ESTADO DEL ARTE DEL DISEÑO A CORTANTE EN VIGAS DE
CONCRETO REFORZADO SEGÚN EL REGLAMENTO NSR-10
(ACI - 318) Y PERTINENCIA DEL USO DEL MÉTODO MODIFIED
COMPRESSION FIELD THEORY (MCFT)
Elaborado por:
OSCAR ALEJANDRO OSORIO VELÁSQUEZ
DANIEL ZAMUDIO LÓPEZ
Asesor:
ALEJANDRO PARDO RAMOS
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
ESPECIALIZACIÓN EN ANÁLISIS Y DISEÑO DE ESTRUCTURAS
2016
TABLA DE CONTENIDO
1 RESUMEN ........................................................................................................ 5
2 INTRODUCCIÓN ............................................................................................ 6
2.1 ESQUEMA GENERAL DEL INFORME ....................................................... 7
2.2 OBJETIVOS DEL PROYECTO ................................................................... 8
2.2.1 OBJETIVO GENERAL ......................................................................... 8
2.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................. 8
3 MARCO TEÓRICO ......................................................................................... 9
3.1 DESARROLLO HISTÓRICO DEL DISEÑO A CORTANTE ......................... 9
3.2 MÉTODO DE DISEÑO A CORTANTE USADO EN EL REGLAMENTO NSR-
10 ................................................................................................................. 15
3.2.1 DESCRIPCIÓN CONCEPTUAL DEL MÉTODO ............................... 15
3.2.2 RESISTENCIA A CORTANTE PROPORCIONADA POR EL
CONCRETO .................................................................................................. 16
3.2.3 RESISTENCIA PROPORCIONADA POR EL REFUERZO PARA
CORTANTE .................................................................................................... 34
3.2.4 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DEL ELEMENTO A CORTANTE ..... 39
3.3 MÉTODO DE LA TEORÍA MODIFICADA DEL CAMPO DE
COMPRESIONES (MODIFIED COMPRESSION FIELD THEORY - MCFT) ....... 42
3.3.1 CAMPOS DE COMPRESIONES ...................................................... 43
3.3.2 TEORÍA DEL CAMPO DE COMPRESIONES (COMPRESSION FIELD
THEORY) ........................................................................................................ 44
3.3.3 RELACIONES ESFUERZO-DEFORMACIÓN PARA CONCRETO
FISURADO DIAGONALMENTE .................................................................... 47
3.3.4 MODIFIED COMPRESSION FIELD THEORY (MCFT) ...................... 49
3.3.5 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO BASADO EN MODIFIED
COMPRESSION FIELD THEORY ................................................................... 52
4 COMPARACIÓN NUMÉRICA ENTRE MÉTODOS DE DISEÑO A CORTANTE
....................................................................................................................... 56
4.1 DISEÑO A FLEXIÓN DE LA VIGA .......................................................... 57
4.2 DISEÑO A CORTANTE DE LA VIGA ...................................................... 58
4.2.1 MÉTODO NSR-10 (BASADO EN ACI-318) ..................................... 58
4.2.2 DISEÑO POR MCFT ......................................................................... 60
5 CONCLUSIONES .......................................................................................... 65
6 BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................. 67
LISTADO DE FIGURAS
Figura 3.1 Estado de esfuerzos en el plano (modificada de: Rochel, 2007)
................................................................................................................................ 9
Figura 3.2 Variación de los esfuerzos de cortante en vigas de concreto
reforzado (modificada de: Wight y MacGregor, 2012) .............................. 11
Figura 3.3 Planteamiento general de la resistencia a cortante en vigas de
concreto reforzado según el reglamento NSR-10 ........................................ 15
Figura 3.4 Fuerza cortante, flujo de cortante y esfuerzos cortantes en una
viga elástica, isotrópica y homogénea (modificada de Park y Paulay,
1980) ..................................................................................................................... 17
Figura 3.5 Trayectorias de los esfuerzos principales en una viga isotrópica
homogénea (modificada de Park y Paulay, 1980)...................................... 17
Figura 3.6 Trayectorias de los esfuerzos de tensión en una viga de
concreto reforzado (modificada de Rochel, 2007) ..................................... 18
Figura 3.7 Esfuerzos cortantes en una sección idealizada agrietada de
concreto reforzado (modificada de Park y Paulay, 1980) ......................... 18
Figura 3.8 Esfuerzo cortante nominal en vigas de concreto reforzado para
la formación de fisuras por tensión diagonal (modificada de: ACI, 1962)
.............................................................................................................................. 20
Figura 3.9 Inclinación de las fisuras potenciales en una viga simplemente
apoyada (modificada de: Rochel, 2007) ...................................................... 20
Figura 3.10 Efecto de la cuantía de refuerzo longitudinal, 𝜌, en la
capacidad a cortante, 𝑉𝑐, de vigas construidas con concreto de peso
normal y sin estribos (modificada de: Wight y MacGregor, 2012) ............ 21
Figura 3.11 Efecto de la relación 𝑎/𝑑 en la capacidad a cortante de vigas
sin estribos (modificada de Wight y MacGregor, 2012) .............................. 22
Figura 3.12 Efecto de las fuerzas axiales en la carga de cortante de
fisuración inclinada (modificada de Wight y MacGregor, 2012) .............. 23
Figura 3.13 Fuerzas de transferencia de cortante en una viga sin refuerzo
en el alma (modificada de: Park y Paulay, 1980) ........................................ 25
Figura 3.14 Efecto arco en una viga (modificada de Wight y
MacGregor, 2012).............................................................................................. 28
Figura 3.15 Modos de falla de vigas de gran altura, 𝑎/𝑑 = 0,5 𝑎 2,0
(modificada de: Wight y MacGregor, 2012) ................................................. 31
Figura 3.16 Modos de falla de tramos cortos de cortante, 𝑎/𝑑 = 1,5 𝑎 2,5
(modificada de: Wight y MacGregor, 2012) ................................................. 31
Figura 3.17 Comparación de la Ecuación 3-20 y la Ecuación 3-21 con los
resultados experimentales (modificada de: Park y Paulay, 1980)............. 33
Figura 3.18 Analogía de la cercha (modificada de: Rochel, 2007) .......... 34
Figura 3.19 Diagrama de flujo para diseñar por MCFT ................................ 42
Figura 3.20 Teoría del campo de compresiones (Compresión Field Theory).
(Modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999) ............................................. 44
Figura 3.21 Teoría del campo de compresiones (Compresión Field Theory).
(Modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999 - Repetición) ....................... 45
Figura 3.22 Teoría del campo de compresiones (Compresión Field Theory).
(Modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999 - Repetición) ....................... 46
Figura 3.23 Esfuerzo máximo de compresión en función de la deformación
principal ε1 (modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999) ........................ 48
Figura 3.24 Relaciones de esfuerzo-deformación de compresión para
concreto fisurado diagonalmente: (a) 𝜀1 y 𝜀2 incrementan
proporcionalmente; (b) aumentando primero 𝜀1 y posteriormente 𝜀2
(modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999) ............................................. 48
Figura 3.25 Relaciones del MCFT (Compresión Field Theory).
(Modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999) ............................................. 50
Figura 3.26 Influencia del espaciamiento de las fisuras en la predicción de
la resistencia a cortante (modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999). 51
Figura 3.27 Valores de β y θ para miembros que contienen la cantidad
mínima de estribos (tomada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999) ................. 54
Figura 3.28 Diagrama de flujo para diseñar por MCFT ................................ 55
Figura 4.1 Geometría y carga de viga empotrada a analizar .................. 56
Figura 4.2 Diagrama de momentos ................................................................ 56
Figura 4.3 Diagrama de cortantes .................................................................. 56
Figura 4.4 Diagrama de áreas ......................................................................... 57
Figura 4.5 Despiece a flexión de viga ............................................................ 58
Figura 4.6 Diagrama de flujo para diseñar por MCFT (Repetición) ........... 61
1 RESUMEN
En Colombia, las especificaciones para diseñar elementos de concreto
reforzado sometidos a esfuerzos cortantes se encuentran en el capítulo
C.11 del reglamento NSR-10. Estas especificaciones han dado buenos
resultados a través del tiempo y por el momento la normativa colombiana
no deja abierta la posibilidad de implementar nuevas metodologías de
diseño como por ejemplo la Modified Compression Field Theory (MCFT).
En el presente trabajo se realizó una revisión bibliográfica acerca de los
métodos de diseño tradicional (implementados en el reglamento NSR-10)
y de diseño basado en la MCFT.
Apoyados en la información recopilada acerca de los dos métodos de
diseño, se realizó una comparación objetiva entre estos con el propósito
de concluir acerca de la pertinencia del uso del método Modified
Compression Field Theory; lo anterior, se efectuó diseñando por ambas
metodologías un elemento de concreto reforzado tipo viga, cargado
uniformemente y empotrado en ambos extremos.
Finalmente, con los resultados obtenidos al realizar los respectivos diseños
por ambas metodologías, se concluyó acerca de la pertinencia del uso
e inclusión del método MCFT en la normativa colombiana actual y de las
diferencias que existen entre ambas metodologías.
PALABRAS CLAVE: cortante, tensión diagonal, campo de compresiones,
Modified Compression Field Theory (MCFT).
2 INTRODUCCIÓN
Los lineamientos presentados en las normativas de diseño como el
reglamento NSR-10 y el ACI-318 (entre otras normas), se basan en
investigaciones desarrolladas a principios del siglo pasado para el cálculo
de la resistencia a esfuerzos cortantes en elementos de concreto
reforzado y simple. Dichas metodologías utilizadas para diseñar
elementos de concreto reforzado a cortante han ido evolucionando a lo
largo de la historia y en ocasiones han sido poco satisfactorias en casos
prácticos.-esto se debe básicamente por la poca comprensión que se ha
tenido de la interacción entre fuerzas cortantes, fuerzas axiales,
momentos torsionales y momentos flexionantes.
Actualmente se han desarrollado metodologías de diseño a cortante
más exactas que están empezando a ser acogidas por diferentes
normativas en el mundo, las cuales pueden ayudar a realizar diseños
más precisos, económicos y seguros; sin embargo, se continúan utilizando
las metodologías clásicas como por ejemplo, en el contexto colombiano,
los métodos presentados (basados en el ACI-318). .
La existencia de nuevas metodologías que cuentan con un mejor grado
de aproximación a los resultados experimentales como la Modified
Compression Field Theory (MCFT) y que brindan un mejor entendimiento
del problema, genera cierta inquietud y un cuestionamiento acerca de
la no implementación en las normas que nos rigen actualmente; esto
teniendo presente que otras normas por el contrario ya cuentan con su
aplicación de manera directa o simplificada como son los casos de las
normas canadiense, noruega y la norma estadounidense de puentes
(AASHTO LRFD). Por lo tanto, en el presente trabajo se realizó una
selección del material bibliográfico más relevante acerca de las
metodologías del diseño a cortante en estructuras de concreto reforzado
las cuales se estudian y se exponen de forma paralela para así
compararlas y concluir acerca de la pertinencia del uso de cada uno de
estos métodos.
2.1 ESQUEMA GENERAL DEL INFORME
En la primera etapa del presente trabajo se realizó una recopilación de
información acerca del métodos clásico de diseño a cortante en
elementos de concreto reforzado (vigente y usado hoy en día en varias
normativas del mundo y basados en el ACI-318) y del método Modified
Compression Field Theory (MCFT).
Posteriormente en el capítulo dos se realiza una reseña histórica que
muestra la evolución de las metodologías de diseño y se realiza un análisis
de la información recopilada explicando las bases teóricas de las
metodologías de diseño a cortante que son objetivo de estudio del
presente trabajo, en este caso el método de diseño clásico del
reglamento NSR-10 (basado en ACI - 318) y el método MCFT.
En el capítulo tres se hace un paralelo entre los resultados de un diseño
realizado por ambas metodologías. El objetivo de este paralelo es el de
comparar aspectos importantes de ambos tipos de metodologías. Por
último en el capítulo cuatro se presentan las conclusiones.
2.2 OBJETIVOS DEL PROYECTO
2.2.1 OBJETIVO GENERAL
Realizar una revisión bibliográfica del método de diseño clásico del
reglamento NSR-10 (basado en el ACI-318) y el método MCFT (Modified
Compression Field Theory) para analizar la pertinencia de su uso en el
diseño a cortante de vigas.
2.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Seleccionar el material bibliográfico más relevante acerca del
estado del arte de la metodología de diseño a cortante en vigas
de concreto reforzado presentada en el reglamento NSR-10
(basado en ACI-318) y la metodología Modified Compression Field
Theory (MCFT).
Realizar un paralelo entre el método clásico de diseño a cortante
del reglamento NSR-10 y el método Modified Compression Field
Theory (MCFT).
Argumentar por medio del paralelo realizado acerca de la
pertinencia del uso del método Modified Compression Field Theory
como alternativa a los actuales métodos de diseño presentados en
el reglamento NSR-10 (basado en el ACI-318).
3 MARCO TEÓRICO
El diseño a cortante de vigas de concreto reforzado se puede realizar por
medio de dos métodos, el primer método es el presentado en el
reglamento NSR-10 (basado en el ACI-318) y el segundo es la Teoría
Modificada de los Campos de Compresión (MCFT, por su sigla en inglés).
Para entender el comportamiento de las vigas frente a esfuerzos
cortantes se plantea realizar un repaso histórico de cómo se ha estudiado
el cortante a lo largo de los años y luego se procede con el desarrollo de
ambas metodologías para finalmente realizar un ejercicio numérico
comparativo.
3.1 DESARROLLO HISTÓRICO DEL DISEÑO A CORTANTE
Alrededor del año 1900 había ambigüedad respecto al diseño a cortante
y se tenían dos formas principales para interpretar el mecanismo de falla
de los elementos de concreto reforzado frente a las fuerzas de cortante;
una primera forma era considerando la cortante horizontal como la
causa básica de falla a cortante y cuyos esfuerzos eran calculados con
la Ecuación 3-1. Esta ecuación se deduce en la mecánica de sólidos
para el análisis de los esfuerzos cortantes adoptando el comportamiento
de materiales (homogéneos, elásticos y no fisurados) para las vigas de
concreto reforzado (ACI, 1962).
Figura 3.1 Estado de esfuerzos en el plano (modificada de: Rochel, 2007)
𝑣 = 𝑉𝑄
𝐼𝑏 Ecuación 3-1
donde: 𝑣 = Esfuerzo cortante horizontal a la distancia 𝑦 desde el eje neutro
𝑉 = Cortante vertical total en la sección que se analiza 𝑄 = Momento estático respecto al eje neutro de la sección externa a la fibra
que se analiza 𝐼 = Momento de inercia del área de la sección transversal con respecto al eje
neutro 𝑏 = Ancho de la sección transversal a una distancia 𝑦 desde el eje neutro
La segunda forma de interpretar el cortante consideraba que la causa
básica de falla de una viga de concreto reforzado frente a fuerzas
cortantes se daba por la tensión diagonal. W. Ritter en 1899 presentó una
explicación acerca de la tensión diagonal y sugirió el diseño de estribos
verticales para resistirla por medio de la Ecuación 3-2 (ACI, 1962).
𝑉 = 𝐴𝑣𝑓𝑣𝑗𝑑
𝑠 Ecuación 3-2
Donde:
𝑉 = Cortante vertical total en la sección que se analiza 𝐴𝑣 = Área de la sección transversal total de un estribo
𝑓𝑣 = Esfuerzo admisible en los estribos 𝑗𝑑 = Brazo de momento interno 𝑠 = Espaciamiento de los estribos en la dirección del eje del elemento
Alrededor de diez años después de lo presentado por Ritter, con pruebas
de laboratorio efectuadas por E. Mörsch en Alemania y apoyadas por
pruebas de F. Von Empergery y E. Probst, se confirma que la falla por
cortante se da bajo tensión diagonal y se presenta la Ecuación 3-3
desarrollada por E. Mörsch para el cálculo del esfuerzo cortante nominal
(ACI, 1962).
𝑣 = 𝑉
𝑏𝑗𝑑 Ecuación 3-3
Donde:
𝑣 = Esfuerzo cortante
𝑉 = Cortante vertical total 𝑏 = Ancho de la sección transversal 𝑗𝑑 = Brazo de momento interno
Cabe anotar que el desarrollo de la Ecuación 3-3, correspondiente a la
tensión diagonal clásica, se ha basado en los siguientes supuestos (ACI,
1962):
1. El concreto y el acero son materiales homogéneos e isotrópicos.
2. Los esfuerzos no superan los límites proporcionales.
3. Las vigas tienen secciones transversales constantes.
4. La distribución de los esfuerzos de cortante es uniforme en todo el
ancho de la viga.
5. El concreto no soporta ninguna tensión a la flexión por debajo del eje
neutro.
El esfuerzo cortante de la Ecuación 3-3 alcanza su valor máximo en el eje
neutro y permanece constante hasta el refuerzo longitudinal de flexión,
consecuente con el supuesto 5, puesto que se desprecia el aporte del
concreto en la zona de tracción y allí el momento estático es constante.
Por encima del eje neutro, en la zona de compresión, la intensidad del
esfuerzo cortante disminuye de forma parabólica hasta llegar a cero en
la superficie superior, como se observa en la Figura 3.3 (ACI, 1962).
En vista que 𝑗 varía cercanamente alrededor del valor de 7/8, la expresión
elástica de diseño dada por la Ecuación 3-3 por mucho tiempo se
simplificó tomando dicho valor, pero como en realidad la suposición 5 es
teórica porque el concreto puede soportar un porcentaje del esfuerzo
cortante antes de la fisuración; la variación real de los esfuerzos cortantes
es un tanto diferente e irregular, por lo que resulta aconsejable recurrir al
uso del esfuerzo cortante promedio y no justifica el refinamiento que
implica considerar el brazo de momento interno 𝑗𝑑. Así, la expresión para
el cálculo del esfuerzo cortante promedio en toda la sección transversal
efectiva estará dada por la Ecuación 3-4 (ACI, 1962).
Figura 3.2 Variación de los esfuerzos de cortante en vigas de concreto reforzado
(modificada de: Wight y MacGregor, 2012)
𝑣 = 𝑉
𝑏𝑑 Ecuación 3-4
donde:
𝑣 = Esfuerzo cortante
𝑉 = Cortante vertical total 𝑏 = Ancho de la sección transversal 𝑑 = Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del
refuerzo longitudinal en tracción
Para entender como una viga resistía a cortante, tradicionalmente se han
utilizado los modelos basados en lo que propusieron a principios del siglo
XX, independientemente, W. Ritter y E. Mörsch acerca de la analogía con
una cercha de cuerdas paralelas. El modelo original consideraba que
luego de la fisuración de una viga de concreto reforzado debida a las
tensiones de tracción diagonales, ésta se puede idealizar como una
cercha de cuerdas paralelas con diagonales comprimidas a 45° con
respecto al eje longitudinal de la viga (Herreros, 2004).
En estos modelos de la cercha, donde no se considera la contribución a
tracción del concreto, las diagonales comprimidas de concreto intentan
separar las superficies superior e inferior del concreto, mientras que los
esfuerzos de tracción en los estribos tratan de unir ambas superficies. Para
que exista equilibrio, los dos efectos deben ser iguales y de acuerdo con
el modelo de la cercha con diagonales comprimidas a 45°, la capacidad
máxima del elemento frente a los esfuerzos de cortante se logra cuando
los estribos exceden el límite de fluencia (Herreros, 2004).
Luego de aceptarse la formulación de E. Mörsch acerca de que la falla
por cortante en vigas de concreto reforzado se debe a una tracción, se
especificó para los diseños que el esfuerzo cortante nominal se calcularía
con la Ecuación 3-3 para obtener la magnitud de la tensión diagonal y
se relacionó únicamente con la resistencia a compresión del concreto;
además, se dio para los elementos sin estribos un esfuerzo cortante
máximo como límite para el diseño (ACI, 1962).
Fundamentado en los resultados de las pruebas de 106 vigas sin refuerzo
para cortante, A. N. Talbot en 1909 concluyó que en vigas de este tipo,
el esfuerzo cortante nominal variará con la cantidad de refuerzo, con la
relación entre longitud y profundidad, con la calidad y resistencia del
concreto, y con otros factores que afectan a la rigidez de la viga. Tiempo
después, en la década de 1940, cuando 0. Morretto realiza una serie de
pruebas con vigas, adopta una ecuación empírica para la resistencia al
cortante que incluye el refuerzo para la flexión como una variable
(ACI, 1962).
Como un acto de negligencia, en el intervalo entre 1920 y principios de
1950, fue olvidado el consejo conservador de A. N. Talbot y otros pioneros.
Aunque dejaron en evidencia que el valor de la tensión diagonal era
generalmente indeterminado; pero como desafortunadamente sus
hallazgos no se expresaron en términos matemáticos como ecuaciones
de diseño, las falencias expuestas acerca de los procedimientos de
diseño para la tensión diagonal que consideraban la resistencia a la
compresión del concreto como una única variable principal, fueron
olvidadas. Durante ese tiempo se continuó con el uso de estos
procedimientos bastante imprecisos que cada vez fueron menos
conservadores puesto que el valor máximo de esfuerzo cortante (límite
para el diseño) se había incrementado a través de los años (ACI, 1962).
En el año de 1950 se conformó la Comisión mixta 326 del Instituto
Americano del Concreto (ACI, por su sigla en inglés) y la Sociedad
Americana de Ingenieros Civiles (ASCE, por sus sigla en inglés) que contó
inicialmente con Charles S. Whitney como presidente por nueve años y
cuya finalidad consistía en desarrollar métodos para el diseño de
elementos de concreto reforzado para resistir cortante y tensión
diagonal, en consonancia con los nuevos métodos de diseño de
resistencia última (ACI, 1962); la comisión fue conformada puesto que la
metodología de la época se basaba en los esfuerzos admisibles, hecho
que se podía evidenciar con el supuesto 2 para el desarrollo de la
Ecuación 3-3 de la tensión diagonal clásica, donde los esfuerzos no
debían superar los límites proporcionales.
La investigación que se produjo a partir de 1950 luego de la
conformación de la Comisión mixta 326 del Instituto Americano del
Concreto generó conciencia de que la cortante y la tensión diagonal
eran un asunto complejo en el que existen diversas variables
involucradas, algo que ya se sabía de años atrás pero que se había
olvidado. Sumado a esto, en el año 1955, se produjo la falla por cortante
de los almacenes de Wilkins Air Force Depot en Shelby, Ohio. Se trató de
una falla frágil por cortante que permitió relacionar las investigaciones
teóricas y de laboratorio con las fallas de estructuras a gran escala e
intensificó dudas y preguntas acerca de los métodos tradicionales de
diseño a cortante (ACI, 1962).
Esta falla estructural más los datos de laboratorio entonces disponibles,
impulsaron el estudio de la cortante y la tensión diagonal en elementos
de concreto reforzado entre 1950 y 1960, generando un aumento de
investigaciones para la solución de los problemas planteados por el
desconocimiento de dichos temas (ACI, 1962). A partir de ese momento
fue cuando se desarrollaron las teorías de cortante/compresión, basadas
en el hecho de que la falla a cortante de una viga se debe al
aplastamiento del hormigón en la zona comprimida al reducirse la altura
de ésta debido al crecimiento de la fisuración diagonal (Herreros, 2004).
Dentro de las investigaciones se estudian los efectos de la tracción y
compresión axial sobre la resistencia a cortante; se efectúan variaciones
en las cargas aplicadas a diversos tipos de vigas: cargas concentradas
individuales, simétricas de dos puntos, cargas multipunto y cargas
uniformes; sobre vigas simples, continuas, con voladizos. Se evalúa el
efecto de los tipos de agregados; de las variaciones en la sección
transversal, incluyendo vigas rectangulares, vigas en I, vigas T; el resultado
de introducir la carga por otros medios distintos que a través de placas
de apoyo; el efecto de obligar a que las fallas se produzcan en varios
lugares específicos; y el efecto de refuerzo de alta resistencia en la
resistencia a la cortante (ACI, 1962). También se llevaron a cabo estudios
sobre modelos de la cercha con ángulos de inclinación variable
(Herreros, 2004).
Como resultado de un estudio sistemático de datos de más de 440
pruebas con vigas sin refuerzo para cortante, que refleja la multitud y
variedad de ensayos a cortante efectuados en la década de 1950, se
proponen varias ecuaciones para la resistencia a cortante utilizando el
esfuerzo a cortante promedio y el criterio de que la falla por tensión
diagonal representa la resistencia máxima utilizable en vigas sin refuerzo
a cortante; donde la capacidad a cortante depende principalmente de
tres variables, a saber, el porcentaje de refuerzo longitudinal para flexión
𝜌, la cantidad adimensional 𝑀/𝑉𝑑, y la calidad del concreto tal como se
expresa por la resistencia a la compresión 𝑓𝑐′. Mientras que otras variables
tienen efectos menores sobre la resistencia a cortante (ACI, 1962).
Mitchell y Collins en 1974 desarrollan la Teoría del Campo Diagonal de
Compresiones para elementos sometidos a torsión pura, que después
ampliaron para analizar elementos sometidos a esfuerzo cortante. Estos
modelos consideran la respuesta carga/deformación de miembros en
que la armadura de refuerzo trabaja a tracción uniaxial y el concreto
presenta un estado biaxial de tracción/compresión. Tiene como hipótesis
que las tensiones y deformaciones principales son coincidentes. Las
ecuaciones de equilibrio, compatibilidad y las relaciones
tensión/deformación del refuerzo y el concreto, tanto en tracción como
en compresión, permiten obtener las tensiones y deformaciones medias,
y el ángulo 𝜃 para cualquier nivel de carga hasta la falla. Ésta puede
estar gobernada no por las tensiones medias, sino por las tensiones locales
en la fisura. Por este motivo es necesario efectuar una comprobación en
la fisura que supone la parte crítica de la Teoría Modificada del Campo
de Compresiones (MCFT, por sus sigla en inglés) y de las teorías derivadas
a partir de ella. La comprobación en la fisura implica limitar las tensiones
medias principales de tracción en el concreto a un valor máximo
determinado, considerando la tensión del refuerzo en la fisura y la
capacidad de la superficie de la fisura para transmitir tensiones
tangenciales (Herreros, 2004).
Hsu y sus colegas de la Universidad de Houston entre 1994 y 1995
presentaron el modelo de la cercha con rotación del ángulo. Al igual
que la MCFT, este método supone que la inclinación de las tensiones
principales de compresión (𝜃) coincide con las deformaciones
principales. Al aumentar el esfuerzo cortante, para miembros
convencionales 𝜃 disminuye. De aquí el nombre de rotación del ángulo.
Pang y Hsu en 1995 limitaron la aplicabilidad de este modelo a los casos
en que la rotación del ángulo no se desvía más que 12º respecto al
ángulo fijo. Fuera de este rango ellos recomiendan el uso del modelo del
ángulo fijo en 1996, que considera que las fisuras a cortante son paralelas
a la dirección principal de tensiones de compresión definidas según las
cargas aplicadas. El modelo del campo de tensiones perturbado
desarrollado por Vecchio entre 2000 y 2001 como una extensión de la
MCFT, incluye explícitamente en las relaciones de compatibilidad un
deslizamiento rígido a lo largo de la superficie de fisura. Esto permite una
divergencia entre los ángulos de inclinación de las tensiones medias
principales y las deformaciones aparentes medias en el concreto
(Herreros, 2004).
3.2 MÉTODO DE DISEÑO A CORTANTE USADO EN EL REGLAMENTO NSR-10
El siguiente diagrama de flujo tiene por objeto situar al lector con relación
al procedimiento que la normativa actual (NSR-10) dispone para el
cálculo de la resistencia a cortante en vigas de concreto reforzado:
Figura 3.3 Planteamiento general de la resistencia a cortante en vigas de concreto
reforzado según el reglamento NSR-10
3.2.1 DESCRIPCIÓN CONCEPTUAL DEL MÉTODO
El cortante en elementos de concreto reforzado se manifiesta como una
tensión diagonal generada por la combinación de los esfuerzos cortantes
y de los esfuerzos flexionantes presentes en el alma del elemento. Debido
a la presencia de la tensión diagonal, se generan fisuras inclinadas en los
elementos de concreto y para evitar estas fisuras se debe disponer de un
refuerzo transversal que estará bajo los efectos de la tracción y no a
cortante como se podría pensar (Wight y MacGregor, 2012).
En principio, para el diseño de la viga reforzada se procede con la
determinación de la geometría de la sección transversal y la cantidad de
refuerzo longitudinal con el propósito de garantizar la resistencia a flexión
adecuada y asegurar que la falla será dúctil, puesto que muestra
grandes deformaciones antes del colapso, se aprovecha más el acero y
brinda un mejor comportamiento frente a eventos sísmicos; estas
características resultan evidentemente ventajosas frente a una falla frágil
como sería la que se generaría por fisuración por cortante. Por lo tanto
Resistencia proporcionada
por el refuerzo para cortante
(“Analogía de la cercha”)
(3.2.3)
Diseño
(3.2.4)
Resistencia proporcionada
por el concreto
(3.2.2)
RESISTENCIA A CORTANTE
Método del Reglamento
NSR-10
(3.2.1)
es importante estar seguros que la resistencia del elemento a cortante
sea algo mayor que la resistencia máxima a flexión que éste podría
desarrollar (Herreros, 2004).
Para el diseño a cortante de vigas de concreto reforzado, en este caso,
se recurre al método presentado en el reglamento NSR-10 (basado en el
ACI-318) que acepta que la falla por cortante se debe a una tracción
que en caso de exceder la resistencia del concreto deberá
proporcionarse un refuerzo transversal para que absorba esta diferencia
(ACI, 1962).
Debido a las diversas variables que están comprometidas en la resistencia
del concreto al cortante, cuantificar el aporte de los distintos mecanismos
de resistencia a cortante resulta imposible de deducir de manera
matemática o analítica; por esto, se recurre al uso de ecuaciones
empíricas o semi-empíricas producto del trabajo realizado alrededor del
año 1950 (ACI, 1962).
El aporte de la resistencia del refuerzo que trabaja a cortante radica en
modelos propuestos a inicios del siglo xx que se basan en la analogía con
una cercha de cuerdas paralelas, con la que se obtienen las expresiones
para el cálculo realizando un procedimiento lógico y racional, que han
sufrido muy poca variación a pesar de los aspectos que se cuestionan al
respecto; quizás porque conllevan a resultados conservadores a pesar de
lo costoso que podría resultar (ACI, 1962).
3.2.2 RESISTENCIA A CORTANTE PROPORCIONADA POR EL CONCRETO
Una viga de concreto reforzado sometida a fuerzas externas resiste las
solicitaciones con la aparición de momentos y cortantes internos
(Herreros, 2004). La suma de los esfuerzos cortantes en una sección
transversal debe equilibrar la fuerza cortante externa en esa sección; de
allí que las intensidades del esfuerzo cortante vertical y horizontal deben
ser las mismas en cada elemento (Park y Paulay, 1980).
Los esfuerzos cortantes horizontales a lo largo de cualquier fibra de una
viga homogénea, isotrópica y no agrietada se pueden deducir a partir
de las consideraciones de equilibrio interno de los esfuerzos a flexión
usando la notación de Figura 3.4 para llegar a la Ecuación 3-5 y a las
trayectorias de los esfuerzos principales que se muestran en la Figura 3.5
(Park y Paulay, 1980).
Figura 3.4 Fuerza cortante, flujo de cortante y esfuerzos cortantes en una viga elástica,
isotrópica y homogénea (modificada de Park y Paulay, 1980)
𝑣 = 𝑉𝑄
𝐼𝑏 Ecuación 3-5
donde: 𝑣 = Esfuerzo cortante horizontal a la distancia 𝑦 desde el eje neutro
𝑉 = Cortante vertical total en la sección que se analiza 𝑄 = Momento estático respecto al eje neutro de la sección externa a la fibra
que se analiza 𝐼 = Momento de inercia del área de la sección transversal con respecto al eje
neutro 𝑏 = Ancho de la sección transversal a una distancia 𝑦 desde el eje neutro
Figura 3.5 Trayectorias de los esfuerzos principales en una viga isotrópica homogénea
(modificada de Park y Paulay, 1980)
Las trayectorias de los esfuerzos de tensión en una viga de concreto
reforzado son como las indicadas en la Figura 3.6.
Figura 3.6 Trayectorias de los esfuerzos de tensión en una viga de concreto reforzado
(modificada de Rochel, 2007)
Cuando los esfuerzos principales de tensión son excesivos, se desarrollan
grietas aproximadamente perpendiculares a estas trayectorias; por lo
que se hace necesario adecuar el resultado de los esfuerzos cortantes
teniendo en cuenta la sección idealizada agrietada, utilizando los
conceptos de la Figura 3.4 y basándose en la Figura 3.7 para obtenerse
la Ecuación 3-6 para el cálculo del esfuerzo cortante nominal (Park y
Paulay, 1980).
Figura 3.7 Esfuerzos cortantes en una sección idealizada agrietada de concreto
reforzado (modificada de Park y Paulay, 1980)
𝑣 = 𝑉
𝑏𝑗𝑑 Ecuación 3-6
donde:
𝑣 = Esfuerzo cortante
𝑉 = Cortante vertical total 𝑏 = Ancho de la sección transversal 𝑗𝑑 = Brazo de momento interno
La Ecuación 3-6 corresponde a la expresión elástica de diseño que se
empleó durante muchos años con la simplificación de tomar para "𝑗" el
valor de 7/8. La variación de las tensiones cortantes unitarias tiene forma
parabólica en la zona de compresión, mientras que en la zona de
tracción se desprecia el aporte del concreto y allí el momento estático
es constante, por lo que la tensión cortante no varía y el diagrama es
rectangular como puede apreciarse en la Figura 3.7. En realidad esta
conclusión es teórica porque el concreto puede soportar un poco de
tensión cortante antes de la fisuración y entonces la variación real de las
tensiones cortantes sería un tanto diferente e irregular (Rochel, 2007); por
lo que, para el planteamiento del criterio de diseño a esfuerzos cortantes
de vigas, sin refuerzo transversal, se empleará el esfuerzo cortante
promedio como una medida de la tensión diagonal, determinada a partir
de la Ecuación 3-7 que se deduce de la Mecánica de Sólidos (Herreros,
2004).
𝑣 = 𝑉
𝑏𝑑 Ecuación 3-7
donde:
𝑣 = Esfuerzo cortante
𝑉 = Cortante vertical total 𝑏 = Ancho de la sección transversal 𝑑 = Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del
refuerzo longitudinal en tracción
Luego de aceptarse la formulación de E. Mörsch acerca de que la falla
por cortante en vigas de concreto reforzado se debe a una tracción, se
especificó para los diseños que el esfuerzo cortante nominal se calcularía
con la Ecuación 3-7 para obtener la magnitud de la tensión diagonal y
se relacionó únicamente con la resistencia a compresión del concreto;
hecho que A. N. Talbot en 1909 demostró no ser correcto y que luego de
la investigación que se produjo a partir de 1950 se confirmaría,
obteniendo resultados como lo mostrado en la Figura 3.8 que indica que
el procedimiento de diseño clásico no se correlaciona bien con los
resultados de las pruebas, generando conciencia de que la cortante y la
tensión diagonal es un asunto complejo en el que existen diversas
variables involucradas (ACI, 1962).
No obstante, la formulación obtenida por E. Mörsch, correspondiente a la
Ecuación 3-6, para la distribución de los esfuerzos de cortante en una viga
de concreto reforzado con fisuras de flexión era una simplificación ya que
no consideraba la fuerza transversal que se podía transmitir mediante la
inclinación de la compresión, ni tampoco la fuerza de dovela introducida
por el refuerzo longitudinal para flexión (Herreros, 2004).
Figura 3.8 Esfuerzo cortante nominal en vigas de concreto reforzado para la formación
de fisuras por tensión diagonal (modificada de: ACI, 1962)
Las vigas sin refuerzo en el alma fallarán cuando se produce la fisuración
inclinada o poco después. Por esta razón, la capacidad a cortante de
tales elementos se toma igual a la cortante por tensión diagonal. La
resistencia a cortante de vigas sin refuerzo en el alma se ve afectada por
diversas variables (Wight y MacGregor, 2012). A continuación se
presentan las principales variables, algunas incluidas en las ecuaciones
de diseño.
1. Resistencia a la tracción del concreto. La falla por cortante se debe
a la tensión diagonal que se presenta cuando los esfuerzos principales
de tensión generados por la combinación de flexión y cortante
agotan la capacidad de resistencia a la tracción del concreto,
produciéndose fisuras como puede verse en la Figura 3.9. En la región
de grandes momentos flexionantes, se producen fisuras de flexión que
son perpendiculares al eje del elemento. En la región de elevada
fuerza cortante se puede generar tensión diagonal, lo que puede
producir fisuras inclinadas (Hernández y Gil, 2007).
Figura 3.9 Inclinación de las fisuras potenciales en una viga simplemente apoyada
(modificada de: Rochel, 2007)
2. Cuantía de refuerzo longitudinal. En la Figura 3.10 se presentan las
capacidades al cortante (unidades psi) de vigas simplemente
apoyadas sin estribos como una función de la cuantía de refuerzo
longitudinal. Dentro del rango práctico de cuantía, entre 0,0075 a
0,025, para el desarrollo de la falla por cortante de las vigas, la
resistencia al cortante del concreto, 𝑉𝑐, es aproximadamente como
se indica para la línea discontinua horizontal en la Figura 3.10, dada
por la Ecuación 3-8. Como puede observarse, en la Figura 3.10, se
tendrá mayor resistencia al cortante a medida que aumente la
cuantía de refuerzo longitudinal. La Ecuación 3-8 tiende a
sobreestimar 𝑉𝑐 para vigas con pequeñas cuantías de refuerzo
longitudinal; lo cual, se debe a que para una cuantía menor de
refuerzo longitudinal, las fisuras de flexión se abren más y se extienden
hasta una altura mayor en el alma de la viga provocando que la
fisuración inclinada aparezca antes de lo usual por una disminución
en la efectividad de algunos mecanismos de resistencia que
conllevan a reducir los valores máximos de resistencia a cortante
(Wight y MacGregor, 2012).
Figura 3.10 Efecto de la cuantía de refuerzo longitudinal, 𝜌, en la capacidad a
cortante, 𝑉𝑐, de vigas construidas con concreto de peso normal y sin estribos
(modificada de: Wight y MacGregor, 2012)
𝑉𝑐 = 2√𝑓𝑐′𝑏𝑤𝑑 (𝑙𝑏) =
√𝑓𝑐′𝑏𝑤𝑑
6 (𝑁) Ecuación 3-8
donde:
𝑉𝑐 = Resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto
𝑓𝑐′ = Resistencia especificada a la compresión del concreto
𝑏𝑤 = Ancho del alma 𝑑 = Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el
centroide del refuerzo longitudinal en tracción
3. Relación a/d. La relación entre el claro de cortante y la profundidad,
𝑎/𝑑 o 𝑀/𝑉𝑑, influye muy significativamente en el tipo de rotura y en el
modo de resistir los esfuerzos cortantes que presenta la viga, como
puede verse en la Figura 2-11. Los elementos con cocientes inferiores
a 2 son los más afectados porque presenta fisuras más profundas
(Wight y MacGregor, 2012).
Figura 3.11 Efecto de la relación 𝑎/𝑑 en la capacidad a cortante de vigas sin estribos
(modificada de Wight y MacGregor, 2012)
4. Concreto de agregado liviano. El concreto de agregado liviano
tiene una resistencia a la tracción más baja que el concreto de
peso normal para una resistencia a la compresión de concreto
dado. Debido a que la resistencia a la cortante de un elemento
de concreto sin refuerzo para cortante está directamente
relacionada con la resistencia a la tracción del concreto, la
Ecuación 3-8 debe ser modificada para elementos construidos con
concreto de agregado liviano. Esto se maneja en el Reglamento
NSR-10 (basado en el ACI-318) a través de la introducción del factor
𝜆, que representa la diferencia para la resistencia a la tracción del
concreto liviano; con lo que se obtiene la Ecuación 3-9 (Wight y
MacGregor, 2012).
𝑉𝑐 = 2𝜆√𝑓𝑐′𝑏𝑤𝑑 (𝑙𝑏) =
𝜆√𝑓𝑐′𝑏𝑤𝑑
6 (𝑁) Ecuación 3-9
donde:
𝑉𝑐 = Resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto
𝜆 = Factor de modificación que tiene en cuenta las propiedades
mecánicas reducidas del concreto de peso liviano, relativa a los
concretos de peso normal de igual resistencia a la compresión
𝑓𝑐′ = Resistencia especificada a la compresión del concreto
𝑏𝑤 = Ancho del alma 𝑑 = Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el
centroide del refuerzo longitudinal en tracción
5. Tamaño de la viga. La fisuración inclinada se producirá antes a
medida que aumenta el canto de la viga. Esto se debe a que, a
medida que aumenta el tamaño de la viga, el ancho de fisura en
los puntos por encima del refuerzo longitudinal para flexión tiende
a aumentar, produciendo una disminución en la trabazón entre los
agregados en la fisura y reduciendo su capacidad de resistir el
esfuerzo cortante. Este efecto del tamaño es bastante apreciable
para elementos sin refuerzo para cortante pero no lo es tanto para
elementos con estribos ya que estos impiden, en parte, la apertura
de las fisuras (Herreros, 2004).
6. Fuerzas axiales. La carga de fisuración inclinada disminuye para
elementos sometidos a fuerzas axiales de tracción, y tiende a
aumentar si los elementos están sometidos a fuerzas axiales de
compresión, como puede observarse en la Figura 3.12 (Wight y
MacGregor, 2012).
Figura 3.12 Efecto de las fuerzas axiales en la carga de cortante de fisuración inclinada
(modificada de: Wight y MacGregor, 2012)
para fuerzas axiales de compresión:
𝑉𝑐 = 2 (1 +𝑁𝑢
2000𝐴𝑔) 𝜆√𝑓𝑐
′𝑏𝑤𝑑 (𝑝𝑠𝑖) Ecuación 3-10
𝑉𝑐 = 0,17 (1 +𝑁𝑢
14𝐴𝑔) 𝜆√𝑓𝑐
′𝑏𝑤𝑑 (𝑀𝑃𝑎) Ecuación 3-11
Para fuerzas axiales de tracción:
𝑉𝑐 = 2 (1 +𝑁𝑢
500𝐴𝑔) 𝜆√𝑓𝑐
′𝑏𝑤𝑑 (𝑝𝑠𝑖) Ecuación 3-12
𝑉𝑐
= 0,17 (1 +0,29𝑁𝑢
𝐴𝑔) 𝜆√𝑓𝑐
′𝑏𝑤𝑑 (𝑀𝑃𝑎) Ecuación 3-13
Donde:
𝑉𝑐 = Resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto
𝑁𝑢 = Carga axial mayorada normal a la sección transversal, que ocurre
simultáneamente con 𝑉𝑢 o 𝑇𝑢; debe tomarse como positiva para
compresión y como negativa para tracción
𝐴𝑔 = Área bruta de la sección de concreto
𝜆 = Factor de modificación que tiene en cuenta las propiedades
mecánicas reducidas del concreto de peso liviano, relativa a los
concretos de peso normal de igual resistencia a la compresión
𝑓𝑐′ = Resistencia especificada a la compresión del concreto
𝑏𝑤 = Ancho del alma 𝑑 = Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el
centroide del refuerzo longitudinal en tracción
7. Tamaño del agregado grueso. A medida que el tamaño (diámetro)
de los agregados gruesos aumenta, la rugosidad de las superficies de
las fisuras aumenta, lo que permite esfuerzos de cortante más altos
para ser transferidos a través de las fisuras. En vigas de concreto de
alta resistencia y algunas vigas de concreto liviano, las fisuras
atraviesan piezas del agregado en lugar de ir a su alrededor, lo que
resulta en una superficie de fisura más suave. Esta disminución en la
fuerza cortante transferida por la trabazón del agregado a lo largo de
las grietas reduce la resistencia nominal al cortante proporcionada
por el concreto, 𝑉𝑐 (Wight y MacGregor, 2012).
La investigación efectuada desde 1950 luego de la conformación de la
Comisión mixta 326 del Instituto Americano del Concreto, como resultado
de un estudio sistemático de la multitud y variedad de ensayos a cortante
en vigas sin refuerzo en el alma, condujo al desarrollo de estudios en los
que se evidenciaban las variables que afectan la resistencia a cortante
y se analizaba la importancia relativa entre los mecanismos de resistencia
a cortante en vigas de concreto reforzado, sin refuerzo en el alma,
sometidas a esfuerzos cortantes (Herreros, 2004).
Figura 3.13 Fuerzas de transferencia de cortante en una viga sin refuerzo en el alma
(modificada de: Park y Paulay, 1980)
Para entender la manera en la que actúan estos mecanismos de
resistencia a cortante en las vigas de concreto reforzado, sin refuerzo en
el alma (estribos), se recurre al estudio del equilibrio en el claro de
cortante de una viga (distancia entre el apoyo y el punto de aplicación
de la carga, indicada como 𝑎); para lo cual se acude a la Figura 3.13,
donde se muestra parte de una viga simplemente apoyada en la que la
fuerza cortante es constante y se consiguen identificar las fuerzas internas
y externas que mantienen el equilibrio del cuerpo libre, limitado en un
extremo por una fisura diagonal (Park y Paulay, 1980).
La fuerza total transversal externa 𝑉 del apoyo está equilibrada por tres
fuerzas, una fuerza cortante a través de la zona de compresión 𝑉𝑐, una
fuerza de dovela transmitida a través de la fisura mediante el refuerzo de
flexión 𝑉𝑑 y las componentes verticales de los esfuerzos cortantes
inclinados 𝑉𝑎 transmitidos a través de la fisura inclinada por medio de la
trabazón de las partículas del agregado (Park y Paulay, 1980).
Agrupando los esfuerzos de cortante transmitidos por la trabazón del
agregado en una sola fuerza 𝐺, se obtiene un polígono de fuerzas que
representa el equilibrio del cuerpo libre (Figura 3.13b) y se puede expresar
en la forma de la Ecuación 3-14 (Park y Paulay, 1980).
𝑉 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑎 + 𝑉𝑑 Ecuación 3-14
donde:
𝑉 = Fuerza total transversal externa 𝑉𝑐 = Fuerza por contribución de la zona de compresión 𝑉𝑎 = Fuerza por trabazón del agregado 𝑉𝑑 = Fuerza por el efecto dovela
A continuación se explican cada uno de estos mecanismos
contribuyentes para la resistencia a cortante:
La fuerza cortante en la zona de compresión es la producida en el
concreto no fisurado. No constituye un mecanismo muy importante
para vigas esbeltas sin refuerzo longitudinal en la zona de compresión
dado que la zona comprimida es relativamente pequeña. Por lo
tanto, luego de que el refuerzo longitudinal para flexión presente una
significativa plastificación en los puntos de momento máximo, gran
parte del cortante es resistido a través de este mecanismo (Herreros,
2004).
La fuerza de dovela (efecto dovela o efecto pasador) introducida por
el refuerzo longitudinal para flexión no será muy importante en
elementos sin refuerzo para cortante, ya que el cortante máximo en
una dovela está limitado por la resistencia a tracción del concreto
que soporta la dovela. No obstante, este efecto puede ser
significativo en elementos con grandes cantidades de refuerzo
longitudinal para flexión, especialmente si éste se distribuye en capas
(Herreros, 2004).
Las componentes verticales de los esfuerzos cortantes inclinados entre
las caras de la fisura están basados en el engranamiento o trabazón
que proporcionan los agregados. Los cuatro parámetros básicos que
controlan la fuerza por trabazón del agregado son los esfuerzos
normal y tangencial en la fisura, el ancho de fisura y el deslizamiento
de la misma. Al producirse deslizamiento, la matriz se deforma
plásticamente en la superficie de contacto con el agregado. Los
esfuerzos en las zonas de contacto son una presión constante 𝜎𝑝, y un
cortante también constante 𝜇𝜎𝑝. La geometría de la superficie de la
fisura se describe de forma estadística en términos del contenido de
agregados de la dosificación, y de la probabilidad de que los
agregados se extiendan más allá de la superficie de la fisura. Para
concretos de alta resistencia este mecanismo tendrá menor
importancia dado que presentará superficies de rotura más lisas
(Herreros, 2004).
El momento de resistencia de la viga ignorando el aporte de la fuerza de
dovela a la resistencia a flexión, por fines de diseño y especialmente
porque no hay refuerzo para cortante, está dado por la Ecuación 3-15
(Park y Paulay, 1980).
𝑀 = 𝑇𝑗𝑑 Ecuación 3-15
Donde:
𝑀 = Momento externo
𝑇 = Fuerza interna de tracción 𝑗𝑑 = Brazo de momento interno
Combinando las relaciones entre el momento externo y el momento
interno de resistencia con la relación entre cortante y la razón de cambio
del momento flexionante a lo largo de una viga, resultan los modos de
resistencia a cortante interna de la Ecuación 3-16 (Park y Paulay, 1980).
𝑉 =𝑑𝑀
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥(𝑇𝑗𝑑) = 𝑗𝑑
𝑑𝑇
𝑑𝑥+ 𝑇
𝑑(𝑗𝑑)
𝑑𝑥 Ecuación 3-16
donde:
𝑉 = Fuerza cortante externa
𝑀 = Momento externo
𝑇 = Fuerza interna de tracción 𝑗𝑑 = Brazo de momento interno
El término 𝑗𝑑(𝑑𝑇/𝑑𝑥) expresa el comportamiento de un elemento
totalmente prismático a flexión en que la fuerza interna de tracción 𝑇 que
actua con un brazo de palanca constante 𝑗𝑑 cambia de punto a punto
a lo largo de la viga, para balancear exactamente la intensidad del
momento externo. El término 𝑑𝑇/𝑑𝑥, la razón de cambio de la fuerza de
tensión interna, se denomina la fuerza de adherencia 𝑞 aplicada al
refuerzo de flexión por longitud unitaria de la viga. Si el brazo de palanca
interno permanece constante (una suposición aceptada normalmente
en la teoría elástica de los miembros prismáticos a flexión) de manera que 𝑑(𝑗𝑑)/𝑑𝑥 = 0, se obtiene la Ecuación 3-17 de “efecto viga” perfecto (Park
y Paulay, 1980).
𝑉 = 𝑗𝑑
𝑑𝑇
𝑑𝑥= 𝑞𝑗𝑑
Ecuación 3-17
donde:
𝑉 = Fuerza cortante externa
𝑇 = Fuerza interna de tracción 𝑗𝑑 = Brazo de momento interno 𝑞 = Fuerza de adherencia
Se creía generalmente que en ausencia de refuerzo para cortante, el
“efecto viga” resistía al cortante por medio del flujo de cortante 𝑞 que
consiste en la fuerza de adherencia por longitud unitaria del miembro;
pero dicho comportamiento es posible si se puede transferir con
eficiencia el flujo de cortante o fuerza de adherencia entre el refuerzo
para flexión y el concreto que lo rodea. Cuando por cualquier razón se
destruye la adherencia ente el acero y el concreto en toda la longitud
del claro de cortante, no puede cambiar la fuerza 𝑇 de tensión, por lo
que 𝑑𝑇/𝑑𝑥 = 0. Bajo tales circunstancias, la única manera de resistir al
cortante externo es mediante compresión interna inclinada, caso externo
que puede denominarse “efecto arco.” Su resistencia a cortante se
expresa mediante el segundo término del miembro derecho de la
Ecuación 3-16, obteniéndose la Ecuación 3-18, donde se sustituye la
tracción interna 𝑇 mediante la fuerza interna de compresión 𝐶, para
indicar que es la componente vertical de una fuerza de compresión, con
pendiente constante, la que equilibra la fuerza cortante externa, como
puede apreciarse en la Figura 3.14 (Park y Paulay, 1980).
𝑉 = 𝑇
𝑑(𝑗𝑑)
𝑑𝑥= 𝐶
𝑑(𝑗𝑑)
𝑑𝑥
Ecuación 3-18
donde:
𝑉 = Fuerza cortante externa
𝑇 = Fuerza interna de tracción 𝐶 = Fuerza interna de compresión 𝑗𝑑 = Brazo de momento interno
Figura 3.14 Efecto arco en una viga (modificada de: Wight y MacGregor, 2012)
Seguidamente, se ampliará la explicación de los principales mecanismos
de resistencia a cortante:
Efecto de arco. Aquellas zonas del elemento donde no es válida la
teoría general de flexión para aplicar las hipótesis de Bernouilli-Navier
o Kirchhoff, se conocen como zonas o regiones de discontinuidad y
se dan por cambios bruscos de la geometría (discontinuidades
geométricas), donde se aplican cargas concentradas y reacciones
(discontinuidades estáticas), o pueden estar constituidas por el
conjunto de la estructura debido a su forma o proporciones
(discontinuidades generalizadas). Para estas regiones, el efecto arco
es uno de los mecanismos de transmisión de cortante más
importantes; mientras que para las regiones restantes la distribución
de deformaciones es lineal y la respuesta será principalmente tipo
viga porque el brazo mecánico (𝑗𝑑) se mantendrá constante (ver la
Figura 3.14) o también podrá ocurrir que lo que se mantenga
constante sea el esfuerzo en el refuerzo longitudinal; lo cual, ocurre
cuando el flujo de cortante no puede ser transmitido por la pérdida
de adherencia del refuerzo longitudinal o cuando el flujo de cortante
está impedido por la presencia de una fisura inclinada que se
extienda desde el apoyo. En este último caso, el cortante será
transmitido por el efecto arco, efecto que se desarrolla generalmente
en los extremos de vigas con una relación 𝑎/𝑑 pequeña (Herreros,
2004).
La resistencia disponible del efecto arco depende principalmente de
que se pueda dar lugar a los esfuerzos de compresión diagonal
resultantes. Para una fuerza de acero y ancho de viga dada, la
intensidad de los esfuerzos de compresión diagonal depende de la
inclinación de la línea de empuje. La relación del claro de cortante
al peralte es una medida de esta inclinación que también puede
expresarse en términos del momento y el cortante como se muestra
en la Ecuación 3-19 (Park y Paulay, 1980).
𝑎
𝑑=
𝑉𝑎
𝑉𝑑=
𝑀
𝑉𝑑
Ecuación 3-19
donde:
𝑎 = Distancia entre el punto de apoyo y el punto de aplicación de la carga
𝑑 = Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del
refuerzo longitudinal en tracción
𝑉 = Fuerza cortante externa
𝑀 = Momento externo
Efecto de viga. Cuando ocurre desplazamiento cortante a lo largo
de una fisura inclinada, cierta cantidad de cortante se transfiere por
el efecto dovela del refuerzo para flexión. En los puntos donde las
barras se apoyan contra el concreto de recubrimiento, la resistencia
a tracción del concreto limita la capacidad de dovela. Una vez que
ocurren fisuras por desgajamiento, se reduce considerablemente la
rigidez, y en consecuencia la efectividad del efecto dovela. Este
desgajamiento también afecta adversamente el funcionamiento de
la adherencia de las barras. A su vez, la resistencia al desgajamiento
del concreto depende del área efectiva del concreto entre las barras
de una capa a través de la cual se debe resistir la tensión. De especial
importancia es la posición relativa de una varilla en el momento en
que se vierte el concreto. Debido a la elevada sedimentación y a la
ganancia de agua bajo las barras en la parte superior de la viga, éstas
requieren desplazamientos cortantes considerablemente mayores
que las barras inferiores de la viga para ofrecer la misma resistencia
de dovela. El efecto dovela es más significativa cuando se utilizan
estribos, debido a que una barra para flexión puede apoyarse con
mayor efectividad contra un estribo que esté doblado
estrechamente contra ella. Las capacidades máximas de los tres
mecanismos del efecto viga (efecto dovela, trabazón del agregado
y la resistencia a flexión del extremo empotrado del voladizo) no
necesariamente se suman cuando la falla es inminente (Park y Paulay,
1980).
Se sabe que estos dos mecanismos resistentes interactúan y que la
importancia relativa de cada uno de ellos depende de la esbeltez de la
viga. El comportamiento de las vigas que fallan por cortante será función
de las contribuciones relativas entre el efecto arco y el efecto viga que
se produzcan, y de la cuantía de refuerzo que tengan (Herreros, 2004).
Inmediatamente después del inicio de la fisuración inclinada, el aporte
resistente de 𝑉𝑎 y 𝑉𝑑 puede alcanzar un valor entre el 40 y el 60% del valor
total del cortante aplicado. A medida que se va abriendo la fisura, la
contribución de 𝑉𝑎 va disminuyendo mientras se incrementa la fracción
de cortante resistida por 𝑉𝑐 y 𝑉𝑑. El efecto dovela 𝑉𝑑 conducirá, a la larga,
a que aparezca una fisura a lo largo del refuerzo longitudinal para flexión
provocada por la presión que éste ejerce. Al producirse esta fisura,
desaparecerá la contribución 𝑉𝑑 y el mecanismo resistente pasará a ser
el que aporta 𝑉𝑐 (Herreros, 2004).
No obstante, lo anterior no es el único mecanismo de falla a cortante
posible a desarrollar para vigas sin refuerzo para cortante. Los momentos
y cortantes necesarios para que se produzca la fisuración inclinada y la
falla dependen principalmente de la relación 𝑎/𝑑. En la Figura 3.11 se
puede observar la influencia de este cociente en la fisuración inclinada y
en los distintos tipos de falla. Se debe destacar que aún no está clara la
importancia relativa que tiene cada uno de estos factores en la
resistencia total del elemento a cortante, y que dicha importancia
relativa será función de la tipología de viga analizada (Herreros, 2004).
Los mecanismos de falla a cortante de vigas simplemente apoyadas (ver
Figura 3.15 y Figura 3.16), con cargas concentradas, sin estribos y con
propiedades de los materiales casi idénticas son según Park y Paulay
(1980) de tres tipos:
Tipo I: Falla del mecanismo de viga en la aplicación de la carga de
agrietamiento diagonal, o poco después de ella cuando 3 < 𝑎/𝑑 < 7.
El mecanismo subsecuente de arco no puede soportar la carga de
agrietamiento.
Tipo II: Falla de compresión por cortante o falla de tensión por flexión
de la zona a compresión por encima de la carga de agrietamiento
diagonal, lo que generalmente es una falla de efecto arco, cuando
2 < 𝑎/𝑑 < 3.
Tipo III: Falla por aplastamiento o desgajamiento del concreto (es
decir, una falla de efecto arco) cuando 𝑎/𝑑 es menor que 2,5.
Figura 3.15 Modos de falla de vigas de gran altura, 𝑎/𝑑 = 0,5 𝑎 2,0 (modificada de:
Wight y MacGregor, 2012)
Figura 3.16 Modos de falla de tramos cortos de cortante, 𝑎/𝑑 = 1,5 𝑎 2,5 (modificada
de: Wight y MacGregor, 2012)
En los tipos de falla a cortante se ve que el mecanismo de falla a cortante,
especialmente el de vigas con 2,5 < 𝑎/𝑑 < 7, depende
considerablemente de la resistencia a tracción del concreto. En
consecuencia, no es de sorprender que haya gran dispersión de los datos
de prueba de miembro aparentemente semejantes. Para vigas sujetas a
carga distribuida uniformemente a lo largo del borde de compresión, se
obtienen resultados ligeramente más favorables. Por otra parte, la
relación 𝑎/𝑑 en las vigas continuas no representa la misma situación que
se encuentra en vigas simplemente soportadas, debido a que las
secciones no coinciden con los soportes en que se aplican las reacciones.
Por este motivo se ha adoptado una ecuación de diseño semiempírica
relativamente simple, con base en los resultados de numerosas pruebas,
Ecuación 3-20 o Ecuación 3-21. Dicha ecuación predice
conservadoramente la resistencia a cortante de las vigas en la mayoría
de los casos. También toma en cuenta los principales factores que
influyen en la resistencia a cortante, tal como la resistencia a tracción del
concreto, medida por el parámetro √𝑓𝑐′, el control de las grietas
expresado por 𝜌𝑤 = 𝐴𝑠/𝑏𝑤𝑑, y la relación del claro de cortante al peralte
𝑀/𝑉𝑑 (Park y Paulay, 1980).
𝑉𝑐
𝑏𝑤𝑑= 1,9𝜆√𝑓𝑐
′ + 2500𝜌𝑤
𝑉𝑢𝑑
𝑀𝑢≤ 3,5𝜆√𝑓𝑐
′ (𝑝𝑠𝑖) Ecuación 3-20
𝑉𝑐
𝑏𝑤𝑑= (0,16𝜆√𝑓𝑐
′ + 17𝜌𝑤
𝑉𝑢𝑑
𝑀𝑢) ≤ 0,29𝜆√𝑓𝑐
′ (𝑀𝑃𝑎) Ecuación 3-21
donde:
𝑉𝑐 = Resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto
𝑏𝑤 = Ancho del alma 𝑑 = Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del
refuerzo longitudinal en tracción 𝜆 = Factor de modificación que tiene en cuenta las propiedades mecánicas
reducidas del concreto de peso liviano, relativa a los concretos de peso
normal de igual resistencia a la compresión
𝑓𝑐′ = Resistencia especificada a la compresión del concreto
𝜌𝑤 = Cuantía del área de refuerzo 𝐴𝑠 evaluada sobre el área 𝑏𝑤𝑑 𝑉𝑢 = Fuerza cortante mayorada en la sección
𝑀𝑢 = Momento mayorado en la sección
Al calcular 𝑉𝑐 por medio de la Ecuación 3-20 o Ecuación 3-21, 𝑉𝑢𝑑/𝑀𝑢 ≤1,0 se limita con ello el valor de 𝑉𝑐 cerca de los puntos de inflexión, pero
esta limitante no debe considerarse cuando se presenta compresión, y
𝑀𝑢 ocurre simultáneamente con 𝑉𝑢 en la sección considerada (NSR-10).
Según Rochel (2007), la Ecuación 3-20 o Ecuación 3-21 ha sido deducida
por I. M. Viest basado en los resultados experimentales obtenidos por J.
Morrow y relaciona el esfuerzo cortante con las variables más importantes
que influyen en él. Los parámetros usados en dicha ecuación se
determinaron experimentalmente en vigas de sección transversal
constante sin refuerzo transversal, con una o dos cargas concentradas
mediante 194 ensayos. Representando en un sistema de coordenadas
rectangulares los resultados de los ensayos se observa que la tendencia
central de estos puede expresarse mediante dos líneas rectas, como se
muestra en la Figura 3.17.
A menudo no se justifica la utilización del segundo término de la Ecuación
3-20 o Ecuación 3-21 y mejor se supone que es igual a 0,01√𝑓𝑐′ (véase el
área sombreada de la Figura 2.11), de manera que puede obtenerse un
diseño igualmente satisfactorio usando la expresión más simple y
ligeramente más conservadora, dada por la Ecuación 3-9 (Park y Paulay,
1980).
Figura 3.17 Comparación de la Ecuación 3-20 y la Ecuación 3-21 con los resultados
experimentales (modificada de: Park y Paulay, 1980)
3.2.3 RESISTENCIA PROPORCIONADA POR EL REFUERZO PARA CORTANTE
Para el cálculo del aporte de la resistencia del refuerzo que trabaja a
cortante se ha recurrido a la analogía con una cercha de cuerdas
paralelas. Según los trabajos publicados independientemente en 1899 y
1902 por el ingeniero suizo W. Ritter y el ingeniero alemán E. Mörsch,
respectivamente (Wight y MacGregor, 2012). En la analogía se considera
que la viga se comporta internamente como una cercha en la que los
elementos de compresión (cordón superior y diagonales) están
constituidos por el concreto presente en la viga, y los elementos a
tracción están constituidos por el refuerzo longitudinal inferior de flexión
actuando como tirante y el refuerzo de cortante transversal actuando
como montante (Hernandez y Gil, 2007).
Esta analogía consiste en cuatro supuestos básicos (ACI, 1962):
1. Los elementos de compresión, correspondientes al cordón superior y
las diagonales, sólo soportan esfuerzos de compresión.
2. Los elementos a tracción, que se constituyen por el refuerzo
longitudinal inferior de flexión, únicamente resisten esfuerzos de
tracción.
3. Todos los esfuerzos de tracción inclinados y verticales son atendidos
por el refuerzo de cortante transversal (estribos y barras dobladas).
4. Una grieta de tensión diagonal se extiende desde el refuerzo
longitudinal inferior de flexión hasta una altura vertical igual a 𝑗𝑑 que
corresponde al brazo efectivo del momento interno.
Figura 3.18 Analogía de la cercha (modificada de: Rochel, 2007)
donde:
𝛼 = Inclinación de los estribos y/o barras dobladas 𝛽 = Inclinación de las fisuras en el concreto 𝑛 = Número de barras transversales que cortan una fisura 𝑠 = Separación horizontal del refuerzo transversal
𝐴𝑣 = Área de la sección del refuerzo que trabaja a cortante
𝑓𝑦𝑡 = Resistencia especificada a la fluencia 𝑓𝑦 del refuerzo transversal
𝑉𝑠 = Fuerza cortante que resiste el refuerzo transversal
𝑗𝑑 = Brazo de momento interno
Del polígono de fuerzas dibujado para un nudo en la Figura 3.18 se
obtiene la Ecuación 3-22, usada para una barra individual o un grupo de
barras paralelas, todas dobladas a la misma distancia del apoyo (Park y
Paulay, 1980).
𝑉𝑠 = 𝐶𝑑 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝑇𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝐴𝑣fyt 𝑠𝑒𝑛 𝛼 Ecuación 3-22
donde:
𝑉𝑠 = Fuerza cortante que resiste el refuerzo transversal
𝐶𝑑 = Resultante de las compresiones de las bielas de concreto 𝛽 = Inclinación de las fisuras en el concreto 𝑇𝑠 = Resultante de las tracciones del refuerzo para cortante 𝛼 = Inclinación de los estribos y/o barras dobladas
𝐴𝑣 = Área de la sección del refuerzo que trabaja a cortante
𝑓𝑦𝑡 = Resistencia especificada a la fluencia 𝑓𝑦 del refuerzo transversal
Para la cercha pueden determinarse sus fuerzas con consideraciones de
equilibrio y obtenerse la ecuación general (Ecuación 3-23) basándose en
la Figura 3.18 (Park y Paulay, 1980).
𝑉𝑠 =𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡 𝑠𝑒𝑛 α (cot 𝛽 +cot α) 𝑑
𝑠 Ecuación 3-23
donde:
𝑉𝑠 = Fuerza cortante que resiste el refuerzo transversal
𝐴𝑣 = Área de la sección del refuerzo que trabaja a cortante
𝑓𝑦𝑡 = Resistencia especificada a la fluencia 𝑓𝑦 del refuerzo transversal
𝛼 = Inclinación de los estribos y/o barras dobladas 𝛽 = Inclinación de las fisuras en el concreto 𝑑 = Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del
refuerzo longitudinal en tracción 𝑠 = Separación horizontal del refuerzo transversal
La Ecuación 3-24 se obtiene de la Ecuación 3-23 suponiéndose que la
pendiente de las diagonales a compresión es de 45° respecto al eje del
elemento; esta suposición es conservadora porque aunque por medio de
los diferentes ensayos se ha observado que la pendiente de las grietas
diagonales es variable a lo largo de la viga. Si se tuviera un valor para 𝛽
menor a 45° se reduciría la cantidad de acero necesaria debido a que
para una grieta plana habría un mayor número de estribos
atravesándola. Por otro lado, la pendiente de las diagonales a
compresión mayor a 45° se da en la cercanía a cargas concentradas
donde el efecto arco mejora la capacidad de los otros mecanismos de
resistencia a cortante (Park y Paulay, 1980).
𝑉𝑠 =𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡 (𝑠𝑒𝑛 𝛼 + cos 𝛼) 𝑑
𝑠 Ecuación 3-24
donde:
𝑉𝑠 = Fuerza cortante que resiste el refuerzo transversal
𝐴𝑣 = Área de la sección del refuerzo que trabaja a cortante
𝑓𝑦𝑡 = Resistencia especificada a la fluencia 𝑓𝑦 del refuerzo transversal
𝛼 = Inclinación de los estribos y/o barras dobladas 𝑑 = Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del
refuerzo longitudinal en tracción 𝑠 = Separación horizontal del refuerzo transversal
Para obtenerse la Ecuación 3-25, se supone también que la pendiente de
las diagonales a compresión es de 45° respecto al eje del elemento y que
aplica para el caso en que el refuerzo para cortante estará perpendicular
al eje del elemento (𝛼 = 90°) (Park y Paulay, 1980).
𝑉𝑠 =𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡𝑑
𝑠 Ecuación 3-25
donde:
𝑉𝑠 = Fuerza cortante que resiste el refuerzo transversal
𝐴𝑣 = Área de la sección del refuerzo que trabaja a cortante
𝑓𝑦𝑡 = Resistencia especificada a la fluencia 𝑓𝑦 del refuerzo transversal
𝑑 = Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del
refuerzo longitudinal en tracción 𝑠 = Separación horizontal del refuerzo transversal
La obtención de estas expresiones para el cálculo del aporte de
resistencia a cortante proporcionada por el refuerzo para cortante es un
procedimiento lógico y racional; sin embargo, existen algunos aspectos
que se cuestionan respecto a los supuestos implicados en la analogía de
la cercha (ACI, 1962):
1. Todas las tracciones inclinadas se consideran resistidas por el refuerzo
de cortante y no se considera la resistencia que tiene el concreto del
alma ante la tensión diagonal.
2. Se supone que las grietas diagonales están inclinadas en un ángulo
de 45 grados; sin embargo, como ya se explicó esta suposición es
algo conservadora aunque la metodología debería permitir que el
ingeniero calculista elija el ángulo a su criterio.
3. El supuesto de que la grieta de tensión diagonal se extiende hasta
una altura vertical igual a 𝑗𝑑, es a conveniencia y no cuenta con el
respaldo de los resultados experimentales. El refuerzo de cortante
transversal actúa únicamente después de que se forman las grietas
por la tensión diagonal. La altura alcanzada por una grieta diagonal,
que regula el número de estribos necesarios para resistir la tensión
diagonal, depende de muchos factores. Por lo tanto, esta suposición
es cuestionable.
4. No se tiene claridad de la manera como se distribuye la fuerza de
cortante entre el refuerzo de cortante, el refuerzo longitudinal de
flexión y la zona de compresión; aunque se sabe que los dos últimos
elementos contribuyen considerablemente porque con pruebas de
laboratorio se ha obtenido que la capacidad a cortante total de una
viga es mayor que lo que se calcula como la contribución del refuerzo
de cortante; pero, esta dificultad se ha superado con el
procedimiento actual que considera el complemento que se da
entre las resistencias del mecanismo de cercha y el mecanismo de
viga.
5. El análisis de la analogía con la cercha se basa en la suma de fuerzas
verticales. Los efectos del refuerzo para cortante para la capacidad
a flexión o la afectación a momento generada por el mismo refuerzo
para cortante, se ignoran.
Ampliando el cuarto aspecto, según Park y Paulay (1980) la presencia de
refuerzo para cortante tal como estribos aporta a los mecanismos
principales de la resistencia a cortante, mencionados en el numeral 3.2.2,
una fuerza de adherencia conocida como “efecto cercha” y les mejora
aspectos tales como:
1. Por el hecho de poder sostener el refuerzo longitudinal a pesar de la
aparición de grietas, el refuerzo para cortante contribuye al
mecanismo del efecto dovela.
2. Al generar, producto de la configuración, una especie de triangulo
de fuerzas (cercha), cambia el comportamiento de tensión por flexión
que se tenía en el bloque de voladizo por una compresión diagonal
que efectivamente es más favorable para un elemento de concreto.
3. Las aberturas de las grietas que se generan entre los bloques de
voladizo resultan limitadas por el refuerzo para cortante que dificulta
la separación entre dichos bloques y conserva la transferencia de
cortante que se da mediante el mecanismo ocasionado por la
trabazón del agregado.
4. El confinamiento que puede generarse en el concreto con el refuerzo
para cortante en forma de estribos, mejora la capacidad a
compresión muy conveniente en zonas afectadas por el efecto arco.
5. Impide la ruptura de la adherencia cuando se desarrollan grietas de
desgajamiento en las zonas de anclaje debido a las fuerzas de dovela
y anclaje.
Otros aspectos importantes para considerar respecto al refuerzo de
cortante son:
Las ecuaciones obtenidas con la analogía de la cercha consideran que
todos los estribos que atraviesan una fisura inclinada se plastifican al
momento de la falla; pero para que esto pueda darse deben estar
correctamente anclados y como la distancia de anclaje disponible entre
la fisura en el extremo del elemento puede ser muy pequeña, se
recomienda usar barras de diámetro pequeño (Herreros, 2004). Para que
los estribos puedan desarrollar su resistencia a cedencia en toda su
longitud es importante que se doblen alrededor de fuertes barras
longitudinales y que se extiendan una adecuada longitud de desarrollo
(Park y Paulay, 1980).
El refuerzo transversal cumplirá con su función de resistir el esfuerzo
cortante si es atravesado por la fisuración diagonal y por ese motivo se
deberá limitar la separación máxima del refuerzo para cortante a una
distancia menor que la altura útil del elemento, 𝑑 (Herreros, 2004).
Efectivamente, tanto el refuerzo longitudinal como el transversal evitan
que las fisuras se amplíen más de lo necesario para que el mismo refuerzo
empiece a trabajar a tensión axial (Wight y MacGregor, 2012). Pero la
capacidad del modelo de la analogía con la cercha depende de la
posición adoptada para el refuerzo transversal porque aunque lo ideal
sería disponer el refuerzo de manera que siga las trayectorias de los
esfuerzos principales de tracción, es poco práctico por lo complicado
que resultaría seguir esas trayectorias; y si así se colocara, no sería bueno
para vigas que deban soportar cargas que se invierten (como en eventos
sísmicos) debido a que las grietas llegarían a ser paralelas al refuerzo
inclinado, lo que lo dejaría inservible. Además, usando estribos inclinados
no se cumpliría con la compatibilidad de las deformaciones puesto que
el acero se deformaría más que el concreto, generándose fisuras y
ocasionando redistribución de esfuerzos (Rochel, 2007).
El estribo en las esquinas debe asegurarse ajustadamente a una barra
longitudinal, de refuerzo para flexión, de tal manera que se dé el efecto
cercha con la transferencia de carga que le hace el estribo al pasador
en la unión con el refuerzo longitudinal y evitar que la concentración de
esfuerzos en este lugar produzca el aplastamiento local del concreto
(Park y Paulay, 1980.
Según Park y Paulay (1980), en caso de tener un elemento sometido a
compresiones altas que cuenta con un alma estrecha o un elemento con
demasiado refuerzo transversal para cortante, la falla no sería
seguramente por tensión sino por compresión o sea aplastamiento en el
alma. Y evaluar la resistencia a compresión del alma en las vigas es
complicado porque deben tenerse en cuenta factores adicionales
como:
1. Los puntales diagonales o bielas de compresión también presentan
momentos flexionantes.
2. Los estribos que cruzan los puntales, les transmiten esfuerzos por la
adherencia.
3. Las fuerzas de compresión en los nodos según la analogía con la
cercha, no se distribuyen uniformemente en el alma con lo que se
pueden generar excentricidades y esfuerzos transversales de tensión.
4. Algunas diagonales a compresión pueden estar inclinadas con un
ángulo mucho menor de 45° con respecto al eje del elemento; lo
cual, produce un aumento en los esfuerzos de compresión diagonal.
Lo anterior indica que los esfuerzos diagonales, para prevenir falla
por aplastamiento, deben limitarse bastante respecto a la
resistencia por aplastamiento del concreto. Por este motivo el
reglamento NSR-10 limita la contribución del mecanismo de la
cercha a resistencia a cortante a un valor muy conservador:
0.25√𝑓𝑐′ cuando el refuerzo para cortante consiste en una barra
individual o un solo grupo de barras paralelas, todas dobladas a la
misma distancia del apoyo; y 0.66√𝑓𝑐′ para los demás tipos de
refuerzo para cortante.
3.2.4 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DEL ELEMENTO A CORTANTE
Debe tenerse presente que el diseño de la viga se hace separando la
flexión y la cortante; con la flexión se dan los requisitos necesarios de
sección transversal y se refuerza menos que a cortante para que la falla
sea por flexión y no por cortante puesto que esta última es repentina y
frágil (Park y Paulay, 1980).
El diseño de secciones transversales sometidas a cortante debe estar
basado en la Ecuación 3-26 (NSR-10).
𝜙𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑢 Ecuación 3-26
donde:
𝜙 = Factor de reducción de resistencia 𝑉𝑛 = Resistencia nominal al cortante 𝑉𝑢 = Fuerza cortante mayorada en la sección considerada
La metodología actual para el diseño a cortante de vigas reforzadas es
consciente de lo complejo que resulta el problema porque aunque se
acepta el trabajo simultáneo, para soportar los esfuerzos cortantes, entre
el concreto y el refuerzo para cortante como se aprecia en la Ecuación
3-27, el aporte de cada uno de ellos se calcula por separado
(Rochel, 2007).
𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 Ecuación 3-27
donde:
𝑉𝑛 = Resistencia nominal al cortante 𝑉𝑐 = Resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto 𝑉𝑠 = Resistencia nominal al cortante proporcionada por el refuerzo de cortante
En un elemento sin refuerzo para cortante, se supone que el cortante lo
resiste el alma de concreto. En un elemento con refuerzo para cortante
se supone que una parte del cortante la proporciona el concreto y el
resto el refuerzo para cortante (NSR-10).
La resistencia al cortante proporcionada por el concreto 𝑉𝑐, se supone
que es la misma para vigas con y sin refuerzo para cortante, y se toma
como el cortante que produce un agrietamiento significativo inclinado;
teniéndose por tanto diversas ecuaciones que se mostraron en el numeral
3.2.2 aplicables a diferentes casos, como: cuando los elementos están
sometidos únicamente a cortante y flexión; cuando los elementos están
sometidos a compresión axial; o cuando los elementos están sometidos a
tracción axial (NSR-10).
Una vez determinada la resistencia nominal al cortante proporcionada
por el concreto 𝑉𝑐, se procede a determinar la resistencia nominal
requerida para ser proporcionada por el refuerzo que trabaja a cortante
𝑉𝑠 de tal manera que esta última sea el complemento necesario para
satisfacer las solicitaciones, como se expresa en la Ecuación 3-28 (NSR-
10).
𝜙𝑉𝑠 ≥ 𝑉𝑢 − 𝜙𝑉𝑐 Ecuación 3-28
donde:
𝜙 = Factor de reducción de resistencia 𝑉𝑠 = Resistencia nominal al cortante proporcionada por el refuerzo de cortante 𝑉𝑢 = Fuerza cortante mayorada en la sección considerada 𝑉𝑐 = Resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto
Para el cálculo de la resistencia nominal al cortante porporcionada por
el refuerzo de cortante se recurre a diversas ecuaciones que se
proporcionaron en el numeral 3.2.3 aplicables a diversos casos, como:
donde se utilice refuerzo para cortante perpendicular al eje del
elemento; donde se utilicen estribos inclinados como refuerzo para
cortante; o donde el refuerzo para cortante consiste en una barra
individual o en un solo grupo de barras paralelas, todas dobladas a la
misma distancia del apoyo (NSR-10).
Debe colocarse un área mínima de refuerzo para cortante cuando 𝑉𝑢 >0,5𝜙𝑉𝑐; esto debido a que una viga sin refuerzo para cortante es muy
vulnerable a las sobrecargas accidentales que pueden generar fallas
violentas e imprevistas, y con esta exigencia se podrá controlar la
propagación de las fisuras diagonales e incrementar con ello la
ductilidad de la estructura, previéndose una falla frágil (Rochel, 2007).
Para el refuerzo para cortante también existe un límite máximo debido a
que cuando una viga de concreto reforzado debe resistir una fuerza
cortante muy alta se presenta una tensión diagonal de compresión muy
elevada en la parte superior de la fisura y puede ocasionarse una falla
del concreto por aplastamiento. Por lo tanto, para prevenir esta falla se
limita la tracción cortante que puede absorberse con estribos y en caso
de no cumplirse con este límite, necesariamente deben incrementarse las
dimensiones del elemento (Rochel, 2007).
Y finalmente se debe cumplir con unos límites para el espaciamiento del
refuerzo para cortante; lo cual se da para asegurar que una fisura
intercepte al menos un estribo (Rochel, 2007).
3.3 MÉTODO DE LA TEORÍA MODIFICADA DEL CAMPO DE COMPRESIONES
(MODIFIED COMPRESSION FIELD THEORY - MCFT)
La Teoría modificada del campo de compresiones (MCFT) presentado
por Vecchio y Collins (1986) está siendo acogido como metodología de
diseño a cortante por distintas normativas del mundo ya que es una
herramienta con una interpretación física más analítica si lo comparamos
con la metodología clásica presentada en el Reglamento NSR-10.
El método del campo modificado de compresiones trabaja con esfuerzos
promedios y tiene en cuenta la capacidad de las fisuras diagonales para
transmitir a través de ellas esfuerzos cortantes. Esta resistencia a esfuerzos
cortantes de la sección se da en función del refuerzo longitudinal y
transversal que posee la sección.
A continuación se presenta un diagrama de flujo en donde se muestra el
procedimiento que se debe seguir para un adecuado diseño por el
método del MCFT.
Figura 3.19 Diagrama de flujo para diseñar por MCFT
Determinar β de la fig.
1.8 (Vecchio and Collins)
Determinar θ de la
fig.1.8 (Vecchio and
Collins)
Determinar dv y bw, y la relación de esfuerzo
cortante y f´c:
Suponer una deformación inicial longitudinal
La resistencia nominal a cortante está dada
por:
donde:
𝑉𝑛 = Resistencia nominal al cortante de la sección de concreto fisurado
𝑓´𝑐 = Resistencia a la compresión del concreto
𝜀𝑥 = Deformación longitudinal de la sección fisurada
𝜃 = Ángulo de inclinación de las fisuras del concreto
𝑉𝑐 = Resistencia a esfuerzos cortantes proporcionada por el concreto
𝑉𝑠 = Resistencia a esfuerzos cortantes proporcionada por el acero de refuerzo
𝑉𝑢 = Cortante última que siente la sección por fuerzas externas y peso propio
𝛽 = Factor que indica la capacidad del concreto de transmitir cortante a través
de las fisuras diagonales
3.3.1 CAMPOS DE COMPRESIONES
Un elemento de concreto reforzado debe de soportar una combinación
de esfuerzos generados por momentos, cortantes y torsiones que hacen
que se generen fisuras cuyas trayectorias y anchos son complejos de
predecir; esto es debido a que las fisuras dependen tanto de la magnitud
de dichos esfuerzos como de la geometría y calidad de los materiales del
elemento de concreto.
Según los modelos de cercha de Ritter (1899) and Mörsch (1920,1922) de
los cuales se derivan los métodos actuales de diseño, la contribución que
tiene el concreto dentro de la capacidad de un elemento de concreto
reforzado totalmente fisurado es nula o despreciable, una expresión
conservadora para representar matemáticamente el esfuerzo cortante
máximo que resiste una sección está dada por:
𝜈 =
𝐴𝑣𝑓𝑦
𝑏𝑤𝑠= 𝜌𝑣𝑓𝑦 Ecuación 3-29
donde:
𝐴𝑣 = Área de refuerzo de cortante a una distancia s (mm2)
𝑏𝑤 = Ancho del alma de la viga (mm2)
𝑆 = Separación del refuerzo de cortante o torsión paralelo al refuerzo
longitudinal (mm)
𝑓𝑦 = Esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo (MPa)
𝜌𝑣 = Área de refuerzo de corte a una distancia s (mm2)
𝑣 = Resistencia de la sección a esfuerzos cortantes (MPa)
La expresión anterior se considera conservadora ya que se supone que
las fisuras que se forman debido a los esfuerzos de compresión diagonal
se generan a 45 grados con respecto al eje longitudinal, sin embrago, los
ángulos son típicamente menores y una expresión más general estaría
dada por:
𝜈 = 𝜌𝑣𝑓𝑦cot (𝜃) Ecuación 3-30
donde 𝜃 es el ángulo de inclinación de la fisura generada en el concreto.
3.3.2 TEORÍA DEL CAMPO DE COMPRESIONES (COMPRESSION FIELD
THEORY)
Collins y Mitchell (1974) y Collins (1978) basados en el trabajo de Wagner
(1929), quien estudió el cortante en la superficie de aeronaves,
desarrollaron un método para hallar el ángulo en el cual se formaban las
fisuras mencionadas en la sección anterior (ángulo) en miembros
sometidos a torsión y a cortante. El método desarrollado es conocido hoy
en día como COMPRESSION FIELD THEORY (CFT) o Teoría del campo de
compresiones.
Los esfuerzos cortantes producen tracciones tanto en el refuerzo
longitudinal (𝑓𝑠𝑥) como en el transversal (𝑓𝑠𝑦) y un esfuerzo de
compresión 𝑓2 en las fisuras inclinadas que se forman en el concreto,
muestra las relaciones del método de la teoría del campo de
compresiones:
Figura 3.20 Teoría del campo de compresiones (Compresión Field Theory). (Modificada
de: ACI-ASCE Comité 445, 1999)
Teniendo en cuenta el diagrama de cuerpo libre y el circulo de esfuerzos
de las Figura 3.20 (a) y Figura 3.20 (b) respectivamente, se observa que para
que exista un equilibrio se debe cumplir que las tracciones inducidas por
el esfuerzo cortante 𝑣 en el refuerzo longitudinal 𝑓𝑠𝑥 deben de equilibrarse
con una fuerza de compresión 𝑓𝑐𝑥, similarmente las fuerzas en el refuerzo
transversal 𝑓𝑠𝑦 se deben de equilibrar con una fuerza de compresión 𝑓𝑐𝑦,
las cuales se pueden relacionar geométricamente con el esfuerzo
cortante de la siguiente manera:
𝜌𝑣𝑓𝑠𝑦 = 𝑓𝑐𝑦 = 𝑣 𝑡𝑎𝑛𝜃 Ecuación 3-31
𝜌𝑥𝑓𝑠𝑥 = 𝑓𝑐𝑥 = 𝑣 𝑐𝑜𝑡𝜃 Ecuación 3-32
En donde 𝜌𝑣 y 𝜌𝑥 son respectivamente las cuantías de refuerzo transversal
y longitudinal.
Teniendo en cuenta lo anterior y la Figura 3.20 (b), podemos deducir que
el esfuerzo a compresión inducido a la sección de concreto, el cual está
inclinado un ángulo 𝜃 con respecto a la horizontal (o el refuerzo
longitudinal) está dado por la superposición de las dos ecuaciones
anteriores, lo que se traduce en un esfuerzo igual a:
𝑓2 = 𝑣 (𝑡𝑎𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝜃) Ecuación 3-33
Según Wagner (1.929) la dirección del esfuerzo de compresión principal
que puede ser derivada del círculo de Mohr de deformaciones Figura 3.20
(d) la cual se repite a continuación:
Figura 3.21 Teoría del campo de compresiones (Compresión Field Theory). (Modificada
de: ACI-ASCE Comité 445, 1999 - Repetición)
y está dada por:
La anterior ecuación es utilizada para calcular el ángulo de la fisura 𝜃, sin
embargo, hay que tener en cuenta que se necesitan conocer las
relaciones de esfuerzo-deformación del concreto y del refuerzo,
adicionalmente la ecuación anterior es válida bajo la suposición de que
las deformaciones y los esfuerzos en el refuerzo están relacionados por
una relación lineal como se presenta en las Figura 3.20 (e) y Figura 3.20 (f).
Posterior a una serie de ensayos en diferentes vigas, Collins (1978) postuló
que a medida que la deformación del círculo de Mohr se hace más
𝑡𝑎𝑛2𝜃 =
𝜀𝑥 + 𝜀2
𝜀𝑦 + 𝜀2 Ecuación 3-34
grande, el esfuerzo de compresión requerido para fallar el concreto
𝑓2𝑚𝑎𝑥 se hace más pequeño como se ven en la Figura 3.20 (h). Las
relaciones propuestas fueron:
𝑓2𝑚𝑎𝑥 =3,60𝑓´𝑐
1 + 2(𝛾𝑚/𝜀´𝑐) Ecuación 3-35
donde:
𝛾𝑚 = Diámetro del circulo de deformaciones (ε1 + ε2)
𝜀′𝑐 = Deformación que alcanza el concreto en la prueba de cilindro cuando este
ya tiene su resistencia máxima f´c
Para valores de f2 menores que 𝑓2𝑚𝑎𝑥 se tiene que:
𝜀2 =
𝑓2
𝑓´𝑐𝜀´𝑐 Ecuación 3-36
Como es de esperarse, si las deformaciones 𝜀1 y 𝜀2 aumentan, también
lo hace el ancho de la fisura en el concreto; debido a que la resistencia
a compresión diagonal es inversamente proporcional al diámetro del
círculo de esfuerzos como se puede apreciar en la Ecuación 3-35 se
puede observar que la capacidad del concreto para transmitir esfuerzo
cortante a través de las fisuras depende del ancho de estas, las cuales, a
su vez, está relacionadas con el esfuerzo a tracción del concreto.
Del círculo de deformaciones presentado la Figura 3.20 (d) se puede
deducir (por medio de relaciones de triángulos y propiedades
trigonométricas) que la deformación principal de tracción 𝜀1 se puede
expresar en términos de las deformaciones 𝜀𝑥, 𝜀2 y 𝜃 como se presenta en
la Figura 3.22 y la Ecuación 3-37 :
Figura 3.22 Teoría del campo de compresiones (Compresión Field Theory). (Modificada
de: ACI-ASCE Comité 445, 1999 - Repetición)
𝜀1 = 𝜀𝑥 + (𝜀𝑥+𝜀2)𝑐𝑜𝑡2𝜃 Ecuación 3-37
Una expresión para el ángulo puede ser derivada por la reordenación
de las ecuaciones anteriores para obtener para obtener la siguiente
expresión:
𝑡𝑎𝑛4𝜃 = (1 +
1
𝑛𝜌𝑥) / (1 +
1
𝑛𝜌𝑣) Ecuación 3-38
La anterior expresión es para esfuerzos cortantes menores a los de la
fluencia del acero en donde 𝑛 es la relación modular definida como
𝐸𝑠/𝐸𝑐; y 𝐸𝑐 es tomado como 𝑓´𝑐/𝜀´𝑐.
3.3.3 RELACIONES ESFUERZO-DEFORMACIÓN PARA CONCRETO
FISURADO DIAGONALMENTE
Vecchio y Collins (1986) propusieron que la máxima tensión de
compresión 𝑓2𝑚𝑎𝑥 que el concreto puede resistir en función de la
deformación principal ε1 es:
𝑓2𝑚𝑎𝑥 =
𝑓´𝑐
0,80 + 170𝜀1≤ 𝑓´𝑐 Ecuación 3-39
Belarbi y Hsu (1995) sugirieron la siguiente expresión:
𝑓2𝑚𝑎𝑥 =0,90𝑓´𝑐
√1 + 400𝜀1
Ecuación 3-40
El enfoque de campo de compresión requiere el cálculo de la
deformación de compresión en el concreto 𝜀2 asociado con el esfuerzo
de compresión 𝑓2 (Ecuación 3-34). Para este propósito, Vecchio y Collins
(1986) sugirieron la siguiente relación de esfuerzo-deformación:
𝑓2 = 𝑓2𝑚𝑎𝑥 [2 (
𝜀2
𝜀´𝑐) − (
𝜀2
𝜀´𝑐)
2
] Ecuación 3-41
En donde 𝑓2𝑚𝑎𝑥 está dado por la Ecuación 3-40 mencionada
anteriormente.
A continuación se muestra una comparación entre varios métodos para
hallar el esfuerzo de compresión máximo 𝑓2 y una serie de resultados
experimentales que se realizaron. En la Figura 3.23 se puede observar que
de las curvas que se muestran la que mejor se adapta a la dispersión de
datos experimentales es la de Veccio y collins (1986), (Ecuación 3-40).
Figura 3.23 Esfuerzo máximo de compresión en función de la deformación principal ε1
(modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999)
En la Figura 3.24 se muestra las relaciones de esfuerzo-deformación a
compresión para el concreto fisurado diagonalmente:
Figura 3.24 Relaciones de esfuerzo-deformación de compresión para concreto fisurado
diagonalmente: (a) 𝜀1 y 𝜀2 incrementan proporcionalmente; (b) aumentando primero
𝜀1 y posteriormente 𝜀2 (modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999)
Se puede decir que antes de la fluencia del refuerzo, la deformación
principal a compresión 2 y la deformación principal a tracción 1 se
incrementan proporcionalmente a medida que hay un incremento de
fuerzas cortantes, por lo tanto la relación 1/2 permanece
aproximadamente constante.
Una de las falencias que se encontró en este método fue que el CFT
asume que después de la fisuración no habrá esfuerzos de tracción en el
concreto; esto como se verá en la MCFT no es cierto.
Las investigaciones de Vecchio y Collins (1986) y de Belarbi y Hsu (1994)
concuerdan en que después de la fisuración el esfuerzo promedio
principal de tracción en el concreto disminuye a medida que las
deformaciones principales a tracción (1) aumentan, sin embargo, este
aporte no es nulo como se asume en la metodología de CFT.
Collins y Mitchell (1991) sugieren que una relación adecuada es la que se
presenta a continuación:
𝑓1 =0,33√𝑓´𝑐
1 + √500𝜀1
Ecuación 3-42
Mientras Belarbi y Hsu (1994) sugieren:
𝑓1 =0,31√𝑓´𝑐
(12.500𝜀1)0,4 Ecuación 3-43
Las tracciones tomadas por el concreto, incluso cuando existe fisuración
tienen un efecto favorable en la capacidad del concreto reforzado para
resistir esfuerzos cortantes; estos efectos son considerados en la teoría del
MCFT desarrollada por Vecchio y Collins en 1986, a continuación se
realiza una descripción del método del MCFT.
3.3.4 MODIFIED COMPRESSION FIELD THEORY (MCFT)
Desarrollada por Vecchio y Collins en 1986 la MCFT es una versión
modificada de la teoría de campos de compresión (CFT), que como se
mencionaba anteriormente tiene en cuenta la influencia de la resistencia
del concreto fisurado en la capacidad a cortante de una sección.
Análogamente a la teoría del campo de compresiones (CFT), la Teoría
Modificada de los Campos de Compresión (MCFT), se deduce del análisis
de las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad de deformaciones y las
relaciones de esfuerzo-deformación tanto del acero como del concreto,
tal como se muestra en la Figura 3.20; la diferencia radica en que en este
método se tiene en cuenta el aporte del concreto fisurado a resistir fuerza
cortante debido a una resistencia a esfuerzos de tracción "𝑓1”. Estas
mencionadas anteriormente se pueden derivar de las Figura 3.25 (a) y (b)
que se presentan a continuación:
Figura 3.25 Relaciones del MCFT (Compresión Field Theory). (Modificada de: ACI-ASCE
Comité 445, 1999)
𝜌𝑣𝑓𝑠𝑦 = 𝑓𝑐𝑦 = 𝑣 𝑡𝑎𝑛𝜃 − 𝑓1 Ecuación 3-44
𝜌𝑥𝑓𝑠𝑥 = 𝑓𝑐𝑥 = 𝑣 𝑐𝑜𝑡𝜃 − 𝑓1 Ecuación 3-45
𝑓2 = 𝑣(𝑡𝑎𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝜃) − 𝑓1 Ecuación 3-46
Según Vecchio y Collins (1986) el patrón de las grietas se puede idealizar
como una serie de grietas paralelas, en donde estas se generan en un
ángulo con respecto al refuerzo longitudinal y con un espaciamiento
s. De las Figura 3.25 (c) y (d), se puede deducir que el esfuerzo en el
refuerzo en una grieta se puede determinar como:
𝜌𝑣𝑓𝑠𝑦𝑒𝑟 = 𝑣 𝑡𝑎𝑛𝜃 − 𝑣𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝜃 Ecuación 3-47
𝜌𝑥𝑓𝑠𝑥𝑒𝑟 = 𝑣 𝑐𝑜𝑡𝜃 − 𝑣𝑐𝑖𝑐𝑜𝑡𝜃 Ecuación 3-48
Se debe tomar el valor máximo posible de VCI (Bhide y Collins 1989), este
valor está relacionado con el ancho de la grieta (𝑤) y el tamaño total
máximo del agregado (representado como 𝑎) dicha relación se ilustra en
la Figura 3.25 (f) y está dada por:
𝑣𝑐𝑖 ≤ (0,18√𝑓´𝑐)/ (0,30 +24𝑤
𝑎 + 16) Ecuación 3-49
El ancho de fisura 𝑤 se toma como el espaciamiento de la grieta
multiplicado por la deformación principal a tracción 1.
Igualando los lados derechos de las Ecuación 3-44 y Ecuación 3-47 y
sustituyendo Vci de la Ecuación 3-49 se tiene que:
𝑓1 ≤ (0,18√𝑓´𝑐𝑡𝑎𝑛𝜃)/ (0,30 +24𝑤
𝑎 + 16) Ecuación 3-50
A continuación se presenta una tabla que representa la influencia del
espaciamiento de la fisura en la capacidad para resistir esfuerzos
cortantes:
Figura 3.26 Influencia del espaciamiento de las fisuras en la predicción de la resistencia
a cortante (modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999).
3.3.5 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO BASADO EN MODIFIED COMPRESSION
FIELD THEORY
Basados en las relaciones del MCFT (Figura 3.25) y en las Ecuación 3-44 a
Ecuación 3-46 se pueden obtener expresiones para calcular la resistencia
a cortante de un elemento, si se supone que el esfuerzo cortante en el
alma es igual a la fuerza de cortante dividida por el área efectiva de
cortante (𝑏𝑤𝑑𝑣), y que, al momento de la falla los estribos entrarán en
fluencia, dicha resistencia a cortante del elemento está dada por:
𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠+𝑉𝑝 Ecuación 3-51
𝑉𝑛 = 𝑓1𝑏𝑤𝑑𝑣𝑐𝑜𝑡𝜃 +𝐴𝑣𝑓𝑦
𝑠𝑑𝑣𝑐𝑜𝑡𝜃+𝑉𝑝 Ecuación 3-52
𝑉𝑛 = 𝛽√𝑓´𝑐𝑏𝑤𝑑𝑣 +𝐴𝑣𝑓𝑦
𝑠𝑑𝑣𝑐𝑜𝑡𝜃 + 𝑉𝑝 Ecuación 3-53
donde:
𝑉𝑐 = Resistencia al cortante que aporta el concreto por esfuerzos de tracción en
el concreto fisurado.
𝑉𝑠 = Resistencia al cortante que aporta el acero transversal (estribos).
𝑉𝑝 = Componente vertical de la fuerzas de presforzado.
𝑏𝑤 = Esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo (MPa).
𝑑𝑣 = Profundidad efectiva de cortante tomada como la distancia media al
centroide del refuerzo pero no menor a 0.9d.
𝛽 = Factor que indica la capacidad del concreto fisurado diagonalmente a
resistir esfuerzos de cortante
El esfuerzo a cortante que el alma de una viga puede resistir es una
función de la deformación longitudinal del elemento, se hace evidente
con lo visto anteriormente que cuanto más grande es esta deformación
longitudinal mayor se hace el tamaño de la grieta y por lo tanto el
esfuerzo de corte necesario para fallar la sección será menor. Para los
cálculos de diseño, 𝜀𝑥 se puede aproximar como la deformación en la
cuerda de tensión de la cercha equivalente. Por lo tanto:
𝜀𝑥 = (
𝑀𝑢𝑑𝑣
⁄ ) + 0.5𝑁𝑢 + 0.5𝑉𝑢𝐶𝑜𝑡𝜃 − 𝐴𝑝𝑠𝑓𝑝𝑜
𝐸𝑠𝐴𝑠 + 𝐸𝑝𝐴𝑝𝑠 Ecuación 3-54
Pero no mayor a 0.002.
donde:
𝑓𝑝𝑜 = Esfuerzo en el cable cuando el concreto circundante no tiene esfuerzos,
este puede ser tomado como 1.1 veces el esfuerzo efectivo en el acero
preesforzado después de todas las pérdidas.
𝐴𝑠 = Área de refuerzo convencional colocado en la zona a tracción
𝐴𝑝𝑠 = Área del refuerzo longitudinal tensado colocado en la zona a tracción
𝑀𝑢 = Momento último que siente la sección tomado como positivo
𝑁𝑢 = Fuerza axial en la sección tomada como positiva en tracción y negativa en
compresión
Si 𝜀𝑥 y el espaciamiento de fisuras s son conocidos, la capacidad de
resistir corte correspondiente a una cantidad dada de estribos se puede
calcular, ver Figura 3.26. Esto es equivalente a encontrar y reemplazar los
valores de y en la Ecuación 3-53.
Para determinar los valores de and se utiliza la teoría del campo de
compresión modificado (Vecchio y Collins 1986), esto es correcto utilizarlo
en miembros con un refuerzo mínimo en el alma, dichos valores se dan en
la Figura 3.27. En la determinación de estos valores, se supuso que la
cantidad y el espaciamiento de los estribos limitarían la separación de las
fisuras a aproximadamente 300 mm. Los valores de se dan en la Figura
3.27 asegurándose de que la deformación por tracción en los estribos, v,
es por lo menos igual a 0.002 y que el esfuerzo de compresión, 𝑓2, en el
concreto no supere la resistencia al aplastamiento 𝑓2𝑚𝑎𝑥. Dentro del rango
de valores de que satisfacen estos requisitos, los valores indicados en la
Figura 3.27, son un resultado de la cantidad más pequeña de refuerzo
cortante total que se requiere para resistir un esfuerzo cortante dado.
El refuerzo mínimo especificado en el ACI-318 y en la AASHTO-LRFD-2014,
para proporcionar ductilidad y utilizar los ábacos del MCFT se da como:
𝐴𝑣𝑓𝑦
𝑏𝑤𝑠≥ 0,083√𝑓´𝑐 Ecuación 3-55
𝐴𝑣 = Área del refuerzo transversal colocado en la sección de concreto (mm2).
𝑓𝑦 = Esfuerzo de fluencia del acero (MPa).
𝑏𝑤 = Ancho de la sección de concreto (mm).
𝑆 = Separación del refuerzo transversal de la sección de concreto (mm).
𝑓´𝑐 = Resistencia a la compresión del concreto (MPa).
Es importante resaltar que en el Reglamento NSR-10 el refuerzo mínimo
dado es menor que en las normas que consideran un diseño por MCFT,
por esta razón la anterior fórmula es basada en los reglamentos que se
mencionan y no en el Reglamento NSR-10.
Figura 3.27 Valores de β y θ para miembros que contienen la cantidad mínima de
estribos (tomada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999)
A continuación se presenta un diagrama de flujo en el cual se resume el
procedimiento de diseño basado en la Teoría de campos modificada
desarrollada por (Vecchio y Collins, 1986).
Figura 3.28 Diagrama de flujo para diseñar por MCFT
4 COMPARACIÓN NUMÉRICA ENTRE MÉTODOS DE DISEÑO A CORTANTE
Con el objetivo de realizar una comparación entre las cantidades de
refuerzo que se debe de colocar a una viga bajo cierto estado de
cargas, se realizará el diseño a cortante de una viga de concreto
reforzado por el método tradicional de diseño y por el método del MCFT.
Las condiciones de apoyo bajo las que se diseñará será empotrada-
empotrada y se diseñará para un cortante localizado a una distancia 𝑑𝑣
de la cara del apoyo.
A continuación se presenta un diagrama de la geometría y cargas bajo
las que se analizará la viga:
Figura 4.1 Geometría y carga de viga empotrada a analizar
Para la viga anteriormente mostrada se supondrá que sus extremos están
en condiciones de empotramiento, condición a la cual se puede llegar
con una rigidez adecuada de las columnas, esta viga está sometida a
una carga 𝑊 = 75 𝑘𝑁/𝑚 la cual representa la carga última de diseño
(incluyendo carga muerta). Para una viga con esta geometría y bajo
estas condiciones de carga se tiene que la distribución de momento y
cortante está dada por:
Figura 4.2 Diagrama de momentos
Figura 4.3 Diagrama de cortantes
4.1 DISEÑO A FLEXIÓN DE LA VIGA
Para el diseño a flexión de la viga anteriormente presentada se utilizarán
los lineamientos clásicos y las hipótesis de diseño tradicionales. Para este
caso y teniendo en cuenta las especificaciones de la NSR-10 se tiene que
la resistencia última para una viga rectangular está dada por:
𝜑𝑀𝑛 = 𝜑𝐴𝑠𝑓𝑦 (𝑑 −𝑎
2)
Ecuación 4-1
en donde el término 𝑎 está dado por:
𝑎 =𝐴𝑠𝑓𝑦
0,85 𝑓´𝑐𝑏 Ecuación 4-2
donde:
As = Área de acero colocada a flexión
fy = Esfuerzo de fluencia del acero (420 MPa)
f´c = Resistencia última a compresión del concreto (28 MPa)
d = Altura efectiva de la viga (distancia desde la fibra superior hasta la
localización del esfuerzo a tracción)
a = Altura del bloque de compresión de Whitney
φ = Factor de subresistencia para diseño por resistencia última (NSR-10)
Para que el diseño de la viga sea adecuado se requiere que los
momentos resistentes en cualquier sección de la viga sean menores a los
momentos resistentes en dichas secciones, a continuación se presenta un
diagrama de áreas el cual muestra el área mínima de refuerzo necesaria
para suplir el momento actuante en varios puntos de la viga:
Figura 4.4 Diagrama de áreas
A partir del diagrama de áreas anteriormente mostrado se puede
proceder a realizar el despiece del refuerzo longitudinal de la viga, como
se muestra a continuación:
Figura 4.5 Despiece a flexión de viga
Una vez realizado el diseño a flexión de la viga se puede proceder a
realizar el diseño a cortante.
4.2 DISEÑO A CORTANTE DE LA VIGA
A continuación se realiza el diseño a esfuerzos cortantes por las
metodologías vistas en el presente documento:
4.2.1 MÉTODO NSR-10 (BASADO EN ACI-318)
Para el diseño de la sección bajo la metodología tradicional, la cual ha
sido aceptada por muchas normas de diseño alrededor del mundo, se
seleccionará como es común en este tipo de vigas un cortante último
leído a una distancia 𝑑 = 0.45 𝑚 de la cara de la columna. El valor del
cortante corresponde a 191,25 kN; para el cálculo de la resistencia se
tiene que la resistencia nominal al cortante está dada por:
𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠
En donde el diseño está basado en que la resistencia última del elemento
está dado por la resistencia nominal a cortante multiplicado por un factor
de reducción de resistencia, el cual, debe ser mayor al cortante último
en la sección:
𝜑𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑢
A continuación se calcularán las resistencias proporcionadas por el
concreto y el acero, estás resistencias están dadas por:
𝑉𝑐 = 0,17𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑𝑣 = 0,17 × 1 × √28 × 0,40 × 0,45 × 1000
𝑽𝒄 = 𝟏𝟔𝟏, 𝟗𝟐 𝒌𝑵
𝑉𝑠 ≥𝑉𝑢
𝜑− 𝑉𝑐 =
191,25 𝑘𝑁
0,75− 161,92
𝑽𝒔 ≥ 𝟗𝟑, 𝟎𝟖 𝒌𝑵
Seleccionando una barra #3 para los estribos de la viga tenemos que el
espaciamiento que requiere es igual a:
𝑠 =𝐴𝑣 𝑓𝑦𝑡𝑑𝑣
𝑉𝑠=
(71 × 2) × 420 × 450
93,08 × 1000
𝒔 = 𝟐𝟖𝟖. 𝟑 𝒎𝒎
El refuerzo requerido para suplir dicho cortante es un estribo #3 (dos
ramas) cada 290 mm.
El refuerzo mínimo que debe tener la sección para que sea válida la
anterior metodología de diseño está dada por:
𝐴𝑣,𝑚𝑖𝑛 = 0,062√𝑓´𝑐
𝑏𝑤𝑠
𝑓𝑦𝑡= 0,062 × √28 ∗
400 × 290
420
𝑨𝒗,𝒎𝒊𝒏 = 𝟗𝟎, 𝟔 𝒎𝒎𝟐
Pero no debe ser menor a:
𝐴𝑣,𝑚𝑖𝑛 =0,35𝑏𝑤𝑠
𝑓𝑦𝑡=
0,35 × 400 × 290
420
𝑨𝒗,𝒎𝒊𝒏 = 𝟗𝟔. 𝟔𝟔 𝒎𝒎𝟐
Debido a que la sección posee un refuerzo de 142 mm² se cumple el
refuerzo mínimo.
Es de aclarar que el diseño presentado anteriormente no tiene en cuenta
los requisitos mínimos para estructuras sismos resistentes ni los
espaciamientos mínimos del refuerzo para estructuras en concreto no
pretensado.
Lo anterior se debe a que posteriormente se realizará una comparación
entre las dos metodologías, la cual tiene como objetivo evaluar las
diferencias entre los resultados de dos metodologías de diseño y no las
diferencias entre los requisitos mínimos bajo condiciones sísmicas de las
diferentes normas de diseño.
4.2.2 DISEÑO POR MCFT
Para realizar el diseño a cortante de la viga presentada anteriormente se
seguirá el diagrama de flujo presentado en la Figura 3.28. Para este diseño
se seleccionará la misma sección localizada a una distancia 𝑑 = 0,45 𝑚
de la cara del apoyo como se realizó en el método anterior, esto con el
objetivo de comparar el diseño por ambos métodos para un mismo
estado de esfuerzos.
Como se mencionó anteriormente, el valor del cortante último en una
sección a una distancia “𝑑” de la cara de la columna corresponde a
191,25 kN con un momento concomitante de 132,20 kN.m. A
continuación se calcula paso a paso (según diagrama de flujo
anteriormente presentado), el diseño a cortante por la metodología del
MCFT.
Para facilitar la realización y comprensión del ejemplo a continuación se
presenta nuevamente el diagrama de flujo presentado en la Figura 3.28:
𝑃𝑎𝑠𝑜 1
La relación entre el esfuerzo máximo de la sección y el esfuerzo resistente
a la compresión del concreto como paso inicial del diseño (como se
presenta en el diagrama anteriormente presentado):
𝜈𝑢
𝑓´𝑐=
𝑉𝑢
𝑏𝑤 𝑑𝑣 𝑓´𝑐=
191,25
0,40 × 0,45 × 28000
𝝂𝒖
𝒇´𝒄= 𝟎, 𝟎𝟑𝟕𝟗
𝑃𝑎𝑠𝑜 2
Debido a la magnitud de las cargas, se supondrá una deformación
unitaria 𝜀𝑥 en el refuerzo de aproximadamente 0,0013.
𝑃𝑎𝑠𝑜 3
Con lo anteriormente planteado y según la Figura 3.27 los valores de β y θ
toman los siguientes valores:
𝛽 = 0,17 ; 𝜃 = 38.50°
Figura 4.6 Diagrama de flujo para diseñar por MCFT (Repetición)
𝑃𝑎𝑠𝑜 4
Siguiendo con el diagrama de flujo se recalculará la deformación del
refuerzo longitudinal como se muestra a continuación:
𝜀𝑥 = (
𝑀𝑢𝑑𝑣
⁄ ) + 0.5𝑁𝑢 + 0.5𝑉𝑢𝐶𝑜𝑡𝜃 − 𝐴𝑝𝑠𝑓𝑝𝑜
𝐸𝑠𝐴𝑠 + 𝐸𝑝𝐴𝑝𝑠
Teniendo en cuenta que no existe fuerza axial en la sección, que no se
tiene refuerzo presforzado y un módulo de elasticidad del acero igual a
200000 MPa, la deformación está dada por:
𝜀𝑥 = (132200000
450⁄ ) + 0.50 × 191250𝐶𝑜𝑡(38.50)
200000 × 1617
𝜺𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟐𝟖
𝑃𝑎𝑠𝑜 5
Debido a que la deformación calculada es menor a la asumida (y muy
similar) continuaremos con el procedimiento de diseño, se aclara que
entre más aproximada sea la deformación supuesta a la calculada más
económico va a ser el diseño, sin embargo la proximidad de estos valores
quedan a criterio del ingeniero diseñador.
𝑃𝑎𝑠𝑜 6
Se tiene que la resistencia nominal a cortante está dada por:
𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 + 𝑉𝑝
𝑃𝑎𝑠𝑜 7
A continuación se calcularán cada una de las componentes de esta
ecuación teniendo en cuenta que 𝑉𝑝 = 0:
Cálculo de 𝑉𝑐:
𝑉𝑐 = 𝛽√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑𝑣 =0,17 × √28 × 400 × 450
1000
𝑽𝒄 = 𝟏𝟔𝟏, 𝟗𝟎 𝒌𝑵
Cálculo de 𝑉𝑠:
𝑉𝑠 ≥𝑉𝑢
𝜑− 𝑉𝑐 − 𝑉𝑝 =
191,25
0.75− 161,90 − 0
𝑽𝒔 ≥ 𝟗𝟑, 𝟎𝟖 𝒌𝑵
Teniendo en cuenta que utilizaremos barras #3 para el diseño se tiene
que:
𝑠 =𝐴𝑣 𝑑𝑣 𝐶𝑜𝑡𝜃𝑓𝑦
𝑉𝑠=
71 × 2 × 450 × cot (38.50) × 420
93080
𝒔 = 𝟑𝟔𝟐, 𝟓𝟎 𝒎𝒎
El refuerzo requerido para suplir dicho cortante es un estribo #3 (dos
ramas) cada 360 mm.
Debido a que no se tienen fuerzas de pretensado la resistencia
proporcionada por la fuerza de este es cero:
𝑉𝑝 = 𝐹 𝑆𝑖𝑛𝛼 = 0
Ahora se procederá a calcular la resistencia total de la sección a
cortante:
𝑉𝑛 = 161,90 +71 × 2 × 450 × cot (38.50) × 420
360 × 1000+ 0
𝑉𝑛 = 255,62 𝑘𝑁
El factor de reducción de resistencia considerado para el cortante será
de 0,75 para ser consecuentes con el ejemplo anterior, con lo cual se
tiene que la resistencia última a cortante es:
𝜑𝑉𝑛 = 255,62 ∗ 0,75 = 191,71 𝑘𝑁 > 191,25 𝑘𝑁
𝝋𝑽𝒏 = 𝟏𝟗𝟏, 𝟕𝟏 𝒌𝑵 > 𝟏𝟗𝟏, 𝟐𝟓 𝒌𝑵 → 𝑪𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆
𝑃𝑎𝑠𝑜 8
El procedimiento anterior se realizó bajo la hipótesis de que la sección de
concreto a diseñar posee un refuerzo mínimo, el cual otorga ductilidad a
la sección. Existen también ábacos para el cálculo de β y θ para
secciones que tienen menos de este refuerzo mínimo mencionado, sin
embargo este tema no está dentro del alcance de este trabajo y se invita
al lector que consulte las referencias adjuntas para profundizar en el
tema. Para realizar el diseño por el método MCFT es necesario que la
sección tenga un refuerzo transversal mínimo, en este caso los
reglamentos ACI-318-14 y AASTHO LRFD-2014 concuerdan en que en
elementos de concreto no presforzado el refuerzo mínimo está dado por:
𝐴𝑣𝑓𝑦
𝑏𝑤𝑠> 0,083 √𝑓´𝑐 Ecuación 4-3
El ACI-318-14 tiene otra restricción y limita el refuerzo a:
𝐴𝑣𝑓𝑦
𝑏𝑤𝑠> 0,35 Ecuación 4-4
Lo cual, es equivalente a tener un concreto de 35 MPa en la Ecuación
4-3, debido a que los pórticos de concreto están regidos por el ACI-318
más que por la AASTHO se respetarán los dos límites establecidos por esta.
Con el refuerzo anteriormente presentado se garantiza que la variación
de β y θ cumplen con los ábacos presentados en la Figura 3.27.
Para un concreto de 28 MPa gobierna la Ecuación 4-4, con lo cual se
obtiene un refuerzo de 133.4 mm2 cada 400 mm. Dicho refuerzo se suple
con un estribo #3 (dos ramas) espaciados cada 400 mm.
Debido a que el refuerzo colocado es mayor al mínimo, concluimos que
la cantidad de refuerzo puesto en la sección es adecuada.
𝑃𝑎𝑠𝑜 9
Como se puede observar la resistencia última a fuerzas cortantes en la
sección de análisis es mayor que la solicitación. A continuación se realiza
la verificación de las fuerzas en el refuerzo longitudinal considerando los
efectos combinados de momento, fuerza axial y cortante:
𝐴𝑠𝑓𝑦 + 𝐴𝑠𝑝𝑓𝑝𝑠 ≥𝑀𝑢
𝜑𝑑𝑣+
0.5𝑁𝑢
𝜑+ (
𝑉𝑢
𝜑− 0.5𝑉𝑠 − 𝑉𝑝) 𝑐𝑜𝑡𝜃
1617 × 420
1000+ 0 ≥
132200
0.9 × 450+ 0 + (
191,25
0,75− 0,50 × 93,10 − 0) cot (38,50)
𝟔𝟕𝟗, 𝟏𝟒 𝒌𝑵 ≥ 𝟔𝟏𝟏, 𝟕𝟗 𝒌𝑵 → 𝑪𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆
Es de resaltar que según los lineamientos del reglamento AASTHO-2014 los
valores de β y θ pueden ser calculados con las ecuaciones presentadas
allí y no con ábacos, no obstante en el apéndice B5 del mismo se
encuentran estos valores tabulados según los resultados obtenidos por
Collins and Mitchell (1991).
5 CONCLUSIONES
En este trabajo se realizó una recopilación de información acerca de los
métodos de diseño a cortante en vigas de concreto reforzado basadas
en dos metodologías, la primera consta de la metodología clásica que
se viene utilizando tradicionalmente en las diferentes normativas de
diseño, la cual está basada en las investigaciones y publicaciones
realizadas por el ACI-ASCE Comité 326 (1962), y en la cual se basa el
reglamento NSR-10; la segunda es la metodología desarrollada por
Vecchio y Collins (1986) llamada Modified Compression Field Theory
(MCFT).
Se puede observar en el presente trabajo que la metodología de la MCFT
posee un desarrollo más analítico que la metodología que se utiliza
actualmente en el Reglamento NSR-10, esto debido a que el método
tradicional se basa en una serie de ensayos y estudios empíricos que se
desarrollaron el ACI y el ASCE en la década de los sesenta, contrario a la
MCFT que aunque también se basa en ciertas relaciones obtenidas
experimentalmente posee un desarrollo físico y matemático más
completo, el cual tiene en cuenta la compatibilidad de deformaciones y
de esfuerzos en su desarrollo teórico.
Observando los resultados obtenidos en los ejemplos numéricos
realizados en el presente trabajo, se observó que al diseñar un elemento
sometido a cortante por medio del método del MCFT se obtuvo un 20%
menos de refuerzo con respecto al diseño por el método tradicional.
La disminución del refuerzo requerido diseñando un elemento por la
MCFT, en la mayoría de los casos es de esperar, esto debido a que el
aporte del concreto a la resistencia a cortante también depende de la
cantidad de refuerzo longitudinal que posea el elemento, lo cual no es
considerado en la metodología tradicional; sin embargo esto no es así en
todos los casos ya que para ciertos estados de cargas el método
tradicional arroja resultados muy similares a los del MCFT.
El Reglamento NSR-10, el cual regula los métodos para diseñar estructuras
de concreto a fuerzas cortantes, aún no incluye dentro de sus
lineamientos la metodología desarrollada por Vecchio y Collins (1986); sin
embargo en los últimos años se ha notado una tendencia a nivel mundial
de incluir la metodología del MCFT dentro de sus métodos para diseñar
concreto sometido a fuerzas cortantes; la norma canadiense, noruega y
la estadounidense de puentes AASTHO LRFD sobresalen en este sentido.
A pesar de que actualmente las normativas de diseño tienden a incluir los
métodos basados en la MCFT dentro de sus especificaciones para diseñar
elementos de concreto a cortante, hoy en día se utiliza más la
metodología tradicional desarrollada por el ACI, sin embargo, se pueden
observar una serie de ventajas del método MCFT con respecto al
tradicional ya que dependiendo de la cantidad de refuerzo longitudinal
puede haber una reducción significativa de la cantidad del refuerzo a
cortante.
Básicamente, la diferencia entre las metodologías de diseño que fueron
objeto de estudio del presente documento radica en el cálculo de los
parámetros β y θ, estos parámetros definen la capacidad del concreto
para soportar fuerzas cortantes y son función del refuerzo longitudinal ya
que considera el aporte de este al aumentar la capacidad del concreto
para resistir tensión diagonal, consideración que no se tiene en cuenta
dentro de la metodología tradicional. Esta consideración, como se ha
ilustrado en el presente trabajo, tiene en cuenta el aporte del refuerzo
longitudinal, el cual también “cose” las fisuras generadas por esfuerzos
cortantes, generando así una resistencia a la separación en los planos
generados por las fisuras del concreto; esto genera una resistencia del
concreto a separarse debido a un efecto de trabazón entre agregados
o “fricción”.
Según los resultados obtenidos y analizando las teorías que fueron
objetivo de estudio en el presente trabajo, ese considera pertinente
empezar a incursionar en las metodologías basadas en la MCFT
(simplificadas y analíticas) debido a que puede resultar conveniente por
economía y exactitud.
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