FACTORIZACIÓN DE

POLINOMIOS

De la misma forma que descomponemos un número en factores primos:

30 = 2 . 3 . 5

Ahora descompondremos un polinomio en sus factores primos:

Ejemplo:

x2 + x - 6 = (x – 2) . (x + 3)

Son polinomios primos aquellos que sólo son divisibles entre sí mismos y la unidad.

Ejemplos de polinomios primos:

• x

• x + 1

• x - 2

• 2x + 1

• x2 + 1

• x4 + 2

En general son primos todos los polinomios

de la forma (x – a)

Si tomamos el ejemplo inicial:

x2 + x - 6 = (x – 2) . (x + 3)

Observamos que si sustituimos la x por 2 se anulará el primer factor.

Así mismo se anulará el segundo factor si la sustituimos por -3.

En ambos casos se anulará el producto resultante, es decir El VALOR NUMÉRICO DEL POLINOMIO.

x = 2 x = -3

Estos números reales son las RAÍCES del polinomio

Definición de RAÍZ de un polinomio:

Cada uno de los valores reales que sustituidos por la x anulan el valor numérico del polinomio.

Si a1 , a2 , a3 , …son raíces de un polinomio, se cumple que:

P (x) = k . (x – a1) . (x – a2) . (x – a3) . …

Estos son los factores primos en los que se descompone el polinomio

Atención a este factor k

P (x) = k . (x – a1) . (x – a2) . (x – a3) . …

¿Cómo podemos hallar las RAÍCES de un polinomio?

Como las raíces son los valores de la x que anulan el polinomio, las hallaremos anulando dicho polinomio, es decir:

P(x) = 0Resolviendo la ecuación

Veamos varios ejemplos:

O tanteando que valores de x anulan

el valor numérico del polinomio

P(a) = 0

Ejemplo 1

Si P(x) es un polinomio de segundo grado:

P(x) = x2 + x - 6Sólo tenemos que

resolver la ecuación

x2 + x – 6 = 0

Si las soluciones de la ecuación son:

P(x) = (x -2) . (x +3)

2 y - 3 son las RAÍCES del polinomio

por lo que ya podemos factorizarlo:

x = 2

x = - 3

Ejemplo 2 Sea P(x) = 2x2 + 3x - 2

Atención a este coeficienteResolvemos la ecuación:

P(x) = 0

Como las soluciones sonx = 1/2

x = -2

Casi tenemos factorizado P(x):

P(x) = ? (x – 1/2) .(x+2)

Lo conseguiremos añadiendo el coeficiente del término de mayor grado:

P(x) = 2 (x – 1/2) .(x+2)

2

Ejemplo 3Sea P(x) = x2 - 10x + 25

Si observamos con atención, vemos que es el desarrollo de un producto notable:

P(x) = x2 - 10x + 25

(x)2 -2.x.5 +52 a2 – 2ab + b2

(a – b)2

En este caso

Por lo queP(x) = (x – 5)2

Nos ahorraremos mucho trabajo si sabemos distinguir los PRODUCTOS NOTABLES.

Ejemplo 4

Si queremos factorizar o hallar las raíces de un polinomio de GRADO SUPERIOR A DOS, siempre nos queda EL MÉTODO DE RUFFINI

P(x) = x3 +2x2 –x- 2Sea

SI conseguimos una división exacta de P(x) entre un binomio del tipo (x –a)

Es decir de resto 0

Podremos factorizar el polinomio, aplicando:

Dividendo = Divisor × Cociente

P(x) = (x –a) × Cociente (x)

P(x) = x3 +2x2 –x- 2En el caso de nuestro polinomio ejemplo

Conseguimos una división exacta entre (x –1)

1 2 -1 -2

1

1 3 2 0

1 3 2

P(x) = (x – a) × Cociente (x)

x3 + 2x2 – x - 2 = (x – 1)

Así conseguimos el primer factor primo de P(x):

. (x2 + 3x + 2)

P(x) = (x – a) Cociente (x)

¿Como conseguimos encontrar esta raíz a ?

Siempre lo buscaremos entre los divisores enteros del término independiente de P(x)

P(x) = x3 +2x2 - x - 2

En el ejemplo:

)2(2

)2(2

)1(1

)1(1

x

x

x

x

Divisores de -2

Tantearemos por Ruffini cuales de estos BINOMIOS son divisores de nuestro polinomio P(x), es decir dan resto cero en la división.

P(x) = x3 +2x2 - x - 2

Comenzaremos tanteando por las raíces más pequeñas:

1 2 -1 -2

1

1 2 0

1 3 2Probamos con el 1

3 = Resto⇒

Como la división es exacta

x = 1 es raíz del polinomio⇒

P(x) = (x - 1) . (x2 + 3x +2)

Siempre podemos ahorrar tanteos si antes comprobamos para que

valores de x se anula el valornumérico de P(x)

P(x) = (x - 1) . (x2 + 3x +2)

Seguimos DESCOMPONIENDO EN FACTORES PRIMOS el polinomio cociente obtenido

C(x) = x2 + 3x + 2

Como es un polinomio de grado 2tenemos dos opciones a elegir:

OPCIÓN A Resolver la ecuación

x2 + 3x + 2 = 0

OPCIÓN B Seguir tanteando por Ruffini

Esta opción es la mejor

)2(2

)2(2

)1(1

)1(1

x

x

x

x

Divisores de 2

Si elegimos la OPCIÓN B

C(x) = x2 + 3x + 2

Seguir tanteando por Ruffini

Seguimos buscando otra vez entre TODOS los divisores del término independiente

1 3 2

1

1 6

1 4Probamos con el 1

4

(x-1) NO es divisor de C(x)

⇒

1 3 2

-1

1 0

-1 -2Probamos con el -1

2

(x+1) es divisor de

C(x)⇒

C(x) = x2 + 3x + 2

Volvemos a aplicar la regla:

Dividendo = Divisor × Cociente

C(x) = x2 + 3x + 2

Las raíces del polinomio C(x) son:x = -1

x = -2

= ( x + 1) . (x +2)

Resumiendo todo el Ejemplo 4:

Partíamos del polinomio P(x) = x3 +2x2 –x- 2

P(x) = (x – 1) . (x2 +3x + 2)

P(x) = (x – 1) . (x + 1) . (x + 2)

C(x) = x2 + 3x + 2 = (x + 1) . (x + 2)

Dividiendo entre (x – 1):

Como acabamos de comprobar:

Finalmente

También podemos resumirlo así:

P(x) = x3 +2x2 –x- 2

P(x) = (x – 1) . (x2 +3x + 2)

P(x) = (x – 1) . (x + 1) . (x + 2)

1 2 -1 -2

1

1 2 0

1 3 2

3

-1

1 0

-1 -2

2

Las raíces de P(x) son 1 , -1 y -2.

EJEMPLOS DE FACTORIZACIONES

Vamos a factorizar

Recordemos los pasos a seguir:

1. ¿Podemos sacar factor común? No

2. ¿Es identidad notable? No

3. ¿Es ecuación de segundo grado? No

4. Luego como es un polinomio de grado tres, utilizaremos Ruffini

P(x) = x3 - 3x - 2

P(x) = x3 - 3x - 2

1 0 -3 -2

Los divisores del término independiente, - 2

son: 1, - 1, 2, - 2.

Probemos con el 11

1.

1

1

+1

-2

-2

-4

Como no nos da 0, el 1 no es raíz y tendremos que probar con otro número. Probemos con el -1.

1 0 -3 -2

1 -1 -2 0

-1 -1 1 2

En este caso como nos da 0, el -1 es raíz del polinomio

-1

1 -2 0

-1 2Luego el -1 sale de nuevo raíz.

x + 1

x + 1

Además tenemos

x - 2

Continuamos probando con el -1.

Recopilando los datos obtenidos nos han salido como polinomios divisores de P(x):

x + 1, x + 1, x - 2

Así P(x) quedará factorizado como:

P(x) = x3 - 3x – 2 = (x + 1)·(x + 1)·(x - 2)

Esta es una de las formas de factorizar este polinomio, mediante Ruffini. Otra sería:

Sus raíces son: -1, -1, 2

El -1 ya había salido como raíz al aplicar Ruffini pero

podemos tener alguna más igualando a 0 los

demás polinomios divisores

x – 2 = 0 x = 2

P(x) = x3 - 3x - 2 1. Aplicaríamos Ruffini:

1 0 -3 -2

1 -1 -2 0

-1 -1 1 2

2. Resolvemos la ecuación de segundo grado.

x2 – x – 2 = 0x = -1

x = 2

El conjunto de todas las raíces son: -1, -1, 2.

Raíces:Polinomios divisores

de P(x):-1 x + 1

-1 x + 1

2 x - 2

Así P(x) queda factorizado:

x3 - 3x – 2 = (x + 1)·(x + 1)·(x - 2)

P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x

1. ¿Podemos sacar factor común?

Sí, se repite 3x en todos los monomios que forman P(x).

2. ¿Es identidad notable? No

3. ¿Es ecuación de segundo grado? No

4. Luego como es un polinomio de grado tres, utilizaremos Ruffini.

P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6)

Ahora nos centraremos en factorizar…

Comenzamos a factorizar siempre haciéndonos las

mismas preguntas

2x3 – 3x2 – 11x +6 Los divisores del término independiente, 6, son: 1, -1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6.

Comenzaríamos probando con el 1.2 -3 -11 +6

1

1

1

-2

-2

-13

-13

-7

Como no da cero borraríamos y probaríamos con otro divisor de 6.

Probaríamos con el -1 y el 2 y comprobaríamos que el resto no es 0. Sin embargo con el -2 da 0.

-2

2

-4

-7

14

3

-6

0

Así, P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x quedará factorizado:

P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6) =

= 3x·(x + 2)·(x2 – 7x +3)

Luego si -2 es raíz, un divisor de P(x) es: x + 2

Y el otro polinomio que obtenemos en Ruffini es: x2 - 7x + 3

Por lo tanto: (2x3 – 3x2 – 11x +6) = (x + 2)·(x2 – 7x +3)

Para acabar de factorizar tomaremos 2x2 -7x +3 y hallaremos sus raíces.

Igualamos a 0 el polinomio y resolvemos la ecuación:

2x2 -7x +3 = 0

Las soluciones obtenidas serán:

x1 = 3

x2 = 2

1

Por lo tanto 2x2 -7x +3 =

x - 3

x – 1/2

(x – 3)

(x – ½)

·

Así P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x quedará factorizado:

P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6) =

= 3x·(x + 2)·(2x2 – 7x +3) = 3x ·(x + 2)·(x – 3) ·(x -1/2) · 2

· 2

¿Por qué ponemos el 2?

Porque si sólo multiplicamos (x – 3) · (x – ½), el coeficiente de mayor grado no quedaría 2x2, sino x2.

Recopilemos toda la información obtenida:

Raíces:Polinomios divisores de P(x):

-2 x + 2

3 x - 3

1/2 x – 1/2

¡Pero falta otra raíz!

P(x) = 3x ·(x + 2)·(x – 3)·(x -1/2) · 2

Como tenemos la x como factor, si igualamos a 0 dicho factor, obtenemos x = 0

0 x

P(x) = x6 + 2x5 + x4 + 8x3 - 12x2

1. ¿Podemos sacar factor común? Sí, x2.

2. ¿Es identidad notable? No

3. ¿Es ecuación de segundo grado? No

4. Luego como es un polinomio de grado cuatro, utilizaremos Ruffini.

P(x) = x6 + 2x5 + x4 + 8x3 – 12x2 =

= x2 · (x4 + 2x3 + x2 + 8x - 12)

Ahora factorizamos:

Hagámonos las preguntas:

x4 + 2x3 + x2 + 8x - 12Los divisores del término independiente, 12, son:

1, -1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6, 12, -12.

Comenzamos probando con el 1.

Luego el 1 es raíz del polinomio, y así un divisor de

P(x) es .

Probaríamos con el 1, -1, 2, -2, 3 y comprobaríamos que el resto no es 0. Sin embargo con el -3 da 0.Luego si -3 es raíz, otro divisor

de P(x) es:

Y el otro polinomio que obtenemos en Ruffini es: x2 + 4

Por lo tanto: (x4 + 2x3 + x2 + 8x - 12) = (x -1)·(x +3)·(x2 + 4)

1 3 4 12

1 1 3 4

-3

1 0 4

-3 0

1 2 1 8 -12

12

0

-12

0

x + 3

x - 1

Para acabar de factorizar tomaremos x2 + 4 y hallaremos sus raíces, resolviendo la ecuación:

x2 + 4 = 0

Dicha ecuación no tiene soluciones reales, luego el polinomio queda factorizado:

P(x) = x6 + 2x5 + x4 + 8x3 – 12x2 =

= x2 · (x4 + 2x3 + x2 + 8x - 12) =

= x2 · (x -1) · (x +3) · (x2 + 4)

Sus raíces son: 0, 1, -3,