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Gráficas y Funciones
GEMA1200
Plano Cartesiano
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
origen
Cuadrante ICuadrante II
Cuadrante III Cuadrante IV
Gráficas
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
yGrafica los paresordenados:1) A(2,3)2) B(-1,2)3) C(-2,-1)4) D(0,-3)
Gráficas
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
A
B
C
D
E
Determina lascoordenadas decada punto.
Gráficas
• Forma Estándar de Ecuaciones Lineales
– Cualquier ecuación que pueda ser escrita de la forma Ax + By = C es una ecuación lineal en dos variables y la gráfica de sus soluciones es una línea recta.
– La forma Ax + By = C es llamada la forma estándar de la ecuación donde A, B y C son enteros, A y Bno son ambos cero y A es no negativo.
Gráficas
• Grafica las soluciones de x + 2y = 8.
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9-8-7-6-5-4-3-2-1
123456789
x
y
Gráficas
• Grafica las soluciones de y = ½x – 1.
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9-8-7-6-5-4-3-2-1
123456789
x
y
Gráficas
• Graficando Utilizando Interceptos
– Procedimiento
• Para encontrar el intercepto en x, colocamos y = 0 y encontramos x: (x,0) es el intercepto en x.
• Para encontrar el intercepto en y, colocamos x = 0 y encontramos y: (0,y) es el intercepto en y.
Graficas
• Encuentra los interceptos y luego grafica la recta:
1. y = 3x +6
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9-8-7-6-5-4-3-2-1
123456789
x
y
Graficas
• Encuentra los interceptos y luego grafica la recta:
2. 2x + 3y = 0
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9-8-7-6-5-4-3-2-1
123456789
x
y
Gráficas
• Graficando Rectas Horizontales y Verticales
– La gráfica de todas las soluciones de y = C es una recta horizontal.
– La gráfica de todas las soluciones de x = C es una recta vertical.
Gráficas
• Grafica las soluciones de:
1. 2x = 8
2. 5y = -10
3. 3x = -9
4. -2y = -4-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9-8-7-6-5-4-3-2-1
123456789
x
y
Gráficas
• Graficando Ecuaciones No – Lineales
1. Grafica las soluciones de y = x2 + 3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9-8-7-6-5-4-3-2-1
123456789
x
y
Gráficas
• Graficando Ecuaciones No – Lineales
2. Grafica las soluciones de y = -ǀxǀ
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9-8-7-6-5-4-3-2-1
123456789
x
y
Gráficas
• Graficando Ecuaciones No – Lineales
3. Grafica las soluciones de y = 2/x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9-8-7-6-5-4-3-2-1
123456789
x
y
Utilizando Pendientes para Graficar Rectas
• Definición de Pendiente
1 1 2 2
2 1
2 1
Si , y , son dos puntos distintos
en una recta (que no es paralela al eje de ),
entonces la pendiente de , denotada por , es
A x y B x y
L y
L m
y ym
x x
Utilizando Pendientes para Graficar Rectas
• Encuentra la pendiente de la recta que pasa a través de los puntos dados.
1. (-3, 1), (-1, -2)
2. (-1, 5), (-1, 6)
3. (1, 1), (2, 3)
4. (3, 4), (1, 4)
Utilizando Pendientes para Graficar Rectas
• Si una recta tiene pendiente positiva la gráfica sube de izquierda a derecha.
• Si una recta tiene pendiente negativa la gráfica baja de izquierda a derecha.
• Si una recta tiene pendiente cero la gráfica es una recta horizontal.
• Si una recta tiene pendiente indefinida la gráfica es una recta vertical.
Utilizando Pendientes para Graficar Rectas
• Rectas Paralelas y Perpendiculares.
– Dos rectas no-verticales L1 y L2 con pendientes m1
y m2 son paralelas si y solamente si m1 = m2.
– Dos rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2 son perpendiculares si y solamente si m1 = -(1/m2).
Utilizando Pendientes para Graficar Rectas
• Una recta L1 tiene pendiente 2/3, determina:
a. Si la recta que pasa por los puntos (5,1) y (8,3) es paralela o perpendicular a L1.
b. Si la recta que pasa por los puntos (-1,-4) y (-3,-1) es paralela o perpendicular a L1.
Utilizando Pendientes para Graficar Rectas
• Graficando Rectas Utilizando la Pendiente y un Punto.1. Grafica la recta que tiene intercepto en y de 2 y
pendiente -¾.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Utilizando Pendientes para Graficar Rectas
• Graficando Rectas Utilizando la Pendiente y un Punto.2. Grafica la recta con pendiente 3 y que pasa por el punto
(-2,1).
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Utilizando Pendientes para Graficar Rectas
• Forma Pendiente-Intercepto de una Ecuación Lineal
y mx b
pendiente
intercepto en y
Utilizando Pendientes para Graficar Rectas
• Dadas las siguientes ecuaciones lineales, encuentra la pendiente y el intercepto en y de cada una.
1. y = 5x – 3
2. -y = ¼ x + 2
3. -3x + 2y = 7
Ecuaciones de Rectas
• La Forma Punto-Pendiente de una Recta
1 1 2 2
1 1
2 12 1
2 1
La ecuación de la recta que pasa a través de
los puntos , y , está dada por
donde y .
x y x y
y y m x x
y ym x x
x x
Ecuaciones de Rectas
• Encontrando una ecuación dados dos puntos.
1. Encuentra, escribe en forma estándar y grafica la ecuación de la recta que pasa por los puntos (5,2) y (6,4).
2. Encuentra, escribe en forma estándar y grafica la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,1) y (4,3).
Ecuaciones de Rectas
• Encontrando una ecuación dado un punto y la pendiente.
1. Encuentra, escribe en forma estándar y grafica la ecuación de la recta con pendiente m = -2 que pasa por el punto (3, 5).
2. Encuentra, escribe en forma estándar y grafica la ecuación de la recta con pendiente m = -3 que pasa por el punto (1, 2).
Ecuaciones de Rectas
• Encontrando una ecuación dada la pendiente y el intercepto en y.
1. Encuentra la forma pendiente-intercepto y grafica la ecuación de la recta con pendiente 5 e intercepto en y = 3.
2. Encuentra la forma pendiente-intercepto y grafica la ecuación de la recta con pendiente 3 e intercepto en y = 2.
Ecuaciones de Rectas
• Encontrando la ecuación de una recta que pasa a través de un punto dado y paralela o perpendicular a una recta dada.1. Encuentra la ecuación de la recta que pasa a través del punto
(6, 1) y es:a) Paralela a la recta y – 3x = 1. Escribe la ecuación en forma
pendiente-intercepto.b) Perpendicular a la recta y – 3x = 1. Escribe la ecuación en forma
pendiente-intercepto.
2. Encuentra la ecuación de la recta que pasa a través del punto (4, 3) y es:
a) Paralela a la recta y + 2x = 7. Escribe la ecuación en forma pendiente-intercepto.
b) Perpendicular a la recta y + 2x = 7. Escribe la ecuación en forma pendiente-intercepto.