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UNIVERSIDAD VERACRUZANAFACULTAD DE INGENIERA MECNICA ELCTRICA
PROBLEMAS SELECTOS ESTTICA:
SISTEMAS EQUIVALENTES Y EQUILIBRIO
DE CUERPOS RGIDOS
MONOGRAFIA
Que para obtener el ttulo de:INGENIERO MECNICO ELCTRICISTA
PRESENTA:PAULA GISHE ILLESCAS GARCIA
DIRECTOR DE MONOGRAFIA:ING. RODOLFO SOLORZANO HERNANDEZ
XALAPA, VER. AGOSTO 2011
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ndice
Introduccin ............................................................................................................. 1
Captulo 1
Momento de una fuerza respecto a un punto .......................................................... 3
Problema 1.1 ................................................................................................................................... 8
Problema 1.2 ................................................................................................................................. 10
Captulo 2
Momento de una fuerza respecto a un eje ............................................................ 12
Problema 2.1 ................................................................................................................................. 17
Problema 2.2 ................................................................................................................................. 19
Captulo 3
Pares ..................................................................................................................... 21Problema 3.1 ................................................................................................................................. 26
Problema 3.2 ................................................................................................................................. 28
Problema 3.3 ................................................................................................................................. 30
Captulo 4
Sistemas equivalentes de fuerza........................................................................... 32
Problema 4.1 ................................................................................................................................. 33
Problema 4.2 ................................................................................................................................. 34Problema 4.3 ................................................................................................................................. 37
Problema 4.4 ................................................................................................................................. 40
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Captulo 5
Equilibrio en dos dimensiones ............................................................................... 42
Problema 5.1 ................................................................................................................................. 49
Problema 5.2 ................................................................................................................................. 51
Problema 5.3 ................................................................................................................................. 54
Problema 5.4 ................................................................................................................................. 57
Captulo 6
Equilibrio en tres dimensiones............................................................................... 59
Problema 6.1 ................................................................................................................................. 62
Problema 6.2 ................................................................................................................................. 64
Problema 6.3 ................................................................................................................................. 66
Problema 6.4 ................................................................................................................................. 69
Problema 6.5 ................................................................................................................................. 72
Comentarios finales ............................................................................................... 75
Bibliografa ............................................................................................................ 76
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Introduccin
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 1
Introduccin
En el desarrollo del presente trabajo recepcional se abordan
algunos de los temas que se incluyen en el contenido temtico de la experiencia
educativa esttica del plan de estudios 2004 del programa educativo de Ingeniera
Mecnica Elctrica de la Universidad Veracruzana. Dicha experiencia educativa es
el primer curso del rea de la mecnica y como tal, su objetivo principal debe ser
desarrollar en el estudiante de ingeniera la capacidad de analizar cualquier
problema en forma lgica y sencilla, y la de aplicar para su solucin unos cuantos
principios bsicos perfectamente comprendidos.
La mecnica es, esencialmente, una ciencia deductiva que
se basa en algunos principios fundamentales; es la base de la mayora de las
ciencias de la ingeniera y es un requisito indispensable para estudiarlas; es una
ciencia aplicada. La mecnica puede ser definida como la ciencia que describe y
predice las condiciones de reposo o movimiento de los cuerpos bajo la accin de
fuerzas. Se divide tres partes: mecnica de cuerpos rgidos, mecnica de cuerpos
deformables y mecnica de fluidos. La mecnica de cuerpos rgidos se subdivide
en esttica y dinmica; la primera estudia cuerpos en reposo y la segunda en
movimiento.
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Introduccin
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 2
En base a lo anterior, los temas que se desarrollan en este
documento corresponden a la esttica de cuerpos rgidos y es fundamental para
todo estudiante de ingeniera comprenderlos para poder aplicarlos correctamente.
El objetivo del presente trabajo es apoyar el proceso de
aprendizaje de los estudiantes de los cursos de esttica, fundamentos de
mecnica de materiales, mecnica de materiales y diseo mecnico, en lo que
respecta a los conceptos tericos bsicos y aplicaciones correspondientes a
sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos. En el documento se incluye
la resolucin de 20 problemas.
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Captulo 1 Momento de un a fuerza respecto a un punto
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 4
A continuacin en la figura 1.2 se presenta una breve
descripcin del producto vectorial de los vectores unitarios cartesianos ,y.
Figura 1.2 Producto vectorial de los vectores unitarios cartesianos ,y.En lo que respecta al producto vectorial trminos
de coordenadas rectangulares, tenemos lo siguiente:
Un vector fuerza es definido por su magnitud y su direccin.
Los efectos que produce sobre un cuerpo rgido tambin dependen de su punto de
aplicacin.
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Captulo 1 Momento de un a fuerza respecto a un punto
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 5
Figura 1.3 (a) Momento de la fuerza
respecto al punto
(b) Regla de la mano derecha
El Momento de la fuerza respecto al punto es definidocomo:
El vector momento es perpendicular al plano que
contiene al punto
y a la fuerza
. La magnitud
mide la tendencia de la fuerza
para provocar la rotacin del cuerpo alrededor de un eje a lo largo de . El sentido del momento puede ser determinado por la regla
de la derecha.
Cualquier fuerza que tiene la misma magnitud y direccinde , es equivalente si, y slo si, son iguales (es decir, que tienen la mismamagnitud y direccin) y, adems, tienen momentos iguales con respecto a unpunto .
Muchas aplicaciones tratan con estructuras bidimensionales,
es decir, estructuras cuyo espesor es despreciable en comparacin con su
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Captulo 1 Momento de un a fuerza respecto a un punto
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 6
longitud y su anchura. Observemos la figura 1.4, el plano de la estructura contiene
al punto y a la fuerza . , el momento de la fuerza respecto al punto , esperpendicular a dicho plano.
Figura 1.4 Placa rgida sobre la que acta una fuerza (a) en sentido antihorario, el vectormomento apunta hacia afuera del plano de la figura. (b) en sentido horario, el vector momentoapunta hacia adentro del plano de la figura.
La propiedad distributiva de los productos vectoriales se
puede emplear para determinar el momento de la resultante de varias fuerzas
concurrentes. El Teorema de Varignon establece que: el momento con respecto a
un punto dado de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la sumade los momentos de las distintas fuerzas con respecto al mismo punto , vasefigura 1.5.
Figura 1.5 Sistema de fuerzas concurrentes en .
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Captulo 1 Momento de un a fuerza respecto a un punto
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 7
En lo que respecta a las componentes rectangulares del
momento de la fuerza respecto al punto , vase figura 1.6 (a), tenemos losiguiente:
(a) (b)
Figura 1.6 Componentes rectangulares del (a) momento de la fuerza respecto al punto (b)momento de la fuerza respecto al punto De manera similar, las componentes rectangulares del
momento de la fuerza respecto al punto , vase figura 1.6(b), tenemos:
;
Tome en cuenta que:
; y
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Captulo 1 Momento de un a fuerza respecto a un punto
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 8
En general, para estructuras en dos dimensiones, vase
figura 1.7:
(a) (b)
Figura 1.7 Componentes rectangulares del (a) momento de la fuerza respecto al punto(b) momento de la fuerza respecto al punto
Problema 1.1
La ventanilla trasera de un
automvil se sostiene mediante el
amortiguador BCque se muestra
en la figura. Si para levantar la
ventanilla se ejerce una fuerza de
125 lb cuya lnea de accin pasa
por el soporte de rtula en B,
determine el momento de la
fuerza alrededor deA.
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Captulo 1 Momento de un a fuerza respecto a un punto
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 9
Solucin:
Iniciamos con el trazo del diagrama de cuerpo libre de la ventanilla:
A continuacin, representaremos a la fuerza que acta en Ben forma rectangular,
por lo cual previamente tendremos que definir la direccin de dicha fuerza a partir
de la geometra de la figura:
;
,
El radio vectoro vector de posicines que va desde el puntoAal punto B, en el
cual acta la fuerza :
El momento de la fuerza con respecto al puntoA, queda expresado como:
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Captulo 1 Momento de un a fuerza respecto a un punto
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 10
Sabiendo que
, podemos expresar el momento calculado en
:
La magnitud del momento de la fuerza alrededor del punto Aes ; el signo positivo indica, segn la regla de la mano derecha, que la tendencia derotacin del momento es en el sentido antihorario (CCW).
Problema 1.2
Se aplica una fuerza de 200 N sobre
la mnsulaABC, como se muestra en
la figura. Determine el momento de la
fuerza alrededor deA.
Solucin:
En relacin a la fuerza que acta en C, se nos indican los valores de la magnitud
de la fuerza y los ngulos, , y .
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Captulo 1 Momento de un a fuerza respecto a un punto
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 11
Ahora, en el diagrama se muestra la accin
de la fuerza sobre la mnsula. Las
componentes rectangulares de la fuerza
pueden expresarse como:
Ahora, representamos la fuerza en forma rectangular:
El radio vector de que va desde el punto A hasta C, lo definimos al restar a lascoordenadas de Clas coordenadas deA.
Y por ltimo, calculamos el momento de la fuerza alrededor de A, mediante la
aplicacin del producto vectorial:
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Captulo 2 Momento de una fuerza respecto a un eje
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 12
Captulo 2
Momento de una fuerzarespecto a un eje
Antes de entrar formalmente con el concepto de momento de
una fuerza con respecto a un eje, ser necesario describir un par de productos de
vectores, el producto escalar (de dos vectores) y el producto triple mixto (de tres
vectores), que vamos a aplicar en esta seccin.
El producto escalaroproducto puntode dos vectores y se define como:
, el resultado es un escalar.
A partir de las componentes rectangulares, se define como: El producto escalar puede aplicarse para calcular el ngulo
entre dos vectores, figura 2.1(a), definiendo el coseno del ngulo que formancomo:
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Captulo 2 Momento de una fuerza respecto a un eje
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 13
(a) (b) (c)
Figura 2.1Aplicaciones del producto escalar
Aplicando el producto escalar, podemos obtener la
proyeccin de un vector a lo largo de un eje dado, figura 2.1(b), a partir de losiguiente:
Sea , la proyeccin del vector a lo largo deleje , entonces:
En el caso particular, cuando el vector seleccionado a lo
largo de es el vector unitario(figura 2.1(c)), se escribe:
Al descomponer a yen sus componentes rectangulares ytomando en cuenta que las componentes del vector unitario a lo largo de los ejescoordenados son iguales, respectivamente, a los cosenos directores de , laproyeccin se expresa como:
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Captulo 2 Momento de una fuerza respecto a un eje
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 14
En donde y representan los ngulos que el eje
forma con los ejes coordenados.
Figura 2.2Producto triple escalar o producto triple mixto de tres vectores
El producto triple escalar o producto tiple mixto de tres
vectores
,
y
se define como la expresin escalar:
El producto triple escalar es igual en valor absoluto al
volumen de un paraleleppedo (figura 2.3) que tiene por lados los vectores
,
y
.
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Captulo 2 Momento de una fuerza respecto a un eje
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 15
Figura 2.3Paraleleppedo que tiene por lados los vectores ,y.Una vez descritos los productos de vectores, escalary triple
escalar, podemos abordar el concepto momento de una fuerza con respecto a un
eje, el cual puede definirse como una medida de la tendencia de una fuerza de
impartirle al cuerpo rgido sobre el cual acta un movimiento de rotacin alrededor
de un eje fijo.
Figura 2.4
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Captulo 2 Momento de una fuerza respecto a un eje
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 16
Consideremos la figura 2.4, el momento de la fuerza queacta encon respecto a est dado por:
Sea un eje a travs de ; el momento de conrespecto a se define como la proyeccin del momento sobre el eje .Representando al vector unitario a lo largo de como , tenemos:
Figura 2.5
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Captulo 2 Momento de una fuerza respecto a un eje
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 17
En general, el momento de una fuerza aplicada en conrespecto a un eje que no pasa por el origen, se obtiene seleccionando un punto
arbitrario sobre dicho eje (figura 2.5)y determinando la proyeccin sobre el eje
del momento
de
con respecto a
, es decir:
En donde:
; y
Problema 2.1Determine el ngulo
formado por los tirantesAB y AC de la red de
voleibol que se muestra
en la figura.
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Captulo 2 Momento de una fuerza respecto a un eje
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 18
Solucin:
En la figura se indican los vectoresy ; a partir de las coordenadasde los puntos
,
y
podemos
determinar sus componentes
rectangulares y sus respectivas
magnitudes:
El ngulo formado por los dos vectores puede ser calculado usando la expresin:
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Captulo 2 Momento de una fuerza respecto a un eje
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 19
Problema 2.2
Para levantar una caja pesada, un
hombre usa un bloque y un polipasto
y los sujeta a la parte inferior de la
viga I mediante el gancho B. Si se
sabe que los momentos, de los ejes y
y z, de la fuerza ejercida en B por el
tramo AB de la cuerda son,
respectivamente, de 120 Nm y -460
Nm, determine la distancia a.
Solucin:
A partir de la figura, obtenemos las
coordenadas de los puntos y :
En la figura se muestra el vector fuerza
que ejerce el hombre, e cual podemos
definir de la siguiente manera:
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Captulo 2 Momento de una fuerza respecto a un eje
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 20
El momento de la fuerza respecto al
eje yse define como:
Sustituyendo, calculamos la
distancia :
El momento de la fuerza respecto al
eje z se define como:
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Captulo 3 Pares
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 21
Captulo 3
ParesDos fuerzas y que tienen la misma magnitud, lneas de
accin paralelas y sentidos opuestos forman unpar(figura 3.1). Note que la suma
de las componentes de las dos fuerzas en cualquier direccin es igual a cero. Sin
embargo, la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a un punto
dado no es cero. Las dos fuerzas no producirn traslacin del cuerpo sobre el cual
estn actuando pero si tendern a hacerlo rotar.
Figura 3.1Par de fuerzas
Observemos la figura 3.2(a), en la cual se muestran los
puntos de aplicacin de las fuerzas y , definidos por los vectores de posicin y , respectivamente. La suma de los momentos de estas dos fuerzas conrespecto a es:
En la ecuacin anterior, define al vector que une los
puntos de aplicacin de las dos fuerzas, es decir:
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Captulo 3 Pares
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 22
Por lo tanto, podemos afirmar que la suma de los momentos
de y , con respecto a est representado por el vector:
(a) (b)
Figura 3.2Momento de un par
Al vector , figura 3.2(b), se le conoce como el momento delpar, el cual es un vector perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas; su
magnitud est dada por: En donde, la distancia es la distancia perpendicular entre
las lneas de accin de y . El sentido de est definido por la regla de lamano derecha.
Debido a que el vector , vase figura 3.2(a), esindependiente al punto de referencia u origen de los ejes coordenados, seobserva que se obtendra el mismo resultado si los momentos de las fuerzas y se hubieran calculado con respecto a otro punto cualquiera. Por lo anterior,
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Captulo 3 Pares
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 23
podemos establecer que el momento de un pares un vector libreque puede ser
aplicado en cualquier punto y el efecto es el mismo.
Figura 3.3Pares iguales
Dos pares (figura 3.3), uno constituido por las fuerzas y, y el otro por las fuerzas y , tendrn momentos iguales si y solo si losdos pares se encuentran en planos paralelos (o en el mismo plano), tienen elmismo sentido y, obviamente, la misma magnitud.
Dos pares que tienen el mismo momento sonequivalentes.
A continuacin, consideremos la interseccin de dos planosy , cada uno en con un par, como se indican en la figura 3.4(a).
en el plano en el plano
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Captulo 3 Pares
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 24
(a) (b)
Figura 3.4Adicin o suma de pares
Sean la resultante de y , y la resultante de y.Observe que y forman un par que queda puede expresarse como:
Por el teorema de Varignon, podemos concluir que la suma
de dos pares es un par igual a la suma vectorial de stos, figura 3.4(b), es decir:
Un par puede ser representado por un vector con magnitud y
direccin igual al momento del par (figura 3.5).
Figura 3.5
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Captulo 3 Pares
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 25
Los pares obedecen la ley del paralelogramo para la adicin
de vectores. El vector que representa a un par recibe el nombre de vector de pary
ste como el vector de un par, es un vector libre.
Un vector fuerza no puede ser trasladado simplemente desu punto de aplicacin a otro que no est sobre su lnea de accin sin modificar su
efecto sobre el cuerpo rgido. Observemos la figura 3.6.
Figura 3.6Sistema fuerza-par equivalente en Podemos colocar en el punto dos fuerzas y , sin
modificar el efecto de la fuerza original sobre el cuerpo rgido. En consecuencia,las fuerzas ,que acta en el punto , y que se coloco en el punto formanun par con un momento .
En base a lo anterior, podemos establecer que en la figura
3.6, el diagrama de la derecha es el sistema equivalente fuerza-par en de lafuerza que acta en el punto
de la imagen a la izquierda.
Si fuera necesario trasladar a la fuerza de su punto de
aplicacin a un punto diferente a (figura 3.7), se tendra que calcular elmomento de con respecto a .
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Captulo 3 Pares
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 26
Figura 3.7Sistema fuerza-par equivalente en
Problema 3.1La tensin en el cable unido al
extremo C de un aguiln
ajustable ABC es de 560 lb.
Reemplace la fuerza ejercida
por el cable en C por un
sistema equivalente fuerza-paren a) enAy b) en B.
Solucin:
Se sabe que la tensin en el cable tiene una magnitud y su direccinest dada por
por debajo del eje horizontal. Podemos determinar sus
componentes horizontal y vertical de la manera:
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Captulo 3 Pares
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 27
a) Sistema equivalente fuerza par en :
El momento puede calcularse a partir de la suma del momento de lascomponentes con respecto al punto
; ambas componentes producen un par en
sentido horario (CW):
Podemos concluir este inciso indicando que el sistema equivalente fuerza-par en
est formado por:
b) Sistema equivalente fuerza par en :
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Captulo 3 Pares
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 28
De manera similar al inciso anterior, el momento puede calcularse a partir de lasuma del momento de las componentes con respecto al punto ; ambascomponentes producen un par en sentido horario (CW):
Podemos concluir este inciso indicando que el sistema equivalente fuerza-par en est formado por:
Problema 3.2
Una fuerza y un par se aplican al
extremo de una viga en voladizo
como se muestra en la figura. a)
Reemplace este sistema por una
sola fuerza F aplicada en el punto
C, y determine la distancia ddesde
Chasta una lnea que pasa por los
puntos Dy E. b) Resuelva el inciso
a) suponiendo que se intercambian
las direcciones de las dos fuerzas
de 360 N.
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Captulo 3 Pares
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 29
Solucin:
a) La fuerza aplicada en se obtiene de la siguiente manera:
Para reemplazar el sistema de fuerzas por una sola fuerza actuando en ,par debe igual a cero, es decir:
Por lo tanto:
, distancia por debajo de la lnea b) Ahora, la direccin de las fuerzas de se intercambian, por lo cual el par
que producen invierte su sentido. La fuerza actuando en es la misma, esdecir, , y de la misma forma elpar debe igual a cero.Por lo tanto:
, distancia por arriba de la lnea
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Captulo 3 Pares
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 30
Problema 3.3Una fuerza Fde 46 lb y una par M
de 2,120 lbin, se aplican a la
esquina A del bloque mostrado en
la figura. Reemplace el sistema
fuerza-par dado por un sistema
equivalente fuerza-par en la
esquina H.
Solucin:
De la figura del problema podemos obtener las coordenadas de los puntos que
utilizaremos para definir la direccin de los vectores fuerza y par , adems delvector de posicin :
Coordenadas (en
): Vectores unitarios
y
:
Vector de posicin :
Conociendo la magnitud de los vectores fuerza y par , adems de los vectoresunitarios que definen sus direcciones, tenemos que:
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Captulo 3 Pares
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 31
El sistema equivalente fuerza-par en se conformar por los siguientes vectores:
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Captulo 4 Sistemas equiv alentes de fuerza
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 32
Captulo 4
Sistemas equivalentes defuerza
Cualquier sistema de fuerzas, sin importar qu tan complejo
sea, puede ser reducido a un sistema equivalente fuerza-par que acta en un
punto dado
(figura 4.1).
Figura 4.1
El sistema equivalente fuerza-par est definido por lasecuaciones:
Una vez que un sistema de
fuerzasdado se ha reducido a una fuerza y un par que
acta en el punto , dicho sistema puede reducirse auna fuerza y un par actuando en cualquier otro punto(figura 4.2). Figura 4.2
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Captulo 4 Sistemas equiv alentes de fuerza
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 33
Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si pueden ser
reducidos al mismo sistema fuerza-par en un punto dado .En el caso de que la fuerza resultante
y el par
en
sean perpendiculares entre s, pueden ser sustituidos por una sola fuerzaactuando a lo largo de una nueva lnea de accin. La fuerza resultante y el par en sern perpendiculares para sistemas constituidos por:
i. Fuerzas concurrentes
ii. Fuerzas coplanares
iii. Fuerzas paralelas
Fuerzas concurrentes Fuerzas coplanares Fuerzas paralelas
Figura 4.3
Problema 4.1Los pesos de dos nios sentados en los
extremosAy Bde un balancn son 84 lb
y 64 lb, respectivamente. Determine
dnde debe sentarse un tercer nio si la
resultante de las fuerzas de los pesos
de los tres nios debe pasar por C, y si
se sabe que el peso del tercer nio es
a) 60 lb, b) 52 lb.
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Captulo 4 Sistemas equiv alentes de fuerza
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 34
Solucin:
Tenemos que los pesos de los nios sentados en y son y ,respectivamente.
Consideremos el siguiente diagrama de cuerpo libre en el cual y son los pesosde los nios y la distancia , medida a la derecha de , indica la posicin en la cual habrde sentarse el tercer nio.
a) El peso del tercer nio es Aplicando :
b) El peso del tercer nio es Aplicando :
Problema 4.2Cuatro fuerzas actan sobre la placa de
700 X 375 mm como se muestra en la
figura. a) Encuentre la resultante de
estas fuerzas. b) Localice los dos
puntos en los que la lnea de accin de
la resultante interseca con el borde de la
placa.
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Captulo 4 Sistemas equiv alentes de fuerza
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 35
Solucin:
a) Resultante de estas fuerzas: Para definir correctamente las componentes de las fuerzas que actan en
y
calcularemos la longitud de los segmentos y , dichos segmentos son lashipotenusas de los tringulos y , por lo cual aplicaremos simplemente elteorema de Pitgoras.
Definamos la forma rectangular de cada una de las fuerzas que actan en lasesquina , y :
Tenemos que :
La magnitud de
se define como:
Y su direccin:
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Captulo 4 Sistemas equiv alentes de fuerza
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 36
b) Localice los dos puntos en los que la lnea de accin de la resultante interseca
con el borde de la placa.
Tomaremos sumatoria de momentos con respecto al punto ; note que las fuerzasque actan en y no producen momento con respecto a dicho punto, ya que sulnea de accin pasa por ste.
Podemos considerar las siguientes opciones para calcular los punto de
interseccin:
1.
2.
Por lo tanto, la resultante interseca en a laderecha de y en arriba de .
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Captulo 4 Sistemas equiv alentes de fuerza
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 37
Problema 4.3Al usar un sacapuntas manual, un
estudiante ejerce sobre ste las
fuerzas y el par que se muestran
en la figura. a) Determine las
fuerzas ejercidas en By en Csi se
sabe que las fuerzas y el par son
equivalentes a un sistema fuerza-
par en A que consta de la fuerza y elpar
b) Encuentre losvalores correspondientes de Ry yMx.
Solucin:
El sistema fuerza-par en est constituido por:
Sabemos que:
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Multiplicando por a la primera ecuacin:
Finalmente, los valores solicitados por el enunciado son:
a) y b) y .
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Captulo 4 Sistemas equiv alentes de fuerza
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 40
Problema 4.4Tres nios se encuentran parados en la
balsa de 5 X 5 m. Los pesos de los
nios que estn parados en A, B y C
son de 375 N, 260 N y 400 N,
respectivamente, determine la magnitud
y el punto de aplicacin de la resultante
de los tres pesos.
Solucin:
A partir de la figura del problema podemos establecer las coordenadas de la
posicin de cada nio y por lo tanto definir el punto de aplicacin de susrespectivos pesos.
La resultante de los pesos de los tres nios se calcula a continuacin:
El punto de aplicacin de la resultante estar dado por un punto de coordenadas ; tome en cuenta que tenemos un sistema de fuerzas paralelas y que stepuede ser reducido a una sola fuerza, la resultante .
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Captulo 4 Sistemas equiv alentes de fuerza
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 41
Plantearemos una sumatoria de momentos con respecto al eje x, tal que:
Ahora, realizaremos una sumatoria de momentos con respecto al eje z, tal que:
Podemos concluir con que la magnitud de la resultante es y que supunto de aplicacin tiene las siguientes coordenadas
, en metros
desde el origen.
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Captulo 5 Equi l ibr io en dos dimensiones
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 42
Captulo 5
Equilibrio en dosdimensiones
Un cuerpo rgidoen equilibrio esttico, es aquel en el que las
fuerzas externas y momentos estn equilibrados y no provocan movimiento de
traslacin o rotacin del cuerpo. Se dice que un cuerpo rgido est en equilibriosi
las fuerzas externas que actan sobre l forman un sistema equivalente a cero, es
decir:
A continuacin abordaremos el estudio del equilibrio de
estructuras bidimensionalessujetas a fuerzas contenidas en sus planos.
Cuando se resuelve un problema que involucra el equilibrio
de un cuerpo rgido, como ya se mencion anteriormente, es esencial considerar
todas las fuerzas externas que actan sobre el cuerpo, incluyendo las reacciones
en los apoyos o soportes. Por lo tanto, el primer paso en la solucin del problemadeber ser dibujar el diagrama de cuerpo libremostrando al cuerpo en estudio y
las fuerzas, conocidas o no, que actan sobre l.
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Captulo 5 Equi l ibr io en dos dimensiones
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 44
En el caso del equilibrio de estructuras bidimensionales las
reacciones ejercidas sobre la estructura por sus soportes podran involucrar una,
dos o tres incgnitas, dependiendo del tipo o condiciones de soporte; tres
ecuaciones de equilibrio son utilizadas:
Estas ecuaciones pueden ser utilizadas para resolver tresincgnitas. A pesar de que a las tres ecuaciones de equilibrio no se les pueden
aadir ecuaciones adicionales, cualquiera de ellas puede ser reemplazada por
otra, para ejemplificarlo consideremos la figura 5.2.
(a)(b)
(c)
(d) (e)
Figura 5.2
En la figura 5.2: (a) muestra una estructura bidimensional
sujeta a una carga constituida por las fuerzas externas , y ; (b)diagrama decuerpo libre correspondiente en el que se incluyen tanto las componentes
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Captulo 5 Equi l ibr io en dos dimensiones
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 45
rectangulares de la carga como las reacciones en sus soportes o apoyos; (c)
ecuaciones de equilibrio bidimensional; (d) se sustituye la sumatoria de fuerzas
verticales por una sumatoria de momentos con respeto al punto , de manera quela lnea
no sea paralela al eje
; por ltimo, en (e) se reemplaza tambin la
sumatoria de fuerzas horizontales por una sumatoria de momentos con respecto al
punto , teniendo la precaucin de que los puntos, y no sean colineales.
En la prctica, ser deseable elegir ecuaciones de equilibrio
que contengan una sola incgnita, puesto que as se elimina la necesidad de
resolver ecuaciones simultneas.
(a) (b)
Figura 5.3
En la armadura mostrada en la figura 5.3, las ecuaciones
que pueden obtenerse con una sola incgnita son:
Como cualquier conjunto de ecuaciones de equilibrio se
puede resolver para un mximo de tres incgnitas, no se pueden determinar por
completo las reacciones en los apoyos de una estructura rgida bidimensional si
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(a) (b)
Figura 5.6
La estructura de la figura 5.7 tambin tiene restriccionesimpropias.
(a) (b)
Figura 5.7
Un cuerpo rgido est impropiamente restringido siempre que
los apoyos estn ubicados de tal forma que las reacciones sean concurrentes o
paralelas.
Por otra parte, consideremos a continuacin un par de casos
particulares de equilibrio de un cuerpo rgido, sujeto a dos y tres fuerzas.
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Captulo 5 Equi l ibr io en dos dimensiones
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 48
Un cuerpo sujeto a dos fuerzas que actan nicamente en
dos puntos, figura 5.8, est en equilibrio si las resultantes y de dichasfuerzas, tienen la misma magnitud, la misma lnea de acciny sentidos opuestos.
Figura 5.8
Un cuerpo rgido sujeto a tres fuerzas que actan slo en
tres puntos, est en equilibrio si las resultantes , y de dichas fuerzas sonconcurrentes o paralelas.
Figura 5.9
La propiedad que se acaba de establecer puede utilizarse
para resolver problemas en forma grfica o matemtica a partir de relaciones
trigonomtricas o geomtricas simples.
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Captulo 5 Equi l ibr io en dos dimensiones
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 49
Problema 5.1
La mnsula BCDest articulada
en C y se une a una barra de
control en B. Para la carga
mostrada, determine a) la
tensin en el cable y b) la
reaccin en C.
Solucin:
Diagrama de cuerpo libre de la mnsula
En el diagrama de cuerpo libre podemos identificar la fuerza de tensin actuando en y las componentes de la reaccin en .Del tringulo , la longitud del segmento podemos obtenerla a partir delteorema de Pitgoras:
;
Y por lo tanto:
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Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 50
a) Tensin en el cable Aplicando la segunda condicin de equilibrio en
nicamente las fuerzas de y la componente horizontal de producenmomento con respecto a .
La magnitud de la tensin en el cable es por lo tanto:
Y las componentes de la tensin son:
b) Reaccin en .Por primera condicin de equilibrio, tenemos:
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Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 51
La magnitud de la reaccin en :
y su direccin:
Problema 5.2Se aplica una fuerza Pcon magnitud de
280 lb al elemento ABCD, el cual se
sostiene mediante un pasador sin
friccin enAy por medio del cable CED.
Como el cable pasa sobre una pequea
polea E, se puede suponer que la
tensin es la misma en los tramos CEyEDdel cable. Para el caso en que a= 3
in, determine a) la tensin en el cable,
b) la reaccin enA.
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Captulo 5 Equi l ibr io en dos dimensiones
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 52
Solucin:
Diagrama de cuerpo libre elemento
De manera similar a la solucin del problema anterior:
a) Tensin en el cable
Aplicando la segunda condicin de equilibrio en
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Captulo 5 Equi l ibr io en dos dimensiones
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 53
b) Reaccin en Por primera condicin de equilibrio, tenemos:
La magnitud de la reaccin en
:
y su direccin:
Tome en cuenta al observar el diagrama de cuerpo libre que en virtud a ladireccin de las componentes de la reaccin , el vector fuerza de la reaccin seubica en el segundo cuadrante.
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Captulo 5 Equi l ibr io en dos dimensiones
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 54
Problema 5.3
La barra AB se somete a la accin de
un par My a dos fuerzas, cada una de
las cuales tiene una magnitud P. a)
Obtenga una ecuacin en funcin de ,
P, My lque se cumpla cuando la barra
est en equilibrio. b) Determine el valor
de correspondiente a la posicin de
equilibrio cuando M= 150 Nm, P= 200
N y l= 600 mm.
Solucin:
Diagrama de cuerpo libre
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Captulo 5 Equi l ibr io en dos dimensiones
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 55
a) Obtenga una ecuacin en funcin de ,, yque se cumpla cuando la barraest en equilibrio.
Aplicando la segunda condicin de equilibrio en
b) Determine el valor de correspondiente a la posicin de equilibrio cuando , y Tenemos que:
Aplicando la siguiente identidad trigonomtrica:
Sustituyendo:
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Captulo 5 Equi l ibr io en dos dimensiones
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 56
Resolviendo la ecuacin cuadrtica:
Por lo tanto, los ngulos son:
=17.096
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Captulo 5 Equi l ibr io en dos dimensiones
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 57
Problema 5.4
Determine las reacciones en A y B
cuando a = 180 mm.
Solucin:
Diagrama de cuerpo libre, como puede observarse se trata del equilibrio de un
cuerpo rgido sujeto a tres fuerzas.
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Captulo 5 Equi l ibr io en dos dimensiones
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 58
Aplicando la ley de senos para calcular las reacciones:
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Captulo 6 Equi l ibr io en tres dimensiones
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 59
Captulo 6
Equilibrio en tresdimensiones
Al considerar el equilibrio de un cuerpo tridimensional, cada
una de las reacciones ejercidas sobre el cuerpo por sus apoyos puede involucrar
entre una y seis incgnitas, dependiendo del tipo de apoyo.
En general, las seis ecuaciones escalares de equilibriodeben
utilizarse y resolverse para seis incgnitas.
En la mayora de los problemas, las ecuaciones escalares
anteriores, se obtendrn de manera ms conveniente si primero se expresan las
fuerzas y los vectores de posicin en trminos de componentes escalares yvectores unitarios, es decir, como ecuaciones vectoriales:
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Captulo 6 Equi l ibr io en tres dimensiones
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 60
El producto vectorial se puede calcular, ya sea en forma
directa o por medio de determinantes, con el fin de obtener las ecuaciones
escalares deseadas igualando a cero los coeficientes de los vectores unitarios.
Se pueden eliminar hasta tres componentes de reaccin
desconocidas del clculo de en la segunda de las relaciones anteriores, pormedio de la seleccin cuidadosa del punto .
Adems, se pueden eliminar de la solucin de algunos
problemas las reacciones en dos puntos y escribiendo la ecuacin queinvolucra el clculo de los momentos de las fuerzas con respecto a un eje queune los puntosy
Por otra parte, si las reacciones involucran ms de seis
incgnitas, hay ms incgnitas que ecuaciones y algunas de las reacciones son
estticamente indeterminadas; si estas involucran menos de seis incgnitas, el
cuerpo rgido tiene restriccin parcial. Aunque existan seis incgnitas o ms
incgnitas, el cuerpo rgido estar impropiamente restringido si las reacciones
asociadas con los apoyos dados son paralelas o intersecan la misma lnea.
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Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 61
Figura 6.1Reacciones en apoyos y conexiones
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Captulo 6 Equi l ibr io en tres dimensiones
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 63
Si realizamos una sumatoria de momentos con respecto al eje z, podemos calcular
la reaccin en .
Por lo tanto, la reaccin en es igual a:
Ahora, plantearemos una sumatoria de momentos respecto al punto .
La reaccin en es igual a:
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Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 64
Finalmente, para calcular las componentes de la reaccin en , aplicaremos laprimera condicin de equilibrio, es decir:
Y, la reaccin en es igual a:
Problema 6.2
La placa rectangular que se
muestra en la figura pesa 80 lb y
se sostiene mediante tres
alambres verticales. Determine la
tensin en cada alambre.
Solucin:
A partir del diagrama de cuerpo libre que se muestra en la siguiente pginainiciaremos con el anlisis de ejercicio. Tome en cuenta que el peso de la placa serepresentar como una fuerza vertical, de magnitud , dirigida haciaabajo y que acta en un punto definido como .
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Captulo 6 Equi l ibr io en tres dimensiones
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 65
Sean , y las tensiones en cada unos de los alambres que sostienen laplaca en los puntos , y , respectivamente. Aplicando la segunda condicin deequilibrio en el punto :
Resolviendo simultneamente:
y
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Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 66
Ahora, por primera condicin de equilibrio:
Problema 6.3
Un brazo de 10 ft est sometido
a una fuerza de 840 lb como se
muestra en la figura. Determinela tensin en cada cable y la
reaccin en el apoyo de rtula
enA.
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Captulo 6 Equi l ibr io en tres dimensiones
Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 67
Solucin:
Diagrama de cuerpo libre de la barra :
A partir del diagrama de cuerpo libre de la barra podemos determinar losvectores fuerza y radio vectores:
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Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 68
Por sumatoria de momentos respecto al punto :
Finalmente:
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Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 69
Problema 6.4El bastidor ABCD se sostienemediante tres cables y un apoyo
de rtula enA. Para a= 150 mm,determine la tensin en cadacable y la reaccin enA.
Solucin:
Diagrama de cuerpo libre
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Resolviendo simultneamente:
, y Por ltimo:
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Problema 6.5
La placaABCDde 50 kg se sostiene
por medio de bisagras a lo largo delborde ABy mediante el alambre CE.
Si se sabe que la placa es uniforme,
determine la tensin en el alambre.
Solucin:
Diagrama de cuerpo libre
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Problemas selectos de esttica: sistemas equivalentes y equilibrio de cuerpos rgidos Pgina 73
Como puede apreciarse en el diagrama de cuerpo libre podemos realizar una
sumatoria de momentos con respecto al eje que pasa por el lado de la placa yas nos quedara nicamente una ecuacin con una incgnita; previamente
definiremos al vector unitario en la direccin del eje
, los radio vectores que van
del punto al punto de aplicacin del peso de la placa y de la tensin en y, los vectores fuerza y.
Ahora, la sumatoria de momentos con respecto al eje:
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Comentarios finales
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Comentarios finales
Es importante tomar en cuenta que en todos los cursos de
mecnica, la solucin de problemas es parte importante del proceso de
aprendizaje. Por tanto, el alumno deber estar conciente de que sus estudios se
dividirn en forma natural en dos partes: primero, comprender el desarrollo lgico
de los conceptos, y segundo, aplicar esos conceptos a situaciones prcticas. Lo
primero se logra estudiando las deducciones, explicaciones y ejemplos, y la
segunda parte se logra resolviendo los problemas propuestos. Los problemas que
se trabajan en el curso pueden ser de carcter numricoo de carcter simblico
(algebraico).
En los problemas numricos las magnitudes de todas las
cantidades son evidentes en cada etapa de los clculos y se requiere trabajar con
unidades especficas de medida (sistemas de unidades). Por su parte, los
problemas simblicos tienen la ventaja de que conducen a expresionesmatemticas de aplicacin general; una solucin algebraica muestra la forma en la
que cada variable afecta los resultados.
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Comentarios finales
Bibliografa Beer, Johnston, Mazurek, Eisenberg MECNICA VECTORIAL PARA
INGENIEROSEsttica 9 Edicin McGraw-Hill, Mxico 2010
http://www.mhhe.com/beerjohnston
http://highered.mcgraw-ill.com/sites/0073529400/information_center_view0/
http://www.mhhe.com/beerjohnstonhttp://www.mhhe.com/beerjohnstonhttp://highered.mcgraw-ill.com/sites/0073529400/information_center_view0/http://highered.mcgraw-ill.com/sites/0073529400/information_center_view0/http://highered.mcgraw-ill.com/sites/0073529400/information_center_view0/http://www.mhhe.com/beerjohnston