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7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
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FOLLETO DE ESTADISTICA PARA
INGENIERIAS
Primer Parcial
Christian Galarza Morales
INGENIERIA EN ESTADISTICA INFORMATICA
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RECOMENDACIONES
Personalmente como ayudante considero que esta materia debera ser dictada en dos por la
cantidad de temas que hay por estudiar ya que por el poco tiempo, estos solo se ven
superficialmente en clases pero al momento de disear un examen de Estadstica cada temapuede variar casi de infinitas formas. Por esto y ms, no estarn de ms los siguientes consejos:
Practica. La estadstica solo se aprende practicando. Seguir la materia semana a semana
evitar la acumulacin de materia tiempo a priori del examen.
Aprende a utilizar tu calculadora cientfica. Hasta la calculadora ms sencilla calcula media y
varianza de una muestra y de ponerlo en prctica te ahorrara valiosos minutos. Aprende a
hacerlo en tutoriales dewww.youtube.com.Son videos orientados al modelo de calculadora
CASIO que tengas. Los nombres de los videos para que los busques son:
o
Calculadoras CASIO: Estadstica descriptiva Io Calculadoras CASIO: Estadstica descriptiva II
o Calculadoras CASIO: Estadstica descriptiva III
No copies (sobre todo no copies de alguien que no haya estudiado).
Lee detenidamente cada pregunta y asegrate de que respondes lo que te preguntan (no te
precipites).
Lee todo el examen y comienza por las preguntas que domines ms y de entre ellas por las
que valgan ms puntos. Si te haces problema con alguna, djala para el final, no te
obsesiones en resolverla.
Escribe todos los pasos y clculos que realices, no olvides que el profesor no puede leer el
pensamiento y nicamente corregir lo que quede escrito en el papel. Adems, cuanto ms
explicado y claro (que se pueda leer) mejor.
Utiliza todas las herramientas estadsticas a tu alcance. Es vital saberse las medias y
varianzas (a veces hasta la funcin generadora de momentos) de las distribuciones ms
conocidas. La funcin Gamma tambin es vital para demostraciones y ejercicios.
Cuando obtengas un resultado piensa si es ilgico o imposible. Una varianza no puede ser
negativa, el coeficiente de correlacin debe estar entre -1 y 1. Por experiencia como
ayudante les digo que recuerden que no es examen de Clculo Integral (no se emocionen si
les sale la integral) emocinense si el resultado de la integral se encuentra entre 0 y 1
cuando sea una probabilidad. Para la mayora de profesores de Estadstica de la ESPOL esta
clase de horrores son un cero en el tema completo.
Descansa la noche antes del examen, cuanto ms despejad@ y relajad@ ests mejor.
S eres creyente, pon tu confianza en Dios y todo saldr bien, sino pdele a los astros que te
acompaen.
2 | P g i n a
http://www.youtube.com/http://www.youtube.com/http://www.youtube.com/http://www.youtube.com/watch?v=bjVV7m5L2Wchttp://www.youtube.com/watch?v=bjVV7m5L2Wchttp://www.youtube.com/watch?v=bjVV7m5L2Wchttp://www.youtube.com/watch?v=bjVV7m5L2Wchttp://www.youtube.com/watch?v=bjVV7m5L2Wchttp://www.youtube.com/watch?v=bjVV7m5L2Wchttp://www.youtube.com/watch?v=bjVV7m5L2Wchttp://www.youtube.com/watch?v=bjVV7m5L2Wchttp://www.youtube.com/watch?v=bjVV7m5L2Wchttp://www.youtube.com/ -
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DISTRIBUCIONES DISCRETAS
NOMBRE
DISTRIBUCION DE
PROBABILIDADES
SOPORTE MEDIA VARIANZA
FUNCION
GENERADORA DE
MOMENTOS
EJEMPLO
1 {1 ; 2 ; 3 ; ; } + 12 112 .. Cuando lanzamos un dado todos losresultados ocurren con igual probabilidad.~( = 6) (1 ) {0 ; 1 ; 2 ; ; } (1 ) [ + (1 )]
Si se realizan 20 lanzamientos. Cul es la
probabilidad de que haya salido 8 veces el
nmero 6 en el dado?~( = 20, = 1/6)( = 8)
1 1 (1 ) {; + 1 ; ; + } (1 ) [1 (1 )]Cul es la probabilidad de que en el
dcimo lanzamiento se obtenga por
TERCERA vez el nmero 6?~( = 3, = 1/6)( = 10)( =)
(1 ) {1 ; 2 ; 3 ; ; + } 1 (1 ) [1 (1 )]Cul es la probabilidad de que en el tercer
lanzamiento se obtenga por PRIMERA vez
el nmero 6?~( = 1/6)( = 3)
{0 ; 1 ; ; min{
,
} }
(
)(
)
( 1) ...
De 20 canicas 12 son blancas y las
restantes negras. Si se toman 8 de ellas
cual es la probabilidad de que 5 sean
blancas?
~( = 20, = 8, = 12)( = 5) ! {0 ; 1 ; 2 ; ; + } (1)
Una tienda es visitada en promedio por 25
clientes por hora. Determine la
probabilidad de que un da cualquiera la
visiten ms de 30 personas?~( = 25)( > 30)4 | P g i n a
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DISTRIBUCIONES CONTINUAS
NOMBRE FUNCION DE DENSIDAD MEDIA VARIANZA
FUNCION
GENERADORA DE
MOMENTOS
(, ) () = 1 , 0 , + 2 ( )
12
( )
(, ) () = 1() 1 /, 00, < 0 1(1 )()( =, ) () =
1 / , 00, < 0 11
()( =/, =) () =1
2 2 1 , 0
0, < 0 21
(1 2) (, ) () = 12 1 ,
(
,
)
() = (
+
)
()()
1(1
)
1, 0
1
0, + ( + )( + + 1) ..(, ) () = 1(/) , 00, < 0 1 + 1 1 + 2 1 + 1 ..
Las Funciones de Densidad de las distribuciones Normal y Ji-Cuadrada no se integran para hallar probabilidades. Se utilizan tablas.
5 | P g i n a
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ESTADISTICAS DESCRIPTIVAS DATOS AGRUPADOS)
Tabla de la Distribucin Normal adjunta al final del folleto
6 | P g i n a
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DEFINICIONES
Covarianza muestral
Es una medida de la dependencia recproca entre dos variables y se calcula como la mediadel producto de sus desviaciones con respecto a la media muestral.
Eventos excluyentes
Son dos o ms eventos definidos sobre el espacio muestral que no tienen elementos en
comn, es decir:
1 2 [(1, 2 ) (1 2 = )]Eventos independientes
Sean E1 y E2 eventos de un mismo espacio muestral, diremos que el evento E1 es independiente
del evento E2 si y solo si:
(
1
2) =
(
1)
(
2)
Probabilidad condicional
Dado un experimento estadstico, consideremos dos eventos uno 1 y otro , tales que elprimero ha ocurrido mientras que el segundo est por ocurrir. La probabilidad de que ocurradado que ha ocurrido 1se la denota y define como:
(2|1) = (1 2) / (1); 1 Funcin de Probabilidades
Es una funcin cuyo dominio es S y cuyo conjunto de llegada es el intervalo cerrado de
nmeros reales de cero a uno, tal que (P: S [0,1]) si y solamente si:
) () = 1 ;) 0 () 1, .) (1 2) = (1) + (2); 1 2 =.
7 | P g i n a
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Demuestre la falta de memoria de la Distribucin Exponencial.
A la distribucin exponencial se le atribuye no tener memoria o ser sin memoria ya que es
posible demostrar que:
( > + 1| >1) = ( >)Esto es la probabilidad que X tome valores mayores que (t + 1) dado que ya tom valoresmayores a 1es igual a la probabilidad que X tome valores mayores a t. La demostracin es lasiguiente:
( > + 1| >1) = ( > + 1 >1)( >1) =
(
>
+
1)
( >1)
=1 ( + 1)
1 (1) =
+
=
= =( >)
Si X~exp()entonces su Funcin de Densidad y su Distribucin Acumulada son:() = 0, < 01
,
0
() = 0, < 01
,
0
( >) = 1 ( ) = 1 () = 1 1 =8 | P g i n a
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Probar que: Si P es una Funcin de Probabilidades mientras que A y B son dos eventos en
el correspondiente espacio muestral
(,S
)entonces:
( ) =() + () ( )Para realizar esta demostracin la clave es expresar al conjunto como la unin de tresconjuntos (eventos) que no contengan elementos en comn, esto es en estadstica mutuamenteexcluyentes. Viendo la grfica notamos que:
= ( ) ( ) ( )donde
= ( ) ( ) = ( ) ( )
Prueba
Se define dos conjuntos disjuntos A y B dela forma:
Por axioma de probabilidad se tiene que:
De lo cual se despeja que:
Al expresar ( )como unin disjunta se tiene que:
Por axioma de probabilidad se tiene que:
Por lo tanto, sustituyendo: y en se concluye:
9 | P g i n a
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Pruebe que si E1, E2 y E3 son eventos tales que () > 0entonces es verdadque:
(
|
) =
(
|
) +
(
|
)
(
|
)
(1 |3)
Por lo tanto
(1 |3) =(1|3) + (|3) (1 |3)
10 | P g i n a
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De una poblacin de 500 se investigan 10 jefes de hogares y una de sus caractersticas
anotadas es el ingreso semanal. Los resultados en dlares son:
, , , , , , , , ,
Con estos datos: ordene la muestra, determine los 10 estadsticos de orden, la media
aritmtica, el percentil 95, el rango intercuartil y los valores aberrantes que pudieran
existir.
Definimos la variable aleatoria
X: Ingreso semanal en dlares del jefe de hogar.
Ordenamos la muestra
= {100, 145, 150, 154, 157, 160, 164, 165, 181, 231}Estadsticos de orden
Los estadsticos de orden son cada uno de los respectivos elementos de la muestra ordenada.
= {(1),(),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10)}Por lo tanto:
Estadstico de orden 1 = Primer elemento de la muestra ordenada = X (
1) = 100
Estadstico de orden 2 = Segundo elemento de la muestra ordenada = X() = 145Estadstico de orden 10 = Dcimo elemento de la muestra ordenada = X(10) = 231
Media aritmtica
No es nada ms que la suma de todos los elementos dividido para el tamao de la muestra. Esto
es:
= =1 = 1 + + + = 100 + 145 + + 23110 = 160.7Percentil 95
Para hallar un cuantil, es decir un percentil, un cuartil o un decil de la muestra, primero se debe
calcular la posicin del elemento en la muestra que representa a esta unidad. La posicin mes
hallada por la siguiente frmula:
= ( + 1)11 | P g i n a
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Donde p representa la probabilidad asociada al cuantil que se est buscando, esto es:
Si es el cuartil 1 p = 0,25 porque ( 1) = 0.25Si es el decil 4
p = 0,40 porque
(
4) = 0.40
Si es el percentil 14 p = 0,14 porque ( 14) = 0.14En este caso es el percentil 95 p = 0,95 porque P(X P95) = 0.95 por lo que la posicinm ser:
= (1 0 + 1)0.95 = (11)0.95
= 10.45
Por lo tanto el elemento de la muestra en la posicin 10.45 es decir (10,45) es equivalente alpercentil 95 de la muestra. Dado que m es un valor decimal y las posiciones son solo nmerosenteros se realiza una ponderacin a travs de la siguiente frmula:
(.) = () + (+1) ()donde e es la parte entera y d la parte decimal de la posicin. Para este caso la parte entera
es 10 y la decimal 0,45 por lo que e = 10 y d = 0,45. Entonces:
(10.45) = (10) + 0.45 (11) (10)(10.45) = 231 + 0.45 [? ? ? 231]Pero el elemento en la posicin 11 de la muestra no existe por lo que automticamente la
expresin (11) (10)es igual a cero lo que equivaldra a que el percentil 95 de la muestra seencuentra contenido en el ltimo elemento, esto es:
(10.45) = (10)
(
10.
45) = 231 =
95
Si al realizar el clculo de algn cuantil se obtiene un elemento que no exista en la muestra como
(
0)
(+1)automaticamente la expresin (1) (0) (+1) ()respectivamente es igual a cero.12 | P g i n a
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240220200180160140120100
Graficar con precisin la ojiva y el diagrama de cajas de los datos del problema anterior y
estime, basado en esta muestra, cuantos jefes de hogares, de los 500 de la poblacin
ganan ms de 175 dlares.
Diagrama de Caja
El diagrama de caja tiene longitud Q3 Q1y los bigotes tienen longitud 1.5 RI. Toda observacin
que salga de aquellos ser considerada un dato aberrante.
El clculo de los bigotes es:
={(), . } ={(), + . }1 = max{100 ,148.75 1.5(20.25)} 2 = min{231,169 + 1.5(20.25)}1 = max{100 , 118.375} 2 = min{231 , 199.375}1 = 118.375 2 = 199.375
Donde claramente se puede apreciar que existen dos valores aberrantes graficados con un
asterisco los cuales corresponden a(1) = 100 y(10) = 231 ya que ambos salen del dominiode los bigotes.
-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70
1.5RI 1.5RI
RI
14 | P g i n a
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Ojiva
El grfico de la ojiva indica cmo se va acumulando la probabilidad para los valores de x, es
decir
(
) para todo valor de x en la muestra. Este grfico debe ser realizado a pulso
teniendo en cuenta los cinco valores que predeterminadamente conocemos que son:
(1) = 0; ( 1) = 0.25; ( ) = 0.50; ( 3) = 0.75; () = 1Graficando los cinco puntos iniciales se tiene:
Aproximando una curva a pulso a travs de los puntos ya conocidos podremos tener una
estimacin de la Distribucin Acumulada de la poblacin. Interpolando tenemos:
15 | P g i n a
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Estimacin utilizando la ojiva
Si hemos graficado la ojiva con suficiente precisin esta nos permitir estimar la ( )paracualquier valor que x que deseemos. Deseamos estimar la cantidad de hogares donde el jefe de
hogar gane ms de $175 por lo que se lo puede calcular de la siguiente manera:
# de hogares donde ganen ms de $175 Total de hogares *( > 175)# de hogares donde ganen ms de $175 Total de hogares * [ ( )]
donde P(X 175)siendo estimada por la curva de la ojiva es aproximadamente 0.85. Por lotanto el nmero de hogares donde el jefe de hogar gana ms de $175 es:
# de hogares donde ganen ms de $175 Total de hogares * [1 P(X 175)]# de hogares donde ganen ms de $175
500 * [1
0.85]
# de hogares donde ganen ms de $175 500 * 0.15# de hogares donde ganen ms de $175 75
Cuando nos pidan estimar un valor o alguna probabilidad a travs de la ojiva no necesariamente como en
este ejercicio conoceremos los cuartiles, sino tal vez nos faciliten tres cuantiles cualquiera como por
ejemplo el
el
3 y el
95 los cuales constituyen tres puntos con los que de igual manera podremos
interpolar una curva a pulso y posteriormente utilizarla para estimar.
16 | P g i n a
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Se efecta un experimento que consiste en lanzar dos dados legales de manera sucesiva y
observar que par i , j ) ocurre; i , j = 1,2,3, , 6
Liste todos los posibles resultados del experimento, esto es, determine los elementos de
; y, determine adems la probabilidad que el evento resulte tal que i + j ) sea mayorque ocho. Determine tambin la probabilidad que tanto i como j sean impares dado que lasuma de ellos sea mayor que ocho. Calcule la probabilidad que i sea menor que cuatro si
se conoce que la suma es mayor que siete.
El experimento consiste en lanzar dos dados y observar el par de resultados obtenido el cual
llamaremos (,) definido como:(
,
) = (
1 ,
2)
Espacio muestral
El espacio muestral denotado por es el conjunto de todos los posibles resultados que puedearrojar un experimento, por lo tanto al lanzar dos dados tenemos:
:
(1,1) (1,2) (1,3)
(2,1) (2,2) (2,3)
(3,1) (3,2) (3,3)
(1,4) (1,5) (1,6)
(2,4) (2,5) (2,6)
(3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3)(5,1) (5,2) (5,3)
(6,1) (6,2) (6,3)
(4,4) (4,5) (4,6)(5,4) (5,5) (5,6)
(6,4) (6,5) (6,6)
Antes de hallar cualquier resultado que involucre probabilidades recordemos la definicin
axiomtica de probabilidades:
(
) =
()
(
)
=# de elementos en A
# total de elementos
Y dados dos eventos A y B que pertenecen a , definimos la probabilidad condicional:(|) = ( )()
P i + j > 8)
Si llamamos Aal evento i + j > 8, Acontendra todos los pares donde i + j > 8, Es decir:
A: (3,6) (4,5) (4,6) (5,4) (5,5)
(5,6) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)17 | P g i n a
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Entonces:
( + > 8) = ()() = # (,) + > 8# = 1036 P i < 4 | i + j > 7)
Por definicin de probabilidad condicional
( < 4| + > 7) = ( < 4 + > 7)( + > 7) trabajando con el numerador
( < 4 + > 7 ) = # < 4 + > 8() ( < 4 + > 7 ) = 3
36
pues son solo tres pares de los 36 donde se cumplen ambas condiciones. Los pares son
(2,8),(3,5) y (3,6). Reemplazando en la ecuacin inicial:
( < 4| + > 7) = ( < 4 + > 7)( + > 7) =3
361536
= 315
Esto significa que de los tres elementos que cumplen la condicin que i + j > 7, tres de ellos
cumple tambin que i toma valores menores que 4.
P i y j sean impares | i + j > 8)
Por definicin de probabilidad condicional
(| + > 8) = ( + > 8)( + > 8) trabajando con el numerador
( + > 8) = # (,) + > 8()
( + > 8) =1
36
18 | P g i n a
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esto debido que el nico par que cumple las dos condiciones es el (5,5). Reemplazando en la
ecuacin inicial tenemos:
(
|
+
> 8) =
(
+
> 8)
( + > 8)=
1361036
=1
10
Esto significa que de los diez elementos que cumplen la condicin que i + j > 8, tan solo uno de
ellos cumple la condicin que tanto i como j son impares, ese par es el (5,5).
19 | P g i n a
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Un experimento consiste en lanzar un dardo que solo pueda caer en algn punto de la
figura que se adjunta. Determine la probabilidad que al lanzar el dardo, ste caiga en el
rea rayada. Que caiga en el semicrculo superior de dimetro AB.
El clculo de probabilidades para un rea especfica es:
() = Caiga en el rea rayada
() = = + +4 =
2
+
2
+ 4 2
=1 1
2+
0.52
1 + 4 0.52
=
12
+8
1 +2
= 0.3472 Caiga en el semicrculo superior
() = =
2
+ 4 2
=0.5
2
1 + 4 0.52
= 8
1 + 2 = 0.1527 20 | P g i n a
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Se tiene un semicrculo de radio r. Se selecciona aleatoriamente un punto B que pertenece
a la base del semicrculo. Determine la probabilidad de que el segmento AB perpendicular
a la base y que incluye al punto B seleccionado, sea tal que su longitud sea mayor a un
tercio de la longitud del radio. Vase grfico).
Para empezar el rea sombreada en el grfico es solo un distractor o cascarita. El ejercicio jams se
orienta a hallar probabilidad alguna referente a esta rea. Se desea hallar:
> 13
Debemos hallar el valor de OB que hace que AB sea exactamente un tercio del valor del radio. (Ver
grfico)
Por Pitgoras:
= = (1 3 )
=
1 9
= 8 9 =8/9 Analicemos:
Si =8/9 = 13 Si 13 Si >8/9 < 13
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Por lo tanto:
> 13
= REGION QUE SATISFACE QUE > 13 REGION TOTAL
=8/9 =8/9
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Se tienen tres urnas, la urna 1 contiene tres canicas blancas y cinco negras; la
urna 2 contiene cuatro canicas blancas y dos negras; y la urna 3 contiene cinco
canicas negras y cuatro blancas. De la urna 1 se extrae al azar una canica y se la
pasa a la urna 2, luego de la urna 2 se sacan dos canicas y se las agrega a la urna
3, por ltimo de la urna 3 se extraen al azar dos canicas.
Las urnas contienen:
URNA 1 URNA 2 URNA 3
Cul es la probabilidad de que la urna 3 salgan dos canicas negras?
Se deben identificar todas las ramas donde finalmente en la urna tres hayan resultado dos
canicas negras. Una vez identificadas en cada rama se debe multiplicar sus respectivas
probabilidades y luego sumar los resultados de cada rama. (Ver rbol en prxima pgina)
(32) =58 31 1551
+ 58 61 1055
+ 58 11 15553
+ 38 11 1554
+
38 101 1055 5
+ 38 101 1555 6
(32) = 0.2519 Si de la urna 3 salieron dos canicas negras, cul es la probabilidad de que de la
urna 1 se haya pasado a la urna 2 una canica negra?
Si llamamos al evento
A:Que de la urna 1 se haya pasado a la urna 2 una canica negra
B:Que de la urna 3 urna se saquen dos bolas negras
(| ) = ( )()=
58
321
2155
1 + 58
621
1055
+ 58
1221
1555
3
58
3
21
2155
+
58
6
21
1055
+
58
1221
1555
+
38
1
21
2155
+
38
1021
1055
+
38
1021
1555
(
)
=0.1639
0.2519= 0.6508
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Tabule y grafique el Histograma de Probabilidades y la Distribucin Acumulada de una
Variable Aleatoria Binomial con parmetros n=3 y p=0.5
X~binomial(n = 3, p = 0.5)
( =) =3 (0.5)(0.5)3Evaluando:
( =) ( )0 3
0 (0.5)0(0.5)3 = 0.125 0.125
1 31
(0.5)1(0.5) = 0.375 0.52
3
2(0.5)
(0.5)
1= 0.375 0.875
3 33 (0.5)3(0.5)0 = 0.125 1
25 | P g i n a
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El sistema de abastecimiento de combustible para un avin que opera con tres turbinas,
est diseado de tal manera que sus componentes funcionan de manera independiente y
el avin una vez que despega, puede llegar al aeropuerto ms cercano si al menos una de
sus turbinas se encuentra abastecida de combustible. Determine la probabilidad que el
avin no colapse por falta de combustible en sus turbinas. Suponga que p es la
probabilidad de que cualquiera de las componentes
no
funcione.
Definimos la variable aleatoria
X: # de componentes que NO funcionan.
Cuya distribucin es:
~
(
= 3 ,
)
() = 1 ()Donde el avin solo colapsar si X: # de componentes que NO funcionan = 3
= 1 ( = 3)= 1
3
3
3(1
)0
= 1 3
26 | P g i n a
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7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
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Grafique la Distribucin Acumulada de una variable aleatoria Poisson que tiene
parmetro
=. Utilice dos decimales de precisin.
~( = 4)( =) = 44! ; :{0 ,, +} ( =) ( )0 0.02 0.02
1 0.07 0.09
2 0.15 0.24
3 0.20 0.43
4 0.20 0.63
5 0.16 0.79
6 0.10 0.89
7 0.06 0.95
8 0.03 0.98
9 0.01 0.99
10 0.01 1.00
Donde la distribucin acumulada y su grfica son:
() =
00.020.090.240.43
0.630.790.890.950.980.99
1
; < 0; 0 < 1; 1 < 2; 2 < 3; 3
< 4
; 4 < 5; 5 < 6; 6 < 7; 7 < 8; 8 < 9; 9 < 10; 10
27 | P g i n a
-
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Si X es una variable aleatoria cuyo Soporte es
: { /
-
7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
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Calculamos la distribucin acumulada
Debemos integrar implcitamente f(x) con respecto a x, esto es, que los lmites de integracin
debern ir desde el mnimo valor de cada intervalo a x. donde usualmente se cambia x por otra
variable por ejemplo t.
() = 0 ;
-
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Calculamos la varianza
=[]
[] = () [] = 3
8 0 =
3
840 =
3
85
50
=
12
5
Por lo tanto:
=[] = 125 32 = 125 94 = 320
Funcin generadora de momentos
La funcin generadora de momentos denotada por () puede ser hallada por el valoresperado de esto es:
() =[] = ()() =[] = 0
3
8 = 3
8
donde la integral en negrita debe desarrollarse dos veces por partes. Ntese que no se puede
utilizar la funcin Gamma pues los lmites no son iguales. Recordemos la expresin para
integrar por partes:
INTEGRACION POR PARTES
= []|
= = 2 = =1 30 | P g i n a
-
7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
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-
7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
32/56
=3
84 4 + 23 23
=3
2
3
2
+ 34
3 34
3
Recordar que: 0 = 1; 1 =; =; = 0La funcin generadora de momentos denotada por () cumple ciertas propiedades importantes como:()|=0 =[] =()|=0 =[]; que nos permite hallar la varianza pues: =[] ()()=0 =[] y de manera general hasta la ensima derivada.Es decir, an sin conocer la funcin de densidad de X podramos hallar la media, varianza y otrosestadsticos como el sesgo y la kurtosis con solo conocer la distribucin Generadora de Momentos.
32 | P g i n a
-
7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
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Determine el primer decil, la mediana, el tercer cuartil y el percentil noventa y cinco de la
variable aleatoria X, si X es exponencial con parmetro
=.
Si X~exp(5)entonces su funcin de densidad y su distribucin acumulada son:
() = 0, < 015 , 0 () =0, < 0
1 , 0
Primer Decil )Sabemos que ( 1) = 0.1, por lo tanto es lo mismo decir:(1) = 0.11 5 = 0.15 = 0.9ln 5 = ln(0.9)
15 = ln(0.9)1 =5 ln(0.9) Mediana )Sabemos que ( ) = 0.5, por lo tanto es lo mismo decir:
(
) = 0.5
1 5 = 0.55 = 0.5ln 5 = ln(0.5)
5= ln(0.5)
=5 ln(0.5)
33 | P g i n a
-
7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
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Tercer Cuartil )Sabemos que ( 3) = 0.75, por lo tanto es lo mismo decir:
(3) = 0.751 5 = 0.755 = 0.25ln 5 = ln(0.25) 3
5= ln(0.25)
3=
5 ln(0.25)
Percentil 95 )Sabemos que ( 95) = 0.95, por lo tanto es lo mismo decir:(95) = 0.951
5 = 0.95
5 = 0.05ln 5 = ln(0.05) 95
5= ln(0.05)
95 =5 ln(0.05)
CUANTILES DE UNA DISTRIBUCION EXPONENCIAL
Ntese que existe un patrn para hallar los cuantiles de una distribucin exponencial. Si X~exp()entonces el n-simo percentil puede ser calculado como:
= ln 1 100Recuerde que: 1 =10; =50; 3 =75
34 | P g i n a
-
7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
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A partir de la definicin de valor esperado, calcule la media
de una variable aleatoria(). [Debe integrar]
Recordemos que:
~
(
)
~
(
,
)
Para este caso ~ (4) ~ G(4 2 , 2) ~ G(2,2)Por lo tanto si X es Xi-Cuadrada con 4 grados de libertad es lo mismo decir que X tiene
distribucin gamma con = 2 y = 2.La funcin de densidad de X sera:
~ G(
,
)
() = 1() 1 /, 00, < 0
~ G(2,2)
(
) =
1
(2
)2
1
/
,
0
0, < 0
() = 1(1!)4 /, 00, < 0
() = /, 0, < 0
Antes de hallar la media presentaremos la funcin Gamma, la cual nos ahorrar minutosvaliosos en el momento de resolver nuestro examen si la ponemos en prctica.FUNCION GAMMA
(1) 1 +0 =() (2) 1 +0 =()
() = ( 1)!35 | P g i n a
-
7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
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Calculamos la media
=
[
] =
1
4
/
=
1
4
/
+
0
+
0
Donde para realizar la integral anterior debemos integrar por partes tantas veces como lo
indique el exponente de x, en este caso dos veces. Ahorraremos este clculo y utilizaremos la
funcin Gamma presentada anteriormente.
14
/+0 =1
4 /+0
donde si sumamos y restamos 1 al exponente de x tenemos
1
4 (+1)1 /+0 =
1
4 /+
Donde la integral en negrita tiene la forma de la funcin Gamma (2) por lo que directamente la
integral es igual a:
1
4
31
/
+
0=
1
4
(3)23 = 1
4(2!)23 = 16
4= 4
Resultado que era de predecirse pues la media de una distribucin Xi-Cuadrado son sus grados
de libertad, en este caso 4 o, de una distribucin Gamma = 2 2 = 4.
Generalmente para hallar probabilidades que hagan referencia a una distribucin Xi-Cuadrada utilizamos
tablas pues en esta distribucin al igual que en la Normal al querer realizar estos clculos debemos
recurrir a los mtodos numricos y no a los analticos; de esta manera fueron halladas aquellas
probabilidades en las tablas.
36 | P g i n a
-
7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
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Del ejercicio anterior halle la Funcin Generadora de Momentos por medio de su valor
esperado y determine si existe un mximo para la funcin de densidad de X y cul es su
valor.
La variable aleatoria X tiene distribucin:
~ (4) ~ G(2,2)Con funcin de densidad:
() =14 /, 00, < 0
La funcin generadora de momentos es hallada por medio del valor esperado de
. Esto es:
() =[] = ()
() =[] = ()= +
01
4
=1
4 +0
=1
4 +0
El objetivo es expresar el exponente de la de tal manera que tenga la forma /donde esuna constante para as utilizar la funcin Gamma y evitar la integracin por partes. Utilizando
lgebra de Baldor en el exponente tenemos:
2
= 12
= 2 12
= 1 22
= 1 22
1 = Reemplazando:
=1
4
+
0
1
37 | P g i n a
-
7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
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=1
4 1+0
Donde la expresin anterior tiene la forma de una funcin Gamma con
= 2 y
=
1
(Vase
el recuadro de la Funcin Gamma). Por tanto:
=1
4(2) 2
1 2=
1
4(1!) 4
(1 2)=
1
(1 2)
Si no nos hubiesen pedido utilizar necesariamente la funcin valor esperado hubisemos podido hallarla
por medio de la frmula de la Funcin Generadora de Momentos para una distribucin Gamma:() = 1(1 )
Mximo para la funcin de densidad de X
Para hallar un mnimo o un mximo para f(x) debemos igualar su primera derivada a cero y
despejar el valor de x.
() = 14 /=
14 /=
1
4 / + 1
4 /=
1
4/ + 1
4 1
2/
=1
4/ + 1
4 1
2/
=1
4/ 1
8 /
=/ 14 18 38 | P g i n a
-
7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
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Igualando la expresin anterior a cero tenemos:
/ 14
18
= 0donde el primer trmino no puede ser igual a cero pues = ln(0) lo cual es indeterminado.Por lo tanto:
1
4 1
8 = 0
1
8 = 1
4
= 2
Ahora para confirmar que = 2 efectivamente es un mximo para() debemos evaluar = 2en la segunda derivada y el resultado debe ser negativo. () = () () = / 14 18
= / 1
4 1
8 + / 1
4 1
8 = 1
2/ 1
4 1
8 + / 1
8
=1
16 / 1
4/
=/ 116
14
Evaluamos = 2
=/ 116 (2) 14=
1 18=0.0459
Por lo tanto = 2es un mximo para().Ver grfico adjunto.39 | P g i n a
-
7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
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Si X es la longitud en milmetros del dimetro de una pieza utilizada en un mecanismo y
se conoce que X
~N 5 , 2 ) entonces determine: P X > 5 ); P X > 6 ); P X < 7.8 ).
Determine tambin el valor de la desviacin estndar
para que X mantenga su misma
media pero el tercer cuartil sea 6. Grafique y use la tabla dada)
X: Longitud en milmetros del dimetro de una pieza utilizada en un mecanismo.
~(5,2)Si ~, = ~(, )
P X > 5 )
Estandarizamos
( > 5) = > 5 52 =( > 0)= 0.5
P X > 6 )
Estandarizamos
( > 6) = > 6 52 =( > 0.707)= 0.24
P X < 7.8 )
Estandarizamos
( < 7.8) = < 7.8 52 =( < 1.98)= 0.976
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
0
0,5
Grfica de distribucin
Normal. Media=0. Desv.Est.=1
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
0,707
0,240
0
Grfica de distribucin
Normal. Media=0. Desv.Est.=1
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
1,98
0,976
0
Grfica de distribucin
Normal. Media=0. Desv.Est.=1
40 | P g i n a
-
7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
41/56
Hallar el valor de tal que Q3
= 6
Sabemos que:
(
3) = 0.75
Estandarizamos
( 3) = 0.75 < 3 = 0.75 < 6 5
= 0.75
(
-
7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
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Se sabe que el tiempo de espera para descargar, en das, de los buques de una compaa
naviera tiene una distribucin Weibull con parmetros
= y
=. ; determine la
probabilidad que un buque cualquiera de esta compaa espere al menos dos das.
Recuerde que para una variable Weibull es cierto que:
() = , 0 , > 0Ntese en una Weibull que si = 1 coincide con una distribucin Exponencial con parmetro .Definimos la variable aleatoria
X: Tiempo de espera para descargar en das.
La Distribucin Acumulada de~(1,1.5 )sera:() = 0, 0
1 ., > 0 () =0, 0
1 , > 0P X
2 )
( 2) = 1 ( < 2)= 1 (2)= 1 1 43 =43 = 0.26359
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
2
0,264
0
Grfica de distribucin
Weibull. alpha=1. beta=1,5
42 | P g i n a
-
7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
43/56
Si ya estn descargados 12 buques, Cul es la probabilidad que cuando ms tres de ellos
hayan esperado ms de 2 das?
Definimos la nueva variable aleatoria Y como:
Y: # de buques que esperan ms de dos das
Por tanto Y tiene distribucin binomial con n = 12 y probabilidad de xito 0.2635 la cual fue
hallada en el literal anterior. Esto es:
~(12 , 0.2636) y cuya distribucin de probabilidades est dada por:( =) =12 (0.2636)(0.7364)1
P Y 3 )( 3) =( = 0) + ( = 1) + ( = 2) + ( = 3)=12
0 (0.2636)0(0.7364)1 + 12
1 (0.2636)1(0.7364)11
+ 122
(0.2636)(0.7364)10 + 123
(0.2636)3(0.7364)9= 0.606
En distribuciones discretas SI importa si se incluye o no un valor del soporte, es decir que ( 3)( < 3)ya que si observamos la grfica, al no incluir el tres estaramos excluyendo un barra (en esteejemplo la de mayor significancia) de un total de doce y obviamente el resultado no sera el correcto. En el
caso continuo no interesa ya que si excluimos el tres, este es solo un punto en un intervalo de los realesdonde existen infinitos puntos.
1211109876543210
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
Y
Probabilidad
0,606
Grfica de distribucin
Binomial. n=12. p=0,2636
43 | P g i n a
-
7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
44/56
Un oceangrafo ha modelado que para un da cualquiera, la altura en metros- de las olas
en un sector de la costa ecuatoriana, es una Variable Aleatoria Weibull con parmetros
=2.5 y =3. Bajo estas condiciones y conociendo que para esta Variable leatoria su
Distribucin Acumulada es:
() = (/)Determine, la altura promedio de las olas; y, la probabilidad que una ola alcance una
altura superior a dos metros.
Si X~Weibull( = 2.5, = 3)entonces su distribucin acumulada son:
(
) =
0, < 0
1 .5 , 0
Para hallar la media debemos primero hallar la funcin de densidad de X. Debemos recordar
que:
() = ()0
(
) =
(
)
Por lo tanto:
() = ()() = 1 .5
(
) =
.5
2.5
3
() =.5 3 12.5
3 () = 24
125.5
Hallamos la media:
=[] = () 44 | P g i n a
-
7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
45/56
=[] = () =
24
125
.5
+
0
= 24125
3.5 +0 Realizamos la sustitucin: =
2.53 ; = 3
2.53 Despejando: = 2.5 ; = 2.53
3
= 241253.5 +0 =
24
125 3.5 +0
Reemplazando = .53 = .53 := 24
125 3 2.533 +
0 =
2.533
24
125 +0
Reemplazando = 2.5 =
2.533
24
125
2.5
+
0
= 2.5 1/3 +0 = 2.5 431 +0 = 2.5 4
3
= 2.5 (0.8934)
= 2.2335 45 | P g i n a
-
7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
46/56
P X > 2 )( > 2) = 1 ( 2)= 1 (2)= 1 1 .5 =.5 =0.8 = 0.59929
46 | P g i n a
-
7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
47/56
Para el ejercicio anterior, si las olas con alturas superiores a tres metros provocan la
suspensin del uso de las playas situadas en la zona bajo observacin, cul es la
probabilidad que en un perodo de quince das, cuando ms dos veces se produzca una
suspensin del uso de la playa?. Qu en el quinto da de una sucesin observada, ocurra
por segunda vez olas superiores a tres metros?.
Primero hay que calcular la probabilidad de que se suspenda el uso de las playas, es decir que
las olas superen los tres metros de altura.
( > 3) = 1 ( 3)= 1 (3)= 1
1
3.
5
=
3.
5
=
1.
78= 0.1776
Cul es la probabilidad que en un perodo de quince das, cuando ms dos veces se
produzca una suspensin del uso de la playa?
= 15 Y: # de das que se suspende la playa (de los 15 observados)
Y~binomial(n = 15, p = 0.1776)
( =) =15 (0.1776)(0.8223)15P Y 2 )( 2) =( = 0) + ( = 1) + ( = 2)
=150
(0.1776)0(0.8223)15 + 151
(0.1776)1(0.8223)14+
15
2
(0.1776)
(0.8223)
13
= 0.4856 Qu en el quinto da de una sucesin observada, ocurra por segunda vez olas superiores
a tres metros?
Y: # del da en el que por segunda vez se suspende la playa
Y~binomial negativa(x = 5, r = 2, p = 0.1776)
( =) =5 12 1 (0.1776)(0.8223)5 = 0.0701 47 | P g i n a
-
7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
48/56
Determine la Matriz de Varianzas y Covarianzas
del vector aleatorio trivariado
=()si se sabe que:( =, =, =) =( + )con Soporte: = {(); (); (); (); (); (); ()}Calcule adems
()Primero notemos que 1 toma los valores de 1 y 2, toma solo el valor de 1 y 3 toma losvalores de 1, 2, 3 y 4; vale recalcar esto pues para hallar el valor de k debemos utilizar el
principio bsico que:
( =, =, =) = esto sera:
( =, =, =) ==11
=14
=1 Donde la expresin en la parte superior no es cierta pues contiene un error que comnmente se
da cuando se tienen soportes no uniformes. El error es que, la sumatoria incluye todas las
posibles combinaciones entre los valores que toma 1, y 3entre los cuales incluye la triada(1 1 4) la cual no se encuentra en el soporte, como resultado esto dar un valor de k incorrecto.
La manera correcta de hallar k ser simplemente evaluando en la funcin con la ayuda de una
tabla y al final igualar la expresin en trminos de k a uno, esto es:
( =, =, =)1 1 1 ((1)(1) + 1) =( 1 + 1 ) = 21 1 2
((1)(1) + 2) =
( 1 + 2 ) = 3
1 1 3 ((1)(1) + 3) =( 1 + 3 ) = 42 1 1 ((2)(1) + 1) =( 2 + 1 ) = 32 1 2 ((2)(1) + 2) =( 2 + 2 ) = 42 1 3 ((2)(1) + 3) =( 2 + 3 ) = 52 1 4 ((2)(1) + 4) =( 2 + 4 ) = 6 =
por lo tanto el valor de k es 1/27 y la distribucin conjunta ser:
( =, =, =) =
+
48 | P g i n a
-
7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
49/56
y las respectivas probabilidades para cada valor del soporte son:
( =, =, =)1 1 1 2/27
1 1 2 3/271 1 3 4/27
2 1 1 3/27
2 1 2 4/27
2 1 3 5/27
2 1 4 6/27
1
Distribuciones Marginales
Para hallar las distribuciones marginales dado que no podemos darle uso a las sumatorias
debemos utilizar la tabla de la distribucin conjunta para hallar las respectivas probabilidades.
Esto es:
Para la Distribucin Marginal de
(
1 =
) =
1
=(1 1) + (1 2) + (1 3)=
2
27+
3
27+
4
27
=9
27
(1 =) =1=
(
1 1) +
(
1 2) +
(
1 3) +
(
1 4)
= 327
+ 427
+ 527
+ 627
=18
27
donde la distribucin de probabilidades es:
( =)1 9/27
2 18/271
49 | P g i n a
-
7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
50/56
Para la Distribucin Marginal de( =) =1
=
(1
1) +
(1
2) +
(1
3) +
(2
1) +
(2
2) +
(2
3) +
(2
4)
=2
27+
3
27+
4
27+
3
27+
4
27+
5
27+
6
27
= 1
porque el nico valor que tomaes 1 .Para la Distribucin Marginal de(3 =) =3
=(1 1 ) + (2 1 )=
2
27+
3
27
=5
27
(
3=
) =
3
=(1 1 ) + (2 1 )=
3
27+
4
27
=7
27
(3 =) =3=(1 1 ) + (2 1 )=
4
27+
5
27
=9
27
(3 =) =3=
(2 1
)
=6
27
50 | P g i n a
-
7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
51/56
donde la distribucin de probabilidades es:
( =)1 5/272 7/27
3 9/274 6/27
1
Media y Varianza
Para hallar la media y la varianza de las tres variables debemos dar uso de los valores esperados
en sus respectivas frmulas, esto sera:
=
[
]
= Media de =[1]
= 1(1 =1) = 1(1 =1)
=1 en resumen la media se la calcula de tal manera que a cada valor que toma 1se lo multiplicapor su respectiva probabilidad y se va sumando para todos los elementos de1. Esto es:
= 1 927
+ 2 1827
=
9
27+
36
27
=45
27
Varianza de =[1] donde primero debemos calcular el valor de
[
1]
51 | P g i n a
-
7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas
52/56
[1] = 1(1 =1)
[1] = 1(1 =1)
=1 = 1 9
27 + 2 18
27
=9
27+ 4 18
27
=9
27+
72
27
=81
27
reemplazando en la frmula de la varianza:
=[1] =
81
27
45
27
=18
27
Media y varianza deDado quees constante ya que solamente toma el valor de 1, podemos rpidamente concluirque su media es uno y su varianza cero dadas las propiedades de la varianza y el valor esperado
pues:
[ = 1] = 1 ; ( = 1) = 0 Media de =[3]
= 1(3 =3)
52 | P g i n a
-
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53/56
= 3(3 =3)4=1 = 1
5
27+ 2
7
27+ 3
9
27+ 4
6
27
=5
27+
14
27+
27
27+
24
27
=70
27
Varianza de
=
[
3]
donde primero debemos calcular el valor de [3][3] = 3(3 =3) [3] = 3(3 =3)4
=1
= 1 527 + 2 727 + 3 927 + 4 627= 1 5
27 + 4 7
27 + 9 9
27 + 16 6
27
=5
27+
28
27+
81
27+
96
27
=210
27
reemplazando en la frmula de la varianza:
=[3] =
210
27 70
27
=770
729 53 | P g i n a
-
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Covarianzas
Se deben hallar las covarianzas entre todos los posibles pares de variables X1, X y X3. Losposibles pares seran:
(1, ), (1, 3), (, 3)Recuerde que (1, ) =(, 1) por lo que solo ser necesario hallar una de ellas.Ntese que toda covarianza que corresponda aser igual a cero dado que constituye unaconstante y no una variable ya que toma un nico valor, esto es:
(1, ) = (1, = 1) =(1, 1) = 0(, 3) =( = 1, 3) =(1, 3) = 0
pues la covarianza existe solo entre variables. Por tanto hallamos la covarianza entre las dos
nicas variables1y3.(1, 3) =[13]
donde primero debemos calcular el valor de [13][13] = 13(1 =1,3 =3)
donde (1 =1,3 =3)representa la distribucin conjunta entre 1y 3. La probabilidadde que 1 = 1 y 3=1 es decir (1 = 1,3 = 1) es calculado como la suma de todas lasprobabilidades tal que 1= 1 y 3 = 1. El nico par es P(11 1)=2/27.
( =, =)1 1 2/27
1 2 3/27
1 3 4/27
2 1 3/27
2 2 4/272 3 5/27
2 4 6/27
1
[13] = 13(1 =1,3 =3)
[13] = (1)(1)(2/27) + (1)(2)(3/27) + (1)(3)(4/27)
+ (2)(1)(3/27) + (2)(2)(4/27) + (2)(3)(5/27) + (2)(4)(6/27) = 120/27 54 | P g i n a
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(1, 3) =[13]
(
1,
3) =
120
27
45
27
70
27
(1, 3) = 1081 Matriz de Varianzas y Covarianzas
La matriz de varianzas y covarianzas es una matriz cuadrada, simtrica, positiva definida
denotada por la letra griega sigma mayscula , la cual contiene las varianzas y las covarianzasentre los pares de variables. La matriz tiene dimensiones p x p, donde p es el nmero de
variables.
= 1 1 1 = (1) (1, ) (, 1) ()
Por lo tanto
= 18/27 0 10/810 0 0 10/81 0 770/729
F 2 2 3)
(2 2 3) =(1 2, 2, 3 3)=(1 1 1) + (1 1 2) + (1 1 3) + (2 1 1) + (2 1 2) + (2 1 3)= 21/27
COVARIANZA ENTRE VARIABLES(, ) =[( )( )] = Propiedades:(Cumple las propiedades del producto interno)
) (, ) =(,) = = ) (, ) =(, )) (,) = (, ) = 0
)
(
,
) =
(
)
(
,
) =
(
)
)(, + ) =(, ) + (, )55 | P g i n a
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TABLA DE LA DISTRIBUCION NORMAL