UNIDAD III: FACTORIZACIÓN, CASOS FACT.

Este documento fue elaborado por Ricardo Rosado en enero del 2011, tomando como referencias las siguientes fuentes:Báez de Erazo, Melba y Taveras de Frías, Reyita. (2006). Matemática Básica I. República Dominica: Ediciones dominicana.

Peña Geraldino, Rafael. (2011). Matemática Básica Superior. República Dominica: Editorial Antillana.

Factor común de una expresión

algebraicaPara sacar el factor común de una expresión algebraica:

Ejemplo:

Sacar los factores de diferentes términos de la

expresión.

Determinar el factor que se repite en los diferentes

términos de la expresión para sacarlo como factor

común.

Factorización por agrupación

de términos:

En la factorización por agrupación de términos, debemos agrupar aquellos términos que tienen factores comunes y luego procedemos a factorial los mismos.

Factorización de un término

cuadrado perfecto:

Para factorial un término lo primero que debemos hacer es determinar si es un trinomio cuadrado perfecto, para ello :

Verificar que el primero y tercer

término sean positivos

Tengan raíces cuadradas exactas

Que el segundo término sea el

Doble de la multiplicación de las

raíces

Ejemplo:

Factorización de un trinomio de la forma

que no es un término cuadrado perfecto.

Aquí nos vamos a encontrar con varios casos:

1er caso: cuando el coeficiente del primer término

es igual a 1

A) Se descompone en 2 binomios el trinomio dado, en los que el primer término en cada binomio es la raíz cuadrada de: .

B) En el primer factor después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio y en el segundo factor

después de x se escribe el signo que resulta de la multiplicación de los signos del segundo y tercer término del trinomio.

C) Si los signos de los factores binarios en el medio son iguales se buscan los números que sumados sean igual al valor absoluto del segundo término y multiplicados sea igual al valor absoluto a el tercer término del trinomio. Estos números serán la segunda parte de los dos binomios.

D) Si los signos de los factores binomios en el medio son distintos, se buscan dos números que restados sean igual al valor absoluto del segundo término y que multiplicado sean igual al valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de esos números es el segundo término del primer binomio y el menor el segundo término del segundo binomio.

Ejem

plo:

En estos casos se procede de dos formas diferentes:

2do caso: cuando el coeficiente del primer término es diferente de 1; a ≠ 1

1) cuando tenemos una expresión como esta

Teniendo la misma expresión algebraica anterior podemos proceder de la forma siguiente:

Factorización de una diferencia de cuadrados se extrae las raíces de los cuadrados y el resultado sería igual a la suma por la diferencia de las raíces.

Factorización de una suma de cubos:

La suma de cubo de dos cantidades es igual a dos factores; el primer factor está formado por la suma de sus raíces cubicas y el segundo será igual al cuadrado de la primera raíz menos el producto de las raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

La diferencia de dos cubos se descompone en dos factores; el primer factor es igual a la diferencia de sus raíces cubicas y el segundo, factor está formado por el cuadrado de la primera cantidad más el producto de raíces más el cuadrado de la segunda cantidad.

Factorización de una diferencia de cubos:

Máximo común divisor

Números primos: son aquellos números que son divisibles únicamente por ellos mismos y la unidad, o sea, sus factores son la unidad y ellos mismo. Ejemplo:El # 2, 3, 5,7, 11 etc.El máximo común divisor de varias expresiones

algebraicas es la mayor expresión que es divisor o factor de las expresiones algebraicas dadas.

Para hallar el M. C .D. se procede de la forma siguiente: 1

• Descomponemos en factores primos las expresiones dadas.

2

• El M. C. D. son todos los factores comunes a las expresiones dadas con su menor exponente.

Mínimo común múltiplo

Para determinar el M. C. M. de varias expresiones se procede de la forma siguiente:

El mínimo común múltiplo de varias expresiones, es la menor expresión algebraica que es divisible por cada una de las expresiones dadas.

1• Se descompone en factores primos cada una de las expresiones.

2

• El M.C.M. será el producto de todos los factores comunes y los no comunes de las expresiones dadas con su mayor exponente y sin repetir los que sean comunes.

Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas, en la que el divisor siempre será diferente de cero.

Es importante destacar que: podemos dividir 0 multiplicando, tanto el numerador como el denominador de unas fracción, por una cantidad diferente de ceso y la fracción que resulte será equivalente a la fracción original.

Regla de Ruffini o división sintética

La regla de Ruffini o división sintética es un procedimiento abreviado que se utiliza para determinar el cociente y el resto al dividir un polinomio f(x) entre un binomio lineal (x-a)Es importante destacar que cuando dividimos un

polinomio f(x) que llamamos dividendo, entre un binomio lineal que denominamos divisor, el resultado es un polinomio de grado menor que el dividendo, al que llamamos cociente.

Para dividir un polinomio f(x) de tercer grado entre un binomio lineal (x-a), se procede de la forma siguiente:

F) Los coeficientes obtenidos B0, B1, B2, se multiplican por la incógnita x a partir de un exponente de grado una unidad menor que f(x), hasta llegar a un grado cero.

A) Se escriben horizontalmente los coeficientes de f(x), incluyendo los coeficientes cero de las potencias que no están, si el polinomio no es completo.

B) Dejar un espacio y bajar una línea de suma escribiendo a su izquierda o derecha el termino independiente del binomio con su signo (a).

C) Bajar el primer coeficiente de f (x), o sea A o, que es igual a Bo o primer coeficiente del polinomio cociente.

D) Multiplicar B0 por a y sumarlo a A1. Esta suma va da B1, segundo coeficiente del polinomio cociente.

E) Repetir esta operación tantas veces como sea necesario. El último resultado obtenido es el resto de la división, que es cero o una constante numérica.

Regla de Ruffini o división sintética

Ejemplo: