MATEMÁTICAS
1 G.F.S.
Guía de cálculo Integral
Periodo
Agosto-Diciembre Maestro: Gabriel Flores Sánchez
agosto 2017
MATEMÁTICAS
2 G.F.S.
ETAPA DE APERTURA Se pretende que en esta etapa de la secuencia, y a través de la estrategia: ejercicio vivencial, el alumno identifique y describa las experiencias y conocimientos previos, mediante: Actividad 1. Determina la derivada de las funciones algebraicas que se indican mediante el uso de los teoremas respectivos.
ETAPA DE DESARROLLO Desarrollo de saberes (Conocimientos previos): Se pretende que en esta etapa de la secuencia, el facilitador, mediante la técnicas expositiva, desarrolle el nivel conceptual y estructura cognitiva en los alumnos, para resolver adecuadamente las actividades de conclusión y cierre de acuerdo a:
La diferencial
Aprendizajes
Describir gráficamente la diferencial de una función.
Calcular por aproximación el área y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos, aplicando el concepto de diferencial.
Calcular por aproximación las raíces o potencias no exactas, aplicando el concepto de diferencial.
Determinar la diferencial de una función
La diferencial de una función.
En la práctica uno realizaste cálculos para obtener el incremento tanto del área como del perímetro de un
cuadrado, ahora se te presentará una forma más sencilla de obtenerlo utilizando la derivada de una
función, para ello se abordará el tema de “la diferencial de una función” y posteriormente se te
proporcionarán algunos ejemplos de su utilidad.
La diferencial de una función (dy) en un punto (xo, yo) es el incremento de la ordenada medido sobre la
tangente a la curva representativa en ese punto.
Si f(x) es una función que representa una medida física, su diferencial es una estimación del error
absoluto de dicha medida. El error absoluto es la diferencia entre el valor aproximado y el valor exacto.
La diferencia entre la diferencial de la función dy, y el incremento de la función Δy, se le conoce como el
error, el cual se visualiza en la siguiente gráfica:
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3 G.F.S.
Al observar la gráfica de la recta tangente trazada en el punto xo, se tiene que el ángulo de inclinación es
la razón que existe entre “dy” y “Δx”. El ángulo de inclinación de una recta equivale a la pendiente de la
recta tangente en el punto mencionado, este tema lo estudiaste en Matemáticas 3 y se expresa como
sigue:
Ahora bien si se denota a Δx como dx, se obtiene:
Despejando “dy” se logra la forma de obtener la diferencial de la función.
Anteriormente se mencionó que para resolver problemas de incrementos, como el mencionado en la
actividad 2, era más sencillo de resolverlo con la diferencial, es por ello que se retomará ese problema y
se resolverá utilizando la diferencial.
Teoremas sobre Diferenciales. Considerando que la diferencial de una función es el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente, se acepta que a cada fórmula de derivación (vistas en la asignatura de Cálculo Diferencial), le corresponde una diferenciación que se detallará a continuación.
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4 G.F.S.
APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO
A continuación se presentan varios ejemplos donde se calcula la diferencial de funciones, utilizando las fórmulas de diferenciación. Ejemplos:
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6 G.F.S.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 2. Ejercicio 1. Determina la diferencial de las siguientes funciones.
dy= (6x-11)dx
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8 G.F.S.
dy=240x
7(3x
8+5)
9dx
APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO
Ejemplo 1.
Tomando en cuenta que se trazó un cuadrado cuyo lado mide 3 unidades.
a) Si la longitud de sus lados se incrementa media unidad, ¿cuánto se incrementará su perímetro?
Cuando se posee la cuadrícula es sencillo contar de forma directa el incremento del perímetro cuando son unidades enteras, pero cuando no lo son, se puede recurrir a la diferencial, como se muestra a continuación. Se denominará a:
L : como la longitud del lado del cuadrado. P : es el perímetro del cuadrado.
Considerando que se solicita el incremento del perímetro, se expresa la función correspondiente:
P 4L
Tomando la fórmula de la diferencial dy = f’(x)dx , ajustándola a la notación de este problema, se expresa:
dP = P’(L)dL
Donde: dP significa el incremento del perímetro. P’(L) es la derivada de la función perímetro. dL es el incremento de la longitud de su lado.
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9 G.F.S.
Por lo tanto al tomar en consideración que la longitud del lado se incrementó en una unidad y la derivada del perímetro, se obtiene:
El perímetro se incrementó 2 unidades. b) Si la longitud de sus lados se incrementa un cuarto de unidad, ¿cuánto se incrementará su área?
Se denominará a:
L : como la longitud del lado del cuadrado.
A : es el área del cuadrado.
El área del cuadrado se expresa como:
A = L2
La diferencial del área queda de la siguiente forma:
dA = A’= (L)dL
Donde:
dA significa el incremento del área.
A’(L) es la derivada de la función área.
dL es el incremento de la longitud de su lado.
Al tomar en consideración que la longitud del lado se incrementó en dos unidades y la derivada del área,
se obtiene:
El área se incrementó 1.5 unidades cuadradas.
Ejemplo 2.
Obtener el valor aproximado del incremento en el volumen de un cubo, cuyos lados miden (o tienen una
longitud de) 2 m, considerando un aumento de 0.003 por lado.
Se hace un bosquejo del problema para entender qué se está pidiendo.
MATEMÁTICAS
10 G.F.S.
El volumen original del cubo es:
Entonces el diferencial del volumen es:
dV= 3L2 dL
Entonces, dV representa el incremento de volumen y dL representa el aumento del lado, así que
sustituyendo los valores se obtiene:
Esto significa que el cubo aumentó 0.036 m3.
Ejemplo 3.
Hallar el valor aproximado del volumen de una cáscara esférica de 200 mm de diámetro exterior y 1 mm
de espesor.
Primero se tiene que bosquejar el dibujo que representa el problema, para entenderlo mejor.
Se muestra la esfera:
El volumen de la cáscara es la parte sólida de la esfera, la cual se visualiza como un incremento del
volumen que ocupa la esfera en su interior, por lo tanto, es lo mismo que obtener el incremento de
volumen de una esfera de radio inicial 99 mm con un aumento de 1 mm de radio.
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11 G.F.S.
La fórmula del volumen de una esfera es:
Sustituyendo los datos se obtiene:
El volumen de la cáscara es aproximadamente de 123,163 mm3
Ejemplo 4.
Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm. de longitud, su lado aumenta 0.04 cm. ¿Cuánto
aumentó aproximadamente su área?
Encontrar el aumento de área es lo mismo que encontrar el dA.
La fórmula del área de un cuadrado es:
A = L2
Donde L es la longitud uno de los lados del cuadrado.
dA = 2LdL
Sustituyendo los datos se tiene:
Por lo tanto, el área presenta un aumento de 1.2 cm2
Ejemplo 5.
Al enfriar una placa cuadrada metálica de 20 cm. de longitud, su lado disminuye un 0.03%. ¿Cuánto
disminuirá porcentualmente su área?
Utilizando diferencial de área para resolver el problema se tiene:
El 0.03% que disminuye equivale a 0.006 cm, para verificar esto se multiplica 20 cm por 0.0003.
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12 G.F.S.
Para calcular cuánto disminuyó porcentualmente el área, se tiene que dividir el diferencial del área entre
el área inicial y multiplicarlo por cien.
Por lo tanto su disminución porcentual se obtiene de la siguiente forma:
Si el lado de la lámina disminuye el 0.03%, su área disminuye el 0.06%
Además de las aplicaciones de la diferencial en el cálculo aproximado de incrementos, podemos calcular o
determinar aproximaciones de radicales.
Ejemplo 6
Utilizar el concepto de diferencial para estimar el valor de
Solución. Sabemos que = 5. Por tanto, se necesita estimación para el incremento de ,
desde 25 a 27. La diferencial en este caso es:
Con x = 25 y dx = 2, el valor de dy es:
Significa que una variación de x desde 25 hasta 27 aumenta el valor de la raíz cuadrada en
aproximadamente 0.2 unidades. Por lo tanto:
Ahora bien, se puede comprobar que (5.2)2 = 27.04 por lo que nuestra estimación está muy cercana al
valor indicado en la raíz
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 2.
Ejercicio 2. Resuelve los siguientes problemas de aplicación de la diferencial
1. La pared lateral de un depósito cilíndrico de radio 50 cm y altura 1 m, debe revestirse con una capa de
concreto de 3 cm de espesor. ¿Cuál es aproximadamente la cantidad de concreto que se requiere?
Resp: 94247cm3= 0.094247m3
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13 G.F.S.
2. Calcula el incremento del área de un cuadrado cuyos lados tienen una longitud de 7 m, considerando
que éstos aumentaron 3 mm.
Resp: 42000mm2 = 0.042m2
3. Calcula el incremento aproximado del volumen de un cubo cuyos lados miden 7.3 m, considerando un
aumento de 0.007 m por lado.
Resp: 1.1109m3
4. Si la medida de la arista de un cubo es 12 pulgadas, con un posible error de 0.03 pulgadas, estimar
mediante diferenciales el máximo error posible cometido al calcular:
a) El volumen del cubo.
Resp: 12.96 p3
b) El área del cubo.
Resp: 4.32p2
5. Estimar el valor de
mediante diferenciales. Después comparar la estimación con el resultado
obtenido con una calculadora
Resp: 10.033
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14 G.F.S.
6. Estimar el valor de
mediante diferenciales. Después comparar la estimación con el resultado
obtenido con una calculadora
Resp: 1.96875
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 2.
Ejercicio 3.- De manera individual. Completa la siguiente tabla y contesta lo que se te solicita:
a) ¿Qué puedes decir de los resultados que obtuviste en la tabla? ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ b) Si sabes que la derivada de F(x) es la función f (x)= 3x2 , ¿cómo es F(x)? ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ c) Si sabes que la derivada de F(x) es la función f(x)= nxn-1 , ¿cómo es F(x)? ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________
ANTIDERIVADA Introducción En el transcurso de tus estudios de bachillerato te has dado cuenta que en Matemáticas se habla de procedimientos inversos, en los cuales se puede incluir a las operaciones básicas, así como también algunos temas de álgebra, por ejemplo, en las operaciones básicas, se identifica la suma como el inverso de la resta, la multiplicación como el inverso de la división, la potenciación como la inversa de la radicalización y viceversa. Otro ejemplo que se puede observar es el de los productos notables como lo inverso de la factorización y viceversa. En el curso de Cálculo Diferencial e Integral 1 trabajaste con el concepto de derivada, en el cual derivaste algunas funciones, no te has preguntado: ¿cuál será el proceso inverso a derivar una función? Es
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15 G.F.S.
decir, si se conoce la derivada de una función, ¿cómo se puede conocer la función cuya derivada es la función que se conoce?
Definición de antiderivada. Una antiderivada de una función f(x) es otra función F(x) que cumple:
F’(x) = f(x) Ejemplo1. Al calcular la antiderivada de la función f(x) = 2x se obtiene F(x) = x2. La justificación de lo anterior es debido a que F’(x) = 2x .
Pero ésta no es la única antiderivada que puede tener f(x) = 2x , porque también puede ser F(x) =x2 + 2, debido a que F’(x) = 2x .
Esto significa que si se añade cualquier constante a F(x) = x2 , se formarán una infinidad de funciones, las cuales serán la antiderivada de f(x) = 2x . Geométricamente se puede visualizar de la siguiente forma:
En la gráfica se observa varias funciones cuadráticas que se diferencian entre sí debido a que se desplaza verticalmente dos unidades cada vez, es decir se tiene:
También se graficó la recta tangente en cada una de ellas, cuando x=1; nótese que todas las rectas son paralelas, es decir tienen la misma pendiente, por lo tanto, al ser la derivada de una función la pendiente de la recta tangente, se deduce que todas funciones anteriores tienen la misma derivada. En este caso F’(x) = 2x
Como puedes observar, la antiderivada de una función f(x) no es única, ya que se puede encontrar una infinidad de funciones cuya derivada será f(x), sin embargo, es importante observar que todas esas funciones se diferenciarán únicamente por una constante, de tal forma que en general se dice que:
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16 G.F.S.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 2.
Ejercicio 4. Individualmente y de acuerdo a la información anterior. Determina la antiderivada de las siguientes funciones.
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17 G.F.S.
La integral indefinida
Aprendizajes
Identificar las propiedades básicas de la integral indefinida.
Determinar la función original a partir de su derivada.
Calcular la integral indefinida de funciones algebraicas.
Calcular la integral indefinida de funciones trascendentes.
En el estudio del cálculo integral es muy importante que identifiques que dada la derivada de una función, encuentres la función original, esto es, la antiderivada o primitiva de la función, a la cual le llamaremos integral indefinida.
Para diferenciar a la integral definida de la integral indefinida, a ésta no se le escriben los límites de integración, sino que se le agrega una “c” que significa constante de integración, a f(x) se le llama integrando y x representa la variable de integración, la representamos con la siguiente
Definición
Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I, si )()( xfxFdx
d
en I, es decir, si F´(x) = f(x) para toda x en I, esto es:
)()(' )()( xfxFsisóloysícxFdxxf
Esta definición se puede interpretar de la siguiente manera: Al integrar una función f(x) obtenemos como resultado F(x); si este resultado se deriva obtendremos como resultado al integrando y además nos sirve como comprobación. Propiedades básicas de la integral indefinida.
Observa las siguientes propiedades, las cuales debemos tomar en cuenta para el cálculo de integrales indefinidas.
Sí f es integrable y k es un número real cualquiera, entonces kf es integrable.
dxxfkdxxfk )( )(
Sean f y g dos funciones integrables, entonces:
dxxgdxxfdxxgxfii
dxxgdxxfdxxgxfi
)( )( )()( )
)( )( )()( )
Un factor constante k puede escribirse antes del signo de integral, donde c es la
constante de integración.
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18 G.F.S.
cxkdxkdxk
Regla de las potencias para integrales indefinidas.
cx
ndxx nn 1
1
1
Donde el exponente n es un número racional y n -1 En las funciones trascendentes se encuentran las trigonométricas, las exponenciales y las logarítmicas. Para calcular este tipo de integrales se usan las siguientes fórmulas de integración.
cuduu
cuduu
sen cos
cos sen
cuduu
cutanduu
cuduutan
cot csc
sec
sec ln
2
2
cutanuduu
cuduu
cuduuu
cuduutanu
sec ln sec
sen ln cot
csc cot csc
sec sec
cuuduu cot csc ln csc
ca
adua
cuu
du
cedue
uu
uu
ln
ln
APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO Observa en los siguientes ejemplos cómo se aplican las propiedades de la integral indefinida.
Vamos a calcular la siguiente integral indefinida dxx3 5
Paso 1: El 5 es una constante que se puede escribir fuera de la integral.
dxxdxx 5 5 33
Paso 2: Para encontrar una antiderivada de x
3 (o sea la primitiva) aplicamos la fórmula siguiente:
cxn
dxx nn
1
1
1
o sea que:
cxdxx
133
13
1 5 5
Paso 3: Se realizan las operaciones indicadas y se obtiene finalmente el resultado.
cxdxx 43 4
5 5
Para realizar la comprobación de la integral, se deriva el resultado, esto es:
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19 G.F.S.
dx
cdxcx
dx
d 4
4
5
4
5 144
Recuerda que la derivada de una constante es igual a cero. Al simplificar se obtiene al integrando.
34 54
5xcx
dx
d
Nota: recuerda que al hacer mención de la antiderivada o primitiva nos estamos refiriendo a la integral indefinida.
Ahora veamos la aplicación de estas propiedades en una función polinomial.
Calcula la integral indefinida dxxxx 2543 35 y realiza la comprobación.
Paso 1: Se escribe la integral, recordando que la suma o resta de funciones es igual a la suma o resta de las integrales, esto es:
dxdxxdxxdxxdxxxx 2 5 4 3 2543 3535
Paso 2: Los factores constantes se escriben fuera de la integral y se aplica la fórmula de una potencia, como se muestra a continuación:
dxdxxdxxdxxdxxxx 2 5 4 3 2543 3535
Paso 3: Se integra cada una de éstas.
4
3
11
2
133
1
155
22
11
1 5 5
13
1 44
15
1 33
cxdx
cxdxx
cxdxx
cxdxx
Paso 4: Se sustituyen los valores, tomando en cuenta que 4321 ccccc .
cxxxxdxxxx 22
5
4
4
6
3 2543 24635
Paso 5: Finalmente se simplifica el resultado.
cxxxxdxxxx 22
5
2
1 2543 24635
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20 G.F.S.
Para verificar el resultado, se deriva el polinomio y se obtiene el integrando.
02)2(2
546
2
12
2
5
2
1 35246
xxxcxxxx
dx
d
Simplificando se obtiene:
254322
5
2
1 35246
xxxcxxxx
dx
d
Analiza los siguientes procedimientos para calcular integrales indefinidas trascendentes.
Calcula la integral indefinida dxx sen y realiza la comprobación.
Paso 1: Este tipo de integrales se resuelven de forma inmediata, por lo tanto:
cxdxx cos sen
Paso 2: Se realiza la comprobación derivando el resultado.
xxcdx
dx
dx
dcx
dx
d sen0 sen cos) (cos
Ahora resuelve los siguientes ejercicios, aplicando las propiedades de la integral indefinida.
a) Calcula la integral dxxxx 4839 23 y realiza la comprobación.
b) Calcula la integral dxx cos y realiza la comprobación.
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21 G.F.S.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 3.
I. INSTRUCCIONES: Analiza con atención cada uno de los siguientes expresiones y calcula las integrales
aplicando el método de integración respectivo.
1. dxxxxx 72 234
2.
dxxxx 8
5
62 23
3.
dxxx
2
3
4
1
3
2 2
4. dxxx 304 23
5. dxx 2 3
6. dxx 2
3
7. dxxx 96 24
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22 G.F.S.
8. dxxx 123
9. dxxx 231
II. INSTRUCCIONES: Analiza las siguientes expresiones y aplicando el procedimiento adecuado, calcula
las integrales trascendentes.
10. dxxe x )2(
11. dxx
1
12. dxx sec2 2
13. dxx cos5
14. dxx
3
sen
15. dxx
3
8
MATEMÁTICAS
23 G.F.S.
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta Respuesta correcta
1. cxxxxxdxxxxx 72
1
3
1
2
1
5
172 2345234
2.
cxxxdxxxx 23423 4
5
2
2
18
5
62
3. cxxxdxxx
2
3
8
1
9
2
2
3
4
1
3
2 232
4. cxxxdxxx 303
4
4
1)304( 3423
5. cxdxx 23 2
6. cxdxx 2
5
2
3
5
2
7. cxxxdxxx 925
196 3524
8. cxxxdxxx 22
3
3
212
9. cxxxdxxx 22
1231 23
10. cxedxxe xx 22
11. cxdxx
ln1
12. cxtandxx 2 sec2 2
13. cxdxx sen5 cos5
14. cxdxx
cos3
1
3
sen
15. cxdxx
ln3
8
3
8
MATEMÁTICAS
24 G.F.S.
Aplicación de la integral.
Aprendizajes
Aplicar el método de sustitución al cálculo de integrales.
Aplicar el método de integración por partes al cálculo de la integral.
I.- El método de sustitución o cambio de variable Consiste en sustituir la variable “x” por una nueva variable; veamos el siguiente: Teorema: Sea g una función derivable y supóngase que F es una antiderivada de f. Entonces u = g(x).
cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()(')(
Observa el siguiente ejemplo donde se aplica este método.
1.- Evalúa la siguiente integral: dxxx 4 2
Paso 1: Se hace el cambio de variable, tomando 42 xu , entonces la derivada de u es
dxxdu 2
Paso 2: Se sustituyen estos valores en la integral, esto es:
2
4 2
1
2 duudxxx
Observa que dxxdu 2 y en el integrando sólo se tiene dxx , entonces dxxdu
2
.
Paso 3: Se aplican las propiedades de la integral; esto es, 2
1se escribe fuera de la integral por ser
una constante.
2
1 4 2
1
2 duudxxx
Paso 4: Se realiza la integral, obteniendo lo siguiente:
cu
duu
12
12
1
2
11
2
1
2
1
MATEMÁTICAS
25 G.F.S.
cucucu
2
3
2
32
3
3
1
6
2
2
32
1
Paso 5: Se hace el cambio de variable de 42 xu y se sustituye en el resultado:
cxdxxx 2
322 4
3
1 4
por lo tanto: cx 32 4
3
1
Observa con detenimiento los siguientes ejemplos, donde se aplican los métodos de integración y realiza los ejercicios propuestos.
2.-Evaluaremos la siguiente integral indefinida aplicando el método de sustitución.
dxxx 1243
Paso 1: Se toma como 124 xu , entonces la derivada de u es dxxdu )04( 3 , recuerda
que la derivada de una constante es cero.
Paso 2: Observa que en la integral están x3 y dx y al realizar el cambio de variable dxxdu 4 3 ,
queda de la siguiente forma:
dxxdu 3
4
Paso 3: Se sustituyen los valores de u y du en la integral, obteniendo de esta manera el cambio de
variable.
dxxx 1243
42
1du
u
Paso 4: Cómo 4
1es una constante, se aplican las propiedades de la integral y se coloca fuera de
dicha integral este valor, esto es:
duudu
u 4
1
42
1
2
1
Paso 5: Se realiza la integral.
cucu
cu
dxxx
2
32
31
2
1
43
12
2
2
34
1
12
14
1 12
MATEMÁTICAS
26 G.F.S.
Paso 6: Se sustituye el valor que se tomó como 124 xu y se obtiene el resultado de dicha
integral, esto es:
cx
cxdxxx
34
2
3443
126
1
126
1 12
Ejercita tus conocimientos y aplica este método de sustitución en la siguiente integral.
dxxx 23 2
Resp:
II. Método de integración por partes: El método de integración por partes se basa en la integración de la fórmula derivada del producto de dos funciones. Veamos el siguiente procedimiento para obtener la fórmula de integración por partes: Sea u = u(x) y v = v(x), entonces:
)(')()(')()()( xuxvxvxuxvxuDx
Integrando ambos lados de la ecuación se obtiene la siguiente expresión:
dxxuxvdxxvxuxvxu )(')( )(')()()(
Despejando la primera integral tenemos:
dxxuxvxvxudxxvxu )(')()()( )(')(
Sí dxxuduydxxvdv )(' )(' , entonces la ecuación anterior se puede escribir de la forma
siguiente:
duvvudvu
La cual es la fórmula para integrar por partes. El éxito de éste método, depende de la elección
apropiada de u y dv , lo cual se consigue solamente con la práctica.
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27 G.F.S.
1.- Para aplicar este método, vamos a evaluar la siguiente integral: dxxx cos
Paso 1: Se escribe dxxx cos como dvu ; entonces dxduyxu
Paso 2: Si dxxdv cos , entonces, para encontrar v se integran ambos lados, obteniendo:
dxxdv cos , entonces
cxv sen
Paso 3: Los valores de vydvduu , , se sustituyen en la fórmula, quedando de la siguiente
manera:
dxxxxdxxx sensen cos
La integral de cxdxx cos sen , sustituyendo este resultado en la integral anterior, se
obtiene el resultado.
cxxxdxxx cossen cos
Recuerda que las constantes de integración están incluidas en “c”.
2.- Vamos a resolver un ejemplo aplicando el método de integración por partes en la siguiente integral.
dxxx sen2
Paso 1: Se toma como 2xu ; la derivada de u es dxxdu 2 ; de esta manera xdv sen ,
entonces v es la integral de xsen
1cos sen cxdxxv
Paso 2: Con estos valores se sustituyen en la fórmula vduuvudv .
dxxxxx
dxxxxxdxsenxx
cos2cos
2coscos
2
22
Paso 3: Observa que la integral del lado derecho otra vez se tiene que realizar por partes, entonces se hacen los siguientes cambios:
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28 G.F.S.
2 cos
csenxvxdxdv
dxduxu
De esta manera, la integral dxxx cos , queda de la siguiente manera:
3cos cos cxxsenxdxsenxxsenxdxxx
Nota: es importante que Las constantes c1, c2, y c3 se incluyen al final del resultado de la integral para no crear confusión con dichas constantes. Paso 4: Sustituyendo los valores, se obtiene el resultado de la integral.
cxxsenxxx
cxxsenxxxdxxxxxdxsenxx
cos22cos
cos2cos cos2cos
2
222
Ejercita tus conocimientos y calcula la siguiente integral: dxxx 2sen2
Res:
MATEMÁTICAS
29 G.F.S.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 4.
INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y resuelve lo que se pide.
I.- Aplica el método de sustitución y evalúa las siguientes integrales, escribe tu desarrollo y la solución.
1. dxxx432 5
2. dxx6
93
3.
dxe
ex
x
21
4. dxx5
1
5. dxxx cos sen3
6.
dxx
x
9
32
MATEMÁTICAS
30 G.F.S.
II.- Aplica el método de integración por partes y calcula las siguientes integrales.
7. dxxx sen
8. dxx ln
9. dxex x2
10. dxxx cos 4
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta Respuesta correcta
1
dxxdu
dxxduxu 223
3 3 5
cxdxxx53432 5
15
15
2
dxdu
dxduxu 3
3 93
cxdxx76
9321
193
3 dxe
dudxedueu xxx
2 2 21
MATEMÁTICAS
31 G.F.S.
cedxe
e x
x
x
21ln2
1
21
4
dxduxu 1
cxdxx65
16
11
5
dxxduxu cos sen
cxdxx 43 sen
4
1 sen
6
dxxdu
dxxduxu 2
2 92
cxdxx
x9ln
2
3
9
3 2
2
7
xvdxxdvdxduxu cos sen
cxxxdxxx coscos sen
8
xvdxdvdxx
duxu 1
ln
cxxxdxx ln ln
Número de pregunta Respuesta correcta
9
xx evdxedvxdxduxu 2 2
dxxeexdxex xxx 222
La integral del lado derecho se realiza otra vez por partes, esto es:
xx evedvdxduxu 1111 2 2
cxxedxex xx 2222
10
xvdxxdvdxduxu sen cos 4 4
cxxxdxxx cos4sen4 cos4
MATEMÁTICAS
32 G.F.S.
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN
INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes reactivos y contesta lo que se solicita, anotando el desarrollo y la solución.
Para resolver estos ejercicios cuentas con noventa minutos.
I.- Aplica las propiedades de la integral indefinida y evalúa la siguiente integral.
1. dxxxx 7642 23
2. Encuentra una antiderivada (primitiva) de la función: 25)( 3 xxf
3. Evalúa la siguiente integral indefinida.
dxxx 11
4. Evalúa la siguiente integral indefinida.
dxxtan 3
II.- INSTRUCCIONES: Aplica el método de sustitución y evalúa las siguientes integrales indefinidas.
5. dx
x
x
25
22
6. dxx 15 cos
MATEMÁTICAS
33 G.F.S.
III.- Aplica el método correspondiente y calcula las siguientes integrales indefinidas.
7. dxxe x cos
CLAVE DE RESPUESTAS
Número de pregunta Respuesta correcta
1 cxxxx 733
4
2
1 234
2 cxxxF 24
5)( 4
3 cxx 3
3
1
4 cxócx 3cosln3
1 3secln
3
1
5 cx 25ln 2
6 cx 15sen5
1
7 cxxe x sencos2
1
MATEMÁTICAS
34 G.F.S.
III. Método de integración de funciones racionales (Método de expansión en fracciones parciales). Una función racional es, por definición, el cociente de dos polinomios, por ejemplo:
xx
xxxxh
xx
xxg
xxf
5
12)( ,
84
22)( ,
1
2)(
3
35
23
Teóricamente cualquier expresión racional )(
)(
xg
xf se puede expresar como una suma de
expresiones racionales cuyos denominadores son potencias de polinomios de grado menor o igual a dos.
rFFFxg
xf ....
)(
)(21
La suma de rFFF ...21 es la descomposición en fracciones parciales de )(
)(
xg
xf y cada kF
se llama fracción parcial.
Observa con detenimiento los siguientes pasos para obtener la descomposición en fracciones
parciales de
)(
)(
xg
xf
1. Si el grado de f(x) no es menor que el de g(x), se realiza la división. 2. Expresar g(x) como un producto de factores lineales qpx o formas cuadráticas irreducibles
cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que g(x) quede expresado como un
producto de
factores distintos de la forma mqpx o bien ncbxax 2
con m y n enteros no
negativos. 3. Aplicar las siguientes reglas:
a) Por cada factor de la forma mqpx con 1m , la descomposición en fracciones parciales
contiene
una suma de m fracciones parciales de la forma:
m
m
qpx
A
qpx
A
qpx
A
)(.....
)( 2
21
Donde cada numerador kA es un número real.
MATEMÁTICAS
35 G.F.S.
b) Por cada factor ncbxax 2, con 1n , donde cbxax 2
es Irreducible, la
descomposición
en fracciones parciales contiene una suma de n fracciones parciales de la forma:
n
nn
cbxax
bxA
cbxax
bxA
cbxax
bxA
)(...
)( 222
22
2
11
Donde todos los kk byA son números reales.
I. El siguiente ejercicio se resuelve aplicando el método de expansión en fracciones parciales.
dxxxx
x
32
3523
Paso 1: Se factoriza el denominador, quedando de la siguiente forma.
)1)(3( )32(32 223 xxxxxxxxx
Paso 2: Al factor x le corresponde una fracción parcial de la forma x
A, de la misma forma, a los
factores )1( 3 xyx les corresponden fracciones parciales de la forma: 1
;3 x
C
x
B,
respectivamente; la descomposición en fracciones parciales tiene la siguiente forma:
13)1)(3(
35
32
3523
x
C
x
B
x
A
xxx
x
xxx
x
Paso 3: Se multiplica por 13 xxx ambos lados de la igualdad y se obtiene lo siguiente:
1
)1)(3(
3
)1)(3()1)(3(
13
)1(335
x
xxCx
x
xxbx
x
xxAx
xxx
xxxx
Simplificando tenemos que:
)( )3()1()1)(3(35 xCxxBxxxAx ver paso 4
Paso 4: Los valores de A, B y C pueden encontrarse sustituyendo por “x” valores que hagan que
los factores sean cero en la ecuación ( ), es decir, en este caso, “x” toma los valores de: 0, -3 y +1.
Para: 0x
)30)(0()10)(0()10)(30(3)0(5 CBA
Simplificando se obtiene:
MATEMÁTICAS
36 G.F.S.
1A
Para: 3x
)33)(3()13)(3()13)(33(3)3(5 CBA
Simplificando se obtiene:
1B
Para: 1x
)31)(1()11)(1()11)(31(3)1(5 CBA
Simplificando se obtiene:
2C
Paso 5: La descomposición en fracciones parciales es:
1
2
3
11
)1)(3(
35
xxxxxx
x
Paso 6: Se integra y la suma de las constantes, la denotamos como “c”; de esta forma obtenemos el resultado final.
1
2
332
3523 x
dx
x
dx
x
dxdx
xxx
x
cx x x 1ln23lnln
II. Aplica tus conocimientos y realiza la siguiente integral, aplicando el método de fracciones parciales.
dx
xx
x
6
132
MATEMÁTICAS
37 G.F.S.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 5
III.- Aplica el método de fracciones parciales a las siguientes integrales.
1.
dxxx 2
52
2.
dx
xx
x
43
112
3.
dx
xxx
xx
2
4223
2
MATEMÁTICAS
38 G.F.S.
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta Respuesta correcta
1
2
5
2
5 BA
cxxdxxx
2ln2
5ln
2
5
2
52
2
2 3 BA
cxxdx
xx
x1ln24ln3
43
112
3
1 1 2 CBA
cxxxdx
xxx
xx1ln2lnln2
2
4223
2
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes reactivos y contesta lo que se
solicita, anotando el desarrollo y la solución.
1.
dx
xxx
xx
6
62423
2
CLAVE DE RESPUESTAS
Número de pregunta Respuesta correcta
1 cxxx 2ln5
33ln
5
12ln
MATEMÁTICAS
39 G.F.S.
Notación Sumatoria
Aprendizajes
Describir la notación sumatoria.
Cálculo de términos con notación sigma en un sucesión.
Calcular por aproximación el área bajo la curva, aplicando la notación sigma.
Calcular por aproximación el área bajo la curva, aplicando el concepto de suma de Riemann.
Notación sumatoria. Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita. Dada una sucesión: Ésta se puede representar como la suma de los primeros términos con la notación de sumatoria o notación sigma. El nombre de esta notación se denomina de la letra griega (sigma mayúscula, que corresponde a nuestra S de "suma"). La notación sigma es de la siguiente manera:
La ecuación anterior se lee la "suma de ak desde uno hasta n ." La tetra k es el índice de la suma o variable de la sumatoria y se reemplaza k en la ecuación después de sigma, por los enteros 1, 2, 3, 4, 5, …., n, y se suman las expresiones que resulten, con lo que resulte del lado derecho de la ecuación
MATEMÁTICAS
40 G.F.S.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 6
Resuelve las siguientes sumas.
Resp: 40
Resp: 182
Resp: -11
Resp: 77/30
Resp: 3
Resp: 139
Resp: 0
MATEMÁTICAS
41 G.F.S.
CÁLCULO DE ÁREA POR APROXIMACIÓN
Arquímedes calculó el área de un círculo por medio de aproximaciones sucesivas, inscribió rectángulos dentro del círculo, calculó el área de cada rectángulo y sumó todas éstas. Después construyó rectángulos más estrechos de modo que la suma de las áreas de los rectángulos se aproximaba cada vez más al área del círculo. Para una función, la idea intuitiva de continuidad es que la curva que represente a la gráfica debe dibujarse con un trazo continuo, o sea, que no tenga saltos. Por ejemplo: sea A el área de una
región limitada por el eje “x” y la gráfica de una función no negativa y = f(x), la cual está definida en
un cierto intervalo cerrado a, b, como se observa en la siguiente figura.
El cálculo del área A se lleva a cabo dividiendo dicha área en un determinado número de
rectángulos, es decir, en “n” rectángulos sobre el intervalo a, b.
Lo anterior se representa en la gráfica siguiente:
La gráfica anterior representa las áreas de los rectángulos, la cual es una aproximación al área real. Generalmente dichas áreas se representan en unidades cuadradas (u
2).
Como podrás observar, la suma de todas las áreas de los rectángulos son una aproximación
al área bajo la curva, esta área se representa con la siguiente definición, donde el símbolo (sigma) indica una suma.
Por lo tanto. Sea f(x) una función continua en el intervalo cerrado a, b y f(x) 0, para toda “x” en
el intervalo a, b.
Se define el área bajo la gráfica en el intervalo como:
n
k
kk xxfA1
* )( I.1
De la fórmula anterior,*
kx , kx y )( *
kxf , se representan en la siguiente gráfica.
MATEMÁTICAS
42 G.F.S.
Donde
*
kx representa el punto que será evaluado por la función y )( *
kxf representa la altura del
rectángulo, el valor x representa la base de cada rectángulo.
A partir de la gráfica, se tienen las siguientes condiciones:
Al dividir el área en “n” rectángulos, el lado derecho de cada uno éstos, está representado por *
kx .
La amplitud (base del rectángulo) en cada uno de ellos es igual a x .
La altura del rectángulo construido bajo la curva se representa por: )( *
kxf .
Para utilizar la fórmula de la definición 1.1, es conveniente realizar los siguientes pasos:
Paso 1: Divide el intervalo a, b en “n” subintervalos, esto es:
n
abx
Paso 2: Haz que los *
kx sean los lados derecho de cada subintervalo. Si x0 = a, entonces para
efectuar los cálculos se utiliza la siguiente fórmula:
n
abaxxx 110
*
1
n
abaxxx 220
*
2
n
abaxxx 330
*
3
n
abkaxkxxk 0
*
baban
abnaxnxxn
0
*
MATEMÁTICAS
43 G.F.S.
Es importante revisar la sustitución de los valores, así como sus signos y realizar correctamente las
operaciones. Por otra parte el ultimo valor de *
kx depende del valor de “n”, por ejemplo si n = 4,
entonces *
kx debe calcularse hasta n-1, en esta caso *
3x .
Para obtener la altura de cada uno de los rectángulos )( *
kxf , se sustituyen los valores de ,, *
2
*
1 xx
...*
1kx en la función.
Las condiciones anteriores no siempre se satisfacen en la solución de problemas. Por esto es necesario generalizar los conceptos a los siguientes casos:
La función puede ser discontinua en algunos puntos de a, b.
f(x) puede ser negativo para alguna “x” en el intervalo a, b.
Las longitudes de los subintervalos k1 , xxk pueden ser diferentes entre sí.
El número kw puede ser cualquier número en k1 , xxk .
CÁLCULO DE ÁREA POR APROXIMACIÓN
Una partición P de un intervalo cerrado a, b, es una descomposición cualquiera del intervalo a, b en subintervalos de la forma:
x0,, x1, x1, x2, x2, x3, ...xn-1, xn
Donde “n” es un número entero positivo y los kx son números tales que:
a = x0 x1 x2 x3 ... xn-1 xn = b
La longitud del k-esimo subintervalo xk-1, xk, se denota por kx , es decir:
1 kkk xxx
La partición x contiene “n” subintervalos, donde uno de éstos es el más largo, sin embargo
puede haber más de uno. La longitud del subintervalo más largo de la partición x se le llama
Norma de la Partición P y se denota por P .
En la siguiente figura se observa una partición del intervalo a, b. El siguiente concepto la suma de Riemann, es llamado así en honor del matemático B. Riemann, y es un concepto fundamental para la definición de la Integral definida.
Sea f una función definida en un intervalo cerrado a, b y sea P una partición de a, b. Una suma de Riemann de f para P es cualquier expresión Rp de la forma:
a = x0 x1 x2 ..... xk-1 xk ... xn-1 xn = b
MATEMÁTICAS
44 G.F.S.
n
k
kkp xwfR1
)( I.2.
donde wk es un número en el intervalo xk-1, xk. La siguiente es la representación gráfica de la integral definida.
Las flechas indican donde se localizan estos puntos. Observa en la gráfica que la altura de los rectángulos está dada por la función evaluada en el punto wk, o sea f(wk). Se debe tomar en cuenta que un área es positiva si está por arriba del eje x y se le asigna un signo menos a las áreas que están por debajo del eje x.
Analiza el procedimiento con el cual se resuelven los siguientes ejemplos.
Sea la función f(x) = 4 – x2 en el intervalo cerrado -1, 2, con n =4.
Paso 1: Se gráfica la función y se divide el intervalo -1, 2 en 4 subintervalos.
y
n
abx
4
3
4
12
4
)1(2
x
4
3x
Paso 2: Al sustituir los datos, se obtienen los siguientes resultados:
-4
-2
0
2
4
-3 -2 -1 1 2 3
x
MATEMÁTICAS
45 G.F.S.
4
1
4
31
4
311110
*
1
n
abaxxx
Recuerda que el valor de x0 = a = -1
2
1
4
61
4
321220
*
2
n
abaxxx
4
5
4
91
4
331330
*
3
n
abaxxx
Es importante revisar la sustitución de los valores, así como sus signos y realizar correctamente las
operaciones. Por otra parte, el ultimo valor de *
kx depende del valor de “n”, en este caso n = 4,
entonces *
kx debe calcularse hasta el valor de n-1, en este ejercicio hasta *
3x .
Paso 3: Para obtener la altura de cada uno de los rectángulos )( *
kxf , se sustituyen los valores de
*
3
*
2
*
1 y x x,x en la función 24)( xxf
16
63
16
14
4
144)(
22*
1
*
1
xxf recuerda que:
16
644
16
60
4
15
4
14
2
144)(
22*
2
*
2
xxf
16
39
16
254
4
544)(
22*
3
*
3
xxf
Paso 4: Se sustituyen los valores en la fórmula
n
k
kk xxfA1
* )(
xxfxxfxxfA )()()( *
3
*
2
*
1
4
3
16
39
4
3
16
60
4
3
16
63A
2u 59.764
486
64
117
64
180
64
189A
Por lo tanto el valor del área es: A = 7.59 u
2.
MATEMÁTICAS
46 G.F.S.
Observa el siguiente procedimiento para resolver otro ejercicio.
Considera la función 2
2
18)( xxf , sea P una partición del intervalo cerrado 0, 6 en
cinco subintervalos determinados por: x0 = 0, x1 = 1.5, x2 = 2.5, x3 = 4.5, x4 = 5 y x5 = 6. Encuentra:
a) La norma de la Partición.
b) La suma de Riemann Rp sí w1 = 1, w2 = 2, w3 = 3.5, w4 = 5 y w5= 5.5
Paso 1: Se gráfica la función 2
2
18)( xxf y se indican los puntos correspondientes a wk.
Se indican los rectángulos de alturas )( kwf para k = 1, 2, 3, 4 y 5 intervalos.
y Paso 2: Se determinan las bases de los rectángulos de la siguiente manera:
15.15.2
5.105.1
2
1
x
x
25.25.43 x Ésta es la norma de la partición P
(Cantidad mayor de los x )
-8
-6
-4
-2 0
2
4
6
8
-4 -2 2 4 6 8 10 12 x
MATEMÁTICAS
47 G.F.S.
156
5.05.45
5
4
x
x
Paso 3: Se aplica la fórmula
n
k
kkp xwfR1
)( y se calculan los )( kwf , sustituyendo los
valores en la función.
5544332211 )()()()()( xwfxwfxwfxwfxwfRp
125.7125.1585.52
18)5.5(
5.45.12852
18)5(
875.1125.685.32
18)5.3(
62
482
2
18)2(
5.72
181
2
18)1(
2
2
2
2
2
f
f
f
f
f
Sustituyendo los valores se obtiene:
2u tanto lo por 625.11
)1)(125.7()5.0)(5.4()2)(875.1()1)(6()5.1)(5.7(
)1)(5.5()5.0)(5()2)(5.3()1)(2()5.1)(1(
p
p
p
R
R
fffffR
Ahora, tomando en cuenta el ejemplo anterior, resuelve el siguiente ejercicio.
Sea: 825)( 23 xxxxf calcula la suma de Riemann Rp de la función para la
partición
P de 0, 5 en los cinco subintervalos determinados por: x0 = 0, x1 = 1.1, x2 = 2, x3 = 3.2, x4 =4 y x5 = 5; w1 = 0.5, w2 = 1.5, w3 = 2.5, w4 = 3.6 y w5 = 5
MATEMÁTICAS
48 G.F.S.
Paso 1: Elabora la gráfica la función.
Paso 2: Calcula los valores de kx y obtén la norma de la partición P .
Paso 3: Calcula los valores )( kwf .
Paso 4: Aplica la fórmula
n
k
kkp xwfR1
)( y calcula la sumatoria de Riemann.
MATEMÁTICAS
49 G.F.S.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 7.
I. INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes reactivos, y contesta lo que se solicita en
cada uno de ellos.
1) Sea 63)( xxf en el intervalo cerrado 2, 4 con n = 4.
I.- Calcula el área A aplicando la definición 1.1 II.- Realiza la gráfica.
2) Sea 21)( xxf en el intervalo cerrado 0, 1 con n = 4.
I.- Calcula el área A aplicando la definición 1.1 II.- Realiza la gráfica.
MATEMÁTICAS
50 G.F.S.
3) Sea 42)( xxf en el intervalo cerrado 0, 2 con n = 8.
I.- Calcula el área A aplicando la definición 1.1 II.- Realiza la gráfica. II. INSTRUCCIONES: En cada uno de los siguientes ejercicios, los números dados: (x0, x1, ... xn)
determinan una partición P del intervalo cerrado a, b.
4) 0, 5, x0 = 0, x1 = 1.1, x2 = 2.6, x3 = 3.7, x4 = 4.1 y x5 = 5
I.- Calcula los nxxx ..., , , 21
II.- Calcula la norma P de la partición.
5) 2, 6, x0 = 2, x1 = 3, x2 = 3.7, x3 = 4, x4 = 5.2 y x5 = 6
I.- Calcula los nxxx ..., , , 21
MATEMÁTICAS
51 G.F.S.
II.- Calcula la norma P de la partición.
6) -3, 1, x0 = -3, x1 = -2.7, x2 = -1, x3 = 0.4, x4 = 0.9 y x5 = 1
I.- Calcula los nxxx ..., , , 21
II.- Calcula la norma P de la partición.
II. INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes ejercicios y contesta lo que se solicita. 7) Aplica la definición 1.2 a la siguiente función y calcula la suma de Riemann.
Sea 32)( xxf en el intervalo cerrado 1, 5 dividido en 4 subintervalos determinados por: x0 =
1, x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4 y x4 = 5, si: w1 = 1.5, w2 = 2.5, w3 = 3.5 y w4 = 4.5
MATEMÁTICAS
52 G.F.S.
8) Aplica la definición 1.2 a la siguiente función y calcula la suma de Riemann.
Sea 3)( xxf en el intervalo cerrado -2, 4 dividido en los cuatro subintervalos determinados
por: x0 = -2, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3, y x4 = 4, si: w1 = -1, w2 = 1, w3 = 2 y w4 = 4 9) Aplica la definición 1.2 a la siguiente función y calcula la suma de Riemann
Sea 2
8)(2x
xf en el intervalo cerrado 0, 6 dividido en los cuatro subintervalos
determinados por: x0 = 0, x1 = 1.5, x2 = 3, x3 = 4.5 y x4 = 6, si: w1 = 1, w2 = 2, w3 = 4 y w4 = 5
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta Respuesta correcta
1
I
2
1
4
24
4 ,2 ,4 4,2
63)(
0
n
abx
bxan
xxf
2
7
2
132
32
122
2
5
2
112
*
3
*
2
*
1
x
x
x
MATEMÁTICAS
53 G.F.S.
2
96
2
73
2
7
36)3(3)3(
2
36
2
53
2
5
f
f
f
2 2
9
4
9
2
3
4
3
2
1
2
9
2
13
2
1
2
3uA
II
Número de pregunta Respuesta correcta
2
I
4
3
4
130
2
1
4
120
4
1
4
1)1(0
4
1
4
011041,01)(
*
3
*
2
*
1
0
2
x
x
x
xbxanxxf
16
25
16
91
4
31
4
3
4
5
4
11
2
11
2
1
16
17
16
11
4
11
4
1
2
2
2
f
f
f
2
32
31
64
62
64
25
16
5
64
17
4
1
16
25
4
1
4
5
4
1
16
17
uA
A
-8
-6
-4
-2 0
2
4
6
-2 -1 1 2 3 4 5 x
MATEMÁTICAS
54 G.F.S.
II
Número de pregunta Respuesta correcta
3
I
4
1 ,2 ,0 ,8 2,0 42)( 0 xbxanxxf
4
7
4
170
4
6
4
160
4
5
4
150
4
4
4
140
4
3
4
130
4
2
4
120
4
1
4
110
*
7
*
6
*
5
*
4
*
3
*
2
*
1
x
x
x
x
x
x
x
-1
0
1
2
3
-1 -0.5 0.5 1 x
y
MATEMÁTICAS
55 G.F.S.
-4
-2
0
2
4
6
8
-2 -1 1 2 3 4 x
4
24
4
72
4
7
4
44
4
62
4
6
4
64
4
52
4
5
4
84
4
42
4
4
4
104
4
32
4
3
4
124
4
22
4
2
4
144
4
12
4
1
f
f
f
f
f
f
f
2
2
7
16
56
16
2
16
4
16
6
16
8
16
10
16
12
16
14
4
1
4
2
4
1
4
4
4
1
4
6
4
1
4
8
4
1
4
10
4
1
4
12
4
1
4
14
uA
A
II
4
I
9.01.45
4.07.31.4
1.16.27.3x
1.51.1-2.6
1.101.1
5
4
3
2
1
x
x
x
x
II
5.1P
Número d pregunta Respuesta correcta
MATEMÁTICAS
56 G.F.S.
5
I
8.02.56
2.142.5
3.07.34
7.037.3
123
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
II
2.1P
6
1.09.01
5.04.09.0
4.114.0
7.17.21
3.037.2
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
II
7.1P
7
5.4 145
5.3 134
5.2 123
5.1 112
5 ,1 32)(
44
33
22
11
wx
wx
wx
wx
xxf
12)3)5.4(2)5.4(
103)5.3(2)5.3(
83)5.2(2)5.2(
635.12)5.1(
f
f
f
f
2 36)1(12)1(10)1(8)1(6 uRp
8
1 2)2(0
4 ,2 )(
11
3
wx
xxf
2 213
1 101
33
22
wx
wx
4 134 44 wx
1)1()1( 3 f
1)1()1( 3 f
8)2()2( 3 f
MATEMÁTICAS
57 G.F.S.
64)4()4( 3 f
279
641612)1)(64()2)(8()1)(1()2)(1(
uR
R
p
p
Número de pregunta Respuesta correcta
9
2 5.15.13
1 5.105.1
6 ,0 2
8)(
22
11
2
wx
wx
xxf
5 5.15.46
4 5.135.4
44
33
wx
wx
6
2
28)2(
2
15
2
18)1(
2
2
f
f
2
9
2
58)5(
02
48)4(
2
2
f
f
2 2
27
4
54
2
3
2
9
2
3)0(
2
3)6(
2
3
2
15
uR
R
p
p
Sugerencias
Si te equivocaste en los reactivos 1,2 ó 3, revisa con detenimiento los ejemplos resueltos. Si te equivocaste en los reactivos 4, 5 ó 6 revisa el libro de Swokowski, “Introducción al Cálculo con Geometría Analítica”, pág. 227. Si te equivocaste en los reactivos 7, 8 ó 9 revisa la definición 1.2 y consulta el libro de Swokowski, p.p. 226 – 230
MATEMÁTICAS
58 G.F.S.
La Integral Definida
Aprendizajes
Identificar las propiedades de la integral definida.
Aplicar la noción de integral definida a la solución de problemas.
Aplicar el teorema fundamental del cálculo en la solución de problemas.
La integral definida puede interpretarse como el área bajo la curva y en forma equivalente como un límite. En el tema anterior se aproximó el valor del área bajo la curva mediante suma de las áreas de un conjunto de rectángulos contenidos dentro del área a determinar. Calcular la integral definida aplicando las sumas de Riemann, es bastante tedioso y frecuentemente difícil. Para hacerlo más simple, necesitamos desarrollar algunas propiedades de la integral definida, las cuales se presentan con los siguientes teoremas. Propiedades de la integral definida.
Teorema:
Sea f la función constante, definida por cxf )( para toda x en el intervalo cerrado
a, b, entonces:
)( )( abcdxcdxxfb
a
b
a
En donde:
:b Representa el límite superior.
:a Representa el límite inferior.
: Se le llama signo de integración, el cual indica “suma”.
:)(xf Se le llama integrando.
:)(xfb
a
Se le llama integral definida, que indica el límite de una suma.
La representación gráfica de la función constante cxf )( , es la siguiente:
y
c cxf )( (función constante)
dxcb
a
a b x
MATEMÁTICAS
59 G.F.S.
Teorema:
Sí f es integrable en b ,a y k es un número real cualquiera, entonces k f es integrable
en b ,a y
dxxfkdxxfb
a
b
a
)( )(k
“La conclusión del teorema anterior a veces se enuncia de la siguiente forma: Un factor constante en el integrando se puede sacar del signo de la integral. No está permitido sacar fuera del signo de integral a expresiones en las cuales aparece la variable” Teorema:
Sí f y g son funciones integrables en b ,a , entonces gf es integrable en b ,a y
dxxgdxxfdxxgxfb
a
b
a
b
a
)( )( )( )(
Teorema:
Sí f es integrable en un intervalo cerrado y sí a, b y c son tres números cualesquiera en ese intervalo, entonces:
dxxfdxxfdxxfc
b
b
a
c
a
)( )( )(
Las siguientes definiciones forman parte de las propiedades de la integral definida.
Sí a b y f es una función integrable en el intervalo cerrado b ,a , entonces:
0 )(
)( )(
dxxf
dxxfdxxf
a
a
b
a
a
b
Observa que al cambiar los límites de integración, la integral cambia de signo; por otra parte si los límites de integración son iguales, resulta cero la integral porque no hay área para calcular, sino que se trata de un punto. Teorema Fundamental del Cálculo.
Sí F es una antiderivada de f, entonces:
)()( )( aFbFdxxfb
a
MATEMÁTICAS
60 G.F.S.
“Este Teorema fue descubierto de manera independiente en Inglaterra por Sir Isaac Newton (1642 – 1727) y en Alemania por Gottfried Leibnitz (1646 – 1716). Es principalmente debido a este descubrimiento que se les atribuye a estos sobresalientes matemáticos la invención del Cálculo” Para aplicar el teorema fundamental del cálculo, debemos recordar que una función continua es aquella que se representa con un solo trazo o sea sin despegar el lápiz. Por otra parte, una antiderivada es una función que al derivarla ésta se convierte en la función a integrar, por ejemplo:
la antiderivada de x es 2
2x, porque si derivamos
2
2x obtenemos:
dx
d
2
2xxxx 112
2
2)2(
2
1
APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO Observa cuidadosamente los pasos para resolver la siguiente integral, utilizando el teorema fundamental del cálculo y haciendo uso de las propiedades de la integral definida.
Calcula la integral definida dada por la función 196)( 23 xxxxf en el intervalo cerrado
2 ,1 .
Paso 1: Dada la función se debe buscar una antiderivada de ésta, esto es:
xxxx
2
9
3
6
4
234
si ésta función se deriva, se obtiene la función original. Paso 2: Se sustituye la función original con el signo de integral y se escriben los límites de integración.
dxxxx 196 232
1
Paso 3: Se aplican las propiedades de la integral definida.
dxdxxdxxdxxdxxxx2
1
2
1
22
1
32
1
232
1
1 9 6 196
2
1
2
1
22
1
32
1
4
2
9
3
6
4x
xxx
Paso 4: Se evalúan las integrales, sustituyendo el límite superior (2) menos el límite inferior (1);
estos valores se sustituyen por la “x” en la ecuación anterior, de la siguiente manera:
2
1
2
1
22
1
32
1
4
2
9
3
6
4x
xxx =
)1(
2
)1(9
3
)1(6
4
1)2(
2
)2(9
3
)2(6
4
2 234234
MATEMÁTICAS
61 G.F.S.
2 4
17 1
2
9
3
6
4
12
2
36
3
48
4
16u
Por lo tanto el valor de la integral es:
2232
1
4
17 196 udxxxx
Siguiendo los pasos anteriores resuelve el siguiente ejercicio.
Calcula la integral definida, dada la función xxxf 23)( 2 en el intervalo cerrado 3 ,0 .
Paso 1: Busca una antiderivada de la función.
Paso 2: Representa la función original como una integral, sustituyendo los límites de integración. Paso 3: Aplica las propiedades de la integral.
Paso 4: Evalúa la integral, sustituyendo primero el límite superior y restando el límite inferior. Paso 5: Simplifica y obtén el resultado.
Por lo tanto el valor de la integral es:
MATEMÁTICAS
63 G.F.S.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 8. I. INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes ejercicios y aplica las propiedades de la integral definida y encuentra el valor de las siguientes integrales.
1. dxx
2
4
2
2. dxxx 23 23
1
3. dxx 32
2
II. INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes problemas y contesta lo que se
solicita, anotando el desarrollo y la solución.
4. Sea la función 5)( xf en el intervalo cerrado 2 ,0 .
I.- Calcula el área bajo la curva. II.- Realiza la gráfica.
MATEMÁTICAS
64 G.F.S.
5. Sea la función 5)( xxf en el intervalo cerrado 3 ,2 .
I.- Calcula el área bajo la curva. II.- Realiza la gráfica.
6. Sea la función 2)( xxf , en el intervalo cerrado 2 ,2 .
I.- Calcula el área bajo la curva. II.- Realiza la gráfica.
III. INSTRUCCIONES: En los siguientes reactivos aplica el teorema fundamental del cálculo y
calcula el valor de las siguientes integrales.
7. Cada la función 22)( xxxf en el intervalo cerrado 2 ,0 .
I.- Calcula el área de la región comprendida por la función. II.- Realiza la gráfica.
MATEMÁTICAS
65 G.F.S.
8. Dada la función xxxxf 6)( 23 entre x = 0 y x = 3.
I.- Calcula el área de la región comprendida por la función. II.- Realiza la gráfica.
9. Dada la función 33)( 23 xxxxf , entre x = -1 y x = 2.
I.- Calcula el área de la región comprendida por la función. II.- Realiza la gráfica.
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta Respuesta correcta
1
dxxdxx
2
1
2
4
2
4
2
2
224
2
2
4
2
2
3144
4
4
16
)2(4
1)4(
4
1
4
1
22
1
u
x
x
2 3 uA
MATEMÁTICAS
66 G.F.S.
2
2
2
2323
3
1
233
1
23
3
1
23
1
23
1
34
3411927
1133
2
2
3
3
2 3 23
uA
u
xxxx
dxxdxxdxxx
3
0
4
2
4
2
4
442
2
43
2
2
x
dxx
0A
Número de pregunta Respuesta correcta
4
I
10)0(5)2(55 52
0
2
0
xdx 2 10 uA
II y
5
I
2
5510215
2
9
)2(52
2)3(5
2
3
52
5
22
3
2
23
2
xx
dxx
2 2
55uA
-2
8
0
2
4
6
-3 -2 -1 1 2 3 x
MATEMÁTICAS
67 G.F.S.
II y
Número de pregunta Respuesta correcta
6
I
2
332
2
32
2
2
3
16
3
16
3
8
3
8
3
2
3
2
3
uA
xdxx
II y
7
I
3
4
3
8
3
12
3
00
3
22
32
32
32
2
0
322
2
0
xxdxxx
2 3
4uA
y II }
-4
-2
0
2
4
-1 1 2 3 4 5 x
-2
0
2
4
6
8
10
-3
-2
-1
1 2 3 x
-2
0
2
4
6
8
-3
-2
-1
1 2 3 4 x
MATEMÁTICAS
68 G.F.S.
Número de pregunta Respuesta correcta
8
dxxxxdxxxx 6 6 232
0
232
0
2
0
234
2
6
34
xxx
0
2
26
3
2
4
2234
2 3
32
3
3212
3
84
123
84
uA
y
Número de pregunta Respuesta correcta
9 I
-10
-5
0
5
10
-4 -2 2 4 x
MATEMÁTICAS
69 G.F.S.
2
1
23
41
1
23
4
232
1
231
1
232
1
324
324
33 33
33
xx
xx
xx
xx
dxxxxdxxxx
dxxxx
132
11
4
123
2
22
4
2
132
11
4
113
2
11
4
1
23
423
4
23
423
4
3
2
11
4
162843
2
11
4
13
2
11
4
1
3
2
11
4
162843
2
11
4
13
2
11
4
1
4
23
2
1
4
25
2
1
4
16
2
1
4
1713
32
11
4
162844
2 4
23uA
II y
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-4 -2 2 4 x