ETAPA 4
APLICACIONES DE LA DERIVADA
ESTUDIO DEL CAMBIO
Recta Tangente a la gráfica de una función:
La Razón de Cambio Promedio:∆𝑦
∆𝑥=
𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥)
∆𝑥=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
gráficamente representa la
pendiente de la recta secante
La Derivada𝑑𝑦
𝑑𝑥= lim
𝛥𝑥→0
)𝑓(𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝑓(𝑥
𝛥𝑥
gráficamente representa la
pendiente de la recta tangente
Pasos para determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una
función 𝑓(𝑥):
1) Si no se conoce la coordenada “y” del punto de tangencia, calcular dicha
coordenada sustituyendo el valor “x” del punto en la función original f(x).
2) Determinar la derivada 𝑓´(𝑥) de la función 𝑓(𝑥).
3) Sustituir la coordenada x del punto de tangencia en la derivada para
calcular el valor de la pendiente “m” de la recta tangente.
4) Determinar la ecuación de la recta tangente usando la forma punto –
pendiente de la ecuación de una recta: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 .
5) Transformar la forma punto pendiente a la forma pendiente intersección
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 (y a la forma general 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 si se requiere)
Ejemplo 1: Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝒇 𝒙 = −𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟐en el punto (3, 15)
Solución:
Derivada: 𝒇´ 𝒙 = −𝟐𝒙 + 𝟒
Pendiente de la recta tangente: 𝒎 = 𝒇′ 𝟑 = −𝟐 𝟑 + 𝟒𝒎 = −𝟐
Forma Punto – Pendiente: 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 𝒙 − 𝒙𝟏
𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟔 + 𝟏𝟓
𝒚 − 𝟏𝟓 = −𝟐 𝒙 − 𝟑
Forma Pendiente – Intersección: 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟐𝟏
Forma General U Ordinaria: 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟐𝟏 = 𝟎
Ejemplo 2: Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙 en 𝒙 = −𝟐
Solución:
Derivada: 𝒇´ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔
Pendiente de la recta tangente: 𝒎 = 𝒇′ −𝟐 = 𝟑 −𝟐 𝟐-6
𝒎 = 𝟔
Forma Punto – Pendiente: 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 𝒙 − 𝒙𝟏
𝒚 = 𝟔𝒙 + 𝟏𝟐 +4
𝒚 − 𝟒 = 𝟔 𝒙 − −𝟐
Forma Pendiente – Intersección: 𝒚 = 𝟔𝒙 +16
Forma General U Ordinaria: 𝟎 = 𝟔𝒙 − 𝒚 + 𝟏𝟔 o 𝟔𝒙 − 𝒚 + 𝟏𝟔 = 𝟎
𝒚𝟏= 𝒇 𝒙𝟏 = 𝒇 −𝟐 = −𝟐 𝟑 − 𝟔 −𝟐 = 𝟒
Punto de Tangencia: (−𝟐, 𝟒)
Aplicación de la Derivada en el Trazo de Gráficas:
Para aplicar la derivada en el trazo de gráficas, aparte de identificar las
intersecciones con los ejes coordenados, se utiliza:
2) El criterio de la primera derivada para determinar los intervalos
donde la función es creciente o decreciente.
3) La segunda derivada para determinar los posibles puntos de
inflexión y los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba
y cóncava hacia abajo.
1) La primera derivada para determinar los puntos críticos.
EJEMPLO: Dada la función 𝑓 𝑥 = −𝑥3 + 9𝑥2 − 15𝑥 − 9, determina:
A) Los Puntos Críticos
B) Los intervalos donde la función es Creciente o Decreciente
C) Los Puntos Críticos Máximo Local y Mínimo Local
D) Los Puntos de Inflexión
E) Los Intervalos donde la función es Cóncava hacia arriba y Cóncava hacia abajo
F) La gráfica de la función
Solución:
A) Puntos Críticos:
Derivada de la función 𝑓´ 𝑥 = −3𝑥2 + 18𝑥 − 15
−3𝑥2 + 18𝑥 − 15 = 0
−3𝑥2+18𝑥−15
−3=
0
−3
𝑥2 − 6𝑥 + 5 = 0
𝑥 − 5 𝑥 − 1 = 0𝑥 − 5 = 0 𝑜 𝑥 − 1 = 0
𝑥 = 5 𝑜 𝑥 = 1Valores críticos
En x=1, tenemos 𝑓 1 = − 1 3 + 9 1 2 − 15 1 − 9𝑓 1 = −16, entonces P(1, -16)
En x=5, tenemos 𝑓 5 = − 5 3 + 9 5 2 − 15 5 − 9𝑓 5 = 16, entonces P(5, 16)
PUNTOS CRÍTICOS: P(1, -16) y P(5, 16)
B) Intervalos de Crecimiento o Decrecimiento:
0 1 2 3 4 5 6 7 80–1–2
Intervalo Valor de
Prueba
Signo de la Derivada f´(x) Conclusión
−∞, 1 𝑥 = 0 𝑓´ 0 = −3 0 2 + 18 0 − 15 = −15 La función es “Decreciente”
1, 5 𝑥 = 2 𝑓´ 2 = −3 2 2 + 18 2 − 15 = +9 La función es “Creciente”
5,+∞ 𝑥 = 6 𝑓´ 6 = −3 6 2 + 18 6 − 15 = −15 La función es “Decreciente”
La Función es “Creciente” en: 𝟏, 𝟓La Función es “Decreciente” en: −∞,𝟏 ∪ 𝟓,+∞
C) Máximo local y Mínimo Local:
La tabla muestra que al pasar por x = 1, la función primero es Decreciente y después es Creciente, entonces el
criterio de la primera derivada indica que el punto 𝟏,−𝟏𝟔 es un Punto Crítico Mínimo Local o Relativo
La tabla muestra que al pasar por x = 5, la función primero es Creciente y después es Decreciente, entonces el
criterio de la primera derivada indica que el punto 𝟓, 𝟏𝟔 es un Punto Crítico Máximo Local o Relativo
D) Los Puntos de Inflexión
Solución:
Segunda Derivada de la función 𝑓´´ 𝑥 = −6𝑥 + 18
−6𝑥 + 18 = 0−6𝑥 = −18
𝑥 =−18
−6𝑥 = 3
En x = 3, tenemos 𝑓 3 = − 3 3 + 9 3 2 − 15 3 − 9𝑓 3 = 0
POSIBLE PUNTO DE INFLEXIÓN: P(3, 0)
E) Intervalos de Concavidad:
Intervalo Valor de
Prueba
Signo de la Segunda Derivada f´´(x) Conclusión
−∞, 3 𝑥 = 0 𝑓´´ 0 = −6 0 + 18 = +18 La función es “Cónvaca
Hacia Arriba”
3,+∞ 𝑥 = 4 𝑓´´ 4 = −6 4 + 18 = −6 La función es “Cóncava
Hacia Abajo”
La Función es “Cóncava Hacia Arriba” en: −∞,𝟑La Función es “Cóncava Hacia Abajo” en: 𝟑,+∞
Sí hay cambio de concavidad, entonces
el punto 𝟑, 𝟎 SÍ es un Punto de Inflexión
0 1 2 3 4 5 6 7 80–1–2
La Derivada como Razón de Cambio (Razón de Cambio Instantáneo)Ejemplo 1.- La descarga total de litros de agua (Q) por una llave “t” minutos después de haber sido abierta
está dado por la expresión 𝑄 𝑡 = 𝑡 + 3 3/2. ¿Con qué rapidez sale el agua a los 13 minutos de haber
sido abierta la llave?
Solución: La rapidez con que sale el agua es la razón de cambio instantánea de la descarga con
respecto al tiempo; es decir la derivada de la descarga con respecto al tiempo:
𝑑𝑄
𝑑𝑡=3
2𝑡 + 3
32−1
𝑑𝑄
𝑑𝑡=3
2𝑡 + 3
12
Evaluamos en t = 13 minutos:
𝑑𝑄
𝑑𝑡=3
213 + 3
12 =
3
216
12 =
3
24
𝑑𝑄
𝑑𝑡= 6
𝐿
𝑚𝑖𝑛Por lo tanto, a los 13 minutos, el agua
sale a razón de 6 litros por minuto
La Derivada como Razón de Cambio (Velocidad y Aceleración)
Ejemplo 2. La función de posición de una partícula que se mueve a lo largo de un eje coordenado está
dada por 𝑆 𝑡 = 12𝑡1
2 + 4𝑡 donde la posición “s” se mide en metros y el tiempo “t” en segundos.
Encuentra: a) La velocidad a los 4 segundos.
b) La aceleración a los 4 segundos.
Solución: La velocidad es
la derivada de la
posición:
𝑣 𝑡 =𝑑𝑆
𝑑𝑡
Y sustituimos en t = 4
segundos:
𝑣(4) = 6 4 −12 = 6 0.5
𝑣(4) = 3𝑚
𝑠𝑣 𝑡 = 12
1
2𝑡12 −1 + 4(1)
𝑣 𝑡 = 6𝑡−12 + 4
𝑎 𝑡 =𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑎 𝑡 = 6 −1
2𝑡−
12 −1 + 0
𝑎 𝑡 = −3𝑡−32
Entonces en t = 4 segundos:
𝑎 4 = −3 4 −32 = −3 0.125
𝑎 4 = −0.375𝑚
𝑠2
Y la aceleración es la
derivada de la velocidad:
La Derivada como Razón de Cambio (Costo, Ingreso y Utilidad Marginal)Ejemplo 3. Una compañía encuentra que si produce x artículos diarios, el costo total en pesos está dado
por la expresión 𝐶 𝑥 = 10000 − 20𝑥 + 0.001𝑥2. La ecuación de la demanda de este artículo es
𝑝 𝑥 = 24 − 0.01𝑥. Encuentra:
A) La ecuación de la Utilidad Marginal
B) El nivel de producción que maximiza la utilidad
C) El precio que debe tener cada artículo para que la Utilidad sea máxima
Solución:
Primero determinamos la Función de Ingresos:
𝐼 𝑥 = 𝑝𝑥
Luego, la Función de Utilidades es la resta de la
Función de Ingresos y la Función de Costos:
𝑈 𝑥 = 𝐼 𝑥 − 𝐶(𝑥)
𝐼 𝑥 = 24 − 0.01𝑥 𝑥
𝐼 𝑥 = 24𝑥 − 0.01𝑥2
𝑈 𝑥 = 24𝑥 − 0.01𝑥2 − 10000 − 20𝑥 + 0.001𝑥2
𝑈 𝑥 = −0.011𝑥2 + 44𝑥 − 10000
Entonces, Utilidad Marginal:
𝑈𝑀 𝑥 = 𝑈´ 𝑥
𝑈𝑀 𝑥 = −0.011 2𝑥 + 44(1)
𝑈𝑀 𝑥 = −0.022𝑥 + 44
B) El nivel de producción que maximiza
la utilidad
Solución: La utilidad es máxima
cuando la utilidad marginal es igual a
cero. Entonces igualamos a cero la
utilidad marginal y resolvemos la
ecuación:
𝑥 = 2000 artículos
𝑈𝑀 𝑥 = −0.022𝑥 + 44 = 0
−0.022𝑥 + 44 = 0
−0.022𝑥 = −44
𝑥 =−44
−0.022
C) El precio que debe tener cada artículo
para que la utilidad sea maximiza
Solución: Sustituimos los 2000 artículos que
maximizan la utilidad en la función de la demanda:
𝑝 𝑥 = 24 − 0.01𝑥
En 𝑥 = 2000:
𝑝 200 = 24 − 0.01 2000
𝑝 2000 = 24 − 20
𝑝 = $4
GRACIAS POR TU ATENCIÒN