Download - Funciones parte I
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Funciones
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Relaciones y Funciones
El concepto de Relación-Función es uno de los más importantes en Matemáticas. Comprenderlo y aplicarlo se verá retribuido muchas veces.
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Correspondencia
La noción de correspondencia desempeña un papel fundamental en el concepto de Relación – Función.
En nuestra vida cotidiana frecuentemente hemos tenido experiencia con
correspondencias o RELACIONES.
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Ejemplos de Correspondencias o RELACIONES
En un almacén, a cada artículo le corresponde un precio.
A cada nombre del directorio telefónico le corresponde uno o varios números.
A cada número le corresponde una segunda potencia.
A cada estudiante le corresponde un promedio de calificaciones
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Definición de Relación y de Función
Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elemento del Recorrido o Rango.
Una Función es una relación a la que se añade la restricción de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del recorrido.
(Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones)
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Toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función
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Haga clic en las ecuaciones que están ubicadas en el recuadro de la derecha, las que Ud. considere que son funciones.
¿Por qué algunas de las ecuaciones son Funciones?
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Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano
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FUNCIÓN
La Respuesta correcta es B
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FUNCIÓN
La Respuesta correcta es D
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Funciones Polinomiales: Def : una función f se llama
función polinomial siF(x) = an xn +an – 1x n-1+…..+a1x +a0
Ejemplos:F(x) = 6x2 + 7x -2F(x)= 2x +3F(x) = 6
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I. FUNCIÓN LINEAL Análisis de la Pendiente
Para saber con qué tipo de función se está trabajando, se debe analizar el signo de la pendiente.
• Si m < 0, entonces la función es decreciente.• Si m = 0, entonces la función es constante.• Si m > 0, entonces la función es creciente.
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I. FUNCIÓN LINEAL
I) II)
X
Y
n
m > 0n > 0
X
Y
n m < 0n > 0
X
Y
n
m > 0n < 0
X
Y
n
m < 0n < 0
III) IV)
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I. FUNCIÓN LINEAL Propiedades:
El dominio de la función lineal son todos los números IR.
Las rectas que tienen la misma m serán paralelas.
Las rectas que al multiplicar sus pendientes el producto es -1 serán perpendiculares.
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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Son de la forma:
Gráfica:Siempre es una parábola, dependiendo
su forma y la ubicación de sus coeficientes a, b y c.
f(x) = ax² + bx + c
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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Concavidad:
El coeficiente a de la función cuadrática indica si la parábola es abierta hacia arriba o hacia abajo.
x
y
0 x0
y
a > 0, Abierta hacia arriba
a < 0, Abierta hacia abajo
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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Eje de simetría y vértice:
El eje de simetría es aquella recta paralela al eje Y y que pasa por el vértice de la parábola.
El vértice está dado por:
Vértice = -b , f -b = -b , 4ac – b² 2a 2a 2a 4a
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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA
Además, la recta x = , corresponde al Eje de simetría.-b 2a
_ b² - 4ac 4a
x
y
·
-b 2a
x0
y
·_ b² - 4ac 4a
-b 2a
a > 0 a < 0
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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Intersección con los ejes
Intersección con el eje Y El coeficiente c nos da el punto en el cual la parábola corta al eje Y.Sus coordenadas son (0, c)
0
c·
y
x
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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Intersección con el eje X
para determinar el o los puntos donde la parábola corta al eje X, es necesario conocer el valor del discriminante de la función cuadrática.
Se define el discriminante como:
D = b² - 4ac
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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Naturaleza de las raíces de una ecuación de 2º grado
Si f(x) = 0, tendremos que ax² + bx + c = 0, llamada Ecuación de 2º grado en su forma general.
Toda ecuación de 2º grado posee dos soluciones, pudiendo ser reales o imaginarias, las que vienen dadas por la expresión:
x = -b ±√b²- 4ac 2a
x = -b ±√b²- 4ac 2a
1
x = -b ±√b²- 4ac 2a
2
Estas soluciones, raíces o ceros de la ecuación corresponden gráficamente a los puntos donde la función f(x) = ax² + bx + c corta al eje X. Estos puntos tienen como coordenadas (x ,0) y (x , 0)
1 2
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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Tipos de soluciones
Dependen del valor del Discriminante
a) Si D = 0, 2 soluciones reales iguales
b) Si D > 0, 2 soluciones reales distintas (x y x € C, con x ≠ x )
c) Si D < 0, 2 soluciones imaginarias distintas (x y x € C, con x ≠ x )
D = b² - 4ac
(x = y)1 1
1 12 2
1 12 2
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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Ejemplo:
Sea la ecuación de 2º grado: x² + 2x – 15 = 0. ¿Cuáles son las soluciones de esta ecuación?
Sabemos que las soluciones de una ecuación de 2º grado vienen dadas por
En este caso a = 1 b = 2 c = -15Luego,
Luego,
x = 3 x = -5
x = -b ±√b²- 4ac 2a
x = -2 ±√2²- 4·1·(-15) 2·1x = -2 ±√4- 60 2x = -2 ±√64 2x = -2 ±8 2
x = -2 + 8 2
1x = -2 - 8 2
2
1 2