8º Básico
Clase 1Unidad 3
Geometría
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1a
Cálculo mental diario
a) 12 • 10 : 2 =b) 102 + 7 •5 =c) 16:2 – 2 • 6 =d) 44 : 4 – 4:2 =e) - 15 + 3 • 5 =f) 1 + 6 • 6 =g) 15 - (2 • 8) =h) - 2 – 5 - 10 = i) 15 – (6 + 2) =j) ( - 41) + (- 3 ) =k) 9 • (-11) =l) 14 + 6 – 14 =
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1b
Cálculo mental diario
a) 12 • 10 : 2 = 60b) 102 + 7 • 5 = 135c) 16 : 2 – 2 • 6 = - 4d) 44 : 4 – 4 : 2 = 9e) - 15 + 3 • 5 = 0f) 1 + 6 • 6 = 37g) 15 - (2 • 8) = - 1h) - 2 – 5 - 10 = -17i) 15 – (6 + 2) = 7j) ( - 41) + (- 3 ) = - 44k) 9 • (-11) = - 99l) 14 + 6 – 14 = 6
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1c
Lo que tendrían que saber
• Ángulos exteriores o interiores de diferentes polígonos.
• Circunferencia y círculo.
• Área de triángulos, paralelogramos y trapecios.
• Identificar puntos y vectores en el plano cartesiano.
Ángulos interiores y exteriores de un polígono
• Conocemos la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo, que es 180°.
• Como cualquier polígono se puede dividir en triángulos, también se podrá calcular cuál es la suma total en cada caso.
• Un cuadrilátero se puede dividir en 2 triángulos, un pentágono en 3, un hexágono en 4, etc.; siempre dos menos que el número de lados.
• En definitiva, un polígono de n lados se puede descomponer en (n-2) triángulos y, por lo tanto, la suma de los ángulos interiores será: 180°·(n-2)
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1d
Suma de ángulos exteriores de un poligono:Primero: conocer el valor de uno de los ángulos interiores: 180º ∙ (n-2)
n
Ejemplo:
108º 0
'0''
72º 0'0''
72º 0'0''
72º 0'0''72
º 0'0
''
72º 0'0''
108º 0'0''
108º 0'0'' 108º 0'0''
108º
0'0
''Segundo: calcular el ángulo suplementario.
Ejemplo: las medidas de los ángulos exteriores de este pentágono regular, la suma de ellos equivale a 72 · 5 = 360º
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1e
Luego la suma de los angulos exteriores de cualquier poligono es siempre 360°.
En la siguiente animación:
http://www.rememes.com/meme/angulos-exteriores-poligonos-suman-360-grados-140916281040649937
Se observa como todos los ángulos exteriores unidos forman un ángulo completo.
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1f
Animación para ver definiciones en el siguiente link:
http://www.accede-tic.es/circuloycircunferencia/elementos.html
Circunferencia
Es una línea curva, cerrada y plana cuyos puntos están a la misma
distancia del centro.
Círculo
Es una figura plana formada por una ciscunferencia y su interior.
Diámetro
Cuerda
Radio
Centro
Semicircunferencia
Arco
Diámetro
Cuerda
Radio
Centro
Semicírculo
Arco
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1g
Área = π ∙ 𝑟2
Longitud = 2 ∙ π ∙ 𝑟𝑟 𝑟
Área de un círculo: Perímetro de una circunferencia:
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1h
12 cm
3 cm
10 cm
7 cm
9 cm
3,5 cm1,5 cm
2 cm
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Actividad en parejas: Seleccionar circunferencias y calcular área y perímetro:
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1h
Área: 3,14 • 1,5 • 1,5 = 7,06 cm2
Perímetro: 2 • 3,14 • 1,5 = 9,42 cm
Área: 3,14 • 2 • 2 = 12,56 cm2
Perímetro: 2 • 3,14 • 2 = 12,56 cm
Área: 3,14 • 3 • 3 = 28,26 cm2
Perímetro: 2 • 3,14 • 3 = 18,84 cm
Área: 3,14 • 3,5 • 3,5 = 38,46 cm2
Perímetro: 2 • 3,14 • 3,5 = 21,98 cm
Área: 3,14 • 3,5 • 3,5 = 38,46 cm2
Perímetro: 2 • 3,14 • 5 = 21,98 cm
Área: 3,14 • 4,5 • 4,5 = 63,58 cm2
Perímetro: 2 • 3,14 • 4,5 = 28,26 cm
Área: 3,14 • 25 = 78,75 cm2
Perímetro: 2 • 3,14 • 5 = 31,4 cm
Área: 3,14 • 6 • 6 = 113,04 cm2
Perímetro: 2 • 3,14 • 6 = 37, 68 cm
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Actividad en parejas: Seleccionar circunferencias y calcular área y perímetro:
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1i
Figura geométrica Perímetro y áreaTríángulo cualquiera
b
c
h aP = a + b + c
á = base ∙ altura = c ∙ h 2 2
Cuadrado
d
a
a
P = 4a
á = a2
Rectágulo
d b
a
P = 2a + 2 b
á = lado ∙ lado = a ∙ b
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1j
Figura geométrica Perímetro y áreaRombo
a
a
e
fh
P = 4a
á = base ∙ altura = b ∙ h
á = diagonal ∙ diagonal = e ∙ f
2 2
Romboide
a
bh
e
f
P = 2a + 3b
á = a ∙ h
Trapecio
a
b
c
dh
m
P = a + b + c + d
á = (base1 ∙ base2) altura = (a + c) h 2 2
á = mediana ∙ altura = m ∙ h
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1k
Puntos en el plano cartesiano:
La posicion de un punto en el plano está determinado por un par ordenado (x,y) los que constituyen las condenadas, considerando primero al eje x y luego al eje y.
Vectores en el plano cartesiano:
Llamaremos Vector a un segmento dirigido, su punto inicial se llama origen y su punto final se llama extremo.Cada vector se caracteriza por tener magnitud, direccion y sentido.
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1l
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
123456789
1011121314
Y
X
A
B
C
D
Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano:
A (2,4), B (0,9), C (6,6), D (12,0)
8º Básico
Clase 2Unidad 3
Estadística y Probabilidades
Material exclusivo para enseñanzaLámina 2a Unidad 3: GeometríaClase 2
Revision de tarea clase anterior:Ejercicio 4 CT
Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano(-2 | 3); (5 |-6); (-4 |-8); (4 | 8); (2 | 8)
y
x
-12 -10
-10
-8
-8
-6
-6
-4
-4
-2-2
2
2
4
4
6
6
8
8
10
10
12
Material exclusivo para enseñanzaLámina 2b Unidad 3: GeometríaClase 2
Cálculo mental (considere π = 3 cm)
a) Perímetro de una circunferencia de radio 4 cm =
b) Área de una circunferencia de radio 2 cm =
c) Perímetro de un cuadrado de lado 8 cm =
d) Área de un rectángulo de largo 6 cm y ancho 11 cm =
e) Diámetro de una circunferencia de radio 7cm =
f) Si el perímetro de una circunferencia es 6 cm, la medida del radio es =
Material exclusivo para enseñanzaLámina 2c Unidad 3: GeometríaClase 2
Cálculo mental (considere π = 3 cm)
a) Perímetro de una circunferencia de radio 4 cm = 24 cm
b) Área de una circunferencia de radio 2 cm = 12 cm2
c) Perímetro de un cuadrado de lado 8 cm = 32 cm
d) Área de un rectángulo de largo 6 cm y ancho 11 cm = 66 cm2
e) Diámetro de una circunferencia de radio 7cm = 14 cm
f) Si el perímetro de una circunferencia es 6 cm, la medida del radio es = 1 cm
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 2Lámina 2d
Recordemos
Cuerpos geométricos
Poliedros
Cubo
Prisma
Pirámide
Cilindro
Cono
Esfera
Cuerpos redondos
En estas clases trabajaremos con los cubos, prismas y cilindros.
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 2Lámina 2e
¿Qué es un poliesro?
Es un cuerpo geométrico compuesto por caras planas en forma de polígono.
¿Qué es un prisma?
Un prisma es un poliedro que posee dos caras paralelas congruentes llamadas bases y sus caras laterales tienen forma de paralelogramo.
Caras laterales en forma de paralelógramo.
R
β
α
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 2Lámina 2f
Elementos de un prisma
Caras
Aristas
Vértices
Material exclusivo para enseñanzaUnidad4: GeometríaClase 2Lámina 2g
Caso particular:
El CuboEs un poliedro que posee 6 caras cuadradas congruentes.Posee 8 vértices y 12 aristas.También se le conoce con el nombre de hexaedro.
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: Estadística y ProbabilidadesClase 2Lámina 2h
Supongamos que queremoscubrir de papel mural toda lasala de clases y necesitamossaber cuantos cm2 de papelmural necesitamos paracumplir nuestro objetivo.¿Qué datos necesitamosconocer para lograrlo?(Consideremos que queremoscubrirla por completo, esdecir, si no existieran ventanasni objetos adosados a lapared)
Material exclusivo para enseñanzaLámina 2i Unidad 3: GeometríaClase 2
¿Qué son los cuerpos redondos?Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al menos, una de sus caras o superficies
de forma curva.
¿Qué es un cilindro?Cuerpo redondo formado por dos caras paralelas y congruentes en forma de circulo yrodeado por una superficie lateral curva. La distancia entre sus dos caras paralelas serála altura del cilindro.
Material exclusivo para enseñanzaLámina 2j Unidad 3: GeometríaClase 2
¿Cómo podríamos obtener el área total de la superficie de un cilindro?Para respondernos esta pregunta utilizaremos un tubo de papel higiénico.
Material exclusivo para enseñanzaLámina 2k Clase 2Unidad 3: Geometría
• Actividad 1 grupal:En grupos de cuatro personas determinar el área
total del cilindro realizando el siguiente procedimiento:Paso 1: Marcar el contorno de la base del cilindro y medir el diámetro de la circunferencia.
Actividad grupal
Material exclusivo para enseñanzaClase 2Unidad 3: GeometríaLámina 2l
• Actividad 1 grupal:Paso 2: Cortar el tubo de papel higiénico de la siguiente manera:
Material exclusivo para enseñanzaLámina 2m Clase 2Unidad 3: Geometría
• Actividad 1 grupal:Paso 3: Medir el largo y ancho del rectángulo resultante.
Paso 4: Con todos los datos recopilados anteriormente, calcular el área total del cilindro. Pueden utilizar calculadora si lo necesitan. (Considera 3 cm)
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 2Lámina 2n
Relacionar
¿Qué datos necesitamos para determinar el área total de la superficie del cilin-dro de la actividad anterior?
Para determinar el área total de un prosma o cilindro es conveniente determi-nar su red de construcción, lo que simplofica y facilita el cálculo.
Ejemplo de redes:
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 2Lámina 2ñ
• Observa las siguientes imágenes:
¿Qué información sería necesaria y suficiente para determinar el área total de este cuerpo geométrico desarmado?
Cierre
8º Básico
Clase 3Unidad 3
Geometría
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3a
Revision de tarea clase anterior:Ejercicio IV CT
I. Si un cilindro estuviera formado por una torre de CD cada uno de un grosor de 2 mm, ¿Qué datos bastarían para determinar su área total ? El diámetro de cada disco. La catidad de discos con la que está formada la torre. Agrega la información extra y calcula un área aproximada. (utiliza algún CD que tengas en tu casa forma una torre y determina su área total. Considera 𝜋𝜋 ≈ 3 cm). Respuestas variadas.
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3b
Cálculo Mental (Considere ) :
a) Perímetro de una circunferencia de radio 3 cm = b) Área de una circunferencia de radio 1 cm =
c) Perímetro de un cuadrado de lado 5 cm =
d) Área de un rectángulo de largo 2 cm y ancho 10 cm =
e) Diámetro de una circunferencia de radio 6 cm =
f) Si el perímetro de una circunferencia es 30 cm, la medida del radio es =
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3c
Cálculo Mental (Considere ) :
a) Perímetro de una circunferencia de radio 3 cm = 18cm b) Área de una circunferencia de radio 1 cm = 3cm2
c) Perímetro de un cuadrado de lado 5 cm = 20cm
d) Área de un rectángulo de largo 2 cm y ancho 10 cm = 20cm2
e) Diámetro de una circunferencia de radio 6 cm = 12cm
f) Si el perímetro de una circunferencia es 30 cm, la medida del radio es = 5cm
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3d
¿Qué es el volumen?
• El volumen es el espacio que ocupan los cuerpos.
• Los cuerpos geométricos existen en el espacio y son por lo tanto objetos que tienen tres dimensiones (ancho, alto y largo) limitados por una o más superficies.
Largo
Ancho
Ancho
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3e
¿Cómo se calcula el volumen de un cuerpo?
Supongamos que tenemos una caja y queremos saber cuánto espacio ocupa la caja. O bien qué cantidad puede ser ocupada dentro de la caja.
Para esto ocuparemos cubos unitariosEs decir cuyo volumen es de 1 cm3.
= 1 unidad
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3f
Este dibujo que representa la caja
anterior
Ahora cubrimos la caja capa por capa con los
cubos unitarios.
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3g
Hasta cubrirla por completo:
En total cubrimos la caja con 10 capas.
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3h
Cada una de las 10 capas está compuesta por lo siguiente:
¿Podemos determinar su volumen?
8
4
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3i
En total hay 96 cubos, es decir, como estamos trabajando con cubos unitarios, el volumen de la caja será de
• Podemos concluirque el volumen de
un prisma recto se podrá calcular LARGO X ANCHO x ALTO.
Otra forma es multiplicando el áreade la base por su altura
Esto se puede realizar para todos los prismas sin importar su base.
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3j
Ahora ustedes! !
Actividad Grupal 1:Para la siguiente actividad, utilizaremos cubos unifix.
Cada uno de estoscubos tiene un volumenDe .
Realizar ejercicio I y II del CT.
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3k
Cuando el cuerpo geometrico no es sólido (no tiene nada en su interior), se habla de capacidad del cuerpo. La unidad de capacidad es el litro, que es lo que cabe en un volumen de un decímetro cúbico:
1 litro = 1 dm3 Recuerda: 1 dm = 10 cm
10 cm
10 cm
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3l
Actividad 2¿Cuál es el volumen de cada cubo?
¿Cuántos litros se pueden almacenar en el cubo fucsia (el más grande)?
1 dm3 equivale a 1 litro
1 dm 1 dm1 dm = 10 cm 5 dm
5 dm5 dm
10 dm
10 dm = 1 metro
10 dm
Actividad 2¿Cuál es el volúmen de cada cubo?
¿Cuántos litros se pueden almacenar en el cubo fucsia?
Actividad 2¿Cuál es el volúmen de cada cubo?
¿Cuántos litros se pueden almacenar en el cubo fucsia?
Actividad 2¿Cuál es el volúmen de cada cubo?
¿Cuántos litros se pueden almacenar en el cubo fucsia?
Material exclusivo para enseñanzaLámina 3m Clase 3Unidad 3: Geometría
HAY 1000 ¡ 1000 LITROS !
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3n
Observemos
• ¿A qué cuerpo geométrico se asemeja esta torre de monedas ?
• ¿Qué datos necesitaríamos conocer para encontrar su volumen?
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3ñ
Volúmen de un cilindro:
Imagina que este es el cilindro anterior, donde cada moneda representa a una circunferencia sin grosor y que se superpondrán hasta completar el cilindro.
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3o
Entonces supongamos que la torre de monedas tiene estas dos informaciones:
¿Cómo calculamos su volumen?
2 cm
4 cm
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3p
• Volúmen de un cilindro:El volumen de un cilindro se calculará multiplicando el área de la base (círculo) por su altura h.
• En el ejercicio anterior, elRadio es 1cm y la altura 4cm.Luego el volumen es :
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3q
Actividad grupal:
Supongamos que tenemos un recipiente como el de la foto:
Está formado por dos cilindros y el contorno se ha cubierto con cemento y el interior con tierra.¿Cuál es el volumen que ocupa el cemento si llenamos el recipiente?(Considera π ≈ 3,14)
Datos importantes:Altura cilindros 40 cm.Diámetro cilindro interior: 30 cmDiámetro cilindro exterior: 80 cm
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3r
Actividad grupal :
SOLUCIÓN Volumen Cilindro exterior:
Volumen cilindro interior:
Volumen que utiliza cemento:200960 – 28260 =
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3s
CierreObserva los siguientes cuerpos:
¿Cuál de ellos posee el mayor volumen?
8º Básico
Clase 4Unidad 3
Geometría
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 4Lámina 4a
Lata
a) b) c) d)
Gramos
Radio
Altura
Comparar con un kilo
Tiene mayor Volumen que a)
Tiene mayor Volumen que b)
Tiene mayor Volumen que c)
Tiene mayor Volumen que d)
400 200 450 500
4cm 5cm 3cm 6cm
12 cm 4cm 12cm 12cm
Menos que un kilo Menos que un kilo Menos que un kilo Menos que un kilo
igual no no si
no igual si si
si no igual si
no no no igual
Material exclusivo para enseñanzaClase 4Lámina 4b
Cálculo mental diario
a) 11 • 18 : 2 =
b) 102 + 8 • 7 =
c) 22:2 – 3 • 6 =
d) 48 : 6 – 8:2 =
e) - 18 + 9 • 5 =
f) 1 + 7 • 7 =
g) 26 - (6 •6 ) =
h) - 3 – 5 - 8 =
i) 18 – (8 + 8) =
j) ( - 54) + (- 6 ) =
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 4Lámina 4c
Cálculo mental diario
a) 11 • 18 : 2 = 99
b) 102 + 8 • 7 = 156
c) 22:2 – 3 • 6 = -7
d) 48 : 6 – 8:2 = 4
e) - 18 + 9 • 5 = 27
f) 1 + 7 • 7 = 50
g) 26 - (6 •6 ) = -10
h) - 3 – 5 - 8 = -16
i) 18 – (8 + 8) = 2
j) ( - 54) + (- 6 ) = -60
Material exclusivo para enseñanzaClase 4Lámina 4d Unidad 3: Geometría
DESARROLLO DEL PRISMA
Con mucho cuidado, desarma la caja de remedios y observa sus caras.
Con la lamina entregada, arma el prisma.´
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 4Lámina 4e
Elementos de un prisma
• Altura de un prisma es la distancia entre las bases.
• Los lados de las bases constituyen las aristas básicas y los lados de las caras laterales, las aristas laterales, éstas son iguales y paralelas entre sí.
Base
Base
Caralateral
Altura
Material exclusivo para enseñanzaClase 4Lámina 4f Unidad 3: Geometría
TIPOS DE PRISMAS
REGULARES: sus bases so polígonos regulares.
IRREGULARES: sus bases son polígonos irregulares.
REGULARES: sus bases son polígonos regulares.
IRREGULARES: sus bases son polígonos irregulares.
TIPOS DE PRISMAS
Material exclusivo para enseñanzaClase 4Lámina 4g Unidad 3: Geometría
RECTOS: sus caras laterales son rectángulos o cuadrados.
OBLICUOS: sus caras laterales son rombos o romboides.
RECTOS: sus caras laterales son rectángulos o cuadrados
OBLICUOS: sus caras laterales son rombos o romboides.
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 4Lámina 4h
PARALELEPÍPEDOS: sus bases son paralelogramos.
OCTOEDROS: todas sus caras son rectangulares.
PARALELEPÍPEDOS: sus bases son paralelógramos.
OCTOEDROS: todas sus caras son rectangulares.
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 4Lámina 4i
PRISMAS• Los prismas son poliedros que tienen dos caras paralelas e iguales
llamadas bases (polígonos congruentes) y sus caras laterales son paralelogramos.
Material exclusivo para enseñanzaClase 4Lámina 4j Unidad 3: Geometría
TIPOS DE PRISMAS SEGÚN SU BASEPRISMA BASES REPRESENTACIÓN
TRIANGULAR TRIANGULOS
CUADRANGULAR CUADRADOS
PENTAGONAL PENTÁGONOS
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 4Lámina 4k
Área total del prisma: Suma de las superficies de cada cara del prisma
Área total del prisma: área lateral + 2 veces área de la base
Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 4Lámina 4l
• El área de un polígono regular se calcula mediante la siguiente fórmula.
a
A = p • a 2
P = perímetro