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Optimización Combinatoria
GRAFOS PERFECTOS
Gregorio HernándezUPM
Universidad Politécnica de Madrid
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(Grotzsch) = 4
(Grotzsch) = 2
Número cromático (G) = 3
Número de clique (G) = 3
H subgrafo inducido de G(H) = (H)
GRAFOS PERFECTOS
Para todo grafo G (G) (G)
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G es perfecto si para todo subgrafo inducido H se cumple que(H) = (H)
GRAFOS PERFECTOS
• Los grafos bipartidos son perfectos• Los grafos de aristas de grafos bipartidos son perfectos
1 254
3G1’
2’
3’
4’
5’
L(G)
Coloración de aristas en G Coloración de vértices en L(G)
’(G) = (L(G))
Grado máximo en G Tamaño máximo de clique en L(G)
(G) = (L(G))
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G es perfecto si para todo subgrafo inducido H se cumple que(H) = (H)
GRAFOS PERFECTOS
• Los grafos bipartidos son perfectos• Los grafos de aristas de grafos bipartidos son perfectos
’(G) = (L(G))
(G) = (L(G))
En un grafo bipartido G ’(G) = (G) (Teorema de König)Luego, (L(G)) = (L(G))
Como lo mismo sucede en cualquier subgrafo inducido, L(G) es perfecto
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G es perfecto si para todo subgrafo inducido H se cumple que(H) = (H)
GRAFOS PERFECTOS
• Los grafos bipartidos son perfectos• Los grafos de aristas de grafos bipartidos son perfectos• El complementario de un grafo bipartido es un grafo perfecto
G G’
Conjunto independiente en G Clique en G’
(G) = (G’)
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G es perfecto si para todo subgrafo inducido H se cumple que(H) = (H)
GRAFOS PERFECTOS
• Los grafos bipartidos son perfectos• Los grafos de aristas de grafos bipartidos son perfectos• El complementario de un grafo bipartido es un grafo perfecto
G G’(G) = (G’)
Recubrimiento por aristas en G Coloración G’ ’(G) = (G’)
En un grafo bipartido G, (G) = ’(G) (Teorema de Gallai)Luego (G’) = (G’)Como lo mismo sucede en cada subgrafo inducido, G’ es perfecto
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GRAFOS PERFECTOS
Conjetura (Berge, 1961)Si G es perfecto entonces su complementario G’ es perfecto
Teorema de los grafos perfectos (Lovász, 1972)
Un grafo G es perfecto su complementario G’ es perfecto
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GRAFOS PERFECTOS
Conjetura (Berge, 1961)G es perfecto si y solo si ni G ni su complementario G’contienen como subgrafo inducido un ciclo impar de longitudmayor que 3
Los ciclos impares C2k+1 (k>1)no son perfectos y tampoco lo son sus complementarios
Un ciclo inducido de longitud impar (mayor que 3) agujero imparUn subgrafo inducido que es el complemento de un agujero impar sellama antiagujero impar
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GRAFOS PERFECTOS
Teorema (fuerte) de los grafos perfectos(Chudnovski, Robertson, Seymour, Thomas, 2006)
G es perfecto G no contiene ni agujeros impares niantiagujeros impares
Los ciclos impares C2k+1 (k>1)no son perfectos y tampoco lo son sus complementarios
La demostración en un artículo de 78 páginas
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V es independiente en G V es clique en G’
(G) = (G’)
TEOREMA DE LOS GRAFOS PERFECTOS (Lovász)
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Número cromático en G’ Número de cliques en que descomponemos V(G)
(G’) = (G)
TEOREMA DE LOS GRAFOS PERFECTOS (Lovász)
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Si G’ es perfecto entonces para todo S V(G) se tiene que
(G’S) = (G’S), es decir, (GS) = (GS)
G’ es perfecto G es perfecto
A partir de G se construye un hipergrafo H
cada clique de G un vértice de H
las cliques que contienen al vértice xi una hiperarista Xi en H
TEOREMA DE LOS GRAFOS PERFECTOS (Lovász)
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E3
Construcción del hipergrafo de cliques
G1
2
34
5
6
Cliques: 12, 13, 23, 34, 45, 35, 46,123, 345
E1
E2
E4E6
123
1213
23
35
34
45
46
H
El grafo G es el grafo de hiperaristas de H , G = L(H)
nodos de G hiperaristas de Hadyacencia en G intersección de hiperaristas en H
TEOREMA DE LOS GRAFOS PERFECTOS (Lovász)
345
E5
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Propiedades del hipergrafo de cliques
G1
2
34
5
6
Cliques: 12, 13, 23, 34, 45, 35, 46, 123, 345
Vértices independientesen G
Aristas independientesen H
TEOREMA DE LOS GRAFOS PERFECTOS (Lovász)
(G) = (H)número de independencia
número de emparejamiento
E3
E1
E2
E4E6
123
1213
23
35
34
45
46
H
345
E5
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G1
2
34
5
6
Cliques: 12, 13, 23, 34, 45, 35, 46, 123, 345
número cromático (G) = ’ (H) índice cromático
Coloración de vérticesen G
Coloración de aristasen H
Propiedades del hipergrafo de cliques
TEOREMA DE LOS GRAFOS PERFECTOS (Lovász)
E3
E1
E2E4E6
123
1213
23
35
34
45
46
H
345
E5
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(H) = (G)
¿en cuántas aristas de H puede estar un vértice de H?Cada vértice de H es una clique de G y las aristas sonlos vértices de G
(H)
TEOREMA DE LOS GRAFOS PERFECTOS (Lovász)
Propiedades del hipergrafo de cliques
G1
2
34
5
6
Cliques: 12, 13, 23, 34, 45, 35, 46, 123, 345
E3
E1
E2
E4E6
123
1213
23
35
34
45
46
H
345
E5
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una transversal de H es un conjunto de vértices de Hque cortan todas las aristas Ej, es decir, corresponde en G a un conjunto de cliques que cubre todos los vértices xj
(H)
(H) = (G)
TEOREMA DE LOS GRAFOS PERFECTOS (Lovász)
Propiedades del hipergrafo de cliques
G1
2
34
5
6
Cliques: 12, 13, 23, 34, 45, 35, 46, 123, 345
E3
E1
E2
E4E6
123
1213
23
35
34
45
46
H
345
E5
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(H) = (G) (H) = (G) (G) = (H) (G) = ’(H)
Para todo S V, consideramos el subgrafo inducido GSy el hipergrafo correspondiente HS. Las expresiones siguen siendo válidas para todo S
Recopilamos todo lo anterior y ...
Si G’ es perfecto entonces, para todo S V(G) se tiene que
(G’S) = (GS) (GS) = (GS)
(HS) = (HS) H es normal ’(HS) = (HS)
(GS) = (GS) G es perfecto
T. normalidad
TEOREMA DE LOS GRAFOS PERFECTOS (Lovász)
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(H) mínimo cardinal de un conjunto transversal
(H) máximo cardinal de un emparejamiento,
TEOREMA DE LOS GRAFOS PERFECTOS (Lovász)
Un hipergrafo es normal si para todo hipergrafo parcial H’ H secumple que ’(H’) = (H’) (propiedad del índice)
Teorema de normalidad (Lovász, 1972)
Un hipergrafo H es normal para todo hipergrafo parcial H’ H secumple que (H’) = (H’) (propiedad de König)
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Demostraremos que si se cumple la propiedad de König para H,es decir, (H’) = (H’), entonces se cumple que ’(H) = (H)
A partir de H = (V, E) se construye el hipergrafo de emparejamientos H*
Los vértices de H* son los emparejamientos de HUna hiperarista E*i en H* está formada por losemparejamientos de H que contienen la hiperarista Ei
TEOREMA DE LOS GRAFOS PERFECTOS (Lovász)
Teorema de normalidad (Lovász)
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Propiedades del hipergrafo de emparejamientos
HE1
E2
E3
E4E5
E*1
E*2
E*4
E*3
145
115 5
34
45
4
H*
14
25
2
3
E*5
(H) Las hiperaristas (Ek) forman emparejamiento en H
Las hiperaristas (E*k) tienen vértice común en H*
(H) = (H*)
TEOREMA DE LOS GRAFOS PERFECTOS (Lovász)
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HE1
E2
E3
E4E5
’(H) = (H*)
Las clases de color de hiperaristas en H son emparejamientosque cubren todas las hiperaristas Ekluego son vértices de H* que cubren todas las E*kes decir, una transversal de H*
’(H)
TEOREMA DE LOS GRAFOS PERFECTOS (Lovász)
Propiedades del hipergrafo de emparejamientos
E*1
E*2
E*4
E*3
145
115 5
34
45
4
H*
14
25
2
3
E*5
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Propiedades del hipergrafo de emparejamientos
Las hiperaristas (E*k) son independientes en H* es decir, forman emparejamiento
(H) Las hiperaristas (Ek) tienen vértice común en H
HE1
E2
E3
E4E5
E*1
E*2
E*4
E*3
145
115 5
34
45
4
H*
14
25
2
3
E*5
(H) = (H*)
TEOREMA DE LOS GRAFOS PERFECTOS (Lovász)
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E*1
E*2
E*4
E*3
145
115 5
34
45
4
H*
14
25
2
3
E*5
Una clase de color (E*k) de hiperaristas en H*Un punto de H común a todas las Ek
’(H*)
HE1
E2
E3
E4E5
’(H*) = (H)
Coloración de hiperaristas en H* Transversal en H
TEOREMA DE LOS GRAFOS PERFECTOS (Lovász)
Propiedades del hipergrafo de emparejamientos
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Las expresiones siguen siendo válidas para todo H’ hipergrafo parcial de H (esto es, H’H), y el correspondiente H’* en H*
Partimos de (H’) = (H’)
(H’*) = (H’*)Es decir, H* es normal
’(H’*) = (H’*)
H es normal
T. Lovász (la otra implic.)
(H) = (H*) ’(H) = (H*) (H) = (H*) ’(H*) = (H)
’(H’) = (H’)
Recopilamos todo lo anterior y ...
TEOREMA DE LOS GRAFOS PERFECTOS (Lovász)
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Bibliografía
• C. Berge, Hypergraphs: Combinatorics of finite sets, NorthHolland, 1989.
• C. Berge, Graphs and Hypergraphs, North Holland, 1973.
• A. Bretto, Hypergraphs: An Introduction, Springer, 2013
• P. Duchet, Hypergraphs, in Handbook of Combinatorics, R.Graham, M. Grötschel, L. Lovász (eds.), Elsevier, 1995.
• P. Cameron, Combinatorics, Cambridge Univ. Press, 1995
• P. Erdös, A. Hajnal, On chromatic number of graphs and setsystems, Acta Math. Acad. Sc. Hung., 17, 61-99, 1966
• L. Lovász, Normal hypergraphs and the perfect graph conjecture, Discrete Math., 2, 253-267, 1972