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ESPECIALIZACIÓN EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN LA ESCUELA PRIMARIA
Perspectivas para la enseñanza de la Matemática
Clase 4
Aportes de la Didáctica de la Matemática
para pensar la enseñanza. La clase, los problemas y su gestión
Estimadas y estimados colegas, iniciamos esta clase planteándonos algunas preguntas:
¿Cómo elegir un problema que permita arribar a los conocimientos que
queremos enseñar? ¿Qué procedimientos usarían nuestros alumnos para
hacerlo? ¿Cómo seguir con la clase?
Sabemos que la enseñanza implica anticipación. Cuando elegimos un problema para nuestra
clase de Matemática pensamos en los conocimientos que queremos enseñar, la escena de
nuestros alumnos resolviendo sus dificultades, sus posibles producciones, nuestras
intervenciones, las conclusiones matemáticas que podríamos obtener; sólo entonces
decidimos si lo incluimos o no en nuestra planificación. En esta clase presentaremos nuevas
nociones didácticas que contribuirán a elaborar una anticipación de la clase más ajustada.
Continuando con los aportes de las investigaciones didácticas, nos ocuparemos en esta
oportunidad de esbozar condiciones para la elección de los problemas y para su
funcionamiento en la clase, tomando en particular algunos conceptos de la teoría de
situaciones didácticas de Guy Brousseau y otros de trabajos de Regine Douady y Nicolas
Balacheff.
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Los problemas en la clase, las situaciones
Brousseau elabora una modelización del funcionamiento del conocimiento matemático en la
clase, incluyendo una descripción del conjunto de prácticas de un alumno tal como las
imagina:
“Una buena reproducción por parte del alumno de la actividad matemática
exige que éste intervenga en esa actividad, lo cual significa que formule
enunciados y pruebe proposiciones, que construya modelos, lenguajes,
conceptos y teorías, que los ponga a prueba e intercambie con otros, que
reconozca los que están conformes con la cultura matemática y que tome los
que son útiles para continuar su actividad”.
También describe la enseñanza vinculada con las situaciones-problema que se deben
proponer:
“… el profesor debe hacer posible que los alumnos desarrollen la actividad
señalada, imaginando y proponiendo a sus alumnos situaciones matemáticas
que ellos puedan vivir y les impliquen resolver problemas en los cuales los
conocimientos que quiere enseñar sean la mejor solución para dichos
La teoría de situaciones didácticas aparece en 1986 en un texto que trata de presentar
los fundamentos y métodos de la didáctica de la Matemática y se convierte en un aporte
central en el campo del conocimiento en construcción.
“La teoría aparece como un medio privilegiado para comprender lo que
hacen los profesores y los alumnos y también para producir problemas
adaptados a los saberes y a los alumnos”. (Brousseau, 1999)
Esta teoría está sustentada en la misma concepción constructivista del aprendizaje que
vimos en otros investigadores en la clase anterior y plantea lo siguiente:
“El alumno aprende adaptándose al medio que es una fuente de
contradicciones, desequilibrios, dificultades, un poco como lo hace la
sociedad humana.”(Brousseau, 1986)
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problemas, con la condición adicional de que dichos conocimientos sean
construibles por el alumno.”
Al estudiar la clase, Brousseau analiza ciertas regularidades implícitas en la relación de los
alumnos y el profesor con los conocimientos. Estas reglas determinan un cierto contrato que
regula las interacciones y las denomina contrato didáctico.
Las reglas y cláusulas que en el aula se ponen en funcionamiento al interactuar frente a un
conocimiento específico definen, a la vez, lo que cada uno puede hacer y el significado de
sus actuaciones en relación con ese conocimiento. Dice al respecto P. Sadovsky:
“El contrato didáctico que subyace al funcionamiento de los objetos
matemáticos está regido por reglas de naturaleza muy diferente que se
refieren tanto a los conceptos (las funciones siempre se definen a través de
fórmulas, las relaciones crecientes siempre son de proporcionalidad directa,
una ecuación tiene solución única, etc.) como a las normas que comandan los
modos de abordar los problemas (no se puede atribuir valores a las variables
de manera arbitraria, los problemas siempre tienen solución, etc.)“ .
(Sadovsky, 2005: 40)
Un ejemplo de regla que ha funcionado durante mucho tiempo en la escuela primaria es la
que dice qué hay que hacer para resolver un problema: “si te dan un enunciado con
números, tenés que hacer una cuenta con ellos, el resultado es la respuesta a la pregunta y
la solución es única”. En este caso, vemos que la idea de problema está referida a los
clásicos enunciados con información numérica. Hoy tenemos la expectativa de ir trabajando
en la escuela con los problemas numéricos, enriqueciendo la posibilidad de hacer un
tratamiento de la información de modo que esta regla se modifique, presentando
enunciados con datos de más o de menos, con preguntas que no requieran cálculos para ser
respondidas y con otras que no se puedan responder con la información proporcionada.
Estas reglas aparecen en el marco de la clase cuando el profesor o los alumnos actúan
“rompiendo” estos implícitos y, en ese caso, tiene sentido hablar explícitamente de ellas
para aceptarlas, rechazarlas o establecer sus límites. Por ejemplo, explicitando, cuando eso
ocurra, que “el problema tiene más de una respuesta” o “en el problema del pago del taxi, a
más kilómetros recorridos se paga más pero no es de proporcionalidad directa”.
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Al establecer unas condiciones para que el aprendizaje funcione como una construcción de
conocimientos, Brousseau define una situación didáctica como una situación construida
con el fin de que unos alumnos aprendan un saber determinado. Está constituida por todos
los elementos que componen el medio con el que los alumnos van a interactuar, incluyendo
el problema a resolver, los elementos materiales (si fuera el caso) y, según cómo se decida,
un grupo de compañeros. Brousseau define de esta manera a una situación didáctica:
“Un conjunto de relaciones establecidas explícita o implícitamente entre un
alumno y un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende
eventualmente instrumentos u otros objetos) y un sistema educativo
(representado por el profesor) con la finalidad de lograr que estos alumnos
se apropien de un saber constituido o en vías de constitución.” (Brousseau,
citado en Galvez, citado en Panizza1, 1994)
En este sentido, Brousseau denomina situación adidáctica al momento en el que el
alumno se encuentra solo frente a la resolución del problema sin que el maestro intervenga
en cuestiones relativas al saber que se quiere que él produzca para arribar a una respuesta
ante la situación planteada. Precisamente, si el alumno ha de construir conocimientos, es
fundamental concebir una fase en la que sea necesaria la aparición del saber y que esa
necesidad esté determinada por las condiciones que ofrece la misma situación sin que el
docente intervenga.
Dice, tomando palabras de Berthelot y Salin:
“El término de situación adidáctica designa toda situación que, por una parte
no puede ser dominada de manera conveniente sin la puesta en práctica de
los conocimientos o del saber que se pretende y que, por la otra, sanciona
las decisiones que toma el alumno (buenas o malas) sin la intervención del
maestro en lo que concierne al saber que se pone en juego” . (Panizza, 1992)
En el artículo citado de Panizza (págs. 63/66) se analizan tres aspectos de la noción de
situación adidáctica que permiten profundizar su comprensión: el conocimiento a construir
1 Ver el apartado 3.1. de la lectura recomendada: “Conceptos básicos de la teoría de situaciones didácticas” Mabel
Panizza, 2003.
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en la situación debe ser necesario para su resolución; el maestro no debe intervenir en
relación con ese conocimiento; y el medio con el que el alumno interactúa debe marcarle de
algún modo si las decisiones que tomó al resolver son o no adecuadas.
Para poder avanzar con otras nociones, también potentes para analizar propuestas de
enseñanza, retomemos el caso dela Srta Cristina:
Cristina quiere presentar un problema que permita a los alumnos elaborar estrategias para
sumar fracciones. Encuentra en el Cuaderno para el aula de 5to. (pág. 104) un juego para
trabajar con sumas de fracciones: “Escoba del 1”: sumas que dan 1. El material para el juego
son naipes con fracciones representadas en rectángulos: 1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/8, y 1/9.
Para seguir pensando
¿En qué sentido un juego se considera un problema para los alumnos? ¿Anticipan
que se puede dar un momento adidáctico durante su desarrollo?
En los Cuadernos para el aula (p. 19) se explica la relación entre juego y problema:
“Jugar permite ´entrar en el juego´ de la disciplina matemática, pues se
eligen arbitrariamente unos puntos de partida y unas reglas que todos los
participantes acuerdan y se comprometen a respetar. Luego, se usan
estrategias que anticipan el resultado de las acciones, se toman decisiones
durante el juego y se realizan acuerdos frente a las discusiones.”
La pregunta de Cristina sobre los conocimientos que necesitan sus alumnos para poder
jugar remite a la necesidad de pensar en las diferentes alternativas de jugadas y analizar
qué necesitan saber los chicos para cada una. Por ejemplo, si saben fracciones
equivalentes, esto es, 2/6 = 1/3, van a relacionar rápidamente que con dos cartas de 1/6
forman 1/3. En otro caso podrán descubrir esa equivalencia comprobándola gráficamente en
el contexto del juego. Si bien se espera que los alumnos y alumnas conozcan la relación
entre el entero y cada fracción unitaria -por ejemplo, que una parte es ¼ si con 4 de esas
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partes se forma el entero-, si esto no ocurriese, una primera exploración con las cartas les
permitiría arribar a esta idea.
Por otro lado, las sumas que se pueden obtener dependen de los valores de las cartas y por
eso es posible modificarlas según el repertorio de sumas que se quiera abordar.
En el caso del juego que encontró Cristina, los números de las cartas pueden tener los
valores planteados u otros según las sumas sobre las que el maestro quiere que se trabaje.
Por ejemplo, se podría jugar con cartas que tengan también doceavos, quintos y décimos o
incluyendo algunas que no tengan numerador 1. También se podría jugar a que la “escoba”
fuera del 2 si, por ejemplo, se quisiese luego analizar los sumandos en relación con la
unidad y hacer cálculos aproximados.
Por otra parte, también podrían variar las representaciones de las fracciones que se usan en
las cartas, con o sin divisiones, o con otra forma para el entero. En estos casos varía la
posibilidad de comprobar efectivamente si la reunión de las partes corresponde o no al
entero.
Este análisis nos permite incorporar otra noción fundamental de la teoría, la de variable
didáctica. En el artículo oportunamente citado de Panizza, su autora arriba a su siguiente
definición:
“Algunas de esas condiciones (de la situación) que pueden variar a voluntad
del docente y que constituyen una variable didáctica cuando, según los
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valores que toman, modifican las estrategias de resolución y en
consecuencia, el conocimiento necesario para resolver la situación.”
En su teoría, Brousseau distingue tres tipos de situaciones, cuya descripción tomamos del
texto de Panizza:
“Situaciones de acción: el alumno debe actuar sobre un medio (material o
simbólico), la situación requiere solamente la puesta en acto de
conocimientos implícitos.
Situaciones de formulación: un alumno (o un grupo de alumnos) emisor debe
formular explícitamente un mensaje destinado a otro alumno (o un grupo de
alumnos) receptor, que debe actuar (sobre un medio material o simbólico),
de acuerdo con el conocimiento contenido en el mensaje.
Situaciones de validación: dos alumnos (o grupos de alumnos) deben
enunciar aserciones y ponerse de acuerdo sobre la verdad o falsedad de
ellas. Las afirmaciones propuestas por cada grupo son sometidas a la
consideración de otro grupo, que debe tener la capacidad de ´sancionarlas´,
es decir, ser capaz de aceptarlas, rechazarlas, pedir pruebas, oponer otras
aserciones." (Panizza, págs. 66/7, 2003)
En relación con estas formas de interacción decimos en los Cuadernos para el aula:
“Los niños podrán realizar diferentes tareas. En algunas ocasiones,
trabajarán usando los conocimientos matemáticos de manera implícita, sin
nombrarlos ni escribirlos, por ejemplo, al medir, construir, decidir cómo jugar
o contar. En otras, utilizarán los conocimientos matemáticos de manera
explícita: tendrán que describir cómo midieron o contaron, qué instrumentos
usaron para construir y qué hicieron en cada paso, o producirán un
instructivo para que otro construya una figura o realice un cálculo, explicarán
por qué decidieron utilizar un procedimiento u otro, cómo pueden comprobar
que un resultado es adecuado. También darán razones para convencer a otro
compañero de que los números encontrados o las figuras dibujadas cumplen
con las condiciones del problema; tendrán que argumentar sobre si un
procedimiento es o no correcto, o en qué casos una afirmación es verdadera.
“Al anticipar el desarrollo de la clase y prever las condiciones necesarias para
que ocurran las interacciones que nos interesan, diseñamos una situación
problemática a propósito del conocimiento que queremos enseñar. Esta
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situación incluye un conjunto de elementos y relaciones que estarán
presentes en la clase: el problema, los materiales, una cierta organización
del grupo, un desarrollo con momentos para diferentes intercambios. Al
planificar, también anticipamos los diferentes procedimientos y las
representaciones que podrán usar los alumnos, nuestras preguntas y las
conclusiones posibles.” (Cuadernos para el aula, Matemática 3, pág.16)
El avance de la clase y su gestión
Consideremos ahora que hemos elegido un problema para presentar a nuestros alumnos de
primaria o que estamos anticipando con los futuros maestros el desarrollo de la clase.
Recurramos para ello al trabajo de Regine Douady, quien plantea que para proponer una
enseñanza diferente y que los alumnos construyan el sentido de los conocimientos
matemáticos que utilizan, es necesario organizar la enseñanza de otro modo:
“La actividad principal en matemáticas, en el marco escolar, o en los centros
de investigación profesional, consiste en resolver problemas, en plantear
cuestiones. (…) El investigador (matemático) puede declarar resuelto un
problema si puede justificar sus declaraciones según un sistema de validación
propio de las matemáticas. En este camino, crea conceptos que juegan el
papel de instrumentos para resolver problemas. Cuando pasa a la comunidad
científica, el concepto es descontextualizado para que pueda servir
nuevamente. Se convierte, así, en objeto de saber, (…) un objeto cultural
que tiene su lugar en una construcción más amplia que es la del
conocimiento inteligente en un momento dado, reconocido socialmente”.
Douady señala que en la escuela los alumnos pueden recorrer el mismo camino cuando
están frente a un problema que les permite aprender algo nuevo. La actividad comienza
cuando el docente propone el problema a los alumnos y consigue que ellos asuman la
responsabilidad de resolverlo, esto es, cuando hace la devolución del problema a los
alumnos y ellos comienzan a resolverlo superando una serie de dificultades y readecuando
estrategias y medios:
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“…utilizando en sus procedimientos objetos matemáticos conocidos como
instrumentos explícitos y luego encuentran dificultades, sea porque su
estrategia es muy costosa (en cantidad de operaciones, en incertidumbre
sobre el resultado) o porque no funciona más y entonces se orientan a buscar
otros medios mejor adaptados a su situación.”
El alumno puede, entonces, poner en marcha implícitamente nuevos conocimientos.
Luego, cuando el maestro analiza las producciones de sus alumnos, identifica en ese
conocimiento implícito “lo que es nuevo”, y organiza un espacio de debate sobre lo
producido con el propósito de contribuir a darle forma convencional, lo que será registrado a
modo de conclusión matemática de la clase. Realiza la institucionalización de ese
conocimiento en forma explícita, como objeto, y entonces puede pasar a funcionar como
instrumento, “para un nuevo ciclo de la dialéctica instrumento-objeto”.
Para profundizar en estas nociones de la teoría de situaciones didácticas les
recomendamos leer M. Panizza, “Conceptos básicos de la teoría de
situaciones”, en Enseñar matemática en el nivel inicial y primer ciclo de la
EGB, Paidós, págs. 59-71, febrero 2003.
La puesta en común
La organización del espacio de debate sobre lo producido al resolver un problema implica
una puesta en común de los trabajos realizados. En este debate es fundamental que el
maestro organice el intercambio entre los alumnos. Este es un momento necesario en el
proceso de construcción de conocimientos, pues implica para los alumnos nuevas
interacciones.
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Al respecto, en el artículo de Quaranta y Wolman, “Discusiones en la clase de matemática”,
se analiza qué se discute en las puestas en común, para qué incluir espacios de discusión y
cómo organizarlos.
La validación de lo realizado
Una instancia que es parte del trabajo del alumno y apunta al avance en su autonomía
respecto del control de lo realizado, es la de validación de sus producciones. Si pensamos
en una clase con un momento de funcionamiento adidáctico en el que el alumno que
resuelve asume la responsabilidad matemática de lo que hace, podemos considerar que
puede dar cuenta de su respuesta a lo preguntado, es decir puede dar razones de por qué
considera que lo realizado vale.
Así como el matemático investigador puede declarar resuelto un problema si puede justificar
sus declaraciones según “un sistema de validación propio de las matemáticas”, el alumno
debería poder explicar su respuesta según el sistema de validación propio de la clase.
Al respecto, en 1987, Balacheff diferencia la noción de prueba de la de demostración para
poner de relieve la importancia de la dimensión social en los procesos de
validación planteando lo siguiente:
“Llamamos prueba a una explicación aceptada por una comunidad dada en un
momento dado. Esta decisión puede ser el objeto de un debate cuya
significación es la exigencia de determinar un sistema de validación común a
los interlocutores.
“En el seno de la comunidad matemática pueden ser aceptadas como prueba
sólo las explicaciones que adoptan una forma particular. Ellas son una serie
de enunciados organizados siguiendo reglas determinadas, (…) un enunciado
es conocido y tomado como verdadero o bien es deducido de aquellos que lo
preceden con la ayuda de una regla de deducción tomada de un conjunto de
reglas bien definido. Llamamos demostraciones a estas pruebas”. (Balacheff,
N., págs. 3 y 4, 1987)
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Asimismo, Balacheff -para poder dar cuenta de las diversas explicaciones que formulan los
alumnos al ser consultados sobre sus producciones- estudia las pruebas y propone hacer
una distinción entre pruebas pragmáticas e intelectuales. Esta distinción está dada por tres
elementos que tomamos para caracterizar las pruebas pragmáticas:
La posibilidad de recurrir a experimentar en la situación singular a la que se
refiere: “el acceso posible o no a la experiencia constituye una característica
de la situación que va a jugar un rol central en el funcionamiento de esta
dialéctica de la validación”.
El lenguaje en el que se expresa: “la acción explicitada por este lenguaje
lleva la marca del tiempo y de la duración, la marca de aquél que actúa y del
contexto de su acción”.
"Si los saberes en los que se apoya el alumno son fundamentalmente saber-
hacer (Vergnaud, 1984) o saberes conceptualizados, si las pruebas
pragmáticas se apoyan sobre los saberes prácticos esencialmente
comprometidos en la acción, las pruebas intelectuales requieren que estos
conocimientos puedan ser tomados como objeto de reflexión o de debate."
(Balacheff, N., págs., 8 y 9, 1987)
El pasaje de uno a otro tipo de prueba está dado por la posibilidad de considerar la situación
singular como situación genérica.
La distinción de Balacheff tiene sentido de ser tomada en cuenta en la escuela primaria pues
durante su transcurso y con las particularidades de cada contenido de enseñanza, es
importante conocer las pruebas de tipo pragmático que suelen utilizar los alumnos en los
primeros grados para pensar cómo hacerlas evolucionar en los últimos grados hacia otras
más generales, independizadas de la acción en un contexto, con un lenguaje más propio de
la Matemática.
Hasta aquí, hemos presentado nociones de una teoría que modeliza unas condiciones y unos
modos de funcionamiento del conocimiento que, en tanto modelos, no es esperable que
ocurran efectivamente en las clases. Sin embargo, muchas de las situaciones estudiadas por
los investigadores han sido inspiradoras de propuestas adaptadas para promover instancias
de producción y validación de conocimientos en la clase, instancias que permitan a los
alumnos apropiarse de conocimientos más disponibles y con control de lo que hacen.
Para cerrar esta clase les proponemos volver sobre las preguntas iniciales pensando en su
relación con los desarrollos leídos y avanzar con respuestas generales que serán
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particularizadas en los próximos módulos para conocimientos matemáticos específicos. En
este sentido, si bien el estudio de la teoría de situaciones requerirá, para su profundización,
de nuevos abordajes, consideramos que es importante iniciar la comprensión de sus
nociones básicas por el gran potencial que tienen para analizar las condiciones en la clase
de Matemática y generar la posibilidad de que todos los alumnos puedan hacer Matemática,
con la diversidad de conocimientos de partida que ello supone.
ACTIVIDADES
Las actividades propuestas para la Clase 4 son las siguientes:
1- Continuar interviniendo en el Foro obligatorio de su grupo “El trabajo con ‘los
otros’ en el aula: una manera de generar progresos en el
aprendizaje” analizando en un registro de clase las interacciones en una clase de
Matemática, del niño con el problema, con el maestro y con sus pares.
2- Continuar participando en el Foro optativo “Discusiones en la clase de
Matemática”
LECTURAS
Foro de Consultas
Este foro estará abierto durante toda la cursada, aquí podrán hacer todo
tipo de preguntas sobre las clases, las actividades, los trabajos prácticos y
final y en general, sobre cualquier temática en la que necesiten ayuda y que
no estén encuadrados en los otros foros habilitados para cada clase.
Recuerden: el foro es un punto de encuentro que posibilita socializar las
dudas y, de esta manera, aprender con otros y de otros.
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Obligatorias
Quaranta, M. y Wolman S. “Discusiones en las clases de matemática. Qué,
para qué y cómo se discute”, en Enseñar matemática en el nivel inicial
y primer ciclo de la EGB, Paidós, 2003.
Complementarias
Panizza, M. “Conceptos básicos de la teoría de situaciones”, en Enseñar
matemática en el nivel inicial y primer ciclo de la EGB, Paidós, 2003.
La lectura de este artículo contribuye fuertemente a la comprensión de muchas
de las nociones que hemos dado en esta clase, en particular el sentido de dos de
los roles centrales del maestro: hacer la devolución del problema al grupo e
institucionalizar el conocimiento producido durante la clase.
BIBLIOGRAFÍA
Agrasar, M. Crippa, A. Chara, S. y Chemello, G. (2010) “Ciclo de formación en
enseñanza de la Matemática en el Nivel Primario”, Dirección de gestión educativa,
Ministerio de Educación de la Nación.
Balacheff, N. (1987) “Procesos de prueba y situaciones de validación”, Educational
Studies in Mathematics Nro. 18, págs. 147-176.
Brousseau, Guy (1986) “Fundamentos y métodos de la Didáctica de la
matemática”, Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol. 7, n. 2,
Universidad de Bordeaux, págs. 33-115.
Brousseau, Guy“Los diferentes roles del maestro” en Parra, C y Saiz, I
(1994) Didáctica de la matemática. Aportes y reflexiones. Paidós.
Cuadernos para el Aula. Matemática 5, Ministerio de Educación Ciencia y
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Tecnología de la Nación, 2007.
Douady, Regine (S/F) Relación enseñanza-aprendizaje. Dialéctica instrumento-
objeto, juego de marcos. Cuaderno de Didáctica de la Matemática Nº 3.
Sadovsky, Patricia, “La teoría de situaciones didácticas. Un marco para pensar y
actuar la enseñanza de la Matemática”, en Reflexiones teóricas para la
educación matemática, Alagia, Bressan, Sadovsky (autores) (2005) Ediciones
del Zorzal.
Cómo citar este texto:
Instituto Nacional de Formación Docente. Clase 04: Aportes de la Didáctica de la
Matemática para pensar la enseñanza. La clase, los problemas y su gestión. Módulo:
Perspectivas para la enseñanza de la Matemática. Especialización Docente de Nivel
Superior en Enseñanza de la Matemática en la Escuela Primaria. Buenos Aires:
Ministerio de Educación y Deportes de la Nación.
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