 du 41 dv 68 dzdx
13 u 13 2 v 13 z 1
50 41 68x Ln(u) Ln(v) arctg(z) C
13 26 13
Quitando la variable v por 2z 1 y la variable u por x+3 se tiene
250 41 68x Ln(x 3) Ln(z 1) arctg(z) C
13 26 13
Quitando la variable z por x-2
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2
2
100 2 41
50 41 68x Ln(x 3) Ln(x 4x 5) arctg(x 2) C
13 26 13
126x 100Ln(x 3) 41Ln(x 4x 5) 136arctg(x 2) C
26
126x Ln (x 3) (x 4x 5) 136arctg(x 2) C
26
Finalmente se cambia x por sen(t)
100 2 41126x Ln (Sen(t) 3) (Sen (t) 4Sen(t) 5) 136arctg(Sen(t) 2) C
26
3 2
100 2 41
2
(Sen (t) 8Sen (t) 1) Cos(t) 1dt 26x Ln (Sen(t) 3) (Sen (t) 4Sen(t) 5) 136arctg(Sen(t) 2) C
26(Sen(t) 3) (Sen (t) 4Sen(t) 5)
Caso IV Los factores del denominador son lineales y/o cuadráticos y algunos de los factores
cuadráticos se repiten
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular
3
22
2x x 3dx
x 1
3
22
2x x 3dx
x 1
3
2 222 2
23
2 22 2
2x x 3 Ax B Cx D(1)
x 1x 1 x 1
(Ax B) x 1 (Cx D)2x x 3
x 1 x 1
Ya que los denominadores de la expresión anterior son iguales los
numeradores también lo son por lo que obtenemos la siguiente ecuación
3 2
3 3 2
3 3 2
2x x 3 (Ax B) x 1 (Cx D)
2x x 3 Ax Ax Bx B Cx D
2x x 3 Ax Bx (A C)x B D
Igualando termino a termino tenemos
3 3
2 2
2x Ax A 2
0x Bx B 0
x (A C)x A C 1 y como A=2 2 C 1 C 1
3 B D como B=0 3 0 D D 3
Por consiguiente al sustituir estos valores en (1) nuestra integral original
estará dada por:
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22 2
2 2 22 2
I1
I2 I3
2x 0 1x 3dx
x 1 x 1
xdx xdx dx2 3
x 1 x 1 x 1
En I1 e I2 Se hace el cambio de variable
2 duu x 1 du 2xdx xdx
2
En I3 Se hace el cambio de variable trigonométrico según el caso 4 2 2 2x Tan( ) dx Sec ( )d ; x 1 Sec ( )
En consecuencia se tiene que:
2
2
2
2 22
22
du 1 du Sec ( )d3
u 2 u Sec ( )
du 1 Secu du 3
u 2
4
( )d
Sec
2
2
2 2
2
( )
du 1 du du 3
u 2 Sec ( )
du 1u du 3 Cos ( )d
u 2
du 1 3u du 1 Cos(2 ) d
u 2 2
2
1
du 1 3 3u du d Cos(2 )d
u 2 2 2
1 3 3Ln(u) u Sen(2 ) C
2 2 4
Quitando la variable u se tiene:
2 2 11 3 3Ln(x 1) (x 1) Sen(2 ) C 2
2 2 4
Como x Tan( ) arcTan(x) (3) por otra parte tenemos que:
2 2
2 2
2 2 2 2
2
2
x Tan( )
x Tan ( )
x 1 Tan ( ) 1
x 1 Sec ( ) ya que Tan ( ) 1 Sec ( )
1 1x 1 por ser Sec( )
Cos ( ) Cos ( )
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2
2
2
2
22
1Cos ( ) (4)
x 1
11 Cos ( ) 1
x 1
x 1Sen ( )
1 2 2
2
22
2
2
ya que 1 Cos ( ) Sen ( )x 1
xSen ( )
x 1
xSen ( ) (5)
x 1
Retomando la ecuación (4)
2
2
2
1Cos ( )
x 1
1Cos ( ) (6)
x 1
Sabiendo que Sen(2 ) 2Sen( )Cos( ) y sustituyendo (5) y (6) en esta
identidad trigonométrica se tiene:
2 2
2
x 1Sen(2 ) 2
x 1 x 1
2xSen(2 ) (7)
x 1
Sustituyendo (3) y (7) en (2) se tiene:
2 2 11 3 3Ln(x 1) (x 1) arcTan(x)
2 2 4
2
2
2 2 1
2
xC
x 1
1 3 3xLn(x 1) (x 1) arcTan(x) C
2 2 2 x 1
1
2 23 1Ln(x 1) arcTan(x) 3x 1 x 1 C
2 2
Finalmente se puede concluir que:
31
2 2 2
22
2x x 3 1dx Ln(x 1) 3arcTan(x) 3x 1 x 1 C
2x 1
EJERCICIOS PROPUESTOS
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES (CASOS III Y IV)
Integral Respuesta
Integral Respuesta
1. xx2
dx3
1x2
x CLn
2
12
2
2.
x3x
dx 6x43
2
C3xx Ln 22
3.
22 1x 1x
dx x2 C x arcTan
1x
1
4. 24 zz
dz C z arcTan
z
1
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60
5.
4t 2t
dt 8t8t22
2
C2t
4tLn 2
2
6.
1xx
dx 2
C 1x
xLn
2
7.
dz
2y3y
2y2yy224
23
C y arcTan2yLn 2 8. 1x
dxx 3
5
C1xLnx3
1 33
9.
dx
5x2x 1x
3-3x-x22
2
C
2
1xarcTan
2
1
1x
5x2xLn
23
2
10. 8x6x
dx 6)-x(24
3
C2
xarcTan
2
3
2
xarcTan
2
3
2x
4xLn
2
2
11. 1x
dx 3
C3
1x2arcTan
3
1
1x-x
1xLn
6
12
2
12. 4x4xx
7)dx-3x (23
C2
xarcTan
2
1
1x
4xLn
2
2
13. xxx
dx 23
3
1x2 arcTan
3
1
1xx
x CLn
2
12
2
14.
1t 1t2
dt 1tt2
2
C t arcTan3
21t2 1tLn
10
1 32
15.
dx
xx2x
2xx235
2
1x2
x-x arcTan
2
1
1x
x CLn
22
2
16. 1x
dx 44
Cx1
x2arcTan2
1x2x
1x2xLn
2
122
2
17.
dx
2x
1xx22
3
C2
xarcTan
24
12xLn
)2x(4
x2 21
2
2
18.
dx
1x 1x
8x4222
2
CxarcTan
1x
1xLn
1x 1x
1x32
2
2
2
19.
2222 1xx xx
dx C
)1xx(3
1x2
3
1x2 arcTan
33
10
x
1x Ln
2
20. 1x16
dx4
C x2 arcTan4
1
1x2
1x2Ln
8
1
21.
22 9z4
18dz C
9z4
z
3
2z arcTan
6
12
22. 1x
dx 44
C x arcTan 21x
1xLn
23.
dx
1x27
1x2x3
2
C3
1x6 arcTan
39
51x3Ln
81
21x3x9Ln
162
5 2
24.
dx
4x 3x2
10xx2
2
C 2
x arcTan
3x2
4xLn
2
1 2
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61
25.
22
5
4t
dt t C
4t
84tLn4
2
t2
22
26.
22
3
1x
dx 3xx C
1x
11xLn
2
12
2
27.
dx
x9x4
18x3
C 3
x2 arcTan
6
1
x
9x4Ln
2
2
28.
22
4
1x
dxx C
)1x(2
x x arcTan
2
3x
2
29.
22 1x
dx C x arcTan
1x
1
2
12
30.
dz
5z2z
10z15zz52
23
C
5z2z8
1547z-
2
1-z arcTan
16
655z2zLn
2
52
2
31.
dx
xTan1
xSec 1xSec3
22
C3
1x Tan 2 arcTan
3
2x Tan1Ln
2
1
32.
1xxx
dx xx23
2
C x arcTan1xLn
33.
dz
y9y
9y9y9y3
235
C 9yLn3
y 423
34.
dx
2x x
8x2x422
2
C2
xarcTan
4
2
2x
xLn
4x2
x2
2
2
35.
dx
2x
x4x32
35
C)2x(Ln2
1
)2x(
1 2
22
36.
dz
)2z2z)(2z(
2z3z22
2
C 1)(z arcTan2zLn2
Integral Definida
La expresión anterior se lee “la integral definida de f(x) desde a hasta b”
Cuando has hallado el valor de la integral se dice que has evaluado la integral
b
af(x) dx
Integrando Signo de la Integral
Limite superior de Integración
Limite inferior de Integración
Diferencial, x es la variable de integración
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Sea f(x) una función definida en el intervalo [a,b], entonces la integral definida de f(x) de a y b
denotada por dx)x(fb
a esta dado por: dx)x(fb
a = [F(x) + C] = F(b) – F(a)
Propiedades de la integral definida
1) 0dx)x(fa
a
2) a
b
b
adx)x(fdx)x(f
3) b
a
b
adx)x(fkdx)x(kf
4) teck )ab(kdxkb
a
5) dx (x)f dx (x)f dx (x)f dx (x) f (x)f (x)fb
an
b
a2
b
a1
b
an21
6) bca tq c dx f(x) dx f(x) dx f(x)b
c
c
a
b
a
7) )ab(máxfdx)x(f)ab(mínfb
a siendo el mínf y máx. el mínimo y el máximo relativo
de la función f en el intervalo [a,b]
8) a) ba, x g(x) f(x) si dx)x(g dx)x(f b
a
b
a
b) ba, x 0 f(x) si 0dx)x(f b
a
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 5
1
232 dx1xx
25
2 3
1x x 1 dx
53 2 2
1(x +1) x dx (1)
Cambio de variable
Sea 3x 1 = v 3x2dx = dv 3
dvdxx2
Sustituyendo v y dv en (1) se tiene
5
2
1
3
dvv
3
v(2)
3
Quitando la variable v 5
3 3
1
3 3 3 3
(x 1)
3
(5 1) (1 1)
3 3
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63 3
3
(125 1)
3
124
3
3
252 3
1
124x x 1 dx
3
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular
0
2dx4xcos
2
0cos(x) 4 dx
2
0
2
0
0
0
0
0
Cos(x) 4 dx
Cos (x) 8Cos(x) 16 dx
11 Cos(2x) 8Cos(x) 16 dx
2
1 1Cos(2x) 8Cos(x) 16 dx
2 2
1 33Cos(2x) 8Cos(x) dx
2 2
1 33Sen(2x) 8Sen(x) x
4 2
1 3Sen(2 ) 8Sen( )
4
3 1 33Sen(0) 8Sen(0) 0
2 4 2
1 33 1 330 8 0 0 8 0 0
4 2 4 2
33
2
2
0
33cosx 4 dx
2
EJERCICIOS PROPUESTOS
INTEGRACIÓN DEFINIDA
Integral Respuesta
Integral Respuesta
1. 3
3dx 0 17.
r
0 22 xr
dx r
2r
2. 2
1dx 5x2 8 18.
1
0 x23
dx 13
3. 1
0
2 dx 3x2x 7/3 19.
2
0
3
1x
dxx 8/3 - Ln 3
4. 1
1
2dx 1x 8/3 20.
a
0
2dxxa
6a2
5. 2
0dx 1x4 13/3 21.
0
dx 1x 3Cosx 2Sen 4
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64
6.
0dx x Sen 2 22.
4
0
2
1x
dxx 5,6094
7.
0dx x Cos 0 23.
1
0 x3e
dx 0,3167
8.
2
42
dx x Sen
x Cos 12 24.
0
21
d 2Cos2 4
9. 6
0 2dx
2x Cos
2x Sen 1/2 25.
2
0
33 dx xCos xSen 1/12
10.
1
0 31x2
dx 2/9 26.
4
0
4 dx xSec 4/3
11. 2
1dx 32x1x -3/2 27.
2
1dx x Ln 1
e
2Ln2
12.
0
2dx 4x Cos
2
33 28.
1
0
xdxe e-1
13.
2
1
2 dx 2x5x2
1 0 29.
a
a
22 dx xa 2
a2
14. a
0
32 dx xxa 4a2
30.
a
0 22 xa
dx
a4
15. e
0 x
dx 1 31.
9
21
dx
x 9 5 Ln
12
1
16.
3
2 2t1
tdt2 Ln 2 32.
1
0 2
x
dx1x
xe 2e
2
1
Longitud de Arco de una Curva Plana
Def. Sea f(x) una función continua en el intervalo [a , b]. En base a la gráfica de la función y =
f(x) la cual se muestra en la figura adjunta podemos establecer el arco de la función dada como
la porción de la curva desde el punto A=(a ,f(a)) hasta el punto B=(b ,f(b)), al cual podemos
asignar un número real como su longitud denotado por L que puede ser calculado por la
fórmula
Análogamente para una curva dada por x = f(y) la longitud de arco entre c y d estará dada por:
• •
Y=f(x)
a b
y
x
A=(a ,f(a)) B=(b ,f(b))
dx)x('f1Lb
a
2
dy)y('f1Ld
c
2
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Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular la longitud del arco de la curva x) Ln(cos y entre x = 0 y 4
x
y Ln(cos x)
Sen(x)y '
Cos(x)
2 2
2 2
(y ') Tan(x)
(y ') Tan (x)
(y ') 1 Tan (x) 1
2 2
2 2
2
(y ') 1 Sec (x)
(y ') 1 Sec (x)
(y ') 1 Sec(x)
Usando la fórmula para el calculo de la
longitud de arco se tiene:
b2
a
4
0
4
0
L (y ') 1dx
Sec(x)dx
Ln Sec(x) Tan(x)
Ln Sec( ) Tan( ) Ln Sec(0) Tan(0)4 4
Ln 2 1 Ln 1 0
Ln 2 1 0,8819 u.c.
Finalmente se tiene que L Ln 2 1 0,8819 u.c.
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular la longitud del arco de la curva x2
1
6
xy
3
en el intervalo [1/2 , 2]
3
1
2 2
2 2
x 1y x
6 2
1 1y ' x x )
2 2
1y ' (x x )
2
2
2 2 2
2 2 2 2
2 4 2 2 4
1(y ') (x x )
2
1(y ') (x x )
4
1(y ') x 2x x x
4
2 4 4
2 4 4
2 4 4
1 4(y ') 1 x 2 x
4 4
1(y ') 1 x 2 x 4
4
1(y ') 1 x 2 x
4
22 2 2
22 2 2
2 2 2
1(y ') 1 x x
4
1(y ') 1 x x
4
1(y ') 1 x x
2
Luego aplicando la fórmula para el calculo de la longitud
de arco se tiene:
b
2
a
22 2
12
23
12
3
3
L (y ') 1 dx
1x x dx
2
1 x 1
2 3 x
1
21 2 1 1
2 3 2 3 1
2
1 8 1 12
2 3 2 24
1 8 1 12
2 3 2 24
1 64 12 1 48
2 24
99
48
33
16
Finalmente se tiene que 33L u.c.
16
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Ejemplo Ilustrativo 3 Compruebe que la longitud de una circunferencia de radio r es L 2 r
La ecuación de una circunferencia con centro
en el origen y radio r esta dada por: 2 2 2y x r con lo cual no pierde generalidad el
problema, así tenemos que: 2 2 2
2 2
y x r
y r x
2y '
x
2 2 2
22
2 2
22
2 2
2 2 22
2 2
22
2 2
2
2 2
r x
x(y ')
r x
x(y ') 1 1
r x
x r x(y ') 1
r x
r(y ') 1
r x
r(y ') 1
r x
Como la circunferencia es simétrica respecto al
origen, al eje x y respecto al eje “y” podemos
calcular una cuarta parte de su longitud y
multiplicarla por 4. por lo que el recorrido de
la variable x será desde x=0 hasta x=r
Usando la fórmula para el calculo de la
longitud de arco se tiene:
b2
a
r
0 2 2
r
0 2 2
L (y ') 1dx
r4 dx
r x
dx4r
r x
Sea x r Sen( ) dx r Cos( )d por consiguiente
la integral anterior se transforma en:
2 2
2 2
r Cos( )d4r
r (r Sen( ))
r Cos( )d4r
r 1 Sen ( )
r Cos( )d4r
r Cos( )
4r d
4 r
xYa que x r Sen( ) arcSen
r
rSi x=r arcSen arcSen 1
2r
0Si x=0 arcSen arcSen 0 0
r
2
0L 4 r
L 4r 0 L 4r L 2 r2 2
EJERCICIOS PROPUESTOS
LONGITUD DE ARCO
1.- Calcular la longitud del segmento de la recta y = 3x desde el punto (1 , 3) al punto (2 , 6)
Resp. .c.u10
2.- Calcular la longitud del segmento de la recta 4x + 9y = 36 desde el punto (-2 , 2) al punto
(4 , 0) Resp. .c.u97
3.- Encuentre la longitud de arco de la curva 9y2 = 4x3 desde el origen hasta el punto (3 ,
32 ) Resp. .c.u3
14
4.- Hallar la longitud de arco de la curva 8y = x4 + 2x-2 desde el punto donde x = 1 hasta el
punto donde x = 2 Resp. .c.u16
33
5.- Hallar la longitud de arco de la curva y3 = 8x2 desde el punto (1 , 2) hasta el punto (27 ,
18) Resp. .c.u)12597(27
1 23
6.- Calcule la longitud de arco de la curva 23
2 )2x(3
1y desde el punto donde x = 0 hasta el
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punto donde x = 3 Resp. 12 u. c.
7.- Obtenga la longitud de arco de la curva )1x3(x3
1y desde el punto donde x = 1 hasta el
punto donde x = 4 Resp. .c.u3
22
8.- Hallar la longitud de arco de la curva 1xy 32
32
desde el punto donde x = 1/8 hasta el
punto donde x = 1 Resp. .c.u8
9
9.- Hallar la longitud de arco de la curva 1b
x
a
y 32
32
en el primer cuadrante desde el punto
donde x= a8
1 hasta el punto donde x= a Resp. .c.u)ba(8
)b3a(a822
23
223
10.- Hallar la longitud de arco de la curva 22 )3x(xy9 en el primer cuadrante desde el punto
donde x = 1 hasta el punto donde x = 3 Resp. .c.u3
432
11.- Hallar la longitud de arco total de la Hipocicloide 323
23
2
ab
x
a
y
Resp. 6a u.c.
12.- Hallar la longitud de arco de la curva y = Ln(x) entre los limites x = 3 y x = 8
Resp. .c.u2
3Ln
2
11
13.- Calcular la longitud de arco de la curva y = 1-Ln[cos(x)] entre los limites x = 0 , 4
x
Resp. .c.u8
3TanLn
14.- Hallar la longitud de arco de la curva 23
xy desde el punto (0 , 0) hasta el punto (4 , 8)
Resp. .c.u1101027
8
15.- Hallar la longitud de arco de la curva x4
1
3
xy
3
desde el punto donde x = 1 hasta el punto
donde x = 3 Resp. .c.u6
53
16.- Hallar la longitud de arco de la curva 2
4
y8
1
4
yx desde el punto donde y = 1 hasta el
punto donde y = 2 Resp. .c.u32
123
17.- Hallar la longitud de arco de la curva 32 x4)1y( desde el punto donde x = 0 hasta el punto
donde x = 1 Resp. .c.u1101027
4
18.- Hallar la longitud de arco de la curva y3 = x2 desde el punto (0 , 0) hasta el punto (8 , 4)
Resp. 9,07 u.c.
19.- Hallar la longitud de arco de la parábola semicúbica x3 = ay2 desde el origen hasta la
ordenada x = 5a Resp. .c.u27
a335
20.- Calcular la longitud de arco de la curva x2
1
6
xy
3
desde el punto de abscisa x = 1 hasta el
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punto de abscisa x = 3 Resp. .c.u3
14
21.- Hallar la longitud de arco de la parabola y2 = 2px desde el vértice hasta un extremo del lado
recto. Resp. .c.u)21(Ln2
p
2
2p
22.- Calcular la longitud de arco de la curva y2 = x3 desde el punto donde x = 0 hasta el punto
donde x = 5/9 Resp. .c.u27
19
23.- Calcular la longitud de arco de la parábola 6y = x2 desde el origen hasta el punto (4 , 8/3)
Resp. 4,98 u.c.
24.- Determinar la longitud de arco de la curva y = Ln[Sec(x)] desde el origen hasta el punto
Ln2 ,
3 Resp. .c.u)32(Ln
25.- Hallar la longitud del arco de la hipérbola x2 – y2 = 9 comprendido entre los puntos (3 , 0) y
(5 , 4) Resp. 4,56 u.c.
26.- Hallar la longitud de arco de la parábola y = 4x - x2 que está por encima del eje de las x
Resp. 9,29 u.c.
27.- Hallar la longitud de arco de la curva 23
xy desde el punto donde x = -1 hasta el punto
donde x = 8 Resp. .c.u5,10.c.u161080131327
1
28.- Demostrar que la longitud de una circunferencia de radio r es .c.ur2
29.- Hallar la longitud de arco de la curva 32
xy desde el punto (1 , 1) hasta el punto (8 , 4)
Resp. .c.u6,7.c.u134027
1 23
23
30.- Hallar la longitud de arco de la curva 21
23
xx3
1y desde el punto donde x = 1 hasta el
punto donde x = 9 Resp. .c.u6
53
31.- Hallar la longitud de arco de la curva 1x2
3y 2
3
en el intervalo [0,1]
Resp. 97 3297 1,834
486 243
32.- Hallar la longitud de arco de la curva 3
5
x6
1
10
xy en el intervalo [1,2] Resp. 779
3,246240
33.- Hallar la longitud de arco de la curva 2
eey
xx en el intervalo [0,2] Resp. 2
34.- Hallar la longitud de arco de la curva 1x2
3y 2
3
en el intervalo [1,8]
Resp. 664 97166 97 33,240
243 486
35.- Hallar la longitud de arco de la curva 1x2
3y 2
3
en el intervalo [0,4]
Resp. 340 3285 12,768
243 243
36.- Hallar la longitud de arco de la curva y2
1
4
yx
4
en el intervalo [1,2]
37.- Hallar la longitud de arco de la curva 32
833
4
xx4
3y desde el punto donde x = 1 hasta el
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punto donde x = 8
38.- Hallar la longitud de arco de la curva 4x4
1xxx
3
1y 23
desde el punto donde x = 0
hasta el punto donde x = 2 Resp. 53
6
Área de una Región en Coordenadas Cartesianas
Área bajo una curva
Def. Sea R la región acatada por la curva y = f(x) el eje x y las rectas verticales x = a , x = b.
Entonces la medida del área de la región R está dado por:
Análogamente para una curva dada por x = f(y) el área bajo la curva entre c y d puede ser
calculada mediante la fórmula:d
cA f(y)dy
Considero de suma importancia destacar que, en la fórmula b
aA f(x)dx , f(x) representa una
altura en el eje y, lo cual significa la altura del rectángulo auxiliar y no la estructura algebraica
o configuración de la función como tal. De igual manera en d
cA f(y)dy , f(y) representa el
ancho del rectángulo auxiliar.
b
R
a
y
(x ,f(x))
b
adx)x(fA
Y=f(x)
x dx
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70
Ejemplo Ilustrativo 1 Hallar el área acotada por la parábola y2=x – 1 y la recta x = 3
El área se muestra en la fig. 1, como la
parábola es simétrica respecto al eje x se
puede calcular el área de la parte superior y
multiplicarla por 2
Trabajemos usando el rectángulo auxiliar
vertical.
Según la grafica se puede observar que la
altura del rectángulo auxiliar es f(x)=y que en
la parábola será y x 1 por lo cual el área
en cuestión será:
b
a
3
1
A f(x)dx
A 2 x 1dx
Haciendo u=x-1du=dx
12
32
3
3
1
3 3
2
A 2 u du
A 2 u du
2A 2 u
3
4A (x 1)
3
4A (3 1) (1 1)
3
4A 8
3
4A 2 2
3
8A 2 u c
3
Fig. 1
(x ,f(x))
y
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71
Ejemplo Ilustrativo 2 Consideremos el ejemplo ilustrativo 1 para resolverlo tomando el
rectángulo auxiliar horizontal
La figura a la derecha muestra el área a calcular
Trabajemos usando el rectángulo auxiliar
horizontal.
Según la gráfica se puede observar que x+a=3
siendo a el ancho del rectángulo auxiliar, en la
parábola y2=x – 1 al despejar la variable x
obtenemos x=y2+1 por lo cual la ecuación
x+a=3 se convierte en: (y2+1)+a=3 de la cual
despejamos el ancho del rectángulo auxiliar
para obtener: a=-y2+2 por lo que el área en
cuestión será:
d
c
22
2
23
2
3 3
2
A f(y)y
A ( y 2)dy
yA 2y
3
( 2) ( 2)A 2( 2) 2( 2)
3 3
2 2A 2 2 2 2 2 2
3 3
4A 2 4 2
3
4A 2 4 2
3
4A 4 2
3
8A 2 u c
3
X= f(y) a
3
(3, 2)
(3, 2)
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72
Ejemplo Ilustrativo 3 Hallar el área del circulo x2 + y2 = 9
La ecuación 2 2y x 9 representa una
circunferencia con centro en el origen y radio 3
por lo tanto el área del circulo será la región
interna a dicha circunferencia, así tenemos
que: 2 2 2 2 2y x 3 y 3 x . Como la
circunferencia es simétrica respecto al eje x
podemos calcular el área de la parte superior
representada por la ecuación 2 2y 3 x ,
como dicha región equivale la mitad del área
requerida debemos multiplicarla por 2. por lo que
el recorrido de la variable x será desde x=-3
hasta x=3.
En la grafica podemos ver que el alto del
rectángulo es 2 2y 3 x por lo que:
32 2
3A 2 3 x dx
Haciendo x 3 Sen( ) dx 3 Cos( )d
xYa que x 3 Sen( ) arcSen
3
3 3Si x=-3 arcSen arcSen 123
3Si x=3 arcSen arcSen 1
23
por consiguiente la integral anterior se transforma
en:
32 22
2
32 22
2
32
2
322
2
32
2
2 3 (3 Sen( )) 3 Cos( )d
2 3 1 Sen ( ) 3 Cos( )d
2 3 Cos( ) 3 Cos( )d
18 Cos ( )d
9 1 Cos(2 ) d
32
2
32
2
2
2
9 1 Cos(2 ) d
19 Sen(2 )
2
3 1 3 19 Sen(2 ) Sen(2 )
2 2 2 2 2 2
3 1 19 Sen(3 ) Sen( )
2 2 2 2
39 0 0
2 2
9 u c
A 9 u c
(x ,f(x))
y
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73
Ejemplo Ilustrativo 4 Hallar el área acotada por la curva y = (x – 1)3 y las rectas x = -1 , x = 3
El área a la cual se refiere el problema se
muestra en la grafica a la derecha y está
compuesta por dos áreas A1 y A2, así que
el área total será la suma de ambas At =
A1+A2 Trabajemos usando el rectángulo
auxiliar vertical para ambas áreas.
Según la gráfica se puede observar que la
altura para cada uno de los rectángulos
auxiliares es f(x)=y =(x – 1)3
b
a
13
1
A1 f(x)dx
A1 (x 1) dx
Haciendo el cambio de variable
z=x-1du=dx
Si x=-1z=-2 Si x=1z=0
03
2
04
2
4 42
A1 z dz
z
4
0 ( 2)A1 4 u c
4 4
Observe que en el resultado de A2 se
obtuvo un valor negativo, esto de debe a
que esta región está por debajo del eje x
debido a que x ( 1,1) y=(x–1)3 es
negativa. Por tanto tomamos el valor
absoluto de este resultado puesto que una
área no puede ser negativa así A1=4 u2c
Para calcular A2 tomamos el mismo cambio de
variable anterior pero
Si x=1z=0 Si x=3z=2 obteniendo:
2
3
0
24
0
4 42
A2 z dz
z
4
2 (0)A2 4 u c
4 4
Para finalizar podemos concluir que:
2 2
2
Como At A1 A2
At A1 A2
At 4 u c 4 u c
At 8 u c
y
y
A2
A1
(-1,-8)
(3 , 8)
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74
Ejemplo Ilustrativo 5 Demuestre que el área de un triángulo de altura H y base B está dada por
la fórmula 1A B H
2
La ecuación canónica de la recta es x y1
A B
donde A es el corte con el eje x y B es el corte
con el eje y en nuestro caso el corte con el eje x
es B y el corte con el eje y es H por lo que
x y1
B H
Hx By HB
HB Hxy
B
Hy (B x)
B
Hf(x) (B x)
B
Aplicando la fórmula del área bajo una curva
tenemos:
b
a
B
0
B
0
B2
0
2 2
22
A f(x)dx
HA (B x)dx
B
HA (B x)dx
B
H xA Bx
B 2
H B 0A BB B 0
B 2 2
H BA B
B 2
HA
B
2B
2
1A BH
2
y
x
H
B
(0 , H)
(B , 0)
Hf(x) (B x)
B
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75
Área entre dos curvas
Sean f y g dos funciones continuas en el intervalo [a,b] y f(x) ≥ g(x) a lo largo de [a,b]
entonces el área de la región entre las curvas y = f(x) y y = g(x) desde x=a, hasta x = b esta
dada por:
Es importante resaltar que f(x)-g(x) representa la altura del rectángulo auxiliar y que f(x) es la
curva que se encuentra más alejada del eje x y g(x) es la curva que se encuentra mas cerca del
eje x
Análogamente Sea f y g dos funciones continuas en el intervalo [a,b] y f(y) ≥ g(y) a lo largo de
[c,d] entonces el área de la región entre las curvas x = f(y) y x = g(y) desde y=c, hasta y = d
esta dada por:
d
cA f(y) g(y) dy
De igual manera hay se debe resaltar que f(y)-g(y) representa el ancho del rectángulo auxiliar
y que f(y) es la curva que se encuentra más alejada del eje y, y g(y) es la curva que se
encuentra mas cerca del eje y
dx
y
R
Y=f(x)
a b x
(x ,f(x))
(x ,g(x))
Y=g(x)
b
adx)x(g)x(fA
f(x)
g(x)
f(x)-g(x)
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76
Ejemplo Ilustrativo 1 Hallar el área acotada por la parábola y=3-x2 y la recta y=x+1
El área se muestra en la figura adjunta a la
derecha.
Calculemos los puntos de intersección de ambas
curvas para ello resolvemos el sistema de
ecuaciones formador por:
22 2y 3 x
3 x x 1 x x 2 0y x 1
(x 2)(x 1) 0
x 2 0 x 2
x 1 0 x 1
Lo cual indica que x varia desde -2 hasta 1
siendo estos los limites de integración
Trabajemos usando un rectángulo auxiliar
vertical así, como f(x)>g(x) la altura del
rectángulo será: f(x)-g(x)= 3-x2-(x+1)
2
2
f x g x 3 x x 1
f x g x x x 2
b
a
12
2
13 2
2
3 2 3 2
2
A f(x) g(x) dx
A ( x x 2)dx
x xA 2x
3 2
1 1 ( 2) ( 2)A 2 1 2( 2)
3 2 3 2
1 1 8A 2 2 4
3 2 3
9 1A 8
3 2
1A 5
2
10 1 9A A u c
2 2
2f(x) 3 x
g(x) x 1
(1 , 2)
(-2 , -1)
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77
Ejemplo Ilustrativo 2 Hallar el área acotada por las parábolas y = x2 – 4 ; y = -x2 – 2x y la
recta x= -3
En la gráfica a la derecha se muestra el área
a la cual se refiere el problema la cual se
compone por dos áreas A1 y A2, por esta
razón el área total será la suma de ambas
áreas At = A1+A2, usaremos un rectángulo
auxiliar vertical para cada área. Según la
gráfica se puede observar que para A1 la
altura del rectángulo es:
2 2
2
2
f(x) g(x) (x 4) ( x 2x)
f(x) g(x) 2x 2x 4
f(x) g(x) 2(x x 2)
mientras que para A2 la altura del
rectángulo es:
2 2
2
2
g(x) f(x) ( x 2x) (x 4)
g(x) f(x) 2x 2x 4
g(x) f(x) 2(x x 2)
Calculemos los puntos de intersección de
ambas curvas para lo cual resolvemos el
sistema de ecuaciones formador por:
22 2
2
2
2
y x 4x 4 x 2x
y x 2x
2x 2x 4 0
2(x x 2) 0
(x 2)(x 1) 0
x 2 0 x 2
x 1 0 x 1
Seguidamente calcularemos A1
22
3
2 23 2
3 2
3 3
3 2 3 2
A1 2 (x x 2)dx
x x 1A1 2 2x 2x 3x 12x
3 2 3
1A1 2 2 3 2 12 2 2 3 3 3 12 3
3
2
1 1A1 16 12 24 54 27 36 A1 90 79
3 3
11A1 u c
3
A2 es el resultado opuesto a la integral anterior
pero evaluada desde -2 hasta 1
12
2
1 13 2
3 2
2 2
3 2 3 2
A2 2 (x x 2)dx
x x 1A2 2 2x 2x 3x 12x
3 2 3
1A2 2 1 3 1 12 1 2 2 3 2 12 2
3
2
1 1A2 2 3 12 16 12 24 21 48
3 3
1A2 27 A2 9 u c
3
Finalmente 2 211At A1 A2 At u c 9 u c
3
238At u c
3
2f(x) x 4
2g(x) x 2x
(1 , -3)
(-2 , 0)
A2
A1
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Ejemplo Ilustrativo 3 Hallar el área acotada por las curvas 3 2y 2x -3x -9x ; 3 2y x 2x 3x
A la derecha se muestra la grafica con el
área a la cual se refiere el problema observe
que se compone por dos áreas A1 y A2, así
el área total será la suma de ambas áreas At
= A1+A2, usaremos un rectángulo auxiliar
vertical para cada área. Según la gráfica se
puede observar que para A1 la altura del
rectángulo es:
3 2 3 2
3 2
f(x) g(x) (2x 3x 9x) (x 2x 3x)
f(x) g(x) x x 6x
mientras que para A2 la altura del
rectángulo es:
3 2 3 2
3 2
g(x) f(x) (x 2x 3x) (2x 3x 9x)
g(x) f(x) (x x 6x)
Calculemos los puntos de intersección de
ambas curvas para lo cual resolvemos el
sistema de ecuaciones formador por:
3 2
3 2
3 2 3 2
3 2
2
y 2x 3x 9x
y x 2x 3x
2x 3x 9x x 2x 3x
x x 6x 0
x(x x 6) 0
x(x 3)(x 2) 0
x 0
x 3 0 x 3
x 2 0 x 2
Seguidamente calcularemos A1
03 2
2
0 04 3
2 4 3 2
2 2
4 3 2
A1 (x x 6x)dx
x x 1A1 3x 3x 4x 36x
4 3 12
1A1 3 2 4 2 36 2
12
1 1
A1 48 32 144 A1 144 8012 12
64A1
12
216A1 u c
3
A2 es el resultado opuesto a la integral anterior
pero evaluada en los limites -2 y 1
33 2
0
3 34 3
2 4 3 2
0 0
4 3 2
A2 (x x 6x)dx
x x 1A2 3x 3x 4x 36x
4 3 12
1A2 3 3 4 3 36 3
12
2
1 1A2 243 108 329 A2 243 432
12 12
189 63A2 A2 u c
12 4
Finalmente 2 216 63At A1 A2 At u c u c
3 4
264 189 253At At u c
12 12
3 2f (x) 2x 3x 9x
(-2 , -10)
(0,0)
A2
A1 (3,0)
3 2g(x) x 2x 3x
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79
Ejemplo Ilustrativo 4 Hallar el área acotada por las curvas xy x e , 2 xy x e en el primer
cuadrante.
El área se muestra en la figura adjunta a la
derecha.
Para calcular los puntos de intersección de
ambas curvas resolvemos el sistema de
ecuaciones formador por:
2 x2 x x
x
x
x
y x ex e xe
y xe
xe (x 1) 0
x 0
e 0 No tiene solución
x 1 0 x 1
Así tenemos que x varia desde 0 hasta 1 siendo
estos los limites de integración
Trabajemos usando un rectángulo auxiliar
vertical por tanto como f(x)>g(x) la altura del
rectángulo será:
x 2 x
2 x
f(x) g(x) xe x e
f(x) g(x) (x x )e
1
2 x
0A (x x )e dx Esta integral se resuelve por
el método de integración por partes. 2
x x
u x x du (1 2x)dx
dv e dx v e
12 x 2 x x
0
I1
A (x x )e dx (x x )e e (1 2x)dx
I1 se resuelve de la misma forma:
x x
u 1 2x du 2dx
dv e dx v e
2 x x
2 x x x
x 2 x x x x
1x 2
0
1 2 0 2
2
A (x x )e e (1 2x)dx
A (x x )e (1 2x)e ( 2)e dx
A xe x e e 2xe 2e
A e (x 3x 3)
A e (1 3 1 3) e (0 3 0 3)
A e 3 A (3 e) u c
xf(x) xe
(1 , e)
(0 , 0)
2 xg(x) x e
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80
Ejemplo Ilustrativo 5 Hallar el área acotada por las curvas 3y 2y+x =0 , 3y x 0
Las curvas en cuestión son simétricas respecto
al origen así como también las regiones por lo
tanto basta con calcular el área de una región y
multiplicarla por 2. Por la forma de las funciones
es más recomendable usar un rectángulo
auxiliar horizontal. Según la gráfica en el primer
cuadrante se puede observar que f(y)>g(y)
Calculemos los puntos de intersección de ambas
curvas para lo cual resolvemos el sistema de
ecuaciones formador por:
33 3
3
3
2
2
x y 2yy 2y y
x y
2y 2y 0
2y(y 1) 0
y 0
y 1 0 y 1
De esta forma el área a calcular será:
d
c
13 3
0
13
0
14 2
0
1
4 2
0
4 2 4 2
2
A f(y) g(y) dy
A 2 ( y 2y y )dy
A 2 ( 2y 2y)dy
y yA 4
4 2
A y 2y
A 1 2 1 0 2 0
A 1 u c
3f(y) y 2y
(1 , 1)
(-1 , -1)
3g(y) y
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81
EJERCICIOS PROPUESTOS
En los siguientes ejercicios calcule el área acotada por las curvas dadas
Curvas Resp.
Curvas Resp.
1. x eje ;x-4 y 2 cu2
32 2 2. 01yx
0;1yx2
cu
6
1 2
3. 4x 0;x ;x y 3 cu64 2 4. 19 1x y ; 13x y cu2
3 2
5. 3 x 1; x ; x-4 y 2 cu3
22 2 6. -2 y 0;x ;y2 x 23 cu5
12 2
7. 3 x 0; x ; x-9 y 2 cu18 2 8. 21 2yx ; xy2 cu2
9 2
9. 3x;2x x; eje 1;x x y 2 cu6
59 2 10. -xy ; x-2 y 2 cu2
9 2
11. 3x;3x x; eje x;2 3xx y 23 cu54 2 12. 23 2yx ; xy2 cu 6 2
13. x eje 12;-x x y 2 cu6
343 2 14. 3x 1;-x y2 cu33
8 2
15. bx ;ax x; eje ;kxy 2 cua
bLnk 22
16. 1x y ;x-3 y 2 cu2
9 2
17. 32x;3 x x; eje ; x Sen y cu1 2 18. 3x y ; x y cu
12
5 2
19. 0 y 4x;xy 2 cu2
32 2 20. -8 y 0;4yx2 cu3
32 2
21. 33xy 1;x2 x y 2 cu2
9 2 22. 043y-x ;x y 23 cu10
27 2
23. 1x;1x 1;-x y ;x y 2 cu3
7 2 24. x4x2y
2x;3xx y
2
23
cu
12
37 2
25. -4 y y;- x2 cu3
32 2 26. 22 y-6 x ; 2- y x cu3
64 2
27. 0y 0; x ; x Sen-x Cos y cu12 2 28. 0y ;x2y x; y cu1 2
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82
Sólidos de Revolución
Es un sólido que se obtiene al girar una región en un plano alrededor de una recta en el
plano llamada eje de revolución, la cual toca la frontera de la región, o no corta la región en un
punto.
1.- Si la región limitada por una semicircunferencia y su diámetro se hace girar sobre ese
diámetro se genera una esfera (Fig. No. 1).
2.- Si la región acotada por un triángulo rectángulo se hace girar sobre uno de sus catetos se
genera un cono recto circular (Fig. No.2).
Volumen de un sólido de Revolución.
Método del Disco
Este método se usa cuando el rectángulo auxiliar es perpendicular al eje de rotación y su
base hace contacto con este, además el eje de rotación es una frontera de la región que se
hace girar. Al decir frontera significa que el eje de rotación es un borde o pertenece a la región
que se rota, se le llama método del disco ya que al hacer girar el elemento rectangular
alrededor del eje de rotación el elemento auxiliar de volumen que se forma es un disco cuyo
radio es R como lo muestra la siguiente figura.
Definición: Sea f una función continua en el intervalo [a,b] y f(x) ≥ 0 x [a,b]. Si
denotamos por S el solidó de revolución obtenido el girar alrededor del eje x la región limitada
por la curva y =f(x) el eje x y las rectas verticales x=a x=b y si el volumen del sólido de
revolución S lo denotamos por V unidades cúbicas entonces:
Fig. No.2
dx dx
x
y
x=a
Y=f(x)
Y=f(x)=R
x=b
Eje de
rotación
2b
aV f(x) dx
Eje de Rotación Horizontal
Eje de Rotación
Vertical 2d
cV f(y) dy
b
2
aV R x dx
2d
cV R y dy
S
Fig. No.1
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83
Ejemplo Ilustrativo 1 Hallar el volumen del solidó de revolución generado al girar alrededor del
eje x la región acotada por la curva f(x) = x3 eje x y la recta x = 2
La figura adjunta a la derecha muestra el sólido
de revolución. Como el eje de rotación es una
frontera de la región a rotar se debe usar el
método del disco.
2b
aV f(x) dx como el radio del disco es
R(x)=f(x)=x3 la integral anterior se convierte
en:
2
3 2
0
26
0
27
0
7 7 73
V (x ) dx
V x dx
xV
7
2 0 2 128V V V u c
7 7 7 7
Ejemplo Ilustrativo 2 Compruebe usando el método del disco, que el volumen de una esfera de
radio r es 34V r
3
La figura a la derecha muestra media circunferencia
en negrita que se ha hecho girar alrededor del eje y
para obtener sólido de revolución (una esfera).
Como la circunferencia es simétrica respecto a los
ejes coordenados se calculará el volumen de media
esfera y se multiplicara por 2 esto se logra tomando
los limites de integración desde 0 hasta r si no se
quiere hacer esta simplificación se deberán
considerar los limites desde r hasta -r
2 2d r2 2
c 0
r3
r2 2 2
0
0
r3 3
2 2
0
V f(y) dy V 2 r y dy
yV 2 r y dy V 2 r y
3
y rV 2 r y V 2 r r
3 3
3 3 33
33
r 3r rV 2 r V 2
3 3
2r 4V 2 V r
3 3
y
x
2 2f(y) r y
R f(y)
(0 , r)
(0 , -r)
y
x
3f(x) x
R=y=f(x)=x3
X=2
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84
Ejemplo Ilustrativo 3 Determine el volumen del sólido de revolución generado si la región
limitada por un arco de la senoide es girada alrededor del eje x
En la figura a la derecha podemos observar que el
radio del elemento auxiliar del disco es R=Sen(x) y
un arco de ella esta comprendido entre x=0 y x=
por consiguiente el volumen requerido será:
2b
a
2
0
0
0
23
V f(x) dx
V Sen (x)dx
V (1 Cos(2x))dx2
Sen(2x)V x
2 2
Sen(2 ) Sen(2 0)V 0
2 2 2
0V V 0 V u c
2 2 2 2
Ejemplo Ilustrativo 4 Determine el volumen del sólido de revolución generado al girar sobre la
recta y=4 la región limitada por la curva y=x2 y la recta y=4
En la figura a la derecha podemos observar que
2R y 4 R 4 y R 4 x
2Si y 4 4 x x 2 por consiguiente el
volumen requerido será:
222
2
22 4
2
25
3
2
3
V 3 x dx
V 9 6x x dx
xV 9x 2x
5
32 32V 18 16 18 16
5 5
64V 4
5
84V u c
5
Observe que este volumen también puede
ser calculado 22
2
0V 2 3 x dx Por qué?
y
x
f(x) Sen(x)
R=f(x)=Sen(x)
(0 , )
y
x (0 , 0)
Y=f(x)=x2
4 R
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85
Ejemplo Ilustrativo 5 Determine el volumen del sólido de revolución generado al rotar sobre el
eje x la región limitada por la curva y=x3+3x2–x-3 y el eje x
En la figura a la derecha podemos observar que la
región a rotar esta formada por dos partes lo cual
se considera al tomar los limites de integración
desde x=-3 hasta x=1 por consiguiente el volumen
requerido será:
21
3 2
3V x +3x – x 3 dx
Como (x3+3x2–x-3)2= x6+6x5+7x4-12x3-17x2+6x+9
Entonces
1
6 5 4 3 2
3
17 5 3
6 4 2
3
V x 6x 7x 12x 17x 6x 9 dx
x 7x 17xV x 3x 3x 9x
7 5 3
Al evaluar esta integral se obtiene: 32048V u c
105
Por simetría el volumen también puede ser
calculado integrando desde x=-1 hasta x=1 y
multiplicando por 2
Ejemplo Ilustrativo 6 Calcula el volumen del sólido de revolución generado al rotar sobre el eje
“y” la región limitada por la curva y=x3 la recta y=8 y el eje y
Como se observa en la figura a la derecha el radio
del disco es x el cual se despeja de la función
original para obtener 133R x y y
Así el volumen del sólido será:
2d
cV R dy Entonces
8
5 5 5283 3 3 3
0
0
3
3 3V y dy V y V 8 0
5 5
3V 2
5
53
33 96
V 32 V u c5 5
R=x
x
(2,8)
y=x3
y=8
(0,0)
y
x (-3,0)
y=x3 +3x2–x-3
(-1,0)
(1,0)
y
R=y
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86
Ejemplo Ilustrativo 7 Encuentre por integración el volumen de un cono recto circular de altura
h y base b.
La ecuación canónica de la recta es x y1
A B
donde A es el corte con el eje x y B es el corte
con el eje y en nuestro caso el corte con el eje x
es b y el corte con el eje y es h por lo que
x y1
b h
hx by hb
hb hxy
b
bx (h y)
h
bf(y) (h y)
h
Por la gráfica podemos ver que R=f(y)
Aplicando la fórmula del volumen tenemos:
2d
c
2h
0
2h
2
2 0
2h
2 2
2 0
h2 3
2 2
2
0
22
2
V R dy
bV (h y) dy
h
bV (h y) dy
h
bV (h 2hy y )dy
h
b yV h y hy
3h
bV h h
h
2hh3
2
2
h
3
bV
h
3h
2
3
1V b h
3
y
x
R
(0 , h)
(b , 0)
bf(y) (h y)
h
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87
Método de la arandela o del anillo
Este método se usa cuando el rectángulo auxiliar es perpendicular al eje de rotación y su
base no hace contacto con este, además el eje de rotación no es una frontera de la región que
se hace girar. Se le llama método del anillo ya que al hacer girar el elemento rectangular
alrededor del eje de rotación el elemento auxiliar de volumen que se forma es un anillo cuyo
radio interno es r y cuyo radio externo es R se miden desde el eje de rotación como lo muestra
la siguiente figura.
Sean f y g dos funciones continuas en el intervalo [a,b] y f(x) ≥ g(x) a lo largo de [a,b],
si denotamos por S el solidó de revolución obtenido el girar alrededor del eje x la región
limitada por la curva y =f(x) el eje x y las rectas verticales x=a x=b y si el volumen del
sólido de revolución S lo denotamos por V unidades cúbicas tenemos:
Eje de Rotación Horizontal
b 2 2
aV f(x) g(x) dx
b2 2
aV R (x) r (x) dx
Eje de Rotación
Vertical
d 2 2
cV f(y) g(y) dy
d2 2
cV R (y) r (y) dy
x
dx
y
x=a
Y=f(x)
f(x)=R
x=b
Eje de Rotación
Y=g(x) g(x)=r
dx
S
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Ejemplo Ilustrativo 1 Calcula el volumen del sólido de revolución generado al rotar sobre la
recta y=8 la región limitada por la curva y2=x3 la recta x=4 y el eje x
Como se observa en la figura adjunta el radio externo del
anillo es R=8 y el radio interior se obtiene del siguiente
procedimiento: según la grafica a la derecha r+y=8
r=8-y siendo y= x3/2 se tiene que r=8-x3/2
Así el volumen del sólido será:
b2
aV (R r) dx Entonces
234
2 2
0
3432
0
V 8 8 x dx
V 64 64 16x x dx
V 64
6434
32
0
3432
0
44
52
0
4 45 52 2
3
16x x dx
V 16x x dx
32 xV x
5 4
32 4 32 0V 4 0
5 4 5 4
32 32V 64
5
1024V 64
5
704V u c.
5
R=8
x
(4,8)
y2=x3
y=8
(0,0)
y
y=x3/2
r
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EJERCICIOS PROPUESTOS
Para resolver los siguientes ejercicios utilice el método del disco o el método del anillo
En los ejercicios del 1 al 8 hallar el volumen del sólido de revolución que se
genera cuando la región indicada en la figura adjunta a la derecha, es
girada sobre el eje dado.
1.- La región R1 girada alrededor del eje X Sol. 64π U3 C.
2.- La región R1 girada alrededor de la recta x=4 Sol. 1024 π /35 U3 C.
3.- La región R1 girada alrededor de la recta y=8 Sol. 704 π/5 U3 C.
4.- La región R1 girada alrededor del eje Y Sol. 512 π/7 U3 C.
5.- La región R2 girada alrededor del eje X Sol. 192 π U3 C.
6.- La región R2 girada alrededor de la recta x=4 Sol. 3456 π /35 U3 C.
7.- La región R2 girada alrededor de la recta y=8 Sol.576 π/5 U3 C.
8.- La región R2 girada alrededor del eje Y Sol. 384 π/7 U3 C.
En los ejercicios del 9 al 14 hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al girar alrededor
del eje X la superficie limitada por las curvas dadas. 9.- /7128 Sol. 2x ;0 y y; x3
10.- 332 4
1Sol. x ;0 y ;x ay aa
11.- Una arcada de y = Cos(2x) 2 4
1Sol.
12.- )1( 2
1Sol. 5x ;0x ; 0 y ; e y 10x- e
13.- 48 Sol. 144y 16 9x 22
14.- )1( 4
1Sol. 1x ; 0 y ; xe y 2x e
En los ejercicios del 15 al 18 hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al girar alrededor
del eje Y la superficie limitada por las curvas dadas. 15.- /564 Sol. 2x ;0 y y; x3
16.- 7
32Sol. 2x ;0 y ;x 2y 32
17.- Sol.2 0x ; 0 y ; e y x
18.- 64 Sol. 144y 16 9x 22
Esta información ha sido Producida Recopilada y Transcrita por:
Pedro R. Guédez y Carmen L. Guédez
Se prohíbe su reproducción total o parcial con fines comerciales o de lucro
32 xy
8 , 4
R1
R2
A
B
C
O
0 , 4
8 , 0
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Bibliografía
Louis Leithold, El Cálculo con Geometría Analítica, Editorial Harla, México 1986
Rolan E. Larson Cálculo y Geometría Analítica, Mc Graw Hill, México 1999
Thomas / Finney, Cálculo de una variable, Paerson Educación, México 1998
Robert T. Smith y Roland B. Minton Cálculo Volumen I Mc Graw Hill, España 2002
N Piskunov, Cálculo Diferencial e Integral Editorial Limusa, México 2001
William Anthony Granville, Cálculo Diferencial e Integral Editorial Uteha, México 1952
Dennis Zill. C. Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Harla.
Ayres, Frank Y Elliot Mendelson. Cálculo. Editorial Mc Graw Hill
Swokowski, Eral. W. Cálculo Con Geometría Analítica. Editorial Iberoamericana
Purcell , Edwin y VARBERG, Dale. Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Prentice
Hall.
Michael Spivak. Calculus (Cálculo Infinitesimal) Tomos I y II Editorial Reverté España 1970
Elbridge P. Vance An Introduction To Modern Mathematics. Fondo Educativo
Interamericano S. A. EEUU 1968
Saturnino L Salas y Einar Hile Calculus de una y varias variables con Geometría
Analitica Editorial Reverté S. A. España 1977
George F Simmons Cálculo y Geometría Analítica. Editorial Mc Graw Hill España 2002
Laurence D Hoffmann Cálculo. Editorial Mc Graw Hill Colombia 2005
Antonio Ávila y otros Introducción al Cálculo. Editorial Mc Graw Hill Venezuela 2003
Fuenlabrada Samuel Cálculo Diferencial. Editorial Mc Graw Hill, México 2001
Fuenlabrada Samuel Cálculo Integral. Editorial Mc Graw Hill, México 2001
Muray Espiegel Cálculo Avanzado. Editorial Mc Graw Hill España 2004
Raymond A Barnett Precálculo Editorial Mc Graw Hill, México 1999