I) DefiniciónDEF.1UnaFUNCIÓNesunaRELACIÓNenlaquetodosloselementosdelconjuntodesalidasolopuedenasociarseconunsoloelementodelconjuntodellegada.

II) Composición

NotaciónyPropiedades Conmutatividad Asociatividad Operacionesalgebráicas

𝐸J→ 𝐹

M→ 𝐺

𝑥𝑦𝑧

𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑔(𝑓(𝑥))

𝑆𝑒𝑎𝑛𝑥 ∈ 𝐸, 𝑧 ∈ 𝐺, ∃𝑦 ∈ 𝐹, ^𝑓(𝑥) = 𝑦𝑔(𝑦) = 𝑧

PROP.1Si ^𝑓𝑔 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 ⇒ 𝑔 ∘ 𝑓𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛

𝑆𝑖𝑓∃𝑦𝑔∃𝑓 ∘ 𝑔∃?

PROP.2Lacomposiciónnoesconmutativa∃𝑓, 𝑔 ∈ 𝐹h,∀𝑥 ∈ 𝐸𝑔 ∘ 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓 ∘ 𝑔(𝑥)

¿ 𝑆𝑖𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑓´ ∘ 𝑔´ ⇒ 𝑔 ∘ 𝑓

= 𝑔´ ∘ 𝑓´?

PROP.3Lacomposiciónesasociativa

𝐸J→ 𝐹

M→ 𝐺

n→ 𝐻

𝑥𝑦𝑧𝑡ℎ ∘ (𝑔 ∘ 𝑓) = (ℎ ∘ 𝑔) ∘ 𝑓

𝑺𝒆𝒂𝒏𝒇𝒚𝒈𝒅𝒐𝒔𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒂𝒔𝒆𝒏𝒖𝒏𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐𝑰 ⊂ ℝ

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)

𝑓𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑔𝑛𝑜𝑠𝑒𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎𝑒𝑛𝑒𝑠𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜

𝑓𝑔(𝑥) =

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

III) Inversadeunafunción𝑓Notación𝑓�� Definición Propiedades Prop.Delasimágenesdirectasy

recíprocas

𝑓��𝑒𝑠𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑠𝑖𝑓(𝑥) = 𝑦𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

𝑓��(𝑦) = 𝑓���𝑓(𝑥)� = 𝑥¿Sies𝑓función𝑓��

esfunción?

PROP.1Sea𝑓: 𝐸 → 𝐹función𝑓��𝑠𝑒𝑟á𝑢𝑛𝑎𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛𝑠𝑠𝑖𝑓𝑒𝑠𝑏𝑖𝑦𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛PROP.2Si𝑓esbiyectiva⇒𝑓��esbiyectivaPROP.3Sea𝑓: 𝐸 → 𝐹𝑓𝑏𝑖𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 ⇔∃𝑔 ∈ 𝐸�

^𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑖𝑑h𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑖𝑑�

𝑔 = 𝑓��

FUNCIONES

Definición FormulaciónMatemática Otrasnotaciones

∀(𝑥, 𝑦, 𝑦�) ∈ 𝐸 × 𝐹 × 𝐹

𝑆𝑖 ^ 𝑓(𝑥) = 𝑦

𝑓(𝑥) = 𝑦�

⇒ 𝑦 = 𝑦′

Dominiodef

𝐷J = {𝑥 ∈ 𝐸, ∃𝑦 ∈ 𝐹,𝑦 = 𝑓(𝑥)}

𝑥antecendentede𝑦

Imagendef

𝐼𝑚J = {𝑦 ∈ 𝐹, ∃𝑥 ∈ 𝐸𝑓(𝑥) = 𝑦}

𝑦imagende𝑥

∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓∃! 𝑦 ∈ 𝐹,𝑓(𝑥) = 𝑦

Conjuntodefunciones

𝐹h = ¡𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑑𝑒𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠𝑑𝑒𝐸 → 𝐹

£

Curvarepresentativa𝒞J = ¥(𝑥, 𝑓(𝑥)), 𝑥 ∈ 𝐷𝑓¦

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) Leonhard Euler (1707 -1783) Nicolas Bourbaki 1935