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FINANZAS PARA LAS
OPERACIONES
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UNIDAD 2
Tpicos de
Matemticas
Financieras
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Logro de la Unidad
Al finalizar la segunda unidad, el alumno
reconoce las operaciones de actualizacin y
capitalizacin de dinero a travs del tiempo.
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I. Valor del dinero en el tiempo
II. Concepto y tipos de tasa de inters
III. Valor futuro y valor presente
IV. Anualidades
V. Modalidades de pago de deuda
VI. Clculo del costo efectivo de deuda
VII. Inflacin y devaluacin
Temario
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... indispensables para el clculo de las
operaciones financieras, tanto para el
anlisis del costo del financiamiento, como para evaluar la rentabilidad de la inversin.
Matemticas Financieras
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Se agrupan en operaciones de inversin y
operaciones de financiamiento.
Operaciones Financieras
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Una operacin financiera implica un
intercambio de flujos de dinero que son
equivalentes a una determinada tasa de inters.
Operaciones Financieras
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Se componen de:
Ingresos Egresos Plazo Tasa de inters
Tasa de inters:
INVERSIN: Tasa Interna de Retorno
(TIR).
FINANCIAMIENTO: Tasa de Costo del
Crdito (TCEA).
Operaciones Financieras
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P F
I
i'
n
Valor del Dinero en el Tiempo
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La tasa de inters efectiva se denota como: i
El tiempo / plazo transcurrido se denota como: n
Al capital originalmente invertido se le llama: - Presente (P) o Valor Presente (VP) - Principal
- Capital (C) - Valor Actual
Al monto que se devuelve se le conoce como: - Futuro (F) o Valor Futuro (VF)
- Monto o Stock (S) - Valor Acumulado
Y a su diferencia: - Inters (I)
Terminologa
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1 + 1 = 3
Tasa Nominal, Capitalizacin y Tasa
Efectiva
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Al transcurrir un perodo de tiempo,
se generan INTERESES; si stos
pasan a formar parte del CAPITAL
INICIAL formando uno NUEVO
ocurre la figura de la
CAPITALIZACIN
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Supongamos el caso de
un banco que paga a sus
ahorristas una tasa de
inters de 7% anual
CAPITALIZABLE CADA AO
Qu significa esto?
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Que slo despus
de transcurrido un
ao es posible
cobrar el inters
generado.
-
En este caso al 7% se le llama
TASA DE INTERS NOMINAL ANUAL
y tambin,
TASA DE INTERS EFECTIVA ANUAL
Falta un ao
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Sin embargo,
en la vida real
existen perodos
cortos (menores a
1 ao) en los
cuales es posible
ganar intereses.
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Estos perodos
pueden ser
semestrales,
trimestrales,
mensuales, etc.
-
Supongamos ahora el caso de otro
banco que paga a sus ahorristas la
misma tasa de inters de 7% anual,
pero esta vez ...
CAPITALIZABLE CADA TRES MESES
Qu significa esto?
-
En este caso, el 7% sigue siendo la
TASA DE INTERS NOMINAL ANUAL
pero dado que se capitaliza en
perodos menores a un ao.
Qu sucede con la
TASA DE INTERS EFECTIVA?
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dado que se capitaliza en perodos menores
a un ao, existe una
TASA DE INTERS EFECTIVA POR PERODO
(TRIMESTRAL)
y otra
TASA DE INTERS EFECTIVA ANUAL
Faltan cuatro trimestres
0 1 2 3 4
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La tasa de inters efectiva por
perodo se obtiene dividiendo la
tasa de inters nominal anual entre
el nmero de perodos que tenga
el ao:
TASA DE INTERS TASA NOMINAL ANUAL EFECTIVA = ------------------------------------- POR PERODO # PERODOS POR AO
-
Si la
TASA DE INTERS NOMINAL ANUAL
es 7%, la
TASA DE INTERS EFECTIVA TRIMESTRAL
ser:
0.07 / 4 = 0.0175 = 1.75%
-
Luego, la
TASA DE INTERS EFECTIVA ANUAL
se obtiene aplicando:
TASA DE INTERS
EFECTIVA = ( 1 + i ) n - 1 ANUAL
Donde: i = Tasa de inters efectiva por perodo n = Nmero de perodos
-
En nuestro caso, si: i = 1.75% n = 4
entonces:
TEA = ( 1+0.0175 )4 -1
= 0.07185903129
= 7.185903129%
donde:
TEA = Tasa de Inters Efectiva Anual
-
Observe que:
Capitalizar en periodos menores de un
ao hace que la
TASA DE INTERS EFECTIVA ANUAL (TEA) sea mayor que la
TASA DE INTERS NOMINAL ANUAL (TNA)
TEA > = TNA
-
Por tanto si a la
TASA DE INTERS NOMINAL
se aade el efecto de la
CAPITALIZACIN, resulta la
TASA DE INTERS EFECTIVA
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Es la variacin neta de dos cantidades
de dinero en un perodo determinado
de tiempo.
Es decir, es la tasa de inters que
efectivamente
ocurre en una operacin financiera.
Tasa de Inters Efectiva
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Dos o ms tasas de inters efectivas correspondientes a diferentes unidades de tiempo
son equivalentes cuando producen la misma tasa de
inters efectiva para un mismo horizonte temporal
Donde:
TEP2 = tasa de inters efectiva que se quiere hallar TEP1 = tasa de inters efectiva que se tiene como dato N das Periodo2 = nmero de das de la tasa que se quiere hallar N das Periodo1 = nmero de das de la tasa que se tiene como dato
11
2
112
odasPeriadN
odasPeriodN
TEPTEP
Tasas Equivalentes
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Equivale a llevar una cantidad de dinero a
un tiempo adelante.
F = P * ( 1 + TN/m ) n
Valor Futuro
F = P * ( 1 + i ) n
-
Equivale a traer una cantidad de dinero
de un tiempo futuro a la actualidad.
P = F / ( 1 + TN/m ) n
Valor Presente
P = F / ( 1 + i ) n
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Desarrollar los siguientes ejercicios.
-
Es una serie de flujos de caja idnticos que se
espera ocurran peridicamente para un nmero
especfico de los mismos.
Por ejemplo:
Pagos por el crdito para la compra de auto o casa
Alquiler de una vivienda Pago de cupones de bonos
Anualidad
-
Son aquellas cuyas condiciones se conocen de
antemano y se establecen previamente, en
general, por contrato entre deudor y acreedor.
t=1 t=6t=5t=4t=3t=2
P St=0
R RRRRR
i iiiii
HoyFinal del cuarto
perodo
Inicio del quinto
perodoTasa
Anualidad.................
Anualidades Ciertas
-
Son aquellas cuyas condiciones no se conocen
de antemano ni se establecen previamente y
cuya fecha de inicio o trmino depende de
algn suceso previsible, pero cuya fecha de
realizacin no se puede especificar con
exactitud, por estar en funcin de algn otro
acontecimiento no previsible.
Por ejemplo: los seguros de vida, en los cuales se
conoce la renta, pero su duracin e inicio son
inciertos.
Anualidades Eventuales o Contingentes
-
Cuando el horizonte de la anualidad es un plazo
determinado.
Por ejemplo, cuando se contrae un crdito a
travs del sistema financiero u otra modalidad
especfica.
1 65432
P0
R RRRRR
i iiiii
Anualidad Temporal
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Cuando el horizonte de la anualidad es un plazo
indeterminado o no tiene nunca fin, y es constante e
infinita si los importes de capital son siempre iguales.
Por ejemplo, un ttulo de deuda pblica a perpetuidad
a tipo fijo.
Al igual que las temporales, las perpetuas pueden ser
vencidas (los importes se originan al final de cada
perodo) o adelantadas (se originan al inicio de los
perodos).
1 65432
P0
R RRRRR
i iiiii.........
Anualidad Perpetua o Perpetuidad
-
Das, Meses, Bimestres, Aos, etc.
1 65432
P S0
R RRRRR
i iiiii
Anualidad Vencida
Cuando las rentas se inician al FINAL de cada
periodo de renta.
-
R = P * i * ( 1 + i ) n
( 1 + i ) n - 1
Anualidad Vencida
-
R = F * i
( 1 + i ) n - 1
Anualidad Vencida
-
das, meses,
bimestres, trimestres
semestres, aos, etc.
1 65432
P S0
Ra RaRaRaRaRa
i iiiii
Anualidad Anticipada o Adelantada
Cuando las rentas se inician al COMIENZO de
cada periodo de renta.
-
Ra = P * i * ( 1 + i ) (n-1)
( 1 + i ) n - 1
Anualidad Anticipada o Adelantada
Ra = R
( 1 + i )
-
Anualidad Perpetua o Perpetuidad
R = P * i
-
Desarrollar los siguientes ejercicios.
-
Se revisarn tres modalidades de pago de
deuda:
- El mtodo Ingls o Americano
- El mtodo Francs
- El mtodo Alemn
Modalidades de Pago de Deuda
-
Saldo = Deuda - Amortizacin
Cuota = Amortizacin + Inters
Inters = i * Deuda
Principales Identidades
-
Ejemplo
Se tiene un prstamo de S/.100,000.00 el
cual se pagar mediante 12 cuotas
mensuales considerando una tasa de
inters efectiva mensual de 0.86%.
-
El Mtodo Ingls o Americano
Este mtodo
contempla slo el
pago de intereses
(constantes) hasta el
vencimiento de la
ltima cuota donde se
realiza la amortizacin
(devolucin del
principal).
-
No Deuda Amortizacin Inters Cuota Saldo
1 100,000.00 0.00 860.00 860.00 100,000.00
2 100,000.00 0.00 860.00 860.00 100,000.00
3 100,000.00 0.00 860.00 860.00 100,000.00
4 100,000.00 0.00 860.00 860.00 100,000.00
5 100,000.00 0.00 860.00 860.00 100,000.00
6 100,000.00 0.00 860.00 860.00 100,000.00
7 100,000.00 0.00 860.00 860.00 100,000.00
8 100,000.00 0.00 860.00 860.00 100,000.00
9 100,000.00 0.00 860.00 860.00 100,000.00
10 100,000.00 0.00 860.00 860.00 100,000.00
11 100,000.00 0.00 860.00 860.00 100,000.00
12 100,000.00 100,000.00 860.00 100,860.00 0.00
100,000.00 10,320.00 110,320.00
El Mtodo Ingls
-
El Mtodo Francs
Este mtodo
contempla el pago de
cuotas constantes.
Para ello se debe
calcular la anualidad
correspondiente.
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No Deuda Amortizacin Inters Cuota Saldo
1 100,000.00 7,946.48 860.00 8,806.48 92,053.52
2 92,053.52 8,014.82 791.66 8,806.48 84,038.70
3 84,038.70 8,083.75 722.73 8,806.48 75,954.96
4 75,954.96 8,153.27 653.21 8,806.48 67,801.69
5 67,801.69 8,223.38 583.09 8,806.48 59,578.31
6 59,578.31 8,294.11 512.37 8,806.48 51,284.20
7 51,284.20 8,365.43 441.04 8,806.48 42,918.77
8 42,918.77 8,437.38 369.10 8,806.48 34,481.39
9 34,481.39 8,509.94 296.54 8,806.48 25,971.45
10 25,971.45 8,583.12 223.35 8,806.48 17,388.33
11 17,388.33 8,656.94 149.54 8,806.48 8,731.39
12 8,731.39 8,731.39 75.09 8,806.48 -0.00
100,000.00 5,677.74 105,677.74
El Mtodo Francs
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El Mtodo Alemn
Este mtodo
contempla montos
constantes de
amortizacin.
Para ello se divide la
deuda original entre el
nmero de cuotas o
perodos pactados.
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No Deuda Amortizacin Inters Cuota Saldo
1 100,000.00 8,333.33 860.00 9,193.33 91,666.67
2 91,666.67 8,333.33 788.33 9,121.67 83,333.33
3 83,333.33 8,333.33 716.67 9,050.00 75,000.00
4 75,000.00 8,333.33 645.00 8,978.33 66,666.67
5 66,666.67 8,333.33 573.33 8,906.67 58,333.33
6 58,333.33 8,333.33 501.67 8,835.00 50,000.00
7 50,000.00 8,333.33 430.00 8,763.33 41,666.67
8 41,666.67 8,333.33 358.33 8,691.67 33,333.33
9 33,333.33 8,333.33 286.67 8,620.00 25,000.00
10 25,000.00 8,333.33 215.00 8,548.33 16,666.67
11 16,666.67 8,333.33 143.33 8,476.67 8,333.33
12 8,333.33 8,333.33 71.67 8,405.00 0.00
100,000.00 5,590.00 105,590.00
El Mtodo Alemn
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Plazo: 12 meses
Cuota: S/.71.02
Tasa: 3.19%
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Gracia Parcial o Normal
Periodo en donde se pagan los intereses, pero no se
amortiza el capital.
Gracia Total
Periodo en donde no se pagan los intereses ni se
amortiza el capital. Los intereses no pagados se capitalizan, es decir, los
intereses del periodo de gracia total se suman a la
deuda del siguiente periodo.
Perodo de Gracia
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Desarrollar los siguientes ejercicios.
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El principal componente del costo de una
operacin de crdito es la Tasa de Inters
Efectiva (tasa de inters compensatoria).
Sin embargo, hay otros factores que debemos
considerar y que determinan el costo efectivo
del crdito o del dinero.
Costo Efectivo de Deuda
-
Factores que afectan el costo efectivo:
Comisiones: de evaluacin, de activacin, de
desembolso, de prepago, de cobranza, de
renovacin, etc.
Gastos: gastos administrativos, fotocopias, portes, mantenimiento de cuenta, gastos de protesto,
gastos notariales, etc.
Seguros: de desgravamen, seguro del bien financiado
Retenciones (remuneradas y sin remunerar): saldos mnimos, fondo garanta inmovilizado
Costo Efectivo de Deuda
-
Penalidades: tasa de inters moratoria por pago fuera de fecha
Forma de cobro/pago de los intereses (adelantados, a fin de periodo)
Comportamiento del tipo de cambio (prstamos en ME)
Modificacin de plazos
Costo Efectivo de Deuda
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El Costo Efectivo de un prstamo se determina comparando el Flujo Neto Recibido (P) con el Flujo
Neto a Pagar (F) para el plazo pactado de la
operacin, y se expresa como una tasa de inters
efectiva a la cual se le denota como TCEP.
Para simplificar se presenta a continuacin el caso
con un solo flujo de pago:
Tasa de Costo Efectivo
-
0 n
Periodos
TCEP = i
Monto del prstamo
Menos: Intereses compensatorios pagados al
inicio
Retenciones o fondos garanta Comisiones pagadas al inicio Gastos administrativos pagados al inicio Seguros pagados al inicio
Monto del prstamo
Menos: Devolucin de retenciones o fondos
garanta
Ms: Intereses compensatorios pagados al final Intereses moratorios Comisiones pagadas al final Gastos administrativos pagados al final Seguros pagados al final
Flujo Neto Recibido (P) Flujo Neto a Pagar (F) vs
Tasa de Costo Efectivo
P F
-
Tasa de Costo Efectivo
TCEP = i = F - 1 * 100% P
TCEA = ( 1 + TCEP ) 360/n - 1
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Desarrollar los siguientes ejercicios.
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Se define Inflacin como el aumento
sostenido y
continuo de los
precios de los
bienes y servicios de una economa,
ocasionando una
reduccin en el
poder de compra
de la unidad
monetaria.
Inflacin
Hoy
-
El ndice de Precios al Consumidor (IPC) es un
parmetro de los cambios
de precios en nuestra
economa.
El IPC mide el comportamiento de precios
que pagan los consumidores: canasta bsica familiar.
El IPC de Lima Metropolitana en el ao base es 100. En
nuestro caso es 2009.
Inflacin
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La estructura de consumo de la canasta bsica familiar con la
cual se calcula el IPC, es la
siguiente:
8 grandes grupos 30 grupos 54 sub-grupos 157 rubros 449 variedades
Ejemplo:
Gran Grupo: Alimentos y Bebidas
Grupo: Alimentos
Sub-Grupo: Tubrculos
Rubro: Papa
Variedad: Papa amarilla
Inflacin
-
La estructura por grandes Grupos, es la siguiente:
Inflacin
-
Las tasas de inflacin se calculan en base al ndice de Precios al Consumidor (IPC).
= IPCt IPC0 - 1 t El responsable de la elaboracin de los IPC es el INEI. El IPC se calcula con la frmula de Laspeyres.
Inflacin
-
Fuente: INEI, http://www.inei.gob.pe
Se tienen los siguientes IPC de
Per (base 2001).
Encuentre la Inflacin del
tercer trimestre y
la Inflacin
Proyectada
para el ao 2004
segn el INEI.
Periodo IPC 2004 Inflacin
Mensual Inflacin
Trimestral
Diciembre
2003 102.66
Enero 103.23 0.56%
2.14% Febrero 104.30 1.04%
Marzo 104.86 0.54%
Abril 104.83 -0.03%
0.76% Mayo 105.17 0.32%
Junio 105.66 0.47%
Julio 105.95 0.27%
0.31% Agosto 105.90 -0.05%
Septiembre 105.99 0.08%
Octubre 106.07 0.08%
0.41% Noviembre 106.38 0.29%
Diciembre 106.42 0.04%
Inflacin
-
Po = Precio unitario del bien X
Qo = Capacidad adquisitiva con el
monto Mo
Qo = Mo / Po Mo
Tasa de inters: i
M1 = Mo * ( 1 + i )
Tasa Corriente y Tasa Real
-
Si la Inflacin es constante en el periodo de anlisis:
Tasa Corriente y Tasa Real
-
Flujos Corrientes a Reales Deflactar Flujos Reales a Corrientes Inflactar
1 t n
St
P
icorr 1 t n
Ct
P ireal
Flujos Corrientes Flujos Constantes o Reales
Efectos de la Inflacin
-
Si se desea pasar el FC de valores corrientes a reales (deflactacin) es necesario conocer la inflacin
acumulada desde el momento cero 0 hasta cualquier momento t.
As tenemos:
Ct = Flujo Constante o
Real
St = Flujo Corriente
0t = Inflacin acumulada desde 0 hasta t
Efectos de la Inflacin
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Dado el siguiente flujo de caja corriente, y sabiendo que la tasa de inters corriente es 12% anual, calcular
el Valor presente y el Valor futuro.
Ao 0 1 2 3 4
St 800 800 1000 1000
Inflacin 3% 3% 3% 4% 5%
Si se pretende ahorrar en un banco a una tasa pasiva de 12% mensual y la tasa de inflacin anual es 20.4%,
cunto se tendr en trminos reales al final del ao?
Efectos de la Inflacin
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Al final del mes de diciembre de 2012, Jorge otorg a Manuel un prstamo a 4 meses, estimando que obtendra
una rentabilidad real del 3.5% mensual en esta operacin de crdito. Para ello Jorge estim que la inflacin en los
meses de enero a abril del 2013 sera del 2% mensual.
Jorge le ofreci a Manuel que la modalidad de pago fuera mediante cuotas mensuales de enero a abril del
2013, con aumentos del 10% mensual a partir de febrero.
Manuel le plante a Jorge que l prefera pagar cuotas iguales durante enero a marzo, y que en abril podra
pagar el doble de la cuota anterior. Jorge le manifest
que aceptaba su propuesta porque el iba a calcular las cuotas de tal manera que su rentabilidad real segua
siendo 3.5% mensual.
Efectos de la Inflacin
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Han transcurrido los cuatro meses, Manuel cumpli con todos los pagos acordados en diciembre y ahora, en mayo,
Jorge est evaluando el resultado de su operacin de
crdito.
La inflacin oficial ocurrida en estos cuatro meses fue la siguiente:
Enero Febrero Marzo Abril
2.8% 2.3% 2.5% 1.8%
Jorge calcula que si el monto del prstamo otorgado a Manuel lo hubiera depositado al final de diciembre 2012 en
su libreta de ahorros en el banco, que paga 0.5% mensual,
hoy da (1ro. de mayo) tendra S/.9,293.53, del mismo poder
adquisitivo de diciembre de 2012.
Por otro lado, est analizando cunto realmente gan en esta operacin.
Efectos de la Inflacin
-
a. Cul fue el monto del prstamo que recibi Manuel? b. Cul fue el monto de las cuotas pactadas?
c. Cul habra sido el monto de las cuotas pactadas si se
hubiera aceptado la propuesta de Jorge?
d. Cul fue el costo corriente de las operaciones indicadas
en b) y c).
e. Por qu Jorge afirm que con su planteamiento o con
la propuesta de Manuel l igual obtena un rendimiento
real del 3%. Determine el costo real de las operaciones b
y c. f. Plantee la rentabilidad real obtenida por Jorge en esta
operacin.
g. Plantee la rentabilidad real de Jorge de haber
mantenido su planteamiento. Qu le hubiera convenido
proponer a Manuel?
Efectos de la Inflacin
-
Si se asume una deuda en una moneda extranjera, se tendr una tasa de inters en esa moneda.
Sin embargo, tambin tendr un equivalente en otra moneda (por ejemplo: soles).
Para ello es necesario conocer cmo estn relacionadas ambas monedas: Tipo de Cambio (TCo).
No obstante, este TCo no permanece constante en el tiempo, producindose un efecto conocido como la devaluacin o
depreciacin de la moneda.
Devaluacin o Depreciacin
-
La devaluacin o depreciacin es la variable macroeconmica que mide la variacin del tipo de cambio
en el tiempo.
Es la prdida de valor de la moneda blanda (Ej.: nuevo sol), con respecto a la moneda fuerte (Ej.: dlar americano,
euro).
Es decir, el nuevo sol se devala o deprecia respecto al euro porque cada vez se va a requerir ms soles para
adquirir un euro. En este caso es una devaluacin o depreciacin del nuevo sol respecto al euro (Nuevo sol/Euro).
La devaluacin o depreciacin desde el tiempo 0 al momento t:
TCt
TC0 1 =
Devaluacin o Depreciacin
-
Ejemplo:
Ao Tipo de
Cambio
Devaluacin
Anual
Devaluacin
Acumulada
0 2.50 -- --
1 2.65 6.00% 6.00%
2 2.90 9.43% 16.00%
3 3.20 10.34% 28.00%
4 3.50 9.38% 40.00%
TCt = TC0 ( 1 + 0t)
Devaluacin o Depreciacin
-
Si bien la devaluacin o depreciacin del nuevo sol, por
ejemplo, con respecto a una
divisa (Ej.: el dlar americano)
ocurre cuando se necesitan ms
soles para adquirir esa divisa,
qu sucede cuando se
comienza a necesitar menos soles
para comprar la misma divisa?
Este fenmeno es contrario a la devaluacin o depreciacin y se
denomina revaluacin o
apreciacin.
Devaluacin o Depreciacin
-
Cmo realizar la conversin de un flujo de fondos en dlares americanos a un flujo de
fondos en soles?
Ejemplo: Si recibo US$1,200 y debo
cancelarlos en tres aos, con cuotas anuales de: US$500, US$600,
y US$700. Se pide: Elaborar el flujo de fondos para
usted.
Calcular el costo de su deuda.
Costo en dlares americanos: 21.92%.
Devaluacin o Depreciacin
-
Para la conversin es necesario tener el tipo de cambio en cada periodo, o la devaluacin por
periodo y un tipo de cambio.
Ejemplo: Si el tipo de cambio al inicio fue de
TCo = 3.50 soles/dlar americano, y la devaluacin anual es constante y
equivale a 10%: Elaborar el flujo de fondos en soles. Calcular el costo de su deuda en soles.
Costo en soles: 34.11%.
Devaluacin o Depreciacin
-
Si se tiene una devaluacin constante en todos los periodos.
Devaluacin o Depreciacin
-
Si se tiene una devaluacin constante en todos los periodos.
P = St / ( 1 + i$ ) t P x TC0 = [ St x TC0 x ( 1 + )t / ( 1 + iS/. )
t ]
Devaluacin o Depreciacin
-
Para la conversin de los flujos de fondos, se tendrn las siguientes frmulas:
i S/. = (1 + i$ ) * ( 1 + ) - 1
i $ = ( iS/. - ) / ( 1 + )
con constante
Devaluacin o Depreciacin
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El tipo de cambio hoy es de 3.45 soles por dlar americano. Por
razones coyunturales, usted estima que el nuevo sol se devaluar
0.75% en los prximos 15 das. La empresa a la cual usted asesora
tiene la alternativa de financiarse e invertir el monto de un milln
de dlares o su equivalente en soles, para el prximo periodo de
30 das, segn las siguientes tasas de inters:
Dadas las condiciones mencionadas: es posible obtener
rentabilidad?, cules son las operaciones que usted realizara?,
cul sera la ganancia en soles si se cumpliera con la
devaluacin esperada? y cul sera la rentabilidad que se
obtendra?
Devaluacin o Depreciacin
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FINANZAS PARA LAS
OPERACIONES