Download - Espacio vectorial

Transcript

Espacio vectorialDe Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegacin, bsqueda Este artculo est orientado a proporcionar un tratamiento riguroso y abstracto del concepto de espacio vectorial. Para una introduccin ms accesible al concepto, vase Vector

En matemticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vaco, una operacin interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operacin externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemtico), con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Contenido

1 Historia 2 Caligrafias 3 Definicin de espacio vectorial o 3.1 Observaciones o 3.2 Propiedades o 3.3 Primer ejemplo con demostracin al detalle 4 Ejemplos de espacios vectoriales o 4.1 Los cuerpos o 4.2 Sucesiones sobre un cuerpo o 4.3 Espacios de aplicaciones sobre un cuerpo 4.3.1 Los polinomios 4.3.2 Funciones trigonomtricas o 4.4 Los sistemas de ecuaciones lineales homogneas 5 Definicin de subespacio vectorial o 5.1 Consecuencias 6 Resultados internos o 6.1 Combinacin lineal 6.1.1 Proposicin 1 o 6.2 Independencia lineal 6.2.1 Proposicin 2 o 6.3 Base de un espacio vectorial o 6.4 Base formalmente 6.4.1 Teorema de la base de generadores 6.4.2 Teorema Steinitz o 6.5 Observacin o 6.6 Dimensin 6.6.1 Notacin o 6.7 Interseccin de subespacios vectoriales o 6.8 Suma de subespacios vectoriales

6.9 Teorema Frmula de Grassmann 6.10 Suma directa de subespacios vectoriales 6.11 Cociente de espacios vectoriales 7 Construcciones bsicas o 7.1 Suma directa de espacios vectoriales 8 Espacios vectoriales con estructura adicional o 8.1 Espacios normados o 8.2 Espacio mtrico o 8.3 Espacios vectoriales topolgicos o 8.4 Espacios de Banach o 8.5 Espacios prehilbertianos o 8.6 Espacios de Hilbert 9 Morfismos entre espacios vectoriales o 9.1 Aplicaciones lineales 10 Vase tambin 11 Referencias o 11.1 Notas o 11.2 Referencias histricas o 11.3 Bibliografa 12 Enlaces externos

o o o

[editar] HistoriaHistricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometra analtica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Los espacios vectoriales se derivan de la geometra afn, a travs de la introduccin de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometra analtica mediante la vinculacin de las soluciones de una ecuacin con dos variables a la determinacin de una curva plana.[nota 1] Para lograr una solucin geomtrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, lneas y planos, que son predecesores de los vectores.[nota 2] Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricntricas de August Ferdinand Mbius de 1827.[nota 3] La primera formulacin moderna y axiomtica se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teora de espacios vectoriales provienen del anlisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Anlisis funcional requeran resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topologa, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topolgicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teora ms rica y elaborada. El origen de la definicin de los vectores es la definicin de Giusto Bellavitis de bipoint, que es un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsideraron con la presentacin de los nmeros complejos

de Argand y Hamilton y la creacin de los cuaterniones por este ltimo (Hamilton fue adems el que invent el nombre de vector).[nota 4] Son elementos de R2 y R4; el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien tambin defini los sistemas de ecuaciones lineales. En 1857, Cayley introdujo la notacin matricial, que permite una armonizacin y simplificacin de los aplicaciones lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudi el clculo baricntrico iniciado por Mbius. Previ conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones.[nota 5] En su trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimensin, as como de producto escalar estn presentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los espacios vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicacin, tambin, lo llev a lo que hoy en da se llaman lgebras. El matemtico italiano Peano dio la primera definicin moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888.[nota 6] Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construccin de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto ms tarde fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 1920[nota 7] y por Hilbert. En este momento, el lgebra y el nuevo campo del anlisis funcional empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave tales como los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. Tambin en este tiempo, los primeros estudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones se realizaron. Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemtica, la ciencia y la ingeniera. Se utilizan en mtodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresin de imgenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Adems, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geomtricos y fsicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante tcnicas de linealizacin.

[editar] CaligrafiasDado un espacio vectorial sobre un cuerpo , se distinguen. Los elementos de como: se llaman vectores. Caligrafias de otras obras Si el texto es de fsica suelen representarse bajo una flecha:

Los elementos de como: se llaman escalares.

[editar] Definicin de espacio vectorial

Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los nmeros reales o los nmeros complejos) es un conjunto no vaco, dotado de dos operaciones para las cuales ser cerrado:

operacin interna tal que: 1) tenga la propiedad conmutativa, es decir 2) tenga la propiedad asociativa, es decir 3) tenga elemento neutro , es decir 4) tenga elemento opuesto, es decir

y la operacin producto por un escalar:

operacin externa tal que: 5) tenga la propiedad asociativa: 6) tenga elemento neutro 1: 7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores: 8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:

Vase tambin: Espacio eucldeo Vase tambin: Vector Vase tambin: Representacin grfica de vectores

[editar] ObservacionesLa denominacin de las dos operaciones no condiciona la definicin de espacio vectorial por lo que es habitual encontrar traducciones de obras en las que se utiliza multiplicacin para el producto y sustraccin para la suma, usando las distinciones propias de la aritmtica. Para demostrar que un conjunto es un espacio vectorial:

Si supisemos que es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendramos probados los apartados 1, 2, 3 y 4.

Si supisemos que el producto es una accin por la izquierda de tendramos probados los apartados 5 y 6. Si no se dice lo contrario: .

[editar] PropiedadesUnicidad del vector neutro de la propiedad 3: supongamos que el neutro no es nico, es decir, sean y dos vectores neutros, entonces:

Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4: supongamos que el opuesto no es nico, es decir, sean y dos vectores opuestos de , entonces, como el neutro es nico:

Unicidad del elemento en el cuerpo : supongamos que 1 no es nico, es decir, sean y dos unidades, entonces:

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo : supongamos que el inverso de a, no es nico, es decir, sean y dos opuestos de , entonces, como el neutro es nico:

Producto de un escalar por el vector neutro:

Producto del escalar 0 por un vector:

Si

Si es cierto. Si entonces:

Notacin .

Observacin

Si Si

[editar] Primer ejemplo con demostracin al detalleQueremos ver que es un espacio vectorial sobre Veamos pues que juega el papel de y el de : Los elementos:

son, de forma genrica:

es decir, pares de nmeros reales. Por claridad conservaremos la denominacin del vector, en este caso u, en sus coordenadas, aadiendo el subndice x o y para denominar su componente en el eje x o y respectivamente En defino la operacin suma:

donde:

y la suma de u y v seria:

donde:

esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida. La operacin interna suma tiene las propiedades: 1) La propiedad conmutativa, es decir:

2) La propiedad asociativa:

3) tiene elemento neutro :

4) tenga elemento opuesto:

La operacin producto por un escalar:

El producto de a y u ser:

donde:

esto implica que la multiplicacin de vector por escalar es externa y an as est bien definida. 5) tenga la propiedad:

Esto es:

6) tenga elemento neutro: 1:

Que resulta:

Que tiene la propiedad distributiva: 7) distributiva por la izquierda:

En este caso tenemos:

8) distributiva por la derecha:

Que en este caso tenemos:

Queda demostrado que es espacio vectorial.

[editar] Ejemplos de espacios vectoriales[editar] Los cuerposTodo cuerpo es un espacio vectorial sobre l mismo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.

es un espacio vectorial de dimensin uno sobre .

Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre su subcuerpo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.

es un espacio vectorial de dimensin 2 sobre . es un espacio vectorial de dimensin infinita sobre .

[editar] Sucesiones sobre un cuerpoEl espacio vectorial ms conocido notado como , donde n>0 es un entero, tiene como elementos n-tuplas, es decir, sucesiones finitas de de longitud n con las operaciones: (u1, u2, ..., un)+(v1, v2, ..., vn)=(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn). a(u1, u2, ..., un)=(au1, au2, ..., aun). Las sucesiones infinitas de son espacios vectoriales con las operaciones: (u1, u2, ..., un, ...)+(v1, v2, ..., vn, ...)=(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn, ...). a(u1, u2, ..., un, ...)=(au1, au2, ..., aun, ...). El espacio de las matrices , , sobre , con las operaciones:

Tambin son espacios vectoriales cualquier agrupacin de elementos de en las cuales se defina las operaciones suma y producto entre estas agrupaciones, elemento a elemento, similar al de matrices , as por ejemplo tenemos las cajas sobre que aparecen en el desarrollo de Taylor de orden 3 de una funcin genrica.

[editar] Espacios de aplicaciones sobre un cuerpoEl conjunto de las aplicaciones , un cuerpo y un conjunto, tambin forman espacios vectoriales mediante la suma y la multiplicacin habitual:

, . [editar] Los polinomios Suma de f(x)=x+x2 y g(x)=-x2. El espacio vectorial K[x] formado por funciones polinmicas, vemoslo: Expresin general: ,donde los coeficientes , considrese . , donde y , .

Las series de potencias son similares, salvo que se permiten infinitos trminos distintos de cero. [editar] Funciones trigonomtricas Las funciones trigonomtricas forman espacios vectoriales, con las siguientes operaciones: Expresin general: , .

[editar] Los sistemas de ecuaciones lineales homogneasArtculos principales: Ecuacin lineal, Ecuacin diferencial lineal y Sistemas de

ecuaciones lineales. Sistema de 2 ecuaciones y 3 variables o equivalentemente simplificado como Un sistema de ecuaciones lineales homogneas( ecuaciones lineales en las que es siempre una solucin, es decir, ) posee soluciones que forman un espacio vectorial, veamos sus dos operaciones: Si Si . Veamos que las ecuaciones en s, filas de la matriz notadas como una matriz , es decir, , son tambin un espacio vectorial, veamos sus dos operaciones: Si Si .

[editar] Definicin de subespacio vectorialSea un espacio vectorial sobre y no vaco, es un subespacio vectorial de si: i) ii)

[editar] Consecuenciashereda las operaciones de como aplicaciones bien definidas, es decir que no escapan de , y como consecuencia tenemos que es un espacio vectorial sobre . Con cualquier subconjunto de elementos seleccionados en los espacios vectoriales anteriores, no vaco, se pueden generar subespacios vectoriales, para ello seria til

introducir nuevos conceptos que facilitarn el trabajo sobre estos nuevos espacios vectoriales.

[editar] Resultados internosPara detallar el comportamiento interno de todos los espacios vectoriales de modo general es necesario exponer una serie de herramientas cronolgicamente vinculadas entre ellas, con las cuales es posible construir resultados vlidos en cualquier estructura que sea espacio vectorial.

[editar] Combinacin linealVeremos que cada vector u es combinacin lineal de forma nica Dado un espacio vectorial , diremos que un vector u es combinacin lineal de los vectores de si existen escalares tales que

Notaremos como el conjunto resultante de todas las combinaciones lineales de los vectores de . [editar] Proposicin 1 Dado un espacio vectorial y , el conjunto es el subespacio vectorial ms pequeo contenido en y que contiene a . DemostracinSupongamos lo contrario, que existe uno ms pequeo contradiccin, ya que u est generado por elementos de a causa de la buena definicin de las dos operaciones, por tanto .

Nota. En este caso diremos que es un sistema de generadores que genera a .

[editar] Independencia linealDiremos que un conjunto de vectores es linealmente independiente si el vector 0 no se puede expresar como combinacin lineal no nula de los vectores de , es decir: Si . Diremos que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si no es linealmente independiente. [editar] Proposicin 2 son linealmente dependientes

DemostracinLinealmente dependientes tomando . Si donde y por tanto linealmente dependientes.

[editar] Base de un espacio vectorialArtculos principales: Base y Dimensin.

Las bases revelan la estructura de los espacios vectoriales de una manera concisa. Una base es el menor conjunto (finito o infinito) B = {vi}i I de vectores que generan todo el espacio. Esto significa que cualquier vector v puede ser expresado como una suma (llamada combinacin lineal) de elementos de la base a1vi1 + a2vi2 + ... + anvin, donde los ak son escalares y vik (k = 1, ..., n) elementos de la base B. La minimalidad, por otro lado, se hace formal por el concepto de independencia lineal. Un conjunto de vectores se dice que es linealmente independiente si ninguno de sus elementos puede ser expresado como una combinacin lineal de los restantes. Equivalentemente, una ecuacin a1vi1 + ai2v2 + ... + anvin = 0 slo se consigue si todos los escalares a1, ..., an son iguales a cero. Por definicin de la base cada vector puede ser expresado como una suma finita de los elementos de la base. Debido a la independencia lineal este tipo de representacin es nica. Los espacios vectoriales a veces se introducen desde este punto de vista.

[editar] Base formalmentev1 y v2 son base de un plano, si hubiese dependencia lineal(alineados) la cuadrcula no podra generarse Dado un sistema de generadores, diremos que es una base si son linealmente independientes. Proposicin 3. Dado un espacio vectorial es una base . Proposicin 4. Dado un espacio vectorial linealmente independientes y es linealmente independiente. [editar] Teorema de la base de generadores Todo sistema de generadores tiene una base. [editar] Teorema Steinitz

Toda base de un espacio vectorial puede ser cambiada parcialmente por vectores linealmente independientes. Corolario. Si un espacio vectorial tiene una base de vectores cualquier otra base posee vectores.

[editar] ObservacinTodo espacio vectorial tiene una base. Este hecho se basa en el lema de Zorn, una formulacin equivalente del axioma de eleccin. Habida cuenta de los otros axiomas de la teora de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, la existencia de bases es equivalente al axioma de eleccin. El ultrafilter lemma, que es ms dbil que el axioma de eleccin, implica que todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo "tamao", es decir, cardinalidad. Si el espacio es generado por un nmero finito de vectores, todo lo anterior puede demostrarse sin necesidad de acudir a la teora de conjuntos.

[editar] DimensinDado un espacio vectorial sobre :

Si tiene base finita, diremos dimensin al nmero de elementos de dicha base. Si tiene base no finita, diremos que es de dimensin infinita.

[editar] Notacin Dado un espacio vectorial y un subespacio , tenemos que:

Si tiene dimensin lo indicaremos como . Si tiene dimensin como subespacio de lo indicaremos como .

[editar] Interseccin de subespacios vectorialesDado dos subespacios vectoriales , la interseccin es subespacio vectorial contenido en estos y lo notaremos como: . Observaciones. Para la interseccin sucesiva de espacios vectoriales se procede, inductivamente, de dos en dos. La unin de subespacios vectoriales no es en general un subespacio vectorial.

[editar] Suma de subespacios vectorialesDado dos subespacios vectoriales , la suma es un subespacio vectorial que contiene a estos y la notaremos como: .

Observacin. Para la suma sucesiva de espacios vectoriales se procede, inductivamente, de dos en dos.

[editar] Teorema Frmula de GrassmannDado dos subespacios vectoriales de dimensin finita, tenemos el resultado siguiente: .

[editar] Suma directa de subespacios vectorialesDado dos subespacios vectoriales , diremos que es una suma directa si y lo notaremos como: .

[editar] Cociente de espacios vectorialesDado un subespacio vectorial , diremos espacio cociente al conjunto de las clases de equivalencias tales que estn relacionados mdulo si y lo notaremos como: . Es un espacio vectorial con las operaciones siguientes: Expresin general: .

[editar] Construcciones bsicasAdems de lo expuesto en los ejemplos anteriores, hay una serie de construcciones que nos proporcionan espacios vectoriales a partir de otros. Adems de las definiciones concretas que figuran a continuacin, tambin se caracterizan por propiedades universales, que determina un objeto X especificando las aplicaciones lineales de X a cualquier otro espacio vectorial.

[editar] Suma directa de espacios vectorialesDado dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo , llamaremos suma directa al espacio vectorial , veamos que estn bien definidas las dos operaciones: , .

[editar] Espacios vectoriales con estructura adicional

Desde el punto de vista del lgebra lineal, los espacios vectoriales se comprenden completamente en la medida en que cualquier espacio vectorial se caracteriza, salvo isomorfismos, por su dimensin. Sin embargo, los espacios vectoriales ad hoc no ofrecen un marco para hacer frente a la cuestin fundamental para el anlisis de si una sucesin de funciones converge a otra funcin. Asimismo, el lgebra lineal no est adaptada per se para hacer frente a series infinitas, ya que la suma solo permite un nmero finito de trminos para sumar. Las necesidades del anlisis funcional requieren considerar nuevas estructuras.

[editar] Espacios normadosArtculos principales: Espacio vectorial normado y Norma (matemticas).

Un espacio vectorial es normado si est dotado de una norma.

[editar] Espacio mtricoUn espacio mtrico es un espacio vectorial dotado de una aplicacin distancia. Proposicin 5. Un espacio normado es un espacio mtrico, donde la distancia viene dada por:

Toda distancia inducida por la norma es una distancia.

[editar] Espacios vectoriales topolgicosArtculo principal: Espacio vectorial topolgico.

Dada una topologa sobre un espacio vectorial donde los puntos sean cerrados y las dos operaciones del espacio vectorial sean continuas respecto dichas topologa, diremos que:

es una topologa vectorial sobre , es un espacio vectorial topolgico. Proposicin 6.. Todo espacio vectorial topolgico dotado de una mtrica es espacio normado. Proposicin 7.. Todo espacio normado es un espacio vectorial topolgico.

[editar] Espacios de BanachArtculo principal: Espacio de Banach.

Un espacio de Banach es un espacio normado y completo.

[editar] Espacios prehilbertianosArtculo principal: Espacio prehilbertiano.

Un espacio prehilbertiano es un par , donde es un espacio vectorial y es un producto a escalar.

[editar] Espacios de HilbertArtculo principal: Espacio de Hilbert.

Un espacio de Hilbert es un espacio prehilbertiano completo por la norma definida por el producto escalar.

[editar] Morfismos entre espacios vectorialesSon aplicaciones entre espacios vectoriales que mantienen la estructura de los espacios vectoriales, es decir, conservan las dos operaciones y las propiedades de stas de uno a otro de dichos espacios.

[editar] Aplicaciones linealesArtculo principal: Aplicacin lineal.

Dado dos espacios vectoriales y , sobre un mismo cuerpo, diremos que una aplicacin es lineal si: , .

[editar] Vase tambin

Combinacin lineal Sistema generador Independencia lineal Base (lgebra) Base Ortogonal Base Ortonormal Coordenadas cartesianas Producto escalar Producto vectorial Producto mixto Producto tensorial Portal:Matemtica. Contenido relacionado con Matemtica.

Wikilibros

Wikilibros alberga un libro o manual sobre Espacio vectorial.

[editar] Referencias

[editar] Notas1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Bourbaki, 1969, ch. "lgabre linaire et lgebre multilinaire", pp. 7891. Bolzano, 1804. Mbius, 1827. Hamilton, 1853. Grassmann, 1844. Peano, 1888, ch. IX. Banach, 1922.

[editar] Referencias histricas

Banach, Stefan (1922) (en francs). Sur les oprations dans les ensembles abstraits et leur application aux quations intgrales (On operations in abstract sets and their application to integral equations). 3. Fundamenta Mathematicae. ISSN 0016-2736. Bolzano, Bernard (1804) (en alemn). Betrachtungen ber einige Gegenstnde der Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry). http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400338. Bourbaki, Nicolas (1969) (en francs). lments d'histoire des mathmatiques (Elements of history of mathematics). Paris: Hermann. Grassmann, Hermann (1844) (en alemn). Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik. http://books.google.com/books?id=bKgAAAAAMAAJ&pg=PA1&dq=Die+Lin eale+Ausdehnungslehre+ein+neuer+Zweig+der+Mathematik. Hamilton, William Rowan (1853) (en ingls). Lectures on Quaternions. Royal Irish Academy. http://historical.library.cornell.edu/cgibin/cul.math/docviewer?did=05230001&seq=9. Mbius, August Ferdinand (1827) (en alemn). Der Barycentrische Calcul : ein neues Hlfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of geometry). http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_MOBIUS__1_1_0. The axiomatization of linear algebra: 18751940, Historia Mathematica 22 (3): 262303, 1995, ISSN 0315-0860 Peano, Giuseppe (1888) (en italiano). Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva. Turin.

[editar] Bibliografa

Castellet, M.; Llerena, I. (1988). IV espais vectorials (en cataln). lgebra lineal i geometra. Publ. UAB. Lang, S. (1976). lgebra Lineal. Fondo Educativo Interamericano. Queysanne, M., lgebra Bsica, Vicens-Vives. 1973. Rudin, w., Anlisis Funcional (Definicin axiomtica de espacios vectoriales topolgicos introductivamente), Revert.

[editar] Enlaces externos

Juega con vectores Weisstein, Eric W. Espacio vectorial (en ingls). MathWorld. Wolfram Research. A lecture about fundamental concepts related to vector spaces (given at MIT) A graphical simulator for the concepts of span, linear dependency, base and dimension

Obtenido de http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_vectorial&oldid=54358538 Categoras:

lgebra lineal Vectores

Categoras ocultas:

Wikipedia:Artculos destacados en w:ca Wikipedia:Artculos buenos en w:en

Herramientas personales

Iniciar sesin / crear cuenta

Espacios de nombres

Artculo Discusin

Variantes Vistas

Leer Editar Ver historial

Acciones BuscarEspecial:Buscar

Navegacin

Portada Portal de la comunidad Actualidad Cambios recientes Pginas nuevas Pgina aleatoria Ayuda

Donaciones Notificar un error

Imprimir/exportar

Crear un libro Descargar como PDF Versin para imprimir

Herramientas

Lo que enlaza aqu Cambios en enlazadas Subir archivo Pginas especiales Enlace permanente Citar este artculo

En otros idiomas

Bosanski Catal esky Cymraeg Dansk Deutsch English Esperanto Suomi Franais Galego Hrvatski Magyar Bahasa Indonesia slenska Italiano Lumbaart Lietuvi Nederlands

sk k Polski Piemontis Portugus R n Sicilianu Srpskohrvatski / Simple English S venina S venina / S pski Svenska Trke Vneto Ting Vit Bn-lm-g Esta pgina fue modificada por ltima vez el 20 mar 2012, a las 16:35. El texto est disponible bajo la Licencia Creative Commons Atribucin Compartir Igual 3.0; podran ser aplicables clusulas adicionales. Lee los trminos de uso para ms informacin. Wikipedia es una marca registrada de la Fundacin Wikimedia, Inc., una organizacin sin nimo de lucro. Contacto


Top Related