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7/25/2019 Estabilidad estructural.bifurcaciones
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Tarea N6 - Estabilidad Estructural.
Bifurcaciones Locales y Globales.
lvarez Exequiel, Lpez Ricardo, Vega Joel
Santiago de Chile 2016
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ndice
I Introduccin 4
1. Defina estabilidad estructural. Bajo qu condiciones un sistema es es-
tructuralmente inestable? 5
2. Defina parmetro de un sistema o modelo 8
3. Defina valor de Bifurcacin, para la situacin en que se vara un solo
parmetro del sistema. 9
4. Defina punto de Bifurcacin, para la situacin en que se vara un conjunto
de parmetros del sistema. 11
5. Defina el fenmeno de Bifurcacin. 15
6. Explique, la diferencia entre una Bifurcacin local y una Bifurcacin glo-
bal. 18
7. Articulo Sistema Discreto. 19
8. Articulo tipo particular de Bifurcacin, local o global. 23
II Conclusin 25
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ndice de figuras
1. Modelo estable Holling - Tanner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Modelo inestable Lotka y Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. Interseccin der xy ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94. Desplazamiento der x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105. Comportamiento cuando 0inestable am-
bos para un = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6. Comportamiento cuando 0inestable am-
bos para un = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7. Sistema en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
8. Sistema estable e inestable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
9. Tipo silla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
10. Ciclo lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
11. Atractor catico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12. Grfica de mapa logstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13. Mapa de bifurcaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
14. Bifurcacin de duplicacin de periodo al caos . . . . . . . . . . . . . . 22
15. Retrato de estado para distintos valores del parmetroc. . . . . . . . . 23
16. Comportamiento de la Bifurcacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
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Parte I
IntroduccinEl anlisis de los sistemas dinmicos no lineales es de profundo y enriquecedor
conocimiento para modelar el comportamiento de la naturaleza, por ejemplo el siste-
ma econmico, sistema biolgicos, sistemas qumicos, sistemas elctricos / electr-
nicos, sistemas demogrficos, etc.
En conjunto con este desarrollo es de importancia conocer el tipo es estabilidad
estructural que caracteriza un modelo, como y en que grado puede afectar la variacinde parmetros de un sistema, se analiza el comportamiento de estas variaciones
iniciando el concepto de Bifurcaciones.
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1. Defina estabilidad estructural. Bajo qu condicio-
nes un sistema es estructuralmente inestable?Se define la estabilidad estructural cuando, si bajo un campo vectorialf R2, con
diferenciales continuas, entonces es llamado estructuralmente estable, si interactu
una perturbacin en el sistema x = f(x) dejan un comportamiento cualitativo sin
cambios.
Para complementar an ms si fes continuamente diferenciable, entonces fes
estructuralmente estable si cumple con:
El nmero de puntos crticos y ciclos limites es finito y cada uno es hiperblica.
No existen trayectorias que conecten puntos silla a puntos silla
Como un ejemplo podemos citar al modelo de Holling-Tanner el cual es estructural-
mente estable [Braza, 2003] , dado por:
x= x
1 x7
6xy
7 + 7x
y= 0,2 y
1 N yx
DondeNes una constante, se analiza paraN= 2,5y paraN= 0,5, se entiende
que:
El trminox
1 x
7, representa la lgica de crecimiento en ausencia de preda-
dores.
El trmino 6xy7+7x
, representa el efecto de predadores sujeto a una tasa de de-
predacin mxima.
El trmino0,2y
1 Nyx
, denota el crecimiento de predadores tasa cuando un
mximo de xn
predadores es soportado porxpresa.
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Figura 1: Modelo estable Holling - Tanner
Ahora por ejemplo analizaremos un ejemplo de comportamiento inestable anali-
zando el modelo de Lotka - Volterra [Lynch, 2009], el cual se expresa mediante:
x= x ( cy)
y= y (x )
Donde , , , cson constantes positivas y:
y: Nmero de predadores.
x: Nmero de presas.
: Tasa de crecimiento por presa
xy : Interaccin entre ambas especies.
xy : Crecimiento de los depredadores.
x: Muerte natural de los depredadores.
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Figura 2: Modelo inestable Lotka y Volterra
Se puede indicar que el modelo es muy inestable ya que en algunos casos produce
fluctuaciones cclicas.
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2. Defina parmetro de un sistema o modelo
El parmetro de un sistema o modelo representa en la mayora de los casos con-diciones fsicas, dichas condiciones fsicas son analizadas y estudiadas con el fin de
entender cual es el valor que representan en la formulacin de un modelo, variaciones
de estos parmetros pueden realizar cambios cualitativos en la dinmica del sistema,
por ejemplo:
La ecuacin de Duffing [Lynch, 2009] la cual esta dada por:
x+kx+ (x3 x) = cos (t)
donde se considera a k como coeficiente de amortiguamiento, representa el
factor de amplitud, y es la frecuencia de la fuerza externa al sistema, en variables
de estado podemos expresar la ecuacin como:
x= y
y= x ky x3 + cos (t)
en este casok,y son parmetros del sistema.
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3. Defina valor de Bifurcacin, para la situacin en que
se vara un solo parmetro del sistema.El valor de bifurcacin representa, en este caso cuando se vara un solo parme-
tro, al punto en xdel plano, cuando se produce la Bifurcacin, es decir el valor de
Bifurcacin [Strogatz, 2014] , a modo de ejemplo podemos citar:
El siguiente sistema dado por :
x= r x ex
El cual sufre una bifurcacin del tipo silla-nodo cuando el parmetror es variado.
Los puntos crticos son:
0 =r x ex
mediante la grfica de:
r x= ex
Figura 3: Interseccin de r xyex
Las intersecciones corresponden a los puntos fijos del sistema. La direccin del
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flujo es a la derecha cuando la lnea esta sobre la curva, ya que r x > ex y asx >0, de esta forma se sabe que el punto fijo estable es el de la derecha y el inestable
es el de la izquierda. Ahora, al disminuir el parmetro r, la lnearxse desliza haciaabajo y los puntos fijos se empiezan a juntar. En algn lugar la lnea ser tangente a
la curva y este punto se convierte en una Bifurcacin silla nodo.
Figura 4: Desplazamiento de r x
El valor de Bifurcacin se logra cuando:
r x= ex
y al mismo tiempo son tangentes entre s, de tal forma que derivando ambos tr-
minos se obtiene:
ex = 1
al despejarxllegamos a:
x= 0
Por lo tanto el valor de la Bifurcacin es en x = 0.
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4. Defina punto de Bifurcacin, para la situacin en
que se vara un conjunto de parmetros del siste-ma.
El punto de Bifurcacin corresponde al valor del parmetro del sistema el cual
vara, generando un cambio el retrato de fase del sistema, estos cambios cualitativos
en la dinmica del sistema se llaman Bifurcaciones.
A modo de ejemplo podemos citar a una Bifurcacin Hopf de dos dimensiones la
cual tiene un estado estable [Strogatz, 2014]:
r= r r3
= +br2
En la cuales el control de estabilidad del punto fijo en el origen, entrega la fre-
cuencia de oscilaciones infinitesimales y bdetermina la dependencia de la frecuenciade la amplitud de las oscilaciones.
Para analizar este sistema durante la Bifurcacin, lo escribiremos en coordenadas
cartesianas mediante:
x= r cos ()
y= r sen ()
entonces tenemos:
x= r cos () r sen ()
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y= r sen () +r cos ()
Reemplazando:
x= x x3 xy2 y byx2 by3
y= y x2
y y3
+x+bx3
+bxy2
Un punto de equilibrio es para el par ordenado (0, 0), mediante el primer mtodo
de Lyapunov, tenemos:
X=G (x)
Donde
G (x) =
f1x f1y
f2x
f2y
x=y=eq=0,0
G (x) =
Y los autovalores son:
det
=2 2+2 +2
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Donde
1,2 =
j
En este caso nos damos cuenta que para el anlisis local de Lyapunov se prescin-
de del parmetrob, como el anlisis se realizo en torno al punto de equilibrio y usando
el primer mtodo de Lyapunov, entonces si >0 el sistema es inestable, si 0 inestable ambos
para un = 1
Figura 6: Comportamiento cuando < 0estable y cuando > 0 inestable ambospara un = 5
Entonces se puede desprender que, cuando hablamos de punto de bifurcacin
para sistemas que vara ms de un parmetro se puede vincular el anlisis del primer
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mtodo de Lyapunov y mediante el estudio de los autovalores los cuales estn en fun-
cin de los parmetros del sistema, es posible confirmar que el punto de Bifurcacin
ocurre cuando los autovalores estn en el semiplano derecho.
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5. Defina el fenmeno de Bifurcacin.
Las bifurcaciones son fenmenos crticos en sistemas dinmicos, en los que secrean, destruyen, o cambian de estabilidad los puntos fijos, al cambiar un parmetro
llamado parmetro de control. En dos o ms dimensiones, adems, pueden observar-
se fenmenos similares en rbitas cclicas (en lugar de puntos fijos). Es decir, con un
parmetro se puede, por ejemplo, encender y apagar las oscilaciones de un sistema
[Abramson, 2013].
Estticos, en equilibrio, estables como los nodo o focos [Lynch, 2009], [Strogatz,
2014].
Figura 7: Sistema en equilibrio
Estticos, en equilibrio, inestable, estables [Lynch, 2009], [Strogatz, 2014].
Figura 8: Sistema estable e inestable
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Esttico, en equilibrio, tipo silla [Lynch, 2009], [Strogatz, 2014].
Figura 9: Tipo silla
Peridicos [Lynch, 2009], [Strogatz, 2014].
Figura 10: Ciclo lmite
Atractor extrao [Lynch, 2009], [Strogatz, 2014]
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Figura 11: Atractor catico
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6. Explique, la diferencia entre una Bifurcacin local y
una Bifurcacin global.
Local: Las Bifurcaciones locales son aquellas que pueden ser analizadas com-
pletamente mediante cambios en las propiedades de la estabilidad local, primer
mtodo de Lyapunov, bien sean stas de puntos de equilibrio, rbitas locales u
otros conjuntos invariantes conforme los parmetros atraviesan umbrales crti-
cos [Abramson, 2013],[Strogatz, 2014].
Global: Las Bifurcaciones globales ocurren normalmente en mayores conjuntos
invariantes del sistema, los cuales "colisionan" entre ellos o con los puntos de
equilibrio del sistema. Por tanto, no pueden ser detectados de forma exclusiva
mediante un anlisis de los puntos de equilibrio, anlisis de Lyapunov [Abram-
son, 2013],[Strogatz, 2014]..
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7. Articulo Sistema Discreto.
El articulo propuesto se encuentra en el libro [Lynch, 2009], consiste en un sistemade una dimensin el cual se presenta a continuacin
Xn+1= f(xn)
Donde
f(x) =x(1
x)
El intervalo dees[0, 4], la grfica def(x)es:
Figura 12: Grfica de mapa logstico
Para encontrar los puntos, es necesario resolver la ecuacin:
f(x) =x(1
x) =x
Hay dos soluciones dadas, las cuales son:
x1,1= 0y x1,2 = 1 1
Para determinar la estabilidad se utiliza el siguiente teorema:
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TEOREMA: Supone que la funcinf(x), es un punto fijo dex
Entonces el punto fijo es estable si:
d f(x)
dx
1
Se aplica el TEOREMA:
d f(0)dx =
es estable para0 < 1
d f(x1,2)
dx
= 2
este punto fijo es estable para1 < 3, Luego
para encontrar los puntos de periodo dos, es necesario resolver la siguiente ecuacin:
f2(x) =(x(1 x)(1 (x(1 x))) =x
Esta da los puntos que satisfacen la condicinxn+2= xn, para todon. Como dos
soluciones ya son conocidas, se calculan las dems de la siguiente factorizacin de
lo anterior:
x
x
1 1
3x2 +
2 +3
x
2 +
la ecuacin(3x2 + (2 +3) x (2 +))tiene races como:
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x2,1= + 1 +
( 3) (+ 1)2
yx2,2= + 1
( 3) (+ 1)2
As, se tiene dos puntos de periodo de dos, cuando >3.
Luegob1= 3, corresponde al punto de la primera bifurcacin.
Ahora:
d
dxf2(x2,1) = 43x3 + 63x2 2
2 +3
x+2
y ddx
f2(x2,1) = 1,
cuando = b2= 1 +
6. El valorb2corresponde al segundo punto de bifurcacin.
La grfica de bifurcacin en trminos deb1y b2, se puede ver a continuacin:
Figura 13: Mapa de bifurcaciones
Luego se presenta la grfica de la simulacin elaborada en MATLAB:
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Figura 14: Bifurcacin de duplicacin de periodo al caos
El caso representa el ciclo de vida de las moscas azules, donde es la tasade reproduccin y xla poblacin de estas, la ventaja que tiene el estudio de estas
moscas, es que su ciclo de vida es muy corto, lo que permite realizar estudios de
laboratorio.
La bifurcacin de duplicacin de periodo, representa que al aumentar, se llega a
un punto de bifurcacin, de este salen dos ramas, luego de esas dos ramas, se des-
prenden dos ramas mas y as sucesivamente, hasta alcanzar un limite determinado
por el tipo de sistema.Tal es el caso que se muestra en la simulacin, donde la secuencia termina cerca
de = 3,569945.... desde este valor, el sistema se vuelve catico.
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8. Articulo tipo particular de Bifurcacin, local o glo-
bal.Considerar el sistema no lineal de dimensin 1:
x= c+x x3
La variacin del parmetro de bifurcacinccorresponde a un desplazamiento ver-
tical del eje de ordenadas x en la representacin de f(x, c)en funcin de x, como
puede verse en la figura siguiente:
Figura 15: Retrato de estado para distintos valores del parmetro c.
Para el valor c < 233
el flujo del sistema presenta una estructura de rbitas
estables que se corresponden con un equilibrio estable .
Para el valor c = 233
el sistema tiene un punto de bifurcacin, manteniendo el
punto de equilibrio estable y apareciendo uno no hiperblico.
Para el valor 233
< c < 233el sistema tiene estructura de rbitas estables, con
un punto de equilibrio inestable y dos estables.
Para el valorc = 233se presenta un punto de bifurcacin.
Parac > 233tiene un punto de equilibrio estable.
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El comportamiento de la Bifurcacin se grfica en la figura siguiente:
Figura 16: Comportamiento de la Bifurcacin
En la Figura 16 se muestra como cambia el comportamiento del sistema en la
medida que aumentaco disminuye, este comportamiento es llamado histeresis.
Tambin puede interpretarse como dos bifurcaciones silla-nodo de equilibrios una
parac = 233yc = 2
33[Aracil et al., 2007].
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Parte II
ConclusinPara concluir el trabajo de investigacin, se infiere que la estabilidad estructural, la
cual puede ser estable o inestable, analizando pequeas variaciones en los parme-
tros del sistema, el estudio del comportamiento en los puntos puntos de equilibrios, el
anlisis de los eigenvalores los cuales nos indican el punto en el cual inicia la bifurca-
cin.
Se considera mediante la simulacin de Bifurcaciones Globales, el concepto deciertas Bifurcaciones las cuales conllevan a un desarrollo matemtico de mayor com-
plejidad, el estudio de las colisiones y creacin o destruccin de ciclos limites invo-
lucran un rea de fortalecimiento para el planteamiento de sistemas dinmicos no
lineales.
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Referencias
Guillermo Abramson. Osciladores biolgicos. 2013.
JA Aracil, FG Salas, and FA Gordillo. Notas del curso anlisis de sistemas no lineales.
Universidad de Sevilla, 2007.
Peter A Braza. The bifurcation structure of the hollingtanner model for predator-prey
interactions using two-timing. SIAM Journal on Applied Mathematics, 63(3):889
904, 2003.
Stephen Lynch.Dynamical systems with applications using MapleTM. Springer Scien-
ce & Business Media, 2009.
Steven H Strogatz. Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, bio-
logy, chemistry, and engineering. Westview press, 2014.