Download - Flores 2010
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CENTRO DE INVESTIGACIÓN EN CIENCIA APLICADA Y TECNOLOGÍA AVANZADA
“SIGNIFICADOS ASOCIADOS A LA NOCIÓN DE
FRACCIÓN EN LA ESCUELA SECUNDARIA”
Tesis que para obtener el grado de Maestría en Ciencias en Matemática Educativa
Presenta: Rebeca Flores García
Director de Tesis: Dr. Gustavo Martínez Sierra
México, D. F., junio de 2010
SIP-14
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL SECRETARíA DE INVESTIGACiÓN Y POSGRADO
ACTA DE REVISIÓN DE TESIS
En la Ciudad de México siendo las 11 :00 horas del día 22 del mes de - - -
abril del 2010 se reunieron los miembros de la Comisión Revisora de Tesis designada
por el Colegio de Profesores de Estudios de Posgrado e Investigación de CICATA LEGARIA
para examinar la tesis de grado titulada :
"Si nificados asociados a la noción de fracción en la escuela secundaria"
Presentada por el (la) alumno(a):
Flores García Rebeca Apel lido paterno materno nombre(s)
Conregistro l s l o 17 11 aspirante de:
Maestría en Ciencias en Matemática Educativa
Después · de intercambiar opiniones los miembros de la Comisión manifestaron SU APROBACION DE LA TESIS, en virtud de que satisface los requisitos señalados por las disposiciones reglamentarias vigentes.
LA COMISION REVISORA
Director de tesis
Dr. Gustavo Mari inez Sierra
(J .
CICP .. ,'-''' Centroú' tll. " H'l~ - ""11:1' 1 eo \.: ~nclj Aplicada y Tecr,~I. ;:8 Aw,maoa del Instituto PI,;:llecnico Naclonat
------~-=~~~~~-------- ------~~~~~_t~~-------Dr. Gisela Montiel Espinosa
OFESORES
Dr. José Antonio Irán Diaz Góngora
I NSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
SECRETARíA DE INVESTICACIÓN Y POSCRADO
CARTA CEsÓN DE DERECHOS
En la Cludad de México el día l0 del mes junio del año 2010, la que suscribe
Rebeca Flores Carcía afumna del Programa de Maestría en Cienclas en Matemática
Educativa con número de registro 8071738, adscrito al Centro de lnvestlgación en
Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada, Unidad Legaria, manifiesta que es autora
lntelectual del presente trabaJo de Tesis bajo la dirección del Dr. Gu.stayo Mer!ínez
Sierra y cede los derechos del trabajo intitulado "Significados asoq
de frasc!ón en !a escuqla sec.undaria", al lnstituto Politécnico Nacional para su
difusión, con fines académicos y de investigación.
Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, gráficas o
datos del trabajo sin el permiso expreso del autor ylo director del trabajo. Este
puede ser obtenido escribiendo a la siguiente d¡rección rebefg@gmail_.cgm. Si el
permiso se otorga, el usuario deberá dar el agradecimiento correspondiente y citar
la fuente del mismo.
Agradecimientos
A Dios por permitirme arribar a senderos inalcanzables.
A mis padres por su apoyo en cada una de las actividades
en mi vida y desarrollo profesional.
A mis hermanos por su confianza y aliento.
Al colegio de profesores del Programa de Matemática Educativa
que condujeron mi formación académica.
Al Profr. Héctor Corte Trujillo por su orientación, fortaleza
y conocimientos.
A todos aquellos que con su apoyo hicieron posible la
culminación de este trabajo.
�������
i
����������� �� � � � � � � � �� � � ����������������������� ������������� ��� � � � � � � ��������� ��� � � � � � � � � � � �������� ���� � � � � � � � � � � ������� �������� � � � � � � � � � ��������� !"#�$%�& ���#� �'���#�(�& � #�#"'���#� �� � � � ���
���� ���� ������������ �������������� � � � � �������� ����������� ������������� � � � � � � �������� ��� ���������������������� � � � � � � ������ � !��� ���������������������� ��������� �� � � � � ��"�
#�������� ������������������� �� � � � � ���������������$�#�������� ������ �������������������� ��� � � � ��%�
�&������ � � � � � � � � � ���
����� !"#�)%��"��* !��#����"�*�+�����#��*�(�*!*�*����+����#*�
����� '����������������� � � � � � � � ���
������ ������� ���%$��(��%%��� � � � � � � ��������� ������� ���%%��(��))�� � � � � � � � �
����� '�������������*���� � � � � � � � ���
������ ������ ��� �+������� � � � � � � ��������� ������ ��� �,�����-�!����� � � � � � ��������� ������ ��� �.�� ������ � � � � � � �"����� � ������ ��� �/��0� � � � � � � � �"�
����� ��� ��1�#������� �+�� ���� � � � � � � �$�
��� � ���������� ����������� � � � � � � � �)�
�� ��� ������ ��� �/�������� � � � � � � �)��� ��� ������ ��� �2����� � � � � � � ����� ��� ������ ��� �#������ � � � � � � ���
�&������ � � � � � � � � � � ��
���� !"#�,%���-"�*�*����-� ��#��
���� &������� �������� � � � � � � � ��������� #�������������� ��������� ����� � � � � ��������� #�������������������������� � � � � � ���
�������� 3����� ������������������ � � � � ���
�������
ii
���� #������ ��4��� � � � � � � � � �$������� 5�������� ��� � � � � � � � �%������� 6��� ����� �� � � � � � � � ��������� 7������ �� � � � � � � � � �"��&������ � � � � � � � � � ��
����� !"#�.%���-"�*�*����-� ��#��
��� #������ ������ �������� ������ � � � � � �� ����� 5��������1�&������ ������������� � ��� � � � ��
������������ ������� � � � � � � %� ����� 5��������1�&������ � ����������� � � � � %�
������������ ������� � � � � � � �$� ����� 5��������1�8���������� ���������������� ������������� �%�
������������ �������� � � � � � � ��� ��� � 5������� 1�!���� ���������� � � � � � � �
������������ ������� � � � � � � "�� ����� 5��������1�!���� ���������9���� ������9��� � � "��
������������ ������� � � � � � � ""� ����� 5��������1�&���� �� ���������� � � � � "$�
������������ ������� � � � � � � $���
&������ � � � � � � � � � $���
���� !"#�/%��#��"!*�#��*��
���� &��4������������ � � � � � � � � %)����� 5��������*��������������������������������� � � � � %��
���+�������*�0�0"�#��-+���*�� � � � � � � %������1#*��
�� :���������������������������43���;��#�����<�%%%=� � �����������)��
�/� 6������������ ���� ����������������2����4��������
����#�����<�))�=� � � � � � � � �����������)"��
3� 7������ ������ �������� �������������� �������� ���5�������� ����� ���<�))�=� � � � � � ���������������
8� �9������ ��������� ��� ����������������������3�������>��3������>�3����� �>�+�����>��#����>�!���*��>�!�����>��!������-�6��?��<�))$=��������������� � � � � ��������� �������������
�������
iii
�� �9������ ��������� ��� ����������������������/��0�-�@��*��<�))$=�� ��������� � � � � � � ��������������
+� �9������ ��������� ��� ����������������������/��?�-�@����<�))$=������������������������������ � � �����������%��
@� �9������ ��������� ��� ����������������������3�������>��3������>�3����� �>�+�����>�#����>�!���*��>�!�������-�+��������������������� � � � � � � �������������
A� �9������ ��������� ��� ����������������������/��?�-�@����<�))$=������������������������������ � � ���������� ��
����������
iv
����������
��� ���� ��� ���� ������� ����� �� ��� ����������� ���� ����� ��������� � ���������������� �� ���� �������� ��� ���������� ��� ������ ��� ���������� �
��������� ���������� ��� ����� ��� ��� ������ ��� ��������� ���� ������������ ����
�������� ��� ��� ���������� �� ��� ������� �� ��� ��� ��� ��� ����������� ��� ������ �
���������������������������������� �����
����������� � � ������������ �� ��������� ���� ��� ����� ������� ���� �����������
������������������������� ���������������������������������������������!��� ��
��������� �� ���� ��������� ���� �������� ����������� ��������� ���� ������
����"���������������
�
��������� �� � ����� ���������� ������������������������������������������ ���������������������������� �����������#����������������������#�����������������
�!�����������������
��� ��� � � ���������� �� ������� �� ��� ����� ����� ����������� ��� ������ ��������� ��������������� ��� ��� ���� ���� � ��� ���� ��������� ��� ��� ���� ���� ����� ���
�������"������ ��� ��������� ���� �������� ���� ��������� ���� ������������ ��� ������ #� ����
������������������������
�
�������$���������������������������������������������������������������������� ��� ����� ��� ��%�� ���� ��� �������� ���� ���� ����� ��� ��� ��������������
��������������!��������������������&����'���������������#�������#�����������
����������������� �������������������������������
� � ��������������(�����������������������ba��� 0≠b �
!� ������������������������������������������������������������������������������!���������������������������������������������������������������
�
!� ���� ������)��������������������������������������������������*��+������������"����������������������������������������������#�����������������!���
��������������������������%��� ����������������������������������� ��
���������������!�������������������������������������
�
"�������������������������� ���������!������!�����������,���������������!�����#� ��%����� ���� (����� ��� ������� ��� �������� ��� �������� �� ���� ��������� ��� �� ���
�������������������������������������������-��
�
������������ ��������������������������������������.���������������������������������� ��������� �� �� ������� ���������� �� ���� �������� � ������� ������ ������ #�
���������������������������������������������������������/�����0���������������
������������������������������������������������������#������������
����������
v
���� � �� ��������.� (��������� ��� ����� ��������.� �������� ������ #� ���������������������������������
�
# �$��� ��������� ��������������(����������������������������������������������� ���������� ��������� ��������� ��� �����"��� #� ����"��� ����� ��� ���������
������������������������������������������������������#����������������������
������������������������������������
�
%����&����������������������� ����������������"������������������������������������������������ ��������������������#��������������%����������
vi
�������������� �������� ������� ��� � ��������� ���� ���������������� ����������� �������� ��������� ������������� �������������������������
����� �������
�������� ���������� �� xy 12= � ���
�������� ��������������� ������������� �� ���� � �!��������� "������#���������$���������� ������������ �� ���!��������� "������#���������$���������� ������ ����� �� �%�!��������� "������#���������$���������� ����������� �� �%�� �
� � �&�������� '����������������������� ����������� �� ��&�������� '������������������$��������� �����(�)*+�����,��� -� %�&�������� ���������� ����������� �� ���&�������� �������� ��������� �������������������(�.�����,�%��-� ���&������ � ����������� ���� ���(������������� ���&������/� 0� ����� �������������������������� �%�&�������� "�����������1��� ���&�������� +��������� ���������� ���&������%� 2��������� ���34"!3� ���&��������� )��� � � ������(������ ��������� ���&��������� '������������������� �������������������������� �����
�������$���������������
&��������� 5����������� � � ���������������6� �������������� ���&��������� '� ������ ��������� ���)7&7� ���&��������� '����������� ���������� �������������$����38+� ���&������� � 5���������������������$��������� ��9��������6��� ���������
�������� �
&�������/� 2���������� ����1����� �/�&��������� 5����������� � � ���������������6�:�� �� �/�&��������� 5�������� ����� ������� ���&�������%� 5��;������� ���� �� �����:������ ���&��������� �������6������ �������������������� �%�&��������� 2������������������ ���&��������� <�� �����������=������ ���&��������� "�� ������>������1� ���� ��������������� ���&��������� "��������� ������������� �� ������ ���&�������� ������
�'���������������������� ������� � �
�� ����/��
&��������� 5������������� ������� � �������������=����� �/�&��������� "������� ������ ��?�� �� ���
vii
&���������� "������������ ��"��@���� ���&��������� 5���������� ��)������ ���&������� � "������� ������ ���� ��� ���&�������/� 5�������1����� ��)����� ���&��������� "������������ ��"���9� ���&��������� 5���������� ��A����� �%�&�������%� 2�������������� ���@��:������� ������������ �%�&��������� "��������� ������11��� ��&���������������
�'������� ������� � ��
� ��
&��������� '����������� ��32 ���� ����11�� ��
&��������� '����������� ��41 � ���� ����11�� ��
&������� � �'����������� ��61 ����11�� ��
&��������/��� ��
'������������� �� ��� �������� ��� ��������� �� ��� �������=�����
� ���� ��
&������ �� 5�����������������������8������ �&������ �� 5����������� ��)���� �&������ �� "������� ������ ��"��@���� �&������ � "������������ ��)���� /�&������ /� "������������ ��)������ /�&������ �� 5�����������������������5������ /�&������ �� "������� ������ ��?�� �� ��&������ %� 5�����������������������+���� ��&������/�� "������� ������ ���� ��� ��&������/�� �&����������@��:��������
31 � ��
&������/�� )�:����� ����������� %�&������/�� '����������� ������� � �,5 � ��1-� %�&������/�� '����������� ���������� ������� � � /��&������/ � 5�����������������������+���� �� /��&������//� 5�������������� ���������������� ��+���� �� /��&������/�� "������� ������ ��"��9�� /��&������/�� 5�����������������������<������� /��&������/%� "������� ������ ��3:��� /��&��������� 5���������� ��?�� �� /��&��������� "������� ������ ���� ��� /��&��������� 5����������� ��B=���� /��&��������� 5�����������������������)���� /��&������������� �
�'������������� ��
310 �
�/��
&�������/� '����������� ����������� � �+�@���� ������ +Q � /��
&��������� )������������������� ����1���� /��
viii
&��������� '����������� �������������53 �� / �
&�������%� '����������� ��������������41 , ��
53 � ������� � -� / �
&��������� 5���������� ��&��� �� //�&��������� 5���������� ��0�1�� /��&��������� "������� ������ ��" ��� �� /��&��������� 5�������������� ���������������� ��" ��� ��� /��&��������� "������� ������ ��B=����� /��&������� � 5������������� �������� ������ ��B=���� /��&�������/� "������� ������ ��0�����+���� /��&��������� "������������ ���� ��� /��&��������� 5������������� ��.����� /%�&�������%� 5�������������� ��)������ /%�&�������%����%��
'������������� ���������� ������������� �����
&������%�� 5������������������� ������C�� � ���&�������%����% ��
�'������������� ���������������� ��C�� �
����
&������%/� 0�1���� ����������D���� �����D�� ���&������%�� '����������� ������� �� �����D������� ���&������%�� '����������� ������� �� �����D������� ���&������%%� '����������� ������� �� ������ ���D������ ���&���������� '����������� ������ � ��� ���������� � � ���� ���&���������� 5�����������������������A����+����� � �&���������� 5����������� ��2����� � �&���������� 5�������������� ��������� �/�&���������� 5������������������������������+������ �/�&�������� � 5�����������������������E����� ���&��������/� '������ �� ������:��� ���&���������� '������������������� �� xy 12= � ���
&���������� 5�����������������������5�1��;� ���&��������%� 5�����������������������+���� ���&���������� 5��������������F����������<������� ���&���������� 5���������� ���������� ���&���������� "������� ������ ��5������ ���&���������� 5�����������������������+�=����� ���&���������� 5���������� ��4��$� ���&�������� � "������� ������ ��+��D� ��� ���&��������/� 5�����������������������.����� ���&���������� "������� ������ ��A�������� ���&���������� 5����������� ��?�� �� ���&��������%� 5����������� ���5����� ���&���������� "������� ������ ��)�:� � ���
��������
1
��������
�
�
������������������ ������������ ����������� �������� ��� �� ������� ����
� � �� � �� ���� �� ������ ��� ��� ��� ���� ��� ���� ��� ��������� ��� ���
������������� ��� ��������� �� �� ���� �� �� ��� ���� ��� �������� ������ ������������
� � ����� ��� �������� � � � ����� ��� ������������ ���� � ������������ �� ���
��������� ������� ��� ��������������� �������������������������� ����������� ��
�� ���� ������� ��������������������������������������!�
�
"������� ���������� �������������������������������������� ��������� ������ ����
��� � ��� ����� �� �� � ������ ���� �� ������ ��� ����� �� ��#� � � � ��� ���� ������� ���
���� ������� ���������������������������$���� �������������������������������
������ � � � ���� � � �� %� �� ������� &� ��� � ������ ��� ���� ��������� ��� ��� � ��
��������������������� ���� ������!�
�
'��� ��������� ���� ��� ������ (�
�
�! )������������ ���������������������� ������ ������*+�&�*,���������� ���� ���� ������� ������������������#�� � �� ��� ������� ���������� ����
���� ������� ����������� �!�
�
�! -� � ��� �� ������ ��� ����� � ������� �� � � � ���� � ����� ��� ��� ���� ��������� ��� ���� � ��� ��� �� �� **� ��� � �� ��������� �� ��������� �� �� � ��
����� ���������������!�"���������������� ����� ������� ������ ������������
������������� ����������������� ���������������!�
�
�! "������� ����� ������� ����������������� ����������(��
. ������������ ����� �������� �� ��� /����� �����0� �� ������ ��� ��� ����� ���
���������� ������������ �����!�
�
. )�������������� �� ���� � ����������������������&������������
����� ���� ����� �������� ��� ����������!�
�
. ����������������������������� �� �������� ���� ��� ����� � �
��������� !�
�
. )������������������ �� ����������� ��� ������������� ���� ��
������ �������������� �����!�
�
. )���������������������������������������������� ���������������
� ����������� ��!�
�
�
����������
2
���������
�
�
������������������������������� �������������������������� �������� ���������������
� ������������������������������������� ���������������������������������������
������������������������������ ����������������������������������������������������
������� �������������������������������� ����������������������������������������
�����������������������������������
�
���� ����� ���� ��������� �� ������� ��� ���������� ������� ��� ���� ������ ��� �� ���� ���
��������������� ��� ���������������������������������������������������������
���������������� ����������������������������������������� ����������������������
���������������������������� ��������������������������������������������
�
������� �������!�
�
�� ���� �������� ��������� ������� ��� ����� �������� "#� ���� "$� ������������������� ����� ���� ������� ��� �������� ��� ��� ��� ���������� � ����� �����
������������������������������
�
�� %���������������� ��� � ������������������������ ����������""������������������������������������������ &�� ������������������������� � ��������
��� ������� �����
�
� &���������� ��������������� ������������������'��
( )���� ����� ��� ��������� ��� �� *���� ����*� ���� � ����� �� � � ��� ����
�� ������
�
( ������������������������ ������+ ������������������������ ����,������
�������������� �������������������� �������
�
( )���� ����� ��� �������� ���� � ���� ������� ��� ��� ���������� ��� ��������
����������
�
( ���� � �������� ��� ������ ��� ���� ����� ������ � ����� ��� ������� ���
����������������������� ��
�
( -������������������������������������������������������������������
����������
�
�
�
�
�
�������������
3
������������
��� ������������� ������������� ������������������������� �� ����������������������
��� ����� ������ ��������� ��� ��������� �������� ��������� ���������� ���� �������
����������� ������� ���� �� ��������� ���� ������ ������ � ��� ���������� � ��� ������� ���
��������� ��� ������������� ����������������� ����!"##$%��� ����&�� �� �������������'�
���� ������� �� �� ��� ����� �� ����� �� �� �����������(�)���������� ��������� ����������
��������������������������� �����������������������(��
*��� ������������� ���+�������������������������� ��������� �� ������ � ������������
��� ������������(�,������������ ����+�����������������������������������������������
������ ��������� ���� ��������������� ���� ������� -������ �� .�� ������ !"##/%��
���������� �� ���� ����������� ���� ���� �� ���� ������� ��� �� ���� ��������� +���
����������� �������� ��� ������ ����� ��� ����0����� ���� ����� ��� ����� �������
��� ����������� ��� ���� �������� ������� �� � �������(� 1�� �0�� !"##$%�� ����&��
��������� +��� ��� ������� �� ��������� �� ��� ��������� � � ��������� ������ ���� �� ����
������� ��� �� ���� �� ��� �� �� ��� ������� �� ��� �������������� ��� ���������
� �������� ��� ��+������+������������������� ����������� �� �������� ����������
���������������� ���� ������� �(���
2���� ���� ������������������������������������ ���������������'�� �����������������������������������������������������������������������������������������
��������������� �� �� �������������������(�3������������� ������������������������� ��
��� �������������������������������������������������������������������������������������
��� ���� �� ������� �� ���� ���������������� ��������� ��� ���� ��� ������� �� ���� ��4� ���
����� �������������������������������+������������������������������ ���������������
�������� �� ���� ��� ���� ��� ���� ������� �� ������ �������� ��� ���� ��� 5�������6�� ��
� ��������-7����������&����4������������������������������������������������������� ��
��������������������������������� ������� ������� ����������������������������������
���������������+����������� ����������������� ����������� � ���������������(��
��� ��������+���������������������� �����������6��������������� ��� �� �������������
�����'��
��������� ���6����� �������� ���� ����������� ��������������� ���� ������� ���������� �� ���
��������������� ������ ���� ��� ������������� ��� ��������� ���� ����������� ��� �����
�������� �� ��� ��� ����6�4� ������� ���� ���� ��� ������ +��� ��� ���� �� ��� ������� ��
��������� ������������������ �������(���
��� ��� ����� �� ���6����� ��� ��������� ��� ���� �� ������� �� ���� ����������������
��������� ��� ��� ������ �� ��� ������� �� ��������(�8����� ���� ��� ��1�� �0��!"##$%� ��
3���� !9:::�� "##9%� ���� ���������� ��� ��� ������������� �� ����� ��������������� ����
��� ������������������������� �� ������������������� ������������������ �����������������
���������� ��� ���� ��� ������� ����� +��� �������� ���� ��� � ���� �������� ������ �� �� ���
������������� �������������� ������������������������������;������ �� ����� &�� ��
������/#����������+���������� �������������������� ��� ������������ ����������(���
�������������
4
��� ������� ���6����� �������� ��� ��������� ������� �� ����������������� ������ ��� ������
������� �� �����4� ����� ��������� ��� �������� ����� ���� �� ��� ��������� �� ��������
����������������������������� ����������������������������������������������
��������!2����0� ���<���������������"#9#%(� �����&�� �������������� ��������� �����������
�������� ���� ��������� ��� +��� ������ ����������� ��������� ���� ������� ���� ��� ����� ��
������ � �����������������6������������ ��������������������������� ��������� ��� ��
��������������+��������� ��� ���� ����������� ��(��
����������������6�������� ��������� ������������� ��������� ��� ���������������� �����
�����������+���������������������������������������������� �������� ������� ���������
����� ����� ������� �� ���&������������� � ���������������������99���9$��0��(��������
�������������������� ����������������������������������������� ��� ������������� ��
������������ ��������������������� ������ ���� ��� ����������� ���������������(���
1������������������6��������������������������������������������������������� ����+���
��� ������� ���������� ���������������������������� �������������6�����+���������������
��������������������������������(�
�
�
����������� ����� ����� �����������
5
���������� � ����� ����� ����������������������������������������� !������������������� ��������������� �������������������������� ���������� ���
�� ����� �������������� �������� ������� ������������������������� �������
��� ���� ������� �� �� ���� ��� �� ���� ������� �������� �� � ������� �������� ��
�� �� ������!""#$%�&��� ��� ��������������������� � � ����������������������������
�����'�� ��� ��������������� ����������������������� ������������������ ���
����� ��� �������� ������� ���� �� ���� �%����� ��������(�� �� �!"")$�� ������� ��� ��
� ��� ��������� �� ��� �������� ��� ��� ��� �� ���� ��� ����� �� ������ ��� ����
������������� ��*� ���������� ���������������� ������� ������ ����������'����
�� ��� ������� ������� ������ ����� ��������� ��� ��������� ��� ������ � � �� ������ ���
����������������������������������������������������*������'�� �����������
����� ���������������� ���� ���������������������%�
�
+���������� � ��������� ��� �������,�������� �������������������� � ������������,�
��� ��� �� �� ����������� �� ���� �� ���� ���������� �� ���������� ������ ��� ����
����� ���������� ���� ����������������������������������������%�&�����������
���������� �� ����� ����������������������� �������-'.�����������������������������
������������������ �/�
�
�0$� ������������������� ��������������� ��� �������������� ���������������
����������������� ����1�������������������������������������� ������ ����
������ � ����������������������������������������������������������������������
�����������������2+���!""3���%))$%�
�
���������������������������� ������ ������� �������������������� ���� �������
������ �� ��!""3������ ����������� �� ����� ��������������������������� �� ��������
���� ������������ �� � ���� ������� �������������������� ����� ���������
��� ���� ������ ������������������������������� ��%�
�
�"��#�!$��% ��� �&��' (�� )��
+����� ��� ��������������������� �����������1�� ��� ��������������� ������ ����������
�� ������� *����� ����� ��� ������ ���� �� �� ��� ���� ����� ���� ��� �� ��� ���
������ ������������������������ ��� �������.���������������������������������2+���
)445���%�6)$%�
�
+���������� �������������� �������������� ���������������������������� ������
�� ���� ���� ��� �� ��� �� �� ��� ������ �� ��� ����������� �� + ������� - ���������
��� �� ������ �� ���� ����� ��� ��� ������� �������� �� ��� ���� *� ����� ���� ����$�
������������ ������������ �� ������� �������� ������������������� ��� ������ � ��
�7� ����� !""8$%� &�� ��������� � ����� ��� � ������ �� ������� �� ���� �������� 1������
��� �� ���������� ����� ��� ������ � �9��������� �����/�
����������� ����� ����� �����������
6
- :� ��������������������������*� ����� ���� ������
- (����������������������������������*� ����������������
- ;������������ ������ ���������� �����
- <����������� ������=�����>��
- -����������������������
- 2����������������������
- <�������������������� ������
- ������ �������������������� � ���������������� ����
- -�������� ��� ���������� �� ������ ��������������� � ����%�
�
���� ��� ���� ��� ���������� �� ��� ������ � � ��� ����������� ��� �� �/� 2������� ���
������ ��� �� ��� ����� �� �������� �� ��� �������� ���� ������ �� ��� ���� ��� ���� ��
����� ��� ��� �������� ������/������� � �� �� ���������� �� �� ���� �� �� �� � ����� ���
������������������������������������������&�1������� �� ������������ ��������������� ������ ��� ����� ������������ �� � �����)�
��� ����� �� ��������������/�
?@������ ��� ���� �������� ��� ������ ��� �� ��� ����� �� �������� �������� �� ���
��������� ���������������A�
�
?@��������������������� ��������� ������������� ����������� ������� �����������
��� ����A�
�*��� ��+��!% �'�% ,' �!���!���
&��������������� ��������� ��������������������������� �����/�
�0$� ������������� �������������� ������������%�B������� ���������� ���
�� ��� ����������� ������� �� ���� ���� ��� �� �� ��� ����� � � � �.���������
�������������������� ��������� ����� ������������������������������� ��
����� �� ��� ���� ��� ��� ���� � �� �� ��� ��������� � ������ C� � ������� ��������
���������������1���������� �������� ���� ����� ��������%��- �������������������
!""8��%�!6$�
�
& ������@����� ���!""3$��������������� ����������� �������� ������������ ������
�������� � �������� �������/� ���� �� �� �� ���� ������� �� �.�� �� ���� ���� ��� ������ ���
�������9���������������������� ���.������������������������� ������������%�@�� ����
�� 7������� �!""#$� �� ��� ����� �������� ���� ��� �������� � �������� �������� ��� ���
� ���������� ��������� ����� ������������������������� � ��������������� ��
���� ������� ��� ����� �� � ������ �� ��� ���� ��� ��� ���������� ������� ��� ���� ���������
���� �� �� ��� ��'�� ��� �� �� ��� ��'� ,� ���� ��� ����������� ������� ���� ������������
����� � ��%�+�� ��������� ����������������������������������� ���� �����������������
)�&�� �� ������������ �� � ������������������.��� � ��������������������� �� �����/����
���������������������������� �%�
����������� ����� ����� �����������
7
�����'�� �������.����������� ���������������� �������������������������������������
�� ���� �������� ��������%� +� ��� �������� ��� �������� ���� ���� ��� ����� �� ��������
� ���������������/�������������������������� �� �9������������������'� ���������� ��
�������������������������������� �����������2�����!""6���%)$%�+��������� ���� ������ �� �������� �� ������������� ������������� �� ����� ��������
� �������� �������� ����� �� �� ���� ���� ���� �� ��������� ��� �� ���������%�
+������ ��� ��� � ���� ��� ������� ������� �� ���� ��� ������ ���� �� ����������
���� ����������������������� �������������� ��%�2������������� ��� �������� �� ����
���� �� ������.������������������������������������ ��� �%+��� ����������� ��� ������ �� �������� ��� ��������� �� ���� ���������� �� ��� ��������
� ���������������� ������������ ����������'�� ��������������� ���������������
������� ����������������������� ����������������������������������������������������
� ���������� ������� ��� ������������ ���.�� ������������������������� � ��������
������� �� ����� ��� ��-'.���%�7���� �������������������������� ��������� �������
������ ����� ����� ����������� ���������������� � � �������������� ��������������
������� ��������������� ���������� � ����������� ������������%�&����� ��������������������� � ����� ����������� �������������� ������������ ���
������� �� ������ �� ��� - �������� + ������� ��������� ��� ���� ���� ��� ������� �����
�������� ���� ���� ���� ��������� �� ��� ���� ������ � ��������� ����� ��� �/�
������ ������������������������������������ ����������� ��������������D&�������
E� ����!""#$%�
�-� �������'!��!����!� )���� (� � ���!�
���������������������������������� � ���������� ���������� ������� �����������
�1���� �������������������������/�D&����� �!""8$� ��������� ���� ����� ����������� ��� ��������� ��� �������� �� ������ ����
������ �� ��� ������1��� �� ���1��� �������� ��� ���� F������� �� )4#4/� (��� ���1���
��������� ��� ������������� ���� ���1�������������!%�<������������������ ��������������
���������� �1��� ���������������� ������.����������G�������E�� ����!""6���%85$����
�(�� ��)444���%)38$������������������� ������%�
����� �)44#���%� )6)$�� ����� ��� �������� �� ��� �� ��� ���� �� ���� ��� ������� ������ ��
�� ������ �� ��� ��������� �� �� �� ������� ��� �� ���� �� ����� ���������� ��� ��� ����� ���
���� �������� �������������������%
2 �D&����� �������� ��� ������� ���� �� ���� ���1��%� ����� ���� �� ����� ��������� � E� ��� �� G���������� �� ���� �D&������ !""8�� �%� 5$�� ��� �������� �� ��� ��� �������� ���������� ���� ������ �� �� � ���
�������� �� � ������� � ��� ����� �� ���� ������ ���H1�����9� ��� �� ����������� �������� ������� ��
��������9� � ������ ���� ����� ���� �� ����� ����������� ���� �.��������� ���H1������ ���� �������� ���
�������� ���*� ���� ��� ���.�� �� ��� ���� ��� ����� ��������� �� �� �������� �������� �� ����������
�����������������������������%
����������� ����� ����� �����������
8
G���I� �!"")�� �%� J8$�� ������� ���� �� ��� � ������ ����'� ��� ������� '�� ���� �����
�������� �� ��� � ��� �������� ��� ��� ��� ����� ��� '�� ���� ���������� ����� ��� �� � � ����
�� ��1����������������� �������������������������������� %���� �������� (��� ���� ������E� �����G������� !""5$� � ������ ���� ��� ������������
������ ������������ ��� �� ��� �������� �������� ����� ������������ �� ���� �� ��
����������� ��� ��� ������:� ����;����� ����)4!J�������������� ��������������
��������/�
�
. (+��� ���� )���'���!����% ��'!����� (� � ���!��
����� ��� ������ �� ��� - �������� + ������9� A � ��������� �� '�� ��� �� �.�������� ��������� B � ��� ������ � �������� ��������� ������������ ����� �� ����� ��������$���C ������������ �� ����������%���� ��� ����� �D&����� �!""8�� �%� J$� ��� ������ ���������� �� ������ ��� ��� ������� ���
��������� ��������� ������������������������ �������� �������������������������� ���
��� ��� � ��� �������������� �� ��� ��������� ��� ���������� �� �� �������� ��� ���� ����
������������ �� �������������������� ����� �� ��� ��'��� ��� �� � �� �������� ��� �� ����
����� ������� ��� ��%��
�
+� ���� ���� ����� �������� ��� ������������ ������ �� ���� � ����� ��� ��� ����� ��
����������� � �� ��� � �� ����1�� �� ���� ����� �� ���������� ��� ��������� ���� ���
�������� ��������������������� �� �������������%�&�������������������� ����� �����
������������������ ���������������������� ��� ������������������������ �� � ���������
���������������/����������%���!� )����!���#'!����� (� � ���!
(��� ��� ��=������>���������������� ������������ ���������������������������������
��� ��������������������� �������������������������������������������������
�������/������������������������� ���������� ��������������������� ��� ��
���������������������������������������������������������������� ������������� ��
��D&������!""8$%�
��
����������� ����� ����� �����������
9
. (+��"� ���� )���'���!���#'!/� (� � ���!��(0��1�% !��2"3345
�
K���� ���1� ��� ��� � ���� �� ��� � ����� �� ���� �� ��� ����� �� �������� ��� ������
������� ������ ���������������������� �������� ���������� ���������� ����� ����
'�� ���� ������+������� ������������+��$%���!� )�������������,�' ������� (� � ���!
F�������I�� K������� 2I���� ����� L� ������ �!""8$�� �������� �� ��� ����� �� +������� ��
����������+��$������ ��������������.����� ������ ��������� ���� ����� ��� �����
�������� �� � %�<�� ���� �� ���������������������.������� ���� �������� ���� ������� ����
������ � ������������������������������������������.�%����� ������������������+�$�
������ ���������������� �/�
�� ����� ������������ ��� ������� ��������!����������"�������� �!"� ���
� ����������������������������������������������������� ���������#� ������
���� ���$� +�� �������� �� ��������� � ��� ������������ � ���� ���������
������������������� �����������!"���%�)"$%�
�
@�������� �������� �������������� �� ����������� ����1�� �������������'��� �1��
�������� ��� ��� ������%� � (��� �������� � ��������� ��� �� ����� ���� ��� �� ���
� ������������������� ��%�&����� ������������� �� �������������'������� ������
��� ��������������� ���������������������� ������������%�&������ ���'� �������������
������%�+�������� ������ ���������������� ����������������������� ����������� ������
������ ������ ���� ����%� @��� ���� ��� ���� ��� �������� �� �� �� ������� � ��������
������� �� �� ���� ��� �� ���� ���������� ���� ��� ���� ��� ��������� �� �� ����
������� �������������� ������������ ������ �����������%�
;��� � ���������� ������F�������I��������!""8$�������'�� ����������������� �����
� ������ ���� ���.������ ���� ����������� � �� ��� ���������� ���*� �� ��������
���������� ��������� ����� ��� ���������� �� ��� ���������� �� M� ��� �� ���� �� ��
������%��
����������� ����� ����� �����������
10
�
. (+��*��!��'�+�� )����� (� � ���!J�
&��� ��� ������������������������ � � ���������������� � ���������� ����1������ ������
=���������������>���=�������������� �>% +���� �������� ��� �������� �� ��� ������������� ��������� �� � ����� ��� ���� ���
��������� �� ������������ ������ �� ���������������.�������������1���� �� �� ��������
� ������ �������%� ������� �������� ����� ������'� �� ���� �������� �� ������� ��
�������� �/������������������������������������������������ ������������������ ������������
� �������F�������I������!""8���%�)5$%+�� �������� �� �� � ��������� ������� ���� � ����� ���� ������H�� �� ���� �� � � ����
����������� ��������� ���� ��� �������� �� ��� �� ���� �������� = � �>� ��� �� ���
��� ���������������������1�������������� � ����� �� ������������������ ������
���� ������������� ��� ���� ��%� +�� ���������� �� �������� �� �� � ���������
���������� ��� ���� �������� �� ��� ��� ��������� ������� �� ���� ��������
� ��������%� � B�� �� �� ��� ������� ���� ��� �������� �� �� �� ������� � ��������
��� �� �� ��� ���1�� ����� ���������� ���������� ��� �������� �%� (��� ���������� ��
������� �������� ����� ���������������� ���������������������������������������������� ��
���� ��� ��������� ��� �� ���$� B�� �� �� ��� ���� ��� �� ��� ����������� �� � ��������
� ����������������������� ��� ����������� �������� ����� � � �$� ��������� �������
����%� ����� ������� ��� ������ ��������� ��� ��� ������ �� �������� ��� ���� ��� �� ���
����������� � �������F�������I�������!""8���%)3$%���� ��� ����� 2I���� ���� �!""8�� �%� 6J$�� � ������ ���� ��� �������� �� ����'� ��� ��
����������� �� �������� �� ���� ���������� ���������� ��� ����� ��������� ���� ��� ��������
� ������� �������� ���� �� � �� �� ���� �������� ��� �� �������� ��������� � �� ���
J N�� � �� ��F�������I��K�������2I���� �����L� �������!""8���%)!$
����������� ����� ����� �����������
11
�������� ������������ � �� �������� ��� ��� ����� �������� �� ���� ����%� ��� �� ��1� ���
�������� �� �� �������� �� ��� ��������� ��� ���.��� �� ��� ������� ���� �� ���� �������� ����
�� �������������������� �������%��������� � �������'�� � ������������� ������
�������� ��������������������������� ��� �����������������.������������� ��
��������'������������������������������������������������������������ �������%�+��
�������� �� �������������� ������� ��� ���� ���������� ��� ������� ������������� ��
������ ���� � � ��� ��� ������%� +�� =�������� �>� �� ��� =������� � >� ��� �������� ��
�������� ����� ��%� +��� �1��� �� ����� ���9� ��� ��������� � ��1�� ������� ���
�������� �� �������� �� �� ��� � ������� � �������� �� ��� �������� �� �� ��������
�� ��������$%�&��� ��� ��:���!""8���%�!J)$������������� ����������� ����������������� �����
�������� ����� ���������� ���������� �������1��������� ��������������������
���� ��� ������%� <� �1������ ���� �������� ��� ����� �� �.���� ��� �� ��� ����� ��������
������� ��� ����� ������%� � (�� ������������� ��1� ����� �� ��� ������������%� +� ���
����������� ��� ����������������������������� ������������� ����� ��������
���������� ���������������� ���������� �/����������� �� ���� ���������������1���� �����
������������������������������������%7���� ����@�����)466���%�)J5$�������������������� ������ �������� �������������
,��� �������� ��� �.��������� ���� ���� ��� �1������� �������� ������� �� ���������
��������� ���� �� �� ���� �� ������� ���� ��� ��� �� �� �������� ����� �� ������ ��
�������� ,� ��� �� ��� ������ �� ���������� �� �������� �� �� '��� ��� �� ���� ����� ���
��������������� �� ������������ ����������������� �����������������% ��+% ���
(��� �������� ��� ����� ��� �� �� ������� �� ��� ������� �� �������� ���� ���� � ��� ���
�������1������������������� ���� ������������� �������9� ����������������������
������������������������ ��� �����N������������� �����%�
�
&�1�� ��� ��������� ��� � ����� ��� �������� �� ���� ���� ����� �� �������9� ���
������� �� ��� �� �������� �� ���� ���� ���������� �� ���� ���������� �� ������� �����
�.��������9� �� ���� ����������� ���������� �� ���� ���� ���������� ��� ���.�� �� ���
������� ���� ��������������������������� ����� �������%�
�
&��������������������������������������������� ���� �������� �� ��������� ��������
��������� �� � �� '��� ��� �� �������� ����� ���� �� �������/� ��� �������� ��������� ��
��� �� �9�����������'� ���������� ��������������������������������%�
�
���������������� ���������������������������������������������������� �������'��
�� ���� �������� �������� ��� ������ ����� � ���������� ���� ��� �� �� ���� ��� ����� ��
������ ��������� ��*� ���������� ���������������� ������������� ���������� ��%��
+����������������������������������������������������������������������������
������������ � �������������������������� � ��� �����%�
����������� ������� ����������� �����������������
12
������������ ��������� ��������� � � ���������� ����� ��������� ��������
���� ������� ���� � �� �������� ���� ������� ��� ����� �� ��� ���� ��� ����� ��� ����������� ����������� ��� �� � �� ���� ���� �� ����� �� ����� �� ������������� ���� ���� ��� ������������ ��� �� ���� ���� �� ��� ����� �� � ����� �� ��� ��� �������������� ��������� ������������ ���������� �������������� ���� ����������� ��������� ����������� ��������� ���� � ��������������� ���� ���!��"���#� � �������� ��������������� �������� ����$���%��������������� �������� �������������� ������ ����������� ��������� �������������� ��������&������'(��)*��������+��������� �����,�� ��'+---*��� ������ +(�� .���� '+-//*� �� �� � )� � ������� ��� � ��� ���� �� � � ������� ���0����' ��������1������+-//*������2� � �������� ������������ ����������������������� ������������������� ���������%��� ����������� ������� $���� 34� ��� �� 5������� ���� ��� ������ ������ �� 364� � ������ �� � �� ���� ����������� �� ��� �6 ������ ��� +--2�� �� ����� ���� � ���� �� -�������� � ������������ ��#��������� ��������� ������������������������ ��������� ��#�� �� +-/(� �� +--("� � ������� ��� ����� (��2� ��� �� +--(� �� (��(�� 7� ������� �� ������ ���� �� ������ ��� ������ ���� �������� ���� ���� ��� ���� �� ����������� ���� �� � ���%�� �� �� ������ �� 364� � �� ���� �6 ������ 8� ����6�� �� �������� �� ��� ���� �� ������ ����������� �� ������ ��� ���� ����� ���� ��� ���� ������������������� ������
������ ����� �!��"#$�""
��� ��� ����� �� ���� ��� �������� �� ���� ���� ������� ��� ��� ���������� �� ��������� ����� � � �������� � ����������� ��� �� �� ��� ������� ������%�� ��� ����� � 9� ������� � ����� � ���!��� ������� �� � ������ ����� ���� ����� �������� ��������� � � �� ������ �� �����"� ��#� � � �����!��� � � ��������������������������������� ������%�� ��$�� ���� �����:�������:� ;� �< ������� '+--2*����� ����������������������������� ���������� ��9
- =������� '+--���� +--��*� � ���� ��� ������ ����������� �� )+-� ���� ��� �� ��� ���������� ��� �����������������������8���� �������� � ������ �����%��������������������� � �� ������������ ���������#�� ������ ������� ������
- >����� �3 �� ���'+-/?��+-/-*"�&��������&��� � �@�������'+-/)��+-/A� �+-/?*"�&������� '+-//*"� @������� '+--2*"� ����������� ������� ���� ��� ���� ��������� ������� � ������� ���������� ����������� ���
����������� ������� ����������� �����������������
13
- ,� �� �3 ��#�� '+-/+*�� ����!����������� � � ���� ��� � ������!� ������ ����� �����!��� ���������������
- @������ � ����'+-//*��4������������ ��� ����������� ����������� ��������6�� ����� ���������@�������'+--�*� � ��������� ��������� ��������
- &������� � ����'+--+��+--(��+--2*�� ��������� ����������� ������������� ������������� �������������������� ����������� �������������������� �������� ���"����������6���� ������������� ��� ������� ������������������������������������� �� � �� �������� � ������������������
�- B�!%�!� '+-/)*�� ����!�� ��� ��%������ �� ��� ������ ���� � ������ ���� �� ����
��� ���� �� ��� ������ �� �4�� � �� ��� ������ ��� �� ����� ������� �� ����� � ���� ���� ����� ������� ���� ���� ������� ���������� ��� � ���� �� ��� ���� � � �����������������%��� ������������������������������� �����
�- 3�� ���'+--(*����������������6�������%������ ���� �������������� ������ ����
��� ����������� ���� �������� ����� � ��� � ��������� �����!��������������������� ���������� ���� � ���� �������� ������������� �������������� �������
���������� ��� ��#��� ����������������� ��������������������������9��- 7�������� ������ ����������������������� ������ � �� ������- 7� ������ ��� �� ���� � ��������� �� ���� �� ����� �� ���������� C�
�� ��� ����������� ����������� ����%������ �������- 8�� � ���� ������������������������������ ��������� ��� ������������
� �� ���� ������������� ������%�� ���- ����� � �� ������� � �� ������� ����� ���� ��� ���� �����6�� ��� � ���
������� ������%�� ������ ����������� ����4������������������� ����- ��� � �� ���� � ����!��� �� ���� ��� ���� �� �������� ������� �
��������������������������������������������������� �����,�� ������� ����������� �� ���� 6� �� �� ����� ������ ����� �� ������� �� ����%������ �� ���� ���������� �������� ���� � ������� ���� ��� ��� ������ ����#�� ����������� ��4��� �������� �������������������D�� ����� �������������&��������� '+-/2*�� .���� '+-?A*�� 1������ '+-//*� � :������� '+-/+*� �� ��������!���� ������������364� �����������������������364� ������ ���������������������������� ����������� ��� ������ ��������� �������� �������� ������ ��� 5E�3 � '5��������� ����� ��� �������� ���� �� ��� �����!�� �� ���� � ���%�� ��*������ :� ;�� :�������� �%������ ���� ���� ' ������ ��� :������� :� ;� � < �������+--2*���F�����������������������������%�� ������������� ������������������������� ��������� ���������������� ���� �������� ������
����������� ������� ����������� �����������������
14
���� ����� �!��""$%%
7��� ���� �� ���� ���� �� ��6��� �������� ���� ��������� �� ��#��� �� �� �� �� ������� ����� 7� � ������� � � ������ ��� ������������� ��� �#��� ���������� �����������������������������G�� ���.���� �H����&������������>������:� ;� �$��������'(��2*��������� �������� ������� ����������� �������������������������9�
�- 1����� '(���*�� ���� �� ��� ��� ����� �� ����� �� ���� ����� ��������� ��
����� �������������� � ����������������������� ������������������������� �� �� �� ��� ����� �� ������� ���� �������� ����� ���� ��������� ��� ��� ������� ���� ����� '�� ���� �� ��� ����������� ��� �����*�� G����6������� ��������� ��4���� ������ �������������� ������ ��������� ����������� ���� ���� ����������� ����� � ������ �� ���������� �� ������ � ����� ����� ��� ������������ �� ���� ������� &�������� ����� � ��� ��� ����� ������ ��������� ������������������������ ����������� ����� ��������� ������
- 3���#�!�'(��+*�������������������������� ���������������� ���������������� ��� ���� � ���� �� ���� ������ ����!��� �������� ���� # �� ���� ���� ��� ������������ ��� ��� ����� ���� ����� �� ��������� ��� ����� # �� ��� � ����� �� ������� ���� �������� ���� ����"� ����� ���� ��� �� ����� �� ���� ���� ���� ������� ���� ����� � �� ��� ����� ���� �� ���� ��� ����� G����6�������� ��� ��� �������� ���� # �� �� ��� ��� ��������� �������� �������� � ��� ���� ���� �� ��� ������� ������ ���� ����� �� � �� ��� ��� ������� ��� ��������&�������� � ����� ��� �� ��� � �� � �� ���� ���� ��� ��������������� ������ �� ���� ������ ������� ��� ��� ��������� ���� ���� ������ ���������� ����������
�- ��,��� �&����������'+--A*��������������������������������������������
���� � �������� �������������������� ��������������������� ������!�������� ���� �� ������� ��� ��� ������� �� ������ �� ��������� �� ��� �4���������������� �����"������������� � ������� ������������� �������� ��� ���� ��������������!��������� ������������������������������������������������ ������������� ������������� �����������������!��������������������� ��� ������������ ��� � � ��� ��������� �� ��� ��� � �� � � �� � ��� ������ �� ������ � �� ��� �� ���� ��� ����� ������� ���� � ���� ��� ���� ����������� ��� ������������ ������������'������� ������������������������ ��������������������������������������� ������������*�������!�������������!��� �� ���� ���� ����� �������� ���� ���� ��� ��#��� ��� ��� D����� �������� ���������������������� ��������������� �������
�- 8������ '(��+*�� ����� ��� ��� ����� �� ���� ��� �� ����� ����� ����!��
���������������������� ����������������� �4������������������������ ��� ���������������4������������� ������� ����������6��4�����������
����������� ������� ����������� �����������������
15
������������������ ����� ������������� ���� �����������������������������4��� � ����������� ������������
�- @������� '+--��� +--?*�� ���� ��� ��� ���� ��� ���� �� ���������� �� � ��
��������������� ����� ����������������� ������������ ����������������� ������� ���"� ���� ��� �@������� '+--2*�� ��������� �� ��� ������������������������������������������ ������������ �4����4�����������I#��� ��� ���� ���������6�� ����&��������@�������'+--)��(��+*������������������� ��������� ���������� ���� ����� ����������� ��� ����� ����
�� ��� ����� ���� ������ '������*� �� ������ ���4�������ba � �� �������� ������
����������������� ���������� ��� ����������������������
- E �� '+---� �� � �*�� � �� � ��� ��� ����� ���� ������ ����������� �� ����������� ������������������� ����� �4��������������������6��������������� ����� ��������������������� ������������� ���� ��������' �� ��������#� ��@������*��
�- ����� ����� ������������������� ��� &������� �� ���� ����� �� ��� ������ ',�����
+--2"�7��� +--2� � @�� �!�� +--2*� ����� ��� ��� �� ������� �� ��� �6 ���� �� ��� ����� ��� ��������� �� ��!���� ���� ���� ��� ���� ���� � �������������� ������ � ��� ��� �������� �� ���� �� ��� ��� ����� ����� ���� ������� ��������� ��������������� ��4��������������������������������������4��'�� ���������� #����� �����������*���������������������� ������������������������������������ � �������� ���������� �������%���������������� ������ � �� �������� �%�� ���������� ��� �� ���� ����� ������� ���������������
�&�������� ������ �������������� ������������ �������� ������ ������������� ��������6 �����J�������� ���� �������������������� �������������� ������J� ���������������� ����8����6�� ������ � ������� �����������������������!�������� � �������� �����'������ ��%������ ����������>�����������(��2*��E�� �� �����%����� ������������������������ ������������� �������� ����9��- K��6�!� '+--A��� ��*������������ ����������������� ����������� ��� ���� ���
���� ������������� ����������������������������� ��� �������������������� ���������������� �����������
�- H �� '+--�*�� ������ ��� ���� ��� ��� ��� ����� ��� ������!��� ��� ���� ����� C�
��� ���� ��� � �������� ������������ ��������� ��� ����� �������� ����� ��%����� ������� ���������� ����� ������ ������������������� ����%�� ��������������
�8����������������������������������� ������� ����������������� � ����� ���������� � ����� ���������� ����� �������������� ��������������������
����������� ������� ����������� �����������������
16
������ ������� ����������� ������������������� ������������������� �������� ���� �����%������� ������������%������ ������������ ����������3 ������������������������������������������� ������������������������%��������� ���!�������������� ����#������� ����������������% �� ������� ��� �������������������� ���������������4����������� �� �������������� ����������� �������� ���������������L����&���������������������������� ������� ������������������������ ��4����� ����� ������� ������ �� ���� ����������� ����� �������������������������������������������������!����� ����� ��������� ��4�����������J��! ������������������� ��!� �����������������������������������������������������������������E���%���� ��#� ��� �� ��� �� � ���� � �������� ���� �������� ���� �� ���� �� ���� ���� �� ��� ����� ���� ������� ���� � ��� ����������� ��� � ������ ��� � � �#�� ��� ������ �������������� � �������� ������
�� ��������� ��&��'() '�
����� ���&*+! �!�� �+���&
�,�� �������� ������&������� '+-//*���� �����9��������������������������������
�������� ��� �������� ��� ���� ���������� ��� ���� ����� ��� �� �� ��� ���� �� ��������%�� ������������!�� ���������!���������������� ������������ ����� ���������������� �����+-?)��E���!�������������������� � ��+++����������� � ��������� ����������� ���++� �+������ ���� �������� �������������������� �� � ��������� �� ���� �� ��������� ���� �� � �����9� ��� ������� �� �� �������%������ �� ������ �� �4�� �%�� �� �� �����6�� �� � ���� �� ���� �� ������ �� �4������������� ���%�� ��������� ����������� ����� � �������� �����������!������364� "� ��� ���������������%������ ��������������� �������� ������������� ������� �� ������!��� �� ���� ��� ���"� ��� �� ��� �� �� �� ��� ����� ���� �� ��� ������������������ ���� ���#���/������ ���� ��� ������������� ����� ���������� ���������� ������������������ ������ ����� ���������� � ���� ���%��������� ���������� �� ���� ��� ����� �� ��%������ �� ��������� ��� ������������������ ��M�� ��%������ ����������� � ������������ ����� �������� ������������ ���������� ��� ������%�����������������������������������������2(����� ��� �� ��� ������� ���� ����� �� ��� ����� ��� ��� �� ������ ��� �� ��#���������� ����������������������� ����������� � � �������������������� ��������� ������������ �� ������ ��������� � � �� �� ����� �� ���� � � � ����������������������� ����� ���������������������� �����
���� ���&*+! �!�,- ��./ ��'���
>����� � 3 �� ��� '+-/-*� ����������� ���� �������� ���� ��������9� �� ��������� ���
���������� �������� ��� ���������� �� ���� ��������� ��� ����������� �� (-2� ����� ���4�� ����������� ����� ������� ����� � ������������ ���������� ��� ���������� ��� � � �� ���������� E���!���� ���� �������� � ��%������ �� ������ �� �4���
����������� ������� ����������� �����������������
17
��������� ����������364� ������������� ��������������� ������������ ���������� ���������� �� ������� ����� � �������� ������ �,�� ����������������!�������������!�������������� ������������������������ ������������ � ���������� ����������� ����� ��������� ��� ��6� �������� ��������� �� ��#��� �������� � ����������������������������
����� ��� ��������� �������� ���������������� � ��� �� �� ������� ���� �������� ����� �� ������ #�������� ���������� ���������������������� �������� ������������ ���9� � ������������� �������� ����������� ����'����������6��� ���� � ���� �� ����*�� � � �� ������� � � ��!��� � � � �������$� �� ����������������� ���������� ���������������� ��������������9�
- ��������������������������������������������������� ���� �
- ���������������������������������������������������!���������������"�
'>����� �3 �� ���� ���������%�����(��(�����2+*�
��0� ���&*+! �!�1��!�� ���&
@������� '+--2*�� ����!�� ���� �������� ���� ��� �����9� �� ������������ ����
������������������������ ��������������������������������#�"��� ����������������������������� ��� ��2?������������������������ �������������� � �������� ������ �� ���� �� �� �� �� ����9� ��� ���� � ���� �� ��� ��������� 4��������� �������� �������������� ������������������ ������� ����� ������������������������������ � ������� � ��������� ����������������7� � �� ������������������ �������������� �4����� ������������� ����������������������!�"�����������%������������ ����������������������� ���������� �N�������6�� ������������������ ��� ������� � ,�� ����� ����� ���� �� ������ �� ��������� ��� ��������� ������ '4������� �� ������� �� ���� ��� ���*�� � ����� ��� ����������������� �� ��� ������� ��%��� �� ��� �� ������� �������� �� ��� ����������� ���� ��%��� ��� ������� �� � �������� ��� �������� �� ���� �%����������� ��������������������� ���������������� �������������������� ���� �����!��� �� ��� �������� ����� M��� �� ���� ������ ���� �%�� ������������ ���� ����� ������� ��� ����� �� ������� D�� ��� ����� ���� ����� ���� �������� �� ���� ��� ����������� �� ���4����� �� ���� �� �������� ����� ������%��� ����������� ����� ���%�� � ������ �������6��������� �������������� � � ��������� � ��� �������� &��������� �� ������� ������� �� ���� �� ��� �������������� �� �� ������� ���������� ��� .���� '+-?A� � +-/)� ����� ���@�������� +--2*� � � ��%� ������� �� � ��� ������ ���� ��� ����� O������P� �� ������� �������������������� �� ���������������������������
��2� ���&*+! �!�3��'4
�:� ;� '(��+*�� ��������� ���� �������� ���� ��� ������ �� ������� ��� ����� ��� ���
���$������������������������,�� �������� ��������������������������������� ��� ������� ����� �� ������� �� �� � ��� �� ��� ��� � ���� �� ��!��� �� ���"���� ���� �� � ����%� �� � ������!����� �� � ����%� �� ����������"� ���%�� ��
����������� ������� ����������� �����������������
18
�����!����������� ��������� ��������������!��� ����������� ������� #������� ������ ��� ������ ���� �� ��� ������ ���� �� ��� � ���%�� �� � �� ���� ������ ����� ���%�� �� �����������������������������������4���� ��������!���� �� +2� ���������� �� ����� ���� ������ �� ������ �� ���� �� ��� ��������� �� ()������ ��"����%�� ����!������������ ������������������� ����� ����� � ����������������!� ���������������������������� ��� ������ ����������� ����� �������������� �� �������% �� ����������������� ��������!����������������������������2Q� �)Q������������� ��������� ��������������� ������#�� ���� ������������ ������������� ����������� ��������!���J�������� �������� �������J���� � ��� ������ � ������� ��� �����������!���� ��� � ���9� � ����� � ���� � ������������������ ��� ��������7���������� ���������� ���� ��!��� �������� ����� �������� ����������������� ���� ������� �� ����������� ��������� ��������� ��� ��������� �� ���� ��� ���� �������� ������� ��� ���� ����� ������� ���� ���� ��������� ������ 4��������� �� ��� ������ 8��� ��� � � ������� ��� ����������������� ��� ������������� ����� ������������ ������������!������������ �� ����� �� ������� �� �� �� �� �� ������� ���� �� ��� � ���� �� ��!��� ����������#� � ������ ����� ���������� ������������������� ����������&����������������������� ��������!������ ������������ ����� ��������������� ���� � ���� �� ���� � ���%�� ��� �� ��� � ���� ���� ������ ��� ������� �� � � ������ �� �� ����� ���� ��� ��� ��� ���� ��� ����� � ����� ��� ��� �� ������� ���������� ������� ������������� ���� ���������� ��������� ��������������!����� ��������!�������� �������� ������� %�������� �������� ������������������� ��������!��������� ��������� �����
�0� ��*�'�!��*�����5��!����! 6�
$��� ������� ��� ��� ����� � ����� �� &������ '(��)*� �� �������� �� ��� �� ������ ������%�� ������������������������������� �������� ����������������!��9����������� � ���������������������!������������������4�� �������A���������������3 ������5�����&������������ ��������������� ������������������������������������������� ������� ���� � ����������������� �������� ����������� ���� ������������� ������ ��������� ���� ������&������ '(��)*�� ������ �������� ������ ��������� �� �� �� �������� ���� ������������������� �������� ���������������������� ������ ��������� ������������ ���� ���� ��#��9� �� +-A�� �� +-/��� �� +-/�� �� +--�� � �� +--�� �� (��)"� � ��� ��� ��#��� ������� �������������� ������ ���9��E�� �� ��� ����� �� +-A�� �� +-/�� � �� ���� ���� ����� �������� �� ������� ������ ���������+�� �+/����������� ��������������������M����������������� ����������� ��!�������.�������� ���� � ���4���� ���������������� ���� ����� �� �6�� ��� O��� ���P�� � ������� ��� ���� �� ���� ���� ������
����������� ������� ����������� �����������������
19
���� ������� ����� ��� ������!���� ������� ����� �� �� � ��� � � �� ������� ��������� ������������������ �������������� ���9��
• %��������������&�����������������������������������������������������
����������
• %�������������&����������������������
• %����������������������������
• %����������������������������������������
• %��������������������������������
• %���������������������������������
• %�����������������������������������������������������
�
������������+-/����+--��������������������������� �������� ��� �9���
+� 8�����!�������������(� 8�����!�������� ���� ����� ������2� $����� �������������������������� ���� C�������� �� ���� �����
���� ������� �� ��� 4�������� �� ��� ������ ��������� �� ���� ��� ���� � ��� �� ���� ��
�� D���� ��� ��� ������ �� ���� �������� �������� ���� �� ��� � ���� ���O��� ���P���
���� �������� ���� �� ��� ������� ������� �������%�� �� ���� ����� ��������� ���%���������������������������� �������������9��
• 8��� �� ���# ���� �� B� � :������� ��� ������ �� ��� �����!�� �� ���������� �� �������������4���� ����������� ����6 ������ ���?�R��������� �������� �������&��� �����
• 1���� ������ ����������� �����0����E� ������������������������M�������+-?-����(����
���+--����(��)������������������� ��������������%�����%���� #�� ���'����������������������A� �+�����������*������� � ���� ������������ �� ������������� ������ ��������� ����� ���� � 9���� ���� ��������� ������ ���� ���� �������� �� ������7�����������������������������@���� ���' ���������&�������(��)*����������� ������������������������������� ���������������������������� ����� ������� ��� ��� ���� �� ��� ����� ���� ��� ������� ��� �� ����6�� �� ������������� ���������� �� ���������� ���� �������� ��� ���� ���� � ����� �����������������6��������������������������������������!���� � ����������������� ���#����� ��������!���� ������� ����� ���� �� ���� � ����� ������������ �� ����&�����������������������������$����������D�����S�3�������' ���������&�������(��)*�� � ����������%��� �������� ����������%�����
����������� ������� ����������� �����������������
20
�����������&���������� ��������������������� ������������� �������������9��
+� ,����� ���� � ����������������� �� ���������� ����� ����(� ,����� ���� � � �����2� ,����� ���� � ���!������ ,����� ���� � ��������)� ,����� �������������������A� ,����� ������������������?� ,����� ���� � �������� ������/� ,����� ���� � ������������� ������������-� ,����� ���� � ��������+�� ,����� ���� � ����� ���������� ����������� �����������++�� ,����� ���� � ��� ������+(�� ,����� ��������������� ��������+2�� ,�� � ������!� ������������ �����������#����@��������+��� ,�� � ������!� ���������J��������������
�2� ���+��&� �!���&*�7� '�&
8� ������ �������������������������� ������:��������.���� �,�� ����������� ������� �� ����!��� ������� ����� � � �� �� ��� ���#�� ������� �� ��� ��������!���� ��� �� ������������� ����������,�� ������ ��� ���� ��������������������% �� ����� ������� ������������.�����
�2��� ���&*+! �!�3��+&&��+
$�����������&������'(��)*�� ���� �������:�������������������������������� ������ ������������ � ����3 ���%�� �� ������������������������#����� ������ O�������#�� 4��������P�� ����� ������ �� ���� ����� ���� ���������� ��������� � ����3 ���%�� ���:���������� ����������������������� ������ ��!���� �� ����� �� �� +-/A�� � � �� � � ���� 3 ����� '(��)*�� ��� G�#�� ������� �������% �� ��"����������#���������������������� ������� ���#�� ��� ��������� �����!��� � ���!��� ���� ��� ������� ���% �� �� ��� ������ �� ��� ����� ��������6� � �� ��� ������ � �� ��������� ��� �� �� ��� ����� � ���%�� � � ������ #�� ������ ��� ���� ?�R��� :������� �� ������� ���� ��� � ��� � ��� �� ����� ���4��������������������#������� ����� ���������������������7����#��� �������� ��������������� ���� �����%������� ����� ������ �'������ ��*�������� ��� ������ �� �� ������ ���� ���������� ����������� ����� �������� �������� � �� ����������� ���%�� ������ ��������� �� �����A)�� ����'��+)�������*���������������������������������� ����������� ����� ����3 � ����� ������������������ ���������������������������� ������ � �������!� ������������ ������������ ������� ���%�� ����� ����9������ ������ ����� �� �����,���� �������������� ������������������������ ���������
����������� ������� ����������� �����������������
21
��������������������������%����+)� ����� ���%����?)�������������������� ������������ ������':��������:������� �< ��������(���*���M�� �� ��� ������� ��������� ������� ������ ��� ����� ��� ����� J� ���� ���������� ������N����#��� ������������������� ������!������������ ���%�� ������������������� ��������� ���� ����� �����%����������������� ��� �����,������ ������:������������������� �� ������ ���������������������������!���� �#����������������������� �� ������ ����� �������������������� ����� �� ������� �� �� ����� �������� � �����6�� �� �� �� ���� ��� ������� ������� ����� ����� ���� ������ �6 �� ��� �� ��� � ����� � ����� � ����������� �%������#������� ����O����������������� ���P� � ���������� �������� ���������#����� �������� ����� �����':��������:������� �< ��������(��-*�
�2�� ���&*+! �!�8 ����
�� � ���� �� @������� '+--2*�� �%����� '(��(*� � &������ '(��)*�� ��� �� �������������������6������ ���������������%�������������������������� �������������� ������������� ���������������������� �����������������������������������������������������.������������+-?A�����!����������� � ������� ������������������� ��������������� ����������������� ����������� ����� �������4����������%�����������������%�����'(��(*����������������������������������� ������� ����������������� ��� ���# ������ ��� ���� ������� ������������� �������� � ���������� ������ ��� 4���� ��� �� ��� � ��� ?� ������� ���� �������� ��� �6�� ��� O��� ���P�������� ��� ��� ���� ����� ��� �� ��� ��!��� ���� ����� �� ���� ���� ������� ��������!�������� ��� ������� ���� � ��� � � �� ���� ��� ���� '&�������(��)*���.����'+-//*���������� ����� ����� ������ � �� ����������6����������� �� ��� ����� ��� �� ����� �� ����� ������ �� ��� ����� �� ����� ������� �� � �� ����� � ���������������� �������� ������������ �������� �� �������� ���� �� ����� �� ��� � ���� �� ��� ���9� � ������ ����� ������� ��!��� �����������
��
� �+��2� �� ) '�!�&�&�' �!�&���)��'' 7�&��9�8 ����:�"##;�
������ �������� ���� ��� ��� ���� ���� � ������ ����� ��� ����� ���� ������ ������ ��������� ��������!����� ��������8������������������ �� ����������������� ������������ � ������������������ ����� ����������� ������ 6����� ��������� �� ��������������� ���� ���6�� ���� ������ ��� ����� '.�����+-/������+2�*��8��� ��� �� �� ���������� ������������������ ���
����������� ������� ����������� �����������������
22
�����!�� ��� ����� ��� ������ � �� ����� � ����� �� ��� �� ������ ���� ���������� �� < ����� �������� �� +-?A� ' ����� ��� .����� +-/��� ��� +22*�� � � �� ��� ������������������ ������ � ������� � �������������������!��� ����������������#�� ��� ����� ������� ��# ���������������� ���������� �������� ����� ����������� ������������ ������������������!��� ����� ������������ ������� ���� ���� ��� ���� ������ �������� .���� ����� �������� ��������� ��� � ��� ���� � �� ����� ��� ����� ��� �� ������ �� ��� '����� J���*� �� � ������ ����# ��� �� ���� ��� �� ����� � ��� ��� � ����� �� �� ������ ���9��
�
� �+��<�����' � ��*�= !���>!���9� �����' ������
��������������� ������������������� ���� � �� ���� � ����������������� ��� '����� �*�� �� ���� !��� �� � �� ���� �� � ��"� �� ��� �������� ����� ��� ��������������������������������� ��� ����� ����������� ����� ���������� ����� ������� ��� ������������ � ��� � ���� �� �������� ����������� ��� ���� ����� ���� �� ���� �� ���� ������ ���� O�����P� ���� ���� �� ����� ������ ������ ���������� ����������� ����������������������������������������� �������������� ������������������ � �� ������������ �������������'.����� +-//�� ��+A2*�� ��� ��� ������ ����� �� ��� ��� ��� ���������� ��������9�� ������ ����� ��!��� � ������ �������� �4���� �� ��� �� ��� ���� ����������%�������� ��� ��#��� ����O ��������P����������'���� ��������� ����� ��� ���*� ��������� �������'����������!��� ��������*�'@��������+--2�� ��(+*�� D���� ��� �� �� ����� ��� �� �� ��� ����� �� ��� ���� � ��� ����� ��� ������ ��� ������ �� �� � ��� ������ �� � ��� �������� ��� ��!��� ����
� G� �����3 ��������'(��)����+-*
����������� ������� ����������� �����������������
23
���� ����� ���� ���� � �������������� �������@�������' ��������3 ���������(��)����(/*��������6������� ������������ ����� � �O�������������� ��������������������!����� � ������������� ��������� ����������������� ��������� ����� � ������ �������� ��� � �������P�� ��� �� ����� ����� �� � ������� ���������� ������ ��� �������� ������������� ����������� ������������������#����������� ����� ���� ��� ��� �� ��� ��� ���� � ��� ����� �� ������ ��� �� ������ ����� ����� ��� ���������������� ��������� ����"� ��� ����� �� �� �� ��������� ���� ������������� ������ � � �� ���������������������������� ���� ��������������� ��� �� ��� ������ �� ������� &��������� ���� � ��� � ���� �� ���� ����� �� ���� ���%�� �� ��� 4���� ��������� ��� ���� ������ '��� ����� ��� ������� ���� � ����*� ������ ������ ��� ����� �� ��� � ���� �� ���� �����!�������%������������������ ������� ��
�2�0� ���&*+! �!���� ��
���� ������ ������ ��� ������ �� ,�� �� '+---*� ��� ���� ��� ���� � ���� ��� � ������� � �� .����� 7�� ������� ����%� �� �������� �� ��� �������� �� ������ ��%������������4���� ��������!���� ������ ��������� ������ ����������� ���+(�
�������� ����������������� ������ ����43� '������%����������6�����8�4�8*��
����� ����� �� ����� �������� ���� ��� � ����� ���� �� ���� �� �� ��� ��������� ���� ���� � ����� ����� ��� ������ �� �����"� ��� 4������ ������������� )� �� ���� +(� �������� ���9� ������������ ���� '� ����� �����������
����������������� ����������,� ������� ����� ��� ���������������� ���� ���� ,�� �� '(��+*� �����!�� ���������������������������������������������� �� �� ���������������$���������
��� ����������������� ���������!���������������� ��������#����ba������������
��� ��%����� O����� ��P� � ������� ���#�� � ����� �����!�� �� ������� �� ����� ��������7� 7����� � � ���� ���� ����� �� ��� �����!�� �� � ����� �� ��� ���������� �� ������� ���� ��� ���� � � ������ � � � ����� ��� ����� ���� ���������� �������6�� �� � � �������� ������ ��������������%�������������������������� �� ������� ����� ���� ��������� � �� �������� ���� ������ � ���� ����������6��������������������������� ����������������� ����� ���������������� ��������������������������� ������������� ���� ������ ��������������� ������������ ����� �� ����� ���� �������.���� '+-?A�� +-/�� ��������,�� ��(��)*�������������4���� ����� �� ���� ����� ������������������ � ����9� ��� ������������ ��� ����� ��� �������� ���� ����������� ����
���������� �����������'������%����������6�����8�4�:*���
����������� ������� ����������� �����������������
24
&������������������������������� ������9���
- 8������������ �������� ��������N����������� ������������ ���� � ������������������������������������ ��������
- �������4���� �����������&�����������������&���������������������������
�����������������������������(���&+� ����� � �� ����������������� ������� ���������������������� ������������������������������� ������#� ������������� ����� �������� ���"������������� ���� �������!����������������������� � �������� ������� ���� �� �� ���� �� ���� �� ��� � ���� �� ��� ����� �������������������J����� ����'����� ���*���������� �������� ������� �� �����7��� ����� ��� ���� ���� �� ��� �������� ���� ���� ���� ��� ���9� ���� ������� ���������� ���� ��������� ��� � ����� ��� ������� �� �� � �� ����� ��� ����� ���������� �� ����� � ������!� ������ ��������� #�� ����8������������������� ������� ������� �9��- ,��������� ����������� ����������� �����- ,��� ������������������ ����� ������!��� ��������������- ��� � �� ���� � ����!��� �� ���� ��� ���� �� ������ ��������� �
�� ���������������!��������� � ������������������������ ����- ,������ � ��������������������������� ��������������� ��4���
- ,�� ����� ����������'������*������������4��������ba��� ����
�1������������� �����9��- $� � ����������������������������������������- ���� ����������������� �������� ���������J�����- D���� ��������������� � ������!� ����������������O� �����������P��- @���� ��������� ������� �������������������� �� ��� ��� �����������������
��� ��- $��� ��� � ���� �� ��!��� �� ������ �� ���� �� �� �� ����� ����� ��� ����
�������������� � ������� ����� ���%�� �����������
���������� ���������������
25
����������� �������� �����
��� ������ ��������� ������������������� �� �������������������������� �� ������������� ���� ������� ������������ ��� ��� ����� ���� �� ��������� ����� ������ �� ���� �� ��������� � ������������������������� ������������ ���������������������� ���������������������� �������� ���������������� �������������� �������������� ��������������������������� ���! ������"##$%��&��������� ����'���(��)���������&���������*� �� ������������ ����+������)',*%�� ����-���������������������������� ���� �������� ����� ���������� �� �� ����� �� ��� ���� ������� � -�� ����������� � .������ ���� �� �� ����� ��������� ���������� ��� �������� ������� ������� �������� /� ����� � � ���� �� ��� ��� �� (�0���� ������ �� ��������� ��������������� ����������������/����������� ���0����������������� �� ����� �� ������� �� � ��� ��������������� �������� ����������������� ���������� ���������)',* ��"##"�����"1%��
����� �������� ��!�"������#$����$�����
�'�������������� ��*�� ����2331%���������� ����������������"##$���������������� �������� ����������� -�� ��� ������ � ��� ����� ������ ��� �������������������������-�������� ������������������������� ����������������&������-�������� �� ������������������������ ����������� ��������/���� �0���� ���������������-��������������������������������������������� ����(��������������������������� ������� ����� ������������0�(����������� ������������ ���� ��� �4� ����� ������� ��������������� ���5������� ������������6�����������������5�6��2331/����������������������������������� �� ����
���%� ��&��&�����&���' ���� (�����
'����� ��������������0���������� �������������������������������������"##$��7��������������������������� ������� �� �������� ������ ������������ ����� ������ ��� ����� ������ �� ��� ��8��0�� �� �� �����0�(�� ������������ �� � ���� ��� ����� �� (�� �� ������ �� *�.���� �� ���� ���� � �� ������ ���������� �������� �9���
: ���� �0������� ���-���� ����� ������������/��
: �� ������ ��������� � �� ��� ����� � ���� ���� �� ������ � ������ �� ���������
: �� �������������� ������
���������� ���������������
26
4������������ ���������������� ����������������� �� ���(�9������������������ ��������� ����������� ���� �� ����� ������� �� ����� �� ������� ��� ��� �� ��!�� ��� ���
���������� "����&���� ���� ������������� ����� ����� �� ��� ���� ��� ����� ������ �� �� � ������ ����������� �� ������������������ ������������������� ����������8������������ ���������������� �������������� ����������������������������� ������������������ � ���� �� ������ � ���� �����������-��������� ����������������������������4����� �������-��������������������������������� ���� � -��� ������� ���� ����%� �� �������� �������� �������� ��� � ������ �� ��������-����������� ����������������� ����������� ������ ���������� ��������������������(�� ������������-����� ������� ��������������������������� �� ����� ; ��� ����� �� ���� �� ��� <,����� � ���� 6� �������� 7��� ����=� �����������-���� ��������-�9�4������ ����� ��������� ����� �� ������� �������6� ��������7��� �������������������������������� ���������( ����������� ��� ��� ������� �� ����������� ���������������� ������ ���� ���-���� �������������������������������������������������������! �������233>%�������������� �������(����������������� ����2331����9��
: 6� ��� ��������� �� ������� �� ���������9� &������0��� �� �� � ���� ����������������� ��������������� ����9�������?����������������������� ��������������������������
: @������ ������� �� ���9� @������� � ���� ������� �� ��������� � ������� ��������������� ��������
: *��(�� � ��� �����������9� 5������ ��������� -�� �-����� �� ���������� ���������0������� ��� ����� ������ �� ��� �� ��� ������ � � ���� #��$�� �!�� ���� ������ ��������������%� ������!��� ������������������������������������
�������&��������������������������������������'��4������ ����������������-�� ������������������ �(����������������?������������������������������������.����� ����������������?��������������������
���%��� ��$��$����&��)��� (�����
������� ����������������������������� ������������������ ������� �� ������ ��� ������ ��������� -���� ��������� �� ��� � ��� � "3$� ��� ������� �������� �� A� ���-��� �� $� (��� �� ���� -�� �� �������� ���� �� ��� ����� '������ ������������0�������� ������������9���������� ���������������6�&��2331%��4���� ��������������� ������ ����������-������� �������� ����������������� ���������������(���� ���9�
���������� ���������������
27
"*"� �"'�� +���� � �, %, ,
��-��
6����������������������?����� $� 3� 3� �
6����������������������� ����� A� B� 1� �. /0 6������������������������������� 1� 1� "� �
1"'
,���������������� "� "� "� 2
@���������� ������ B� C� C� �3 0 *���� A� $� A� �
' � 4������������������������� #� A� 2� �43 50
5���� ���������������������� A� #� >� %%� � 3 . / �/ � 50 20 %60 �//0
��7!�����$��$����&��)��� (������
6���������������������������������������� ���� �������������������������(����(��� ������������������� ������������������� ������� �� ����������� �����6� � ��-������������������������ ����23������$>� ��������������� �� ���������������������������������������������������������-����������������������������������������C��$A�������� ����C��$3/�� ��������������������������.������ ��������������� ������-���-����� ���������� ���������������� �������������� ������������4�.��'%���4���������� ��� �0���� ��������������� �������������������� ���� �������-����(��� ��������� ����������-�������������������������������� ��� ��������������� ���� ������������-���� ������@���8����-�� ����� �������������� ������ ������� � ����(��������������������� 9���
"� �������������������� ����� ������������ ���������������� ��2� ���������������������� �$� �������������������0����B� ��������������������������������A�A� ������������������������1� �������������������������C� ���������������������� �(�>� ������������������?�������������#� �������������������� ��������� ������ ���"3� ���������������������""� ��� ��������� ����� �������� � ���� ��� ��� � ������� �� �� ���
�������%��"2� ��������������������� �(��"$� ���������������������(��� ������"B� �������� ����0������������������������ ������D������"A� �������� ����0������������;���( ���7�����
�
A @�� �������� �� ������� ��� ������� � ��������������� ���� �� �� ��� ������� � ��0��� �� � �������������������� ��������@���8���233A%�
���������� ���������������
28
+���� � % 2 . 4 5 3 6 �/ �� �% � �2 �.�, E� E� E� E� E� E� E� E� E� E� E� � � � �%, � � E� E� E� E� � E� � � E� � � � �, � � E� E� � E� E� � � � � � � � �� "� "� $� $� 2� $� 2� 2� "� "� 2� � � � �
��7!�%���)$������������������!�$���#$��������#$�$�!&��)��� �����������
�&�� ���� � ������ �� ��� ������ �� ��������� -�� ��� � ���� ��� � ���� �������� ��������� ��� �� ���� ��� �����9� ��0���� ������������ �� ������������ 4���� � ������������� �� ���������� ����������� �������-������������?� ������8���������������� ����� ������� �����������-����������������������������������� . ������������ ����������������������������������-��������������� ��� ������� ���� -��� ����� � ���������� ����� �� �� ������� -��� ���� ��� ������� (�������� �� �� �������� �� ���� ��� �� ��� �������� ������� �������� �������� ��������� ���������
�%� ��7�������8��
'��������� ��� �8����� ���� 5���� �2332%�� ���� ������� � . �� ��� ���� ������ ����������������8��0�������-�������������������� ������������������������������������������������������������� �������� ���� ���������������������� ����-��������� ����������������������������� ��������������� ����������������������������
�F%���������� . ��� ������������������ ����������� ���������� ����/�������� ������������(�������������� ������� ������ ��������������������� ������� � ������� ���� �� �� ����� ��� ���� . �������������������������������������������������������������-������������������������������ ��� ����� ������������������������� ��������������������������� ���� ���������������������������$%��
�6� ��������� $� ���������� � ������� � . �� �� ���0���� ���� ��� 6�� ����� ����������&?�������������'�������������233>�;�233#/���������( ������������������������������������������������������������������������������� ��������� �����+����������� ����� ���0������������0����������������� �����������������������.���������� ����0��� �� ��� ��� �� � ������� � . �� �� ���0���� ���� ��� 6�� ����� ����������&?�������������'�������������233>�;�233#��������������0���������� ������� ������������ ������������������������������������-�������� ����������������������������������-����� ��� ����������������������������6� � ���� ��� � ������� ���� '�� �8��� 5����� �� *������ �23"3%� ��� �8����� -�� ��������� ��������������������������� �� ��������������������� . �������� ����� ������������������� ����������-����� ������ ����������������0��������
���������� ���������������
29
����� -�� ���� ������� �� ������ �������� �� -�� ���� ���������� ��� ������������� ��� �������������������� �� �������4���� �������������������(��������������������������������������. ����������������������������
�%��� ���� ��)����
�!�� ���� ��� ������������ ��� �������������� �������� ��(�������� (���)����(����)�����
����*��+�,����� ���-�,�� ������� ��������*�$�,��.//0�'� ����*������1'������� ����
��������������������%�#������������������������ ����*����'� �2���%� �3��4�5����
�
���������������� ������������ � ���� �� �� ������ ���������� �9�&���� ����9 &�$�� �� �$� ����� ����$����9 � �����9�����$��9$:� �������� �!9��;#$9&��&����#$9�&������9&����$��<�9&��7�7�!����-$:� ��������$�!�����
���� ������' ����$��-��� &���$���4-��������� �������������-�������������������������������������������� ����������� �� ��� ������ ��������� ��� �� ��������� ����� ������� �������� �� ���
��� ���������� ����*����� ���������� ��� ������������������ � ��&���������������
��� ������� �������'� 4��� ����� ��� ������� � ������ ������������ ��� ������� ����������������������������
��
1�)���4�' �����#$����)�$��� ��� ������#&�����
���������� ���������������
30
���� ����%�"!��� &���7�;��4��� �� �� ����� �� ���� ��� ������� �� �� ��� � ��������������� ��� ��� ����������������� ������������ �����������9� ����� ������ ��,�� �� ������ � ������� ���������'� &��� �� ��� ����������� �� �������0��� ���� ���� � ���8�� �� ������� ���� ������ ���������� 4�������� ���� ��� ������� � ������� � �������������������
�
1�)���5�"!��� &���7�;��
������ �������������<����������0��=���. ������ �������-�������������������������� ����� ����� ��� ����� ������� ��������� � ���������� �� ������������������������������� ������������4�.��7%����!�� ������������������������������������ ����������6���7���3���-���.//0�'���������1'�
������ ������������������������%�(�������'� �2���%����������� '�
������������������������� � ���������9�&�����������&������9��;#$9 &��&�����$�!����9 �����$��9 &����$��<�9 &��7�7�!����9� �����9 &�$�� �� �$� ����� ����$����9 ����� �!�� - $:� ��������$�!���
1 �� ���� �������������� ���������,������6� ��������7��� ��������� �������G������������
���������� ���������������
31
���� ������=���������!������� ����������������������������0��������� ������ ������� . ���� ����/��-��� � �� ���� �� ��� ������������ ��� ������� �� �� -��.�� �������������� �� ��������� � ��� ������� �� ������ �� ��� ������� ���������� ���� ������������ �����������������������9� ������������ ����������,�� �� ���������������������'������ ����������� ������������ ���������������-������ ��������
�
1�)���3��� &!����#$���$7��������� ����%��$�!�;���$���� ���#$���� �� ����� ���������� ���� �������� � � ��� � ��� �� � ����� �(� � ����������� ������ ������-����������� �(����� ���0���������������-������ ���������������� ������ ������� ��� ����������� �������� �������0������ ��� �����6���������� �� ���� ��� ������������������������.����������������������� ������� ��������������0�������� �����
�1�)���6��$��$��������!��"+�
���������� ���������������
32
�����4�.������������������� ������ ��������������������!�� ������������������������������������ ����������6���$���3��,��.//0�'���������
������������*������1'� �2���%����8�� �2���'�
������������ ������������ � ���� �����9� &���� ������ �&������9��;#$9&��&�����$�!����9�����$��9&����$��<�9&��7�7�!����9� �����9&�$�����$����������$����9����� �!���-$:� ��������$�!��
���� �����������! ��6����� ������������� �������� ����������� �����?������ ��� ��������?������ ���� ������������ ������� ���9� ����������� &������ ����������� ��������������������� ������������&�������������
�
�
1�)����/���$�������!��$:� ��������� �!������� ����%������� 7������� �������� ����� �� ��� �������� -�� .�� � � �� ��� �� ���� � ���� ������� �� ����������� ��� �� (� x � �� ��� ��� ����� �� � ��� ������� �� �� �� (� y ��� �� ���� � ������������������������������������������9���������������0��������� /������������������������� �� �������������������
�1�)��������&����$����#$)�(������!���!���#$�$���!��!�������$�&����$�-����� 7���
���������� ���������������
33
&���������������������0���� ������� ���������������������������������������4�.��@���������������� ������ �������������������
�%�%� ��)�$��)����
�!�� ���� ��� ������������ ��� ���� ���������� �������� �� (�������� (����)����� ����*��
+�,����� ���-�,�� ������ ���*�$�,��.//0�'� ����*������ .'������� ���� ��� ��������
���������%�#������������������������ ����*����'� �2���%� �3��4�5����
������������ ������������ � ���� �����9�&��&�����$�!����9 &���� >����9��;�$��9�����$��9�&������-&��7�7�!�����
���� ���������7�7�!������ &?�����6����� �������������������������� ����������������� 9��
HH@�������������� �HH�,� ����������������
����� (����� ���������� ������� ��� ����������� � ����� ��� ���� � ���� ���� ����� ��������������� . �����I� ������(����������������-���������"###%���������������� �� ������������������������������� ������������4�.��4%����
��
1�)����%���&��7�7�!������������$��!���?$����������!���
���������� ���������������
34
���� ����%�"<���������$��� �$��!������ ���������������������������-�������������������� ����������������� ��� �������������� ��� ��� ������� �� ���-�(��� �� � ���� ���������� ���� ���������������������������� �� ������� �������� ����������������������,����
��
1�)������������#$���$� �&���!��1�
�
�
�!�� ������������������������������������ ����������6���7���3���-���.//0�'���������.'�
������ ������������������������%�(�������'� �2���%����������� '�
������������ ������������ � ���� �����9� &��&�����$�!����9 ��;#$9�&������9$:� �������� �!9&��������9�����$��-&��7�7�!�����
���� ������"!�@�-���������������&��&�����$�!�����4�� ��������� ��� ���������������������� �� �� ���� ��� �� �������� ���� ��������� ��� �� ������ � (��� ��� ���� � ���� ������������� ��� �� ����� �������� ��� ����������������� ���������������������������������������� ��������������������������&��������(����������������9� �� ��������,������������ ������!�����&������������������
�
1�)����2���&����$����#$���$���7!���&��������$-��$�@��
���������� ���������������
35
���� ����%�A�#$��B�-� (���$���$��C�5������������������������������� ������� ������������0����������� ���� ������������ ������ ��������� ���� ������������ �� �������� ������������ ���� ��,�� �� �������������������'�
�
��
1�)����.�����&����$����#$��7�!��-)�(������D�!���!��?�����!)�$���������
�!�� ������������������������������������ ����������6���$���3��,��.//0�'���������
������������*������.'� �2���%����8�� �2���'�
������������������������������ � ���������9�&��&�����$�!����9��;#$9�&������9 $:� ��� ����� �!9 &���� ����9 �����$�� -&��7�7�!������
���� ������"!�)����!�� #$������ ��������� ������0����������� �� ������ ����������� (����� ������ ���0?����� � ���� -�� �� ������ ������� ����� ��� -�� ����� �� �������� ���������� ����������,��������������� �� �������?����������������� ������!�/��������?� ������������������� ���
���������� ���������������
36
��
1�)����4��$&��7!�� ���� �;�!���
����� ����%�' (��<�� &!����!�(!��!���&��7�7�!����������� ���� ������������� ���� ������������������������������(���������� �������������������������������0���������������������������������������������������������������������������������������������� ������������� ���������������������
�
1�)����5���&��7�7�!������������$��!���?$ �����
���������� ���������������
37
�%�� ������)������!�� ���� ��� ������������ ��� �������������� �������� ��(�������� (���)����(����)�����
����*�� +�,����� ���-�,�� ������ �� �������� �.//0�'� ����*������ 9'� ������ ���� ���
�����������������%�#������������������������ ����*����'� �2���%� �3��4�5��������������� ������������ � ���� �����9� ��;#$9 &����$��<�9&��7�7�!����9 $:� ��� ����� �!9 &���� ����9 �����$�� -&��&�����$�!������
���� ������"<���������&����$��;���#$��������� ������������� �� ������������ �������������������� ������������������������������������������������������� ����������������������0������������������������� �����9���,�������������������������'��
�
1�)����3����!�������$���������
���� ����%�E����������$��$�����$� ����!���(������������� ���� ����� �����������-�������� �� ��� �� �����������-���������� � ��� � ��� ���� -�� �� ������ �� ��� �� �� ���� ����� ������� ����������������� ����������������������������� �������������J�������������� ������ ��� ������ �� -�� ���� ������������ ������� � ��� �� ����� ���� ������������������+����������������8������������������� ���������� ���������������� �� ������ ��� ������!��� ����� ������ �������� �� ���� &������ ���������'� K ������ �����������������������������������4�.��G��
���������� ���������������
38
��
��
1�)����6���B����������$��$�����$� ����!�
��!�� ������������������������������������ ����������3���-���� ���,���.//0�'���������
9'������� ������������������������%�(�������'� �2���%����������� '�
����������� ������������ � ���� �����9�?$����9 &����$��<�9 $:� �������� �!9&��7�7�!����9&��������9�����$��-&��&�����$�!���������
���������� ���������������
39
���� �������$(!������?$���������� ������ ���� � ���0���� ����� ���� ��� �� ����� ��� ���� � ���� ������������ ����������������� � ���� �� ��� ���� ���� ��� �� ��������������������0��� ��������������� �� ��������� � ������ �� ����� ������ � ���� � ��� ���������� � >�������� � ���� ������������ ������������ ���9� ��0��� ����� ������ �?����� ����������� � �����
�
1�)���%/���������?���������!)�$��&�7!����$������� ����%��� �!��������� ���;#$����� 7������� ����������� �� ������������ ������������� �������������������������������������������� �������������������������������������,�����������������������
���������� ���������������
40
1�)���%���$&�����$7����!����
�!�� ������������������������������������ ����������6���$���3��,��.//0�'���������
������������*������9'� �2���%����8�� �2���'�
������������� ������������ � ���� �����9� ��;#$9 &����$��<�9$:� �������� �!9&��7�7�!����-&��&�����$�!������
���� ���������� �;�!���4���� �������� ����������-������� ���������������������������� ����������0����������������� ���� ����-����������������(������������� ������������ ������ ����� ������ �������� �� ������� ���������� 6����������� �����������9� �� ��������,�� �������������������'��
���������� ���������������
41
��
1�)���%%�������������� ��F�������
����� ����%������ &�G��$!���$������������ � �� �� ����� �� �-���� �������� ��� ���� � � �������� � ��� ������� ���� ���� �� ����� �� �� ����� � � �������� � ��� ������� � �������� 6����������������������9� ���������������������������-����'��
�
1�)���%�"!����� &�G��!��$;����$���!���$����������
���������� ���������������
42
�����4�.��L���������������� ����������� ����������������������� �$����������������� �� �������������������� �� ����������9���������������������� ����� ���� �� ��������� �� ��� ������ �� ���� �� ��������� � ��������� �������������������������� ������������������������������������������������������������������������� ����������*�.���� ���������-���� ���� ?� ������������� ������������ ������ ������������������������������������������8�������-���������� ����������������"##$����������������������������������������������������������-�������� ���� ��� ��� �� � �� �������� �� ���� � ���� ��� � 4� ����� � �� �������� ���������� �� ����������� ��������������������� ����������� ������������������5�6� ����� ���� ������%� �� ����� ������ �� ����� �� �� ����� ���� ��� ����� � �������������� ���(�9�6� ��������������������� �����������/�@������������������/� �� *��(�� � ��� �����������/� ���������� ��� ����� ������ � ��������� ������ �� �� ���� �� �������� �� ������ � ���� ����������� � ��������������������������������������4���������������������� �� ������������������� ������������� ��9� ����.���������������� ��������������� . ��������-����������� ����6�� ���������������&?����������������������������� ���0��������� ����������� . ���������������� �� ��� ������ ��������/� � �� ��� ��� �������� � ��� ����� � ����� ����(����� ������� �������� �������������������������������������������������������������� ���������������������� . ������������������.��� ����������������� ����2331������� ��0���������������������������9��: ��� ��� ���� ����������� ���� ��������� �����*������ �� ���� ��� �� ������
�� ���� ��������� �������� ����������������� ��� �������9������������� ������������� ���� ���� �� ���� �� ����� ������ ��� ��� ?� ���� ������� �� �������������������(�������������������������������0�������� �0���������������� ����
�: �������������������������������� ������-��������������������� ���� ��
����������������������-�����-������������������������ �����
: ����������� �������������������� ��� ���������*����������� ����� ��� ����������� �� ������ -�� ����� �� ��� ��� ������ �� ����������� ��������������������
�@������ ���������������������������� ���������� �������������9���� �0�������� ��� ������ ����� ������ ���� ��������� �� ��� ��������� �� �� � (�������� ����� ���������������� ����������������� . �%���
Capítulo 4: Análisis cognitivo
43
CAPÍTULO 4: ANÁLISIS COGNITIVO
4.1. Las producciones de los estudiantes En este capítulo se reportan evidencias de los resultados encontrados acerca de los significados de las fracciones presentes en la escuela y su tratamiento en el discurso matemático escolar y las dificultades que presentan los estudiantes. Para ello se aplicó un cuestionario a estudiantes de una escuela secundaria perteneciente al Estado de México, este instrumento incluyó seis situaciones problema, las cuales fueron tomadas tanto de resultados de investigación como de libros de texto, con la intención de analizar la manera en la que algunos de estos significados son abordados y trabajados en ellos. El cuestionario fue aplicado a 36 estudiantes de cada grado del nivel secundario, haciendo un total de 108 estudiantes correspondiente al turno vespertino. Los bosquejos que a continuación se presentan, se encuentran ordenadas en distintos niveles, que van del menor al mayor grado de profundidad, por lo que el último nivel – en algunos casos – representará las soluciones “completas” propuestas por los estudiantes, el propósito de efectuar la presentación a través de niveles es con la intención de evidenciar la evolución del significado generada en los estudiantes.
4.1.1. Problema 1: Reparto de tres barras de dulce
Este problema fue retomado y adaptado del estudio que Lamon (1999) desarrolló con niños de nivel elemental. Aunque pareciera que el problema será sencillo y directo en su solución, las respuestas de los estudiantes no evidencian una solución así, diversas son las formas en que ellos dan cuenta de la respuesta a la que los conducen sus percepciones e intuiciones.
Seis niños comparten estas barras de dulce. ¿Cuánto le toca a cada uno?
Figura 24. El reparto de tres barras de dulces.
En la solución de este problema se alude a una combinación de dos tipos de unidades, esto es, de acuerdo con Lamon (1999, p. 47): 1. Una unidad que incluye más de un ítem continuo y 2. Una unidad que incluye uno o más objetos continuos que han sido preparticionados.
Capítulo 4: Análisis cognitivo
44
Asimismo, establece que:
(…) diferentes tipos de unidades pueden proporcionar desafíos a diferentes a los niños. En ocasiones, uno de los factores que afectan un pensamiento del niño acerca de un problema está relacionado a si él puede o no ver todas las piezas bajo consideración.
De igual manera, Lamon (1999), establece que:
(…) la noción de partición es un mecanismo fundamental para la construcción de los conceptos y operaciones con números racionales (p. 77).
De la misma forma destaca la importancia que adquiere la noción de equivalencia cuyas raíces de su comprensión va más allá de las fracciones:
(…) son cultivadas cuando se realizan diferentes particiones que resultan en las mismas cantidades relativas (p. 77).
La respuesta esperada variará dependiendo de la forma en que los estudiantes reconceptualicen la unidad en piezas de diferente tamaño; que en este caso pueden ser tamaños que corresponden a: a. Un rectángulo pequeño b. Rectángulos pequeños c. Una barra compuesta de seis rectángulos pequeños d. Tres barras Así que la respuesta, puede darse, respectivamente como: 3 (rectángulos pequeños)
2
3(de dos rectángulos pequeños)
2
1 barra
6
1(de 3 barras)
o bien, en expresiones equivalentes a alguna de las descritas. Estas respuestas tienen relación con la noción unitizar propuesta por Lamon (1999, p. 42):
(…) la asignación cognitiva de una unidad de medida para una cantidad dada; (…), es el tamaño del bite mental en términos de los cuales se piensa acerca de la unidad, (…) es un proceso que está en la mente de la persona.
Capítulo 4: Análisis cognitivo
45
De este modo, Lamon advierte que este proceso es un proceso diferente al de decidir la unidad, agregando que:
(…) no solamente es importante para los estudiantes el ser capaces de identificar la unidad en una situación particular; sino que, con objeto de desarrollar sofisticación en el razonamiento, es importante reconceptualizar la unidad en términos de piezas de diferentes tamaños; es decir, es de utilidad ser capaces de unitizar y reunitizar en el curso de la solución del problema (p.48).
Siendo:
3I (de 1)
18
118
3U (de 1)
2
16 (de )1
6
118 (de
3
19)1 (de )1
U (1 de 3)
(3 de 1)
Ó
2
16 (de )1
nn
1
Capítulo 4: Análisis cognitivo
46
3
19 (de )1
6
118 (de )1
Figuras 25 – 30. Distintas representaciones de la unidad. La importancia matemática de las nociones incluidas en el problema:
1 de U
1 de 3
1 de 6
1 de 9
1 de 18
Figura 31. La interpretación de la unidad en la recta numérica.
Se “observa” que la unidad U , por las pre – particiones manifiestas se puede dividir
en tantas partes enteras como se desee obteniendo fracciones unitarias como 3
1,
6
1,
9
1
ó 8
1.
Y que la unidad U queda entonces “arreglada” como 3 (de 3
1); ó 6 ( de
6
1); ó 9 (de
9
1); o 18 (de
18
1).
Por lo que estos hechos se colocan desde un punto de vista de los racionales como estructura en cuestiones que apuntan hacia la propiedad de densidad y hacia la
propiedad descrita como: 11
mm ; es decir, a la noción de inversos multiplicativos.
Propiedades que se enuncian formalmente de la siguiente manera:
Capítulo 4: Análisis cognitivo
47
1º Propiedad de densidad: Entre dos racionales, existe un tercero; es decir, si a y b Q , entonces existe Qr tal que bra
2º Si Qm , con 0m ; entonces existe Qm 1 tal que 11 mm , con m
m11
3º
mm
1
vecesm
mmm...
1...
11
De las respuestas de los estudiantes se puede decir que: Más del 90 % de los estudiantes de cada grado respondió apropiadamente el problema, en cuyas estrategias observamos su percepción del problema y en su respuesta reflejan la idea generada al respecto. Aquí lo interesante es precisamente el cómo lo asumen y entienden, ya que a pesar de considerarse un problema “fácil”, cuya solución parece inmediata en el fondo no lo es, requiere de concepciones sólidas como lo son las nociones de partición unitización y equivalencia. A continuación se presentan evidencias de las soluciones planteadas por 7 estudiantes: En un primer nivel se encuentran las realizaciones de Brenda y Enriqueta, de tercer y primer grado:
Figura 32. El procedimiento de Brenda.
Figura 33. El planteamiento de Enriqueta.
Ambas consideraron a la unidad como compuesta de 18 rectángulos pequeños; por lo que su respuesta proviene de la realización del cociente 618
Capítulo 4: Análisis cognitivo
48
En un segundo nivel, se encuentran las producciones de dos estudiantes de primer grado y uno de segundo.
Figura 34. La solución de Daniela.
Figura 35. El procedimiento de Sandra.
Figura 36. La realización de Daniel.
Ellos visualizan la unidad como compuesta de 3 barras por lo que su respuesta proviene de la realización del cociente 63 (una unidad formada por 3 de 1) En un tercer nivel, se encuentran las producciones de Erick, de primer grado y Jaime de segundo:
Figura 37. El planteamiento de Erick. Erick visualiza a la unidad como una de 3 (una unidad formada por 1 de 3) por lo que su respuesta proviene del cociente 61
Capítulo 4: Análisis cognitivo
49
Figura 38. La solución de Jaime.
En el caso de Jaime se observa una visualización similar a la de Erick. Sin embargo
parece que existe una confusión en cuanto a que: 18
3
6
1
6
1
6
1 ; es decir, este
estudiante parece tener la falsa idea de la suma de fracciones: db
ca
d
c
b
a
. Hecho
que parece haberse inducido por la equivalencia de fracciones: 18
3
6
1 y por la
condicional “si se suman” planteada por el estudiante.
Figura 39. Una representación de equivalencia de fracciones.
Algunas consideraciones
El planteamiento generó la aparición de un par de nociones centrales en la respuesta, la unitización y la partición. Tanto una como otra juegan un papel fundamental en la comprensión del problema. Las producciones de los estudiantes permitieron “mirar” la forma en que percibían a la unidad a partir de lo que veían, ya sea una unidad compuesta o no, su respuesta delata la idea que evoca en sus pensamientos. A pesar de aparentar ser un “planteamiento sencillo y directo” las respuestas generadas por los estudiantes dan cuenta de una variedad de interpretaciones al respecto y de cómo establecen un vínculo entre una imagen y un tipo de simbolización.
4.1.2. Problema 2: El reparto de dos pizzas
Este problema fue tomado de un texto denominado Libro para el maestro, un material propuesto por la Secretaría de Educación Pública, en el que se plantean aproximadamente 472 problemas, situaciones o ejercicios como apoyo al profesor. El problema se ubica en el tema correspondiente a las fracciones, tema en el que se especifica lo siguiente:
Capítulo 4: Análisis cognitivo
50
El estudio de las fracciones es importante por sí mismo y porque permite el desarrollo de nociones útiles para el conocimiento de temas más avanzados, como son el razonamiento proporcional y el estudio de las expresiones racionales en el álgebra (SEP, 2002, p. 81)
Con el objeto de conocer los significados involucrados en el problema, así como las operaciones involucradas, fue como se decidió considerarlo como parte del cuestionario. Tres amigos entran a un restaurante y piden dos pizzas que reparten entre ellos. ¿Cuánto le toca a cada uno? Poco después llega otro amigo. ¿Cuánto debe convidarle cada uno para que los cuatro tengan la misma cantidad?
Figura 40. El reparto de 2 pizzas.
Una primera mirada a la solución del problema Solución a la pregunta 1: La primera corresponde al reparto de las 2 pizzas (a partes iguales) entre los 3 amigos. Lo cual se obtiene con sólo dividir la unidad de 2 (1 de 2) entre 3; es decir, al
calcular 3
2, lo cual indicará que cada uno recibirá
3
2 de pizza.
Figuras 41 – 42. Repartos de la unidad.
3
22
3
1
3
1
3
2 T Solución a la pregunta 1
Solución a la segunda pregunta: Ahora bien, cuando llega el cuarto amigo, claramente el reparto equitativo señala que
ahora cada amigo recibirá 4
1del total; es decir 2
4
1, lo que equivale a
2
1pizza.
Capítulo 4: Análisis cognitivo
51
Así que cada uno de los 3 personajes iniciales tendrá que ceder al 4º una cantidad x , de manera tal que
2
1
4
22
4
1
4
1
4
2 T Solución a la pregunta 2
De donde: 2
1
3
2 x
6
1x
6
3
6
4 x
6
1x
Verificando que: 2
1
6
3
6
13
ó 2
1
6
3
6
1
6
1
6
1
El total de las piezas cedidas al cuarto amigo es igual a 2
1pizza
Una segunda mirada al problema a) Una solución independiente (a las 2 preguntas)
Reparto a 3 amigos
3
1 (de 2)
6
2 (de 2)
3
2 (de 1)
Figura 43. Representación de 3
2 de cada pizza.
Reparto a 4 amigos
4
1 (de 2)
2
1 (de 1)
Figura 44. Representación de 4
1 de cada pizza
Capítulo 4: Análisis cognitivo
52
b) Una solución dependiente: (la segunda respuesta en función de la primera)
2
1
3
2 x
6
1x (de 1)
4
1
6
4de
Figura 45. Representación de 6
1 de pizza
Así; cada uno de los 3 amigos iniciales; deberán dar 4
1 de lo que recibieron en el
primer reparto, al cuarto amigo que llega al final. Esto debido a que
6
4
3
2 de una
pizza, se convierte en la nueva unidad a considerar para dar respuesta a la segunda pregunta. Ahora bien, estos procedimientos podrían representarse en una recta numérica:
0 1 2
0 1 2
3
2
0 1 2
2
1
Capítulo 4: Análisis cognitivo
53
0 1 2
2
1
3
2
6
1(medida)
0 1 2
2
1
3
2
0 1 2
0
Figuras 46 – 51. Representaciones de la solución del problema en la recta numérica. Ha de observarse que el problema y su solución incluyen (al menos) 3 tipos de unidades distintas: 1 (de 2) 2 (de 1)
1
3
2de
Asimismo incluyen la noción de equivalencia:
26
21
3
22
3
1
2
11
2
12
4
1
6
1
6
4
4
1
y las operaciones de adición y diferencia de fracciones:
Capítulo 4: Análisis cognitivo
54
13
1
3
1
3
1 ó 1
4
1
4
1
4
1
4
1
16
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
1
2
1
2
1
16
2
6
2
6
2
ó
2
1
6
1
3
2
2
1
6
3
6
1
6
4
Hechos que apuntan a propiedades de Q como estructura algebraica (es decir, como un conjunto no vacío en el que se tienen definidas operaciones y éstas poseen propiedades). Propiedades como:
ab
cc
b
a
11
mm
mb
ma
b
a , entre otros.
Al mirar con detenimiento el proceso de solución queda de manifiesto que el problema planteado incluye los siguientes elementos: entre los significados asociados a la noción de fracción involucrados en el problema: (parte todo, operador, medida,
cociente, partición, la noción unidad: 2 de 1; 1 de 2; 1 de 3
2 (entre otras); junto con la
equivalencia de fracciones, la adición, la diferencia y el producto de fracciones). A continuación se presentan evidencias de las soluciones de 9 estudiantes. En un primer nivel se encuentran las realizaciones de Vanessa y Diana de primer grado:
Capítulo 4: Análisis cognitivo
55
Figura 52. La solución propuesta por Vanessa. Vanessa responde las dos preguntas representando el Todo (las 2 pizzas) usando sólo un círculo. Hace uso de la noción parte – todo. Utiliza la escritura de fracciones de una
manera aparentemente “ordinal” (3
1 para el primer tercio;
3
2 para el segundo tercio,
etc.). No percibe la conexión entre las 2 preguntas.
Figura 53. La respuesta de Diana. Diana sólo hace uso del significado parte – todo. Tampoco logra conectar las preguntas. En un segundo nivel se encuentran las respuestas propuestas por Enriqueta, Diana y Daniela, quienes también se encontraban en primer grado:
Figura 54. El procedimiento de Enriqueta.
Enriqueta conecta las dos preguntas. Sus respuestas son “aproximadas” y se deben a que la pregunta (que parece dominante) es la segunda. Anticipa una partición de las 2 pizzas en un total de 16 rebanadas, de manera que al repartirlas entre los 4 amigos, cada uno reciba un total de 4 rebanadas. Hecho que obtiene cuando cada uno de los 3
Capítulo 4: Análisis cognitivo
56
amigos iniciales le convida una de sus 5 rebanadas que le tocaron en el primer reparto. Obteniendo así 3 rebanadas, las cuales sumadas con aquella sobrante de ese primer reparto, le proporcionaría la cantidad requerida. Enriqueta sólo realiza operaciones con enteros.
Figura 55. El planteamiento de Diana.
Figura 56. El planteamiento de Daniela. Tanto Diana como Daniela resuelven el problema privilegiando la segunda pregunta también y apoyándose fuertemente en representaciones parte – todo. Mientras que
Diana acierta a la segunda respuesta 6
1, Daniela evidencia el cociente 66.032
pero no lo advierte como respuesta de la primera pregunta. Pareciera no conectar este resultado con el resto del ejercicio. En un tercer nivel se encuentran las realizaciones de Leslie y Brenda de tercer grado:
Figura 57. La solución propuesta por Leslie.
Capítulo 4: Análisis cognitivo
57
Figura 58. El procedimiento de Brenda. Ambas resuelven correctamente la primera parte; no obstante, Brenda hace uso de una notación fraccional, Leslie no expresa así. Las dos estudiantes conectan las dos preguntas y contestan acertadamente la segunda parte también (aun cuando no lo consiguen expresar en términos fraccionarios de la unidad original). Leslie hace particiones en doceavos (de la unidad de 2); o bien, en sextos de cada unidad.
16
12
12
1 . Hecho que fue inducido por los datos 3 y 4 del problema. (12 es su
mínimo común múltiplo): 2
1
6
3
6
1
6
4
La respuesta de Brenda implícitamente establece que:
2
1
6
3
6
1
6
4
6
1
3
2
3
1
2
1
3
2
2 rebanadas 1 rebanada
En un último nivel se encuentran los procedimientos de Alma de primer grado y Sandra de segundo grado, quienes ofrecen soluciones correctas.
Figura 59. La solución propuesta por Alma.
Alma reconoce que 6
2(de 2)
3
2 (de 1); sin embargo no advierte si
6
1(que es su
respuesta a la segunda pregunta) es respecto a 2, o si es respecto a 1. Parece tener dificultades con unitizar.
Capítulo 4: Análisis cognitivo
58
Figura 60. El procedimiento de Sandra.
Sandra incorpora en su solución; de manera implícita, los hechos:
12
1
3
1
4
1
2
1
12
6
12
2
3
2
2
1
12
6
12
2
3
1
Ella logra responder gráficamente la segunda pregunta. Obsérvese que la respuesta a la segunda pregunta está dada en términos de una pizza como unidad, y no como una
comparación con la “nueva unidad
3
2”
Implicando nociones como: equivalencia, orden y comparación.
Figura 61. Fracciones equivalentes de 3
1
Algunas consideraciones
De acuerdo con las respuestas proporcionadas por los estudiantes, una solución “completa” la ofrecen estudiantes tanto de primer como de segundo grado.
Capítulo 4: Análisis cognitivo
59
Algunas de las dificultades detectadas son: a) la interpretación del problema, debido a que algunos sólo responden una de las dos preguntas que incluye el problema; b) la forma en que llegan a la respuesta de la segunda pregunta – evadiendo considerar las condiciones para responder esa pregunta; c) la nueva unidad que se considera y que
es 3
2, parece ser la idea que no logra trascender, el hecho de partir ahora de una
fracción y repartirla nuevamente en partes iguales; d) acceder a la noción de equivalencia, pocos son los que perciben cómo es que esa noción les permite arribar a fracciones equivalentes para poder realizar el reparto solicitado.
4.1.3. Problema 3: Determinación de la fracción señalada en la recta
Esta situación fue retomada de la planeación propuesta7 para la aplicación de la reforma a la educación secundaria en 2006. En ella se propone reflexionar acerca de la posición del cero, el orden y la escala en la recta numérica. En la siguiente recta numérica el segmento (0, 5) está dividido en tres partes iguales. Anota el número que corresponde al punto señalado con la flecha.
Figura 62. División de un segmento.
La solución esperada es igual a 53
2 que equivale, entre otras a
3.36.1253
12
3
10
Figura 63. Representación de la unidad (5 de 1).
y que en una representación parte – todo se vería como la parte sombreada
7 La cual se detalla en: http://www.reformassecundaria.sep.gob.mx/matematicas/
0 5
Capítulo 4: Análisis cognitivo
60
53
2
Figura 64. Representación de una parte de la unidad.
Como se puede observar el ejercicio incluye las siguientes nociones ligadas a la fracción: parte todo, partición, medida, cociente, operador, decimal (periódico). Así como las operaciones producto de fracciones (e implícitamente la adición de fracciones); la equivalencia de fracciones y la equivalencia de operaciones. Por lo tanto, podrían hacerse explícitas propiedades como: 1: Propiedad de densidad en Q .
2: Propiedad: b
acc
b
a
A continuación se presentan las soluciones de 8 estudiantes. En los primeros 2 casos que corresponden a Alfredo y Erika de primer grado, se observa la influencia de la estructura de los números naturales, y probables formas de enseñanza de la misma:
Figura 65. La solución propuesta por Alfredo. En este caso, cuya respuesta es 5 , parece evidenciar una visión “fragmentada” del segmento 5,0 ; es decir, una visión discreta, considerando únicamente la medida de “cada parte” del segmento como 5
Figura 66. La representación de la interpretación de Alfredo.
Capítulo 4: Análisis cognitivo
61
Mientras que:
Figura 67. El procedimiento de Erika.
Erika exhibe tanto una partición del segmento dado en 5 componentes; así como una aproximación a 5.3 para la respuesta. Ésta inducida sólo por el hecho de que lo solicitado se encuentra “entre” 3y 4 (considerando sólo la mitad correspondiente). En un segundo nivel se encuentran los desarrollos de Patricia e Ivette, también del primer grado.
Figura 68. La solución propuesta por Patricia.
El caso de Patricia toma como referente a 5.0 , y no a 5 como se propone en el ejercicio. Esto pudo provocarse por la forma de representación del segmento 5,0 , e interpretada como 5.0 por la estudiante (y sólo tomando la mitad del segmento de 0 a 5.0 ).
Figura 69. El procedimiento de Ivette.
El caso de Ivette parece ser una combinación de lo interpretado por Patricia y Alfredo. Aquí cabría enfatizar que Ivette calcula el cociente 35. , obteniendo como solución a 16. ; y reflejando de inmediato lo encontrado, en la recta dada. En un tercer nivel se encuentran los planteamientos de Brenda de tercer grado y Sandra de segundo grado:
Capítulo 4: Análisis cognitivo
62
Figura 70. La solución de Brenda.
Figura 71. El procedimiento de Sandra.
Los casos de Brenda y Sandra, quienes encuentran soluciones aproximadas, evidencian procesos de aproximación aditivos basados en la medida de las partes del segmento original. Uno con “exceso” y otro con “defecto”. ( 1.5 y 8.4 , respectivamente). En un cuarto nivel se encuentran los desarrollos de Héctor y Diana, ambos de primer grado:
Figura 72. La respuesta de Héctor. El caso de Héctor, así como el de Diana, evidencian procesos de aproximación, multiplicativos (Diana también incluye procesos aditivos). En el primero, lo escrito refleja el cálculo:
6.153
15
2.36.1253
125
3
2
Capítulo 4: Análisis cognitivo
63
Figura 73. La solución propuesta por Diana. En el caso de Diana se observan cocientes 35. y 39.7 y de manera implícita el cociente 35 con soluciones aproximadas a 63.1,61.1,6.1 y 66.1 ; esta última usada
para los cálculos 53
1 y 5
3
2; reportados como 66.1 y 32.3 respectivamente.
Algunas consideraciones
La intención de este problema fue utilizar la recta numérica como recurso gráfico para resolver un problema de reparto (cinco entre tres) implicando a la vez el significado de la fracción principalmente como cociente. Los posibles razonamientos son:
1) Si el segmento dado fuera 1,0 el número señalado con la flecha sería 3
2, pero
como el segmento es cinco veces más que eso, entonces el número señalado en la recta
es 3
2 de 5 , es decir,
3
10.
0 1
3
21
3
2
0 5
3
105
3
2
Figuras 74 – 75. Representaciones de 3
10
Capítulo 4: Análisis cognitivo
64
2) Dado que el segmento 5,0 está dividido en tres partes iguales, cada parte es el
resultado de dividir 5 entre 3, esto es, 3
5; por lo tanto, a la segunda parte le
corresponde 3
10
3
52
3
5
3
5
.
Los últimos casos presentados en este problema evidencian elementos de aproximación interesantes en torno a la solución esperada (que guardan relación con la propiedad Arquimediana en Q ). Para todo nm con m y n Q , entonces existe k entero tal que mkn m
n
Figura 76. Representación de la propiedad Arquimediana en Q
4.1.4. Problema 4: Mezcla de pinturas Esta situación se retomó del libro de texto de Block y García (2008) en la lección correspondiente a analizar la interpretación de tomar una fracción de una fracción. Cabe destacar la importancia que adquiere la noción parte todo dentro del problema, ya que si no se tiene cuidado con la pregunta que se realiza en esta situación podría errarse en la interpretación del problema, de hecho a los estudiantes les causo ciertas dificultades entender cómo habrían de interpretar la fracción de una fracción. Una mezcla de pintura está compuesta por pintura roja, pintura blanca y agua.
Las pinturas roja y blanca representan juntas 5
3 de la mezcla. La roja es
4
1de
esos 5
3. ¿Qué fracción de toda la mezcla representa la pintura roja?
Figura 77. Determinar una fracción de mezcla.
Capítulo 4: Análisis cognitivo
65
La solución del problema, corresponde a calcular
5
3
4
1 cuya solución se calcula como
20
3. La cual puede representarse de la manera siguiente:
5
3
Figura 78. Representación de la fracción 5
3
20
3
5
3
4
1
Figura 79. Representación de la fracción
4
1 (de 5
3 de la unidad).
Como se puede observar en el segundo dibujo, la expresión
5
3
4
1 puede
reemplazarse por
20
12
4
1; (ya que
5
3 y
20
12 son fracciones equivalentes) y entonces
también puede concluirse que
20
12
4
1; es decir, la cuarta parte de
20
12; es igual a
20
3
Otra forma de calcular la expresión
5
3
4
1 es a través de una forma convencional,
realizando los productos de numeradores y denominadores (por separado), y escribiendo los resultados obtenidos como numerador y denominador, respectivamente, de la fracción resultante:
Capítulo 4: Análisis cognitivo
66
20
3
54
31
5
3
4
1
5
3
4
1
Una forma más de cálculo corresponde al uso de transformación de las fracciones que
se operan
4
1y
5
3, en formas decimales.
25.04
1 y 6.0
5
3
y realizando el producto indicado 15.0150.06.025.05
3
4
1 , expresión que
también se puede encontrar calculando la expresión: 45
3 la cual en forma decimal se
expresaría como 15.046.0 Como se observa, la solución involucra los siguientes significados de la noción fracción: parte todo, cociente (partición), medida, número decimal y operador. Así como:
- La noción de unidad: Primero como 1, posteriormente como 5
3
- La equivalencia de fracciones
- Las operaciones: producto y cociente de fracciones
- La composición de operadores
15
3
4
1
Evidenciando la relación: a
b
d
c
d
c
b
a al pensar la igualdad
5
3
4
1 como 4
5
3
A continuación se muestran las producciones de 9 estudiantes. En un primer nivel se tienen las realizaciones de Fernanda y Mitzi, de tercer grado:
Figura 80. La solución de Fernanda.
Capítulo 4: Análisis cognitivo
67
Figura 81. La solución de Mitzi. Ellas tienden a realizar operaciones “inmediatas” que pareciera fueron inducidas por un tipo de enseñanza. En el caso de Fernanda, la operación dominante es la adición; mientras que en el caso de Mitzi, el tratamiento es a través de una regla de tres, bajo la idea de un comportamiento de “variación directamente proporcional” de los datos. En un segundo nivel aparecen los procedimientos de Eduardo y Héctor, también del tercer grado; quienes tienden a resolver el problema de una “manera aditiva”.
Figura 82. El procedimiento de Eduardo. Eduardo procede a sumar las fracciones haciendo transformaciones equivalentes;
hallando 20
17 como solución.
4
1
1
20
17
Figura 83. La interpretación del procedimiento de Eduardo.
Por su parte Héctor extiende este procedimiento, restando ese resultado
20
17 a la
unidad.
Figura 84. El procedimiento de Héctor.
Capítulo 4: Análisis cognitivo
68
Héctor encuentra como solución a 20
3 (la cual es correcta, aun cuando el
procedimiento no lo es).
20
17
1
20
3
Figura 85. La interpretación del procedimiento de Héctor
En un tercer nivel están los procedimientos de Marco Antonio y Sandra, del tercer y segundo grado respectivamente.
Figura 86. El procedimiento de Marco Antonio. Marco Antonio representa la unidad (a través de círculos) y representa
respectivamente, 5
3 de ella
15
3; y
4
1 de
5
3; pero no hace la conexión
correspondiente:
15
3
4
1
Marco Antonio no representa en forma fraccionaria la solución; su procedimiento queda “estacionado” en un manejo del significado parte – todo con un solo tipo de representación y asignación de la unidad.
Figura 87. El planteamiento de Sandra.
Capítulo 4: Análisis cognitivo
69
Por su parte Sandra hace las representaciones gráficas para 5
3 y para
4
1 de
5
3,
proporcionando su respuesta como 12
3, la cual siendo mal etiquetada “es correcta”, ya
que
20
3
60
9
5
3
12
3
5
3
4
1
Sandra proporciona su solución haciendo uso de una representación pictórica tanto
para la unidad original; como de los 5
3 de esa unidad original, así como del
4
1 (de esos
5
3 de la unidad original). Su respuesta la proporciona en función de su nueva unidad, y
no la conecta con la unidad inicial. En un último nivel aparecen las realizaciones de Karina y Daniela de tercer y primer grado respectivamente; junto con la de Obed, también de tercero.
Figura 88. La interpretación de Karina.
Figura 89. La representación de Daniela.
Capítulo 4: Análisis cognitivo
70
Tanto Karina como Daniela incluyen la solución correcta a través de representaciones gráficas haciendo uso de los significados de la noción de fracción como: comparaciones parte – todo, partición, medida y unitización (Lamon 1999, 2001). Nótese como tienen en mente la partición de una partición:
5
3
15
3
0 1
15
3
4
1
4
1
20
31
5
3
4
1
20
3
Figuras 90 – 92. Representaciones de partición de una partición.
Por otro lado, Obed también realiza este procedimiento, sólo que de manera más completa (ya sin representaciones gráficas).
Figuras 93. La interpretación presentada por Obed. Para ello usa números decimales y operaciones entre ellos; así como equivalencias entre representaciones fraccionales y representaciones decimales.
Capítulo 4: Análisis cognitivo
71
6.05
3 y 15.0
4
6.0
20
3
100
1515.0
Que vistas sobre rectas numéricas se verían así: 0 1
10
6
15.0 0 1
Figuras 94 – 95. Representaciones de la interpretación de Obed.
Obed implícitamente utiliza el hecho de que a
b
d
c
d
c
b
a
45
3
5
3
4
1
Algunas consideraciones
Entre algunos de los momentos que este problema ofreció en su solución, se tiene:
- El paso hacia una representación del problema, el cual genera varias interpretaciones. Se parte de una unidad original para arribar a una “nueva unidad” y a partir de ésta se obtiene la solución.
- La aparición de modelos, como lo es “el modelo de áreas” para explicar la solución.
- La transformación hacia una representación simbólica, la cual se “mira” desde la aritmética, la geometría y el álgebra.
Capítulo 4: Análisis cognitivo
72
4.1.5. Problema 5: Mezcla de agua con jugo de naranja
Este problema fue extraído del libro de texto de Cantoral, Cabañas, Castañeda, Farfán, Lezama, Martínez, Molina, Montiel y Sánchez (2008) de primer grado, problema que se encuentra ubicado como ejercicio de profundización en el tema referido a problemas multiplicativos. Tal como en el libro se advierte, las situaciones planteadas van de lo simple a lo complejo, de la diversidad a la síntesis, con la intención de articular los conocimientos de manera progresiva. Y este problema es claro ejemplo de ello. Hecho que se manifiesta a través de las diversas dificultades que enfrentan los estudiantes para poder aproximarse a la solución del problema. Sólo algunos estudiantes de tercer grado lograron acceder a la solución, recurriendo a dos nociones vinculadas con la noción de fracción que no habían sido contempladas en la solución esperada.
En dos jarras iguales tenemos una mezcla de agua con jugo de naranja. En una de las jarras, la proporción es de 7:3 ; es decir, de 3 partes de agua y 7 de jugo de naranja, mientras que en la otra hay una proporción de 5:3 . Si juntamos el contenido de las dos jarras, ¿cuál será la proporción?
Figura 96. Mezcla de agua con jugo de naranja. La solución esperada de este problema puede alcanzarse a través del procedimiento siguiente: 1º La interpretación de la información, a través de una representación parte ‐ todo en cada una de las jarras:
Figura 97. Representación del contenido de la jarra 1
Figura 98. Representación del contenido de la jarra 2
Para la jarra 1: 7:3 3 partes de agua y 7 de jugo
Para la jarra 2: 5:3 3 partes de agua y 5 de jugo
Capítulo 4: Análisis cognitivo
73
2º Información que al ser expresada en forma de fracción, indica que:
En la jarra 1 hay 10
3 de agua y en la jarra 2 hay
8
3 de agua
(o bien: 10
7 de jugo en la jarra 1 y
8
5 de jugo en la jarra 2)
3º Fracciones que al ser convertidas en otras equivalentes y con un denominador común se expresarían así:
40
12
10
3 ;
40
15
8
3
40
28
10
7 ;
40
25
8
5
4º Fracciones que al “sumarse” (al juntar el contenido de las 2 jarras) quedarían expresadas como:
40
27
40
15
40
12
40
53
40
25
40
28
5º Las cuales reescritas con respecto al contenido total (correspondiente al de las 2
jarras) quedarían expresadas como: 80
27 y
80
53
3 7 3 5
Figura 99. Representación del contenido de las dos jarras. Pasando las representaciones a razones tenemos:
10
3
8
3
Transitando a fracciones equivalentes tenemos:
40
12
40
15
40
27
80
27
Capítulo 4: Análisis cognitivo
74
6º Solución que al ser interpretada en términos de “proporción” quedaría como:
80
53:
80
27
o en una forma equivalente más simple como: 53:27 ; es decir; al reunir el contenido de las 2 jarras se tendrían 27 partes de agua por 53 de jugo. Algunas observaciones necesarias respecto al problema: 1. El problema explicita inicialmente 2 jarras; es decir 2 unidades de 1. Finalmente
una jarra de 2 (es decir, una unidad de 2 (1 de 2))
Figura 100. Representación de 2 unidades de 1 o 1 unidad de 2.
2. Los contenidos de la jarra son iguales, lo que posibilita la suma 8
3
10
3
( la cual se pudo haber resuelto “directamente” 40
27
40
1512
8
3
10
3
)
3. La reescritura en el 5º paso se induce a partir de la incorporación de los
contenidos de las 2 jarras en una nueva jarra (cuyo contenido es el doble del contenido de una de las jarras).
4. El problema incluye varios de los significados de la noción de Fracción: el de razón
(aquí mencionado como proporción), parte todo, medida y cociente (que involucra a la partición).
5. El procedimiento de solución incluye: a. Pasajes de la noción razón a la noción fracción común
10
3
7:3
10
7
b. Equivalencia de fracciones 40
12
10
3
c. Adición de fracciones 8
3
10
3
d. Pasaje de la noción fracción común a la noción razón
Capítulo 4: Análisis cognitivo
75
80
27
53:27
80
53
e. Equivalencia de razones 80
53:
80
27 ~ 53:27
f. Suma de razones 53:277:35:3
Obsérvese que la suma de razones no induce ninguna de las formas de adición de fracciones reportada por Lamon (1999, 2001). A continuación se muestran los planteamientos de 6 estudiantes. En un primer nivel aparecen las soluciones de Joel Antonio y de Uriel de tercer grado, en ambos casos se puede notar la indicación de una adición, y sólo una adición.
Figura 101. La solución propuesta por Joel Antonio.
En el caso de Joel se presenta una adición de fracciones cuyos componentes
provienen directamente de los datos del problema
7
3
5
3
Figura 102. La respuesta de Uriel.
En el caso de Uriel, la adición aparenta ser de decimales (en este caso la interpretación del resultado obtenido pareciera provenir de una idea de números denominados). Ambos casos son erróneos. En el segundo nivel se puede observar lo planteado por Carlos del primer grado, quien recurre a representaciones gráficas, descansando la idea central en la creencia de que
Capítulo 4: Análisis cognitivo
76
las partes son iguales en las mezclas originales. En ellos se observa la suma de razones siguiente:
12:65:37:3 dbcadcba :::
Figura 103. La representación de Carlos. El último nivel lo forman las soluciones de Carlos Alberto y Ángel de tercer grado. Estos estudiantes desarrollaron estrategias similares. Ambos hicieron una interpretación de las razones originales para realizar un reparto proporcional a través de las nociones parte – todo, porcentaje, promedio y medida. Sus procedimientos sólo incluyen representaciones simbólicas. Ambos llegan al mismo resultado encontrado por Carlos 12:6 ; o en una forma equivalente 6:3 ; sin embargo, su procedimiento es el correcto. No así el de Carlos. Puede observarse que el procedimiento de Carlos Alberto y Ángel es un procedimiento equivalente al procedimiento expuesto en la sección Solución esperada.
Figura 104. La solución propuesta por Carlos Alberto.
Capítulo 4: Análisis cognitivo
77
Figura 105. La solución propuesta por Ángel.
Algunas observaciones significativas respecto a las soluciones en este nivel son las siguientes:
a) El trabajo de Ángel se corresponde con los pasos 1 y 2 de Carlos Alberto, con la diferencia de que Ángel anticipa los redondeos.
b) El trabajo de Carlos Alberto incluye dos pasos más, que desde una perspectiva
de la matemática resultan innecesarios; pero que desde una perspectiva psicológica le resultan obligados. Esto último parece haber sido inducido por el número total 18 de partes involucradas en el problema.
c) Resulta interesante ver cómo estos dos estudiantes “operan” la integración – desintegración de las dos jarras en una sola jarra; esto a través del promedio de contenidos expresados en porcentajes. Podríamos asegurar que compactaron el procedimiento.
d) La respuesta 53:27 es equivalente a las respuestas 25.66:75.33 y 925.11:075.6
e) Las nociones de porcentaje y decimal (usadas por estos estudiantes) se agregan a las nociones consideradas en la solución esperada del problema.
Algunas consideraciones
Cabe destacar que en la revisión realizada a los libros de texto, aparecieron varios problemas de mezclas, quedando de manifiesto la complejidad que adquiere este tipo de situaciones por la diversidad de significados y operaciones involucradas. Una de las dificultades enfrentadas al resolver este tipo de planteamientos es sin lugar a dudas, el tipo de interpretación que se le asignó, el grado de profundidad con que se reflexione, junto con la estrategia de solución a plantear. Este problema comprende un grado de dificultad elevado; sin embargo, se observa también cómo es que los estudiantes recurren a elementos que les proporcionan herramientas “idóneas” que les permitirá acceder a una solución equivalente; herramientas que no necesariamente serán las
Capítulo 4: Análisis cognitivo
78
que se pudieran esperar. Cabe destacar el hecho de que los estudiantes que lograron “acceder” a la solución del problema se encontraban cursando el tercer grado. El hecho de que el problema en consideración fuera tomado de un texto para el primer grado de secundaria y ninguno de los estudiantes de este grado arribó a la solución correcta pareciera indicar que su ubicación no pudiera ser la adecuada.
4.1.6. Problema 6
Este problema fue tomado y adaptado de un proyecto de investigación desarrollado por Álvarez, Jarillo, Juárez, Muñoz y Vargas (1987) referido a problemas multiplicativos de isomorfismos de medidas. La intención fue la de observar por un lado la interpretación que los estudiantes harían del problema, el tipo de representaciones que utilizarían; así como las operaciones que sobre fracciones incluirían.
Un móvil recorre 3 kilómetros en 36 segundos; ¿cuántos kilómetros recorrerá en 150 segundos?
Figura 106. Recorrido de un móvil.
La solución esperada se fundamenta, implícitamente, en reconocer que el problema se corresponde a un problema de movimiento uniforme que conlleva un problema de variación directamente proporcional.
t
sV (con velocidad constante), en otras palabras, y para este caso,
seg
kmV
36
3
seg
km
12
1
que se interpreta como un recorrido de 1 km por cada 12segundos que en forma de razón se representaría como 1 km : 12 seg
tvts12
1 (con t en segundos)
Así que si se desea calcular los kilómetros recorridos en un tiempo de 150 segundos,
bastaría con sustituir en la fórmula: ts12
1 , t por 12 encontrando que
5.1212
150150
12
1 kmkms km
Hecho que podría encontrarse a través del planteamiento de la proporción:
Capítulo 4: Análisis cognitivo
79
::150:
12:1
x
y la aplicación de la “regla de 3” : kmx 5.1212
1150
, regla que proviene del uso de
la proporción:
15012
1 x
y del uso de la propiedad
bcad
d
c
b
a
Una forma menos condensada, de solución, corresponde al reconocimiento, en el planteamiento del problema, de la razón
36:3 (3 km es a 36 segundos) y a la determinación de razones equivalentes a ésta:
...
108:9
72:6
36:3
o bien
:
36:3
12:1
180:15
120:10
...
60:5
48:4
36:3
24:2
12:1
156:13
144:12
132:11
120:10
12:1
6:2
1
150:5.12
Obsérvese que en este caso: dbcadcba ::: Por ejemplo:
150:5.126:5.144:12
d
cdc
b
aba
:
:
d
c
b
adcba ::
Capítulo 4: Análisis cognitivo
80
Los datos obtenidos en esta última forma pueden representarse tanto en forma tabular como en forma gráfica: Solución tabular:
x y x y
1 12 12 1442 24 12.1 145.23 36 12.2 146.44 48 12.3 147.65 60 12.4 148.86 72 12.5 150 7 84 12.6 151.28 96 12.7 152.49 108 12.8 153.610 120 12.9 154.811 132 13 15612 144 13 156
Tabla 3. Tabulación de xy 12
Solución gráfica:
Figura 107. Representación gráfica de xy 12
A continuación se presentan evidencias de las soluciones de varios estudiantes.
En un primer nivel se tienen las producciones de Lizbeth y Alma de primer grado y lo realizado por Patricia de segundo. Ellas realizan productos ( 12150,3150 y 936 , respectivamente) para proponer sus soluciones. Soluciones que son equivocadas.
Capítulo 4: Análisis cognitivo
81
Figura 108. La solución propuesta por Lizbeth.
Figura 109. La solución propuesta por Alma.
Figura 110. La interpretación expuesta por Patricia. Alma hace uso de 12 como operador, mientras que Patricia implícitamente describe la
velocidad del móvil (al escribir T
D, la cual es
12
1 seg
km); sin embargo, no hace un uso
apropiado de estos datos. En un siguiente nivel se encuentran los desarrollos propuestos por Cecilia de primero y Lucero de tercero:
Figura 111. La solución de Cecilia.
Capítulo 4: Análisis cognitivo
82
Figura 112. El procedimiento de Lucero. Tanto Cecilia como Lucero hacen uso de razones equivalentes a 3:36 ó a 36:3 , respectivamente, “aproximándose” de manera aditiva a la razón 150:5.12 , correspondiente a la solución esperada. Cecilia con un valor de 15x y Lucero con un valor de 5.15x . De hecho, sus cálculos no incluyen el uso explícito de números decimales en el proceso, sólo hacen uso de cantidades enteras. Se observa la aplicación de la adición de razones como dbcadcba ::: . En un tercer nivel se encuentran las realizaciones de Angélica y Nancy, de primer y segundo grado respectivamente.
Figura 113. La solución propuesta por Angélica.
Figura 114. La solución de Nancy.
Angélica y Nancy obtienen como resultado 6.12 km, mediante un proceso de aproximación sucesiva de carácter aditivo. “Comparan” 36 segundos con 150 segundos mediante un factor de 4
,144364( faltando 6 para )150
Capítulo 4: Análisis cognitivo
83
Después utilizan ese factor para calcular el kilometraje correspondiente a los 3km originales.
)1234( km
El resultado que finalmente proponen, que es igual a 12y 3
2 en el primer caso; y 6.12
en el segundo caso parece provenir (erróneamente) de los 6 kilómetros faltantes. Se observa así una dificultad al trabajar con partes fraccionarias. En un cuarto nivel se encuentran los desarrollos de Alejandro de primer grado y los de Karla y Jessica de tercer grado.
Figura 115. El procedimiento de Alejandro.
Figura 116. La solución propuesta por Karla.
Figura 117. El procedimiento de Jessica.
En los procedimientos de estos estudiantes se observa la aplicación de la noción de proporción (como igualdad de dos razones) y la aplicación de la regla de tres correspondiente. Karla equivoca el planteamiento de la proporción adecuada, lo que incide en la obtención de un resultado erróneo. Jessica plantea una proporción apropiada; sin embargo no explicita la forma de calcular su resultado (esto en el sentido de las operaciones realizadas). Alejandro hace lo contrario: implícitamente deja propuesta la proporción y explicita sus operaciones. Tanto Karla como Alejandro evidencian un uso inadecuado del signo igual. En un quinto y último nivel se encuentran las producciones de Brenda y Laura de segundo grado y David de tercero.
Capítulo 4: Análisis cognitivo
84
Figura 118. La respuesta de Brenda.
Figura 119. La respuesta de Laura.
Figura 120. El procedimiento de David.
En este nivel, los estudiantes obtienen la solución esperada (en el caso de David de manera aproximada, por los cálculos realizados con decimales). El proceso de Brenda incluye el uso de razones equivalentes y de la adición de razones dbcadcba ::: , lo cual podría representarse como
1505.12 El proceso de Laura puede representarse como:
336
150 x
36
3150
enfrentando cálculo con números decimales y perdiendo exactitud.
121
65.
144:12
36:3
x
150
336
Capítulo 4: Análisis cognitivo
85
Algunas consideraciones El problema dio pie a que los estudiantes dieran cuenta de nociones como: regla de tres, valor unitario, función y escalar. Tal como en otros estudios se ha reportado. El problema brindó elementos para volver la mirada nuevamente a los planteamientos y advertir la importancia que adquieren (entre otros) la representación gráfica de la información, junto con el tipo de unidades utilizado (números enteros, fraccionarios o decimales). Los estudiantes que alcanzaron a concretar y precisar la respuesta solicitada, pertenecían al segundo y tercer grado de la escuela secundaria. Resumen A continuación se presenta una tabla – resumen que incluye elementos centrales propuestos en este capítulo. La idea de colocar la tabla se debe esencialmente a las representaciones generadas por los estudiantes en sus producciones en torno a cada problema propuesto.
Tabla – resumen Donde: SF= Significados fundamentales NC= Nociones complementarias
SIGNIFICADOS ASOCIADOS A LA NOCIÓN DE FRACCIÓN PROBLEMA 1
LO TEÓRICO LO COGNITIVO Solución esperada Respuestas de los estudiantes OBSERVACIONES
SF
‐ Comparaciones parte ‐ todo ‐ Unitización (Una unidad compuesta de tres (1 de 3)) (Tres unidades compuestas de una (3 de 1)) ‐ Cociente (partición)
‐ Logran reconocer 18 partes; es decir, 18 rectángulos pequeños ‐ Asimismo reconocer la unidad compuesta de 3 barras (una unidad formada por 3 de 1) ‐ También se visualiza a la unidad como una de 3 (una unidad formada por 1 de 3)
Los estudiantes evidencian el uso de la noción unitización de manera implícita, en sus escritos muestran la utilización de la unidad compuesta (ya sea en términos de (1 de 3) o (3 de 1)). Así como de la noción de partición, la cual a pesar de ser interpretada de manera distinta, conduce a respuestas equivalentes tales como: 3 (rectángulos
pequeños), 2
1 barra o 6
1 (de 3
barras) La noción de partición ya viene implícita por el tipo de unidad considerada. Una de las principales dificultades fue arribar a una respuesta apropiada, puede observarse en sus producciones que parcialmente la tienen, sólo hizo falta formalizarla a través de la simbolización.
NC
‐ Equivalencia de fracciones ‐ Operaciones requeridas: ‐ Adición ‐ Producto ‐ División de fracciones
‐ Equivalencia de fracciones: ‐ Operaciones utilizadas: ‐ Adición ‐ Producto ‐ División (tanto de fracciones como de decimales)
Capítulo 4: Análisis cognitivo
86
SIGNIFICADOS ASOCIADOS A LA NOCIÓN DE FRACCIÓN PROBLEMA 2
LO TEÓRICO LO COGNITIVO Solución esperada Respuestas de los estudiantes OBSERVACIONES
SF
‐ Comparaciones parte todo ‐ Medida ‐ Cociente (partición) ‐ Operador ‐Unitización (unidades: 2 de 1; 1 de 2; 1 de
2
3 )
Algunos sólo hacen uso de la noción parte – todo, sin conectar la información entre las preguntas Otros recurren a la noción de parte todo, partición y cociente Sólo una estudiante realiza representaciones de particiones en doceavos (de la unidad de 2) Se recurre a la representación gráfica para resolver el problema, se apoya en la noción de equivalencia, parte todo y de manera implícita utiliza la noción de unitización.
La noción de partición no la aplican en los términos en que se usa para las fracciones. Algunos intentaron darle la vuelta al problema manejando las fracciones en términos de porcentajes. El principal obstáculo generado se debe a la escasa vinculación entre los datos para acceder a la respuesta de la primera pregunta y la conformación de la nueva unidad a partir de la cual debía generarse la segunda respuesta.
Dado el tipo de planteamiento, varios acceden a la respuesta pero sin usar una parte de la información tal cual se dio en el problema. NC
‐ Equivalencia ‐ Operaciones requeridas: ‐ Adición ‐ Sustracción ‐ Producto ‐ División
Pocos se apoyaron en la equivalencia de fracciones Operaciones utilizadas: adición, sustracción, producto y división (tanto de fracciones como de decimales)
SIGNIFICADOS ASOCIADOS A LA NOCIÓN DE FRACCIÓN PROBLEMA 3
LO TEÓRICO LO COGNITIVO Solución esperada Respuestas de los estudiantes OBSERVACIONES
SF
‐ Comparaciones parte todo ‐ Unitización (una unidad de 5 (1 de5)) ‐ Medida ‐ Punto de una recta orientada ‐ Cociente (partición) ‐ Operador ‐ Decimales
‐ Se interpreta la medida (0, 5) como (0.5), realizando enseguida un cociente ‐ Se realizan procesos de aproximaciones aditivas, multiplicativas e incluso una combinación de ambas .
Los alumnos que lograron acceder a la solución del problema poseen claridad en la “unidad” que presenta el problema. Una de las dificultades esenciales fue no percibir la conformación de una nueva unidad, varios cercaron la respuesta a través de aproximaciones sucesivas con los números decimales. Se detectó una dificultad más al confundir la expresión (0, 5) con (0.5) orientándose el problema en otro sentido
NC
Equivalencia Relación de orden Operaciones requeridas: ‐ Adición ‐ Producto ‐ Cociente
Operaciones utilizadas:‐ Adición ‐ Producto ‐ División
Capítulo 4: Análisis cognitivo
87
SIGNIFICADOS ASOCIADOS A LA NOCIÓN DE FRACCIÓN PROBLEMA 4
LO TEÓRICO LO COGNITIVO Solución esperada Respuestas de los estudiantes OBSERVACIONES
SF
‐ Comparaciones parte todo ‐ Cociente (partición) ‐ Operador ‐Unitización (la unidad como
1 y como 5
3 )
‐Composición de operadores
‐ Recurren a la adición de fracción de manera directa ‐ Utilizan la regla de 3 ‐Realizan representaciones gráficas y algunos logran arribar a la solución en este contexto ‐ Se recurre al modelo de áreas ‐Se utiliza la partición de una partición
Los estudiantes dan muestra de cómo el llevarse el problema a un terreno que “conocen o les da seguridad” ya sea gráfico o simbólico les permite hacer emerger – como en este caso – nociones escondidas, tales como son la partición de una partición y la composición de operadores. La principal dificultad enfrentada es el visualizar la “nueva unidad” a considerar para hallar la solución del problema, incluyendo la simbolización de los datos del problema. Sobresale el modelo de áreas utilizado para alcanzar si no la solución completa, si se convierte en el medio para arribar a la solución.
NC
‐ Equivalencia Operaciones requeridas: ‐ Adición ‐ Sustracción ‐ Producto ‐ División
‐ Equivalencia ‐ Operaciones utilizadas: ‐ Adición ‐ Sustracción ‐ Producto ‐ División (tanto de fracciones como de decimales).
SIGNIFICADOS ASOCIADOS A LA NOCIÓN DE FRACCIÓN PROBLEMA 5
LO TEÓRICO LO COGNITIVO Solución esperada Respuestas de los estudiantes OBSERVACIONES
SF
‐ Comparaciones parte todo ‐ Unitización: como una unidad de 2 (1 de 2)) ‐ Razón (como proporción) ‐ Medida ‐ Cociente (partición)
‐ Recurren a la adición de fracciones directa ‐ Otros utilizan una adición, sólo que de números decimales, esto debido a que interpretan la proporción 7:3 y 5:3 como
7.3 y 5.3 respectivamente. ‐ Generan representaciones gráficas de las partes intentando juntarlas, considerando una suma ‐ Se lleva el problema a un terreno más familiar: al de los decimales y los porcentajes.
La gran mayoría de los estudiantes asume que se trata de una suma directa de fracciones, tendiendo a hacer uso de los algoritmos en forma inmediata, e incluso de operar como si fueran números decimales. Arribar a la solución requiere pasar a un siguiente nivel en la compresión del problema. De hecho sólo lo logran 2 estudiantes del tercer grado, dando una idea del grado de dificultad del problema, ellos a su vez evaden trabajar con fracciones mirando a las proporciones en términos de porcentajes y estos a su vez en términos de números decimales.
NC
‐ Equivalencia de fracciones ‐ Equivalencia de razones Operaciones requeridas: ‐ Adición ‐ Sustracción ‐ Producto ‐ División
‐ Equivalencia de fracciones‐ Equivalencia de razones ‐ Promedio ‐ Operaciones utilizadas: ‐ Adición ‐ Sustracción ‐ Producto ‐ División (tanto de fracciones como de decimales)
Capítulo 4: Análisis cognitivo
88
SIGNIFICADOS ASOCIADOS A LA NOCIÓN DE FRACCIÓN PROBLEMA 6
LO TEÓRICO LO COGNITIVO Solución esperada Respuestas de los estudiantes OBSERVACIONES
SF
‐Comparaciones parte todo ‐ Proporción:
Variación directamente proporcional Regla de 3 Valor unitario
‐ Cociente ‐ Operador ‐ Razón
Razones equivalentes ‐ Medida
‐ Recurren a una multiplicación directa con los datos proporcionados ‐ Elaboran una tablas de valores ‐ Establecen una regla de 3 ‐ Utilizan un valor como operador ‐ Utilizan aproximaciones sucesivas de manera aditiva
La mayoría se apoya en una regla de 3 para llegar a la solución, la dificultad se presenta cuando los datos comparados no se “acomodan” en el lugar que les corresponde de acuerdo con la regla. Algunos otros recurren a aproximaciones sucesivas aditivas, en el momento en que se percatan que el resultado incluye un valor fraccionario o decimal. El que el resultado incluya un decimal obliga a que se deje la respuesta en un número entero, así que la respuesta se aproxima ya sea por la izquierda o por la derecha.
NC
‐ Equivalencia ‐ Operaciones requeridas: ‐ Adición ‐ Producto ‐ División
‐ Equivalencia‐ Operaciones requeridas: ‐ Adición ‐ Producto ‐ División (con decimales)
Tabla 4. Tabla – resumen de contrastación.
Por último se muestra a continuación, y a través de gráficas de barras, los porcentajes de aciertos, errores y omisiones para cada uno de los tres grados considerados, al enfrentar los 6 problemas expuestos y analizados previamente. Primer grado
Gráfica 1. Aciertos, errores y omisiones de primer grado. En el primer problema acertó el 91.67% del grupo; el 11.11% en el segundo; el 8.33% en el tercero, el 2.78 % en el cuarto; ninguno en el quinto y; el 2.78% en el último. Los datos permiten identificar al problema 5 como uno de los más difíciles de resolver.
Capítulo 4: Análisis cognitivo
89
Segundo grado
Gráfica 2. Aciertos, errores y omisiones de segundo grado. En este grado el 91.67 % resolvió correctamente el primer problema, el 11.11 % el segundo, el 38. 89 % el tercero, el 2.78 % el cuarto; ninguno el quinto y el 5.56 % el último. Tercer grado
Gráfica 3. Aciertos, errores y omisiones de tercer grado. En este grado un 94. 44 % resolvió correctamente el primer problema; el 11.11 % en el segundo; el 38.89 % para el tercero; el 8. 33 % en el cuarto; el 5.56 % en el quinto y el 11.1 % en el sexto.
������������ ��������
90
��������������� ����
��� ������������������
����� ���� �� ��� ������� �� ������� ��� �� ������� �� ���������� �������� �� ���
���� ���������������� ���������� ������������������������������������������� �
������� � ������ ���������� ������ �������� ��������������� ��� ��� ���������
� ������������ ����������������� ����� � � ������� ����������� ������������� ���
���������������� ����� ���������������� ������� ���� ������ ��
�
������ ���� ������� ��������������� ������������������������� ������������� �
��� ������� ����� ������������� � ��������������� � ������� ��������� ��������
� ��� �� �� ������ ��������� ����� �!��� ����������� �"����������������������
�� � ��� #���"�� $%&&'(� �� ����� �� ���� ���� ��� ��� $)***(� ��������� ������� �
� ����� ������������������������ ����� �������������+��� ������� ��� � � �
�
,�� �� �� �� ��� #���"��� � ���� ��� ������ ����������� )-� �������� � ������������� �
����������������������� ���� ���$)***(������������� ����������������������)%��
������������������ �������������������� ����� ��� ����������$)***��%&&)(��� �
���� � ��������� ��� � ����� ������� ����.�����$)*//(������� � ����� �� ���������
�� ��� �� ������� ��� � � �������� � �� � ������� � ���� � ������ ���������� ���������
������ �� ��� �������� � ������ 0� ���� � � 1���� ��� � � �����2� � ���� �� ��� � �����
�� ������������#����������� ������� ����������� ������� ���� �3&4 ���� �����
�� �������� ���� � 5��� ���� � �� ����� � ��� ���� �������� ��� ������� � ������� ��
����� ���� ��� � � ���� � �� ������� ���� � � �"� �� ��� ����� ����� � �������� �
������ �� ����� ������� ��� ����� �� ������ ������ ����� ��� � � � �������� � �� �
������ ����� ����������� ���� ��������������������6���������� ��������� ���������
� ��7� ��� ����� �� ��
�
����������� ������� ������� ����� ������������������������ ������������������ �
�� �������� ������������ ����������� �� ���� �������� ����������������������
����������� ����+������������������ ������ � ������� �
�
!� ����+����� ����� �� �+ ������ ��� ���� ���� ���� ��� ������������� � ����� ��
����������������������������� ��8������ ����� � � ������� � ������� ������������
������� ��� �� �������� ��� �� � ����� ��������� ��� 9�+��:� ;�� ���� ���� �����
�� ������ �� ��������� ���� ��� ��� �� ������� �� ��� � ����� �� �� ����� � ��� � ���
��+��������� ������ �� ������� �
�
,�� �� ������� �� ��� � ����� $<,=�� %&&>(� ��� ��� ��� ������ �������� � � �� � ��� � %&�
��� � � ������� � ���� �� ������ ��� ��������� ��� ������� �� �������� 7���� ����� 36�
������������������� ����������������� �������� �!������������������ ������
������� �������� ��������� ���� � ������� � ��������� �����#���"��$%&&'(��� � �
��� ������ ������������� �6��������������� ���������))� ������� ����� �������>�
������������ ��������
91
�� ��� ������� ������ ��� ����� - � � ;��+ ������ �� ������� �� ��������������� �� ��
�������������� ���� ������ ��
�
,�� � � �������� � ��� � � ��� � ��� ��+��� ��� ��� � �� �������� �� �������� � � ��� �
��� �������������������������� ������� ������� �� ������������� ������ ������
� ��������� � ���������������������� ���������� ����������������������������� �
������ �� ����� ������� �
�
=���� �� ���� ����� ����� �� ������ ��� ��� �� ����� � ��������� ��� �� ���� ���
��� ��� ������ �� ����� � � ��� �� ���� �������� ����� ����� ?�� ��� �������� @� ����
�������������� ����������������� ���� ������ �������������� ������� �� ���� ��
��7������������������� ����� ��������� ��������� ��� ���� ��������������������
������ ������ ��� � � � ���� ���� ���� �7� ��� � ������ �� ���������� � �� ���� �� 6�
������ ���� , ��� ����������� ��� ����� ������ ��������� ��� �� A������ ���<������� �
������� ������� �������� ������������5��� ��� ��
�
,���� ������� ������������� �� �� ������������������������� ������ ��������� ��
������ ��� ���������� ��� ���� �� ����� ������ ���� �� ���������� ��� ����� ���
�������� ��� ������ ������ � � ���� � �� ����������� �������� � ��� ��� �� �� � , ���
������������������ ���� �������� ���$)***��� �B>(�����������������2�� ��� � �� ��
�
C� ������ �� ���� ��� ������� ������� �� �� ������ �������� � ��� ��� ?� ����� ��� ���
�������� ����� �@� �� ���� ������� � � ����� ���� ��� �� ���� �������� ?��� ����@�
�������� ���� ����� ����� ���� �� ������ ��� �� � ��������� ����� ������ �������� ���
������ ���������? ���@ �!���� ������������� ��� ���>� ������� �������������� �
������ ��������������������������2���������������������������������������� �� ��
�
, ��� �������� ��� ��� � �������� ������� � ������� � ���� ���� � � ������� ��
��������� ��� � ���� ��� ���� �7 ������ ��� ���������� ��� ������ ����� ���
� ������� � !� �� ���� ��� ���� �������� � � �� ��� ����� ��� �����2�� ����������� ���
������� ������ ����������� ��� �������� ���� � �� ���� �� �������� ���� �������� ���
��������� � ���� ��������� �� �� ������ ��� ������ ��� �� �������� ���� ��� ���� ��
�� ������������ �� �������� ���������������� ��������������� ���� ������� �
�
,�� �� ���� ;�� ������ �� �� ����� �� � �� ��� �������� � ������� � ������� ���� ��
�����2������5��� ������������ ������������� ���� ������ ��������������������
��������������� �� ��� ������� ���� � ����� ������������� ��������� � ������� �
��� �������������������������������������������������� ���������� �� ��
�
=���������������� ��������� ������������������2���+��� ���� ����������� ������� ��
� ������������������������ �� 6���� ���������������� �������������������� ������
������ �������� 2����� ���� � � ���� �� �� ����� � ��� � ����� �� ������ ��� �� �����6� � �
��������� ��� ����������������� ��� ����� ���������� ������ ��� �����������������
������������ ��������� �������� ������������ ���� �!� ��������������������������� �
��� ������������������������ ��������������������������� �������� �������� ��
=��������������������� ������ ����������������� �� ���������� ������������� ��
������������ ��������
92
������ ��� ����������� �� ���� �� ��� ����� �� ����� � ��� ��� ������ �� ���� ���
� ���� ���������������������� ������������������� ���
�
,�� �� ������� ������� ��� ���� ��� �������� � ������� ��� �� ����� ��� �� ��� ���� � ����
�������� �� �� ����� �������� ������� ��� D������� � ���� �������� ����� � ����� �� ��
������ ������ ��� �� ���������� � �������� ����+��� ������ �� ����� ����� �������� ��
��������� �� ��������6��� �� ������� �������� �� ��� � � ���� ����� � � ��� � � ���� ����
������������ ����+��� ����$���� ����� � ����� ����������� ��� �������� ��������(��
������� ������������ �������� ���������������������� ������������� ��
�
9 ����� ����������������������������� ����������������������� �����������������
�������������������2���������� ����������������� ���$)***(���� ������������������
������������������ ����� � �
�
,��� ����������������� � ��� ������������� � ��������������������������������
���������������2���������������� ��� ������������������������� �������������������
�������� ����������� ������������ ���� ����� �
�
!����� ����� �� ������ �� �� 7�� �� �������� ���� ��� ��� ��� �� ������ ?���� �@�� ��
������������������� ������� �� ������������� ��������� ��
�
=���� �� ��� ��� ������ ���� �2������ �� ��� ������ �������� � ��� �� ���� �� ����
������ ���� � � � ���� � ��� ��� ������ ���� �� ���������� ���2���� �� � ����� �� �����
�������� �� ������ ����� ��� ������ � ��� ��� � ����� ������ ������ ����������� �������
����������������������������� �,��� ������� ��������������� �����7� ����������6�
� ����� �� � ����������� ���� ������������������� ��������������������������
��� ������������ ��������� ���� ����� �� ���������������������� ��
�
,�� �� ������� ������� �� ����� � � ��� �2�� ��� � ��� �� ��� �� ��� ���� ���������
���������������� ���� ���������������������������������������6�������� ��������
���� � ������������ �� ������ ��������� ��������� ���� ��� ������� ����������������
��2����� ���� ���� �� ����� ��������� �� ��������� � � � �� ������� �� ���������
������� � ��� � ���� 6� � ����� ���� ��� ��� ��������� ��� � � �� � �������� �
�������� ��
�
=�������������������� ��������� ����� ���� ���� ���� �������� ����� �� ��"�����
��������� �� �������� ��� �� ���� �� ����� ������ ���� �� �� �� ��� �������� ��� ��
�������������� �������� ��������������������������������������� ����� �
�
;������ ��������������� ������� ������2��� ����2�� ������ �������� ���$)***(� ���
�� ������ ����� ���� ������+������� ���� ������������ �����������2������������6�� ��
��� �� ����� � �2�� �� � �� ������� � ��� �� ������� ������ ��� ���� 5��� ���� $%&&-��
%&&/( �
�
���7�� ����� ������� ������� ��������������������������� �� ������� ����������
���� �������� ������� ��� ����� ������� ������� ������������� ����������������
������������ ��������
93
������� ����� ������ ��������������������� �����8���������������������� ��������� �
������� ���������������� ��������� �� ������� ���� ��������:�
�
!��� ������������� ������������ ��� �"��������������� ����������>� ������� ���
� ������� ��������� ����� ����������7�������, ��������9�+�� �
�
E� ���� ������������������ ���� ����� ��������
�
F !� ���� ���� .����� �� ��������� $������ ���� #���"��� %&&'(� �� �������� ���
������� �� ����� �������������� �������������������� ��������� ��������
��������������� � ���������� �
�
F !����������� ���������� ��� ���������� ������ ���������������� �������� ���
������������������ ��������� ��� ������������ ��� ����2����������� �?���� @�
������� ����� �� ����������� ����� ������� �� ��������������������� ������
2��������� ������ ��������������������� � �C���������� ������ � � ������� �
����� ��������2���� ���������� ��� � � ���������������������������������� ��
������� ������ �� � ���������� �� ��� �������� �� �� �� ������ ��� ������ � ��
��������� �
�
F ,�� �� ��� ��� ������ �� � � � ������� � ��������� �� ������ � ��� ��� ��������
$� ������ �� �������� ��� �������(�� ������ ����� $��� ���� �� � ��� ��������(��
�7� ��� � ���� �� �� �������� � ��������� � �� �� ��������� � ��� �� �� �� ��� ��
�������������������� �G������� ��������� ��� ������ ����� ���������� ����
� �� ������� �� ������������������������������ � �����������������������
��� ��� ������B��� ��� ������� ����) � �!� �� ������������2�� ��� �� �"���������
������������������������ �"��������� ��������� ���������������0���������� ���
���������� �� ����� ������� ���� ���� � � ��� ������� �� ���� �2�� ��� ��� ���
$)***����%&&)(�������������� ����� �� ����������������������������� �����
��������� ���� ������ ���� � ������� � ��� ���� ��� ������ ����������� ��
�� ��������� ��������� ��������������������� �������������� ��������� ����
�� �"���� �
�
F =���� �� ������� ������ ��� ������� ���� � � � � ������� � ���� �������� ����
?��� ���� ��@������������������� �������������������� ������� ����������
�� � ����� � G��� ��� � � ������� � �������� � ���� �� �����+��� ��� ������ ��� ��
� ���� �������� �� ���� �� � � � ������� � $������� �� ������ �� ��� �� ��������(�
�������� ���������� �"�����������������7� ��������������� ������������ ��� �
������ � �� ������� � ��� �� � ��� 2����� �������� ������ ������ ������ �������
���������� ��������� ��������� ���������� �������� � ��������� �� �������
��������� ��������� � ��� �� �� �� ��� �� ���� � ��������� �� �� ��� ���
�������� �
�
F ,������ ��������������� ������������������ ������� ����������� ��� ��������
��������� ����������������� ����� �������6�� �������� ������� �������� ���
������������ ���)����'��� ��������� � � ������ ���������������� �������� �����
������������ ��������
94
�7� ��� � ���� �� � ����� � �� ������ ��� ���2������������� ��� � ������� � ����
������������ � ����������� � ������������������������$� �����������������(����
������������� �� ������7� ��� ����� �� ������������� �
�
F C� ��������� ������� � �-���'����� �������� ��� ������� ����� ���� ���������
�������� ��������������������������2����� ��������������� ��� ������� � �����
� ����� ?� ���� @� ����� ������ � ����� ������ ��� �������� ����� � � � ������� ��
����� ��� ������� ��� ���� � � � ������� � ���� �� ��������� ������������� ��
������� �������� ������ �� � � ���� ������ ������ � ;���� �"���� ���� ���� � � �
�������� ���� ��� ���� ��+��� ��� ��� � ������� ������� ����� ���������� ����
����� ���� �
�
,�� ���� � ������ � � ���� ������ �� ����� �������� ���� ��� ������ �� ������ � �
� ������� �� �� � ������ ��� ���� ������ � � ���� �� 2����� ���� � � ��������� � ����
������� � ,�� �� ������ �� -� ���� �2�� ���� ���� ��� �� �� �� ��� �� ���� ����
� �������� �������� �� � ����� ��� ���� � ����� ���� �� �� ��� ���� ��� ���� ��� �������
������� � � � ��������� � ���� ������ ������� � !���� � ��� � � ������ � �� � �
������� � ��������� � ��� � � ������ � ������ �� � �������� ������ ������
��������� ���������� ��� �� ���� ��� ��������� �� ����������� ����� � ���
��������� � ��� �� �� �� ��� �� ��������� �� �� ������� � 9 ����� � ���� ����� ��
������ ��'��� �� ������� ����������������� ��������������� �� ��?� �����@���
�������� ��� � � ��������2� � �� � � ���� �� � $ �� ������� ��� � ��� � � ������ �
��������� (� ����� �� ����� � � ��� �������� � ��� � � � ���� � �� ��� � ��� � �
�������� � �� � ������� � �� � � ������ � ��������� � �� ����� ������� �����
������ $��� �� ���������(�� ������ ������ � ����������� �������� $� ������ ��
�������(�� � ������ ��������� �� � � ������ � ��� ��������2�� �� �7� ���� ���� �6�
����� ����� ����������� � �� ����� ���������������������� �
�
F =������������ ��>���������� �������������������������� ��������������� ����
� ��������� �� � � ����������� ���������������� ������������������ �����
������ ���������������������B��������� ������������ ����� �������� ����� �
��������� �������� ���������������� �1��� ��� ����������������������� �����
�� ������� �$��� ����������� �����(��������������� �� ������������� ����� �
��� ����+���� ��� ��������������������� ����� �� �,��� ������ �� � �������� �
���� �������� ��������� ������ �� ������� ������������ �,������� ��������
�� ���� �� �������������������� ���� �� ��� ��������������� ����� ���� � ����� ��
�� ������� ��� ������� ���������������������������������������������������
��������$� ���������������(���7� �������� ������� ����������� � ����������
���� �� ����������������������� ��
�
F <�� �������� ?���� ���� ���@� ������ ������ ��� �� � �������� �� ����������� ����� � ��
��7�� ���� ��� ����� �������� ��� �� ����� ����� ��� ������ �� �� �� �������
��������6�� ���������������������������������������� ���� ��������������� ��
���������������� ������� ������ ��, ��� �� ���������� ����������� � ���������
� � �� ��� �� ��������� ���� � �� ������� ���� � ������� � �%��-���'����������
������� �� ��������������� ������� ������� ���������� ���� ���� ���������
������������ ��������
95
���������� � � ������ ������ ���� � �������� � ����� �+������ � � ������ � ��� � �
������ � ��������� �
�
F <���� ��������� ���������� ������� ����� ����������������� ��� ������ �������
���� � ������������� 6� ����� ����� ����� ��������� �� ������ ������ �� � �����
�������������?�����������@��������������� ������������� ����� �
F ,��� � ������ ����� ������� � ������ ������������� �� ������� �� ��������
���2����� � ���� � ������� � ��� �� ������ ����������6� ������ ���� �� ������ ������
���������������������$�������(����������������������� �����������2���� ���� �
�
F �� � ������ � ��� � � � ������� �� ��� �������� ����� ���� � � � ������ � �
� �������������� ��� ��������������������������������� ����� ��?�������� ��
� ����@6������������������� ��������������� ������ ���� ������������ �����
������ �� ����� ������������������ ��� �����������
F =������������������� � ������ � ������������ ���� ������ ������� ���������
�� � ������� ��� � � �� � � � ����� � ������ � �� �� ������ ��� � � ������� � ��� ��
� �������� � � ! ����� � ��� ��� �� ������� ��� ������� �� ������� ��� �����������
��������� ��������������� ������������ ����� �� ���������� �
��� ���������������� �!��"��#� ����$��"�%�!�&�
�
;�� ��������������������������� �������� ������������� ��� �� ����� � ����
�+������� ������
�
C������������ ��������� ������0��� ��� �����������������������������������
����������������� ������������ �� ���� ������ ������������ �� ���� � ������� �
���� �� ��� � ����� �� �� � ��������� ���� ������� � �� ��� �� � � �������� � ���� ��
����������� ����� �
�
=���������� ��� �� ������ ����� ������ ��� � ����� ������� ������ ��� ���� .������ � ��
��� �����+��� �������5��� ����������� ����� � ������� �������� ��������������
��� �������� � �������� �� �� � ������ � �� ������ � ��� ���� � �� � 6� ��� ����� ����
��� �������� ������������������ ���$%&&)(���� ��������� ����� ����������.�����
����������� ���� �7�� ��� ������ ����� ��� �� � � ���� � � ����� ������������� ��
$��� �������� � ������ ������ � ������ ��������� ��������� �� �����(� ������� ���
�������� ������� ������� ���� �"������� ����������2� �
�
,� ������ ���� ���� ��� ���� � � ��� ������� � �� ������ �� � � �������� � �� ����
������������ ������ �� ����������� 6��������� �� �� ���������� ������� �������� �
�� ������������5��� ���6� � ����� ������ � ������ ���� � ������� ������� �����2� ����
H����������������#��������� �,����� �������� ���������� � �������� ����������
��� �� ����� � ����� ��������� ���� �� ��� ������� ���������� �� ��� ������ ���� �
��� ���� ���������� ���� ����� �� �
��������������� �������
96
��������������� ���������
�������� �� �� ������� ��� ������ ��� ������ �� �� ������� �� �������� ����� �!��"#��� ��������$"� �� "����� �� %��!����� �"� %��&��!��� !��#�%����#����� �� ���!��'��!�� ��!� � ���� ("�)�"�����(��*��������+�� ,�##�*�� �( ������������������������� ����������������������� � �� ��� ������� ����� ���������� �� ��������� �� ������������� ���
����������� ��������� �� �-�� .� �/0�� �12���3� 4����$"� �� ��#�!�#���� ( ���#�����56�(47��.�5�6��
��������� )���8�9�� �� �����:����� �0;;<��� 5"���#������"�����&���� �����$"�%������������%��!������ ("3� �"���� 9�� =$%��� �� ��#�� ����� ��� ������� ������������ ����������� ������������� �������������!��"����������"�#�$������%$�&����������������������
������������ '(()*+,,'$� &�������� ��� �������� ���������� �%%�� -�� >� ��;�� �12���3��+� 5(�4(���(4?��
������� �� �� ��"����� (�� �������� =�� '�����$"3� �"�� �2%����$"� �'@���� �� �"#��%��#���� ("��� ����@�� �����������-�������������������.�������$�A������0��.�0A��
�)���8�9���0;;����/�������������"����������������������������������������$�-���������������$� 7����� �� ��#��� �� "�� %�&���� ��� ��"#��� �� 5"���#�����$"� �� �� (�#� ������"�� ��� ���5�6���12�����
�)���8�9�� ��B���@��4�� �0;;����0�������'�� 4�����%�������� �����$"�����" ����3���"�#�������12���3�( ����"���4� ��
�)���8�9�� ��B���@��4�� �0;;����0�������+�� 4�����%�������� �����$"�����" ����3���"�#�������12���3�( ����"���4� ��
�)�"����� (�� )���8� )�� �� C �� ���� B�� ����<���/�� ������������� &�������� ��� ��� 1�2����������������� ����� ��� .�������� �������� ',�� &��!��"�� �� 3�����"�#�� �� ����������������12���3���"������6����"��� ��5"���#�����$"�( ���#�����
�)���D���B$!����0;;����&���������������������������'���12���3�6������12������)���D���B$!����0;;����&���������������������������+���12���3�6������12������)���D���B$!����0;;����&���������������������������)���12���3�6������12������)���������B��)���������6��E�C ��'��� �����0;;-���F�#��"�����" � ���!���������G���� ��"�#D����D�������������! ��4�������������2���������5�2������+)��.0;���
)���������B��)���������6��E�C ��'��� ����0;;����F�#��"�����" � ���!���������G���� ��"�#D����D�������������! �����#�<��F�#��"�����" � ���!���������"����'�"�#��"����2��4�������������2���������5�2������0���/<>���A�
�
��������������� �������
97
)���������B��)���������6��E�C ��'��� ����0;;����F�#��"�����" � ���!���������G���� ��"�#D����D�������������! �����#�-�����&��! ������"����!%��� �!�%%�"����" � ������"���2��4�������������2���������5�2������0����>�����
���"#�����F�����#��� ������&�����B��*��'�"�F��=���!�� �����#@"���B����"#����B������"�� �� ��4�"�D���� �� �0;;���������������'�� 4�����%�������� �����$"�����" ����3�9���������� �����"��!��"#����#�!�#������12���3���B��H�,�����
���"#�����F�����#��� ����*��'�"�F��=���!�� �����#@"���B����"#����B����4�"�D���� ���0;;���� ����������� +�� 4����� %���� ��� � �����$"� ����" ����3� 9���������� �����"��!��"#����#�!�#������12���3���B��H�,�����
���"#�����F����&�����B�����#��� ����*��'�"�F��=���!�� �����#@"���B����"#����B����*�������� ���0;;���������������)��4�����%�������� �����$"�����" ����3�9���������� �����"��!��"#����#�!�#������12���3���B��H�,����
����#��� �� �� �0;;A��� *��!���$"� �� �"� �������� �������3� ��� ����� ��� !�2�!�� �� �"��'�"��$"� �"� ��� �&��� �� =I,��%�#��� �� ������ B�� �"����� ������ /��������������� ��%��������������������������&�����������0��0/<�.�0A/�
����#��� �� �� F����� �� �� ����"�� B�� �0;�;��� (�� �������� !�#�!�#���� �������� �� ����������#!����"�������&���� ��#�2#�����������0�--��<>���
�����������������4��"�'��� ������"#� ���"�����%��" ���:�����������F�'��2��"����"�#��"�������"��%#�� ���%��" ���:�����"�'���#�����%����������������"�#���-����<��.��-0��
���� ����*���*������F���0;;����(������ ���������'������"���� ��������! �#�!�#�������������?"� ��#� ��� ������%��#�!��$����� �"� ��� "����� &������ �� #���1�� �� ���� ��&���� �� #�2#��� ������/�����������������%��������������������������&����������;�����><���
�9I!���� )�� �� B� �"�� �� �0;;���� (�� �"'�G��� �"#���!�$#���� ��!�� �"� ���������� �� ���7���@�� "#��%��$����� �"� 9� ��#���� �� ��� ��#�!�#����� ������ /��������������� ��%��������������������������&����������;�0�����>0����
�9I!����)���0;;/���5������������������������������������������������������������������������������������12�����F����#1��
�9������� ���0;;0���/���������������������������������!��"����������������$�3����������� ��� ������������ �� ��� ����� ��� �������������� 7����� �� !���#�@�� "�� %�&���� �����"#��� ��5"���#�����$"��� ��(�#� ������"�� ��� ���5�6���12�����
�*�" ����� �� 5���0;;/��� /�����"����������������������������������$�7����� �� ��#��� ��"��%�&���� ��?"������ � � ��)����"��5#������
�
��������������� �������
98
*�������� +�� �������� 6���������� �� ������"�#�� ��� �� ������ �� ���!��"�� �� �������������� 7����� �� ��#��� �� "�� %�&���� ��� ��"#��� �� 5"���#�����$"� �� �� (�#� ������"�� ��� ���5�6���12�����
�B���@��4������" ����7���0;;����0�������)��4�����%�������� �����$"�����" ����3���"�#�������12���3�( ����"���4� ��
�B� �"�� �� �� )�#�"���� ��� �0;;-��� 4��"�'��� �� �"�#�#����"��� �� %����"��� �� ���� �&:�#���!�#�!�#������ ��2���2����������7��������2�����7��$��-�<�<0/�.�<//��
�J����"� 7�� ����;��� � 7D�� ��������� ������� ��������� 8� %�� �������� ��� ���2���� �� ("�F���"#�F������D��"�6�!&���=���"�"������!&���+D���(F5�K4�(���
�J����"� 7�� �������� �����"��� 8"�H�� ��� �'� ��#��"��� "�!&���3� 5#�� �"#��#���� �" � '��!��� �����%!�"#�� 5"� ��,��&��#�E�� ��)�D���( ����.�������������������������������2�������������%%���A0>������F��#�"��3�6�#��"������"�����'�7���D�����'���#D�!�#�����
�J��%�#���8� �� ,������ ��� 48���!���� +�� E� ������� ��� �0;;/����������� ��� ���2�������&���������6�H�L��8��4%��"�����
�=�!�"� 4�� �������� ����2���� ��������� ��� ������ ���� ���������� � &������� ��������9��:��������������������������������������2���� ���G��##��?"������#��� =�H��"���(��&��! �������#�����&���D�������DH�D�6�H� �������
�=�!�"�4���0;;���������"#�"���" ���%����"#�"�3�*��! �*���#��"��#��F�#��"����("����������( ���2����������������������������2�������2������$�0;;��L���&��8��'�#D��6�#��"������"�����'�7���D����'���#D�!�#�����%%�� �-A� >� �A/��F��#�"���3�6�#��"������"�����'�7���D����'���#D�!�#����
���"#���� (�� �0;;A��� ������� �� ��� &�������� ���������$� 0������������� ����������$�����������$� F���%��� �� ��� ;�� �� '�&����� �� 0;�;� ��D##%3KK� ������"��%��������% '���&�!2K�������K ���!�"#��K���������!)�����K4���" ����K%���K���#�!�#�����% '�
��������"��� ������������ ���0;;/���=��"���$"� ��%�� ����$"3�"���������%��%���#�� � ��#����%���� ��� � �����$"� �"������#������ ������ /��������������� �� %������������ ��������������&��������������0/�.�A���
�������%��B��� ���0;;/���%������������2������:��������2��;���������9��:��������������������������2�����������������������������������;���������������������9��:��������
���������������$�7����� �� ��#��� ��"��%�&���� ��+D���4#�#��?"������#������!&�������"#����B�� �0;;/���&���������������������������� 0���������������<������� 7����� �� ��#��� �� "�� %�&���� ��� ��"#��� �� 5"���#�����$"� �"� ���"���� %���� �� �� 7��"����@����"�� �� ���5�6���12�����
�
��������������� �������
99
6�7����������(�#�" �������������������� ����������$"�%�������� �����$"�!�#�!�#�����(�%���3�4���� � �" ������ ��( �����$"���#�!�#����7,=(4��
�+D����"�4������������#D�!�#�����!��"�"���" ��%%����#��"���!��"�"���"�#D����!�"#�����'�'���#��"���" �����#� ���"��%#��� 5"� ��,��&��#�E�� ��)�D���( ����.�������������������������������2�������������%%��/<>�0���F��#�"��3�6�#��"������"�����'�7���D�����'���#D�!�#�����
�+##��� ���0;;/������"�"���" �!�#D�!�#�����("�J��%�#���8� ��,���������48���!����+����������������������������2�������&����������%%��0<��.�0A;��6�H�L��8��4%��"�����
�������� ��� �� ��� �!����� � � �0;;���� ���%���#�� � ��#���� %���� ��� �"����"��� �� ����'������"��� �"� ����#�� ��� �� �� � �����$"� %��!����$� %������������ ��� &�������������������M5�0;�.0����
����"�����"��� ��'�� F���%��� �� ��� ��� �� ���#�� �� 0;;�� ��D##%3KKHHH���'��!������" �������%���&�!2K!�#�!�#����K�
���"������������������������������������������������������������=�����12���3�569��
�F@�������0;;0���&������������>�����������������������������"�#�������<������5"'��!�� ��5"���#������"���( ���#������A�����0���>0/��
�48���!���� �0;;/��� ���"�"�� �"� ��#D�!�#���� ( ���#��"�� ("� J��%�#���8� �� ,������ ���48���!����+�� �� ���������� ��������������2�������&��������� �%%�� �<� .� �;;��6�H�L��8��4%��"�����
�4(�� �4����#��@�� �� ( �����$"� �N&������ �0;;0��� /����� ����� ��� �������� ( �����$"�4���" �������#�!�#�������12�����
�4(���4����#��@�� ��( �����$"��N&�������0;;A��������������&�����+,,?��( �����$"�&�������4���" �������#�!�#��������12����
���� �!������ ������<���/�����������������������#�������������������������������������������� ��� 1��� 7����� �� ��#��� �� "�� %�&���� �� ��"#��� �� 5"���#�����$"� �� ��(�#� ������"�� ��� ���5�6���12�����
������G���� 4� �� 4�"#��� =�� �0;;���� ?"� ��#� ��� ������%��#�!��$����� ��� ��������!�#�!�#���� ��������� (�� ����� �� ��� %��&�&��� � � ���!�"#����������� ��� �������� ������2������$��2���������������������������%��&�''��%%����.��0����12�����
��
Anexos
100
ANEXOS
Anexos
101
Anexo A
Interpretaciones para la fracción 4
3 según Lamon (1999, pp.32–36)
Ejemplo 1: Está relacionado con situaciones a las que recurrimos en la vida cotidiana, donde Fandiño (2005) advierte que con frecuencia se encuentran muy lejos de la idea escolar de las fracciones, en este caso se expresa un tiempo. Juan le dijo a su mamá que regresaría en 45 minutos.
Figura 1. La unidad.
4
3 de una hora
Figura 2. La representación de 45 minutos de 1 hora.
Ejemplo 2: Se señala una distribución de pasteles, en el que las nociones de partición, cociente y parte todo se hacen presentes, cabe señalar que en este ejemplo predomina la noción de cociente.
Melissa tenía 3 pasteles circulares grandes, todos del mismo tamaño – uno era de chocolate, otro de coco y uno más de fresa. Ella partió cada pastel en 4 partes iguales y se comió una parte de cada pastel.
Figura 3. La unidad es 3(unidades de 1) o 3 pasteles simples.
Figura 4. 4
3 significa 3 (
4
1 de pastel)
Anexos
102
Ejemplo 3: Para el tercer ejemplo, se hace alusión a la noción de razón para referirse a la relación de niños con respecto a las niñas en un salón de clase, al mismo tiempo se requiere necesariamente expresar con un cociente la razón El Señor Alberto tiene 3 niños por cada 4 niñas en su grupo de historia.
4
3 significa 4:3 o 3 niños por cada 4 niñas
Figura 5. Representación de la razón de niños y niñas.
Ejemplo 4: Se alude también a las nociones de reparto, partición, cociente y parte todo; sólo que a diferencia del ejemplo 3, la unidad es “diferente”. Cuatro niños estaban discutiendo sobre cómo compartir un paquete de galletas. El problema es que un paquete contiene 3 galletas. Su maestra de kínder tomó un cuchillo y cortó el paquete completo en cuatro partes iguales. La unidad es una unidad compuesta:
Figura 6. La unidad compuesta.
4
3 significa
4
1 de la unidad de 3 tomada como una unidad compuesta, ó
4
1 (unidad
de 3) considerada como una pieza entera, más bien que como 3 piezas individuales.
Figura 7. La representación de 4
3
Ejemplo 5:
Se establece una unidad compuesta de 4 partes y a cada parte se le atribuye ser una parte del total. Las nociones involucradas serían parte todo, cociente, partición.
BBB BBB BBB BBB GGGG GGGG GGGG GGGG
Anexos
103
El chicle bomba viene en 4 piezas dentro de un paquete. Tres niños toman 1 pieza cada uno
Figura 8. La pieza de chicle.
Es la unidad. 4
3significa 3 piezas, cada una de las cuales es
4
1 de la unidad, o (
4
1de
unidad)
Figura 9. Piezas del chicle.
Ejemplo 6: Se expresa la cantidad de mujeres en un grupo determinado, para lo cual se manifiestan tanto razones, proporciones, parte todo, incluidas operaciones como el producto y el cociente.
En una reunión hay 12 hombres y la cantidad de mujeres (M) es 4
3del número de
hombres, es decir (H) o M =4
3H
Éste es un problema de multiplicación. Para obtener el número de mujeres: a) Multiplicamos el número de hombres por 3 y dividimos el resultado entre 4 ó b) Dividimos el número de hombres entre 4 y multiplicamos el resultado por 3
Ejemplo 7: Para este ejemplo se expresa a través de representaciones gráficas la forma en que se podrían representar cantidades menores que uno, es decir, decimales. María le preguntó a José cuánto dinero traía. José buscó en su saco y mostró 7 de diez y un centavo.
$ .75 es otra forma de escribir 4
3 de un peso. .75 es un número decimal.
Figura 10. La representación de un peso.
Anexos
104
Figura 11. La representación de 10
7de 1 peso y 5 centésimos.
Ejemplo 8: Lamon nos presenta la manera en que una fracción se representa en una recta numérica, como punto de una recta orientada como lo señala Fandiño (2005), además de parte todo, medida; advirtiéndose que todos los racionales se corresponden con un punto en la recta.
4
3 deberá tener una posición sobre la siguiente recta numérica. Su posición se encuentra
tomando 3 de 4 subunidades del intervalo unitario.
Figura 12. Ubicación de 4
3en la recta numérica.
Ejemplo 9: En este ejemplo se aprecia otra forma de expresar la unidad compuesta y lo que implica representar a través de una fracción una parte del total o una parte de cada parte. Nuevamente, la noción parte todo se presenta en este caso. Un tipo de dulces viene en paquetes de 4 y Natalia tiene 3 paquetes cada uno de diferente color. Ella se come un dulce de cada paquete.
La unidad es 3 unidades compuestas diferentes.
Figura 13. Paquetes de dulces
Anexos
105
4
3 significa 3 piezas, cada una de las cuales es
4
1de uno de los paquetes.
Figura 14. Un dulce de cada paquete.
Ejemplo 10: Aquí se observa una manera en que la noción de porcentaje puede presentarse, con un ejemplo referido a la representación gráfica de una fracción. Tres ideas se ponen en juego: fracción, porcentaje y decimal. La tienda para caballeros MARTIN tuvo una gran venta – 75% de descuento.
75% o 100
75 (75 de 100) es otra forma de escribir
4
3.
Figura 15. Representación de 4
3de la unidad.
Ejemplo 11: Se aborda a través del funcionamiento de una máquina para escuchar cierta cantidad melodías en función de la cantidad de monedas colocadas. Mamá observó que en cada ocasión que Juanita colocaba 4 monedas en una máquina de intercambio, se escuchaban 3 melodías. Cuando mamá tomó su turno, colocó 12 monedas.
4
3 define una forma de operar sobre otro número en tal forma que reemplaza cada 4
objetos por otros 3 (un intercambio de 3 por 4). Así que 9124
3
Anexos
106
Figura 16. Representación del proceso 9124
3
Ejemplo 12: En este último ejemplo, se recurre a la noción de probabilidad para justificar una posibilidad. Alfredo tenía 12 calcetines azules y, 4 negros en su armario. El se preguntó acerca de cuál era su chance (la probabilidad) de tomar y sacar un calcetín que correspondería con el calcetín azul que ya tenía puesto en su pie izquierdo.
Figura 17. Calcetines azules y negros.
12 de los 16 calcetines en el armario son azules. Esto significa que 4
3 es la
probabilidad de que el calcetín que saque sea azul.
Anexos
107
Anexo B
Subconstructos del modelo propuesto por Kieren expuestos por Lamon (2001) a) La unidad y las comparaciones parte – todo Señala que una comparación parte – todo se utiliza para contrastar una o más porciones iguales de una unidad con el número total de porciones iguales en las cuáles se divide a la unidad, advirtiendo que una porción no es lo mismo que una pieza. Considérese el siguiente ejemplo:
En él están sombreados 5
3. Esto se debe a que el área del rectángulo completo se ha
dividido en 5 partes iguales y estamos comparando el área de 3 de esas partes con el área de las cinco partes del total.
Figura 18. Representación de 5
3 partes de la unidad.
Podríamos pensar que este rectángulo fue compuesto de 20 cuadrados de (4
1 de
pulgadas por lado). La porción sombreada entonces sería 20
12 del rectángulo.
Figura 19. Representación de 20
12 de la unidad.
b) Los cocientes y la partición
Un número racional podrá verse como un cociente, como resultado de una división. Veamos el ejemplo:
4
3 puede interpretarse como la cantidad de pastel que cada persona obtiene cuando 3
pasteles se dividen igualmente entre 4 personas. Advirtiendo que los cocientes los cocientes surgen en actividades de reparto, actividades bien conocidas por los niños de preescolar.
Anexos
108
Respecto a la partición, señala lo siguiente: Es el proceso de dividir un objeto u objetos en un número de partes ajenas y exhaustivas. Esto significa que las partes no se traslapan y que cualquier cosa está incluida en una de las partes. Cuando utilizamos la palabra en relación a las fracciones, es con la condición de que las partes sean del mismo tamaño. Por ejemplo:
Figura 20. Representación de la unidad.
Figura 21. Un ejemplo de partición
el cual no es favorable para representar la fracción 4
3 porque las piezas no tienen el
mismo tamaño.
Lamon (1999), subraya que en el proceso de partición descansa en el corazón de la comprensión de los números racionales y siendo ella una acción fundamental para la producción de números, de conceptos matemáticos, de razonamiento y de operaciones, existiendo así razones para involucrar a los estudiantes en actividades de partición. Así las fracciones y los decimales están formados mediante la partición. Contrario a lo impensable, la enseñanza ha hecho poco uso de la partición. Se utiliza de manera implícita al inicio de la enseñanza de las fracciones cuando las fracciones parte – todo están definidas: el denominador señala el número de partes iguales en las que el completo se dividió. Los niños por lo general hacen algunos dibujos para representar comparaciones parte – todo, pero después abandonaron los dibujos. c) Operadores Entenderemos a la noción de operador como reducir o alargar, contraer o expander o multiplicar y dividir. Los operadores son “transformadores” que:
- Alargan o recortar los segmentos - Aumentan o disminuyen el número de ítems en un conjunto de objetos
discretos o - Tomar una figura en el plano geométrico, como un triángulo o un rectángulo y
mapearla en otra figura más pequeña o más grande con la misma forma.
Anexos
109
En el proceso de aplicación de un operador pueden tomar lugar tanto una reducción como un alargamiento (contracción y expansión, alargamiento o reducción). El resultado final del proceso es reducción o alargamiento, dependiendo de qué ha dominado el proceso. Por ejemplo:
El resultado final de un operador “3
4de” será un alargamiento porque éste
específica más alargamiento que reducción. Alarga mediante un factor de 4 y reduce mediante un factor de 3
Una noción que aparece en el ejemplo planteado es la composición, concebida como un proceso en el que al realizar una operación, y después realizas otra operación sobre el resultado de la primera operación, es posible “componer” operaciones, o realizar alguna operación simple la cual es una combinación de dos. Ejemplo:
Se dice que el operador “5
3de” define una composición de la multiplicación (un
alargamiento, tomando algo y obteniendo 3 veces su tamaño) con la división
(una reducción, tomando algo y obteniendo 5
1 de su tamaño, o dividiendo entre
5). d) Medida Al hablar acerca de los números racionales como medidas, el foco de atención estará sobre la partición sucesiva de la unidad. Indudablemente, la partición juega un papel esencial en otras de las interpretaciones de los números racionales, pero existe una diferencia. Hay un aspecto dinámico en la medición, en lugar de comparar el número de partes iguales que se tiene con un número fijo de partes iguales en una unidad, el número de partes iguales en la unidad puede variar y el nombre que le des a la parte fraccionaria depende del número de veces que se esté llevando el proceso de partición En la noción de medida, un número racional es usualmente la medida asignada a un intervalo o alguna región, dependiendo de si uno está utilizando un modelo de una dimensión o un modelo de dos dimensiones. En un espacio unidimensional se mide la distancia de un punto de la recta numérica a partir de cero, mientras que en un espacio bidimensional, se mide área. Establecida de manera simple, la propiedad de densidad de los números racionales dice que entre dos fracciones existe un número infinito de fracciones y que tú siempre puedes estar tan cerca como quieras de cualquier punto con una fracción. La partición sucesiva nos ayuda a nombrar a otras fracciones entre dos fracciones dadas.
Anexos
110
La noción de medida comparte ideas y mecanismos con las comparaciones parte – todo, cocientes y operadores. e) Razón Establece a la razón como una comparación de cualquier par de cantidades, puede utilizarse para presentar una idea que no se puede expresar con un simple número. El diagrama resume los diferentes tipos de razones identificados:
Figura 22. Tipos de razones.
Las razones que comparan medidas del mismo tipo pueden ser: comparaciones parte – todo y comparaciones parte – parte. Las comparaciones parte – todo son razones que comparan la medida de parte de un conjunto con la medida del conjunto completo, mientras que las comparaciones parte – parte comparan las medidas de parte de un conjunto con la medida de otra parte del conjunto. Las razones que comparan medidas de diferentes tipos son usualmente llamadas tasas, en donde implícito en el uso de la palabra “tasa” está la suposición adicional de que la comparación describe una cualidad que es común a varias situaciones. Destacamos lo que se señala respecto a que en algunos sentidos las razones poseen otras interpretaciones. Por ejemplo: las razones no son siempre números racionales, consideremos la razón de la circunferencia del círculo con su diámetro dc : , no es un número racional porque no puede expresarse como cociente de dos enteros, otro ejemplo sería la razón del lado de un cuadrado con su diagonal 2:1 . 2 no es un número racional, es un irracional y un ejemplo más sería que las razones pueden tener un cero en su segundo componente, pero las fracciones no están definidas para un denominador cero, como ejemplo se menciona que si se reporta la razón de hombres respecto a las mujeres en una reunión a la que asistieron 10 hombres y ninguna mujer, podría escribirse la razón 0:10 . Parece prevalecer dificultades en el uso de las tasas y de las razones en la enseñanza.
Anexos
111
Al respecto cabe señalar que las razones entre números enteros son racionales (siempre y cuando el denominador sea diferente de cero), lo mismo que las razones entre dos racionales. En ocasiones una razón es escrita en forma de fracción, pero no siempre; las comparaciones parte – todo, operadores, medidas y cocientes son con mucha
frecuencia escritas en la forma de fracción b
a
La razón de a cosas a b cosas puede escribirse en varias formas:
1. b
a ó ba /
2. ba
3. ba :
4. b
Respecto al estudio longitudinal que Lamon condujo se centró en el desarrollo de significados y operaciones de los números racionales por parte de los niños. Durante 4 años en dos escuelas urbanas de diferentes partes del país, cinco grupos del tercer al sexto grado experimentaron con la comprensión de los racionales, sobre una diferente
interpretación inicial del símbolo 8
7. Uno de los grupos inició su estudio de las
fracciones al interpretar a8
7 como una comparación entre la interpretación
parte/todo y la unitización (la cual se refiere al proceso cognitivo de reconceptualizar una cantidad de acuerdo con una unidad de medida que es conveniente para pensar y operar sobre dicha cantidad). Un sexto grupo que recibió una enseñanza tradicional de fracciones sirvió como grupo control. El estudio presentó una oportunidad para comparar enfoques no convencionales con la enseñanza tradicional y para documentar la secuenciación y el crecimiento de ideas, lo amplio y profunda comprensión desarrollados, así como las conexiones que los niños eran capaces de realizar con otros subconstructos de los números racionales. Respecto a los resultados, después de 4 años, los cinco grupos de estudiantes habían desarrollado una comprensión más profunda del número racional que la que habían desarrollado los estudiantes del grupo control, Utilizando diferentes interpretaciones de los números racionales, los niños adquirieron significados y procesos en diferentes secuencias, a diferentes profundidades de comprensión.
a
Anexos
112
Anexo C
Significados asociados a la noción de fracción del Programa de Estudio (2006):
EJES TEMAS BLOQUES 1 2 3 4 5 T
SN y PA
Significado y uso de los números 1.2 1 Significado y uso de las literales 4.3 5.2 2
Significado y uso de las operaciones 2.12.22.3
3.1 4
FEM
Transformaciones Formas geométricas Medida 4.5 1
MI Análisis de la información
1.61.7
2.72.8
3.53.63.9
5.4 8
Representación de la información 3.73.8
4.7 5.5 4
T 3 5 6 3 3 20 Tabla 1. Primer grado.
EJES TEMAS BLOQUES
1 2 3 4 5 T
SN y PA
Significado y uso de los números Significado y uso de las literales 3.3 1 Significado y uso de las operaciones
FEM
Transformaciones Formas geométricas Medida
MI
Análisis de la información 1.71.8 2.6 4.4 5.4 5
Representación de la información
3.6
1
T 2 1 2 1 1 7 Tabla 2. Segundo grado.
EJES TEMAS BLOQUES
1 2 3 4 5 T
SN y PA
Significado y uso de los números Significado y uso de las literales 3.1 1 Significado y uso de las operaciones
FEM
Transformaciones 3.4 1 Formas geométricas 3.3 1 Medida 4.3 1
MI Análisis de la información
2.52.6 2
Representación de la información 1.6 T 1 2 3 1 7
Tabla 3. Tercer grado.
Anexos
113
Anexo D Ejemplos de significados de las fracciones presentes en Cantoral, Cabañas, Castañeda, Farfán, Lezama, Martínez, Molina, Montiel y Sánchez (2008). Matemáticas 1. Serie para la educación secundaria: Desarrollo del Pensamiento Matemático. México: McGraw Hill Cociente: Para trabajar con las divisiones de fracciones y decimales se retoma la actividad utilizada en la noción de proporcionalidad.
Figura 23. Otro rompecabezas Operador: La actividad implica la ampliación y reducción de un rompecabezas en el que pondrán en juego nociones previas que se trabajaron en nociones como: proporción, razón, decimal, cocientes.
Anexos
114
Figura 24. La ampliación de un rompecabezas. Como podemos observar, esta actividad permite interconectar algunos significados, entre ellos parte todo, operador, cociente, razón, proporción, decimales. Porcentaje: Para la introducción del tema se presentan varias actividades, entre ellas se retoma la actividad “el cuadro decimal” para cuestionar sobre el porcentaje de cuadritos iluminados y no iluminados.
Figura 25. El cuadrado decimal.
Anexos
115
Probabilidad: Esta noción se introduce con varias actividades, la intención es tratar con una diversidad de información, además de emplear términos y conceptos matemáticos con expresiones cotidianas.
Figura 26. Determinación de probabilidad de una llamada telefónica.
Anexos
116
Anexo E Ejemplos de significados de las fracciones presentes en Block y García (2008). Fractal 1. Serie para la educación secundaria: Construir. México: Ediciones SM. Como punto de una recta orientada, medida, parte todo: Se presenta una pista para ubicar corredores, en el cual los recorridos corresponden tanto a números enteros como a números fraccionarios.
Figura 27. Una pista de corredores.
Proporcionalidad: En esta actividad se pide calcular datos y completar un par de tablas, una referida a edades, y otra a una tarifa de un taxi.
Figura 28. Completando tablas.
Anexos
117
Cociente (partición), parte todo y medida: En esta actividad se refiere a un artesano que necesita cortar tiras de madera en partes iguales, de cada tira requiere pedazos iguales, por lo que una noción central para resolverla será la de partición.
Figura 29. Cortando tiras de madera.
Razón: La actividad sugiere expresar cada razón de 3 formas distintas, es clara la importancia que da a la noción como con dos números, un solo número y como porcentaje.
Figura 30. Formas de expresar una razón.
Decimal, parte todo: En esta actividad se destaca la importancia de realizar la lectura y escritura de grandes y pequeñas cantidades a la vez.
Anexos
118
Figura 31. Lectura y escritura de cantidades. Probabilidad, parte todo: La actividad señala a la probabilidad en términos de una medida, en la que a través de la representación de un laberinto se deja caer un objeto y luego se pide determinar probabilidades.
Figura 32. Un instrumento para entender la medida de la probabilidad.
Anexos
119
Anexo F Ejemplos de significados de las fracciones presentes en Bosch y Gómez (2008). Encuentro con las matemáticas 1. México: Nuevo México. Medida, cociente, razón, parte todo: La manera de abordar la relación entre estas nociones se realiza a través de una actividad geométrica, que tiene que ver con el Teorema de Thales, y en el que se ponen en juego además la manipulación de objetos y conexión de significados.
Figura 33. División de segmentos en partes iguales.
Razón, parte todo, cociente: Este ejemplo refiere a la noción de razón esencialmente, además de apoyarse en nociones como cociente, parte todo no parece ser de respuesta inmediata, habrá de reflexionarse en las nociones a utilizar para resolverla.
Figura 34. Ejemplo de una razón que no es tan obvia. Operador: La actividad presentada nos indica el uso de nociones como proporción, razón, operador, cociente, parte todo. La actividad involucra encontrar las medidas reales de un dibujo (un velero) que se encuentra a escala, enfatizando la comparación de las longitudes del dibujo con las del objeto real.
Anexos
120
Figura 35. Un velero a escala. Porcentaje, parte todo: Para desarrollar la noción de porcentaje, se recurre a una actividad en la que la representación gráfica ayudará a determinar los porcentajes, en este caso se presenta una figura rectangular cuadriculada, en la que se solicita calcular distintos porcentajes del total de cuadritos.
Anexos
121
Figura 36. Una representación gráfica para calcular porcentajes. Racional: Se delimita acerca de lo que habrá de interpretarse como un número racional y una fracción.
Figura 37. La definición de número racional. Probabilidad, parte todo, cociente, operador, proporción: La actividad plantea un experimento, del que se obtendrá la probabilidad de sacar una bola de determinado color
Figura 38. Un experimento para determinar probabilidad.
Anexos
122
Anexo G
Ejemplos de significados de las fracciones presentes en Cantoral, Cabañas, Castañeda, Farfán, Lezama, Martínez, Montiel y Ferrari (2008). Matemáticas 3. Serie para la educación secundaria: Desarrollo del Pensamiento Matemático. México: McGraw Hill Razón, proporción: Aquí se presenta un método para aplicar una escala apoyándose en el Teorema de Thales, vemos como las nociones crean un vínculo con la Geometría.
Figura 39. Método gráfico para aplicar una escala. Razón de cambio, proporción, decimal: Con la información proporcionada en cada una de las tablas, se solicita determinar la razón de cambio, entendida como movimiento en función del tiempo; tablas en las que se utilizan tanto números enteros como decimales.
Figura 40. Tablas vinculadas con la razón de cambio.
Anexos
123
Proporción, cociente, porcentaje: La situación planteada permite establecer vínculos entre dos áreas: la matemática y la química. A partir de la presentación de una disolución (mezcla homogénea) se desarrollan varias preguntas, las cuáles permiten vincular significados como: medida, cociente, proporción, razón, porcentaje, decimales, parte todo; así como nociones complementarias: masa, soluto, solvente, concentración en porcentaje, junto con porcentaje en volumen.
Figura 41. Un ejemplo de mezcla homogénea.
Anexos
124
Anexo H Ejemplos de significados de las fracciones presentes en Bosch y Gómez (2008). Encuentro con las matemáticas 3. México: Nuevo México. Razón, proporción, operador: En esta actividad se presenta información referida a una tienda de fotografía que ofrece muestras de los distintos tamaños de las ampliaciones, advirtiendo que las medidas se encuentran en pulgadas y solicitando determinar razón de semejanza de una fotografía.
Figura 42. Las muestras de ampliación de una fotografía.
Probabilidad, porcentaje: A partir de la probabilidad de anotar un tiro penal determinar quien tirará el segundo tiro.
Anexos
125
Figura 43. El mito sobre el tiro penal.