Universidad

Industrial de

Santander

Facultad de CienciasEscuela de Matematicas

Examen OpcionalCalculo ISeptiembre 6 de 2010

Grupo

Nombre: Codigo:Instrucciones:

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen.No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc.El profesor no respondera preguntas, porque parte de la evaluacion es la comprension de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen.

1. Evalue los siguientes lmites, si existen.

a) lmt0

(1

t1 + t

1t

).

b) lmx

(9x2 + x 3x). c) lm

t2t2 4t3 8 .

2. a) Halle la derivada de la funcion y = cossen (tanpix).b) Derive la funcion f (x) = ln (x2 2x) y encuentre su dominio.c) La curva con ecuacion y2 = x3 + 3x2 se llama cubica de Tschirnhausen. Encuentre una

ecuacion de la recta tangente a esta curva, en el punto (1,2). En cuales puntos estacurva tiene una tangente horizontal?

3. Un trozo de alambre de 10 m de largo se corta en dos partes. Una se dobla para formar uncuadrado y la otra para formar un crculo. Como debe cortarse el alambre de modo que el areatotal encerrada sea (a) maxima, y (b) mnima.

4. En la figura se ilustra la grafica de laderivada f de una funcion f .

a) En que intervalos f es creciente odecreciente?

b) Para que valores de x la funcion ftiene un maximo local o un mnimolocal?

c) Trace la grafica de f .d) Trace la grafica posible de f .

Profesores: Adriana Albarracn, Alberto Higuera, Claudia Montanez, Daniel Moreno, Duwamg Prada, German Jaimes, Gilberto Arenas,Hilda Duarte, Javier Camargo, Jorge Fiallo, Jorge Noriega, Luis Ortiz, Marco T. Martnez, Nelson Lopez, Rosana Martnez, Rosario Iglesias, WilliamGonzalez.

Solucion del examen opcional

1.

a) lmt0

(1

t1 + t

1t

)= lm

t011 + tt1 + t

= lmt0

11 + tt1 + t

1 +1 + t

1 +1 + t

= lmt0

1 (1 + t)t1 + t

(1 +

1 + t

) == lm

t0t

t1 + t

(1 +

1 + t

) = lmt0

11 + t

(1 +

1 + t

) = 11 + 0

(1 +

1 + 0

) = 12.

Tambien se puede por LHopital. (Cumple las condiciones)lmt0

(1

t1 + t

1t

)= lm

t011 + tt1 + t

= lmt0

12

1+t1 + t+ t

2

1+t

= 1

2

1+01 + 0 + 0

2

1+0

=121 + 0

= 12.

b) lmx

(9x2 + x 3x

)= lm

x

(9x2 + x 3x

)9x2 + x+ 3x9x2 + x+ 3x

= lmx

9x2 + x 9x29x2 + x+ 3x

= lmx

xx

9x2

x2+ x

x2+ 3xx

= lmx

19 + 1x + 3

=1

3 + 3=

1

6.

c) lmt2

t2 4t3 8 = lmt2

(t 2) (t+ 2)(t 2) (t2 + 2t+ 4) = lmt2

(t+ 2)

(t2 + 2t+ 4)=

2 + 2

(22 + 2 2 + 4) =1

3.

Tambien se puede por LHopital. (Cumple las condiciones)lmt2

t2 4t3 8 = lmt2

2t

3t2= lm

t22

3t=

2

3 2 =1

3.

2.

a) Halle la derivada de la funcion y = cossin (tanpix).y =

( sin

sin (tanpix)

)(12 (sin (tan pix))

1/2)(cos (tan pix))

(sec2 pix

)(pi) .

b) Derive la funcion f (x) = ln (x2 2x) y encuentre su dominio.f (x) =

(2x 2)x2 2x =

2 (x 1)x (x 2) ; Dom {f

} = R {0, 2}; Dom {f} = R [0, 2] .

c) La curva con ecuacion y2 = x3 +3x2 se llama cubica de Tschirnhausen. Encuentre una ecuacionde la recta tangente a esta curva, en el punto (1,2). En cuales puntos esta curva tiene unatangente horizontal?Observe que el punto si pertenece a la curva, ya que (2)2 = (1)3 + 3 (1)2. Ahora2y dy

dx= 3x2 + 6x = dy

dx=

3x2 + 6x

2y= dy

dx

(1,2)

=3 (1)2 + 6 (1)

2 (2) = 9

4, luego la ecuacion de

la recta tangente es y + 2 = 94(x 1).

Por otra parte, la curva tiene tangentes horizontales si dydx

=3x2 + 6x

2y= 0 y esto sucede si 3x2 +

6x = 0 = 3x (x+ 2) = 0 = x = 0 x = 2 = y2 = 03 + 3 02 = 0 y2 = (2)3 + 3 (2)2 = 4,luego los punto son P1 (0, 0), P2 (2, 2) y P3 (2,2).

3. Llamemos x la longitud del pedazo con el que se construye el cuadrado y 10 x la longitud del pedazocon el que se construye el crculo

A = A +A = L2 + pir2

Como la longitud del cuadrado es x, y en terminos de L es 4L, entonces L = x4.

Como la longitud de la circunferencia es 10 x, y en terminos de r es 2pir, entonces r = 10 x2pi

. Porconsiguiente

A (x) = A +A =x2

16+ pi

(10 x2pi

)2, 0 x 10.

A (x) =x

8+ 2pi

(10 x2pi

)( 12pi

)=

x

8(10 x2pi

).

Entonces, A (x) = 0 si

x

8 10 x

2pi= 0 = x

8 10

2pi+

x

2pi= 0 = (pi + 4)x

8pi=

10

2pi= x = 8pi

pi + 4 102pi

=40

pi + 4.

Ahora evaluamos la funcion A (x) = x2

16+pi

(10 x2pi

)2en el punto crtico y en los extremos del intervalo

de definicion:

A (0) =02

16+ pi

(10 02pi

)2=

25

pi 7,9577 (maximo)

A (10) =102

16+ pi

(10 10

2pi

)2=

25

4 6,25

A(

40pi+4

)=

(40pi+4

)216

+ pi

(10 40pi+4

2pi

)2=

100

(pi + 4)2+

25pi

(pi + 4)2=

100 + 25pi

(pi + 4)2=

25

pi + 4 3,5006 (mnimo)

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Facultad de CienciasEscuela de Matematicas

HabilitacionCalculo ISeptiembre 14 de 2010

Grupo

Nombre: Codigo:Instrucciones:

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.El profesor no respondera preguntas, porque parte de la evaluacion es la comprension de los enunciados.No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen, ni el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc.

1. a) Halle el valor de a y b que hace a f continua en todas partes

f(x) =

x2 4x 2 si x < 2ax2 bx+ 3 si 2 x < 32x a+ b si x 3

b) Determine lmx f(x) si, para toda x > 1,

10ex 212ex

< f(x)