Universidad de Sevilla
Escuela Tecnica Superior de Ingenierıa
Formulacion particionada no simetrica
MEC-MEF para problemas de interaccion
fluido-estructura en acustica
Tesis fin de master
Master en Diseno Avanzado en Ingenierıa Mecanica
Autor: Antonio Cerrato CasadoDirigido por: Luis Rodrıguez de Tembleque Solano y Ramon Abascal Garcıa
2012
Departamento de Mecanica de Medios Continuos, Teorıa de Estructuras e
Ingenierıa del Terreno
Indice general
1. Introduccion 9
2. Fundamentos de la acustica lineal 11
2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Ecuacion de Helmhotz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Condiciones de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3. El Metodo de los Elementos de Contorno en Acustica 17
3.1. Solucion Fundamental del problema 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. El problema interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3. El problema exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4. Discretizacion del dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4. El Metodo de los Elementos Finitos en elasticidad 29
4.1. Formulacion variacional continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2. Formulacion variacional discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5. Tecnicas de Acoplamiento entre Fluido y Estructura 35
5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2. Interaccion Fluido-Estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3. Interaccion fluido-estructura mediante el Metodo Mortar . . . . . . . 37
5.3.1. Formulacion variacional continua del problema de acoplamiento 38
5.3.2. Formulacion variacional discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3.3. Resolucion del problema conjunto de acoplamiento fluido es-
tructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5
Indice general 6
5.4. Metodo de los Mulplicadores de Lagrange Localizados (MLLs) . . . . 42
5.4.1. Formulacion variacional contınua . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.4.2. Formulacion variacional discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.4.3. Resolucion del problema de interaccion fluido-estructura . . . 46
5.4.4. Localizacion de los nodos del marco de acoplamiento: Regla
del momento nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6. Ejemplos de validacion y resultados 49
6.1. Problema de cavidad acustica con pared flexible . . . . . . . . . . . . 51
6.1.1. Respuesta del sistema en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1.2. Respuesta del sistema fluido-estructura ante una excitacion
forzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2. Problema de la cavidad acustica con pared flexible y fluido estratificado 67
7. Conclusiones 69
Bibliografıa 72
Capıtulo 1
Introduccion
El inicio del interes por la acustica se remonta a la antiguedad, donde ya ciertos
sabios como Pitagoras o Aristoteles se interesaron por la fısica del problema. En el
siglo I a.C. aparece el primer trabajo conocido en cuyo contenido se trata la acustica
como un problema con aplicaciones en la vida cotidiana como la conocemos hoy
dıa, en el aparecen recomendaciones a tener en cuentan en el diseno de anfiteatros
para mejorar su acustica. Su autor fue el arquitecto romano Marco Vitruvio Polion
en su obra De Architectura libri decem. A lo largo de la historia grandes fısicos
y matematicos se han preocupado por encontrar formulaciones para el problema
acustico, destacando Newton (1642-1727), Lord Rayleigh (1842-1919) y sobre todo
Hermann von Helmholtz (1821-1894). Durante el siglo XX aparecieron numerosas
aplicaciones de los conocimientos que ya existıan sobre la acustica, como por ejemplo
los trabajos del fısico Wallace Clement Sabine sobre la acustica arquitectonica. Esta
ciencia tambien encontro su aplicacion en algo mas que el confort cuando en la
primera guerra mundial se utilizo la acustica para la deteccion de submarinos.
A lo largo del ultimo siglo los cambios tecnologicos han hecho que las necesidades
de esta ciencia sean cada vez mayores. Hoy en dıa los analisis acusticos en los que
existe una fuerte interaccion entre fluido y estructura tienen gran importancia y nu-
merosas aplicaciones. El uso de nuevos materiales y estructuras cada vez mas ligeras
en vehıculos de todo tipo requieren el desarrollo de nuevas tecnicas para el calculo
del problema acustico, ya que ello va directamente ligado al diseno de la estructura
y al confort de los pasajeros. Por otro lado tenemos tambien una importante apli-
9
Capıtulo 1. Introduccion 10
cacion en problemas de emisiones de ruidos, como podrıa ser el caso de estudio de
silenciadores que garanticen un mejor entorno. Podemos concluir que a dıa de hoy los
diferentes problemas acusticos que se le pueden plantear a un tecnico son infinitos.
Para algunos existen soluciones analıticas buenas [13] [3], pero son pocos, la mayorıa
necesitan de una resolucion numerica.
Las tecnicas necesarias para resolver problemas de interaccion fluido-estructura
es un tema que se ha venido desarrollando debido a su gran interes desde de finales
de los setenta por grandes ingenieros y matematicos como Zienkiewick y Taylor,
destacando tambien los trabajos de investigadores como A. Bermudez [2] y Roger
Ohayon [14] que han venido desarrollando estas tecnicas en los ultimos anos. Su
evolucion ha seguido un curso logico, utilizando en sus inicios el potencial del Metodo
de los Elementos Finitos (MEF) y realizando acoplamientos fuertes entre dominio
fluido y estructura. Para el dominio solido esto esta bien, ya que el MEF es muy
potente y el mas desarrollado en este ambito, sin embargo, en acustica el metodo de
los elementos de contorno (MEC) es mas ventajoso. Por otro lado las discretizaciones
de los dominios que forman parte del problema no tienen por que ser parecidas, ni en
tamano ni en topologıa, para caracterizar correctamente el dominio que representan.
En este trabajo se presentan dos formulaciones que permiten acoplar fluido y
estructura utilizando para cada tipo de dominio el metodo mas conveniente, es de-
cir, MEF para la estructura y MEC para el fluido. La primera formulacion que se
presenta es del tipo Mortar [5] y la segunda utiliza la tecnica de los Multiplicado-
res de Lagrange Localizados [15]. Ambos metodos son acoplamientos que imponen
las condiciones de compatibilidad entre dominios de forma debil, permitiendo ası la
posibilidad de utilizar mallas no conformes. La posibilidad de calcular el problema
de forma particionada permite ademas resolver los sistemas de ecuaciones corres-
pondientes a los diferentes dominios con procesadores independientes, pudiendose
calcular problemas con un elevado numero de grados de libertad.
Capıtulo 2
Fundamentos de la acustica lineal
2.1. Introduccion
Se puede definir la acustica como la ciencia que estudia el sonido, es decir, las
ondas mecanicas que se transmiten a traves de un medio fluido compresible. En este
capıtulo se presentan los fundamentos de la acustica lineal partiendo de la base de que
el medio que estudiamos es un fluido no viscoso que se encuentra en reposo, ademas
cosideraremos las hipotesis de temperatura constante y entropıa constante. Cuando
una onda acustica pasa por un punto del fluido, este ve perturbado su condicion de
equilibrio inicial (velocidad inicial nula (v0 = 0), presion P0 y densidad ρ0).El valor
de estas magnitudes en un instante considerado seran
P = p0 + p (2.1)
ρ = ρ0 + ρ (2.2)
v = v (2.3)
Su evolucion vendra dada por las ecuaciones que modelan el comportamiento del
fluido. Dichas ecuaciones son:
1. Ecuacion de continuidad. En un volumen de control determinado debe cum-
plirse en todo momento que la variacion de la masa en su interior sea igual al
flujo neto que atraviesa su superficie. La ecuacion siguiente expresa este con-
11
Capıtulo 2. Fundamentos de la acustica lineal 12
cepto.
∂
∂t
∫
V
ρdV +
∫
S
ρv · dS = 0 (2.4)
Si aplicamos el teorema de la divergencia de Gauss la expresion anterior queda
de la forma:
∫
V
[
∂ρ
∂t+∇ · (ρv)
]
dV = 0 (2.5)
Esto ha de cumplirse para cualquier volumen arbitrario, por lo tanto, de manera
general la ecuacion de continuidad se expresa como:
∂ρ
∂t+∇ · (ρv) = 0 (2.6)
2. Ecuacion de conservacion de la cantidad de movimiento: Estas expre-
siones representan el equilibrio dinamico de las fuerzas exteriores, inerciales,
volumetricas, de presion y viscosas. Por simplificacion omitiremos estas ulti-
mas, ya que los fluidos que son objeto de estudio en este trabajo son fluidos
no viscosos. La deduccion de estas expresiones se puede hacer igualando la
derivada material de la cantidad de movimiento a cero, o lo que es lo mismo,
establecer un equilibrio de fuerzas en un volumen de control (segunda ley de
Newton). Por lo tanto es facil llegar a la expresion:
∂
∂t
∫
V
ρvdV =
∫
V
bρdV −
∫
S
PdS −
∫
S
(ρv)vdS (2.7)
donde se iguala la variacion temporal de la cantidad de movimiento con las
fuerzas volumetricas, de superficie y de inercia. Aplicando el teorema de Gauss
a las integrales de superficie obtenemos que
∫
V
(
∂ρ
∂t+ ρ(∇v)
)
vdV +
∫
V
ρ
(
∂v
∂t+ (∇v)v
)
dV +
∫
V
∇P =
∫
V
ρb (2.8)
Capıtulo 2. Fundamentos de la acustica lineal 13
Donde la primera integral es la ecuacion de continuidad (2.6), cuyo valor es
cero. La ecuacion anterior debe cumplirse para cualquier volumen arbitrario,
por lo tanto podemos escribirla de manera diferencial. Ordenando terminos, la
variacion de la cantidad de movimiento puede expresarse de la forma
∂v
∂t+ (∇v)v +
1
ρ∇P = b (2.9)
3. Ecuacion de estado (o constitutiva): La ecuacion constitutiva es una re-
lacion entre entre las variables termodinamicas del material. En el caso de un
gas perfecto es la conocida expresion:
P = RρT (2.10)
donde T es la temperatura absoluta y R es la constante del gas. Para fluidos
adiabaticos la ecuacion de estado puede escribirse como
P = P (ρ) (2.11)
P
p0=
(
ρ
ρ0
)γ
(2.12)
donde γ es el coeficiente de dilatacion adiabatica. Sin embargo esta expresion no
es valida para lıquidos, pero existe una mas general para fluidos isoentropicos
[3]:
c20 =dP
dρ(2.13)
En esta expresion c0 es la velocidad del sonido en el medio. Como se ha men-
cionado antes, la variacion de la densidad en un punto (ρ) es muy pequena en
comparacion con la densidad del fluido. Entonces se puede considerar que la
ecuacion anterior el linealizable:
p = c20ρ (2.14)
Capıtulo 2. Fundamentos de la acustica lineal 14
2.2. Ecuacion de Helmhotz
Trabajando con las tres ecuaciones descritas anteriormente podemos llegar a la
clasica ecuacion de onda de la acustica lineal. Al ser considerada la densidad inicial
(ρ0) constante en todo el dominio y que la perturbacion es pequena en comparacion
a ella, se pueden establecer las siguientes hipotesis:
ρ = ρ0 + ρ, |ρ| ≪ ρ0
P = p0 + p, |p| ≪ ρ0c20 (2.15)
v = 0 + v, |v| ≪ c0
Aplicandolas, la ecuacion de continuidad (2.6) se simplifica quedando de la forma:
∂ρ
∂t+ ρ0∇ · v = 0 (2.16)
De la misma manera la ecuacion de conservacion de la cantidad de movimiento
se simplifica bajo estas hipotesis, resultando la siguiente expresion:
ρ0∂v
∂t+∇p = 0 (2.17)
Ahora ya tenemos todo lo necesario para definir la ecuacion diferencial que go-
bierna el problema. Combinando la ecuacion constitutiva (2.14) con la ecuacion de
continuidad (2.16) obtenemos que
∂p
∂t+ ρ0c
20∇ · v = 0 (2.18)
A continuacion la derivamos con respecto al tiempo y haciendo uso de la ecuacion
(2.17) obtenemos la ecuacion de onda clasica:
Capıtulo 2. Fundamentos de la acustica lineal 15
∂2p
∂t2− c20∇
2p = 0 (2.19)
Si la excitacion es armonica, la solucion en cualquier punto del dominio vendrıa
dada por
p(ω, t) = pe(iωt) (2.20)
v(ω, t) = ve(iωt) (2.21)
donde p y v son las amplitudes de los valores de la presion y la velocidad en ca-
da punto del dominio. Al trabajar ahora con una frecuencia fija cambiaremos los
nombres de las variables y llamaremos a las amplitudes mencionadas anteriormente
simplemente p y v. Al substituir en la ecuacion (2.19) se transforma el la ecuacion
de Helmholtz.
∇2p+ k2p = 0 (2.22)
donde k es el numero de ondas k = ω/c0.
El campo de velocidades se puede extraer luego utilizando la ecuacion de con-
servacion de la cantidad de movimiento (2.17), que para una excitacion armonica
serıa:
v = −1
iωρ0∇p (2.23)
Y en el contorno, la velocidad normal:
vn = −1
iωρ0nT∇p = −
1
iωρ0
p
n(2.24)
donde n es el vector normal a la superficie.
Capıtulo 2. Fundamentos de la acustica lineal 16
2.3. Condiciones de Contorno
Las condiciones de contorno para el problema representado por la ecuacion 2.22
suelen ser de dos tipos: activas o pasivas [23]. Las activas son aquellas en las que
los valores de la amplitud de la velocidad normal o la presion en el contorno son
conocidas.
vn conocida −→ Condicion de contorno tipo Newman (2.25)
p conocida −→ Condicion de contorno tipo Dirichlet (2.26)
Una condicion de contorno pasiva se da cuando el contorno es disipativo, entonces
el reflejo de la onda disminuye de intensidad y cambia su fase. La condicion ha de
ser entonces la impedancia acustica del contorno,
z = p/vn (2.27)
que es una propiedad del material.
Capıtulo 3
El Metodo de los Elementos de
Contorno en Acustica
Gracias a la linealidad que presentan las ecuaciones de la acustica, el Metodo
de los Elementos de Contorno (MEC) resulta mas eficaz a la hora de modelar el
problema que otros metodos, como el Metodo de los Elementos Finitos (MEF), pues
solo ha de discretizar el contorno, lo que reduce el no de incognitas del problema. Otro
aspecto muy importante de el MEC en acustica es que es especialmente apropiado
para resolver problemas en los que el dominio es infinito, ya que inherentemente
cumple la condicion de radiacion de Sommerfeld [18].
El objetivo de este trabajo es el desarrollo de los metodos numericos que mo-
delizan la interaccion fluido-estructura MEC-MEF en dos dimensiones mediante un
acoplamiento debil, por lo que a continuacion se desarrollara el MEC directo (basado
en la integracion de la ecuacion de Helmholtz) con su solucion fundamental en 2D.
3.1. Solucion Fundamental del problema 2D
Como hemos visto en el capıtulo anterior, la ecuacion diferencial que gobierna
el problema de una excitacion armonica en un fluido, es la ecuacion diferencial de
Helmholtz.
∇2p+ k2p = 0 (3.1)
17
Capıtulo 3. El Metodo de los Elementos de Contorno en Acustica 18
Donde, como hemos comentado anteriormente, p es la amplitud de la presion
debido a la excitacion y k es el numero de onda. La solucion fundamental del proble-
ma representa el campo de presiones en todo el espacio debido a una carga puntual
aplicada en el punto P . La ecuacion que nos permite hallar la solucion fundamental
es por tanto:
∇2ψ + k2ψ = −δ(Q− P ) (3.2)
La funcion δ(Q − P ) representa la funcion Delta de Dirac colocada en el punto
de aplicacion de la fuente P .
El espacio en el que trabajaremos es bidimensional, por lo que para resolver
la ecuacion anterior y hallar la solucion fundamental utilizaremos un sistema de
coordenadas cilındricas (r, θ) centrado en P . La ecuacion (3.2) queda entonces como
d2ψ
dr2+
1
r
dψ
dr+ k2ψ = 0 (3.3)
lo cual es valido para todo el espacio salvo en el punto P . Si en la ecuacion anterior
hacemos el cambio de variable k = x/r entonces dicha ecuacion se convierte en la
ecuacion de Bessel de orden cero.
x2d2ψ
dx2+ x
dψ
dx+ x2ψ = 0 (3.4)
La solucion general para esta ecuacion es:
ψ = AH(1)0 (x) +BH
(2)0 (x) (3.5)
donde A y B son coeficientes no conocidos y H(1)0 y H
(2)0 funciones de Hankel de
primera y segunda especie de orden cero. Las funciones de Hankel estan definidas
como:
Capıtulo 3. El Metodo de los Elementos de Contorno en Acustica 19
H(1)0 (x) = J − 0(x) + iY0(x) (3.6)
H(2)0 (x) = J0(x)− iY0(x) (3.7)
donde J0 e Y0 son funciones de Bessel de primera y segunda especie respectivamente
de orden cero.
Si adoptamos el criterio habitual cuando trabajamos en el dominio de la frecuen-
cia y nos situamos en el punto en el que provocamos la excitacion (P ), entonces H(2)0
representa una perturbacion que se produce en el punto P y se propaga hacia el infi-
nito, mientras que H(1)0 representa una onda que llega desde algun sitio al punto en el
que estamos situados. Teniendo en cuenta que el problema que estamos estudiando
es una perturbacion provocada en P , entonces, podemos decir que el coeficiente A
de la ecuacion (3.5) es nulo. El coeficiente B podemos determinarlo si integramos la
ecuacion (3.2) en un area circular muy pequena que encierre a P .
lımǫ→0
∫
Ωǫ
(
∇2ψ + k2ψ)
dA = −1 (3.8)
En el segundo termino de la integral el dA tiende a cero mas rapido que la funcion
ψ a infinito cuando se aplica el lımite ǫ→ 0, por lo que
lımǫ→0
∫
Ωǫ
k2ψdA = 0 (3.9)
y entonces, sustituyendo, queda:
lımǫ→0
∫
Ωǫ
∇2ψdA = −1 (3.10)
Si aplicamos el teorema de la divergencia transformamos la integral anterior en
una de contorno:
Capıtulo 3. El Metodo de los Elementos de Contorno en Acustica 20
lımǫ→0
∫
∂Ωǫ
∂ψ
∂ndΓ = −1 (3.11)
donde ∂Ωǫ es el contorno que engloba el area Ω y n es el vector unidad normal a la
superficie ∂Ωǫ orientado hacia el exterior.
Los lımites correspondientes a las funciones de Bessel son:
lımx→0
J0(x) = 1 (3.12)
lımx→0
Y0(x) =2
πln(x) (3.13)
lımx→∞
J0(x) =cos(x− π/4)
√
πx/2(3.14)
lımx→∞
Y0(x) =sin(x− π/4)
√
πx/2(3.15)
Si los aplicamos a la ecuacion anterior, teniendo en cuenta que ǫ es lo mismo que r
y lo mismo que n al estar centrada la integral en la fuente, podemos deducir el valor
de la constante B:
∫
∂Ωr
∂
∂n
(
lımr→0
ψ)
dΓ = −1
∫
∂Ωr
∂
∂n
(
B
[
1− i2
πln(kr)
])
dΓ = −1
∫ 2π
0
−Bi2
π
1
rdθ = −1
−4iB = −1
B = −i
4(3.16)
Finalmente ya tenemos la solucion fundamental para un plano infinito 2−D
Capıtulo 3. El Metodo de los Elementos de Contorno en Acustica 21
ψ = −i
4H
(2)0 (kr) (3.17)
Mas tarde sera necesaria la derivada de la solucion fundamental respecto a la
normal al contorno, por lo que su expresion queda:
∂ψ
∂n=ik
4H
(2)1 (kr)
∂r
∂n(3.18)
donde H(2)1 es la funcion de Hankel de primer orden y de segunda especie.
3.2. El problema interior
El objetivo del problema interior es resolver la ecuacion de Helmholtz (3.1) en
una cavidad Ω de dimensiones finitas. Recordando la ecuacion (3.1) vemos que se ha
de cumplir en el dominio acustico que
∫
Ω
(∇2p+ k2p)ψdΩ = 0 (3.19)
donde ψ es la solucion fundamental obtenida en la seccion anterior. Recordemos que
es una funcion que cumple las mismas condiciones que la solucion del problema. Si
P
n
S
Ω
Figura 3.1: Punto de colocacion P excluido del dominio
Capıtulo 3. El Metodo de los Elementos de Contorno en Acustica 22
aplicamos el teorema de Gauss a la ecuacion anterior tenemos
∫
Ω
(∇p · ∇ψ + k2pψ)dΩ+
∫
S
∂p
∂nψdS = 0 (3.20)
y aplicando nuevamente el teorema de Gauss sobre la integral de volumen:
∫
Ω
p(∇2ψ + k2ψ)dΩ+
∫
S
∂p
∂nψdS −
∫
S
p∂ψ
∂ndS = 0 (3.21)
En esta expresion hay dos integrales de superficie y una de volumen de la que el
resultado es conocido, ya que recordando (3.2) vemos que el valor de esta integral es
el valor de la amplitud de la presion en la fuente:
p(P ) =
∫
S
(
ψ∂p
∂n− p
∂ψ
∂n
)
dS (3.22)
Si recordamos la ecuacion (2.23) del capıtulo anterior podemos obtener facilmente
una relacion entre la velocidad normal a la superficie y el gradiente del campo de
presiones en esta misma direccion.
∂p
∂n= −iρ0ωvn (3.23)
por lo tanto la expresion (3.22) queda
p(P ) = −
∫
S
(
iρ0ωvnψ + p∂ψ
∂n
)
dS (3.24)
La ecuacion (3.24) establece que es posible conocer la presion en cualquier punto
P dentro del dominio Ω integrando unicamente en el contorno. Esta es la idea basica
del Metodo de los Elementos de Contorno. Sin embargo, como acabamos de decir,
esto es valido para un punto P dentro del dominio. Para que la ecuacion (3.24) pueda
ser utilizada operando solo en el contorno S es necesario situar P en este (Figura
Capıtulo 3. El Metodo de los Elementos de Contorno en Acustica 23
P
n
n
S
Ω
Sǫ
ǫ
Figura 3.2: Punto de colocacion P situado en el contorno S
3.2). El problema es que cuando esto ocurre, las integrales son singulares en el punto
de colocacion.
Para esquivar la singularidad recrecemos el dominio infinitesimalmente en el pun-
to de colocacion mediante un contorno circular de radio ǫ (Figura 3.2). Luego:
p(P ) =
∫
S−Sǫ
∂p
∂nψdS +
∫
Sǫ
∂p
∂nψdS −
∫
S−Sǫ
p∂ψ
∂ndS −
∫
Sǫ
p∂ψ
∂ndS (3.25)
Al ser el radio infinitesimal, sera necesario estudiar el lımite cuando ǫ tiende a
cero [1]. Por lo tanto el primero de los lımites es:
lımǫ→0
∫
Sǫ
p∂ψ
∂ndS = p(P ) lım
ǫ→0
∫
Sǫ
∂ψ
∂ndS = −p(P )
α(rad)
2π(3.26)
y el segundo:
lımǫ→0
∫
Sǫ
ψ∂p
∂ndS = 0 (3.27)
cuya solucion es nula, ya que la solucion fundamental ψ cuando esta llegando a cero
es del orden de O(ln(r)) mientras que el diferencial de area, o mas bien de longitud
Capıtulo 3. El Metodo de los Elementos de Contorno en Acustica 24
P
θ
n
S
Ω
Sǫ
nα
Figura 3.3: Punto de colocacion P situado en una esquina del contorno S
al estar en 2-D, es del orden de O(r) cuando r tiende a cero. Introduciendo entonces,
las ecuaciones (3.26) y (3.27) en (3.25) obtenemos la expresion:
C(P )p(P ) =
∫
S
∂p
∂nψdS −
∫
S
p∂ψ
∂ndS (3.28)
Donde todas las variables de la misma se encuentran situadas en el contorno y el
valor del termino libre C(P ) (3.26) depende del angulo del contorno en el punto de
colocacion (ver Figura 3.3):
C(P ) = 1−α
2π=
θ
2π(3.29)
En el caso de que el punto de colocacion P se encuentre en un contorno suave
(Figura 3.2) el valor de α de la ecuacion (3.26) sera de π radianes, por lo que el valor
de C(P ) sera de 1/2. En general podemos establecer los tres casos siguientes:
C(P ) =
1 siP ∈ Ω12
siP ∈ Γ(suave)θ2π
siP ∈ Γ(esquina)
(3.30)
Capıtulo 3. El Metodo de los Elementos de Contorno en Acustica 25
P
n
n
S
Ω
Sǫ
∞
ǫ
Figura 3.4: Problema exterior con el punto de colocacion P situado en el contorno S
3.3. El problema exterior
En el caso del problema exterior el contorno encierra la parte que se excluye del
dominio (Figura 3.4). Realizando el mismo proceso que acabamos de hacer para el
problema interior llegamos nuevamente a una expresion parecida a (3.31):
C(P )extp(P ) =
∫
S
∂p
∂nψdS −
∫
S
p∂ψ
∂ndS (3.31)
Solo que en este caso el caso el termino libre C(P )ext es diferente,
C(P )ext = 1− C(P ) (3.32)
3.4. Discretizacion del dominio
Para resolver numericamente la ecuacion (3.31) es necesario discretizar el con-
torno del problema en elementos. En general la geometrıa de los elementos viene
dada por las ecuaciones:
Capıtulo 3. El Metodo de los Elementos de Contorno en Acustica 26
x =n
∑
i=1
Ni(ξ)xi (3.33)
y =n
∑
i=1
Ni(ξ)yi (3.34)
donde xi e yi son las coordenadas de los nodos del elemento i y Ni(ξ) son las funciones
de forma del elemento, en este trabajo, las funciones de forma utilizadas son lineales,
por lo que estas seran:
N1 =1
2(1− ξ) (3.35)
N2 =1
2(1 + ξ) (3.36)
encontrandose ξ en el intervalo [−1, 1]. Para poder integrar a lo largo del contorno
en cada elemento, hallaremos el Jacobiano de la transformacion.
J =dS
dξ=
√
(
dx
dξ
)2
+
(
dy
dξ
)2
(3.37)
Las derivadas de las coordenadas globales con respecto a las locales son facilmente
calculables:
dx
dξ=
n∑
i=1
dNi
ξxi (3.38)
dy
dξ=
n∑
i=1
dNi
ξyi (3.39)
El vector unitario normal para cada elemento es:
Capıtulo 3. El Metodo de los Elementos de Contorno en Acustica 27
n =(dy,−dx)
√
dx2 + dy2=
1
J
(
dy
dξ,−
dx
dξ
)
(3.40)
y la direccion del vector normal (n) ha de ser aquella que sale del dominio, es decir,
que para un problema interno ira hacia el exterior del contorno que definamos para
el problema, mientras que para un problema exterior n se dirigira hacia el interior.
El termino ∂r/∂n mencionado en la ecuacion (3.18) es
∂r
∂n= ∇r · n =
x− xP
rnx +
y − yP
rny (3.41)
La aproximacion de las variables del problema en el contorno viene dada en funcion
de los valores nodales y las funciones de forma de los elementos correspondientes:
p =
n∑
i=1
Ni(ξ)pi (3.42)
vn =n
∑
i=1
Ni(ξ)(vn)i (3.43)
Si situamos el punto de colocacion P en un nodo del contorno y aplicamos la
integral de la ecuacion de Helmholtz en todo el contorno (3.31) obtendremos unos
vectores de coeficientes que, multiplicando a los vectores con las soluciones nodales
haran cumplir dicha integral. Dichos coeficientes son:
hi =
∫
Sj
∂ψ
∂nNidS (3.44)
gi = −iρ0ω
∫
Sj
ψNidS (3.45)
donde el indice i hace referencia al nodo en el que se situa P y el ındice j al elemento
en el que se integra. Si esta operacion la repetimos, situando el punto de colocacion
en todos los nodos del contorno, obtendremos unas matrices H∗ y G de manera que
Capıtulo 3. El Metodo de los Elementos de Contorno en Acustica 28
el sistema (3.31) queda:
Cp+H∗p = Gvn (3.46)
En esta ecuacion, C es una matriz diagonal que contiene los terminos libres de los
puntos de colocacion (3.30). Las matrices C y H∗ se pueden sumar, resultando la
expresion anterior:
Hp = Gvn (3.47)
Como se vio en el capıtulo de fundamentos de la acustica, cuando se trata de
vibraciones armonicas, se puede poner la velocidad de las partıculas del fluido en
funcion de la velocidad angular de la vibracion y de su desplazamiento, por lo que
la ecuacion (3.47) puede escribirse como:
Hp = iωGdf (3.48)
Capıtulo 4
El Metodo de los Elementos
Finitos en elasticidad
En los problemas de interaccion fluido-estructura que se tratan en este trabajo
la parte estructural del problema esta modelada con elementos finitos, por lo que a
continuacion se explicaran las las bases de este metodo en problemas de elasticidad.
En este capıtulo se muestra la formulacion variacional que sirve como punto de
partida para este metodo, ası como su desarrollo hasta la obtencion del sistema de
ecuaciones lineal resultante de su aplicacion.
4.1. Formulacion variacional continua
Consideremos que la energıa potencial total del sistema elastico estudiado venga
dada por el funcional:
Πtotal(u) = U(u)−W (u) (4.1)
donde u son los desplazamientos, U es la energıa interna de deformacion elastica y
W es el trabajo realizado por las fuerzas externas. Estos son, respectivamente:
29
Capıtulo 4. El Metodo de los Elementos Finitos en elasticidad 30
U(u) =1
2
∫
Ω
eT σ dΩ (4.2)
W (u) =
∫
Ω
uT b dΩ+
∫
Γt
uT t dΓ. (4.3)
siendo e el tensor de deformacion, σ el tensor de tensiones, b las fuerzas de volumen
y t las fuerzas externas. Este sistema se encuentra en equilibrio si el trabajo realizado
por las fuerzas externas es igual a la energıa elastica acumulada dentro del sistema,
es decir, Πtotal(u) = 0. Por otro lado se ha de garantizar que este equilibrio sea un
equilibrio estable, es decir, que ante cualquier pequena perturbacion en el valor de
los desplazamientos (δu), compatible con las condiciones de contorno, el incremento
de energıa total δΠtotal(δu) ha de ser nulo tambien, es decir, que la energıa potencial
total del sistema sea mınima.
δΠtotal = Πtotal(u+ δu)− Πtotal(u) = 0 (4.4)
O lo que es lo mismo:
∫
Ω
δeTσ dΩ =
∫
Ω
δuT b dΩ+
∫
Γt
δuT t dΓ. (4.5)
La ecuacion integral (4.5) es conocida en el ambito ingenieril como el Principio
de los Trabajos Virtuales.
4.2. Formulacion variacional discreta
El dominio elastico se puede discretizar en un conjunto de dominios elementales
tales que
Ω =
Ne⋃
e=1
Ωe y
Ne⋂
e=1
Ωe = Ø, (4.6)
donde Ne es el numero de elementos o subregiones que componen el dominio Ω.
Entonces, el potencial total sera ahora la suma del potencial de cada subdominio
(δΠe(u)):
Capıtulo 4. El Metodo de los Elementos Finitos en elasticidad 31
δΠtotal(u) =
Ne∑
e=1
δΠe(u), (4.7)
Para cada elemento se puede calcular el potencial total δΠe de la misma forma que
para el dominio completo, como en la ecuacion (4.4). Cada incremento de potencial
sera por tanto:
δΠe(u) =
∫
Ωe
δeTσ dΩ−
∫
Ωe
δuT b dΩ−
∫
Γe
δuT t dΓ. (4.8)
Empleando elementos isoparametricos y la formulacion clasica del Metodo de los
Elementos Finitos (Zienkiewicz [24]), la aproximacion de los desplazamientos dentro
del dominio del elemento vendra dada en funcion de sus desplazamientos nodales
(de) y de su interpolacion en el interior del dominio. De esta forma:
u ≃ u = N de, (4.9)
siendo N la matriz de funciones de interpolacion (o funciones de forma) del
elemento
N =
N1 0 0 . . . Nne0 0
0 N1 0 . . . 0 Nne0
0 0 N1 . . . 0 0 Nne
, (4.10)
En esta expresion ne representa el numero de nodos del elemento y Ni las fun-
ciones de forma correspondientes a cada nodo. Las dimensiones de esta matriz son n
filas y m columnas, siendo n el numero de grados de libertad por nodo y m el numero
total de grados de libertad del elemento. Por ejemplo, el caso de la expresion (4.13)
es el de las funciones de forma de un elemento de elasticidad en tres dimensiones,
con ne nodos y 3 grados de libertad en cada uno de ellos, por lo que la matriz es de
dimensiones 3× 3ne.
En el caso de elasticidad isotropa con pequenas deformaciones el tensor de de
deformacion de Green-Lagrange es
e =1
2(∇u+ (∇u)T ) (4.11)
Capıtulo 4. El Metodo de los Elementos Finitos en elasticidad 32
y por lo tanto, de manera discreta:
e = Bde (4.12)
siendo B = [B1,B2, . . . ,Bne] y ε el tensor de deformacion en notacion de Voigt.
Siguiendo con el mismo caso de elasticidad en tres dimensiones:
Bi =
∂Ni
∂x0 0
0∂Ni
∂y0
0 0∂Ni
∂z∂Ni
∂y
∂Ni
∂x0
∂Ni
∂z0
∂Ni
∂x
0∂Ni
∂z
∂Ni
∂y
(4.13)
El pseudo-vector de tensiones se obtiene como: σ = Ee, siendo E la matriz consti-
tutiva. Por lo tanto tambien podemos expresar σ en funcion de los desplazamientos:
σ = EBde (4.14)
Sustituyendo todas estas expresiones en la ecuacion (4.8) se obtiene la variacion
del funcional discreto para un elemento
δΠe(de) = (δde)T Ke de − f e, (4.15)
donde Ke es la matriz de rigidez elemental
Ke =
∫
Ωe
BTEBdΩ (4.16)
y f e es el vector de fuerzas nodales, dado por
f e =
∫
Ωe
NTbdΩ+
∫
Γe
NT tdΓ. (4.17)
Sustituyendo (4.15) de cada elemento en (4.7) se obtiene
Capıtulo 4. El Metodo de los Elementos Finitos en elasticidad 33
δΠtotal(d) = δdT K d− f, (4.18)
donde K es la matriz de rigidez del sistema, que resulta ser simetrica y definida
positiva. Proviene del ensamblaje de las matrices de rigidez elementales (4.16). El
vector F es el vector de cargas nodales. Se obtiene imponiendo las condiciones de
equilibrio de las fuerzas nodales y la compatibilidad en los desplazamientos de dichos
nodos.
Como hemos comentado anteriormente, para que exista equilibrio ha de cumplirse
que para cualquier δd distinto de cero, el incremento de la energıa potencial total ha
de ser nulo, δΠtotal(d) = 0. Esto quiere decir que
K d = f . (4.19)
La resolucion de dicho sistema de ecuaciones permite obtener los desplazamientos
nodales del problema elastico considerado.
Capıtulo 5
Tecnicas de Acoplamiento entre
Fluido y Estructura
5.1. Introduccion
El acoplamiento superficial entre diferentes dominios tiene un gran interes para la
resolucion numerica de problemas no convencionales, como por ejemplo aquellos en
los que hay un gran numero de grados de libertad y se hace necesaria su resolucion
de manera particionada y computacion en paralelo, tambien para problemas de con-
tacto [6], o de interaccion fluido estructura en problemas de acustica como es el caso
de este trabajo. La posibilidad de utilizar ademas diferentes metodos numericos para
los diferentes dominios, segun las caracterısticas y necesidades de este, abre la puerta
a la obtencion de resultados mas precisos y con tiempos de computacion menores.
Por ejemplo en los problemas de acustica lineal, en los que el dominio es normalmen-
te infinito, el MEC es mas indicado que el MEF y estas tecnicas de acoplamiento
permiten su interaccion con estructuras modeladas con elementos finitos.
En este capıtulo se presentan diferentes tecnicas de conexion entre fluido y es-
tructura, siendo el primero modelado con elementos de contorno y el segundo con
elementos finitos. Para mallas no conformes en la zona de interaccion las dos princi-
pales tecnicas de acoplamiento son el Metodo Mortar, propuesto por Bernardi et al.
[5], y el Metodo de los Multiplicadores de Lagrange Localizados (MLLs), propuesto
por Park and Felippa [15].
35
Capıtulo 5. Tecnicas de Acoplamiento entre Fluido y Estructura 36
5.2. Interaccion Fluido-Estructura
En el problema de acoplamiento, se puede expresar el potencial total del sistema
como la suma del potencial de todos los dominios que forman parte de el y de sus
interfases [6]. En el caso del acoplamiento de dos dominios, un fluido y una estructura,
se escribirıa:
Πtotal = Πs(us) + Πf(uf ) + Πc(us,uf , tc) (5.1)
donde Πs es el potencial total de la estructura, Πf el del fluido y Πc es el potencial
de la interfase de conexion Γc. Este potencial total, en general depende de los des-
plazamientos de ambos dominios u1 y u2 y de las fuerzas que surgen en su interfase.
La variacion total del potencial (δΠtotal) sera entonces:
δΠtotal(us,uf , tc) = δΠs(us) + δΠf(uf ) + δΠc(us,uf , tc), (5.2)
donde el primer sumando es la ecuacion (4.18) y el segundo y tercer termino no se
obtienen de manera inmediata. El teorema de los trabajos virtuales aplicado a un
fluido modelado con el MEC se puede expresar con una formulacion debil que tiene
en cuenta solo el contorno del dominio [4] [8] [9]
δΠf =
∫
Γf
(p− t) · δunfdΓ (5.3)
De manera discreta, esta energıa se puede escribir como:
δΠf = δdTf
∫
Γf
NTNdΓ(p− t) (5.4)
Donde N son las funciones de forma y los vectores p y u contienen los valores nodales
de la presion y el desplazamiento normal a la superficie respectivamente. Utilizando
las relaciones
M =
∫
Γf
NTNdΓ (5.5)
y
Capıtulo 5. Tecnicas de Acoplamiento entre Fluido y Estructura 37
p = iωH−1Gdf (5.6)
podemos escribir la expresion 5.4 de la forma:
δΠf = δdTf
[
Adf −Mt]
= 0 (5.7)
siendo A = iωMH−1G. Finalmente, de aquı deducimos el sistema de ecuaciones
proveniente del MEC que utilizaremos mas adelante para acoplar el fluido con la
estructura:
Adf = ff (5.8)
En cuanto al tercer sumando de la ecuacion (5.10), representa la transferencia de
energıa entre un medio y otro. De alguna manera ha de contener en su expresion que
las fuerzas y los desplazamientos a un lado y otro de la interfase sean iguales para
que exista compatibilidad y equilibrio entre ambos dominios. Este termino es el que
diferencia las diferentes tecnicas de acoplamiento que veremos a continuacion.
5.3. Interaccion fluido-estructura mediante el Meto-
do Mortar
El metodo Mortar es un conjunto de tecnicas basadas en la formulacion de los
multiplicadores de Lagrange que permiten realizar acoplamientos con mallas no con-
formes. En este metodo el campo de multiplicadores del marco se aproxima mediante
unas funciones de interpolacion (Nλ). Dependiendo de las caracterısticas del marco
y de estas funciones aproximantes estas tecnicas se pueden englobar en dos grupos.
Por un lado, las que definen el marco de conexion independiente de los dominios que
se acoplan, destacando los trabajos de Simo et al. [21] , Park et al. [16] o Rebel et al.
[19]. Y por otro lado las tecnicas que definen el marco solidario a uno de los dominios
a acoplar, donde destacan los trabajos de Wohlmuth et al. [22] y Bernardi et al. [5].
Capıtulo 5. Tecnicas de Acoplamiento entre Fluido y Estructura 38
d1
d2
λ
Marco
tc
us
uf
Ω2: Fluido
Ω1: Solido
Figura 5.1: Acoplamiento tipo Mortar
5.3.1. Formulacion variacional continua del problema de aco-
plamiento
En la interfase de acoplamiento, el trabajo que realizan las tracciones de la in-
terfase es:
Πc =
∫
Γc
tTc (ucs − uc
f) dΓ, (5.9)
siendo tc las tracciones en la interfase de acoplamiento Γc y ucs y uc
f los desplaza-
mientos de la estructura y de fluido en la interfase.
La variacion total del potencial (δΠtotal) queda como:
δΠtotal = δΠs(us) + δΠf (uf) + δΠc(us,uf , tc), (5.10)
Capıtulo 5. Tecnicas de Acoplamiento entre Fluido y Estructura 39
donde
δΠc =
∫
Γc
δtTc (us − uf ) + (δus − δuf)T tc dΓ, (5.11)
En esta expresion de la variacion del trabajo en la interfase el primer integrando
significa que ante cualquier pequena variacion de carga la variacion de los desplaza-
mientos de ambos dominios ha de ser tal que el incremento del potencial sea nulo.
Por otro lado tenemos el segundo integrando, que significa que el trabajo que se pro-
duce en un dominio debido a las tracciones en la interfase se transmite integramente
al otro.
5.3.2. Formulacion variacional discreta
Al discretizar la interfase o superficie de conexion (Γc), esta se divide Nfe super-
ficies elementales, de forma que la interfase Γc pasa a ser el marco de acoplamiento
Γec . Ha de cumplirse que
Γc =
NIe
⋃
e=1
Γec y
NIe
⋂
e=1
Γec = Ø. (5.12)
El campo de multiplicadores de Lagrange o de tracciones de acoplamiento ha de
aproximarse mediante unas funciones de forma en el marco de acoplamiento.
tc ≃ tc = Nλλ (5.13)
donde λ son los multiplicadores de Lagrange, que estan situados en los nodos del
marco de acoplamiento y Nλ es la matriz contenedora de las funciones forma que
aproxima las tracciones de acoplamiento en la interfase. El campo de desplazamientos
de los diferentes dominios en la superficie de acoplamiento (ucα) viene dado en su
forma discreta (ucα) por unas funciones de forma (Nα) y los valores nodales de los
desplazamientos (dcα) de la forma:
ucα ≃ uc
α = Nαdcα, α = (s, f) (5.14)
Aplicando esta aproximacion de los terminios que influyen en la variacion de
Capıtulo 5. Tecnicas de Acoplamiento entre Fluido y Estructura 40
la energıa potencial en la superficie de acoplamiento, podemos escribir la ecuacion
(5.11) como:
δΠc =
NIe
∑
e=1
∫
Γec
δtTc (ucs − uc
f ) + (δucs − δuc
f)T tc dΓ, (5.15)
Hasta aquı no hemos hecho referencia en ningun momento a como ha de ser la
discretizacion de la interfase. Las superficies en las que se divide la interfase (5.12)
vendran dadas en funcion de la situacion de los elementos del marco y los de los
dominios a acoplar. La manera en la que dividamos la interfase dependera funda-
mentalmente de como podamos resolver las integrales. Ası pues, en el caso de mallas
coincidentes, la discretizacion de la superficie de acoplamiento para su integracion
sera la misma que la del marco o la de cualquiera de los dominios. A partir de ahora
obviaremos esta discretizacion, ya que es simplemente un problema de programacion
mas que conceptual.
Por lo tanto, aplicando la segunda parte de (5.13) y (5.14), podemos escribir la
ecuacion anterior como :
δΠc =
∫
Γc
δλT[
NTλNsd
cs − NT
λNfdcf
]
dΓ+
+
∫
Γc
[
δdcTs NT
s Nλλ
]
dΓ−
∫
Γc
[
δdcTf NT
f Nλλ
]
dΓ = 0 (5.16)
Y simplificando (5.17) obtenemos:
δΠc = δλT(
CTs d
cs − CT
f dcf
)
+ δdcTs Csλ− δdcT
f Cfλ = 0 (5.17)
donde las matrices Cs y Cf son:
Cs =
∫
Γc
NTs Nλ dΓ (5.18)
Cf =
∫
Γc
NTf Nλ dΓ (5.19)
Las matrices Cs y Cf tienen la peculiaridad de que solo multiplican a los grados
Capıtulo 5. Tecnicas de Acoplamiento entre Fluido y Estructura 41
de libertad de cada dominio que se situan en la interfase. Para poder acoplarlas pos-
teriormente es necesario reordenar sus coeficientes de manera que puedan multiplicar
al vector que contiene todos los grados de libertad del dominio al que acoplan. Para
obtener el vector de los grados de libertad de la interfase podemos hacer:
dcα = Bdα (5.20)
donde B es una matriz booleana de seleccion. Entonces,
Cαdcα = Cαdα (5.21)
siendo Cα = CαB, que son las matrices de acoplamiento que utilizaremos a partir
de ahora.
5.3.3. Resolucion del problema conjunto de acoplamiento
fluido estructura
Supongamos ahora que acoplamos una estructura modelada con elementos fini-
tos (estructura) y un fluido con elementos de contorno (fluido), entonces, aplicando
las ecuaciones (5.7), (4.18) y (5.1) obtenemos que la variacion total de la energıa
potencial es:
δΠtotal = δdTs [K ds − fs] + δdT
f
[
Adf − ff]
+
+ δλT[
CTs ds −CT
f df
]
+ δdsCsλ− δdfCfλ = 0 (5.22)
y ordenando terminos
δΠtotal =δdTs (K ds +Csλ− fs) + (5.23)
+ δdTf
(
Adf −Cfλ− ff)
+
+ δλeT(
CTs ds −CT
f df
)
= 0
Capıtulo 5. Tecnicas de Acoplamiento entre Fluido y Estructura 42
Al ser nulo el sumatorio ante cualquier desplazamiento o traccion virtual arbitrario
que podamos introducir y obviando la solucion trivial, la ecuacion anterior se puede
reescribir como:
δdTs [K ds +Csλ− fs] = 0 (5.24)
δdTf
[
Adf −Cfλ− ff]
= 0
δλT[
CTs ds −CT
f df
]
= 0
donde cada uno de los sumandos anteriores se encuentra igualado a cero. Finalmente,
de forma matricial, obtenemos sistema de ecuaciones lineales que nos permite resolver
el problema de interaccion fluido estructura para una vibracion estacionaria:
K 0 Cs
0 A −Cf
(Cs)T −(Cf )
T 0
ds
df
λ
=
fs
ff
0
(5.25)
5.4. Metodo de los Mulplicadores de Lagrange Lo-
calizados (MLLs)
El metodo de los multiplicadores de Lagrange Localizados es un metodo de aco-
plamiento tipo Mortar propuesto por Park y Felippa [15]. En este metodo los multi-
plicadores se aproximan de forma puntual, es decir, que las funciones de forma que
se utilizan para las tracciones de la interfase son funciones Delta de Dirac. Ademas,
a diferencia con el Metodo Mortar, los multiplicadores se situan en la interfase de los
dominios a acoplar y no en el marco, donde encontramos unos desplazamientos que
hacen que se cumpla la transferencia de energıa de un medio a otro. En un principio
el MMLs se planteo para problemas de acoplamiento con mallas conformes [15] [16],
a raız de trabajos posteriores [16] [17] [19] se adapto tambien a mallas no conformes
y se aplico a problemas de contacto [6].
El trabajo producido en la interfase podemos escribirlo como la suma de los
trabajos realizados en la superficie de acoplamiento (Γc) por los dominios que se
acoplan [6]. De este modo:
Capıtulo 5. Tecnicas de Acoplamiento entre Fluido y Estructura 43
Πc = Πcs +Πc
f (5.26)
Πc =
∫
Γc
ts(ucs − uc)dΓ +
∫
Γc
tf(ucf − uc)dΓ (5.27)
donde tα son las tracciones de la superficie de acoplamiento del dominio α , ucα
son sus desplazamientos y uc es el campo de desplazamientos del marco (ver Figura
5.2).
5.4.1. Formulacion variacional contınua
Para que el sistema se encuentre en equilibrio estable este ha de responder de
manera que la variacion de la energıa potencial sea nula ante cualquier perturbacion
en las tracciones de la interfase o en los desplazamientos. Por lo tanto, desarrollando
la expresion 5.27:
δΠc =
∫
Γc
[δts(ucs − uc) + tsδu
cs − tsδuc] dΓ + (5.28)
+
∫
Γc
[
δtf(ucf − uc) + tfδu
cf − tfδuc
]
dΓ = 0 (5.29)
5.4.2. Formulacion variacional discreta
De manera general, tanto para mallas conformes como no conformes, podemos
hacer la discretizacion siguiente:
ucs = Nsd
cs, (5.30)
ucf = Nfd
cf , (5.31)
uc = Ncdc, (5.32)
Capıtulo 5. Tecnicas de Acoplamiento entre Fluido y Estructura 44
ts = Nλλs
Ω1 : Solido
Marco
Ω2 : Fluido
uc = Ncdc
tf = Nλλf
Figura 5.2: Evaluacion de la funcion de forma (Nc) en la proyeccion de la posiciondel multiplicador sobre el marco
ts = Nλλs, (5.33)
tf = Nλλf . (5.34)
Donde las matrices N contienen las funciones de forma relativas al campo que
aproximan y los vectores ds , df y dc contienen el valor de los desplazamientos en los
nodos de las mallas de la interfase. Los vectores λα (α = s, f) contienen los valores
de las tracciones en los nodos.
Aplicando esta discretizacion de las variables, podemos reescribir la ecuacion 5.28
como:
δΠc =
∫
Γc
[
δλTs N
Tλ(Nsd
cs −Ncdc) + λ
Ts N
TλNsδd
cs − λ
Ts N
TλNcδdc
]
dΓ+
+
∫
Γc
[
δλTf N
Tλ(Nfd
cf −Ncdc) + λ
Tf N
TλNfδd
cf − λ
Tf N
TλNcδdc
]
dΓ = 0 (5.35)
Como dijimos antes, en el metodo de los multiplicadores de Lagrange localizados,
las tracciones se aproximan puntualmente, por lo que las funciones de forma utiliza-
Capıtulo 5. Tecnicas de Acoplamiento entre Fluido y Estructura 45
3
λ4
Ω
Marco
L1(4, 3)
Figura 5.3: Evaluacion de la funcion de forma (Nc) en la proyeccion de la posiciondel multiplicador sobre el marco
das (Nλ) seran funciones Delta de Dirac. Resolviendo las integrales anteriores con
α = s, f :
∫
Γc
δλTαN
TλNαd
cαdΓ = δλT
αdcα (5.36)
∫
Γc
δλTαN
TλNcdc)dΓ = δλT
αNc(ξ)dc = δλTαLαdc (5.37)
∫
Γc
λTαN
TλNαδd
cαdΓ = δdcT
α λα (5.38)
∫
Γc
λTαN
TλNcδdc)dΓ = λ
TαNc(ξ)δdc = δdT
c LTαλα (5.39)
En las ecuaciones (5.37) y (5.39) aparece el termino Nc(ξ), este representa la eva-
luacion de la funcion de forma (Nc) en la proyeccion de la posicion del multiplicador
sobre el marco (ver figura 5.3).
De nuevo, podemos reescribir el trabajo realizado en la interfase de manera dis-
creta aplicando las ecuaciones (5.36),(5.37),(5.38),(5.39):
δΠc = δλTs d
cs − δλT
s Lsdc + δdcTs λs − δdT
c LTs λs +
+ δλTf d
cf − δλT
f Lfdc + δdcTf λf − δdT
c LTf λf = 0 (5.40)
Capıtulo 5. Tecnicas de Acoplamiento entre Fluido y Estructura 46
La ecuacion (5.40) significa que la estructura y el fluido estan acoplados de manera
que la energıa se transfiere ıntegramente entre ellos, ademas, esta escrita de manera
que permite ser incluida en un sistema de ecuaciones que contenga tambien aquellas
que representan los dominios a acoplar, esto permite resolver el problema de forma
monolıtica.
5.4.3. Resolucion del problema de interaccion fluido-estructura
La variacion total de la energıa en el sistema ha de ser nula para que exista
un equilibrio estable, por tanto, aplicando las ecuaciones (5.7), (4.18) y (5.40) po-
demos escribir la expresion que nos dara la solucion del problema. Realizando un
acoplamiento entre un dominio solido y uno fluido, la variacion total del potencial
es:
δΠtotal = δΠs + δΠf + δΠc = 0 (5.41)
δΠs = δds [Kds − fs] = 0 (5.42)
δΠf = δdf
[
Adf − ff]
= 0 (5.43)
δΠcs = δλT
s dcs − δλT
s Lsdc + δdcTs λs − δdT
c LTs λs = 0 (5.44)
δΠcf = δλT
f dcf − δλT
f Lfdc + δdcTf λf − δdT
c LTf λf = 0 (5.45)
y ademas, como esto ha de poder escribirse para cualquier variacion arbitraria (pero
compatible con las condiciones de contorno) de los desplazamientos de los dominios,
del marco y de las tracciones de la interfase, se pueden reescribir las ecuaciones
anteriores reagrupando sus terminos en funcion del operador al que multiplican:
Capıtulo 5. Tecnicas de Acoplamiento entre Fluido y Estructura 47
δds [Kds − fs +Bsλs] = 0 (5.46)
δdf
[
Adf − ffBfλf
]
= 0 (5.47)
δλTs
[
BTs ds − δλT
s Lsdc
]
= 0 (5.48)
δλTf
[
BTf df − δλT
f Lfdc
]
= 0 (5.49)
δdTc
[
LTs λs + LT
f λf
]
= 0 (5.50)
En estas ecuaciones, aparece un nuevo terminio, la matriz booleanaBα (α = s, f).
Dicha matriz sirve para seleccionar los grados de libertad del dominio α situados
en la interfase de entre todos los grados de libertad del domino (dα). Es decir,
dcα = Bαdα. Obviando la solucion trivial, este sistema de ecuaciones nos permite
obtener directamente la solucion del campo de desplazamientos de ambos dominios,
de los desplazamientos del marco y de las tracciones de la interfase. De manera
matricial:
K 0 Bs 0 0
0 A 0 Bf 0
BTs 0 0 0 −Ls
0 BTf 0 0 −Lf
0 0 LTs LT
f 0
ds
df
λs
λf
dc
=
fs
ff
0
0
0
(5.51)
5.4.4. Localizacion de los nodos del marco de acoplamiento:
Regla del momento nulo
Hasta ahora no se ha hecho ninguna especificacion en cuanto a la malla del marco,
sin embargo en el metodo de los MLLs los nodos del marco no pueden estar situados
de forma arbitraria, sino que su disposicion ha de cumplir los requerimientos de
Babuska-Brezi [7] [12] [25]. Para establecer la localizacion de los nodos del marco
de acoplamiento se sigue la Regla del momento nulo, estudiada por Park et al. [17].
Esta regla consiste en extraer los puntos del marco en los que la resultante de los
momentos producidos por los MLLs de la interfase son nulos, como se puede ver en
la Figura 5.4.
Capıtulo 5. Tecnicas de Acoplamiento entre Fluido y Estructura 48
Ω1: Solido
Marco
Ω2: Fluido
1/3 2/3 2/3 1/3
1 1/21/2
Ley de momentos
2L
Figura 5.4: Diagrama de momentos que producen los MLLs sobre el marco y la malladel marco que satisface la regla del momento nulo
Capıtulo 6
Ejemplos de validacion y
resultados
En este capıtulo se hara un analisis de la aplicabilidad y resultados de los metodos
de formulacion particionada expuestos en el capıtulo anterior a partir de algunos
ejemplos.
G. Sandberg et al. proponen en [20] una formulacion para problemas de inter-
accion fluido estructura empleando el metodo de los elementos finitos y utilizando
un acoplamiento fuerte entre los dos dominios, es decir, imponiendo la igualdad de
desplazamientos de ambos dominios en la superficie de acoplamiento. A continua-
cion presentan un ejemplo en el que resuelven de manera acoplada un fluido y una
estructura en dos dimensiones, tal y como se muestra en la figura (6.1). La cavidad
es de dimensiones 10× 4m y la malla de elementos finitos es de 20× 8 elementos.
Este problema servira de base para los estudios que se presentan en este capıtulo.
Para comprobar si los resultados obtenidos con los metodos de interaccion fluido-
estructura MEC-MEF explicados en el capıtulo anterior funcionan correctamente
se ha hecho un analisis de respuesta en frecuencia para determinar las frecuencias
naturales del sistema y ver si estas se corresponden con las obtenidas por Sandberg
et al. [20]. El modelo utilizado para la resolucion del problema es el que se muestra
en la figura (6.2) , donde el fluido esta modelado con elementos de contorno, la
estructura con elementos finitos y entre ambos existe un marco cuyas propiedades
dependen del tipo de acoplamiento (Mortar o MLLs). La discretizacion utilizada
49
Capıtulo 6. Ejemplos de validacion y resultados 50
10m
4m
Figura 6.1: Problema resuelto por G. Sandberg, P. Wernberg y P. Davidson muestranen [20]
10m
4m Dominio fluido (MEC)
V iga (MEF )
Marco de acoplamiento
Figura 6.2: Modelo utilizado para la resolucion del problema
mantiene las mismas medidas que el problema de referencia, es de decir, elementos
de 0,5m. La malla de elementos de contorno es de 2× 20 + 2 × 8 elementos y la de
elementos finitos es de 20. La malla del marco es coincidente con las dos anteriores
tal y como se muestra en la figura 6.2.
Capıtulo 6. Ejemplos de validacion y resultados 51
6.1. Problema de cavidad acustica con pared fle-
xible
6.1.1. Respuesta del sistema en frecuencia
A continuacion se presenta el resultado de realizar un analisis de respuesta en
frecuencia del problema de la figura (6.2) utilizando un acoplamiento tipo Mortar
entre fluido y estructura. Las frecuencias naturales esperadas del sistema son, de
manera aproximada, las obtenidas por Sandberg et al. en [20]. Para el analisis, la
carga que se le ha aplicado al sistema es una fuerza unitaria vertical situada en el
segundo nodo de la estructura empezando por la izquierda (ver Figura 6.3). Las
nueve primeras frecuencias naturales y sus modos de vibracion del sistema, segun el
analisis modal hecho por G. Sandberg et al. se pueden ver en la Figura 6.5.
El resultado del analisis (Figura 6.5) es que el acoplamiento debil, con las for-
mulaciones propuestas en este trabajo, funciona de manera satisfactoria, estimando
bien las frecuencias naturales del sistema. En cuanto al nivel de precision en la es-
timacion es necesario tener en cuenta que la discretizacion del fluido de Sandberg
et al. quizas no sea la mas correcta, ya que no realiza ningun estudio de convergencia
de la solucion. Sin embargo, a la vista de los resultados, podemos considerar ambas
formulaciones coinciden en sus resultados.
Dominio fluido (MEC)
V iga (MEF )
F, f
Figura 6.3: Carga aplicada al sistema, F = 1N , frecuencia f variable
Capıtulo 6. Ejemplos de validacion y resultados 52
6.5755 20.3112 43.8516
75.9558 94.6997 113.0973
130.9446 172.634 187.8503
Figura 6.4: Modos de vibracion del sistema fluido-estructura acoplado (Sandberget al. [20])
Capıtulo 6. Ejemplos de validacion y resultados 53
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5x 10
−8 Respuesta en frecuencia
frecuencia [Hz]
Des
plaz
amie
nto
vert
ical
del
seg
undo
nod
o [m
]
Respuesta en frecuencia (flecha nodo 2)Frecuencias Sandberg et al.
Figura 6.5: Discretizacion conforme y no conforme de los dominios acoplados.
Capıtulo 6. Ejemplos de validacion y resultados 54
Dominio fluido (MEC)
V iga (MEF )M, f
Figura 6.6: Carga aplicada al sistema, M = 1N , frecuencia f variable
6.1.2. Respuesta del sistema fluido-estructura ante una ex-
citacion forzada
En esta seccion veremos como se comporta el sistema ante una vibracion forzada.
El objetivo es ver como varıa la solucion en funcion del mallado de ambos dominios
para mostrar el comportamiento de los metodos de acoplamiento expuestos en el
Capıtulo 5. El ejemplo utilizado en esta seccion es el representado en la Figura
6.6. La carga aplicada al sistema es ahora un momento en el primer nodo de la
viga empezando por la izquierda de la imagen. En funcion de las mallas de ambos
dominios clasificaremos los casos analizados en:
1. Mallas coincidentes. Como su nombre indica son aquellas en la que los nodos
de la malla de ambos dominios coinciden en el espacio.
2. Mallas no conformes. Los nodos de ambas mallas no coinciden, sin embargo el
tamano de los elementos es parecido.
3. Mallas altamente no conformes. Los elementos de la malla del fluido tienen un
tamano varias veces inferior al de la estructura y por supuesto los nodos de las
mallas no coinciden, pudiendo haber algunos que si.
El metodo que se utilizara para resolver el problema en primera instancia es el
Mortar, dejando el de los Multiplicadores de Lagrange Localizados para el caso de
mallas altamente no coincidentes, donde este demuestra claramente mejores resulta-
dos. Los analisis que se presentan a continuacion estan realizados con una frecuencia
Capıtulo 6. Ejemplos de validacion y resultados 55
proxima a la del primer modo de vibracion del sistema, 5Hz. En cuanto a las discre-
tizacion del fluido en elementos de contorno se ha hecho de forma que tiene el mismo
numero de elementos en las paredes enfrentadas de la cavidad, teniendo las laterales
la mitad que la superior e inferior. Para el metodo Mortar, por simplicidad, se ha
discretizado el marco de forma coincidente con la estructura.
Capıtulo 6. Ejemplos de validacion y resultados 56
Campo de presiones [Pa]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
−0.2
−0.1
0
0.1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−5
0
5
x 10−8
Posición [m]
Des
plaz
amie
nto
vert
ical
[m]
Frecuencia: 5 Hz.
Estructura Fluido
Figura 6.7: Solucion del sistema. Mallas conformes (5Hz)
Analisis para mallas coincidentes
La malla utilizada se compone de 32 elementos para la estructura y el fluido en
la interfase. El resultado de aplicar la carga descrita en la Figura 6.6 a 5Hz es el
que vemos en la Figura 6.7, donde se muestra el campo de presiones producido en
el dominio fluido y los desplazamientos en la interfase. Se puede ver que la solucion
se corresponde bien con el primer modo de vibracion obtenido por Sandber et al.
(6.4). En cuanto a los desplazamientos en la interfase, se aprecia en la Figura 6.8
que las soluciones para fluido y estructura se pueden considerar coincidentes, la
mejor o peor aproximacion dependera solamente de la eleccion de las funciones de
forma que interpolan los campos de desplazamientos de ambos dominios. Ası pues,
si por ejemplo las funciones de interpolacion de los desplazamientos del fluido y de
la estructura en la interfase fuesen iguales, los desplazamientos habrıan de ser los
mismos tambien.
Capıtulo 6. Ejemplos de validacion y resultados 57
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8x 10
−8
Posición [m]
Des
plaz
amie
nto
vert
ical
[m]
Desplazamientos verticales. Frecuencia: 5 Hz.
EstructuraFluido
Figura 6.8: Detalle de los desplazamientos en la interfase. Mallas conformes (5Hz)
Capıtulo 6. Ejemplos de validacion y resultados 58
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Posición [m]
Pre
sión
[Pa]
Presiones en la interfase. Frecuencia: 5 Hz.
Multiplicadores del marcoPresiones del fluido
Figura 6.9: Valor de los multiplicadores y de las presiones del fluido en la interfase.
Mallas conformes (5Hz)
Capıtulo 6. Ejemplos de validacion y resultados 59
Analisis para mallas no conformes
En este caso se mantiene la discretizacion de la estructura y el marco (32 ele-
mentos), variando la del fluido, que pasa a tener 40 elementos en la interfase. En lo
que se refiere al campo de presiones no se aprecia ninguna variacion, como se ve en
la Figura 6.11, es solo en los desplazamientos del fluido en las zonas proximas a los
anclajes de la viga donde observamos ciertas irregularidades. Esto se debe a que las
variables que definen el trabajo transferido entre un medio y otro (desplazamientos
y tracciones) (5.17) estan coaccionados en los extremos de la viga, por tanto, son
las funciones de forma de estas variables, y no los valores nodales, quienes rigen el
trabajo transferido a traves del marco en esta zona inmediata a los extremos.
A pesar de poder existir esta pequena alteracion en zonas concretas el resultado
es muy bueno. Se puede considerar a la vista de los resultados que los valores mas
interesantes de los desplazamientos no difieren del calculo con mallas coincidentes.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8x 10
−8
Posición [m]
Des
plaz
amie
nto
vert
ical
[m]
Desplazamientos verticales. Frecuencia: 5 Hz.
EstructuraFluido
Figura 6.10: Detalle de los desplazamientos en la interfase. Mallas no conformes
(5Hz)
Capıtulo 6. Ejemplos de validacion y resultados 60
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Posición [m]
Pre
sión
[Pa]
Presiones en la interfase. Frecuencia: 5 Hz.
Multiplicadores del marcoPresiones del fluido
Figura 6.11: Valor de los multiplicadores y de las presiones del fluido en la interfase.
Mallas no conformes (5Hz)
Capıtulo 6. Ejemplos de validacion y resultados 61
Analisis para mallas altamente no conformes
Nuevamente mantenemos el mallado de la estructura y el marco, sin embargo
hacemos el tamano de los elementos del fluido en la interfase 4 veces menor que los
de la estructura, es decir, nos encontramos con 128 elementos a acoplar. Este mallado
tiene dos peculiaridades: primero la diferencia de tamano de elemento entre ambos
dominios y segundo que hay algunos nodos coincidentes.
En la Figura 6.14 se observan dos fenomenos. En los extremos de la viga se pro-
ducen unas alteraciones de la solucion que tienen el mismo origen que las explicadas
en el apartado anterior. Por otro lado se observan picos en los desplazamientos del
fluido en las zonas de maxima curvatura. Estos picos se deben a las condiciones de
contorno que impone el marco de acoplamiento sobre el fluido. Esto quiere decir que
el campo de tracciones en la superficie de acoplamiento viene dado por los multi-
plicadores y sus funciones de forma, y, por lo tanto, estas son las presiones que le
estamos imponiendo al fluido en esta zona. Es por esto que todas las graficas en la
que se representan los multiplicadores del marco y las presiones del fluido ambas
son coincidentes. En definitiva, le estamos dando al fluido en su parte superior una
distribucion de presiones lineal a trozos cada cuatro elementos, y por lo tanto, esta
ley de presiones carece de la informacion necesaria para poder darle la curvatura
correcta a los desplazamientos del fluido.
Esta es la gran ventaja del metodo de los Multiplicadores de Lagrange Localiza-
dos frente al Mortar. El marco en el metodo de los MLLs impone en ambos dominios
compatibilidad de desplazamientos con el. Esto hace que ahora los desplazamientos
del fluido sigan los del marco de manera exacta, es decir, ahora son los desplazamien-
tos los que siguen la distribucion lineal cada cuatro elementos, como en el Mortar lo
hacıan las presiones. Todo esto se puede ver en la Figura 6.16, donde se representa
de forma aumentada la zona en la que las presiones son maximas.
Capıtulo 6. Ejemplos de validacion y resultados 62
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8x 10
−8
Posición [m]
Des
plaz
amie
nto
vert
ical
[m]
Desplazamientos verticales. Frecuencia: 5 Hz.
EstructuraFluido
Figura 6.12: Detalle de los desplazamientos en la interfase. Mallas altamente no
conformes (5Hz)
Capıtulo 6. Ejemplos de validacion y resultados 63
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Posición [m]
Pre
sión
[Pa]
Presiones en la interfase. Frecuencia: 5 Hz.
Multiplicadores del marcoPresiones del fluido
Figura 6.13: Valor de los multiplicadores y de las presiones del fluido en la interfase.
Mallas altamente no conformes (5Hz)
Capıtulo 6. Ejemplos de validacion y resultados 64
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8x 10
−8
Posición [m]
Des
plaz
amie
nto
vert
ical
[m]
Desplazamientos verticales. Frecuencia: 5 Hz.
EstructuraFluido
Figura 6.14: Desplazamientos en la interfase. Calculo con Multiplicadores de La-
grange Localizados. Mallas altamente no conformes (5Hz)
Capıtulo 6. Ejemplos de validacion y resultados 65
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Posición [m]
Pre
sión
[Pa]
Presiones en la interfase. Frecuencia: 5 Hz.
Presiones del fluido en la interfase
Figura 6.15: Valor de las presiones del fluido en la interfase. Calculo con Multipli-
cadores de Lagrange Localizados. Mallas altamente no conformes (5Hz)
Capıtulo 6. Ejemplos de validacion y resultados 66
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.74.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5x 10
−8
Posición [m]
Des
plaz
amie
nto
vert
ical
[m]
Desplazamientos verticales. Frecuencia: 5 Hz.
EstructuraFluido−MortarFluido−MLLs
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.70.1275
0.128
0.1285
0.129
0.1295
0.13
0.1305
0.131
Posición [m]
Pre
sión
[Pa]
Presiones en la interfase. Frecuencia: 5 Hz.
Multiplicadores del marcoPresiones del fluido − MortarPresiones del fluido − MLLs
Figura 6.16: Comparativa entre resultados provenientes de utilizar el metodo Mor-
tar o el de los MLLs. Mallas altamente no conformes (5Hz)
Capıtulo 6. Ejemplos de validacion y resultados 67
6.2. Problema de la cavidad acustica con pared
flexible y fluido estratificado
El hecho de poder particionar los dominios y acoplarlos permite, por ejemplo,
estratificar el fluido de una forma muy sencilla. Lo unico que tenemos que hacer es
hacer tantos dominios como estratos, con sus propiedades correspondientes y despues
acoplarlos entre sı. El problema que se expone es la cavidad acustica anterior solo que
en su interior contiene cuatro estratos de fluido con diferentes propiedades. De abajo
a arriba son: ρ1 = 1200Kg/m3 y c1 = 1935m/s, ρ2 = 1000Kg/m3 y c2 = 1676m/s,
ρ3 = 800Kg/m3 y c3 = 1490m/s y por ultimo, ρ4 = 600Kg/m3 y c4 = 1368m/s. El
resultado obtenido de dicho analisis es el que se presenta en la Figura 6.17.
Comparando el resultado de la Figura 6.17 con el de la Figura 6.7, vemos que
con el fluido estratificado se producen fenomenos de refraccion y reflexion en las
superficies de acoplamiento.
Capıtulo 6. Ejemplos de validacion y resultados 68
−1
−0.5
0
0.5
1x 10
−7
Estructura Fluido
0 2 4 6 8 10
−0.2
−0.1
0
0.1
Figura 6.17: Solucion del problema de la cavidad acustica con tapadera flexible confluido estratificado. Mallas conformes (5Hz)
Capıtulo 7
Conclusiones
En el Capıtulo 5 se presentaron dos formulaciones de acoplamiento entre flui-
do y estructura que permiten resolver problemas de vibraciones armonicas. Dichas
formulaciones estan basadas en el metodo Mortar [5] y el de los Multiplicadores de
Lagrange Localizados [17]. Posteriormente se ha probado su funcionamiento con un
ejemplo de una cavidad acustica con pared flexible que fue resuelta mediante el meto-
do de los elementos finitos y con un acoplamiento fuerte entre dominios por Sandber
et al. [20]. Podemos concluir que ambas formulaciones funcionan correctamente y que
si en algun caso pueda haber ciertas distorsiones en la solucion del problema, estas
no son tan importantes como para desechar dicha solucion.
Podemos concluir que estos metodos aportan toda una serie de ventajas en el
calculo del problema acustico con interaccion fluido-estructura:
Eleccion del metodo numerico. Tanto el Mortar como los MLLs nos permıten
utilizar diferentes metodos numericos para el modelado de los diferentes domi-
nios, pudiendose elegir con libertad el mas adecuado. Un ejemplo claro serıa
elegir el MEC para el problema acustico externo donde el medio es infinito.
Esta eleccion es importante, ya que nos aportara precision en la solucion.
Libertad en la discretizacion del problema. No todos los dominios requieren la
misma malla para dar una solucion que podamos considerar adecuada, entre
otras cosas porque no tienen las mismas propiedades y porque quizas esten
modelados con metodos numericos diferentes. En este tipo de problemas por
69
Capıtulo 7. Conclusiones 70
ejemplo es importante tener en cuenta la longitud de onda dentro del medio a
la frecuencia a la que estudiemos el problema para poder mallar correctamente.
En definitiva esto nos permite optimizar el numero de grados de libertad total
del problema.
Particionar el sistema en tantos dominios como queramos. Tanto los MLLs
como el Mortar estan los suficientemente desarrollados como para acoplar do-
minios solidos sin problemas [6], lo que nos permite dividir toda la estructura
que forma parte del problema en tantos dominios solidos como queramos. Por
otro lado, podemos hacer lo mismo con el fluido utilizando las tecnicas desa-
rrolladas en el Capıtulo 5. Particionar el sistema permite resolver los diferentes
dominios en diferentes procesadores o incluso ordenadores, concediendo la po-
sibilidad de modelar problemas con un elevado numero de grados de libertad
y con dominios con necesidades diferentes.
Del Capıtulo 6 se deduce que el metodo de los MLLs demuestra un mejor funcio-
namiento que el Mortar (6.2 Analisis de mallas altamente no conformes). La eleccion
dependera de quien resuelva el problema, sabiendo que cuanto mayor sea la diferen-
cia entre el tamano de elemento del fluido y de la estructura, peor sera la solucion
con Mortar, mientras que el metodo de los MLLs seguira garantizando la compati-
bilidad de desplazamientos y y una mejor distribucion de presiones en la interfase.
La desventaja que tienen los MLLs es que necesitan del calculo de una malla en el
marco que cumpla la Condicion B-B [7] [12] [25]. Este requerimiento no siempre es
facil de conseguir y su estudio es un tema de actualidad [17].
Para la realizacion de trabajos futuros se plantean dos lıneas a seguir de forma
inmediata. En primer lugar el acoplamiento entre estructura y fluido cuando el pro-
blema acustico es exterior y el dominio infinito, y en segundo lugar la extension de
la formulacion a tres dimensiones. De esta forma las formulaciones aquı propues-
tas podrıan dar respuestas a numerosos problemas ya que sus aplicaciones son muy
diversas. Permitirıa, por ejemplo, conocer mejor la acustica dentro de un vehıculo
teniendo en cuenta el fluido que hay en su interior, la flexibilidad de la estructura
y el fluido que lo rodea [10]. Otra aplicacion importante serıa el estudio de silencia-
dores, donde todavıa los analisis acusticos con interaccion fluido estructura no estan
Capıtulo 7. Conclusiones 71
muy extendidos. Este tema tiene gran importancia y esta presente en investigaciones
recientes (Herrmann et al. [11]).
Para finalizar podemos destacar otra lınea de trabajo que serıa interesante desa-
rrollar, la implementacion de algoritmos de resolucion iterativa como GMRES o
BICGSTAB [8].
Bibliografıa
[1] M. Abramowitz y I.A. Stegun. Handbook of mathematical functions. Dover
Publications, New York, 1970.
[2] Bermudez y R. Rodrıguez. Finite element computation of the vibration mo-
des of a fluid-solid system. Computer Methods in Applied Mathematics and
Engineering, 119(3-4):355–370, 1994.
[3] David T. Blackstock. Fundamentals of Physical Acoustics. Wiley-Interscience,
1984.
[4] M. Bonnet. Encyclopedia of Computational Mechanics: Boundary integral equa-
tion methods for elastic and platic methods, tomo 2. John Wile and Sons, 2004.
[5] Y. Maday C. Bernardi y A. Patera. A new nonconforming approach to domain
decomposition: the mortar element method. En Non linear partial differential
equations and their applications, pags. 13–51. Pitman and Wiley, New York,
1994.
[6] Luis Rodrıguez de Tembleque Solano. Formulacion numerica de la interaccion
mecanica entre superficies de solidos 3D. Tesis Doctoral, Universidad de Sevilla,
Sevilla, 2009.
[7] N. El-Abbasi y K. Bathe. Stability and patch test porformance of contact
discretizations and a new solution algorithm. Computer and structures, 79:1473–
1486, 2001.
[8] J.A. Gonzalez y K.C. Park. BEM and FEM coupling in elatostatics using
localized lagrange multipliers. Int. J. Numer. Methods Eng., 69:2058–2074, 2007.
74
Bibliografıa 75
[9] J.A. Gonzalez, L. Rodrıguez-Tembleque, K.C. Park, y Ramon Abascal. The ns-
BETI method: an extension of the FETI method to non-symmetrical BEM-FEM
coupled problems. International Journal for Numerical Methods in Engineering,
DOI:10.1002/nme.4418, 2012.
[10] Z.E. He, G.R. Liu, Z.H. Zhong, G.Y. Zhang, y A.G. Cheng. A coupled AS-
FEM/BEMmethod for fluid-structure interaction problems. Engineering Analy-
sis with Boundary Elements, 35:140–147, 2011.
[11] J. Herrmann, M. Junge, y L. Gaul. Vibroacoustic response of flexible car com-
ponents.
[12] N. Kikuchi y J.T. Oden. Contact problems in esasticity: A study of variational
inequalities and finite elements methods. SIAM Studies in Applied Mathematics,
1998.
[13] M. Moser. Engineering Acoustics. An Introduction to Noise Control. Springter,
2004.
[14] R. Ohayon y C. Soize. Structural Acoustic and Vibration. Academic Press,
London, 1998.
[15] K.C. Park y C.A. Felippa. A variational framework for solution method deve-
lopments in structural mechanics. Journal of Applied Mechanics, 47:242–249,
1998.
[16] K.C. Park, C.A. Felippa, y U.A. Gumaste. A localized version of the method of
lagrange multipliers and its applications. Computational Mechanics, 24:476–490,
2000.
[17] K.C. Park, C.A. Felippa, y G. Rebel. A simple algorithm for localized construc-
tion of non-matching structural interfaces. International Journal for Numerical
Methods in Engineering, 53:2117–2142, 2002.
[18] Allan D. Pierce. An introduction to its physical priciples and applications.
Acoustical Society of America, 1989.
Bibliografıa 76
[19] G. Rebel, K.C. Park, y C.A. Felippa. A contact formulation based on localized
lagrange multipliers: formulation and application to two-dimensional problems.
International Journal for Numerical Methods in Engineering, 54:263–297, 2002.
[20] G. Sandberg, P. Wernberg, y P. Davidson. Fundamentals of fluid-structure
interaction. En G. Sandberg y R. Ohayon, eds., G. Sandberg and R. Ohayon
(Eds.) Computational Aspects of structural acoustics and vibratinon, pags. 23–
102. Springer Wien New York, New York, 2008.
[21] J.C. Simo, P. Wriggers, y R.L. Taylor. A perturbed lagrangian formulation for
the finite element solution of contact problems. Computer Methods in Applied
Mechanics and Engineering, 50:163–180, 1985.
[22] B.I. Wohlmuth. Discretization Methods and Iterative solvers based on domein
decomposition. Springer Verlag. Berlin, Heidleberg, New York, 2000.
[23] T.W. Wu. Boundary Element Acoustics. Fundamentals and Computer Codes.
WIT Press, 2000.
[24] O.C. Zienkiewicz. The Finite Element Method, Third Edition. McGraw Hill,
1980.
[25] O.C. Zienkiewicz, S. Qu, R.L. Taylor, y S. Nakazawa. Finite element modeling
of rolling contact. International Journal for Numerical Methods in Engineering,
23:1873–1883, 1986.