GEOMETRÍA-ECUACIÓN DE LA RECTA Y POSICIONES
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10. SEGMENTARIA
Esta forma se obtiene a partir de la forma general.
1
1
0
B
CY
A
Cx
C
By
C
Ax
CByAx
CByAx
Ejemplo:
1
3
7
1
71
7
3
7
73
073
yxyx
yx
yx
Los denominadores son los cortes con los ejes.
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1. Recta que pasa por A y B en todas las formas
A = (-3, 2) B = (5, 1) AB = (5, 1) – (-3, 2) = (8, -1)
Continua: 1
2
8
)3(
yx
Punto pendiente)3(
8
12 xy
Explícita: 1683 yx yx 813 8
13
8
1
8
13
x
xy
General: 0138 yx
Segmentaria: 138 yx 138 yx 1
13
8
13
yx
1
81313
yx
Paramétrica:
tx
8
3
38 tx
ty
1
2
2 ty
Vectorial: (x, y) = (8t – 3, -t + 2) = (8t, -t) + (-3, 2) = t (8, – 1) + (-3, 2)
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2. Hallar la recta que pasa por A y por B en todas sus formas.
2,2
5,1
3,1
ABABAB
B
A
Vectorial: 2,23,1, yx Paramétrica:
23
21
y
x
Continua:2
3
2
1
yx
Punto pendiente: 12
23 xy Explícita: 4
2
2
xy
General: 0822 yx Segmentaria: 144
1
2
8
2
8
yxyx
3. -Calcular la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por 3,5
y lleva la dirección )2,1(2 jiu .
tttutayxx 23,52,13,5, Es la ecuación vectorial.
Las ecuaciones paramétricas:
ty
tx
23
5
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4. Obtener la forma general y explícita de la recta que pasa por A= (3, 4) con vector director (-1, 3):
01339340 yxxyCByAy (Forma general)
133 xy (Forma explícita)
5. Obtener la ecuación general de la recta que pasa por el punto medio del segmento AB, conA (5,-2) y B (3, -6) y es perpendicular a la recta que pasa por P (2,1) y Q (-5, -3):
Punto: 4,442
62,4
2
35
yx
4,713,25 v
4
7
7
4m 4
4
74 xy
01247 yx
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6. Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 3) sabiendo que el área deltriángulo que forma la recta con los ejes de coordenadas es de 3 unidades cuadradas:
La recta forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo de catetos a y b.
Siendo (a, 0) y (0, b) los puntos de corte con los ejes.
En nuestro caso b=3, entonces 232
·3 a
a.Entonces el vector es:(2, 0)-(0, 3)=(2,-3)
6233
3
2
0
yx
yx
La ecuación sería: 0623 yx
7. Calcula el valor de los parámetros B y C en la recta de ecuación r: 2x-5By+C=0 sabiendoque la recta pasa por el punto (3, -2) y que es perpendicular a la recta s: 3x-2y+1=0:
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1. Hallar la recta que pasa por A y B en todas las formas A = (-3, 2) B = (5, 1)
PRIMERO CALCULAMOS EL VECTOR, RESTANDO LOS PUNTOS AB = (5, 1) – (-3, 2) = (8, -1) NO IMPORTA EL ORDEN, NOS DARÍA LA MISMA DIRECCIÓN Podemos empezar por cualquier forma, pero una forma bastante buena es empezar por la continua y
seguir con las demás a partir de ella.:
Continua: 1
2
8
)3(
yx
Punto pendiente)3(
8
12
xy
Explícita: 1683 yx yx 813 8
13
8
1
8
13
x
xy
General: 0138 yx
Segmentaria: 138 yx 138 yx 1
13
8
13
yx
1
81313
yx
Paramétrica:t
x
8
3 38 tx
ty
1
2 2 ty
Vectorial: (x, y) = (8t – 3, -t + 2) = (8t, -t) + (-3, 2) = t (8, – 1) + (-3, 2)
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2. Hallar la recta que pasa por A y por B en todas sus formas. Representar
2,2
5,1
3,1
ABABAB
B
A
Vectorial: 2,23,1, yx Paramétrica:
23
21
y
x
Continua: 2
3
2
1
yx
Punto pendiente: 1
2
23
xy
Explícita:4
2
2
xy
General: 0822 yx Segmentaria:
144
1
2
8
2
8
yxyx
3. Hallar la recta que pasa por A=(2,1) y por B=(-2,3) en todas sus formas.
4. Hallar la recta que pasa por A=(1, -3) y por )2,1(u en todas sus formas.
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5. Calcular la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasapor 3,5 y lleva la dirección jiu 2 .
tttutayxx 23,52,13,5, Ecuación vectorial.
Igualando coordenadas se obtienen las ecuaciones paramétricas:
ty
tx
23
5
La pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma la parte positiva del eje de abscisascon la recta.
6. Obtener la forma general y explícita de la recta que pasa por A= (3, 4) con vectordirector (-1, 3):
0133
934
0
yx
xy
CByAy
(Forma general)
133 xy (Forma explícita)
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7. Obtener la ecuación general de la recta que pasa por el punto medio del segmentoAB, con A (5,-2) y B (3, -6) y es perpendicular a la recta que pasa por:
P (2,1) y Q (-5, -3):
Punto: 4,4,42
62,4
2
32
yx
4,713,2,5 v
4
7
7
4m 4
4
74 xy
01247 yx
8. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
El punto medio es
2
,22
2121 yyxxBA
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9. Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 3) sabiendo que el área deltriángulo que forma la recta con los ejes de coordenadas es de 3 unidades cuadradas:
La recta forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo de catetos a y b.Siendo (a, 0) y (0, b) los puntos de corte con los ejes.
En nuestro caso b=3, entonces 232
·3 a
a
La ecuación sería: 0123 yx
10. Calcula el valor de los parámetros B y C en la recta de ecuación r: 2x-5By+C=0sabiendo que la recta pasa por el punto (3, -2) y que es perpendicular a la recta s: 3x-2y+1=0:
El vector de s es (2, 3), y su pendiente2
3sm El vector director de r es (5B, 2), y su pendiente
Bmr 5
2
Si r y s son perpendicularesr
s mm
1 , entonces:
2
3
2
5
B 5
3B
La recta queda: 032 Cyx Como el punto (3,-2) pertenece a la recta se cumpleque: 002332 CC Y la recta incógnita será: 032 yx
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EJERCICIOS
1. Hallar en todas las formas la recta que pasa por 2,1,3 P y cuyo vector es 1,2,1 v
:
E. VECTORIAL: 1,2,12,1,3,, tzyx
E. PARAMÉTRICA:
tz
ty
tx
2
21
3
E. CONTINUA: 1
2
2
1
1
3
ZYX
E. REDUCIDA:
032421
072162
yzzy
yxyx
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2. Hallar en todas las formas la recta que pasa por 3,2,1 P y cuyo vector es 4,2,3v
E. VECTORIAL: 4,2,33,2,1,, tzyx
E. PARAMÉTRICA:
tz
ty
tx
43
22
31
E. CONTINUA: 4
3
2
2
3
1
zyx
E. REDUCIDA:
014246284
08326322
zyzy
yxyx
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3.DISTINTAS ENUNCIADOS PARA CALCULAR UNA RECTA
En vez de dar un punto y un vector, nos dan dos puntos.Lo primero que tenemos hacer es calcular el vector director, podemos restar indistintamente los puntos A yB porque darían dos vectores opuestos, pero de la misma dirección.También tenemos la misma ecuación si ponemos el punto A o el B.
4. Recta que pasa por dos puntos .A (1, 2, 1) y B (-1, 0,2).
Con los dos puntos formamos un vector, escribiendo la recta en cualquier forma.
AB= B-A = (-2, -2, 1)
1 2 1
2 2 1
x y z
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5. Hallar una recta que pasa por A=(1,2,1) y es paralela a la recta reducida:
232
12
zyx
zyx.
Pasarlo a paramétrica.
Si son paralelas, tienen el mismo vector, para esto se halla la paramétrica.
z
yx
yx
232
22
Por Cramer.
15
55
32
1132
122
x
5
5
32
1122
221
x
Forma paramétrica
z
y
x 1
Tomamos ahora el punto A= (1, 2, 1) y el vector el mismo (-1, -1, 1) para que sean paralelas.
En forma continua1 2 1
1 1 1
x y z
. En forma paramétrica
1
2
1
x
y
z
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6. Hallar la recta paralela a dos planos:
33
22
zyx
zyxque pasa por un punto P = (2, 1,3).
Hallamos la recta en la que se cortan los dos planos y tomamos el vector para hallar la recta que nos piden.
Dos planos se cortan en una recta si no son proporcionales. La recta en paramétrica, para sacar el vector, queserá el será el de la recta pedida. Lo resolvemos por Cramer.
tz
tt
t
y
tt
t
x
3
12
3
331
21
3
78
11
21133
22
tz
ty
tx
3
123
87
Vector = (-7, 2, 3) =>2 1 3
7 2 3
x y z