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“Geometría flexible y topología con
el mago Moebius”
José Luis Rodríguez Blancas
UNIVERSIDAD DE ALMERÍA
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Problema de los 7 puentes de Königsberg
Leonard Euler demuestra hacia 1750, que no tiene solución, usando grafos. Nace así una nueva geometría flexible, llamada más adelante, Topología.
¿Es posible cruzar los 7 puentes sin repetir?
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Actividades sobre grafos con hilos y cintas
Los participantes pueden jugar con algunos problemas de grafos famosos, con cintas y también sobre paneles de corcho con alfileres e hilos.
Véase: http://topologia.wordpress.com/2011/01/14/caminos-hamiltonianos-y-el-problema-del-viajante-de-comercio/
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Con hilo y alfileres, se pueden realizar las primeras iteraciones de la curva de Hilbert (1891), una curva que en el límite rellena totalmente el cuadrado.
Fractales con hilos
Más información en: http://wp.me/p7JMS-101
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Curva de Hilbert, copo de Koch y curva de Sierpinski
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Copo de Kochrealizado en la
Semana Ciencia 2012 en la
Universidad de Leicester
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Esponja de Menger (1926) en corcho
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Vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=-2JWO5VeJkA
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Alfombra de Sierpinski (Universidad de Valencia 2012).
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Tetraedro de Sierpinski en fieltro
Ver vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=oQevUDo91FQ
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3ª iteración del tetraedro de Sierpinski con 4 copias de la segunda iteración
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Otra versión del tetraedro de Sierpinski de fieltro, donde cada cara es de un color
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Montaje en equipo del tetraedro de Sierpinski, por estudiantes de la Universidad de Almería, 2012
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Paraguas de Whitney con hilo
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La singularidad de Whitney aparece en modelos del plano proyectivo, como el bonete cruzado o la superficie Romana.
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Casa de Bing de dos habitaciones (1964)
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Gorro de burro (Zeeman,1965) http://www.youtube.com/watch?v=34j4CppfRTA
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Trenzado de cuerdas usando palabras (Artin 1925)
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Experimentos para cortar cintas de Moebius, el toro y la botella de Klein
Topología con cremalleras
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Imagen durante el taller de Juegos Topológicos en la UAB 2012
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Cinta de Moebius en alambre con pompa de jabón (superficie minimal)
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Catenoide, helicoide, y otras superficies minimales en alambres
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Superficie de Seifert del nudo de trébol
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Superficie de Seifert del nudo figura 8
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... y ahora con el disco central girado.
![Page 33: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/33.jpg)
Superficies de Seifert con pompa de jabón
![Page 35: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/35.jpg)
Simetrías de orden 2 y 3 del triple toro
Simetrías en superficies de Riemann
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Triangulación (3,7) (se considera el 6º sólido platónico)
Cuártica de Klein (1879): Simetrías de orden 7 en el triple toro
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Identificaciones en el borde: pegar 2n+1 con 2n+6 mod 14.
Configuración de Klein sobre una triangulación regular hiperbólica (3,7).
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Modelo de la cuártica de Klein de Costa, Quach-Hongler, 2010.
Triple toro con dos discos recortados
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Nuestro modelo de goma eva
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![Page 41: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/41.jpg)
Pegamos los bordes1-6, 3-8, 5-10, 7-12, 9-14, 11-2, 13-4
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Modelo en fieltro
![Page 43: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/43.jpg)
Otro modelo de la cuártica de Klein, con simetría de orden 7 Costa y Quach-Hongler, 2010
Imagen del programa SeifertView.
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El mismo modelo realizado en goma eva.
![Page 45: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/45.jpg)
Superficies con otros órdenes de simetría
![Page 46: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/46.jpg)
![Page 47: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/47.jpg)
![Page 48: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/48.jpg)
Politopos y sus sombras
![Page 49: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/49.jpg)
Sombra de una burbuja dodecaédrica, en la Feria de la Ciencia de Sevilla 2011
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“Sombras” de politopos con hilos
Trabajos elaborados por alumnado de Matemáticas de la Universidad de Almería 2011-12.
![Page 51: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/51.jpg)
600-celda
![Page 52: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/52.jpg)
10-simplex rectificado
![Page 53: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/53.jpg)
Politopo E6
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Otra proyección de E6
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Politopo E7
![Page 56: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/56.jpg)
Garrett Lisi. Teoría del todo 2007Ver video rotation of E8
Proyección de orden 6 Proyección de orden 30
Politopo E8
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Construcción con hilo, sin terminar (comienzo 11 mayo 2011 en IX Feria Ciencia Sevilla)
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![Page 60: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/60.jpg)
![Page 61: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/61.jpg)
![Page 62: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/62.jpg)
Último pase de hilo: 7 de mayo
de 2012
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Imagen de ordenador de Tom Ruen)
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Proyección Petrie de E8, de orden 30
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E8 con hilo, 2010
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![Page 67: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/67.jpg)
![Page 68: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/68.jpg)
![Page 69: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/69.jpg)
http://www.polifieltros3d.com
Además del tetraedro de Sierpinski o la esponja de Menger, que hemos visto al principio, el público podrá formar un montón de figuras geométricas de fieltro con el nuevo juego Polifieltros 3d.Os dejamos a continuación una muestra:
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Poliedros estrellados
![Page 71: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/71.jpg)
Deltaedros
![Page 72: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/72.jpg)
Dodecaedro rómbico y plegamientos simétricos
![Page 73: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/73.jpg)
Dodecaedros rómbicos en panal de abejas y apilamiento de pompas de jabón
Fuente: http://matemirada.wordpress.com
En esta actividad, se pueden apilar dodecaedros rómbicos de fieltro, o formar panales con burbujas de jabón
![Page 74: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/74.jpg)
Botella de Klein
![Page 75: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/75.jpg)
TESELACIONES DE PENROSE
En la asociación astronómica cultural Orión, Almería ,2012
![Page 76: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/76.jpg)
POLIEDROS ARQUIMEDIANOS
Ver vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=Suj91zynme0
Montando el gran icosidodecaedro truncado en la Universidad de Almería, 2012
![Page 77: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/77.jpg)
TESELACIONES CON POLIFIELTROS 3D
![Page 78: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/78.jpg)
![Page 79: “Geometría flexible y topología con el mago Moebius”](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5681684c550346895dde452d/html5/thumbnails/79.jpg)
Más información en:
Blog de Juegos Topológicos
http://topologia.wordpress.com
http://www.magomoebius.com
http://www.polifieltros3d.com