ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS SEGUNDA EVALUACIÓN DE ÁLGEBRA LINEAL
13 DE FEBRERO DE 2014
TODOS LOS TEMAS TIENEN IGUAL VALOR
1. a. Construya, de ser posible, un operador lineal 2 2 2 2:L M M tal que:
El espacio propio asociado al valor propio 0 de L sea el espacio 1 2 0 1
Gen ,0 0 1 0
W
y
0 0 1 2 0 2 0 1, ,
1 1 0 0 0 0 1 0L L
Si identifica las imágenes de la base de W como el vector cero: 4 ptos
Si expresa a un vector arbitrario de 2 2M como combinación lineal de la base
1 2 0 1 0 0 0 2, , ,
0 0 1 0 1 1 0 0
: 3 ptos
b. Si LA es la matriz asociada a L en una base B de 2 2M , calcule det ( )LA
2. Sea V un espacio vectorial real, y 1 2 3, , B v v v una base de V.
a. Demuestre que la función: :V V dada por:
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 3 a v a v a v b v b v b v a b a b a b
es un producto interno en V
b. Sea 2 1 3 2Gen - 3 , H v v v v y 1 2 32v v v v . Utilice el producto interno definido en
(a) para calcular Hvproy : 6 ptos
3. Sea
1 0
3 3 3
1 0 2
k
A
:
a. Determine el valor de k para que 5 sea valor propio de A: 8 ptos
b. Para 20k determine si A es diagonalizable: 6 ptos
4. Sean A y B dos matrices n n semejantes:
a. Muestre que A y B tienen los mismos valores propios
b. ¿Tienen los mismos vectores propios? Justifique su respuesta:
5. Grafique la cónica dada por la ecuación 5
4 2 22
xy x y
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL
Instituto de Ciencias Matemáticas
Segunda Evaluación de Álgebra Lineal para Ingeniería en Auditoría y CPA
Guayaquil, 02 de Septiembre de 2010
Nombre:…………………………………………………. Paralelo:………
1.- (20 ptos.) Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones.
Justifique su respuesta.
a) El ángulo formado por los vectores y es
b) Si es una transformación lineal tal que ,
entonces
c) Si el conjunto es una base ortonormal de , entonces el conjunto
es base ortogonal de .
d) Si , entonces su complemento ortogonal es
e) Sea un operador lineal tal que , entonces T es un
ISOMORFISMO.
2.- (10 ptos.) Sea una transformación lineal tal que:
Determine:
a) El Núcleo de T y su respectiva base.
b) La imagen de T y su respectiva base.
3.- (20 pts.) Sea una transformación lineal tal que:
Determine:
a) La representación matricial de T con respecto a las bases canónicas.
b) La representación matricial de T con respecto a las bases:
,
c) Las matrices que relacionan a las matrices obtenidas en a) y en b).
4.- (10 ptos.) Dada la matriz . Determine:
a) Los valores propios de .
b) Los vectores propios de
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Instituto de Ciencias Matemáticas
Tercera Evaluación de Álgebra Lineal para Ingeniería en Auditoría y CPA
Guayaquil, 16 de Septiembre de 2010
Nombre:…………………………………………………. Paralelo:………
1.- (20 ptos.) Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones.
Justifique su respuesta.
a) Sea W un subespacio del espacio vectorial V . Si Ww y R , entonces Ww .
b) La nulidad de la matriz es 1.
c) Existe una transformación lineal tal que y .
d) Si es la representación matricial de T con respecto a dos bases
dadas, entonces T es un ISOMORFISMO.
e) Sea V un espacio vectorial real con producto interno. Sean Vvu, dos
vectores ortonormales. Si los vectores vu y vu son ortogonales, entonces
2.- (20 ptos.) Sean y dos bases del espacio
vectorial (Matrices Diagonales 2x2). Sea la matriz cambio de base de a
a) Encuentre los vectores de la base .
b) Usando la matriz de cambio de base , determine si se conoce que
.
3.- (20 pts.) Sea 3RV y 0623/3 zyxR
z
y
x
W un subespacio de V
Determine:
a) El complemento ortogonal de W
b) La proyección de v sobre W si se conoce que
4
1
3
v
4.- (20 ptos.) Sea A la matriz de los coeficientes del sistema lineal:
czyx
bzyx
azyx
32
2
2
a) Determine el espacio fila, el núcleo y el recorrido de A .
b) Si bac 2 , determine si los vectores
c
b
a
u pertenecen a )Im(A .
5.- (20 ptos.) Construya, de ser posible, una transformación lineal que
cumpla con las siguientes condiciones:
Escuela Superior Politecnica del LitoralInstituto de Ciencias Matematicas
SOLUCION Y RUBRICAExamen de la Segunda Evaluacion de ALGEBRA LINEAL
30 de Agosto de 2012
Rubrica para todos los temas:
DeficienteCuando el estudiante deja vacıo, escribe incoherencias o califica
0-1sin justificar una proposicion a ser analizada.
RegularEl estudiante demuestra tener una idea de como debe resolver el
2-5problema o como debe plantearlo, sin embargo tiene serias falencias conceptuales.
BuenoEl estudiante demuestra manejar bien los conceptos o los
6-8procedimientos pero falta la formalizacion o comete errores de calculos
ExcelenteTanto el planteamiento como el procedimiento son correctos
9-10aunque se pueden presentar faltas despreciables.
Ponderaciones:
P1 P2P3
P4P5
P6 Totala b a b
puntos: 10 10 5 5 10 10 10 10 70
1. (10 pts) Demuestre utilizando induccion matematica el siguiente teorema:
Sea T una transformacion lineal del espacio V en el espacio W sobre el campo K, entonces
∀n ∈ N, T
(
n∑
i=1
αivi
)
=n∑
i=1
αiT (vi)
SOLUCION:
Se probara por induccion que:
T (v1+v2) = T (v1)+T (v2) ∧ T (αv) = αT (v)⇒ T (α1v1+. . .+αnvn) = α1T (v1)+. . .+αnT (vn)
Para n = 1, se tiene T (α1v1) = α1T (v1) por la primera parte del antecedente de la impli-cacion.
Suponemos que el consecuente se cumple para n = k,
⇒ T (α1v1 + . . .+ αkvk) = α1T (v1) + . . .+ αkT (vk)
Consideremos el caso donde n = k+1. Por la primera parte del atecedente de la implicacionse tiene,
⇒ T (α1v1 + . . .+ αkvk + αk+1vk+1) = T (α1v1 + . . .+ αkvk) + T (αk+1vk+1)
Por el supuesto de induccion:
T (α1v1 + . . .+ αkvk + αk+1vk+1) = α1T (v1) + . . .+ αkT (vk) + T (αk+1vk+1)
y por la segunda proposicion del antecedente de la implicacion, se tiene que:
T (α1v1 + . . .+ αkvk + αk+1vk+1) = α1T (v1) + . . .+ αkT (vk) + αk+1T (vk+1) �
2. (10 puntos) Rectifique o ratifique la siguiente DEFINICION:
Definicion Rectificacion o Ratificacion
Rectificacion:Una matriz A es ortogonal si ysolo si los vectores columnas de Se dice que una matriz inversible A
A son ortogonales. es una matriz ortogonal si A−1 = AT
3. (10 puntos) Califique cada una de las siguientes proposiciones como VERDADERA o FALSAy justifique formalmente su calificacion.
a) La matriz A =
(
k 01 3
)
es diagonalizable para todo valor real k.
SOLUCION:
Se puede observar que los valores propios de la matriz son: k y 3. Realizamos el analisisen el valor k = 3, ya que serıa la situacion del valor propio repetido. Para los otrosvalores de k, es diagonalizable. Para el valor k = 3, la multiplicidad geometrica es 1,por lo que la matriz no es diagonalizable para k = 3, por lo tanto la proposicion esFALSA.
b) La funcion f : P2×P2 → R definida por f(p(x), q(x)) = p(1)q(1) es un producto internoreal.
SOLUCION:
Se deberıa cumplir que si p(x) = ax2 + bx + c, f(p, p) = 0 ⇔ p = 0P2, pero si a = 0 y
b = −c, se tiene p(x) = −cx + c y entonces f(−cx + c,−cx + c) = (0)(0) = 0. Por lo tantola proposicion es FALSA.
4. (10 puntos) Sea T un operador lineal en R3 definido como:
T
a
b
c
=
a+ b+ 2cb
b+ 3c
Determine si T 2 es diagonalizable.
SOLUCION:
Sea la matriz de la transformacion lineal AT =
1 1 20 1 00 1 3
, entonces AT 2 =
1 4 80 1 00 4 9
cuyos valores propios son: λ = 1 con multiplicidad algebraica 2 y λ = 9. Haciendo el analisis
del valor propio repetido se obtienen los vectores propios {
100
,
0−21
}, por lo tanto es
diagonalizable.
5. (20 puntos) Sea T : V → V un operador lineal definido en V . Sean β1 = {v1, v2, v3} yβ2 = {v1 + 2v2, v2 + v3, v1 − v3} dos bases de V .
a) Si A es la matriz asociada a T con respecto a β1 y B es la matriz asociada a T conrespecto a β2, demuestre que existe una matriz inversible P tal que A = P−1BP .
SOLUCION:
∀x ∈ V , [T (x)]β1= A[x]β1
(1)
∀x ∈ V , [T (x)]β2= B[x]β2
(2)
∀x ∈ V , [x]β2= P [x]β1
(3)
∀x ∈ V , [T (x)]β2= P [T (x)]β1
(4)
Reemplazando (4) en (2)
∀x ∈ V , P [T (x)]β1= B[x]β2
(5)
Reemplazando (1) en (5)
∀x ∈ V , PA[x]β1= B[x]β2
(6)
Reemplazando (3) en (6)
∀x ∈ V , PA[x]β1= BP [x]β1
(7)
Por lo que: PA = BP
Dado que P es invertible debido a que es la matriz de transicion de β1 a β2, se tieneque A = P−1BP .
b) A partir de lo anterior, si A =
1 −1 20 0 01 −2 3
, determine la matriz B.
SOLUCION:
La matriz P−1 es la matriz de transicion de β2 a β1:
P−1 = ([v1 + 2v2]β1| [v2 + v3]β1
| [v1 − v3]β1)
Entonces P−1 =
1 0 12 1 00 1 −1
y por lo tanto P =
−1 1 −12 −1 22 −1 1
Se tiene por el literal anterior que B = PAP−1, entonces:
B =
−1 1 −12 −1 22 −1 1
1 −1 20 0 01 −2 3
1 0 12 1 00 1 −1
=
4 −2 3−8 4 −6−5 3 −4
6. (10 puntos) Sea el espacio vectorial V = L(R2,R2) y sean T1
(
x
y
)
=
(
x
0
)
, T2
(
x
y
)
=
(
y
0
)
,
T3
(
x
y
)
=
(
0x
)
, T4
(
x
y
)
=
(
0y
)
. Demuestre que {T1, T2, T3, T4} es una base de L.
SOLUCION:
Se probara que el conjunto {T1, T2, T3, T4} genera a L y ademas es linealmente independiente.
Toda transformacion lineal T : R2 → R2 puede representarse de la forma:
T
(
x
y
)
=
(
α1 α2
α3 α4
)(
x
y
)
=
(
α1x+ α2y
α3x+ α4y
)
Se tiene:
α1T1
(
x
y
)
+ α2T2
(
x
y
)
+ α3T3
(
x
y
)
+ α4T4
(
x
y
)
= α1
(
x
0
)
+ α2
(
y
0
)
+ α3
(
0x
)
+ α4
(
0y
)
=
(
α1x+ α2y
α3x+ α4y
)
Se ha probado entonces que gen{T1, T2, T3, T4} = L(R2,R2)
Para probar la independencia, la unica solucion de
α1T1
(
x
y
)
+ α2T2
(
x
y
)
+ α3T3
(
x
y
)
+ α4T4
(
x
y
)
= 0L
debe ser α1 = α2 = α3 = α4 = 0, donde 0L es la transformacion Cero de L, entonces:
α1
(
x
0
)
+ α2
(
y
0
)
+ α3
(
0x
)
+ α4
(
0y
)
=
(
α1x+ α2y
α3x+ α4y
)
=
(
00
)
La unica forma que la ecuacion anterior se cumpla para todo x y y es que α1 = α2 = α3 =α4 = 0
Por lo tanto el conjunto {T1, T2, T3, T4} es linealmente independiente. �
Otra alternativa de solucion:
Sea β1 = β2 = {
(
10
)
,
(
01
)
},
[T1]β1β2=
[
[T1
(
10
)
]β2
∣
∣
∣
∣
[T1
(
01
)
]β2
]
=
[
1 00 0
]
[T2]β1β2=
[
[T2
(
10
)
]β2
∣
∣
∣
∣
[T2
(
01
)
]β2
]
=
[
0 10 0
]
[T3]β1β2=
[
[T3
(
10
)
]β2
∣
∣
∣
∣
[T3
(
01
)
]β2
]
=
[
0 01 0
]
[T4]β1β2=
[
[T4
(
10
)
]β2
∣
∣
∣
∣
[T4
(
01
)
]β2
]
=
[
0 00 1
]
entonces, el conjunto de matrices {
[
1 00 0
]
,
[
0 10 0
]
,
[
0 01 0
]
,
[
0 00 1
]
} forman la base canonica
de M2×2, y como se sabe que la funcion F : L(R2,R2)T
→7−→
M2×2F (T )=[T ]β1β2
es un isomorfismo del
espacio vectorial L(R2,R2) al espacio vectorial M2×2 entonces el conjunto {T1, T2, T3, T4} esuna base de L. �
Escuela Superior Politecnica del LitoralInstituto de Ciencias Matematicas
Tercera Evaluacion de ALGEBRA LINEAL
13 de Septiembre de 2012
Nombre: Paralelo: Firma:
1. (10 pts) Defina Espacio Vectorial sobre el campo K.
2. (10 puntos) Sea V = C[0, 1] y H = {f ∈ V | f 2(0) = f 2(1)}. Determine si H es un subespa-cio de V .
3. (10 puntos)Sea T : R3 → R3 la trasformacion lineal definida por:
T
x
y
z
=
x− 2y + z
y + z
x− y + 3z
Detemine si T y T 2 son isomorfismos.
4. (10 puntos) Construya de ser posible, una Transformacion Lineal de R2 en R2 que transforme
todo vector de R2 en un vector que pertenezca a la recta y = 2x.
5. (10 puntos) Sea V = C[0, 1] y f, g ∈ V . Demuestre que si el conjunto {f, g} es linealmentedependiente entonces:
W =
∣
∣
∣
∣
f(x) g(x)f ′(x) g′(x)
∣
∣
∣
∣
= 0
6. (10 puntos) Sean A y B matrices cuadradas. Demuestre que si A es semejante a B, entoncesB es semejante a A.
7. (10 puntos) Dada la matriz A =
1 10 12 2 2−1 −8 k
, determine los valores de k para que la
nulidad de A sea cero.
8. (10 puntos) Sean u, v1, v2, . . . , vn vectores pertenecientes al espacio euclidiano V . Demuestreque si u es ortogonal a v1, v2, . . . , vn, entonces u es ortogonal a todo vector de gen{v1, v2, . . . , vn}
9. (10 puntos) Sean u =
250
y v =
3−11
dos vectores del espacio euclidiano R3. Exprese al
vector u como la suma de dos vectores p y q tal que p es paralelo a v y q es ortogonal a v.
10. (10 puntos) Grafique la curva descrita por la ecuacion x2 + 2xy + y2 − 4√2x− 2 = 0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
SEGUNDA EVALUACIÓN DE ÁLGEBRA LINEAL
Nombre: ………………………………. Paralelo: ……
Firma: ……………………….. 2 de septiembre de 2010
1. (20 ptos) Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique
su respuesta.
a. Sea :T V W una transformación lineal, Sea S un subespacio vectorial de V, entonces
( ) ( ),T S w W w T v v S es subespacio de W.
b. Existe un espacio vectorial V y existe un operador lineal :L V V tal que
Nu( ) Im( )L L
c. En 2P se define el producto interno
, 1 1 0 0 1 1p x q x p q p q p q , entonces 21 1x x
d. Si A y B son matrices semejantes, entonces tA y tB también lo son.
2. (20 ptos) Sea 3
2:T P tal que
( 1)
( ) (0)
(1)
p
T p x p
p
.
a. Determine el núcleo e imagen de T y sus respectivas bases.
b. Si T es invertible, calcule 1T
3. (25 ptos) Sea 2 3
V M , con el producto interno , Traza( )tA B AB .
Sea 0a b c
W V a b c d e fd e f
a. Determine el complemento ortogonal de W.
b. Sea 1 0 1
0 2 0C V , calcule la proyección ortogonal de C sobre W
Obs.-La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de la diagonal principal.
4. (20 ptos) Sea L una transformación lineal de 2P en 2 2S tal que:
2 21 0 0 0 1 0
1 , 1 , 10 1 0 1 0 2
L x L x L x
a. Determine la regla de correspondencia de L.
b. Encuentre la matriz asociada a L en las bases:
2 2
1 1, 1, 1B x x x , 2
1 0 1 0 0 1, ,
0 1 0 1 1 0B
5. (15 ptos) Grafique el lugar geométrico correspondiente a 2 29 6 10x xy y
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
TERCERA EVALUACIÓN DE ÁLGEBRA LINEAL
Nombre: ………………………………. Paralelo: ……
Firma: ……………………….. 16 de septiembre de 2010
1. (20 ptos) Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique
su respuesta.
a. Existe una transformación lineal : nnT P tal que 0Nu 0 ,VT v , donde
0 0, 0V
nv v .
b. Si 1 1,..., nB v v es base de V y L una transformación lineal de V en W, entonces
2 1 ,..., nB L v L v genera a W.
c. Si A es una matriz invertible y es valor propio de A, entonces es diferente de cero.
d. Dos matrices semejantes tienen los mismos valores y vectores propios.
2. ( 20 ptos) Sea f un producto interno real en el espacio vectorial 1P , tal que 21 ,
1x y 11 x,f .
a. Encuentre la regla de correspondencia de f
b. Sea 1 1 0/W p x P p un subespacio vectorial de 1P , encuentre una base y
determine la dimensión de W
c. Construya una base para 1P formada por un vector de W y por un vector de W
3. (20 ptos) Sea 2
1:L P una transformación lineal tal que la matriz 52
31A es la
representación matricial de L respecto de las bases 1
1 2,
1 1B de 2 y
2 1 , 1 3B x x de 1P .
a. Determine una base y la dimensión del núcleo y recorrido de L
b. ¿Es L invertible? Justifique su respuesta
4. (20 ptos) a. Encuentre una matriz 22xMA , tal que 11 y 32 sean sus
valores propios, y, además:
1
1Gen
1E
2
5Gen
1E
b. Sea 11 PP:L un operador lineal tal que A es su representación matricial respecto
de la base 1 1 , 1B x x de 1P . Encuentre, de ser posible, una base 2B de 1P
respecto de la cual la matriz asociada a L sea una matriz diagonal.
5. (20 ptos) Sea el espacio vectorial 4V . Sean los subespacios de V :
4 / 0 , 2 0
a
bH a b c a b c d
c
d
,
4 -1
1 0Gen ,
1 -1
3 2
W
Encuentre una base y determine la dimensión de los subespacios de V :
a. WH
b. WH
Ramiro J. Saltos
Instituto de Ciencias Matemáticas
Algebra Lineal: Solución de la Segunda Evaluación
1. (20 puntos) Califique como verdaderas o falsas a las siguientes proposiciones. Justifiqueformalmente sus repuestas.
a) Una transformación lineal cuyo núcleo es VO , es invertible
Sea 32: RRT una transformación lineal definida por
ba
b
a
b
aT
Si obtenemos su núcleo fácilmente nos damos cuenta que es
0
0pero como la WV dimdim , T no es
invertible.
También es válido decir que el hecho que la transformación lineal sea inyectiva no necesariamente debe sersobreyectiva
Falso
b) :, Rtr
)()(
)()(
trSentCos
tCostrSenA es ortogonal
Para que la matriz sea ortogonal, el producto interno entre sus columnas debe ser igual a 0 y al mismotiempo el producto interno de cada columna consigo misma debe ser igual a 1. Entonces, utilizando elproducto interno canónico:
00
0)()()()(
0)(
)(
)(
)(
tCostrSentCostrSen
trSen
tCos
tCos
trSen
01)(
1)(1)(
1)()(
1)(
)(
)(
)(
22
222
222
rtSen
tSentSenr
tCostSenr
tCos
trSen
tCos
trSen
20
0)(
0)(2
tt
tSen
tSen
1
1
012
2
r
r
r
Por lo tanto la igualdad sólo se cumple para los valores de r y t encontrados y no para todos los reales. Seigual procedimiento para la segunda columna
Falso
Ramiro J. Saltos
c) Sea V un espacio vectorial real con producto interno. Sean Vvu , dos vectores ortonormales.Si los vectores vu y vu son ortogonales, entonces
0)/()/()/()/(
0)/()/()/()/(
0)/(
22
vvvuvuuu
vvuvvuuu
vuvu
Pero como los vectores u y v son ortonormales, sabemos que: 1)/()/( vvuu
22
22
22
0
0)/()/( vvuu
Verdadero
d) Si es un valor propio de
10
01A , entonces AAA
21
Primero tenemos que darnos cuenta la matriz A es ortogonal, eso se ve fácilmente porque el productointerno entre sus columnas es cero y al mismo tiempo el producto interno de cada columna consigo misma esuno, entonces:
AAAA T 11
También como A es una matriz diagonal sus valores propios son los elementos de la diagonal principal, esdecir:
1
1
Finalmente:
AA
AAA
AAA
22
2
211
1
AA
AA
AA
AAA
AAA
2
1
2
12
1)()2(
2
1)2(
2
2
11
1
11
1
Verdadero
Ramiro J. Saltos
2. (15 puntos) Sea 222: RML x una transformación lineal tal que:
1
1
01
01
10
01
01
10LLL y
0
0
00
01L
Determine:a) )Im(),( LLNub) La matriz asociada a L respecto a las bases canónicas de cada espacio
La mejor opción es encontrar la regla de correspondencia de L , y para ello necesitamos una base del espaciode partida y para armarla usamos los cuatro vectores que nos dan de datos, así:
00
01,
01
01,
10
01,
01
10B
Y al vector típico de 22xM lo escribimos como combinación lineal de los vectores de esta base, luegoplanteamos el sistema de ecuaciones y obtenemos los escalares en términos de dcba ,,,
00
01
01
01
10
01
01
104321
dc
ba
231
1432
dc
ba
2
31
1
432
d
c
b
a
bc
bc
3
3
dcba
bcda
4
4
Finalmente reemplazamos los datos en la combinación lineal inicial:
00
01
01
01
10
01
01
104321 TTTT
dc
baT
0
0)(
1
1)(
1
1)(
1
1)( dcbabcdb
dc
baT
dc
dc
dc
baT
Calculando el núcleo tenemos:
0
0
dc
dc
000
011
011
011
dc
dc
0
0/)( 22 dcM
dc
baLNu x
Ramiro J. Saltos
Y la imagen:
ydc
xdc
xy
x
y
x
00
11
11
11
yx
xy
0
yxR
y
xL /)Im( 2
Para obtener la matriz asociada a la base canónica, sabemos que:
10
00,
01
00,
00
10,
00
0122 xMCB
1
0,
0
12CR
B
0
0
00
01T
0
0
00
10T
1
1
01
00T
1
1
10
00T
2222
10
00
01
00
00
10
00
01
CRCRCRCRBBBB
TTTTA
1100
1100A
Ramiro J. Saltos
3. (15 puntos) Sea
a
a
a
A
11
11
11
Determine:a) Los valores propios de Ab) Una base para cada espacio propio de A
a
a
a
IA
11
11
11
02)(3)(
0)(11)(1)()(
0)(111)(11)()(
3
2
2
aa
aaaa
aaaa
Ahora realizamos un cambio de variable para visualizar mejor las cosas:
ax0233 xx
Aplicando división sintética:
0211
211
23011
0)1)(2)(1(
0)2)(1( 2
xxx
xxx
1
1
1
a
a
x
2
2
2
a
a
x
Y finalmente hallamos cada espacio propio reemplazando cada en la matriz IA
1aE
000
000
111
111
111
111
cba
cba
0
1
0
1
0
1
1
cb
c
b
cb
c
b
a
1
0
1
,
0
1
1
EB
2aE
101
110
000
211
110
000
211
330
330
211
121
112
cb
cb
0
ca
ca
0
1
1
1
c
c
c
c
c
b
a
1
1
1
EB
Ramiro J. Saltos
4. (5 puntos) Determine si la matriz
101
110
101
A es diagonalizable
101
110
101
IA
Calculamos la ecuación característica:
01)1()1(
0)1()1()1(2
2
1
0)1(
0)2)((
0)11)(11(
01)1( 2
0
2
02
Debemos recordar el corolario que dice: “Si nxnMA tiene n valores propios distintos, entonces A esdiagonalizable”
Como tenemos tres valores propios distintos, entonces A es diagonalizable
Ramiro J. Saltos
5. (15 puntos) Sea 3RV y
0623/3 zyxR
z
y
x
W un subespacio de V
Determine:a) El complemento ortogonal de W
b) La proyección de v sobre W si se conoce que
4
1
3
v
Para calcular el complemente primero necesitamos una base de W
zxy
zyx
632
0623
2
6
0
0
3
2
2
63
2
2
2
2
zx
z
zx
x
z
y
x
z
y
x
1
3
0
,
0
3
2
WB
Sea
W
c
b
a
ba
ba
c
b
a
32
032
0
0
3
2
bc
cb
c
b
a
3
03
0
1
3
0
0332/3 bcbaR
c
b
a
W
Para hallar la proyección del vector que nos piden es mejor calcularla sobre W debido a que la base de estesubespacio tiene un solo vector y ortonormalizarla será más sencillo.
6
2
3
6
2
3
2
2
2
b
b
b
b
c
b
a
c
b
a
6
2
3
WB
Ramiro J. Saltos
Ahora procedemos a ortonormalizar esta base:
11
1
1v
vu
749
3649
6
2
3
6
2
3
/
1
1
1
111
v
v
v
vvv
6
2
3
7
1*WB
Vamos a suponer que v se puede escribir como la suma de dos vectores Wh y Wp , hallaremos p yluego contestaremos la pregunta al encontrar pvh
11
Pr
uuvp
voypW
6
2
3
49
13
6
2
3
242949
1
6
2
3
6
2
3
4
1
3
49
1
p
p
p
49248
4975
49186
4952
4926
4939
4
1
3
h
h
49248
4975
49186
Pr voyW
Instituto de Ciencias Matemáticas
Algebra Lineal: Solución de la Primera Evaluación
Tema 1: (20 puntos) Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifiqueformalmente su respuesta
a) Si la matriz B se obtiene a partir de la matriz A por medio de un intercambio de filas, entonces)()( BA (Verdadero)
Por definición, la matriz A es equivalente por renglones a la matriz B si A puede reducirse a B medianteoperaciones elementales de renglón
En este caso la matriz B se obtiene por un simple intercambio de las filas (renglones) de A , entoncesBA RR dado que los renglones de A y B son los mismos excepto que están escritos en un orden diferente
También hay que recordar que )dim()dim()())dim(Im( AA RCAA
)()( BA
b) Si 53xMA es una matriz cualquiera, entonces 3)( Av (Falso)
Sea 53
00100
00010
11001
xMA
. Sea )(ANu
e
d
c
b
a
X
0
0
0
00100
00010
11001
3
e
d
c
b
a
OAXR
000100
000010
011001
De donde obtenemos:
eda
eda
0
0b 0c
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
ed
e
d
ed
e
d
c
b
a
1
0
0
0
1
,
0
1
0
0
1
)( ANuB 2)( Av
c) Sea V un espacio vectorial. Sea VBA , , entonces )()()( BgenAgenBAgen (Falso)
Sea 3RV . Sea
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
A y VB
2
0
0
,
0
1
0
0
1
0
BA
0/)( 3 caR
c
b
a
BAgen
RcbaR
c
b
a
Agen ,,/)( 3 y
0/)( 3 aR
c
b
a
Bgen
RcbaR
c
b
a
BgenAgen ,0/)()( 3 )()()( BgenAgenBAgen
d) Sea W un subespacio del espacio vectorial V . Si Ww y R , entonces Ww (Falso)
Sea 2RV . Sea
0/2 aR
b
aW un subespacio de V . Sea 0
Sea
0
1w , este vector no pertenece a W por no cumplir la condición de que 0a
0
0
0
10w
Por hipótesis sabemos que W es un subespacio y por tanto contiene al nulo de V y VOw
Ww
e) Si RRL : es una transformación lineal, entonces )()( 22 vLvL (Falso)
Sea aaL 2)( una transformación linealSea 2a
816
)4(4
)2()2(2
22
L
LL
)()( 22 vLvL
Tema 2: (10 puntos) Sea
00/ yx
y
xV con las operaciones:
21
21
2
2
1
1
4
9
yy
xx
y
x
y
x
y
x
y
x2
2
2
3
Si ,,V es un espacio vectorial, determine:a) El neutro o cero vectorial de Vb) Si Vv , el inverso aditivo de v
Este ejercicio se presenta bastante confuso, debido a que la manera en que es planteado da a entender queprimero hay que determinar si V es un espacio vectorial. Pero no vamos a analizar la validez del ejercicioplanteado, sino que vamos a resolver lo que nos piden en cada literal.
a) Usando el teorema Vv VOv 0
1
1
2
3
0
0)0(2
0)0(2
V
V
V
O
y
xO
y
xO
Usando el axioma VOV Vv vOv V
Sea Vb
av
. Sea
y
xOV
b
a
by
ax
b
a
y
x
b
a
4
9 91
9
x
aax
41
4
y
bby
41
91
VO
El nulo pertenece a V porque sus componentes son mayores que 0Hay que notar que usando las dos formas de resolución no nos queda el mismo nulo, pero esto se debe almal planteamiento del problema. Utilizando ambas alternativas siempre debe quedar la misma respuesta
b) Usando el teorema Vv '1 vv
y
xv
y
xv
y
xv
419
1'
2
3'
1'
1)1(2
1)1(2
Usando el axioma Vv Vv ' VOvv '
La pregunta aquí es con cuál nulo trabajamos. Para este caso debemos usar el obtenido al usar el axiomaporque estamos calculando el inverso de la misma manera que ese neutro
Sea Vy
xv
. Sea
b
av'
41
91
4
9
41
91
yb
xa
b
a
y
x
xa
xa
811
919
yb
yb
161
414
y
xv16
181
1'
Ambos inversos pertenecen a V por ser sus componentes mayores que 0Con el mismo argumento mencionado al calcular el VO sabemos que nos debió quedar la misma respuesta.
También se puede notar que V no es un espacio vectorial por no cumplirse el siguiente axioma:
M10) Vv vv 1
Sea Vy
xv
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
4
9
2
3
1
1)1(2
1)1(2
Tema 3: (20 puntos) Sea 23xMV . Sean 1W el conjunto de las matrices que tienen la primera yúltima fila iguales; 2W el conjunto de las matrices que tienen la primera columna igual a susegunda columna; y 3W el conjunto de las matrices 23xA tal que 12 iai , .3,2,1i
Determine.a) Los conjuntos que son subespacios de Vb) La intersección entre los subespacios encontrados en el literal anteriorc) La suma entre los subespacios encontrados en el primer literald) Una base para el subespacio intersección y otra para el subespacio suma, obtenidos en (b)
y (c), respectivamente.
Para hallar 1W hay que tener en cuenta que su primera y última fila son iguales, por tanto las componentesen dichas filas deben ser correspondientemente iguales, así nos queda que:
fbeaM
fe
dc
ba
W x /231
Ahora procedemos a determinar si 1W es un subespacio de V
1) 1, Wwv 1Wwv
Sea
11
11
11
fe
dc
ba
v y 1
22
22
22
W
fe
dc
ba
w
Como ambos vectores pertenecen a 1W cumplen con la condición del mismo, con lo que tenemos que:11 ea 11 fb 22 ea 22 fb
2121
2121
2121
ffee
ddcc
bbaa
wv
Ahora hay que ver si la suma de ambos cumple la condición
002121
2121
eeee
eeaa
002121
2121
ffff
ffbb
Por tanto 1Wwv
2) R 1Wv 1Wv
Sean R . Sea 1W
fe
dc
ba
v
Sabemos que ea y fb entonces 0 ea y 0 fb
fe
dc
ba
v
00
0)0(
0)(
0
ea
ea
00
0)0(
0)(
0
fb
fb
Por tanto 1Wv
1W es un subespacio de V
El mismo procedimiento vamos a realizar con 2W pero aquí hay que notar que ambas columnas soniguales, por tanto las componentes en dichas columnas deben ser correspondientemente iguales, así nosqueda que:
fedcbaM
fe
dc
ba
W x /232
Ahora procedemos a determinar si 2W es un subespacio de V
1) 2, Wwv 2Wwv
Sea
11
11
11
fe
dc
ba
v y 2
22
22
22
W
fe
dc
ba
w
Como ambos vectores pertenecen a 2W cumplen con la condición del mismo, con lo que tenemos que:
011
11
ba
ba
011
11
dc
dc
011
11
fe
fe
022
22
ba
ba
022
22
dc
dc
022
22
fe
fe
2121
2121
2121
ffee
ddcc
bbaa
wv
00
000
0)()(
0)()(
2211
2121
baba
bbaa
00
000
0)()(
0)()(
2211
2121
dcdc
ddcc
00
000
0)()(
0)()(
2211
2121
fefe
ffee
Por tanto 2Wwv
2) R 2Wv 2Wv
Sean R . Sea 2W
fe
dc
ba
v
fe
dc
ba
v
00
0)0(
0)(
0
ba
ba
00
0)0(
0)(
0
dc
dc
00
0)0(
0)(
0
fe
fe
Por tanto 2Wv
2W es un subespacio de V
Finalmente nos falta encontrar 3W y determinar si este es un subespacio, y para ello hay que utilizar laregla de correspondencia para determinar el valor de las componentes en la segunda columna, la cual es
12 iai
0
11
12
12
a
a
1
12
22
22
a
a
2
13
32
32
a
a
RcbaM
c
b
a
W x ,,/
2
1
0
233
Para determinar si 3W es un subespacio hay que recordar que todo subespacio debe contener a vector nulo
del espacio vectorial, pero en este caso el nulo que es
00
00
00
no pertenece a 3W por no cumplir con la
forma de todo vector de 3W , la cual consiste en que su segunda columna siempre tendrá 0 , 1 y 2 ,respectivamente
3W no es un subespacio de V
Procederemos a encontrar la intersección entre los subespacios hallados y una base para la misma. Sabemosque:
00/231 fbeaM
fe
dc
ba
W x
000/232 fedcbaM
fe
dc
ba
W x
Por tanto:
0/2321 fedcbafbeaM
fe
dc
ba
WW x
Pero no es correcto dejar expresada la intersección en función de muchas condiciones. A estas hay quesimplificarlas usando Gauss, así:
0
0
0
0
0
fe
dc
ba
fb
ea
)1(
0110000
0001100
0010010
0100010
0010001
)1(
0110000
0001100
0000011
0100010
0010001
2313 AA
0000000
0001100
0110000
0100010
0010001
)1(
0110000
0001100
0110000
0100010
0010001
35A
Como ya no podemos seguir obteniendo más filas llenas de ceros, entonces la intersección sólo quedará enfunción de estas condiciones:
0/2321 dcfefbeaM
fe
dc
ba
WW x
Para obtener una base para la intersección debemos reemplazar las condiciones en el vector típico de lamisma, pero antes hay que hacer unos cuantos despejes para dejar al vector en función de la menorcantidad posible de variables
ea
ea
0
ef
fe
0
eb
fb
fb
0
dc
dc
0
Sea 21 WW
fe
dc
ba
00
11
00
11
00
11
de
ee
dd
ee
fe
dc
ba
00
11
00
,
11
00
11
21 WWB 2dim 21 WW
Finalmente hallaremos las condiciones del subespacio suma y una base para el mismo, pero antesnecesitamos las bases de los subespacios 1W y 2W
Para 1W
Sea 1W
fe
dc
ba
00
10
00
00
01
00
10
00
10
01
00
01
dcba
ba
dc
ba
fe
dc
ba
00
10
00
,
00
01
00
,
10
00
10
,
01
00
01
1WB 4dim 1 W
Para 2W
Sea 2W
fe
dc
ba
11
00
00
00
11
00
00
00
11
eca
ee
cc
aa
fe
dc
ba
11
00
00
,
00
11
00
,
00
00
11
2WB 3dim 2 W
Una vez obtenidas las bases, podemos calcular cuál va a ser la dimensión de 21 WW para saber cuántosvectores deberán estar en su base. Sabemos que:
5dim
234dim
dimdimdimdim
21
21
212121
WW
WW
WWWWWW
Por tanto habrá 5 vectores en la base
11
00
00
,
00
11
00
,
00
00
11
,
00
10
00
,
00
01
00
,
10
00
10
,
01
00
01
21
21 21
genWW
BBgenWW WW
Pero el conjunto generador tiene 7 vectores, eso significa que hay dos vectores de más, los cualeseliminaremos colocando los vectores de este conjunto en una matriz donde cada fila representa un vector yluego simplificamos hasta obtener la mayor cantidad posible de filas llenas de ceros
110000
000000
000000
001000
000100
100010
010001
)1(
)1(
110000
000000
010010
001000
000100
100010
010001
)1(
)1(
)1(
110000
001100
000011
001000
000100
100010
010001
75
25
46
36
15
A
A
A
A
A
Lo que significa que los vectores 5 y 6 dependen de los otros
11
00
00
,
00
10
00
,
00
01
00
,
10
00
10
,
01
00
01
21 WWB
Ahora sólo falta hallar las condiciones del subespacio suma y para ello escribimos al vector típico comocombinación lineal de los vectores de la base y simplificamos el sistema hasta obtener las condiciones, así:
Sea 21 WW
fe
dc
ba
5251
43
21
54321
11
00
00
00
10
00
00
01
00
10
00
10
01
00
01
fe
dc
ba
eabf
ae
d
c
b
a
A
bf
ae
d
c
b
a
A
A
f
e
d
c
b
a
00000
10000
01000
00100
00010
00001
)1(
10000
10000
01000
00100
00010
00001
)1(
)1(
10010
10001
01000
00100
00010
00001
5626
15
0/2321 eabfM
fe
dc
ba
WW x
Tema 4: (10 puntos) Sea V un espacio vectorial y 321 ,, vvvB una base de V . Se define elconjunto:
3132121 3,3,2 vvvvvvvgenW
a) Determine una base para W , denotada como WB
b) Si es factible, calcule la matriz de cambio de base de B a WB
Siempre es recomendable primero leer bien el planteamiento del problema junto con lo que solicitan hallar.Razonando un poco, en el literal “b” nos piden calcular una matriz de cambio de base y para poder hacerlola base WB debe tener exactamente 3 vectores al igual que la base B de V
Si esto sucede significaría que la base de W es también una base para V , por tanto VW . Así que paraque sea factible resolver el literal “b” habrá que demostrar que el conjunto generador de W es una basepara V
Para ello partimos de la hipótesis que nos dice que los vectores 321 ,, vvv son linealmente independientespor ser una base para V , esto implicaría que:
0321332211 VOvvv
Lo cual se cumple por ser linealmente independientes
Para demostrar que los vectores del conjunto generador de W son linealmente independientes losescribimos como combinación lineal y los igualamos al VO
V
V
Ovccvccvccc
Ovvcvvvcvvc
3322211321
3133212211
332
332
Con lo que hemos obtenido una ecuación parecida a la primera expresada en términos de 321 ,, vvv , y porhipótesis los escalares que los multiplican deben ser iguales a cero, con lo que planteamos un sistema deecuaciones y procedemos a calcular los valores de los escales ic
03
032
0
32
21
321
cc
cc
ccc
)1(
)1(
0310
01010
0111
)4(
0310
0250
0111
)2(
0310
0032
0111
22
213212 A
AAA
0100
0010
0001
)10(
)11(
0100
01010
01101
13
1
01300
01010
01101
32
313 A
AM 0321 ccc
Si nos hubiese quedado al resolver el sistema una o más filas con ceros, el sistema tenía infinita solucionesy en ese caso los vectores del conjunto generador de W serían linealmente dependientes
3132121 3;3;2 vvvvvvvBW
Para hallar la matriz que nos piden vamos a suponer que 321 ,, uuuBW tal que:211 2vvu 3212 3 vvvu 313 3vvu
También recordamos que:
BBBBB uuuC
W 221
0
2
1
1 Bu
1
3
1
2 Bu
3
0
1
3 Bu
310
032
111
BBWC
Y para hallar la matriz de cambio que nos piden habrá que sacar la inversa de la matriz arriba encontrada
)1(
)1(
100310
4121010
001111
)4(
100310
012250
001111
)2(
100310
010032
001111
23
213212 A
AAA
13
5
13
1
13
2100
13
2
13
3
13
6010
13
3
13
2
13
9001
)10(
)11(
13
5
13
1
13
2100
4121010
4111101
13
1
5121300
4121010
4111101
32
313 A
AM
135
131
132
132
133
136
133
132
139
WBBC
Tema 5: (10 puntos) Sea A la matriz de los coeficientes del sistema lineal:
czyx
bzyx
azyx
32
2
2
a) Determine el espacio fila, el núcleo y el recorrido de A
b) Si bac 2 , determine si el vector
c
b
a
u pertenece a )Im(A
La matriz A está dada por los coeficientes del sistema de ecuaciones, estos coeficientes corresponden anúmero que se encuentra delante de cada variable x , y y z , por tanto:
321
211
112
A
a)
3
2
1
,
2
1
1
,
1
1
2
genFA
Sea AF
c
b
a
321
321
321
321
32
2
2
3
2
1
2
1
1
1
1
2
c
b
a
c
b
a
321
321
321
32
2
2
c
cb
cba
A
c
cb
ca
A
A
c
b
a
321
110
35000
)5(
321
110
2550
)1(
)2(
321
211
112
2132
31
035/3 cbaR
c
b
a
FA
3/)( 3
ROAXRXANu
Sea )(ANu
c
b
a
X
0321
0530
0000
)1(
0321
0530
0530
)1(
)2(
0321
0211
0112
2132
31 AA
A
053 cb 032 cba
cbcbaR
c
b
a
ANu 53032/)( 3
33 ;/)Re( RXYAXRYA
Sea )Re(A
c
b
a
Y
c
cb
cba
A
c
cb
ca
A
A
c
b
a
321
530
000
)1(
321
530
2530
)1(
)2(
321
211
112
2132
31
0 cba
0/)Re( 3 cbaR
c
b
a
A
b)Para que el vector u pertenezca a la imagen de A debe cumplir con la condición de la misma, cabe recalcarque la imagen de una matriz es también conocida como el recorrido de una matriz
Sea
c
b
a
u , donde bac 2
02
02
0)2(
0
ba
baba
baba
cba
Pero hay que tener en cuenta que ba 2 no necesariamente tiene que ser igual a 0
)Im(Au
Escuela Superior Politécnica del Litoral
Instituto de Ciencias Matemáticas
Solución y Rúbrica de la Tercera Evaluación de Algebra Lineal
Nombre:…………………………………………………………………………………….. Paralelo:………………
Firma:………………………………………………………………………………………… Septiembre 15,2011
1.- (20 puntos) Defina:
Núcleo de una transformación lineal.- Sea T: V W una transformación lineal. El núcleo de T esel conjunto de todos los vectores de V que mediante T se transforman en el neutro aditivo de W.
Recorrido de una matrizAmxn.- Es el conjunto de todos los vectores Y de Rm, para los que existe unvector X de Rn tal que AX = Y.
Conjunto ortonormal de vectores.- Es un conjunto {v1,v2,v3,…vn} de vectores de un espaciovectorial con producto interno tal que (vi,vj)= 0 si ij , y es igual a 1 si i=j.
Conjunto generador de un Espacio Vectorial.- Es un conjunto {v1,v2,v3,…vn} de vectores de V talque todo vector de V puede escribirse como combinación lineal de los vectores del conjunto.
2.- (20 puntos) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x + y + z = 2
2x + 3y + 3z = 5
2x + 3y + (k2-1)z= k+3
Desempeño
Insuficiente Regular Excelente
No escribe definicionescoherentes , o deja elespacio vacío
Presente una idea relacionada con elconcepto pera falta precisión o añadeelementos adicionales incorrectos.
Presenta en forma explícita todoslos elementos claves de losconceptos.
0-1 2-4 5
Determine los valores de k para que el sistema lineal resultante tenga:
a) Solución únicab) Infinitas solucionesc) Ninguna solución
Representamos el sistema haciendo uso de la matriz aumentada:
3132
5332
2111
2 kk
Empleando operaciones elementales con renglones, nos queda:
2400
1110
1001
2 kk
Si 2k , el sistema tiene infinitas soluciones: 1x , 1 zy
Si 2k , no hay solución para el sistema y la matriz aumentada se ve de la siguiente manera:
4000
1110
1001
Si k toma cualquier valor que no sea ni 2 ni 2 , la única solución del sistema es:
1x ,2
1
k
ky ,
2
1
kz
CRITERIO PUNTAJEPlantea la matriz aumentada correctamente hasta 3Realiza adecuadamente las operacioneselementales con renglones
hasta 4
Concluye, justificando, que con 2k el sistematiene infinitas soluciones
hasta 4
Concluye, justificando, que con 2k el sistemaes inconsistente
hasta 4
Concluye, justificando, que si 2k y 2k ,el sistema tiene solución única y encuentra dichasolución única
hasta 5
3.- (20 puntos) Sea T:VW una transformación lineal. Si dim V= 3 y dim W = n,demuestre que:
a) Si n= 3, T es inyectiva si y solo si T es sobreyectiva.
b) Si n > 3, T no es sobreyectiva
c) Si T es inyectiva, n ≥ 3
PRUEBA:
a) = 3i) PD: Si T es inyectiva, entonces T es sobreyectiva.
Si T es inyectiva, entonces = 0.Por el teorema de la dimensión, tenemos: + = = 3→ = 3 (ya que = 0)→ = dim→
ii) PD: Si T es sobreyectiva, entonces T es inyectiva.Si T es sobreyectiva, entonces = → = dim = 3Por el teorema de la dimensión, tenemos: + = = 3→ = 0 (ya que = 3)→
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes , deja elespacio vacío o solointenta adivinar
Demuestra la bicondicionalen una sola dirección.
Demuestra la bicondicionalen una sola dirección eintenta demostrarla en laotra dirección
Demostracióncompleta ycorrecta
0 1-4 5-7 8
b) Para este caso se puede demostrar la contrarrecíproca de la proposición dada:PD: Si T es sobreyectiva, entonces ≤ 3.
Si T es sobreyectiva, entonces = .→ = dim =Por el teorema de la dimensión, tenemos: + = = 3→ + = 3→ = 3 −Por otro lado, tenemos que: ( ) ≥ 0→ − ≤ 0→ 3 − ≤ 3→ ≤ 3
c) PD: Si T es inyectiva, n ≥ 3Si T es inyectiva, entonces = 0Por el teorema de la dimensión, tenemos: + = = 3→ = 3
Por otro lado, ya que Im (T) es un subespacio vectorial de W, se tiene que:( ) ≤ dim→ 3 ≤→ ≥ 3
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes , deja elespacio vacío o solointenta adivinar
Determina lacontrarrecíproca de laproposición y utiliza elteorema de la dimensiónpero no logra planteardesigualdad alguna quesirva para la demostración
Determina lacontrarrecíproca de laproposición, utiliza elteorema de la dimensión yplantea una desigualdadque sirve para lademostración pero nodetermina la conclusión.
Demostracionescompletas ycorrectas
0 1-3 4-5 6
4.- (20 puntos) En el espacio P2, se define el producto escalar:
< p, q > = p (−1) q (−1) + p (0) q (0) + p (1) q (1).
a) Obtenga el complemento ortogonal de W = gen {1}.c) Determine los polinomios p(x) tales que proyW p(x) = ½.d) Determine los polinomios de P1 que formen un ángulo de 60 grados con x2.b) Encuentre la proyección ortogonal de x2− 1 sobre S = gen { 1, x }
SOLUCION:
a) : = + + ∕ ⟨ + + , ⟩ = 0;∀ ( ) ∈ Ya que W = gen {1}, entonces una base de W es B = {1}. Con esto:= + + ∕ ⟨ + + ,1⟩ = 0→ − + 1 + 1 + + + 1 = 0→ 2 + 3 = 0→ = + + /2 + 3 = 0, ∈
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes , deja elespacio vacío o solointenta adivinar
Determina que =0, utiliza el teorema de ladimensión pero no logradeterminar el rango de T.
Determina que =0, utiliza el teorema de ladimensión y determina elrango de T; pero no planteauna desigualdad que sirvapara la demostración.
Demostracionescompletas ycorrectas
0 1-3 4-5 6
Desempeño
b) Definamos : = = + + / = 1/2Para esto, necesitamos una base ortonormal de W.A partir de la base B = {1}, tenemos:‖1‖ = ⟨1,1⟩ = 1 1 + 1 1 + 1 (1) = √3Con lo que una base ortonormal de W es = √Entonces, ( ) = ⟨ , ⟩ , donde = √→ ⟨ + + , 1√3⟩ 1√3 = 1/2→ − + 1√3 + 1√3 + + + 1√3 1√3 = 1/2→ 23 + = 1/2→ = + + /23 + = 12 , ∈
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes , deja elespacio vacío o solointenta adivinar
Indica que B = {1} es unabase de W y solo define elcomplemento ortogonalde W
Indica que B = {1} es unabase de W y determina elcomplemento ortogonalde W pero cometeerrores de cálculo o nodetermina correctamentelas condiciones.
Cálculos ycondicionescorrectas.
0 1-2 3-4 5
Desempeño
c) Definamos : = = + / 60 60 = ⟨ + , ⟩‖ + ‖‖ ‖12 = − + 1 + 0 + + 1⟨ + , + ⟩ ⟨ , ⟩12 = 2− + − + + + + + 1 1 + 0 0 + 1 112 = 2√ − 2 + + + + 2 + √212 = 2√2 + 3 √24 + 6 = 44 + 6 = 162 − 5 = 0→ = + /2 − 5 = 0
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes , deja elespacio vacío o solointenta adivinar
Determina la baseortonormal de W y soloplantea la formula que lepermitiría determinar laproyección.
Determina la baseortonormal de W y calculala proyección pero cometeerrores de cálculo o nodetermina correctamentelas condiciones.
Cálculos ycondicionescorrectas.
0 1-2 3-4 5
Desempeño
d) Para este caso primero debemos determinar una base ortonormal de S.Siendo = 1, una base de S; con esto determinamos una base ortonormal= , por el proceso de Gram – Schmidt.‖1‖ = ⟨1,1⟩ = 1 1 + 1 1 + 1 (1) = √3→ = 1√3∗ = − ⟨ , ⟩
∗ = − ⟨ , 1√3⟩ 1√3∗ = − − 1 1√3 + 0 1√3 + 1 1√3 1√3∗ =‖ ‖ = ⟨ , ⟩ = − 1 − 1 + 0 0 + 1 (1) = √2
→ = 1√2De ahí que, la base ortonormal de S es = √ , √Luego, la proyección es: = ⟨ − 1, ⟩ + ⟨ − 1, ⟩
= ⟨ − 1, 1√3⟩ 1√3 + ⟨ − 1, 1√2 ⟩ 1√2
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realizaprocesoscoherentes , dejael espacio vacío osolo intentaadivinar
Solo planteacorrectamente laformula que lepermitiría determinarel ángulo entre loavectores
Plantea correctamente la formulaque le permitiría determinar elángulo entre loa vectores, realizalos cálculos pero comete erroresen los mismos o no determinacorrectamente las condiciones.
Cálculos ycondicionescorrectas.
0 1-2 3-4 5
= 0 1√3 + − 1 1√3 + 0 1√3 1√3+ 0 − 1√2 + − 1 0 + 0 1√2 1√2= − 13Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes , deja elespacio vacío o solointenta adivinar
Plantea el hecho de que esnecesario determina unabase ortonormal de S y alcalcularla comete errores.
Determina correctamenteuna base ortonormal de Spero comete errores alcalcular la proyección.
Cálculoscorrectos.
0 1-2 3-4 5
5.-(20 puntos) Sea T: P2P2 la transformación lineal definida por:
T(ax2+bx+c)=2ax2+(3a+2b+c)x+(4a+b+2c)
De serposible,determineuna base de P2 respecto de la cual la matriz que representa a Tsea una matriz diagonal.
La representación matricial de T con respecto a la base 21 x,x,B es:
200
321
412
A
El polinomio característico de la matriz A , es: 312 p
Los valores propios de A , son: 321 ,,
Entonces, la matriz A es diagonalizable; ya que es una matriz cuadrada de tamaño 3 con 3 valorespropios distintos. Por tanto, la transformación lineal T es diagonalizable.
Con 11 , se obtiene:
0
1
1
1 genE
De aquí se obtiene que: xv 11
Con 22 , se obtiene:
1
4
3
2 genE
De aquí se obtiene que: 22 43 xxv
Con 33 , se obtiene:
0
1
1
3 genE
De aquí se obtiene que: xv 13
Finalmente, la matriz asociada a T con respecto a la base x,xx,x*B 1431 2 es
la matriz diagonal:
300
020
001
D
CRITERIO PUNTAJEEncuentra correctamente la matriz asociada a Tcon respecto a la base canónica de 2P hasta 2
Calcula correctamente los valores propios de larepresentación matricial de T
hasta 4
Determina con argumentos que T esdiagonalizable
hasta 2
Encuentra los 3 vectores de la base *B solicitada(hasta 4 puntos por cada vector)
hasta 12
Solución y Rúbrica 2da Evaluación de Algebra Lineal
1.- Corrija o confirme las siguientes definiciones:
Definición Propuesta Criterio del EstudianteOperador Diagonalizable.- Sea T:VV unoperador lineal. Se dice que T es diagonalizable siy solo si existe una base B de V tal que larepresentación matricial de T respecto a B es unamatriz diagonal.
Esta Correcta
Producto interno real en V.- Es una función de f:VxV R tal que:1) v V , f(v,v)≥02) v1,v2 V , f(v1,v2)=f(v2,v1)3) α R, v1,v2 V, f(αv1,v2)=αf(v1,v2)4) v1,v2,v3 V, f(v1,v2+v3)=f(v1,v2)+f(v1,v3)
Falta en la condición 1 que el product internode un vector consigo mismo es cero solocuando el vector es el neutron aditivo de V.
Valor propio de un operador T:VV.- Si K esun escalar para el que existe un vV tal queT(v)= v, entonces es un valor propio de T.
Falta especificar que el vector v tiene que serdiferente del neutro aditivo de V.
Espacios Isomorfos.- Dos espacios V y W sonisomorfos si y solo si toda función de V en W esun isomorfismo.
En vez del cuantificador universal debe decirque es posible construir un isomorfismo de Ven W.
Para cada defición:
Desempeño
Insuficiente Regular Excelente
Califica o corrigeincorrectamente
Añade condiciones innecesarias oescribe algo erroneo.
Hace las puntualizaciones ycorrecciones correctas.
0 1-2 3
2.- Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas. Justifique formalmente sucalificación.
a) Sea : → una transformación lineal. Si = 0 es un valor propio de , entonces esinversible.
Solución:
Sea A la matriz asociada a la transformación lineal T. La ecuación característica es:det − = 0Como el valor propio de T es igual a cero, entonces det A es igual a cero, por lo tanto A no esinversible y esto implica también que T no lo es. La proposición es FALSA. También podemosconcluir que la nulidad de A (y de T) no es cero por lo que T no es inyectiva , no es biyectiva y porlo tanto no es inversible.
b) Si A M2x2 entonces el polinomio característico de A es:
p() =2- (traza de A) + det(A)
Solución:
Sea A una matriz de M2x2 : =Luego, el polinomio característico es: = − − − Realizando las operaciones indicadas: = − + + − . Finalmente:= − + detPor lo tanto la proposición es VERDADERA.
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes , solocalifica o deja elespacio vacío
Asocia el hecho de que unatransformación lineal tieneasociada una matriz, pero noplantea la ecuacióncaracterística.
Plantea la ecuacióncaracterística, utiliza elvalor de = 0 , peroconcluye equivocadamente.
Califica y pruebacorrectamente.
0 1-3 4-6 7
c) Sea V un espacio vectorial con producto interno (,). Si para todo v V se tiene que(v,u)=0 entonces u es el vector neutro aditivo de V.
Solución: Como vale para todo v en V también vale para u , por lo que (u,u)= 0 y pordefinición de producto interno esto implica que u es el neutro aditivo de V.
Por lo tanto, la proposición es VERDADERA.
d) Es posible construir un operador lineal T: P2 P2 tal que:
T(x+1)=x T(x2-1)= 2x y (T ° T)(x2+x)=0
Solución: Se escribe el vector: + 1 + − 1 = + .
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes , solo calificao deja el espacio vacío
Plantea una matrizcuadrada de 2x2 yescribe el polinomiocaracterísticocorrespondiente.
Realiza las operacionesnecesarias pero nocompara o concluyeequivocadamente
Califica y pruebacorrectamente.
0 1-3 4-6 7
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes , solo calificao deja el espacio vacío
Asocia el hecho deque u pertenece alcomplementoortogonal de V.
Analiza la propiedad deque u deba serortogonal a todos losvectores de V
Califica y pruebacorrectamente.
0 1-3 4-6 7
Aplicando la transformación lineal T, queda:+ 1 + − 1 = ++ = + 2 = 3 .+ = 3 = Se observa que los vectores: x+1, x2-1 y 3x forman una base de P2, por ello:+ + = + 1 + − 1 + 3 + + = + + 3 + −De donde obtenemos:
= ; = + ; = − −3Por ello, aplicando la transformación lineal T:+ + = + + 1 + − 1+ + = 3 +También a partir de los datos se puede determinar que T(x)=0, T(1)=x y T(x2)=3x yobtener la regla de correspondecia.
Tema 3
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes , solo calificao deja el espacio vacío
Escribe el vector x2+xcomo combinaciónlineal de los vectoresx+1 y x2-1. Y aplica latransformación linealal resultadoobteniendo T(x2+x).
Observa que se haobtenido una base paraP2 y trata de escribir lacombinación lineal delvector típico sinresolver el sistema deecuacionescorrespondiente.
Califica y pruebacorrectamente.
0 1-3 4-6 7
Sea A una matriz simétrica de nxn con componentes reales. Si es un valor propio de A,entonces es un número real.
Demostración
Premisas:
Sea A una matriz simétrica
Sea un valor propio de A
Sea X un vector propio de A asociado al valor propio
Supóngase que a bi
Se debe demostrar que b=0
AX X
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 0
( )( ) 0
T
T
AX X X X
AX X X X
X AX X X
X AX X X
X X X X
X X
Pero ( ) 0X X por ser X vector propio, entonces
0
( ) ( ) 0
0
2 0
0
es un número real
a bi a bi
a bi a bi
bi
b
También puede emplearse otra demostración equivalente.
Rúbrica:
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realizaprocesoscoherentes odeja el espaciovacío.
Utiliza como premisas ladefinición de vectorpropio y la aplicación delproducto interno, y nocontinua con lademostración. Tambiénpuede intentarlo conotros métodos válidos,pero sin concluir
Además de lo anterior, seapoya en las propiedadesde una matriz simétrica ylas correspondientes alproducto interno sobre elvector propio, pero noconcluye respecto a lacomponente imaginariadel valor propio.
Demuestracorrectamentebasándose endefinición ypropiedades devectores propios,matriz simétrica yproducto interno uotras pertinentes
0 1 - 5 6 - 9 10
TEMA 4
Sea : → un operador lineal definido por una matriz ortogonal Q tal que = .Considerando el producto interno estándar de pruebe que:
a.- ∀ ∈ , ‖ ( )‖ = ‖ ‖b.- ∀ , ∈ , , = 0 ⇒ ‖ ( )‖ + ‖ ( )‖ = ‖ + ( )‖Prueba:
a.- ∀ ∈ , ‖ ( )‖ = ‖ ‖Ya que ( ) ∈ , tenemos:‖ ( )‖ = , ( )= ,=== √ ; ya que Q es Ortogonal ( = )
= √= ,= ‖ ‖b.- ∀ , ∈ , , = 0 ⇒ ‖ ( )‖ + ‖ ( )‖ = ‖ + ( )‖‖ + ( )‖ = + , + ( )= , + 2 , + ,= ‖ ( )‖ + 2 , + ‖ ( )‖Por otro lado:, = , = = = = = , = 0Por lo tanto:‖ + ( )‖ = ‖ ( )‖ + ‖ ( )‖a.-
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes, deja elespacio vacío o solo
intenta realizar lademostración.
Determina la normade ( ) pero no
aplica la isometríacorrespondiente.
Determina la norma de( ) y aplica laisometría
correspondiente perocomete algún error o
no usa la definición dematriz ortogonal.
Demostracióncorrecta.
0 1 2 - 3 4
b.-
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes, deja elespacio vacío o solo
intenta realizar lademostración
Determina la normaal cuadrado
de + ( )pero no aplica la
isometríacorrespondiente.
Determina la norma alcuadrado de +( ) y aplica la
isometríacorrespondiente perocomete algún error o
no usa la definición dematriz ortogonal.
Demostracióncorrecta
0 - 1 2 - 3 4 - 5 6
Tema 5
Se desea bosquejar el gráfico del conjunto solución de la siguiente ecuación de segundo orden4 − 12 + 9 − 8√13 − 14√13 + 117 = 0a) Determine la forma cuadrática correspondiente:, = 4 − 12 + 9b) La matriz asociada a la forma cuadrática con respecto a la base canónica está dada por:= 4 − 6− 6 9
El polinomio característico de está dado por:= det −= − 13Por lo tanto los valores propios de son:λ = 0 ∨ λ = 13
A partir de aquí se tiene los espacios asociados a cada uno de los valores propios.= , : = 3 /2= , : = − 2 /3Los vectores propios asociados a cada uno de los valores propios.= 3,2= − 2,3La matriz que diagonaliza ortogonalmente a está dada por:
= 1√13 3 − 22 3√ 3 − 22 3 = ( ) − ( )( ) ( ) , por lo tanto se tiene que:
= √ y = √ , obteniendo que = 0,588Dado que:
= 1√13 3 − 22 3 `Entonces: = √ 3 ` − 2 ` ; = √ 2 ` + 3 `reemplazando las relaciones dadas se tiene la ecuación transformada a los nuevos ejes.` − 4 ` − 2 + 9 = 0` − 1 = 4 ` − 2La misma que representa gráficamente a una parábola.
Rúbrica:
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes o deja elespacio vacío.
Determina la formacuadráticacorrespondiente ydiagonalizaortogonalmente lamatriz asociada a laforma cuadrática.
Además de loanterior, determina lamedida del ángulo derotación así comotransforma laecuación dada a losnuevos ejes
Además de todo loanterior, identifica lacónica y lo graficapertinentemente.
0 1 - 4 5 -7 8-10
20 10 0 10 20
20
10
0
10
20
X’(+)
Y’(+)
X(+)
Y(+)
RUBRICA EXAMEN FINAL ALGEBRA LINEAL FEBRERO 2012
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
Calificaincorrectamente odeja el espacio vacío.
Identifica que ladefinición es incorrectapero se equivoca alidentificar el error
La corrección mejorala definición pero noes completa
Indica la corrección demanera correcta.
0 1 - 4 5 - 8 9-10
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
Calificaincorrectamente odeja el espacio vacío
Resuelve la definiciónpara matrizdiagonalizable
Falta precisión alcorregir.
Indica las correccionesde manera correcta.
0 1 - 4 5 - 8 9-10
Tema 2 (10 puntos)
Sean y dos espacios vectoriales de dimensión finita tal que , , … , , , , … ,es una base de . Sea : → una transformación lineal. Demuestre que, Si , , … , esuna base del ( ), entonces , … , es una base de la ( ).∀ ∈ ∃ ∈ ℝ = + + ⋯+ + + + ⋯+= + + ⋯+ + + + ⋯+= + + ⋯+ + + + ⋯+= + + ⋯+ + + + ⋯+
Pero se conoce que = 0 ∀ = 1,…, por ser elementos del ( ), entonces:( ) = + + ⋯+Dado que ∈ ( ) entonces = , … ,
+ + ⋯+ = 0+ + ⋯+ = 0Por lo que: + + ⋯+ ∈ ( )Al pertenecer al ( ), entonces se podrá expresar como combinación lineal de la base delsubespacio. + + ⋯+ = + + ⋯++ + ⋯+ + (− ) + (− ) + ⋯+ (− ) = 0Dado que , , … , , , , … , es una base de , entonces la combinación lineal deestos vectores igualados al neutro tiene solución única, es decir,= 0∀ = 1,… . , , + 1, + 2,… . ,Por lo que el conjunto , … , es linealmente independiente en .
Por lo tanto es una base de .
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes o deja elespacio vacío.
Identifica que debeprobar laindependencia lineal yla capacidad de generarla imagen
Prueba correctamenteuna de laspropiedades pero fallaen la otra
Realiza el ejercicio demanera correcta.
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Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes o deja elespacio vacío.
Particulariza losvectores para verificarla linealidad
Aplica la definición detransformación linealcorrectamente, perocon error de cálculos ono concluye.
Realiza el ejercicio demanera correcta.
0 1 - 4 5 - 8 9-10
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes o deja elespacio vacío.
Aplica T a la basecanónica
La matriz asociadatiene algún error decálculo
Realiza el ejercicio demanera correcta.
0 1 - 4 5 - 8 9-10
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes o deja elespacio vacío.
Aplica correctamente ladefinición de nucleo deT
Aplica el concepto denúcleo, pero alresolver cometeerrores.
Realiza el ejercicio demanera correcta.
0 1 - 4 5 - 8 9-10
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes o deja elespacio vacío.
Determina el rango deT o una base para laimagen de T.
Demuestra conocer ladefinición de sumadirecta o el teoremaequivalente pero tieneerrores de calculo
Realiza el ejercicio demanera correcta.
0 1 - 4 5 - 8 9-10
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes o deja elespacio vacío.
Asocia la nulidad de Tcon la existencia de lainversa
Respuesta correctapero algunaafirmación errónea.
Realiza el ejercicio demanera correcta.
0 1 - 4 5 - 8 9-10
Tema 4 (10 puntos)
(a) Considere la ecuación de una forma cuadrática dada por:5 + 6 + 5 − 16 − 16 − 16 = 0Consideremos la forma cuadrática: , = 5 + 6 + 5La matriz asociada a la forma cuadrática con respecto a la base canónica está dada por:= 5 33 5
Determinemos los valores propios de : − = 05 − − 9 = 0Entonces los valores propios de son = 8 = 2Los espacios propios asociados a cada valor propio, así como sus respectivas bases ortonormalesestán dados por:= , : = ; ℝ ; = √ 1,1
= , : = − ; ℝ ; = √ − 1,1Por lo tanto, la matriz que diagonaliza ortogonalmente a está dada por:
= 1√2 − 1√21√2 1√2Por lo que la forma cuadrática se puede expresar de la forma:′ , = 8 + 2Adicionalmente se conoce que:
= 1√2 − 1√21√2 1√2Por lo que:
= 1√2 − 1√2= 1√2 + 1√2Remplazando en la expresión dada se tiene:
8 + 2 − 16 1√2 − 1√2 − 16 1√2 + 1√2 − 16 = 0Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes o deja elespacio vacío.
Determine la formacuadráticacorrespondiente y losvalores y vectorespropios de la matriz dela forma cuadrática
Reconoce lasustitución apropiadapero tiene errores decuentas
Realiza el ejercicio demanera correcta.
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Simplificando: 4 + − 8√2 − 8 = 04 − √2 + = 16− √24 + 16 = 1Lo cual representa gráficamente una elipse con centro en el punto , = √2, 0 , eje mayorparalelo al eje con una longitud del semieje mayor de = 4 y longitud del semieje menor de= 2.
Para determinar la medida del ángulo de rotación de los ejes originales, se conoce que:1√2 − 1√21√2 1√2 = ( ) − ( )( ) ( )Por lo tanto, =Con base en lo anterior, la gráfica de la forma cuadrática se muestra a continuación:
4 2 0 2 4
4
2
0
2
4
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes o deja elespacio vacío.
Halla la matriz Q,reconoce el ángulo derotación
Además escribe demanera correcta laecuación de la cónicapero no realiza elbosquejo correcto.
Realiza el ejercicio demanera correcta.
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Derivando y evaluando en 1, queda: 2a + b = 0; de donde b=-2a. Por lo tanto una base de H es:
Base de H = { x2 – 2x, 1}
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes o deja elespacio vacío.
Deriva erróneamente ypor ello la base esincorrecta.
Deriva correctamente,pero expresa la basede manera errónea.
Realiza el ejercicio demanera correcta.
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Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes o deja elespacio vacío.
Realiza erróneamenteel producto interno.
Obtiene el sistemahomogéneo demanera correcta, peropresenta errores en larespuesta.
Realiza el ejercicio demanera correcta.
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TEMA 6
Dada la matriz = 1− 1 1 − 11 0 2 , ∈ ℛ.
a) Demostrar que los valores propios de son independientes del valor del parámetro.b) Demostrar que = 0 si y solo si la matriz es diagonalizable.c) Determinar la matriz tal que = .
SOLUCION
a) Para hallar los valores propios de , utilizamos la ecuación característica det( − ) = 01 −− 1 1 − − 11 0 2 − = 01 1 − − 1 + 2 − 1 −− 1 1 − = 0− − 1 − + 2 − 1 − + = 0− 2 − + 2 − 1 − + = 02 − − + 1 − + = 02 − 1 − = 0= 2, = 1,∀ ∈ℛ= 1, = 2Es decir que los valores propios de la matriz son independientes del parámetro.
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes o deja elespacio vacío.
Trata de calcular laproyección del vectordado pero lo realiza conerrores.
Calcula una de lasproyecciones delvector correctamente,pero no comete algúnerror al calcular lasegunda proyección.
Realiza el ejercicio demanera correcta.
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Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
b) Para que sea diagonalizable, se debe cumplir que:= ℇ ∧ = ℇPara = 2 no hay problema puesto que = 1 y además 1 ≤ ℇ ≤ = 1 ,de ahí que = ℇ .
Para = 1 , tenemos:
ℇ = − = 0− 1 0 − 11 0 1 = 0− 1 0 − 11 0 1 = 000Resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo por el método de Gauss, tenemos:0− 1 0 − 11 0 1 000 ∼ 1 0 10− 1 0 − 1 000 ∼ 1 0 100 0 0 000 De ahí que:
ℇ =−− ∈ℛ , ≠ 0
− , ∈ℛ , = 0Por lo tanto, es diagonalizable si y solo si = 0; puesto que ℇ = 2 = .
No realiza procesoscoherentes o deja elespacio vacío.
Plantea la ecuacióncaracterística paradeterminar los valorespropios
Al resolver la ecuaciónno logra eliminar elparámetro
Realiza el ejercicio demanera correcta.
0 1 - 4 5 - 8 9-10
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
c) Para hallar la matriz diagonalizante, solo falta determinar el vector propio de asociado a= 2.
ℇ = − 2 = − 1 0 0− 1 − 1 − 11 0 0= − 1 0 0− 1 − 1 − 11 0 0 = 000ℇ = − 0 ∈ℛPor lo tanto = 0 − 1 0− 1 0 11 1 0 es la matriz que diagonaliza a la matriz con forma
diagonal = 2 0 00 1 00 0 1 .
No realiza procesoscoherentes o deja elespacio vacío.
Determina lamultiplicidad algebraicade los valores propios
Asocia correctamentela multiplicidadgeométrica con laposibilidad dediagonalización
Realiza el ejercicio demanera correcta.
0 1 - 4 5 - 8 9-10
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesoscoherentes o deja elespacio vacío.
Calcula los vectorespropios
Intenta determinar lamatriz pedida con losvectores calculados
Realiza el ejercicio demanera correcta.
0 1 - 4 5 - 8 9-10
Algebra Lineal – Tercera Evaluación 2do Semestre2011-2012 – Solución y rúbrica
Tema 1
(a) ⟸: Se supone que ∈ . Sea un vector de . Como ⊂ ∪ { }, entonces ( ) ⊂( ∪ ) . Ahora demostramos que ( ∪ ) ⊂ ( ) . Sea ∈ ∪ .Entonces = + + + ⋯+ , con , , … , ∈ ⊂ ( ). Como ∈( ), y como ( ) es un subespacio vectorial, entonces ∈ ( ). Por lo tanto( ∪ ) ⊂ ( ), y entonces = ( ∪ ).⇒: Se supone que = ∪ . Como ∈ ∪ , entonces ∈ ( ∪) y por tanto ∈ ( ). Pero no se puede demostrar que ∈ . Contraejemplo: enel espacio vectorial ℝ, si = 1 y = 2 , = ∪ = ℝpero ∉ .Entonces la propiedad es falsa.
Deficiente No contesta o lo que escribe no está relacionado con el tema 0-1Insuficiente Califica como verdadero pero demuestra correctamente el
reciproco2-5
Regular Califica como falso dando se cuenta que la implicación directa nopuede ser verdadera, pero no lo demuestra formalmente(no daun contraejemplo)
6-8
Excelente Califica como falso dando la justificación y un contraejemploadecuado.
9-10
(b) Demostramos la doble inclusión:⊂: Sea ∈ , . Entonces existe ∈ , tal que = . Como∈ , , entonces se escribe como una combinación líneal: = + .Entonces = = + = + ( ) por linealidad de T. Por lotanto ∈ ( ), ( ) , y entonces , ⊂ ( ), ( )⊃: Sea ∈ ( ), ( ) . Entonces w se escribe como una combinación lineal: = + = + . Por lo tanto ∈ , , entonces( ), ( ) ⊂ , .
Deficiente No contesta o lo que escribe no está relacionado con el tema 0-1Insuficiente Solo demuestra una de las dos inclusiones 2-5Regular Demuestra las dos inclusiones pero con imprecisiones 6-8Excelente Demuestra las dos inclusiones rigurosamente 9-10
(c) Sea ∈ . Calculamos :‖ − ‖ = ‖ − + − ‖ = − + − | − + − =‖ − ‖ + 2 − | − + ‖ − ‖ .Sabemos que ⨁ , entonces se descompone como la suma de un vector de y unvector de , el vector de siendo la proyección de v sobre . Entonces = + ´,con ´ = − ∈ . Como es un subespacio vectorial, entonces − ∈ , ypor lo tanto − | − = 0. Entonces ‖ − ‖ = ‖ − ‖ + ‖ − ‖ ≥‖ − ‖ .
Deficiente No conteste o lo que escribe no está relacionado con el tema 0-1Insuficiente Trata de calcular ‖ − ‖ pero no demuestra que − y− son ortogonales
2-5
Regular Demuestra la propiedad pero con imprecisiones 6-8Excelente Demuestra la propiedad rigurosamente 9-10
Tema 2
(a) No necesita solución…
Deficiente No contesta o lo que escribe no está relacionado con el tema 0-1Insuficiente Demuestra la propiedad pero con imprecisiones 2-5Regular Demuestra la propiedad a partir de la definición 6-8Excelente Demuestra la propiedad a partir del teorema de caracterización 9-10
(b) Para demostrar que es inyectiva, demostramos que = 0ℝ , porque T es unatransformación lineal. Sea = ( , , … , ) ∈ . Entonces ( )= +⋯+ = 0 . Como , , … , forman una base de , son linealmenteindependientes. Por lo tanto = = ⋯ = = 0 y = 0ℝ .
Deficiente No contesta o lo que escribe no está relacionado con el tema 0-1Insuficiente Trata de demostrar que el núcleo contiene solamente el cero
vector pero no utiliza la independencia lineal de , , … , 2-5
Regular Demuestra la propiedad pero con imprecisiones 6-8Excelente Demuestra la propiedad rigurosamente 9-10
(c) Como dim = dim ℝ = y como es inyectiva, entonces por teorema esbiyectiva.
Deficiente No contesta o lo que escribe no está relacionado con el tema 0-1Insuficiente Trata de aplicar el teorema sobre isomorfismos o el teorema de la
dimensión pero no concluye2-5
Regular Demuestra la propiedad pero con imprecisiones 6-8
Excelente Demuestra la propiedad rigurosamente 9-10
Tema 3
(a) Se puede denotar que los polinomios 1 + + , − 1, y 1 − 2 + son linealmenteindependientes, entonces forman una base de , porque la dimensión de es igual a 3.Sea = + + un polinomio de . Descomponemos sobre la base1 + + , − 1, 1 − 2 + , es decir escribimos como una combinación linealde 1 + + , − 1, y 1 − 2 + :+ + = 1 + + + − 1 + (1 − 2 + )Esta ecuación nos da el sistema siguiente, , , siendo las incógnitas:+ + =− 2 =− + =Al resolver este sistema se obtiene = , = , = .
Entonces = 1 + + + − 1 + 1 − 2 + =0 + − 1 + 3 − 6 + 3 =− + − + 2 − + ( − ).
Deficiente Denota que 1 + + , − 1, y 1 − 2 + forman una basede
0-1
Insuficiente Tratan de descomponer un polinomio típico sobre esta base perono concluye y no trata de aplicar la transformación T al polinomioobtenido.
2-5
Regular Desarrolle el procedimiento correcto pero se equivoca en loscálculos
6-8
Excelente Obtiene la regla de correspondencia con una demostraciónrigurosa
9-10
(b) A partir de la regla de correspondencia de , se obtiene la representación matricial de
con respecto a la base canónica: = 1 − 1 0− 1 2 − 10 − 1 1 . Se puede verificar que es una
matriz simétrica.Calculamos los valores propios de . El polinomio característico es igual a1 − − 1 0− 1 2 − − 10 − 1 1 − = 1 − 2 − − 1− 1 1 − − − 1 − 1 − 10 1 − =
1 − ( − 3) . Entonces los valores propios de son 0, 1 y 3.
Para el valor propio 0, se obtiene que el espacio propio asociado es111 .
Para el valor propio 1, el espacio propio asociado es10− 1 .
Para el valor propio 3, el espacio propio asociado es1− 21 .
Los vectores111 , 10− 1 y
1− 21 siendo vectores propios asociados a valores propios
diferentes de una matriz simétrica, son ortogonales. Entonces sólo necesitamosnormalizarlos para obtener una base ortonormal:
El vector111 normalizado da el vector
1 √31 √31 √3 , el vector10− 1 normalizado da el vector
1 √20− 1 √2 , y el vector1− 21 normalizado da el vector
1 √6− 2 √61 √6 .
Por lo tanto una matriz ortogonal que diagonaliza ortogonalmente es la matriz1 √3 1 √2 1 √61 √3 0 − 2 √61 √3 − 1 √2 1 √6 .
Deficiente Verifica que la matriz obtenida es una matriz simétrica. 0-1Insuficiente Encuentra los valores propios y los vectores propios de 2-5Regular Ortonormaliza con el proceso de Gram-Schmidt los vectores
propios sin darse cuenta que los vectores propios ya sonortogonales, y obtiene la matriz
6-8
Excelente Solo normaliza los vectores propios y obtiene una matrizortogonal
9-10
(c) A partir de la definición de dada en el enunciado, se puede denotar que 1 + += 0, − 1 = 1 × − 1 y 1 − 2 + = 3 × 1 − 2 + . Por lo tanto,la representación matricial de con respecto a la base 1 + + , − 1,1 − 2 +es la matriz diagonal
0 0 00 1 00 0 3 .
(d)Deficiente No contesta o lo que escribe no está relacionado con el tema 0-1Insuficiente No se da cuenta que puede obtener directamente la base a partir
de la definición de T, trata de utilizar el resultado del literalanterior, pero no concluye
2-5
Regular Utiliza el resultado del literal anterior, y obtiene la base. 6-8Excelente Obtiene la base directamente a partir de la definición de T 9-10
Tema 4
(a) A partir de la definición de , se puede denotar que = ∈ si y sólo si 3 + 2 −= 0, es decir si y sólo si
32− 1 = 0. Por lo tanto = 32− 1 , y entonces
= 32− 1 = 32− 1 .
Deficiente No contesta o lo que escribe no está relacionado con el tema 0-1Insuficiente Trata de encontrar una base de H pero no obtiene el
complemento2-5
Regular Denota que es un hiperplano, obtiene el resultado pero conimprecisiones en la demostración.
6-8
Excelente Obtiene el complemento ortogonal rigurosamente 9-10
(b) Calculamos la proyección del vector112 sobre primero. Sabemos que =32− 1 . Normalizamos el vector 32− 1 para que sea mas cómodo calcular la
proyección sobre .32− 1 = √14 entonces = 3 √14⁄2 √14⁄− 1 √14⁄ . Entonces la
proyección de112 sobre es igual a
3 √14⁄2 √14⁄− 1 √14⁄ 112 × 3 √14⁄2 √14⁄− 1 √14⁄ = 9 14⁄6 14⁄− 3 14⁄ .
Entonces el vector112 se escribe como la suma
112 = 9 14⁄6 14⁄− 3 14⁄ + 5 14⁄8 14⁄31 14⁄ , con el
vector9 14⁄6 14⁄− 3 14⁄ que pertenece a y el vector
5 14⁄8 14⁄31 14⁄ que pertenece a .
Deficiente No contesta o lo que escribe no está relacionado con el tema 0-1Insuficiente Encuentra una base ortonormal adaptada a y pero no
concluye2-5
Regular Se equivoca en los cálculos, o no justifica rigurosamente losresultados.
6-8
Excelente Obtiene el resultado y justifica cada etapa de su demostración 9-10
(c) A partir del resultado anterior se obtiene que la proyección ortogonal del vector112
sobre es el vector5 14⁄8 14⁄31 14⁄ .
Deficiente No contesta o lo que escribe no está relacionado con el tema 0-1Insuficiente Trata de aplicar otro procedimiento, pero no alcanza. 2-5Regular Obtiene el resultado correcto pero no a partir del literal anterior,
o le falta justificar el resultado6-8
Excelente Obtiene el resultado correcto y justifica su respuesta 9-10
(d) Para aplicar la propiedad dada, primero se necesita definir la matriz . Si = ∈ ,
entonces 3 + 2 − = 0 , es decir que se puede escribir de la forma =3 + 2 = 103 + 012 , entonces los vectores
103 y012 forman una base de , y
por lo tanto = 1 00 13 2 .
Calculamos112 = 1 00 13 2 1 0 30 1 2 1 00 13 2 1 0 30 1 2 112 =1 00 13 2 10 66 5 75 = 1 00 13 2 5 14⁄ − 6 14⁄− 6 14⁄ 10 14⁄ 75 = 1 00 13 2 5 14⁄8 14⁄
= 5 14⁄8 14⁄31 14⁄Deficiente Halla la matriz A 0-1Insuficiente No se equivoca en el planteamiento del cálculo, y calcula 2-5Regular Procedimiento correcto pero se equivoca en los calculos 6-8
Excelente Obtiene el resultado correcto, detallando los cálculos. 9-10
Tema 5
(a) Para que la matriz13 12 012 13 00 0 pertenezca al espacio generado por y , esa matriz
tiene que escribirse como una combinación lineal de y , es decir que la ecuación13 12 012 13 00 0 = + = 1 0 00 1 00 0 1 + 3 2 02 3 00 0 3 =+ 3 2 02 + 3 00 0 + 3 tiene que tener una solución, los reales y siendo las
incognitas. Para que se cumpla esa ecuación, tiene que ser igual a 6 (por el coeficientede la segunda fila y de la primera columna), entonces tiene que ser igual a − 5, y por lotanto, al calcular el coeficiente de la tercera fila y de la tercera columna, tiene que serigual a 13. Recíprocamente, si = 13, se puede verificar que la matriz si pertenece alespacio generado por y .
Deficiente Escriba la combinación lineal de I y M igual a la matriz dada 0-1Insuficiente Trata de despejar los coeficientes pero no alcanza 2-5Regular Termina el procedimiento pero se equivoca en los cálculos 6-8Excelente Obtiene el resultado correcto, justificando su demostración 9-10
(b) Se denota que = , , , entonces es un subespacio vectorial.
Deficiente Escriba la definición o el teorema de caracterización de unsubespacio vectorial
0-1
Insuficiente Trata de demostrar que E satisface las condiciones de ladefinición o del teorema de caracterización pero no alcanza
2-5
Regular Demuestra correctamente por la definición o el teorema decaracterización
6-8
Excelente Denota que E es un subespacio generado y concluyedirectamente
9-10
(c) Calculamos = 3 2 02 3 00 0 3 = 13 12 012 13 00 0 9 . Por el resultado del literal (a), no
pertenece al espacio generado por y , entonces, como y son linealmenteindependientes, , y son linealmente independientes. Como = , , ladimensión de es igual a 3.
Deficiente No obtiene el resultado correcto 0-1
Insuficiente Obtiene el resultado correcto pero solo justifica una de las dospropiedades (LI o generador)
2-5
Regular Demuestra las 2 propriedades pero con imprecisiones 6-8Excelente Demuestra el resultado rigurosamente 9-10
(d) Sean = + + y = + + dos polinomios de . Calculamos+ = + + + + + = + + + ++ = + + + + + = + .Sea ∈ℝ . Calculamos = + + = + + =+ + = ( ).Entonces es una transformación lineal.
Se denota que dim = dim = 3. Entonces para demostrar que es biyectiva, porel teorema sobre isomorfismos, solo se necesita demostrar que es inyectiva.Demostramos que = 0 . Sea = + + ∈ tal que =ℳ × . Entonces + + = ℳ × . Pero como , y son linealmenteindependientes, entonces necesariamente = = = 0, es decir ( ) tiene que serigual al polinomio cero. Por lo tanto es inyectiva.
Deficiente Demuestra la linealidad parcialmente 0-1Insuficiente Demuestra la linealidad y plantea correctamente la demostración
de la biyectividad2-5
Regular Demuestra la biyectividad pero con algunas imprecisiones en lademostración
6-8
Excelente Demuestra el resultado rigurosamente 9-10
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICADEL LITORAL
INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
TERCERA EVALUACIÓN DE ALGEBRA LINEAL PARA AUDITORÍA
16 de febrero del 2012
Nombre: _____________________________________________________
Paralelo:_______
TEMA 1 (20 puntos)
a) Defina: (10 puntos)
i) Conjunto generador
ii) Espacio fila de una matriz
iii) Espacios isomorfos
iv) Recorrido de una transformación lineal
v) Matrices semejantes
b) Determine el valor de verdad de las proposiciones siguientes-Justifique formalmente su respuesta.
i) Sea WVT : una transformación lineal. Si ( ) 0vNu T ,
entonces T es un isomorfismo.
ii) Dada una base ordenada B del espacio vectorial V, entonces lascoordenadas de cualquier vector de V con respecto a la base B son únicas
TEMA 2 (20 puntos)
Sea 2V P . Considere los subespacios:
22/ 2 0; , , ( ) / (0) (1)H ax bx c a b c a b c W p x P p p
Determine:a) Una base y la dimensión de WH b) Si WH es un subespacio de Vc) Una base y la dimensión de WH d) El subespacio WH
TEMA 3 (20 puntos)
Considere el espacio vectorial 3R y sea 3211 ,, uuuB una base de 3R y el conjunto
3212 ,, vvvB donde:
1 1 2 2 2 3 3 1 2 3; ;v u u v u u v u u u
a) Determine la matriz de transición (de cambio de base) de 2B a 1B
b) Si 1
1,1, 1B
w , determine 2B
w las coordenadas del vector w con respecto a la
base 2B
TEMA 4 (20 puntos)
Sea
0/3 zyx
z
y
x
H un subespacio vectorial de 3 .
a) Construya una transformación lineal 23 PendeT tal que:
1
1
0
0
,2
0
1
1
,)( 2
xTxTHTNu
b) Determine
2
1
1
T
TEMA 5 (20 puntos)
Sea A la matriz de los coeficientes del sistema lineal:
2 1
3 2 0
2
x
x y z
x z
Determine:a) Los valores propios de A.b) Los espacios asociados a los valores propios de A.c) Si A es diagonalizable, la matriz D y la matriz C.