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Evolución Química
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Variables Globales
Variables globales, función del tiempo.
La tasa de creación de remanentesestelares
W
La tasa de eyección de metales de estrellasEZ
La tasa de eyección de masa de estrellasE
Masa total del sistemaM
Masa total de los remanentesMw
Masa total en estrellasMs
Masa total de gas interestelarMg
Claramente,M=Mg+Ms+Mw
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Parámetros GlobalesParámetros especificados de antemano. Pueden ser
función del tiempo.
La función inicial de Masa (IMF)φ(m)
Abundancia metálica del material sale oentra al sistema.
Zf
Tasa de flujo de material saliendo o entrandoal sistema.
f
Tasa de formación de estrellasψ
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Variables que vienen deevolución estelar
La fracción de masa estelar reciclada que seconvierte en metales y se pierde en el mediointerestelar.
pZ
La masa de una estrella en el punto de quiebrede ls SP de una población con t=τ
mtn
El tiempo de vida de una estrella de la SP demasa m.
τ
La masa del remanente estelarw
El objetivo es derivar Z(t); la fracción de metales en elmaterial interestelar en función del tiempo
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Ecuacionesde Evolución
Química
Hay cinco ecuaciones diferencialesacopladas que describen laevolución química del sistema.
fZEZdt
ZMd
Wdt
dM
fEdt
dM
WEdt
dM
fdt
dM
fZ
g
w
g
s
++!"=
=
++!"=
""!=
=
)(
Conservación de masa
Controlan la cantidadde masa que queda enestrellas o es enviadaal medio interestelar
Tasa de eyección de masa de estrellas
Tasa de creación de remanentes estelares
Tasa de flujo de material saliendo o entrando al sistema.
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fZEZdt
ZMdfZ
g++!"=
)(
Describe como la metalicidad del medio interestelar cambia con el tiempo
Metales del medioInterestelar en estrellas
Cantidad de metalesliberados por estrellas
Metales inyectadoso perdidos desdeafuera
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No todas la variables son independientes. ConsideremosE; la tasa de eyección de masa de estrellas. Ya que laperdida de masa sólo ocurre en etapas posteriores a laSP, la tasa de perdida de masa se relaciona con elnúmero de estrellas que evolucionan de la SP en untiempo dado. Si la galaxia consiste de estrellas de unasola población, entonces
)()()()( 0 wmdt
dmmMwmNtE
tn
tn
tntntn!=!= "
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Sin embargo, para una galaxia con formación de estrellas, elcálculo de la tasa de eyección de masa debe considerar el númerode estrellas de la SP en el punto de quiebre de todas las edades.Entonces el material interestelar devuelto de estrellas en tiempo t1,
dmtmtwmEtn
m
mtn
u
t
),()()( !"!# $$%$=
Donde mu es el límite superior en la IMF, y mt es lamasa de quiebre de una población de edad t. De igualforma, la ecuación para la masa total de los remanentesque se forman es,
dmtmtwWtn
m
mtn
u
t
),()( !"!# $$%=
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La ecuación para EZ es un poco más complicada ya quetiene dos términos:
dmtmttZmpwmdmtmtmE tn
m
mtntnztn
m
mtnZ
u
t
u
t
),()()()(),()( !"!!!"! ## $$%$$$+$$%=
Cantidad de metales nuevosgenerados por las estrellas
Cantidad de metales perdidos delISM cuando la estrella se formó,pero ahora se re-envía al ISM.
Finalmente tenemos una ecuación para la conservaciónde metales. Entonces, la cantidad total de metalesproducidos en una galaxia en un tiempo de Hubble es,
dmdttmtmpZMMMZ m
t m
mmzgwss
u
t
')',()'()(1
0!"!# # $$%=++
Contenido metálicomedio en estrellas.
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dmtmtwmEtn
m
mtn
u
t
),()()( !"!# $$%$=
dmtmtwWtn
m
mtn
u
t
),()( !"!# $$%=
dmtmttZmpwmdmtmtmE tn
m
mtntnztn
m
mtnZ
u
t
u
t
),()()()(),()( !"!!!"! ## $$%$$$+$$%=
dmdttmtmpZMMMZ m
t m
mmzgwss
u
t
')',()'()(1
0!"!# # $$%=++
Ecuaciones a resolver
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Aproximación analíticaLa solución a estas ecuaciones acopladas con cuatro
variables independientes (ψ, φ, ƒ y Zf) no es trivial.Consideraremos dos aproximaciones para simplificarel problema,
Aproximación 1:IMF indep. de t
Aproximación 2:Reciclado instantáneo
)(),( mtm !! =
Se consideran sólo dos tipos de estrellas:•m < m1 estrellas que viven para siempre•m > m1 estrellas que evolucionan ymueren instantáneamente.Aproximación buena si consideramos que unaestrella de 5Msol vive 108 años, lo quecosmológicamente hablando es instantáneo, yuna de menos de 1Msol prácticamente vivepara siempre.
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Definamos,
fracción de gas queRetorna al ISM
Fracción de materiaoscura bariónica
Producto neto(del elemento i)
!"
#=1
)()(m
dmmwmR $
!"
=1
)(m
dmmwD #
!"
#=
1
)(1
1
mzi dmmmp
Ry $
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En palabras,
Es la fracción del metal i producido porestrellas por cada 1 Msol de material enestrellas o en remanentes estelares.
yi
Es la fracción de masa que una generacióntransforma en remanentes estelares.D
Es la fracción de masa que una generaciónde estrellas inyecta al medio interestelarR
La importancia de estas tres cantidades es que dependensolamente del IMF. Si supones una forma universal del IMF,entonces R, D y yi son constantes que dependen sólo de laevolución estelar. En otras palabras, son cantidades conocidas.
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Con estas aproximaciones miremos E, W y EZ . Sisuponemos φ(m) independiente del tiempo, y usamos laaproximación de reciclamiento instantáneo, entonces
!="!=
""!"=
#
#
Rdmmwmt
dmtmtwmE
u
t
u
t
m
m
m
m
mm
)()()(
),()()(
$
%$%
De igual manera, la ecuación para remanentes es,
[ ])1(
resulta, que lo
)()(
),()(
RyZRE
Ddmmwt
dmtmtwW
Z
m
m
m
m
mm
u
t
u
t
!+"=
"="=
!!"=
#
#
$
%$%
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Con estas suposiciones las ecuaciones de evolución química:
fZRyRZdt
dZM
Ddt
dM
fRdt
dM
DRdt
dM
fdt
dM
f
g
w
g
s
+!"+!"!=
"=
+"!!=
"!!=
=
)1()1(
)1(
)1(
fZEZdt
ZMd
Wdt
dM
fEdt
dM
WEdt
dM
fdt
dM
fZ
g
w
g
s
++!"=
=
++!"=
""!=
=
)(
[ ])1( RyZRE
DW
RE
Z !+"=
"=
"=
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Que se puede simplificar diferenciando,
dt
dZM
dt
dMZ
dt
ZMdg
gg+=
)(
sustituyendo
fZZRydt
dZ
fRdt
dM
f
g
)()1(M
obtiene, se
)1(
g !+!"=
+"!!=
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Test de Formación de EstrellasLas ecuaciones anteriores nos permiten estimar la
historia de formación de estrellas en la vecindad solar.Si escribimos la ecuación,
!"
#$%
&!!"
#$$%
&
''=
''=(
dt
Zd
Zd
dM
DRdt
dM
DR
sslog
log1
1
1
1
como!""= )1( DR
dt
dMs
Si medimos la metalicidadde estrellas en la vecindadsolar, podemos determinarcuanta masa hay en funciónde la metalicidad.
Estudiando estrellas tipo F cercanas,y comparando sus luminosidades a lasde estrella F de la SP, podemosestimar sus edades. Si medimos susmetalicidades tenemos este término.
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Haciendo algo parecido podemos estimar la historia dematerial que cae.
dt
Zd
Zd
dM
DR
R
Zd
dM
Rdt
dMf
fRdt
dM
gg
g
g
log
log1
1
log
)1(
)1(
!"#
$%&
''
'+=
('+=
+(''=
Si medimos las metalicidad de nubes HI y H2 demasa distintas, entonces todos los términos de estaecuación son conocidos, y la historia del materialque cae es conocida.
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Modelo Cerrado de EvoluciónQuímica
Como ejemplo de lo que el modelo de evolución químicapuede hacer, consideremos un sistema cerrado, dondetodo el material para la formación estelar viene de lapérdida de masa de generaciones de estrellasprecursoras. In este caso f=0. Partamos de la ecuación,
)1()()1(Mg RyfZZRydt
dZf !"=!+!"=
Considerando también la siguiente ecuación,
!""=+!""= )1()1( RfRdt
dM g
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Dividiendo una porla otra,
yd
dZ
dt
dMdt
dZ
g
!==g
g
g
MM
M
Ya que y es una constante de evolución estelar,
!!
"
#
$$
%
&'='('=) )
0
1
01ln
1
0
1
0g
g
Z
Z
M
M g
g
M
MyZZ
M
dMydZ
g
g
Masa del gas hoyMg1
Metalicidad del gas hoyZ1
Masa inicial del gasMg0
Metalicidad inicial del gasZ0
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Si,
!"#
$%& '
=
(()
*++,
-'='./
()
*+,
-=(
)
*+,
-=((
)
*++,
-=
y
ZZ
ZZZZ
M
M
M
M
M
M
y
Dsg
11
11 0
exp
ln
µµ
µ
µ
01µ
Recordando,
!"#
$%& '
()
*+,
-
'
''(()
*++,
-=((
)
*++,
-()
*+,
-=
'
'''==
+.''=.''=
y
ZZ
R
DR
yd
d
dZ
d
R
DR
d
d
dt
dM
dt
dM
fRdt
dMDR
dt
dM
gs
gs
1exp1
1
dZ
d
entonces,
1
1
)1( )1(
µ
µ
/µ/
µ
/
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Finalmente, si escribimos esta ecuación en términos de logZ,
!"#
$%& '
(()
*++,
-()
*+,
-
'
''(()
*++,
-=
y
ZZ
R
DR
y
Z 1
1
11 exp1
110ln
dlogZ
d
.
µ..
Ya que el número de medidas de metalicidad estelar no esmuy abundante, es mejor estudiar la función distribuciónacumulativa, i.e. El número de estrellas con metalicidadesmenor que Z. Para esto integramos la ecuación anterior.Juntemos las constantes en
!!"
#$$%
&!"
#$%
&
'
''=
1
1
1
1
(
µ
R
DRG
La función acumulativa será,
!"#
$%&
'(()
*++,
- ''= 1exp1 1
1 y
ZZG
.
.
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!"#
$%&
'(()
*++,
- ''= 1exp1 1
1 y
ZZG
.
.
Cuando esta función se compara con las observaciones, esclaro que las metalicidades de las estrellas en la vecindadsolar no se puede ajustar con un modelo cerrado deevolución galáctica. Alguna razones,
•ó Z0 ≠ 0•ó La población inicial de estrella no tenían la misma IMF•ó f ≠ 0•ó hay in-homogeneidades químicas severas en el ISM, y laformación de estrellas ocurren preferentemente en regionesde metalicidad más alta.