PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
1. Aunque el método para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en lapágina siguiente, puedes resolverlas ahora:
a) ¿Cuántos radianes corresponden a los 360° de una circunferencia?
b) ¿Cuántos grados mide 1 radián?
c) ¿Cuántos grados mide un ángulo de radianes?
d) ¿Cuántos radianes equivalen a 270º?
2. Pasa a radianes los siguientes ángulos:
a) 30° b) 72° c) 90° d) 127° e) 200° f ) 300°
Expresa el resultado en función de π y luego en forma decimal. Por ejemplo:
30° = 30 · rad = rad ≈ 0,52 radπ6
π180
π2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
FUNCIONES Y FÓRMULASTRIGONOMÉTRICAS
3. Pasa a grados los siguientes ángulos:
a) 2 rad b) 0,83 rad c) rad d) rad e) 3,5 rad
4. Completa la siguiente tabla añadiendo las razones trigonométricas (seno, cose-no y tangente) de cada uno de los ángulos. Te será útil para el próximo aparta-do:
FORMULAS TRIGONOMETRICAS
1. Demuestra la fórmula de la resta a partir de la fórmula:
cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β
2. Demuestra la fórmula de la resta a partir de la fórmula:
tg (α – β) = tg α + tg β
1 – tg α tg β
5π6
π5
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
GRADOS 0 30 60 90 135 150 210 225 270 330 360
RADIANES π π π π π74
53
43
23
π4
3. Demuestra la fórmula anterior a partir de las fórmulas:
sen (α – β) = sen α cos β – cos α – sen β
cos (α – β) = cos α cos β + sen α – sen β
4. Si sen 12° = 0,2 y sen 37° = 0,6, halla cos 12°, tg 12°, cos 37° y tg 37°.Calcula, después, a partir de ellas, las razones trigonométricas de 49° y de 25°,utilizando las fórmulas (I) y (II).
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
5. Demuestra la siguiente igualdad:
=
6. Demuestra las tres fórmulas de angulo doble haciendo α = β en las fór-mulas de la suma.
7. Halla las razones trigonométricas de 60° a partir de las de 30°.
8. Halla las razones trigonométricas de 90° a partir de las de 45°.
9. Demuestra que = .
10. Demuestra las fórmulas del ángulo mitad:
1 – cos α1 + cos α
2 sen α – sen 2α2 sen α + sen 2α
1tg a
cos (a + b) + cos (a – b)sen (a + b) + sen (a – b)
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
11. Sabiendo que cos 78° = 0,2, calcula sen 78° y tg 78°. Averigua las razonestrigonométricas de 39° aplicando las fórmulas del ángulo mitad.
12. Halla las razones trigonométricas de 30° a partir de cos 60° = 0,5.
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
13. Halla las razones trigonométricas de 45° a partir de cos 90° = 0.
14. Demuestra que 2tg α · sen2 + sen α = tg α.
15. Demuestra que = tg2 .
16. Para demostrar las fórmulas (V.3) y (V.4), da los siguientes pasos:
• Expresa en función de α y β:
cos (α + β) = … cos (α – β) = …
• Suma y resta como hemos hecho arriba y obtendrás dos expresiones.
• Sustituye en las expresiones anteriores:
α + β = A
α – β = B
• cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen βcos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β
Sumando → cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β (1)
Restando → cos (α + β) – cos (α – β) = –2 sen α sen β (2)
α2
2sen α – sen 2α2sen α + sen 2α
α2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
• Llamando → α = , β = (al resolver el sistema)
• Luego, sustituyendo en (1) y (2), se obtiene:
(1) → cos A + cos B = 2 cos cos
(2) → cos A – cos B = –2 sen sen
17. Transforma en producto y calcula:
a) sen 75° – sen 15° b) cos 75° + cos 15° c) cos 75° – cos 15°
18. Expresa en forma de producto el numerador y el denominador de esta frac-ción y simplifica el resultado:
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
1. Resuelve estas ecuaciones:
a) 2cos2 x + cos x – 1 = 0 b) 2sen2 x – 1 = 0
c) tg2 x – tg x = 0 d) 2sen2 x + 3cos x = 3
sen 4a + sen 2acos 4a + cos 2a
A – B2
A + B2
A – B2
A + B2
A – B2
A + B2
α + β = Aα – β = B
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
2. Resuelve:
a) 4cos 2x + 3 cos x = 1 b) tg 2x + 2cos x = 0
c) cos (x/2) – cos x = 1 d) 2sen x cos2 x – 6sen3 x = 0√2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
3. Transforma en producto sen 3x – sen x y resuelve después la ecuaciónsen 3x – sen x = 0.
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
4. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a) sen (π – x) = cos ( – x) + cos π
b) sen ( – x) + sen x = 0√2π4
3π2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
5. Escribe, en radianes, la expresión general de todos los ángulos que verifican:
a) tg x = – b) sen x = cos x
c) sen2 x = 1 d) sen x = tg x
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
Grados y radianes
1 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes:
a) b) c) d) e)
☛ Hazlo mentalmente teniendo en cuenta que π radianes = 180°.
2 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes:
a) 1,5 b) 3,2
c) 5 d) 2,75
9π2
7π6
5π4
4π3
2π3
√3
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
3 Pasa a radianes los siguientes ángulos dados en grados.
Exprésalos en función de π:
a) 40° b) 108° c) 135°
d) 240° e) 270° f) 126°
☛ Simplifica la expresión que obtengas sin multiplicar por 3,14…
a) =
4 Halla, sin utilizar la calculadora:
a) 5 cos – cos 0 + 2 cos π – cos + cos 2 π
b) 5 tg π + 3 cos – 2 tg 0 + sen – 2 sen 2 π
5 Prueba que:
a) 4 sen + cos + cos π = 2
b) 2 sen + 4 sen – 2 sen = 3
6 Halla el valor de A sin utilizar la calculadora:
a) A = sen + sen + sen π
b) A = sen + sen – sen 2π
c) A = cos π – cos 0 + cos – cos 3π2
π2
4π3
2π3
π2
π4
π2
π6
2π3
√3
π4
√2π6
3π2
π2
3π2
π2
2π9
40π180
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
7 Expresa con un ángulo del primer cuadrante:
a) sen 1 215° b) cos (–100°) c) tg (–50°)
d) cos 930° e) tg 580° f ) sen (–280°)
8 Busca, en cada caso, un ángulo comprendido entre 0º y 360°, cuyas razonestrigonométricas coincidan con el ángulo dado:
a) 3 720° b) 1 935° c) 2 040°
d) 3 150° e) –200° f) –820°
9 Halla, en radianes, el ángulo α tal que sen α = 0,72 y cos α < 0.
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
10 Indica, sin pasar a grados, en qué cuadrante está cada uno de los siguientesángulos:
a) 2 rad b) 3,5 rad c) 5 rad
☛ Ten en cuenta que:
≈ 1,57; π ≈ 3,14; ≈ 4,7; 2π ≈ 6,28
Fórmulas trigonométricas
11 Halla las razones trigonométricas del ángulo de 75° sabiendo que75° = 30° + 45°.
12 Sabiendo que sen x = y que < x < π, calcula, sin hallar previamente
el valor de x :
a) sen 2x b) tg c) sen (x + )d) cos (x – ) e) cos f ) tg (x + )☛ Tienes que calcular cos x = – 1 – ( )2
= – y tg x = – , y aplicar las fór-mulas.
34
45
35
π4
x2
π3
π6
x2
π2
35
3π2
π2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
√
13 Halla las razones trigonométricas del ángulo de 15° de dos formas, conside-rando:
a) 15° = 45° – 30° b) 15° = 30°2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
14 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2 cos2 x – sen2 x + 1 = 0
b) sen2 x – sen x = 0
☛ Saca factor común e iguala a cero cada factor.
c) 2 cos2 x – cos x = 0
d) sen2 x – cos2 x = 1
e) cos2 x – sen2 x = 0
f ) 2 cos2 x + sen x = 1
g) 3 tg2 x – tg x = 0√3
√3
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
15 Halla el valor exacto de estas expresiones:
a) sen + cos – sen
b) cos + tg – tg
c) cos + sen – cos – 2 sen
16 Sabiendo que sen x = y que x es un ángulo del primer cuadrante,
calcula:
a) sen 2x b) tg c) cos (30° – x) x2
23
π3
√3π4
√2π6
π6
√3
7π6
4π3
5π3
7π4
3π4
5π4
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
17 Si tg α = – 4/3 y 90° < α < 180°, calcula:
a) sen ( – α) b) cos (180° – ) c) tg (900° + α)α2
π2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
18 Sabemos que cos x = – y sen x < 0. Sin hallar el valor de x, calcula:
a) sen x b) cos (π + x) c) cos 2x
d) tg e) sen ( – x) f ) cos (π – )
19 Si cos 78° = 0,2 y sen 37° = 0,6, calcula sen 41°, cos 41° y tg 41°.
x2
π2
x2
34
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
20 Si tg (α + β) = 4 y tg α = –2 , halla tg 2β.
PARA RESOLVER
21 En una circunferencia de 16 cm de radio, un arco mide 20 cm. Halla el ángu-lo central en grados y en radianes.
☛ Halla la longitud de la circunferencia y escribe la proporción entre las longitu-des de los arcos y la medida de los ángulos.
22 Halla, en radianes, el ángulo comprendido entre 0 y 2π tal que sus razones
trigonométricas coincidan con las de .
23 Demuestra que = .
☛ Aplica las fórmulas de sen (α + β) y sen (α – β). Divide tanto el numerador co-mo el denominador entre cos α cos β y simplifica.
tg α + tg βtg α – tg β
sen (α + β)sen (α – β)
11π4
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
16 cm
20cm
α
24 Prueba que 2 tg x cos2 – sen x = tg x.
☛ Sustituye cos2 = .
25 Demuestra que cos (x + ) – cos (x + ) = cos x .
☛ Desarrolla y sustituye las razones de y .
26 Demuestra que cos α cos (α – β) + sen α sen (α – β) = cos β.
☛ Aplica las fórmulas de la diferencia de ángulos, simplifica y extrae factor común.
27 Prueba que = tg2 .α2
2 sen α – sen 2α2 sen α + sen 2α
2π3
π3
2π3
π3
1 + cos x2
x2
x2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
28 Simplifica:
☛ Al desarrollar el numerador obtendrás una diferencia de cuadrados.
29 Demuestra: =
30 Simplifica la expresión y calcula su valor para α = 90°.
31 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) sen ( + x) – sen x = 0
b) sen ( – x) + cos ( – x) =
c) sen 2x – 2 cos2 x = 0
☛ Desarrolla sen 2x y saca factor común.
d) cos 2x – 3 sen x + 1 = 0
☛ Desarrolla cos 2x y sustituye cos2 x = 1 – sen2 x
12
π3
π6
√2π4
sen 2α1 – cos2 α
1 + tg α tg β1 – tg α tg β
cos (α – β)cos (α + β)
2cos (45° + α) cos (45° – α)cos 2α
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
32 Resuelve estas ecuaciones:
a) 4 sen2 x cos2 x + 2 cos2 x – 2 = 0
☛ Al hacer sen2 x = 1 – cos2 x, resulta una ecuación bicuadrada.
Haz cos2 x = z y comprueba si son válidas las soluciones que obtienes.
b) 4 sen2 x + sen x cos x – 3 cos2 x = 0
☛ Divide por cos2 x y obtendrás una ecuación con tg x.
c) cos2 + cos x – = 0
d) tg2 + 1 = cos x
e) 2 sen2 + cos 2x = 0x2
x2
12
x2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
33 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) cos 2x + 3 sen x = 2
b) tg 2x · tg x = 1
c) cos x cos 2x + 2 cos2 x = 0
d) 2 sen x = tg 2x
e) sen + cos x – 1 = 0
f ) sen 2x cos x = 6 sen3 x
g) tg ( – x) + tg x = 1π4
x2
√3
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
34 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) sen 3x – sen x = cos 2x b) = 1
c) = d) sen 3x – cos 3x = sen x – cos x
☛ Transforma las sumas o diferencias de senos y cosenos, en productos.
√3sen 3x + sen xcos 3x – cos x
sen 5x + sen 3xcos x + cos 3x
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
35 a) Demuestra que sen 3x = 3 sen x cos2 x – sen3 x.
b) Resuelve la ecuación sen 3x – 2 sen x = 0.
☛ a) Haz sen 3x = sen (2x + x) y desarrolla. b) Sustituye sen 3x por el resultadoanterior.
36 Resuelve:
a) sen 3x – sen x cos 2x = 0
b) cos 3x – 2 cos (π – x) = 0
c) cos 3x + sen 2x – cos x = 0
☛ b) Expresa cos 3x en función de sen x y cos x haciendo cos 3x = cos (2x + x).
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
37 Demuestra las siguientes igualdades:
a) cos (α + β) · cos (α – β) = cos2 α – sen2 β
b) sen2 ( ) – sen2 ( ) = sen α · sen β
c) cos2 ( ) – cos2 ( ) = sen α · sen βα + β2
α – β2
α – β2
α + β2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
38 Expresa sen 4α y cos 4α en función de sen α y cos α.
39 Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes alprimer cuadrante:
a) b)
☛ Haz cos2 y = 1 – sen2 y y cos2 x = 1 – sen2 x.
c) sen x + cos y = 1x + y = 90°
sen2 x + cos2 y = 1cos2 x – sen2 y = 1
x + y = 120ºsen x – sen y = 1/2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
40 Demuestra que para cualquier ángulo α se verifica:
sen α + cos α = cos ( – α)π4
√2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
41 Demuestra que – = 2 tg 2x .
42 Simplifica la expresión 2 tg x cos2 – sen x.
CUESTIONES TEÓRICAS
43 ¿Qué relación existe entre las razones trigonométricas de los ángulos que
miden y radianes?4π5
π5
x2
cos x – sen xcos x + sen x
cos x + sen xcos x – sen x
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
44 Relaciona estas expresiones con las razones trigonométricas del ángulo α :
a) sen (π – α); cos (π – α); tg (π – α)
b)sen (π + α); cos (π + α); tg (π + α)
c) sen (2π – α); cos (2π – α); tg (2π – α)
45 Expresa A(x) en función de sen x y cos x:
a) A(x) = sen (–x) – sen (π – x)
b) A(x) = cos (–x) + cos (π + x)
c) A(x) = sen (π + x) + cos (2π – x)
46 Demuestra que si α, β y γ son los tres ángulos de un triángulo, se verifica:
a) sen (α + β) – sen γ = 0
b) cos (α + β) + cos γ = 0
c) tg (α + β) + tg γ = 0
☛ Ten en cuenta que α + β = 180° – γ y las relaciones que existen entre las razo-nes trigonométricas de los ángulos suplementarios.
47 Demuestra que si α + β + γ = 180°, se verifica:
tg α + tg β + tg γ = tg α · tg β · tg γ
☛ Haz α + β = 180° – γ y desarrolla tg (α + β) = tg (180º – γ).
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
48 Haz, con la calculadora, una tabla de valores de la función y = cos 2x, dan-do a x valores comprendidos entre 0 y 2π radianes y represéntala gráfica-mente.
49 Representa las funciones:
a) y = cos (x + ) b) y = sen (x + ) c) y = cos ( – x)π2
π2
π2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
PARA PROFUNDIZAR
50 Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes alprimer cuadrante:
a)sen x + sen y =
cos x + cos y = 1
b)sen2 x + cos2 y = 3/4
cos2 x – sen2 y = 1/4
c)cos (x + y) = 1/2
sen (x – y) = 1/2
√3
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
51 Demuestra que:
a) sen x =
b) cos x =
c) tg x = 2 tg x/2
1 – tg2 x/2
1 – tg2 x/21 + tg2 x/2
2 tg x/21 + tg2 x/2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
PARA PENSAR UN POCO MÁS
52 Demuestra que, en la siguiente figura, α = β + γ.
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
γ β α
a) Puedes realizar la demostración recurriendo a la fórmula de la tangentede una suma.
b) Hay una posible demostración, más sencilla y elegante que la anterior,reconociendo los ángulos α, β y γ en la siguiente figura:
53 Obtén la fórmula siguiente:
sen α + cos α = cos (α – 45°)
☛ Expresa el primer miembro como suma de senos y aplica la fórmula correspon-diente.
√2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas