Elipse

ndiceLa Elipse.La Elipse como lugar geomtrico.Elementos de la elipse.Ecuacin analtica de la elipse.Ejemplo.Propiedades de reflexin de la elipse.

ElipseLa elipse, se origina al cortar un cono con un plano que no pase por el vrtice del cono y cuyo ngulo de inclinacin respecto al eje del cono es mayor que el de la generatriz del cono.VrticeEjePlanoElipseGeneratriz

La Elipse como lugar GeomtricoElipse es el lugar geomtrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Elementos de la ElipseEn toda elipse convine considerar:

F y F: Son los puntos fijos llamados focos.

2c: Se le llama distancia focal y es la distancia que hay entre los dos focos.

P: Cualquier punto de la elipse.

PF y PF: Son los radio vectores de la elipse.

2a: Es la suma de los radio vectores.BBAAFFP2a2c

Elementos de la ElipseEje focal: Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF.

C: Es el centro de la Elipse.

B y B A y A : Son los vrtices de la elipse.

AA: Es el eje mayor de la elipse y su longitud es 2a.

BB: Es el eje menor de la elipse y su longitud es 2b. BBAAFFP2a2cC2b

Ecuacin Analtica de la Elipse Para simplificar la explicacin ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c,0) y F' ( c,0). Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces: PF + PF' = 2a. Aplicando Pitgoras tenemos que:

Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las races y desarrollamos los cuadrados

A partir del dibujo y aplicando Pitgoras podemos obtener que:a2 = b2 + c2 b2 = a2 c2

Piensa que cuando el punto P es (0,b) la hipotenusa debe medir a y el otro cateto c

Reemplazando en la ecuacin tenemos que:b2x2 + a2y2 a2b2 = 0 b2x2 + a2y2 = a2b2

Dividiendo entre a2b2 obtenemos que:

Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuacin debera de ser: Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 + a2y2 2xpb2 2yqa2 + p2b2 + q2a2 a2b2 = 0

Si hacemos:A = b2B = a2 C = 2pb2D = 2qa2E = p2b2 + q2a2 a2b2

Tendremos la ecuacin: Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los trminos A y B no necesitan ser iguales. Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0

EjemploEsbcese la elipse 9x2 + 25y2 = 225.

Al dividir entre 225 se obtiene:

Como el denominador de x2 es mayor que y2, el eje mayor esta a lo largo de el eje x.

Adems a2 = 25, b2 = 9 y c2 = 16 por consiguiente los vrtices estn en ( 5, 0), los extremos del eje menor en ( 0, 3) y los focos en ( 4, 0).Haz click y observa la grfica

Propiedad de reflexin de la elipse:Apolonio demostr que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco.