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Modelos de propagacion del SIDA
Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
Metodos Numericos Avanzados
3 de noviembre de 2005
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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Modelos de propagacion del SIDA
Utilizacion de la rutina ode45 de MatlabEjercicios
Contenidos
Ensamblaje de navesUtilizacion de la rutina ode45 de MatlabEjercicios
Osciladores no linealesEl plano de fases
Modelos de propagacion del SIDALa ecuacion logısticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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Modelos de propagacion del SIDA
Utilizacion de la rutina ode45 de MatlabEjercicios
Metodo de Euler
Ejemplo mas simple de los llamados Metodos Taylor
y ′ = f (x , y) y(x + h) = y(x) + y ′(x)h + O(h2)
Se reemplaza y ′ por f (x , y):
yk+1 = yk + hf (xk , yk)
Si continuamos calculando terminos con el polinomio de Taylorpodemos obtener metodos mas precisos con el coste de tener quecalcular las derivadas parciales de f .
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Modelos de propagacion del SIDA
Utilizacion de la rutina ode45 de MatlabEjercicios
Metodo de Runge-Kutta
Se evita calcular las derivadas de f mediante mas evaluaciones dela funcion:
y ′(x) = f (x , y)
y ′′(x) = fx + fyy ′ = fx + fy f
∆y = hf +h2
2(fx + fy f ) + O(h3)
=h
2f +
h
2(f + hfx + hfy f ) + O(h3)
f + h(fx + fy f ) = f (x + h, y + hf ) + O(h2)
F1 = f (x , y) F2 = f (x + h, y + hF1)
yk+1 = yk +h
2(F1 + F2)
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Modelos de propagacion del SIDA
Utilizacion de la rutina ode45 de MatlabEjercicios
Ecuacion para la trayectoria de la nave
x ′(t) = s(t)(X (t)− x(t)),
y ′(t) = s(t)(Y (t)− y(t)),
z ′(t) = s(t)(Z (t)− z(t)).
s(t) = k
√X ′(t)2 + Y ′(t)2 + Z ′(t)2√
(X (t)− x(t))2 + (Y (t)− y(t))2 + (Z (t)− z(t))2
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Modelos de propagacion del SIDA
Utilizacion de la rutina ode45 de MatlabEjercicios
Pasos de la resolucion numerica
I Definir una funcion para la trayectoria circular de la nave.
I Utilizar el comando ode45(‘funcion’,tspan,y0).
I Visualizacion: estatica o dinamica.
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Utilizacion de la rutina ode45 de MatlabEjercicios
Pasos de la resolucion numerica
I Definir una funcion para la trayectoria circular de la nave.
I Utilizar el comando ode45(‘funcion’,tspan,y0).
I Visualizacion: estatica o dinamica.
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Modelos de propagacion del SIDA
Utilizacion de la rutina ode45 de MatlabEjercicios
Pasos de la resolucion numerica
I Definir una funcion para la trayectoria circular de la nave.
I Utilizar el comando ode45(‘funcion’,tspan,y0).
I Visualizacion: estatica o dinamica.
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Modelos de propagacion del SIDA
Utilizacion de la rutina ode45 de MatlabEjercicios
Trayectoria de la nave
function c=circulo(t)global w teta fi %fi es el angulo del eje de rotacion
%respecto de e3
%teta es el angulo sobre el plano xy del corte del
%plano de rotacion con el xyt=t’; w=1; fi=pi/3; teta=pi/4;x=cos(w*t).*cos(teta)-sin(w*t).*cos(fi)*sin(teta);y=cos(w*t).*sin(teta)+sin(w*t).*cos(fi)*cos(teta);z=sin(w*t).*sin(fi); c=[x; y ;z];
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Modelos de propagacion del SIDA
Utilizacion de la rutina ode45 de MatlabEjercicios
Metodo de Runge-Kutta-Fehlberg
I Utiliza dos metodos R-K para adaptar el paso
I Es eficiente en el numero de evaluaciones.
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Modelos de propagacion del SIDA
Utilizacion de la rutina ode45 de MatlabEjercicios
Metodo de Runge-Kutta-Fehlberg
I Utiliza dos metodos R-K para adaptar el paso
I Es eficiente en el numero de evaluaciones.
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Modelos de propagacion del SIDA
Utilizacion de la rutina ode45 de MatlabEjercicios
Visualizacion: Ejemplo de animacion en 3D
clear all...p=plot3(estacion(1,1),estacion(2,1),estacion(3,1),...’+g’,’EraseMode’,’none’,’MarkerSize’,5);hold on;
% poner EraseMode ’none’ para que se vea la estelaq=plot3(y(1,1),y(2,1),y(3,1),’*r’,...’EraseMode’,’xor’,’MarkerSize’,10);legend(’nave’,’estacion’)y=y’; axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5 -1.5 1.5])for i=2:length(t);set(p,’XData’,estacion(1,i),’YData’,estacion(2,i),...’ZData’,estacion(3,i))set(q,’XData’,y(1,i),’YData’,y(2,i),’ZData’,y(3,i))
drawnow, end, hold off
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Modelos de propagacion del SIDA
Utilizacion de la rutina ode45 de MatlabEjercicios
Ejercicio 1: Modelo de competencia
I Definir una funcion competicion.m.
I animar la solucion para visualizar los puntos de equilibrio.
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Modelos de propagacion del SIDA
Utilizacion de la rutina ode45 de MatlabEjercicios
Ejercicio 1: Modelo de competencia
I Definir una funcion competicion.m.
I animar la solucion para visualizar los puntos de equilibrio.
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Modelos de propagacion del SIDA
Utilizacion de la rutina ode45 de MatlabEjercicios
Ejercicio 2: Modelo de Robertson
I Utilizar el comando subplot para comparar la evolucion delas distintas especies.
I Comparar el numero de nodos de cada solucion.
I Comparar el tiempo de resolucion de ambos metodosutilizando los comandos tic,toc o etime
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Modelos de propagacion del SIDA
Utilizacion de la rutina ode45 de MatlabEjercicios
Ejercicio 2: Modelo de Robertson
I Utilizar el comando subplot para comparar la evolucion delas distintas especies.
I Comparar el numero de nodos de cada solucion.
I Comparar el tiempo de resolucion de ambos metodosutilizando los comandos tic,toc o etime
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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Modelos de propagacion del SIDA
Utilizacion de la rutina ode45 de MatlabEjercicios
Ejercicio 2: Modelo de Robertson
I Utilizar el comando subplot para comparar la evolucion delas distintas especies.
I Comparar el numero de nodos de cada solucion.
I Comparar el tiempo de resolucion de ambos metodosutilizando los comandos tic,toc o etime
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Modelos de propagacion del SIDA
El plano de fasesEl pendulo no linealEjercicio 1Ejercicio 2
Contenidos
Ensamblaje de navesUtilizacion de la rutina ode45 de MatlabEjercicios
Osciladores no linealesEl plano de fases
Modelos de propagacion del SIDALa ecuacion logısticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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Modelos de propagacion del SIDA
El plano de fasesEl pendulo no linealEjercicio 1Ejercicio 2
Sistema autonomo de dos ODE’s
x ′(t) = f (x(t), y(t))
y ′(t) = g(x(t), y(t))
dy
dx=
g(x , y)
f (x , y)
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Modelos de propagacion del SIDA
El plano de fasesEl pendulo no linealEjercicio 1Ejercicio 2
Sistema autonomo de dos ODE’s
x ′(t) = f (x(t), y(t))
y ′(t) = g(x(t), y(t))
dy
dx=
g(x , y)
f (x , y)
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Modelos de propagacion del SIDA
El plano de fasesEl pendulo no linealEjercicio 1Ejercicio 2
Sistema autonomo de dos ODE’s
x ′(t) = f (x(t), y(t))
y ′(t) = g(x(t), y(t))
dy
dx=
g(x , y)
f (x , y)
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Modelos de propagacion del SIDA
El plano de fasesEl pendulo no linealEjercicio 1Ejercicio 2
Ecuacion de segundo orden
y ′′ = f (y , y ′)⇐⇒ y2 = y ′(t) y1 = y(t)
y ′1 = y2
y ′2 = f (y1, y2)
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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Modelos de propagacion del SIDA
El plano de fasesEl pendulo no linealEjercicio 1Ejercicio 2
Ecuacion de segundo orden
y ′′ = f (y , y ′)⇐⇒ y2 = y ′(t) y1 = y(t)
y ′1 = y2
y ′2 = f (y1, y2)
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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Modelos de propagacion del SIDA
El plano de fasesEl pendulo no linealEjercicio 1Ejercicio 2
Ecuacion de pendulo
y ′′ + sen(y) = 0⇐⇒ y ′1 = y2, y ′2 = − sen(y1)
I Definir la funcion del segundo miembro pend.m
I Definir el intervalo temporal para las soluciones y fijar losdatos iniciales.
I Programa pendulo.m (script).
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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El plano de fasesEl pendulo no linealEjercicio 1Ejercicio 2
Ecuacion de pendulo
y ′′ + sen(y) = 0⇐⇒ y ′1 = y2, y ′2 = − sen(y1)
I Definir la funcion del segundo miembro pend.m
I Definir el intervalo temporal para las soluciones y fijar losdatos iniciales.
I Programa pendulo.m (script).
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El plano de fasesEl pendulo no linealEjercicio 1Ejercicio 2
Ecuacion de pendulo
y ′′ + sen(y) = 0⇐⇒ y ′1 = y2, y ′2 = − sen(y1)
I Definir la funcion del segundo miembro pend.m
I Definir el intervalo temporal para las soluciones y fijar losdatos iniciales.
I Programa pendulo.m (script).
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Modelos de propagacion del SIDA
El plano de fasesEl pendulo no linealEjercicio 1Ejercicio 2
Ecuacion de pendulo
y ′′ + sen(y) = 0⇐⇒ y ′1 = y2, y ′2 = − sen(y1)
I Definir la funcion del segundo miembro pend.m
I Definir el intervalo temporal para las soluciones y fijar losdatos iniciales.
I Programa pendulo.m (script).
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Modelos de propagacion del SIDA
El plano de fasesEl pendulo no linealEjercicio 1Ejercicio 2
Efectos de friccion
y ′′ + y ′ + sen(y) = 0⇐⇒ y ′1 = y2, y ′2 = − sen(y1)− y2
I Definir la funcion del segundo miembro pendf.m
I Definir el intervalo temporal para las soluciones y fijar losdatos iniciales.
I Programa pendulof.m (script).
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Modelos de propagacion del SIDA
El plano de fasesEl pendulo no linealEjercicio 1Ejercicio 2
Efectos de friccion
y ′′ + y ′ + sen(y) = 0⇐⇒ y ′1 = y2, y ′2 = − sen(y1)− y2
I Definir la funcion del segundo miembro pendf.m
I Definir el intervalo temporal para las soluciones y fijar losdatos iniciales.
I Programa pendulof.m (script).
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Modelos de propagacion del SIDA
El plano de fasesEl pendulo no linealEjercicio 1Ejercicio 2
Efectos de friccion
y ′′ + y ′ + sen(y) = 0⇐⇒ y ′1 = y2, y ′2 = − sen(y1)− y2
I Definir la funcion del segundo miembro pendf.m
I Definir el intervalo temporal para las soluciones y fijar losdatos iniciales.
I Programa pendulof.m (script).
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El plano de fasesEl pendulo no linealEjercicio 1Ejercicio 2
Efectos de friccion
y ′′ + y ′ + sen(y) = 0⇐⇒ y ′1 = y2, y ′2 = − sen(y1)− y2
I Definir la funcion del segundo miembro pendf.m
I Definir el intervalo temporal para las soluciones y fijar losdatos iniciales.
I Programa pendulof.m (script).
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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Modelos de propagacion del SIDA
El plano de fasesEl pendulo no linealEjercicio 1Ejercicio 2
Modelo depredador-presa
I Utilizar los comandos meshgrid y contour para ver lascurvas de nivel de la solucion exacta.
I Utilizar quiver para visualizar el plano de fases.
I Valores de las constantes: a=0.2, b=0.005, c=0.15*b, d=0.3y realizar la grafica entre los lımites: [0 1000,0 100].
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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Modelos de propagacion del SIDA
El plano de fasesEl pendulo no linealEjercicio 1Ejercicio 2
Modelo depredador-presa
I Utilizar los comandos meshgrid y contour para ver lascurvas de nivel de la solucion exacta.
I Utilizar quiver para visualizar el plano de fases.
I Valores de las constantes: a=0.2, b=0.005, c=0.15*b, d=0.3y realizar la grafica entre los lımites: [0 1000,0 100].
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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Modelos de propagacion del SIDA
El plano de fasesEl pendulo no linealEjercicio 1Ejercicio 2
Modelo depredador-presa
I Utilizar los comandos meshgrid y contour para ver lascurvas de nivel de la solucion exacta.
I Utilizar quiver para visualizar el plano de fases.
I Valores de las constantes: a=0.2, b=0.005, c=0.15*b, d=0.3y realizar la grafica entre los lımites: [0 1000,0 100].
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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Modelos de propagacion del SIDA
El plano de fasesEl pendulo no linealEjercicio 1Ejercicio 2
Modelo depredador-presa con competicion
I Utilizar los comandos meshgrid y quiver para visualizar lospuntos de equilibrio en el plano de fases.
I Valores de c : 2,−2.
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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Modelos de propagacion del SIDA
El plano de fasesEl pendulo no linealEjercicio 1Ejercicio 2
Modelo depredador-presa con competicion
I Utilizar los comandos meshgrid y quiver para visualizar lospuntos de equilibrio en el plano de fases.
I Valores de c : 2,−2.
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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Modelos de propagacion del SIDA
La ecuacion logısticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion
Contenidos
Ensamblaje de navesUtilizacion de la rutina ode45 de MatlabEjercicios
Osciladores no linealesEl plano de fases
Modelos de propagacion del SIDALa ecuacion logısticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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Modelos de propagacion del SIDA
La ecuacion logısticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion
Ejemplo
Un modelo simplificado: La tasa de infectados es proporcional alnumero de interacciones entre la poblacion sana y la enferma:
A′(t) = c(P − A(t))A(t)
P es la poblacion total, A(t) es el numero de afectados por laenfermedad en el instante t.P − A(t) representa el numero de individuos sanos dentro de lapoblacion en el instante t.Si P = 50000, A(0) = 100, se puede calcular c a partir de algundato empırico A(10) = 1000. c = 4,6416× 10−6. Para infectar a lamitad de la poblacion harıan falta aproximadamente 27 semanas.
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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Modelos de propagacion del SIDA
La ecuacion logısticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion
Hipotesis
I El flujo de nuevos individuos susceptibles de ser contagiadoses constante.
I Los individuos susceptibles pueden convertirse en infecciosos omorir de muerte natural.
I Los individuos infecciosos pueden morir de muerte natural,desarrollar el SIDA o convertirse en no infecciosos.
I La gente con SIDA puede morir de SIDA o de muerte natural.
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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La ecuacion logısticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion
Hipotesis
I El flujo de nuevos individuos susceptibles de ser contagiadoses constante.
I Los individuos susceptibles pueden convertirse en infecciosos omorir de muerte natural.
I Los individuos infecciosos pueden morir de muerte natural,desarrollar el SIDA o convertirse en no infecciosos.
I La gente con SIDA puede morir de SIDA o de muerte natural.
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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La ecuacion logısticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion
Hipotesis
I El flujo de nuevos individuos susceptibles de ser contagiadoses constante.
I Los individuos susceptibles pueden convertirse en infecciosos omorir de muerte natural.
I Los individuos infecciosos pueden morir de muerte natural,desarrollar el SIDA o convertirse en no infecciosos.
I La gente con SIDA puede morir de SIDA o de muerte natural.
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La ecuacion logısticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion
Hipotesis
I El flujo de nuevos individuos susceptibles de ser contagiadoses constante.
I Los individuos susceptibles pueden convertirse en infecciosos omorir de muerte natural.
I Los individuos infecciosos pueden morir de muerte natural,desarrollar el SIDA o convertirse en no infecciosos.
I La gente con SIDA puede morir de SIDA o de muerte natural.
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Modelos de propagacion del SIDA
La ecuacion logısticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion
Tipos de poblacion
I X representa a los individuos susceptibles de desarrollar elSIDA.
I Y representa a los individuos infecciosos, capaces de contagiarel HIV.
I Z representa al numero de individuos seropositivos noinfecciosos.
I A representa a los individuos que han desarrollado el SIDA.
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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La ecuacion logısticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion
Tipos de poblacion
I X representa a los individuos susceptibles de desarrollar elSIDA.
I Y representa a los individuos infecciosos, capaces de contagiarel HIV.
I Z representa al numero de individuos seropositivos noinfecciosos.
I A representa a los individuos que han desarrollado el SIDA.
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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La ecuacion logısticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion
Tipos de poblacion
I X representa a los individuos susceptibles de desarrollar elSIDA.
I Y representa a los individuos infecciosos, capaces de contagiarel HIV.
I Z representa al numero de individuos seropositivos noinfecciosos.
I A representa a los individuos que han desarrollado el SIDA.
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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Modelos de propagacion del SIDA
La ecuacion logısticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion
Tipos de poblacion
I X representa a los individuos susceptibles de desarrollar elSIDA.
I Y representa a los individuos infecciosos, capaces de contagiarel HIV.
I Z representa al numero de individuos seropositivos noinfecciosos.
I A representa a los individuos que han desarrollado el SIDA.
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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Modelos de propagacion del SIDA
La ecuacion logısticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion
Parametros
I β tasa de reclutamiento de individuos susceptibles.
I µ tasa de muerte natural.
I λ probabilidad de infectarse a partir de una pareja aleatoria.
I c numero de parejas que tiene un individuo por unidad detiempo (ano).
I d tasa de muerte por SIDA.
I ν tasa de seropositivos infecciosos que mutan a seropositivosno-infecciosos.
I p proporcion de individuos que contraen el sida entre losinfecciosos.
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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La ecuacion logısticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion
Parametros
I β tasa de reclutamiento de individuos susceptibles.
I µ tasa de muerte natural.
I λ probabilidad de infectarse a partir de una pareja aleatoria.
I c numero de parejas que tiene un individuo por unidad detiempo (ano).
I d tasa de muerte por SIDA.
I ν tasa de seropositivos infecciosos que mutan a seropositivosno-infecciosos.
I p proporcion de individuos que contraen el sida entre losinfecciosos.
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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La ecuacion logısticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion
Parametros
I β tasa de reclutamiento de individuos susceptibles.
I µ tasa de muerte natural.
I λ probabilidad de infectarse a partir de una pareja aleatoria.
I c numero de parejas que tiene un individuo por unidad detiempo (ano).
I d tasa de muerte por SIDA.
I ν tasa de seropositivos infecciosos que mutan a seropositivosno-infecciosos.
I p proporcion de individuos que contraen el sida entre losinfecciosos.
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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La ecuacion logısticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion
Parametros
I β tasa de reclutamiento de individuos susceptibles.
I µ tasa de muerte natural.
I λ probabilidad de infectarse a partir de una pareja aleatoria.
I c numero de parejas que tiene un individuo por unidad detiempo (ano).
I d tasa de muerte por SIDA.
I ν tasa de seropositivos infecciosos que mutan a seropositivosno-infecciosos.
I p proporcion de individuos que contraen el sida entre losinfecciosos.
Metodos Numericos Avanzados Capıtulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias
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La ecuacion logısticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion
Parametros
I β tasa de reclutamiento de individuos susceptibles.
I µ tasa de muerte natural.
I λ probabilidad de infectarse a partir de una pareja aleatoria.
I c numero de parejas que tiene un individuo por unidad detiempo (ano).
I d tasa de muerte por SIDA.
I ν tasa de seropositivos infecciosos que mutan a seropositivosno-infecciosos.
I p proporcion de individuos que contraen el sida entre losinfecciosos.
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La ecuacion logısticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion
Parametros
I β tasa de reclutamiento de individuos susceptibles.
I µ tasa de muerte natural.
I λ probabilidad de infectarse a partir de una pareja aleatoria.
I c numero de parejas que tiene un individuo por unidad detiempo (ano).
I d tasa de muerte por SIDA.
I ν tasa de seropositivos infecciosos que mutan a seropositivosno-infecciosos.
I p proporcion de individuos que contraen el sida entre losinfecciosos.
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La ecuacion logısticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion
Parametros
I β tasa de reclutamiento de individuos susceptibles.
I µ tasa de muerte natural.
I λ probabilidad de infectarse a partir de una pareja aleatoria.
I c numero de parejas que tiene un individuo por unidad detiempo (ano).
I d tasa de muerte por SIDA.
I ν tasa de seropositivos infecciosos que mutan a seropositivosno-infecciosos.
I p proporcion de individuos que contraen el sida entre losinfecciosos.
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La ecuacion logısticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion
X ′ = β − µX − λcX λ =A + Y
NY ′ = λcX − (µ + ν + p)Y
A′ = pY − (d + µ)A
Z ′ = νY − µZ
N(t) = X (t) + Y (t) + Z (t) + A(t)
Valores de las constantes:
X (0) = 90000, Y (0) = 10000, A(0) = 0, Z (0) = 0
β = 13333,3, d = 1,33, ν = 0,237, µ = 1/32, p = 0,3
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