SOLUCIONARIO DE EXAMEN FINAL / ELN-111

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1. PREGUNTA.

Usando tablas de verdad demostrar el valor de verdad de las siguientes expresiones, si

es TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA.

a) ⌊(𝐩 𝐪) (𝐪 𝐫) (𝐫 𝐬) 𝐬 ⌋ 𝐩

SOLUCIÓN:

ES TAUTOLOGÍA.

2. PREGUNTA. Sea el conjunto A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; B = x A/ 4 < x 8

; C = x A/ x 6 ; D = x A/ x > 6. Determine:

a) B (C D)=

b) B - (C - D)=

SOLUCIÓN a):

A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

B = 5, 6, 7, 8

C = 1, 2, 3, 4, 5, 6

D = 7, 8, 9, 10;

Calculando (C D) tenemos:

(C D)= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

B = 5, 6, 7, 8

B (C D)= 5, 6, 7, 8.

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SOLUCIÓN b):

A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

B = 5, 6, 7, 8

C = 1, 2, 3, 4, 5, 6

D = 7, 8, 9, 10;

Calculando (C - D) tenemos:

(C - D)= 1, 2, 3, 4, 5, 6

B = 5, 6, 7, 8

B -(C - D)= 7, 8.

3. PREGUNTA. Operaciones con Polinomio.

a) Multiplicar:

(𝑥4 − 5𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 + 3)

b) Dividir:

𝑃(𝑥) = (𝑥5 + 2𝑥3 − 𝑥 − 8) : 𝑄(𝑥) = (𝑥2 − 2𝑥 + 1)

SOLUCIÓN a):

(𝑥4 − 5𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 + 3)

= 𝒙𝟔 − 𝟐𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟑 + 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟏𝟓𝒙 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟔

= 𝒙𝟔 − 𝟐𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟑 + 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝒙 + 𝟔

𝒙𝟔 − 𝟐𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟑 + 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝒙 + 𝟔

SOLUCIÓN b):

𝑃(𝑥) = (𝑥5 + 2𝑥3 − 𝑥 − 8) : 𝑄(𝑥) = (𝑥2 − 2𝑥 + 1)

𝑸(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟖

𝑹(𝒙) = 𝟏𝟎𝒙 − 𝟏𝟔

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4. PREGUNTA. Resolver dos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas:

a) Resolver por el método de Igualación:

5x - 2y = 2

x + 2y = 2

SOLUCIÓN a):

𝐱 = 𝟐

𝟑

𝒚 = 𝟐

𝟑

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b) Resolver por el método de Cramer:

x + y = 2

3x – y = - 5 SOLUCIÓN b):

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5. PREGUNTA. Resolver sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas

mediante Método de Reducción:

a) 2x – y + z = 4

4x +7y - z = 38

- x +3y +2z = 23 SOLUCIÓN a):

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b) Planteo de Ecuaciones:

¿Cuál es el número cuyo triple aumentado en 2 sea igual a 48?

SOLUCIÓN b):

3(x + 2) = 48

X + 2 = 48 / 3

X + 2 = 16

X = 16 – 2

X = 14

El Número es14.

6. PREGUNTA.

Efectuar la suma de las siguientes fracciones algebraicas: a)

𝒙 − 𝟐

𝟒+

𝟑𝒙 + 𝟐

𝟔=

SOLUCIÓN a): 𝒙 − 𝟐

𝟒+

𝟑𝒙 + 𝟐

𝟔=

= 𝟔(𝒙 − 𝟐) + 𝟒(𝟑𝒙 + 𝟐)

𝟐𝟒=

𝟔𝒙 − 𝟏𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟖

𝟐𝟒=

= 𝟏𝟖𝒙 − 𝟒

𝟐𝟒=

𝟐(𝟗𝒙 − 𝟐)

𝟐𝟒=

𝟗𝒙 − 𝟐

𝟏𝟐

𝟗𝒙 − 𝟐

𝟏𝟐

b)

𝟐

𝟓𝒂𝟐+

𝟏

𝟑𝒂𝒃=

SOLUCIÓN b):

𝟐

𝟓𝒂𝟐+

𝟏

𝟑𝒂𝒃=

= 𝟑𝒂𝒃(𝟐) + 𝟓𝒂𝟐(𝟏)

(𝟓𝒂𝟐)(𝟑𝒂𝒃)=

𝟔𝒂𝒃 + 𝟓𝒂𝟐

(𝟓𝒂𝟐)(𝟑𝒂𝒃)=

𝒂(𝟔𝒃 + 𝟓𝒂)

(𝟓𝒂𝟐)(𝟑𝒂𝒃)

𝟔𝒃 + 𝟓𝒂

(𝟏𝟓𝒂𝟐𝒃