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GEOMETRIA
MODULO Nº 1
FIGURAS
BIDIMENSIONALES,
LOS POLIGONOS
Y EL TRIANGULO
7º
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ESTANDARES:
Comparo y clasifico figuras bidimensionales de acuerdo con sus componentes
(ángulos, vértices) y características
Clasifico polígonos en relación con propiedades
OBJETIVO:
APRENDIZAJES:
Los ángulos Figuras Bidimensionales y sus características. El polígono (características y clasificación) El triángulo (características, propiedad y clasificación) El teorema de Pitágoras
ACTIVIDADES:
Actividad Nº 1. Clasificación de Ángulos.
Fecha de entrega: 27 de abril
Actividad Nº2. Los Polígonos
Fecha de entrega: 4 de mayo
Actividad Nº3. El Triangulo
Fecha de entrega: 11 de mayo
Actividad Nº4. El teorema de Pitágoras
Fecha de entrega: 18 de mayo
Las actividades serán desarrolladas en el cuaderno de la asignatura, se tomará una fotografía
y posteriormente envía al WhatsApp en la fecha estipulada o acordada en caso que estas
sufran modificaciones.
LINKS
Video 1. https://www.youtube.com/watch?v=TncUxClSDgE clasificación de los ángulos
Video 2. https://www.youtube.com/watch?v=vJskILrx5Kw ángulos internos de un
cuadriláteros
Video 3. https://www.youtube.com/watch?v=8_jsjTk6RnU clasificación de los triángulos
Video 4. https://www.youtube.com/watch?v=mim05Nfu5KM ángulos internos de un trianguloc
https://www.youtube.com/watch?v=TncUxClSDgEhttps://www.youtube.com/watch?v=vJskILrx5Kwhttps://www.youtube.com/watch?v=8_jsjTk6RnUhttps://www.youtube.com/watch?v=mim05Nfu5KM
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Si miras a tu alrededor, te daras cuenta que todos los objetos como el techo de tu casa, las
puertas, ventanas, los edificios, las mesas, las calles, practicamente todo lo relacionado a
infraestructuras, superficies, edificaciones tiene forma de algunasde las figuras geormetricas
que tu conoces, por ende todas presentan angulos y cada uno de ellos son diseñados con
medidas porque tienen una escencia dentro de si, por ejemplo: alguna vez te has preguntado
porque la esquina de tu casa no se hizo con un angulo mayo de 90º, o como hacen los
arqutectos o maestros de construccion para proyectar la altura de un edicifio, o porque tu
casa tiene esa posicion y no otra?
Pues te cuento que la geometria es utilizada en todas las cosas u objetos que hacen parte de
tu cotidianaidad asi no nos demos cuenta por ejemplo cuando se cambia un bombillo o se
apreta un tornillo debemos tener en cuenta la posición del ángulo de inclinación y de
rotación, ya que si tratamos de hacer algunas de estas labores y no utilizamos un ángulo
perpendicular (ángulo recto) a la superficie en la que se trabaja, el clavo se resbalara, el
tornillo y el bombillo no se dejaran rotar sobre su propio eje y por consecuencia no se podrá
lograr el objetivo de cada trabajo.
La geometria tambien es utilizada por los arqutectos y dibujantes arquitectonicos para la
elaboracion de planos y diseños de construccion. Existen situaciones en las que pasa
desapercibida la importancia de los ángulos y la geometria como en un partido de fútbol
cuando se va a realizar un pase o un penal y el jugador debe calcular con exactitud el ángulo
en el cual va a patear el balón para que sea una jugada exitosa. Por estas y un sinfín de
razones los ángulos y la geometria son de suma importancia y lograr conocerlos e
incorporarlos en nuestra vida cotidiana solucionara más de algún problema que se nos
presente en un futuro próximo. (http://geometriaplana07.blogspot.com/p/agulos-en-la-vida-
cotidiana.html)
Los triángulos también son esenciales en tu vida, por ejemplo, en la arquitectura y se utilizan
en el diseño de los edificios y otras estructuras, ya que proporcionan resistencia y estabilidad.
Los más resistentes son los triángulos equiláteros y los isósceles; su simetría ayuda a distribuir
peso (http://revistadigitaltriangulos.blogspot.com/2017/01/la-importancia-de-los-triangulos.html)
Otro ejemplo puede ser cuando un techo se va a colocar, los maestros de construcción piden
muchas veces cerchas o bases en forma de triángulo o rectangulares, con el fin de dar una
mayor resistencia y este pueda sostener el tejado que se va a instalar
Se dice, Como dato adicional que las pirámides de Egipto para medir su altura tuvieron que
recurrir al teorema de Pitágoras, conociendo su base y una diagonal (hipotenusa), hallaron el
lado (altura) que hacia falta
Estas y por muchas razones más es necesario que aprendas acerca de la geometría, espero
no aprendas por el momento, sino bien aprende la vida.
...
http://geometriaplana07.blogspot.com/p/agulos-en-la-vida-cotidiana.htmlhttp://geometriaplana07.blogspot.com/p/agulos-en-la-vida-cotidiana.htmlhttp://revistadigitaltriangulos.blogspot.com/2017/01/la-importancia-de-los-triangulos.html
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¿Sabes o recuerdas como se dibujan figuras geométricas, recuerdas como hallas los angulos
de una figura geometrica?
Muchas de las edificaciones, señales de transito y de los objetos que están a nuestro
alrededor contienen figuras geométricas. Por ello, resulta importante conocer algunas de sus
características.
LOS ÁNGULOS
Para Recordar….
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ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICES
Dos ángulos son opuestos por el vértice si los lados de uno de ellos son prolongaciones más
allá del vértice de cada uno de los lados del otro ángulo. Tienen un vértice en común y sus
lados están en un par de rectas que se cortan en este vértice.
Dos ángulos opuestos por el vértice tiene igual medida.
El angulo a es igual al angulo c
El angulo b es igual al angulo d
ANGULOS ADYACENTES
Dos angulos son Adyacentes si dos angulos tiene el vertice y un lado en comun, es decir son
seguidos el uno del otro.
ejemplo:
ANGULOS CORRESPONDIENTES
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ANGULOS ALTERNOS INTERNOS Y EXTERNOS
ANGULOS COMPLEMENTARIOS
Son aquellos que sumados da 90º
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ANGULOS SUPLEMENTARIOS
Son aquellos que juntos suman 180º
Actividad Nº1. (fecha de entrega: lunes 27 de abril)
De acuerdo a la informacion anterior desarrolla en tu cuaderno la siguiente actividad.
1. Encuentra la medida de los angulos solicitados, teniendo en cuenta las medidas que
se les da.
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2. Escoge una sola respuesta por cada punto, de acuerdo a la clase de angulos.
Bisectriz:
Es la recta que divide en dos partes iguales a un ángulo; se trata del lugar geométrico de los
puntos del plano que equidistan, es decir, se encuentran a la misma distancia de las
semirrectas de un ángulo.
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LAS FIGURAS BIDIMENSIONALES
2D
Una figura bidimensional es aquella que tiene dos dimensiones, es decir un ancho y largo, no
tienen espesor ni grosor, son aquellas que conocimos plasmadas, dibujads o pintadas sobre
una superficie.
A esta clase de figuras, se les puede hallar el AREA (multiplicacion de las dos medidas) y un
PERIMETRO (sumatoria de todos sus lados)
Como caracteristicas fundamentales , se puede decir que las figuras Bidimensionales tienen
lados y tiene vertices, por lo tanto tambien tienen angulos.
Son las figuras geoetricas que comunmente conocemos, entre las conocidads tenemos:
Entre estas tenemos…
Rectángulo
4 lados, 4 vértices
Rombo
4 lados, 4 vértices
Trapecio
4 lados, 4 vértices
paralelogramo
4 lados, 4 vértices
triangulo
3 lados, 3 vértices
circunferencia
Hexágono
6 lados, 6 vértices
Pentágono
5 lados, 5 vértices
cuadrado
4 lados, 4 vértices
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ejercitate:
Juliana dibuja 2 hexagonos y 1 pentagono, ¿Cuántos lados dig¡buja en total?
R/ 6 lados + 6 lados + 5 lados = 17 lados
LOS POLIGONOS
Un polígono es una figura plana (bidimensional) en la que ningún par de segmentos se intersecan
(Cruzar), excepto en sus extremos y ningún par con un extremo común es colineal (seguido).
Los Elementos de un Polígono
a. Lados: es cada uno de los segmentos
(lineas9 que forman el polígono.
b. Angulo Interno: cada uno de los
ángulos formados por dos lados
seguidos.
c. Angulo Externo: cada uno de los
ángulos formados por un lado y una
prolongación de un lado consecutivo.
d. Vertices: cada uno de los puntos de
intersección de dos lados consecutivos.
e. Diagonales: segmentos (líneas) que unen
dos vértices no consecutivos.
CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS SEGÚN SU FORMA
Cóncavos: se llama así al polígono que tiene como mínimo un ángulo interno mayor de
180º y una de sus diagonales queda por fuera de la figura
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Convexo: se llama así al polígono que no tiene ningún ángulo mayor de 180º y al trazar
sus diagonales todas quedan dentro de la figura.
Polígono Regular: son aquellos que tiene todos sus lados congruentes (longitudes iguales) y sus
ángulos de la misma medida.
Polígonos Irregulares: son aquellos que no tienen lados congruentes, ni ángulos con la misma
medida.
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CLAASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEGÚN SUS LADOS
Según el número de lados los polígonos se clasifican en:
CALCULO DE CANTIDAD DE DIAGONALES
Para calcular la cantidad de diagonales de un polígono de “n” lados, se utiliza la siguiente formula:
D = n x (n – 3)
2
n = número de lados.
Ejemplo.
Hallar cuantas diagonales tiene un pentágono.
D = n x (n – 3)
2
D = 5 x (5-3) = 5 x (2) = 10 = 5 diagonales
2 2 2
comprobando, 5 diagonales
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CALCULO DE LA SUMATORIA DE LOS ANGULOS INTERNOS DE UN POLIGONO
la suma de los ángulos internos de un polígono de n lados se puede determinar mediante la
formula
(n-2) x 180º, en donde n es el número de lados. Si se requiere conocer el valor de cada ángulo
interno siempre entonces se divide entre n.
Ejemplo:
Calcular la sumatoria total de los ángulos internos de un hexágono.
(n-2) x 180º
(6-2) x 180º = (4) x 180º = 720º
R/ los ángulos internos de un hexágono miden 720º
Actividad Nº 2. (fecha de entrega: 4 de mayo)
la siguiente actividad es para aquellos estudiantes que no han presentado el siguiente
trabajo.
a. En un 1/8 de cartulina o cartón, realizar en plastilina o fomi la
clasificación de los polígonos según su forma. Realiza como mínimo 3
ejemplos de cada uno.
b. Un plano se puede recubrir con una serie de polígonos sin dejar
espacio, especialmente con aquellos que miden menos de 180º.
Ejemplo: da una mirada al menos a dos pisos que tenga diferentes
formas y tamaño de baldosa, te darás cuenta que una baldosa tiene
una forma de polígono y que una serie de baldosas forma un plano o
una superficie. En una hoja realiza un plano con un polígono, el que
desees, es necesario que todas tengan el mismo tamaña y forma.
c. Completa las siguientes tablas en tu cuaderno, empleando y
desarrollando las formulas propuestas:
POLÍGONOS NUMEROS
DE LADOS
NUMERO DE
VERTICES
NUMERO DE
DIAGONALES
SUMA DE
ANGULO
INTERNOS
Triangulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
Eneágono
Decágono
Endecágono
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d. Completa el valor de los ángulos internos de cada polígono. Teniendo en cuenta las características
y propiedades de los polígonos y los ángulos.
Dodecágono
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EL TRIANGULO
Un Triángulo es la figura que se encuentra por tres segmentos (líneas) unidos por tres
puntos llamados vértices.
Clasificación de Triángulos
Los triángulos se clasifican de acuerdo a sus lados y sus ángulos.
Fíjate que los triángulos clasificados según los ángulos, tienen una terminación en ángulo.
CONSTRUCCION DE TRIANGULOS
Para la construcción de triángulos, se pueden utilizar varios instrumentos, como el compás, la regla y
el transportador.
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OJO…..De acuerdo a
cada una de las
indicaciones
anteriormente dada,
vamos a construir en
tu cuaderno como
mínimo un triángulo
por cada manera de
hacerlo. (06 de mayo)
PROPIEDADES DE LOS
TRIANGULOS
Propiedades relacionadas con los ángulos del triangulo
1. La sumatoria de los ángulos internos de un triángulo siempre será 180º
2. La suma de los ángulos externos de un triángulo siempre será
360º
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3. La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no
adyacentes.
4. Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a esos lados son
también congruentes.
Congruente: es la expresión algebraica que expresa la igualdad de los
restos de las divisiones de dos números congruentes por su módulo (un
número natural distinto de 0). Esta expresión se representa con tres
rayas horizontales entre los números
PROPIEDADES SEGÚN LOS LADOS DEL TRIANGULO
1. En un triángulo, la medida de los lados es menor que la suma de los otros dos y mayor que la
diferencia.
2. En un triángulo, al lado mayor se
opone el ángulo mayor
ACTIVIDAD Nº3 (fecha de entrega: 11 de mayo)
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1. Halla el valor de X en cada caso, teniendo en cuenta las propiedades y características de los triángulos:
2. Escribe falso o verdadero según corresponda de acuerdo a las propiedades de los triángulos.
Especificar y escribir a cuál propiedad pertenece o se está implementando.
a. En el triángulo formado por los segmentos a= 3 cm, b=4 cm, c= 5 cm, el ángulo con mayor
abertura es el opuesto al lado b. ( )
b. Es posible construir un triángulo cuyos lados midan 8 cm, 3 cm y 7 cm ( )
c. En un triángulo, los ángulos internos pueden medir 45º, 32º y 50º. ( )
d. Es posible construir un triángulo cuyos lados midan 5 cm, 11 cm y 6cm ( )
e. Los ángulos externos de un triángulo miden 120º, 100º y 110º, respectivamente. ( )
3. Analiza y resuelve:
Francisco necesita cercar con malla un lote de su finca que tiene forma de triángulo y que mide 15
dam (decámetros, 1 dam= 10 metros) en uno de sus lados y 12 dam en otro lado. Se sabe que el
ángulo comprendido entre este par de lados mide 35º.
¿Cuánta malla debe comprar francisco para encerrar el lote?; usa la regla y luego haz las
conversiones pertinentes para encontrar la longitud del tercer lado. Dibuja el lote en tu cuaderno.
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4. Clasifica los siguientes triángulos de acuerdo con la medida de sus ángulos:
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EL TEOREMA DE PITAGORAS
Para empezar, te invito a que le des un vistazo a quien fue Pitágoras.
No olvides tomar apuntes y registrarlo en tu cuaderno
Ahora bien, sabiendo quien fue y cómo fue su vida, vamos continuar nuestro viaje hacia la historia y
miremos de donde salió y porque el Teorema de Pitágoras…
Se dice que el Teorema de Pitágoras nace en la escuela de pitagórica.
Anteriormente, en Mesopotamia y el antiguo Egipto se conocían ternas (tríos) de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos.
Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación.
La pirámide de Kefrén, fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.
El Teorema de Pitágoras es una ecuación, que establece que en todo triangulo Rectángulo a longitud
de la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma del área de los cuadrados de las respectivas
longitudes de los catetos.
En matemáticas, también se puede explicar por medio de tres cuadrados de diferentes
dimensiones…
En donde un cuadrado de 3 de lado, unido o sumado a otro de
4 de lado, da como resultado otro cuadrado de 5 de lado; si lo
miramos desde el punto de unidades, el primer cuadrado de 3
de lada al hallar el área de este nos da como resultado 9
unidades, el de 4 de lado nos da 16 unidades sumados los dos
cuadrados se obtiene como resultado 25 unidades, es decir un
cuadrado de lado 5.
https://es.wikipedia.org/wiki/Mesopotamiahttps://es.wikipedia.org/wiki/Antiguo_Egiptohttps://es.wikipedia.org/wiki/Terna_pitag%C3%B3ricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A1mide_de_Kefr%C3%A9nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_sagrado_egipciohttps://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusahttps://es.wikipedia.org/wiki/Cateto
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Cuando Se Te Pida Hallar La Hipotenusa
a2 + b2 = ?2 (cateto 1)2 + (cateto 2)
2 = (hipotenusa)2
se hace la suma de los cuadrados de los catetos
Cuando Te Pidan Hallar Uno De Los Dos Catetos
?2 = c2 - b2 (cateto 1)2 = (hipotenusa)2- (cateto 2)
2
se hace la resta de la hipotenusa con uno de sus catetos
ejemplo:
De la figura mostrada, calcular la longitud de la hipotenusa.
Como nos piden hallar la hipotenusa, entonces trabajamos con la siguiente formula,
a2+ b2 = c2
reemplazamos,
(5)2 + (12)2 = (x)2
25 + 144 = (x)2
169 = (x)2 se debe desaparecer el cuadrado, por lo tanto, se debe reemplazar por una raíz cuadrada
√169 = 13
R/ la hipotenusa vale 13 m.
?
a
b
c
?
b
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Ejemplo 2.
Hallar el lado que hace falta.
Debido a que nos piden uno de los catetos, se utiliza la siguiente formula:
x2 = c2 - b2
x2 = (5)2 – (3)2
x2 = 25 – 9
x2 = 16
x =√16 x= 4 m R/ el lado faltante vale 4 m.
En casa, Con tu familia vas a realizar un rompecabezas que te permita verificar el teorema
de Pitágoras, siguiendo las siguientes instrucciones:
a. Construye un cuadrado de lado 14 cm y recórtalo (en el material que puedas y quieras). Lo
mantendrás como base. Coloréalo. (cuadro a)
b. Sobre otro cuadrado de lado 14 cm haz los siguientes trazos y recorta casa una de las piezas que
señala el dibujo.
Es decir, tu rompecabezas estará compuesto por: dos cuadrados, uno de 6 cm de lado y otro de 8 cm
de lado; y cuatro triángulos rectángulos, dos de catetos de 6 cm y otros dos de catetos de 8 cm.
Luego de hecho esto, Responde:
a. ¿Cuánto miden las hipotenusas de esos triángulos?
b. Retira los dos cuadrados y sobre tu cuadrado base coloca los triángulos, como lo indica el dibujo
adjunto.
c. ¿Qué figura enmarcan los triángulos sobre el cuadrado base?
d. Verifica que al retirar los dos cuadrados y colocar los cuatro triángulos, el área de la figura del
centro es equivalente a la suma de los dos cuadrados retirados.
3 m
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Ejemplo 3.
Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 metros apoyada sobre la pared si la parte inferior la situamos a 70 centímetros de ésta.
Se debe hallar un cateto, es decir se utilizara la formula restando; también se debe tener en cuenta que una medida está en metros y la otra medida en centímetros, por lo tanto se debe unificar unidades.
b2 = c2 – a2
b2 = ( 300)2 –(70)2
b2 = 90000-4900
b2 = 85100
b= √85100
b = 291,7 cm o 2, 91 m
ejemplo 4.
a2+ b2= c2 (50)2+( x)2= 1302 x2= (130)2– (50)2 ⇒ x = 120 m ∴La distancia desde el pie del faro al bote es: 120m
70 mt
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Actividad Nº 4 (fecha de entrega: 18 de mayo)
1. Una escalera de 65 decímetros se apoya en una pared vertical de modo que el pie de la escalera
está a 25 decímetros de la pared. ¿Qué altura, en decímetros alcanza la Escalera?
2. Una escalera de 15 metros se apoya en una pared vertical, de modo que el pie de La escalera se
encuentra a 9 metros de esa pared. Calcula la altura en metros, que alcanza la escalera sobre la
pared.
3. Desde un balcón de un castillo en la playa se ve un barco a 85 metros, cuando realmente se
encuentra a 84 metros del castillo. ¿A qué altura se encuentra ese balcón?
4. Un faro de 16 metros de altura manda su luz a una distancia horizontal sobre el mar de 63 metros.
¿Cuál es la longitud, en metros, del haz de luz?
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5. Si nos situamos a 150 metros de distancia de un rascacielos, la visual al extremo superior del
mismo recorre un total de 250 metros. ¿Cuál es la altura total del rascacielos?
6. Un coche que se desplaza desde el punto A hasta el punto B recorre una distancia horizontal de
35 metros, mientras se eleva una altura de 12 metros. ¿Cuál es la distancia, en metros, que separa
a los puntos A y B?
7. La altura de una portería de fútbol reglamentaria es de 2,4 metros y la distancia desde el punto de
penalti hasta la raya de gol es de 10,8 metros. ¿Qué distancia recorre un balón que se lanza desde
el punto de penalti y se estrella en el punto central del larguero?
8. La Torre de Pisa está inclinada de modo que su pared lateral forma un triángulo rectángulo de
catetos 5 metros y 60 metros. ¿Cuánto mide la pared lateral?