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7/26/2019 Electrodinmica Relativista I,II,III
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Electrodinmica relativista I
Aunque este tema corresponde ms bien a la Teora Especial de la Relatividad que a la Relatividad
General, se ha puesto aqu siguiendo no slo la metodologa pedaggica que indica que los temas
deben ser puestos en orden ascendente de difcultad sino tomando en cuenta el hecho de que el
tratamiento del tema requiere de un conocimiento previo del anlisis tensorial que no se acostumbr
dar en un curso introductorio de la Teora Especial de la Relatividad pero que es mandatorio antes d
entrar de lleno en el tema de la Relatividad General. Este tema requiere de cierta amiliaridad con la
nociones bsicas del electromagnetismo.
Antes de que hubiera una Teora de la Relatividad, ya haba una teora matemtica del
electromagnetismo en la cual se inspir Einstein, a grado tal que su primera publicacin se titul
obre la electrodinmica de los cuerpos en movimiento!" Estudiar los orgenes de las ideas de Einst
invariablemente lleva a cualquiera a estudiar los tratados del matemtico #ames $ler% &a'(ell
basadas en la tesis de que en los )enmenos electromagn*ticos lo que importa es el movimiento
relativo de las cargas el*ctricas y los campos el*ctricos en movimiento"
Empe+aremos con el estudio de una seal via-era que en cierto instante de tiempo podemos visuali+
como estacionaria con la siguiente )orma de onda que corresponde a una onda senoidal alternando
entre valores positivos y negativos.
/a ecuacin que nos describe una onda de este tipo cuya amplitud 0que puede ser la amplitud de un
campo el*ctrico Eo de un campo magn*tico Bes A es la siguiente.
y (x)=A sen(kx)
en donde % es una constante num*rica conocida como la constante de propagacincuya 1nica )unc
es estirar! o comprimir! la onda senoidal hori+ontalmente"
i queremos poner a la onda estacionaria de arriba en movimiento, basta con modi2car la e'presin
agregando la variable tiempo t de la siguiente manera.
y (x)=A sen(kxt)
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en donde 3 es otra constante num*rica cuya )uncin es )i-ar la velocidad a la cual se est despla+an
la seal hacia la derecha 0si queremos que la seal se desplace hacia la i+quierda al ir aumentando e
valor de t en el sentido positivo, reempla+amos el signo negativo con un signo positivo4"
/a ecuacin anterior es vlida en una sola dimensin medida a lo largo del e-e5'" 6ero si queremos
describir una onda senoidal via-ando en un espacio tri5dimensional $artesiano, reempla+amos a la
variable ' por el vector posicin x7 0'8,'9,':4 multiplicado en producto escalar vectorial por el vecto
de propagacink7 0%8,%9,%:4 de modo tal que.
k x7 0%8,%9,%:4 ; 0'8,'9,':4 7 %8'8< %9'9< %:':
=e este modo, llegamos a la siguiente ecuacin de onda en donde haremos un ligero cambio de
notacin para denotar la amplitud instantnea como > y la amplitud m'ima como > ?.
(x )=0 sen(k xt)
@tra ecuacin igualmente vlida es la siguiente en la cual usamos la )uncin cosenoidal en lugar de
)uncin senoidal.
(x )=0cos(k xt)
sando la ecuacin de Euler.
ei =cos +isen
podemos escribir.
=0exp i(k xt)
Esta es la ecuacin general de una onda via-era plana de amplitud > ?medida por un observador en
reposo" Esperamos que, desde la perspectiva de la Teora de la Relatividad, la ecuacin de esta onda
via-era para otro observador en movimiento relativo con respecto al observador en reposo, tenga la
misma )orma 0invariante4.
=0exp i(k x t )
!a onda plana debe seguir siendo plana porque la transormacin del marco de reerencia " al marc
de reerencia "# es una transormacin linear0trans)ormacin de /orent+4"
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A continuacin llevaremos a cabo la construccin de un B5vector que llamaremos K, un $%vector de
propagacinque aadiremos a nuestra lista de B5vectores" 6ara ello, escribiremos los )actores de
)ase! de las ondas > y >C de la siguiente manera como el producto vectorial escalar de dos vectores
dos componentes cada uno.
k xt=k x+(i/c)(ict) k xt=(k,i /c) (x , ict) k xt=K X
y del mismo modo.
k x t=(k , i /c )(x , ict)=K X Ahora bien , habiendo hecho x B ict , con lo cual.
X7 0x, 'B4 7 0'8, '9, ':, 'B4
no nos debe quedar ninguna duda de que este es un B5vector posicin, y de que el producto
escalar K X es una invariante, o sea.
K X =K Xe concluye que
Kes un B5vector de propagacin cuyas componentes espaciales
son las mismas de k y cuya cuarta componente, la componente temporal, es i3Dc" iendo as, las
cuatro componentes del B5vector K se deben trans)ormar de manera id*ntica a como se
trans)orman las componentes del B5vector posicin X " Esta similitud nos permite obtener las
ecuaciones de trans)ormacin del B5vector K para pasarlo de un sistema de re)erencia a otro
sistema de re)erencia S " aciendo una comparacin con la )rmula para la componente tempora
que obtuvimos en la entrada previa Rotaciones y trans)ormaciones! para la trans)ormacingenerali+ada de /orent+.
puesto que t en esta )rmula se corresponde con 3DcF y puesto que xse corresponde con k, tenemo
entonces el siguiente resultado.
i la velocidad del marco de re)erencia C con respecto al marco de re)erencia es v, y si G es el ng
entre los :5vectores ky v, entonces con % 7 3DcF obtenemos la siguiente e'presin que nos
proporciona la )recuencia de la onda electromagn*tica en el sistema C.
=[1(v /c )cos] que podemos escribir de la siguiente manera.
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Esta, desde luego, es la )rmula para el despla+amiento =oppler relativista"
Ahora bien, para una nube de carga el*ctrica!, en un sistema de re)erencia en donde la cargael*ctrica est en reposo, un elemento in2nitesimal de carga el*ctrica dq est dado por el producto d
la densidad de carga el*ctrica H?y un elemento in2nitesimal de volumen.
dq=0 dV
i ba-o un esquema relativista la carga el*ctrica es algo que debe ser conservado, entonces la carga
el*ctrica dq, vista desde un sistema de re)erencia C en movimiento, debe permanecer invariable, es
es.
dq=0 dV=0 dV =dq en donde.
d 7 d'8d'9d':JJen
dC 7 d'C8d'C9d'C:JJen C
i C se mueve a lo largo del e-e5'8de con una velocidad , entonces d'C 97 d'9y d'C:7 d':, pero
d'C8e'perimentar una contraccin relativista de longitud igual a.
d'C87 d'8 (1V /c )
Entonces.
H? d 7 HdC 7 H d'C8d'C9d'C:7 H d'8d'9d': (1V /c )
H? d 7 H d (1V /c )
Esto se traduce en una variacin de la densidad de carga el*ctrica por unidad de volumen de acuerd
con la relacin.
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H 7 H? D (1V /c )
=e este modo, la densidad de carga el*ctrica H de un sistema en movimiento est relacionada con la
densidad de cargalocalH? de la misma manera en que la masa y la masa propia estn relacionadas"
ley de la conservacin de la carga el*ctrica se sigue aplicando a la carga totalpero no a la densidad
carga el*ctrica"
$lsicamente, en el :5espacio Euclideano, la densidad de corriente el*ctricaJes simplemente lacantidad de carga por unidad de tiempo que est atravesando una super2cie en un momento dado.
En la 2gura de arriba, una corriente el*ctrica de B amperes est circulando a trav*s de un conductor
cuyo tramo inicial tiene una super2cie transversal 8igual a B centmetros, la cual se reduce a una
super2cie transversal 9igual a 8 centmetro cuadrado" @bviamente, la densidad de corriente el*ctr
es cuatro veces mayor en el segundo tramo del conductor que en el primero, esto es precisamente
que nos mide elJtridimensional" /a corriente de carga el*ctrica I que est atravesando una super2c
est dada por la siguiente de2nicin vectorial.
siendo nun vector unitario normal a la super2cie que est siendo atravesada por la corriente y
siendoJ7 0#', #y, #+4" 6or su parte, el $%vectordensidad de corrienteJ7 0#K4 est de2nido como se ha
indicado arriba, siendo H la densidad de carga el*ctrica de modo tal que la carga in)initesimal dL envolumen pequeo est dada por Hd:', o bien, para la carga completa encerrada en un :5volumen
Euclideano.
=! ! ! dx dyd"
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Resulta obvio que en la teora relativista la densidad de corriente el*ctricaJy la densidad de carga
el*ctrica H no pueden ser entidades )sicas independientes puesto que una carga el*ctrica que
permanece esttica en un sistema de re)erencia en reposo se nos convertir en una distribucin d
corriente el*ctrica en un marco de re)erencia mvil" Esto nos proporciona la -usti2cacin que
necesitamos para -untar la densidad de corriente el*ctricaJy la densidad de carga el*ctrica H en un
vectorJde la siguiente manera.
#=
( c, #) #=
( c , $ ) J7 0cH? D 1%V
2
c2 , uH? D 1%
V2
c2 4
J7 H? 0cD 1%
V2
c2
, uH? D 1%
V2
c2 4
J7 H?( c , $ )
Aqu podemos reconocer casi de inmediato lo que tenemos entre los par*ntesis" Es el B5vector
velocidad Uque ya habamos visto con anterioridad al introducir el tema de los B5vectores" Es as collegamos al siguiente resultado bsico.
J7 H? U
6uesto que H?, la densidad de carga el*ctrica local medida en el sistema de re)erencia en reposo , e
una invariante escalar, y Ues un B5vector, el B5vector velocidad,Jdebe poseer las mismas propieda
de trans)ormacin de Uy por lo tanto tambi*n es un B5vector"
Ma se ha mencionado con anterioridad cmo para desarrollar la Teora Especial de la RelatividadEinstein se inspir en la teora del electromagnetismo de &a'(ell, en la cual tampoco hay
observadores privilegiados capaces de poder detectar el movimiento absoluto" iendo as, no nos de
e'traar el que las ecuaciones de campo del electromagnetismo son invariantes bajo las
transformaciones de Lorentz
En la electrodinmica clsica, tanto el vector del campo el*ctrico E7 0E8,E9,E:4 como el vector del
campo magn*tico B7 0N8,N9,N:4 no son B5vectores, constan de tres componentes" in embargo, las
componentes E8, E9, E:, N8, N9y N:pueden ser utili+adas para de2nir un tensor antisim*trico como lo
veremos a continuacin" En el procedimiento, utili+aremos la convencin.
0'8, '9, ':, 'B4 7 0ct, ', y, +4
!"#BLE$%. "e puede defnir un tensor antisim&trico&7 0OKP4 mediante las siguientes relaciones'
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O8i7 5 EiJJ0i 7 9, :, B4
O9B7 N9JJJO:97 N:JJJOB:7 N8
Encontrar todas las dems componentes a partir de estas relaciones ( acomodarlas en un arreglo
matricial.
6uesto que &es un tensor antisim&trico, entonces todos los elementos en la diagonal principal de la
matri+ deben ser iguales a cero.
O887 O997 O::7 OBB7 ?
6or otro lado, puesto que O8i7 5 Eipara i 7 9, :, B.
O897 5 E8JJJO8:7 5 E9JJJO8B7 5 E:
y en virtud de la antisimetra.
O987 E8JJJO:87 E9JJJOB87 E:
&s a1n.
O9B7 N9JJJO:97 N:JJJOB:7 N8
y en virtud de la antisimetra.
OB97 5 N9JJJO9:7 5 N:JJJO:B7 5 N8
Tenemos todos los elementos que necesitamos para acomodarlos en la siguiente matri+.
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Este tensor es me-or conocido como el tensor de &arada', y logra uni2ca en un B5espacio las tres
componentes del vector campo el*ctrico Econ las tres componentes del vector campo magn*tico B
i en ve+ de utili+ar sub5ndices num*ricos para representar los componentes alineados con las
coordenadas generali+adas de los componentes de Ey Butili+amos lo que realmente signi2can dich
sub5ndices en coordenadas $artesianas 0rectangulares4 entonces el tensor de Oaraday que tenemos
arriba, un tensor contravariante de orden dos, se puede escribir del siguiente modo menos con)uso.
Es importante tomar nota de lo siguiente.los sub%ndices num&ricos empleados para distinguir las
componentes deE( deBno se corresponden directamente con los ndices num&ricos empleados p
distinguir los )* componentes del tensor de +arada("
na cosa que suele sorprender a algunos principiantes en el tema de la Relatividad Qeneral es que e
tensor m*trico g, muy caracterstico de la m*trica que describe la curvatura del espacio5tiempo en u
B5espacio relativista, pueda ser utili+ado tambi*n para subir los ndices de los componentes de un
tensor electromagn*tico, tomando en cuenta el hecho de que el electromagnetismo y la gravedad s
dos )enmenos )sicos di)erentes" o lleva mucho tiempo adaptarse a esta nueva idea siempre (
cuando nos mantengamos en el mbito de la Teora Especial de la Relatividad, llevndonos a
sospechar eventualmente que el campo electromagn*tico y el campo gravitacional tal ve+ puedan s
uni2cados ba-o un solo esquema matemtico, y de hecho esto sucedi como lo demuestr el traba-o
Salu+a5Slein al respecto" Aceptando esto como un hecho, podemos utili+ar al tensor m*trico g del
espacio%tiempo plano de la Teora Especial de la Relatividad para ba-ar ambos ndices del tensor de
Oaraday dado arriba" 6odemos obtener el tensor de Oaraday con dos ndices covariantes ba-ando cad
ndice del tensor de Oaraday que se acaba de dar arriba con la ayuda del tensor m*trico g7 0gU4 qu
corresponde al elemento de lnea propio de un B5espacio /orent+iano en donde hacemos c 7 8 para
2nes de simpli2cacin.
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la operacin del descenso de los dos ndices se puede representar de la siguiente manera.
OU7 gVOVWgWU
/a ecuacin anterior es una ecuacin tensorial en notacin de componentes que requiere llevar a ca
una doble sumatoria sobre los ndices repetidos" El cmputo se puede )acilitar si en lugar de laecuac
tensorial utili+amos la ecuacin matricial correspondiente.
6odemos multiplicar las dos primeras matrices y multiplicar el producto resultante por la tercera
matri+, o podemos multiplicar las 1ltimas dos matrices y multiplicer el producto resultante por laprimera matri+, el resultado ser el mismo en virtud de la propiedad asociativa de la multiplicacin d
matrices" &ultiplicando la segunda matri+ por la tercera matri+ obtenemos lo siguiente.
A continuacin pre5multiplicamos esta matri+ por la primera matri+ para as obtener los componente
del tensor de Oaraday en su representacin tensorial covariante.
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Este es el tensor de Oaraday en su representacin como un tensor covariante.
Resulta obvio que los elementos de OUse pueden obtener a partir de los elementos de O Ucon la
simple inversin de los signos de los componentes de E, o sea sustituyendo Epor (E"
Al igual que como lo hicimos arriba, podemos representar los componentes de los
campos Ey Bmediante notacin $artesiana que nos puede ahorrar equivocaciones y con)usiones.
@tra variante del tensor de Oaraday que resulta e'tremadamente 1til es el tensor dual de fuerza
campo electromagn)ticoo simplemente eltensor de fuerza del campo electromagn)tico, p
cuya obtencin de2nimos primero el siguiente tensor 0o me-or dicho,pseudotensor4 *7 0XUVW4 de ord
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cuatro totalmente antisim*trico.
XUVW7 < 8 para 7 8, U 7 9, V 7 : y W 7 B o cualquier permutacin par de ndices
XUVW7 5 8 para cualquier permutacin impar de ndices
XUVW7 ? si dos ndices son iguales
$on esta de2nicin, y llevando a cabo las sumatorias para la evaluacin de componentes individuale
obtenemos el siguiente tensor de )uer+a del campo electromagn*tico.
$omparando este tensor con el tensor OU, podemos ver que lo podemos obtener de OUhaciendo los
cambios E YBy BY ( Een OU"
=e este modo, al igual que como ocurre con la Teora Especial de la Relatividad en la cual el espacio
el tiempo son uni2cados ba-o un solo concepto en un espacio5tiempo cuatri5dimensional como un
vector que incluye los componentes de ambos, en el electromagnetismo de &a'(ell el campo el*tric
y el campo magn*tico tambi*n pueden ser uni2cados ba-o el tensor de orden dos conocido como
el tensor de Oaraday en donde B7 0N',Ny,N+4 es la parte magn&ticadel campo electromagn*tico
e'presada en sus tres componentes espaciales $artesianas, y E7 0E',Ey,E+4 es la parte el*ctrica del
mismo campo electromagn*tico"
Z6odemos recuperar las ecuaciones del electromagnetismo de &a'(ell a partir del tensor de Oarada
/a respuesta es a2rmativa, pero para ello necesitamos de la ayuda de dos ecuaciones di)erenciales
adicionales, siendo la primera de ellas la siguiente.
En notacin de la coma utili+ada para simboli+ar derivadas, esta ecuacin se escribe de la manera
siguiente 0aqu no empleamos a la derivada covariante simboli+ada con el semicolon puesto que tod
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lo que est siendo desarrollado aqu pertenece al campo de la Teora Especial de la Relatividad4.
!"#BLE$%. emu&strese que la ecuacin que se acaba de proporcionar nos conduce directamente
principio de la conservacin de la carga el&ctrica#K
,K7 ?"
Escribiendo la relacin con un ligero cambio de notacin, en su )orma e'plcita.
/a condicin matemtica para la conservacin de la carga el*ctrica, #K,K7 ?, requiere que tomemos la
derivada con respecto 'K
, lo cual en con)ormidad con la convencin para ndices repetidos activa lasumacin de t*rminos" Tomando, pues, la derivada con respecto a 'Ken ambos lados de la ecuacin
in embargo, el tensor de Oaraday &7 0OU4 es antisim*trico, o sea que OKP7 5 OPK, lo cual implica a s
ve+ que.
en donde hemos invertido tambi*n el orden de la di)erenciacin dado que en la di)erenciacin ordina
0a di)erencia de lo que ocurre con la derivada covariante4 el orden de la di)erenciacin no altera el
resultado 2nal" 6ero en el lado derecho de la ecuacin los ndices que tenemos son ndices monigote
los cuales podemos renombrar como W, \, ], lo que queramos, siempre y cuando mantengamos la
misma )orma" Aqu simplemente cambiaremos K por P y viceversa.
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/o que tenemos entonces es una e'presin del tipo a 7 5a" 6ero ninguna cantidad puede ser igual al
negativo de la misma, a menos de que esta sea cero" e concluye que el lado i+quierdo de la e'pres
debe ser igual a cero, de-ndonos 1nicamente con.
#K,K 7 ?
que es la condicin para la conservacin de la carga el*ctrica"
!"#BLE$%. -btener la primera le( del electromagnetismo de a/0ell, ^;E7 B_H, a partir del tens
de +arada("
Empe+amos con la relacin dada arriba, escrita en su )orma ms e'plcita.
6oniendo U 7 8 en la e'presin y desarrollando la sumatoria de acuerdo a la convencin de sumaci
para ndices repetidos, tenemos lo siguiente.
6uesto que O887 ?, se ha puesto de color ro-o el primer t*rmino, con lo cual slo nos quedan trest*rminos en el lado i+quierdo de la ecuacin" 6ara mayor claridad, se harn de lado las coordenadas
generali+adas y se escribirn los componentes del tensor de Oaraday en )uncin de las coordenadas
rectangulares $artesianas regulares" ubstituyendo los valores del tensor de Oaraday de con)ormida
con lo que tenemos arriba.
e ha subsitudo el valor correspondiente al primer componente # 8en el B5vectorJ7 0#U4 que como s
de)ini arriba es igual a cH" o nos lleva mucho tiempo identi)icar lo que tenemos en el lado i+quierd
de la ecuacin` se trata de la divergencia del vector de campo el*ctrico E" Entonces lo anterior se
puede simpli2car y escribir como.
^;E7 B_H
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Esta es precisamente la primera ley de &a'(ell que nos describe la divergencia de las lneas de )uer
del campo el*ctrico E para una carga el*ctrica puesta dentro de una super2cie cerrada"
!"#BLE$%. -btener la le( de a/0ell'
a partir del tensor de +arada("
saremos la misma ecuacin di)erencial utili+ada en el problema anterior, esta ve+ poniendo U 7 9,
7 : y U 7 B" Empe+aremos con U 7 9.
6uesto que O997 ?, se ha puesto de color ro-o el segundo t*rmino, con lo cual slo nos quedan tres
t*rminos en el lado i+quierdo de la ecuacin" uevamente, para mayor claridad, se harn de lado las
coordenadas generali+adas y se escribirn los componentes del tensor de Oaraday en )uncin de las
coordenadas rectangulares $artesianas regulares" ubstituyendo los valores del tensor de Oaraday d
con)ormidad con lo que tenemos arriba.
Reacomodando, tenemos nuestra primera relacin.
6rocediendo de la misma manera, obtenemos para U 7 :.
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Oinalmente, para U 7 B, obtenemos.
6ero las tres relaciones obtenidas se pueden simpli2car meti*ndolas en una sola con la ayuda
deloperador rotacionalque consiste en tomar el producto cru+ del operador di)erencial vectorial ^ c
el campo magn*tico y utili+ar las relaciones en el orden requerido para obtener la ecuacin de &a'(
pedida" A partir de su de2nicin, el vector rotacional de2nido sobre un vector %en )uncin de sus tr
componentes espaciales es obtenido mediante el siguiente determinante.
aciendo esto obtenemos la ley de &a'(ell pedida al principio del problema"
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os )altan otras dos ecuaciones de &a'(ell que a1n no hemos obtenido a partir del tensor de Oarad
6ara obtenerlas, necesitamos una segunda ecuacin di)erencial que es la siguiente en )uncin del
tensor dual de )uer+a del campo electromagn*tico 0se muestran tanto la representacin compacta
como la representacin e'plcita4.
Esta ecuacin ciertamente es lo ms compacto que pueda haber resumiendo una gran cantidad de
in)ormacin en unos cuantos smbolos" in embargo, podemos obtener lo mismo mediante otra
ecuacin en la cual utili+amos el tensor de Oaraday covariante de dos, la cual se encuentra con may
)recuencia en los libros de te'to.
En notacin e'plcita la misma )rmula se escribe de la siguiente manera.
M en notacin de componentes recurriendo a la coma para representar la derivada parcial, la )rmul
toma el siguiente aspecto.
!"#BLE$%.A partir del tensor de +arada(, obt&ngase la le( de a/0ell que afrma que la divergen
vectorial de un campo magn&tico cualquiera es igual a cero"
6ara esta demostracin utili+aremos los ndices espaciales del tensor de Oaraday, evitando el uso de
ndice temporal 0el ndice 84" aciendo 79, U 7 : y V 7 B, cualquiera de las 1ltimas tres ecuacione
que se acaban de dar arriba se traducen en lo siguiente.
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Reempla+ando cada uno de los valores de los componentes de acuerdo a su posicin notacional en e
tensor covariante de Oaraday, obtenemos entonces.
o bien.
El lado i+quierdo lo reconocemos de inmediato como la divergencia del vector del campo magn*tico
lo cual se representa de )orma ms compacta con la ayuda del operador di)erencial ^ como.
^;B7 ?
i utli+amos cualquier otra combinacin de ndices que e'cluya al ndice 8, obtendremos e'actamen
el mismo resultado" o cuesta mucho traba-o darse cuenta de que todas las combinaciones posibles
ndices 9, : y B 0no repetidos en un mismo t*rmino4 generan la ley de &a'(ell que a2rma que no ha
monopolos 0cargas!4 magn*ticos, )ormando las lneas del campo magn*tico siempre trayectorias
cerradas" Esta es pues la primera ecuacin que podemos e'traer de la ecuacin di)erencial"
!"#BLE$%. -btener la le( de a/0ell'
a partir del tensor de +arada(.
@bviamente, puesto que la coordenada del tiempo aparece en esta ecuacin, tenemos que involucra
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al ndice 8 en la ecuacin di)erencial dada arriba" na posibilidad es haciendo 78, U 7 9 y V 7 :, co
lo cual tenemos lo siguiente.
Reempla+ando cada uno de los valores de los componentes de acuerdo a su posicin notacional en etensor covariante de Oaraday, obtenemos entonces.
Reacomodando los t*rminos llegamos a lo siguiente.
6robando otras combinaciones de ndices, todas las cuales incluyen al ndice 8, podemos obtener ot
dos ecuaciones.
uevamente, y al igual que como ocurri arriba, las tres relaciones se pueden simpli2car meti*ndola
en una sola con la ayuda del operador rotacional^ aplicado al campo el*ctrico E, obteniendo as laecuacin de &a'(ell pedida"
E'iste otra manera de de2nir la ecuacin di)erencial a partir de la cual podemos obtener del tensor d
Oaraday las 1ltimas dos ecuaciones de &a'(ell que se acaban de demostrar, y esta consiste en utili
el tensor de Oaraday contravariante&7 0OU4 en lugar del tensor de Oaraday covariante" 6ara ello,
partiendo de la de2nicin del smbolo , cuyas componentes en el B5espacio son.
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le subimos el ndice a este smbolo con la ayuda del tensor m*trico con-ugado basado en la m*trica
espacio5tiempo plano.
obteniendo de este modo el smbolo cuyas componentes son.
na ve+ que nos hemos puesto de acuerdo en esto, la ecuacin di)erencial puede ser escrita de la
siguiente manera.
/a venta-a de esta simboli+acin es que podemos escribirla de inmediato con solo observar que losndices de un t*rmino al siguiente siguen un orden de permutacin cclico" /a desventa-a es que
tenemos que ser cuidadosos al momento de reempla+ar los ndices generales por ndices num*ricos
las derivadas parciales" A modo de e-emplo, si usamos la combinacin 7:, U 7 8 y V 7 9, entonces
e'pansin de la e'presin nos d.
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Esto es lo mismo que lo que ya habamos obtenido previamente"
!"#BLE$%. -btener la doble contraccin tensorialOUOU" 12u& conclusin se puede e/traer del
resultado3
i de con)ormidad con la convencin de sumacin para ndices repetidos llevamos a cabo la sumaci
sobre , la primera e'pansin de la e'presin nos producir el siguiente resultado.
/levando a cabo ahora la segunda e'pansin sobre U, obtenemos lo siguiente.
ustituyendo valores.
OUOU7JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
0?40?4 < 0E8405 E84 < 0E9405 E94 < 0E:405 E:4
< 05 E840E84 < 0?40?4 < 0N:40N:4 < 05 N9405 N94
< 05 E940E94 < 05 N:405 N:4 < 0?40?4 < 0N840N84
< 05 E:40E:4 < 0N940N94 < 05 N8405 N84 < 0?40?4
OUOU7JJJJJJJJJJJJJJJJJ
5 E8F 5 E9F 5 E:F 5 E8F < N:F < N9F
5 E9F < N:F < N8F 5 E:F < N9F < N8F
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OUOU7 90N8F < N9F < N:F4 5 90E8F < E9F < E:F4
OUOU7 90BF 5 EF4
6uesto que tanto BF como EF son escalares, se concluye que la cantidad OUOUes un escalar invarian
de /orent+"
!"#BLE$%. "i aplicamos una rotacin de !orent4 en el $%espacio a un tensor de
+arada(&suponiendo que el movimiento entre los dos marcos de reerencia est limitado a un
movimiento relativo a lo largo del e5e%/ com6n, las componentes 7espaciales8 del campo el&ctricoE
el campo magn&ticoBentre ambos marcos de reerencia estn relacionadas de la siguiente
manera 7la derivacin de las relaciones ue llevada a cabo en la entrada titulada 9Gimnasia de
ndices:8'
E87 E8JJJE97 V0E95 UN:4JJJE:7 V0E:< UN94
N87 N8JJJN97 V0N9< UE:4JJJN:7 V0N:5 UE94
;sando estas relaciones, demostrar que el productoEBes una invariante !orent4iana"
EB 7 E8N8< E9N9< E:N:
EB 7 0E840N84 < V0E95 UN:4V0N9< UE:4 < V0E:< UN94V0N:5 UE94
EB 7 E8N8< VF0E95 UN:40N9< UE:4 < VF0E:< UN940N:5 UE94
EB 7 E8N8< VF0E9N9< UE9E:5 UN9N:5 UFE:N:4
< VF0E:N:5 UE9E:< UN9N:5 UFE9N94
EB 7 E8N8< VF08 5 UF4E9N9< VF08 5 UF4E:N:
EB 7 E8N8< E9N9< E:N:
EB 7 EB
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=e este resultado se puede sacar una conclusin importante" iendo el producto EBuna invariante
/orent+, si el campo el*ctrico Ees perpendicular al campo magn*tico Ben un marco de re)erencia
entonces ambos seguirn siendo perpendiculares en cualquier marco de re)erencia C"
!"#BLE$%. escomponiendo vectorialmente los camposE(Ben sus componentes paralelas (
perpendiculares al e5e del movimiento relativo entre los marcos de reerencia, demostrar que el cam
el&ctrico ( el campo magn&tico no pueden tener una e/istencia independiente el uno del otro"
i descomponemos los campos Ey Ben sus componentes paralelas y perpendiculares al e-e del
movimiento relativo entre los marcos de re)erencia y C, entonces podemos escribir lo siguiente 0s
recurrir aqu a la comilla en lugar de la barra hori+ontal superior para denotar los vectores en el ma
de re)erencia C con el 2n de que no se pueda con)undir la barra hori+ontal superior con la echa
puesta tambi*n encima para simboli+ar la naturale+a vectorial de cada campo4.
Inspeccionando las relaciones puestas al principio del problema anterior, podemos generali+arlas pa
escribir las siguientes relaciones vectoriales vlidas para el campo el*ctrico.
6ara el campo magn*tico tambi*n obtenemos relaciones similares, las cuales di2eren de las del cam
el*ctrico mediante un simple intercambio de un signo dentro del par*ntesis adems del intercambio
las literales E y N.
Estos resultados nos indican que el campo el*ctrico y el campo magn*tico no pueden tener una
e'istencia independiente el uno del otro" n campo el*ctrico puro E0sin la presencia de campo
magn*tico alguno4 en el sistema de re)erencia se trans)orma en campos el*ctrico y magn*tico en
sistema de re)erencia C" 6ero no e'iste velocidad alguna menor que la velocidad de la lu+ que perm
la e'istencia de un campo magn*tico puro Ben el sistema de re)erencia C" En pocas palabras, si e'
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un marco de re)erencia /orent+iano en el cual el campo sea completamente el*ctrico, es imposible
encontrar otro marco de re)erencia /orent+iano en el cual el campo sea completamente magn*tico"
este modo, as como el espacio y el tiempo han de-ado de tener una e'istencia independiente el uno
del otro 0matemticamente hablando4 y han sido uni2cados en un B5vector como un solo concepto,
del espacio5tiempo, del mismo modo el campo el*ctrico y el campo magn*tico tampoco tienen una
e'istencia independiente el uno del otro, habiendo sido uni2cados ba-o el tensor de Oaraday" Esta es
2n de cuentas la ra+n de ser del tensor de Oaraday, el llevar a cabo a su m'imo la uni2cacin de la
leyes del electromagnetismo"
umando vectorialmente las componentes paralelas y perpendiculares de cada campo y simpli2can
podemos demostrar que la trans)ormacin generalde los campos el*ctrico y magn*tico est dada p
las siguientes relaciones.
uevamente, estas relaciones demuestran que Ey Bno tienen e'istencia independiente" n campo
puramente el*ctrico o puramente magn*tico en un sistema de re)erencia aparecer como una me+c
de ambos en cualquier otro sistema de re)erencia" =e este modo, en ve+ de hablar separadamente d
campo el*ctrico Ey del campo magn*tico B, ms apropiadamente uno debe de hablar del campo
electromagn&ticoOU
Electrodinmica relativista II
Aunque este tema correponde ms bien a la Teora Especial de la Relatividad que a la Relatividad
General, se ha puesto aqu siguiendo no slo la metodologa pedaggica que indica que los temas
deben ser puestos en orden ascendente de difcultad sino tomando en cuenta el hecho de que el
tratamiento del tema requiere de un conocimiento previo del anlisis tensorial que no se acostumbr
dar en un curso introductorio de la Teora Especial de la Relatividad pero que es mandatorio antes d
entrar de lleno en el tema de la Relatividad General. Este tema requiere de cierta amiliaridad con la
nociones bsicas del electromagnetismo.
El tensor de Oaraday &tiene otras aplicaciones adems de las que ya hemos visto previamente" na
ellas consiste en utili+arlo para de2nir dentro del mbito de la electrodinmica clsica la densidad d
fuerza de Lorentzo $%uer4a electromagn&tica de in
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Esta de2nicin se basa en la de2nicin del siguiente B5vector 0contravariante4 densidad de corriente
J7 0#4 7 0cH,J4 7 0cH, #', #y, #+4
6uesto que es la e'presin covariantedel tensorJla que es utili+ada en la de2nicin de la densidad
)uer+a de /orent+, necesitamos ba-ar el ndice con la ayuda del tensor m*trico gque corresponde a
m*trica de la Teora Especial de la Relatividad.
0#4 7 0gK#K4 7 0cH, 5 #', 5 #y, 5 #+4 7 0cH, 5J4
!"#BLE$%. emostrar que la densidad de la uer4a !orent4 es igual a un $%vector con los siguient
componentes temporal ( espacial'
6ara U 7 8 0componente temporal4 la de)inicin de la )uer+a de /orent+ nos proporciona lo siguiente
6uesto que O880puesto en ro-o4 es igual a cero, ello nos de-a 1nicamente tres t*rminos cuya
substitucin nos resulta en lo siguiente.
6ara U 7 9 0primer componente espacial4 la de)inicin de la )uer+a de /orent+ nos proporciona lo
siguiente.
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ubstituyendo valores y haciendo uso de la de2nicin del producto cru+ de dos vectores, tenemos
entonces.
6rocediendo de id*ntica manera, obtenemos las otras dos componentes espaciales de Uque resulta
ser.
#untando los cuatro resultados obtenidos obtenemos as la e'presin que desebamos demostrar pala B5densidad de )uer+a de /orent+"
ablando en t*rminos generales, las )uer+as dinmicas, las )uer+as en movimiento, no tienen cabida
dentro de la Teora de la Relatividad, y esto se aplica no solo a la atraccin de la gravedad que es
generada no como resultado de una )uer+a de atraccin de un cuerpo sobre otro sino como resultad
del campo con el cual un cuerpo genera en torno suyo una curvatura en el espacio5tiempo` se aplica
tambi*n a los )enmenos el*ctricos y magn*ticos" Lui+ la ley ms bsica que podamos encontrar e
la electroesttica es la le' de +oulomb, pre5relativista, que nos dice en similitud con la ley de
gravitacin universal de e(ton. dos cuerpos cargados el*ctricamente se atraen en proporcin
directa del producto de sus cargas y en ra+n inversa del cuadrado de la distancia que los separa!"Esta ley, e'presada matemticamente en unidades del sistema &S 0metro5%ilogramo5segundo4 tien
la siguiente )orma.
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El problema esencial con la ley de $oulomb, al igual que el problema con la ley de la gravitacin
universal de e(ton, es que estn basadas en el concepto de la accin a distancia!, el cual supone
que entre dos cuerpos que estn separados una distancia que 0tericamente4 podra ser medida en
miles de millones de %ilmetros e'iste una )uer+a invisible que los conecta instantneamente" En
principio, si uno de los cuerpos es ale-ado del otro, la )uer+a entre ambos cambia instantneamente
sin que el lmite natural impuesto por la velocidad de la lu+ presente obstculo alguno para la acci
distancia! instantnea" En la ley de $oulomb no aparece la velocidad de la lu+, e inclusive ni siquiera
aparece el tiempo como )actor limitante a la variacin de la )uer+a de atraccin o repulsin
electroesttica" Esto signi2ca que si ponemos a una carga el*ctrica en movimiento sus e)ectos sobre
todas las dems cargas el*ctricas del niverso ser transmitido instantneamente, lo cual por s sol
despierta sospechas y dudas"
/as limitaciones impuestas por la ley de $oulomb para el anlisis de las cargas el*ctricas en
movimiento pueden ser superadas con la ayuda de las leyes del electromagnetismo de &a'(ell, las
cuales son relativsticamente correctas" Esto requiere el abandono de2nitivo del concepto $oulombia
de la )uer+a el*ctrica de atraccin o repulsin entre dos cargas el*ctricas! substituy*ndolo por el
concepto delcampogenerado por dichas cargas" A continuacin tenemos dos cargas, una carga
positiva de dos unidades 0q 7
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A continuacin tenemos dos simulaciones de )otogra)as instantneas! con varias cargas el*ctricas
signos diversos cercanas unas a las otras, en las cuales podemos ver la manera en la cual interact1aentre s los campos de dichas cargas.
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=el anlisis de las cargas el*ctricas puntuales 0suponiendo toda la carga el*ctrica concentrada en un
punto4 en movimiento, con la ayuda de las ecuaciones de &a'(ell se pueden obtener no sin poco
es)uer+o los potenciales Li)nard(,iec-ertque describen el e)ecto electromagn*tico clsico de u
carga el*ctrica en movimiento en t*rminos de un campo potencial vectorial %y un potencial escalarEs importante sealar que los potenciales /i*nard5iechert preceden a la Teora de la Relatividad, lo
cual e'plica las di2cultades empleadas en obtener clsicamente dichos potenciales a partir de las le
de &a'(ell sin el bene2cio de la 2loso)a relativista"
6ara obtener el campo el*ctrico Eproducido por una carga en movimiento, podemos recurrir al
procedimiento pre5relativista partiendo de los potenciales /i*nard5iechert" @ podemos utili+ar en
nuestra venta-a los resultados obtenidos con la ayuda de la Teora de la Relatividad a trav*s del tens
de Oaraday" Ma vimos en una entrada previa que cuando sometemos al tensor de Oaraday &a una
trans)ormacin de /orent+, los tres componentes del campo el*ctrico original E7 0E8,E9,E:4 y del cam
magn*tico original B7 0N8,N8,N:4 estn relacionados con los componentes de los campos ya
trans)ormados E7 0E8,E9,E:4 y B7 0N8,N9,N:4 mediante las siguientes relaciones.
E87 E8JJJE97 V0E95 UN:4JJJE:7 V0E:< UN94
N87 N8JJJN97 V0N9< UE:4JJJN:7 V0N:5 UE94
=e con)ormidad con la 2loso)a relativista, en ve+ de considerar la )uer+a el*ctrica descrita por ley d
$oulomb consideraremos el campo el&ctricoEgenerado por una carga puntual en reposoa una
distancia r de dicha carga, de2nido de la siguiente manera 0 res el vector radial, de magnitud variab
r4.
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Estamos interesados en obtener el campo el*ctrico generado por esta carga tal y como sera visto p
un observador situado en un sistema de re)erencia C en movimiento relativo con respecto al sistem
de re)erencia dentro del cual la carga el*ctrica est en reposo, un sistema que se mueve a una
velocidad uni)orme a lo largo del e-e5'8de " 6or conveniencia, consideraremos el campo electrico
medido por el observador en C cuando los orgenes de ambos marcos de re)erencia coinciden, y
designaremos a este instante t 7 tC 7 ?"
6uesto que una carga el*ctrica en reposo no genera campo magn*tico alguno, B7 ? en el sistema d
re)erencia , o sea que todas las componentes de Bdeben ser iguales a cero" Entonces las ecuacion
de trans)ormacin de a C nos dicen que debemos tener lo siguiente.
E87 E8JJJE97 V0E95 UN:4 7 VE9JJJE:7 V0E:< UN94 7 VE:
En el momento t 7 tC 7 ?, las coordenadas son por trans)ormacin inversa de /orent+.
'87 V'8JJJ'97 '9JJJ':7 ':
/a distancia radial rdel punto de origen en donde est centrada la carga el*ctrica al punto de
observacin 0o medicin4 est dada entonces por la siguiente relacin.
=e este modo, las componentes del campo el*ctrico generadas por la carga el*ctrica en movimiento
0al estar en el sistema de re)erencia C4 sern.
o bien, -untando las tres componentes en un solo vector E.
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En el sistema de re)erencia C la proyeccin del vector posicinrde la carga en movimiento sobre e
e-e5'8ser.
'87 r cos G
M del mismo modo.
rF 7 0'84F < 0'94F < 0':4F
Entonces.
0'94F < 0':4F 7 rF senF G
6or lo tanto.
0V'84F < 0'94F < 0':4F 7 VF rF cosF G < rF senF G
0V'84F < 0'94F < 0':4F 7 rF VF cosF G < senF G
0V'84F < 0'94F < 0':4F 7 rF cosF GD08 5 UF4 < senF G
0V'84F < 0'94F < 0':4F 7 rF cosF G < senF G 5 UF senF GD08 5 UF4
0V'84F < 0'94F < 0':4F 7 VF rF 8 5 UF senF G
$on esto, el vectordel campo el*ctrico de la carga en movimiento resulta ser.
en donde res un vector radial unitario apuntando radialmente hacia a)uera 0o hacia adentro4 de la
carga puntual" Esto lo podemos escribir tambi*n de la siguiente manera.
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Este es el mismo resultado, pre5relativista, obtenido laboriosamente a partir de los potenciales
de2nidos en partes primero por Al)red5&arie /i*nard en 8ff e independientemente por Emil ieche
en 8??"
@tro resultado que podemos obtener desde la ptica relativista con lo que ya hemos visto es la le'
Biot(.avartque nos proporciona la induccin magn*tica Bproducida por un alambre in2nitamente
largo que transporta una corriente el*ctrica.
$lsicamente, para obtener la ley que nos proporciona la magnitud de Ba cierta distancia0perpendicular4 al hilo conductor, primero subdividimos el hilo en segmentos in2nitesimales de
longitud.
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y llevando a cabo una integracin sobre la contribucin in2nitesimal d Bal campo producida por cad
elemento in2nitesimal de corriente.
B7 dB
obtenemos la siguiente e'presin.
6ara obtener este mismo resultado por la va de la relatividad, suponemos primero un hilo cargado
el*ctricamente acomodado a lo largo del e-e5'8de , de modo tal que la distribucin de cargas
el*ctricas sobre el hilo estar en reposo para un observador situado -usto a un lado del hilo en el
sistema de re)erencia " 6ero si ponemos al hilo de cargas en movimiento longitudinal con respecto
nosotros 0o bien si nos despla+amos paralelamente al e-e a velocidad constante4 poni*ndonos as en
sistema de re)erencia C, entonces para nosotros el hilo tendr el equivalente real de una corriente
el*ctrica" i hay una densidad uni)orme de carga lineal H a lo largo del hilo en , entonces en cualqu
elemento in2nitesimal de longitud d'8habr una carga el*ctrica Hd'8" =e acuerdo con la ley de la
conservacin de la carga el*ctrica, hay una cantidad igual de carga contenida en el intervalo d' 8ensistema de re)erencia que est* en movimiento relativo con respecto a , con lo cual.
H d'87 H d'8
6uesto que en el sistema de re)erencia no hay campo magn*tico alguno al estar las cargas en
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reposo, si tomamos las relaciones dadas arriba.
N87 N8JJJN97 V0N9< UE:4JJJN:7 V0N:5 UE94
tenemos entonces.
N87 N8JJJN97 VUE:JJJN:7 5 VUE9
6or lo tanto, el campo magn*tico dBdebido a un elemento de carga mvil Hd'8en C ser.
$on las relaciones obtenidas por la va del tensor de Oaraday tenemos entonces.
sando lo que hemos visto con anterioridad para el caso de una carga el*ctrica individual en
movimiento, llegamos a lo siguiente.
o bien.
En )orma similar a como ocurre en la derivacin clsica 0pre5relativista4 de la ley de Niot5avart,
obtenemos el campo total Bintegrando esta 1ltima e'presin sobre la longitud total 0in2nita4 de la
distribucin de cargas.
B7 dB
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/levando a cabo la integracin por los procedimientos usuales del clculo.
En el sistema de re)erencia C, la magnitud de la corriente es.
I 7 HUc
mientras que la distancia 0perpendicular4 desde la lnea de cargas mviles 0el e-e '84 hasta un punto
una distancia r?es.
$ombinando lo que hemos obtenido, tenemos entonces la e'presin 2nal para B, que es.
N 7 9IDcr?
Esta es precisamente la ley Niot5avart"
/as predicciones hechas por estas leyes, )ormuladas antes del arribo de la Teora de la Relatividad, s
relativsticamente e'actas, y no requieren de modi2cacin alguna que tome en cuenta la velocidad
las cargas, sobre todo para velocidades cercanas a la velocidad de la lu+"
/o que hemos visto ha establecido una cone'in entre el electromagnetismo de &a'(ell y la Teora
Especial de la Relatividad" 6ero no hemos establecido ninguna cone'in entre el electromagnetismo
la Relatividad Qeneral" Esto lo podemos hacer en cierta )orma a trav*s del tensor energa5tensin co
lo veremos a continuacin"
El tensor energa5tensin /de las ecuaciones de campo de la Relatividad Qeneral es e'traordinario
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el sentido de que incluye todas las energas posibles habidas y por haber. la energa equivalente de
una masa, la energa t*rmica, la energa de rotacin, la energa de movimiento lineal, la energa de
enlace entre dos tomos, la energa de enlace nuclear` y desde luego, la energa electromagn*tica"
la energa que estamos considerando es energa electromagn*tica pura, el tensor que empleamos p
estos casos es el tensor electromagn)tico energ0a(tensi1notensor electromagn)tico energ
momentum, el cual puede ser de2nido de la siguiente manera.
na ligera variante de la )rmula se obtiene llevando a cabo la subida del ndice K como lo indica la
contraccin de OK\con el tensor gK, aunque esto nos resulta en la p*rdida de la simetra que e'hibe
los dos t*rminos dentro del par*ntesis.
Esta de2nicin est basada en el tensor de +arada(&que ya vimos previamente, y en el tensor
m*trico con-ugado g(27 0gKP4 para el espacio5tiempo /orent+iano de2nido aqu como ya lo hemos vis
previamente.
g887 8JJJg997 g::7 gBB7 5 8
gi-7 ?JJJpara i -
!"#BLE$%. -btener los componentes del tensor electromagn&tico energa%tensin/a partir de la
defnicin dada anteriormente"
Empe+aremos con el componente T88, para lo cual hacemos las substituciones 7 U 7 8 en la
de2nicin del tensor energa5tensin /para el campo electromagn*tico.
6uesto que la m*trica es diagonal, en el primer t*rmino dentro de los par*ntesis el 1nico valor de K
para el cual g8Kno ser cero es K 7 8" 6or otro lado, en el segundo t*rmino tenemos la doble
contraccin OUOUdel tensor de Oaraday, la cual ya vimos previamente que nos produce la e'presin
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90BF 5 EF4" E'pandiendo la sumatoria que nos resulta en el primer t*rmino de acuerdo con la
convencin de sumacin para ndices repetidos, despu*s de haber puesto g 887 8, tenemos entonce
A continuacin, substitumos cada uno de los elementos tomndolos tanto del tensor de Oaraday en
)orma contravariante OUcomo del tensor de Oaraday en su )orma covariante OU, obteniendo con est
0se recuerda aqu nuevamente que los sub5ndices num*ricos dados a las tres componentes espacia
tanto del campo el*trico Ecomo del campo magn*tico Bno tienen relacin directa con los ndices
num*ricos empleados para identi2car a las componentes del tensor electromagn*tico energa5
tensin /, al igual que como ocurre en el caso del tensor de Oaraday &4.
impli2cando con el hecho de que EE7 EF 7 E'F < EyF < E+F 7 E8F < E9F < E:F.
Oinalmente llegamos a lo siguiente.
$omo se ha destacado con la simboli+acin en color a+ul, el componente T 88resulta ser una e'presi
muy importante que encontramos en los cursos introductorios de la electrodinmica clsica mucho
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antes de que se tenga conocimiento alguno de lo que es un tensor" e trata de ladensidad de
energ0a del campo electromagn)tico, la energa del campo electromagn*tico por unidad de
volumen" Esta cantidad puede considerarse como una especie de energa potencial" /a cantidad =
0una integral volum*trica4 es considerada usualmente como la energa del campo electromagn&tico
concepto de una energa almacenada en un campo en lugar de residir dentro de una partcula es un
concepto bsico del campo electromagn*tico, y se corresponde" El componente T88se corresponde c
lo que ya habamos visto previamente cuando identi2camos el componente T 88en el mbito de la
Relatividad Qeneral como la densidad de masa5energa H"
A continuacin, llevaremos a cabo la evaluacin del componente T89repitiendo los pasos que
acabamos de e)ectuar, haciendo 7 8 y U 7 9 en la de)inicin del tensor electromagn*tico energa5
tensin.
6uesto que g89es igual a cero, se ha destacado de color ro-o indicndose as con ello que se llevar acabo la eliminacin del segundo t*rmino, de-ndonos 1nicamente con.
/levamos a cabo la e'pansin de la sumatoria de acuerdo con la convencin de sumacin, destacan
de antemano los componentes del tensor de Oaraday que son iguales a cero.
ubstituyendo los valores de cada componente de los tensores de Oaraday covariante y contravarian
que se requieren en este caso, tenemos lo siguiente.
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En la tercera lnea se ha e)ectuado una conversin de los ndices num*ricos a las coordenadas
espaciales $artesianas para que sea ms claro lo que se va a llevar a cabo" /a )orma del t*rmino en
los par*ntesis es la misma que la de un producto cru+, cuyos componentes en coordenadas
rectangulares re)eridas a un triplete de vectores unitarios de base i,jy k, tiene la de2nicin usual q
se le d al producto cru+ mediante el determinante de la siguiente matri+.
En base a esto, podemos ver que la componente producida por el producto cru+ corresponder al
vector ExBque apunta a lo largo de la coordenada espacial '97 ', o sea.
6rocediendo de modo similar, obtenemos las otras dos componentes que corresponden a los
elementos espaciales del tensor /colocados a lo largo del primer rengln en su representacin
matricial, los cuales apuntan a lo largo de las coordenadas espaciales ' :7 y y 'B7 + respectivamen
=e igual manera, se puede veri2car que las tres componentes que corresponden a los elementos
espaciales del tensor /colocadas a lo largo de la primera columna son las siguientes.
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6ara obtener esto 1ltimo, no es necesario llevar a cabo las evaluaciones detalladas a partir de la
de2nicin, porque el tensor electromagn*tico energa5tensin de la electrodinmica /, al igual que e
tensor energa5tensin /de la Relatividad Qeneral, es sim&trico"
A esto 1ltimo podemos darle una interpretacin )sica inmediata apelando a la de2nicin del vector
>o(nting., el cual en unidades Qaussianas est dado por la relacin.
El vector de 6oynting nos e'presa el ?u5o de energa electromagn&tica a trav&s del espacio libre, y n
proporciona la cantidad de energa electromagn*tica que est pasando a trav*s de una super2cie po
unidad de rea por unidad de tiempo"
abiendo determinado las componentes que corresponden al primer rengln y a la primera columna
la matri+ que representa al tensor electromagn*tico energa5tensin, si borramos el el primer rengl
la primera columna de la matri+ nos queda una sub5matri+" Esta sub5matri+, con un signo negativo
antepuesto, es me-or conocida como el tensor de tensi1n de $ax3ell0&a'(ell stress tensor4, lacual podemos representar como T&" A continuacin procederemos a determimar el elemento T9:qu
corresponde a esta sub5matri+ de acuerdo a la de2nicin del tensor completo /dada arriba"
E'pandiendo la sumatoria de acuerdo a la convencin de sumacin.
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A continuacin, substitumos los componentes del tensor de Oaraday covariante y contravariante en
esta e'presin, pero para evitar una posible con)usin de los sub5ndices num*ricos empleados en la
designacin de los componentes de Ey Bcon los ndices del tensor emplearemos la notacincorrespondiente a las coordenadas rectangulares $artesianas.
6rocediendo de modo seme-ante, obtenemos lo siguiente.
Ahora evaluaremos el componente T99que corresponde a una de las entradas diagonales del tensor
tensin de &a'(ell.
En el primer t*rmino, la e'pansin de la sumatoria sobre K slo es e)ectiva para K 7 9 en virtud de q
para cualquier otro valor g9Kes igual a cero" acndolo )uera del par*ntesis y substituy*ndolo por su
valor g997 58 tenemos entonces.
@bs*rvese con atencin que no hemos puesto K 7 9 en el segundo t*rmino, en virtud de que los
ndices no son ndices libres sino ndices monigote al llevar a cabo la doble sumatoria sobre ambos
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ndices como lo requiere la convencin de sumacin"
El segundo t*rmino nos debe resultar )amiliar, ya que en un problema anterior se demostr que la
e'presin OUOUes igual a 90BF 5 EF4" ubstituyendo este resultado y llevando a cabo la sumacin en
primer t*rmino tenemos entonces.
ubstitumos ahora los componentes de los tensores de Oaraday covariante y contravarianteempleando en los sub5ndices de los componentes 0espaciales4 de los campos Ey Bla notacin usua
de coordenadas rectangulares $artesianas para obtener as.
6uesto que.
NF 7 N'F < NyF < N+F
N'F 5 NF 7 5 N+F 5 NyF
tenemos entonces.
lo cual podemos simpli2car llegando a la siguiente relacin.
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6rocediendo de igual )orma, encontramos que los componentes T::y TBBson los siguientes.
Tenemos ya pues los elementos que )orman parte de la sub5matri+ :': que constituye el tensor tens
de &a'(ell"
o cuesta mucho traba-o veri2car que los resultados que acabamos de obtener se pueden obtener
tambi*n mediante la siguiente )rmula.
en la cual i 7 8, 9, : y - 7 8, 9, :" !os ndices num&ricos en esta 6ltima rmula no son los ndices de
tensor energa%tensin del campo electromagn&tico, son los ndices que corresponden e identifcan los elementos de la representacin matricial del tensor tensin de a/0ell"
/a seleccin de componentes a ser utili+ados depender de cada situacin en particular, como lo
demuestra el siguiente e-emplo"
!"#BLE$%. @onstrur la representacin matricial del tensor tensin de a/0ell para el caso en el
cual tenemos un campo el&ctrico esttico"
En este caso, el campo magn*tico B7 ? y los elementos de la matri+ se reducen a los siguientes.
-
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/os resultados que hemos obtenido para el tensor energa5tensin del campo electromagn*tico sepueden resumir de la siguiente manera.
=e este modo, si tomamos los elementos principales comunes del tensor electromagn*tico energa5
tensin /agrupndolos de acuerdo con el signi2cado com1n que se les puede dar, tenemos los
siguientes cuatro sub5grupos.
En )orma similar a como ocurre con el tensor energa5tensin /de la Relatividad Qeneral, el elemen
TKPdel tensor electromagn*tico energa5tensin se puede interpretar como el )lu-o de la K5componen
del B5momentum !7 06K4 del campo electromagn*tico a trav*s del hiperplano'P7 constante, y
representa la contribucin del electromagnetismo a la )uente del campo gravitacional en la Relativid
Qeneral"
6odemos representar los sub5bloques de los que consta el tensor electromagn*tico energa5tensin
usando la de2nicin de la densidad del momentum del campo electromagn&ticogdada en )uncin d
vector de 6oynting 0no se con)unda con el smbolo utili+ado para representar al tensor m*trico4.
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$on esto, la representacin en sub5bloques del tensor /7 0TU4 es.
&ediante un poco de gimnasia de ndicespodemos obtener las siguientes representaciones
equivalentes del tensor electromagn*tico energa5tensin.
!"#BLE$%4emostrar que el tensor energa%tensin del campo electromagn&tico tiene una tra4a cero"
/a tra+a del tensor /la obtenemos sumando los elementos de la diagonal principal de su
representacin matricial 0aqu usaremos la convencin de sumacin con los ndices repetidos4.
tr j/k 7 TKK
tr j/k 7 T88< T99< T::< TBB
Ma vimos arriba que el componente T88es =, la densidad de energa del campo electromagn*tico, co
cual.
tr j/k 7 =< T%%
-
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en donde hemos representado 0recurriendo nuevamente a la convencin de sumacin empleando
ndices repetidos4 como T%%a la suma de los componentes espaciales diagonales del tensor /" 6uest
que tenemos que llevar a cabo la suma de T 99< T::< TBB, los agruparemos aqu nuevamente en
preparacin para la adicin de los mismos.
Tenemos entonces.
aciendo uso del hecho de que.
EF 7 E'F < EyF < E+F
NF 7 N'F < NyF < N+F
podemos sumar las columnas! para obtener entonces.
lo cual se reduce 2nalmente a.
-
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y dado que.
conclumos entonces que.
tr j/k 7 ?
$on el tensor energa5tensin del campo electromagn*tico /en nuestras manos, si queremos saber
cmo un campo electromagn*tico puede producir una curvatura en el espacio5tiempo todo lo que
tenemos que hacer es substiturlo en las ecuaciones de campo de la Relatividad Qeneral" i el tenso
energa5tensin /en cierta regin del espacio5tiempo tiene como 1nicas componentes las que
corresponden al campo producido por un campo electromagn*tico en el espacio libre siendo por lo
tanto el tensor electromagn*tico energa5tensin, entonces las ecuaciones de campo de Einstein son
conocidas como las ecuaciones Einstein($ax3ellse pueden escribir en notacin de componente
de la siguiente manera 0la adicin de la la permeabilidad magn*tica K?se ha e)ectuado aqu con el
propsito de que la e'presin sea dimensionalmente correcta en el sistema internacional de unidade
I4.
i la constante cosmolgica del niverso es puesta igual a cero 0 7 ?4 como termin haci*ndolo
Einstein, las ecuaciones Einstein5&a'(ell se reducen a.
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En principio, de acuerdo con esto 1ltimo y aunque los e)ectos son insigni2cativamente min1sculos, e
campo electromagn*tico tiene la capacidad para provocar una curvatura en el espacio5tiempo" 6ues
que un )otn de lu+ es esencialmente un corp1sculo de energa electromagn*tica, el torrente de
)otones con los cuales el ol est baando constantemente a la Tierra permitiendo que la vida ore+
en nuestro planeta tiene la capacidad para producir en con-unto una pequesima curvatura en el
espacio5tiempo" En pocas palabras, la luz puede provocar los efectos t0picos de una atracci1n
gravitatoria" Esta es una conclusin sorprendente, no prevista por la ley de la gravitacin universa
de e(ton, tomando en cuenta que ni en los tiempos de e(ton ni en los tiempos modernos de hoy
considera que el )otn pueda tener masa alguna" A un )otn se le puede asignar una masa! en
)uncin de su energa E 7 h) y en base a la equivalencia relativista E 7 mcF, pero carece de masa en
reposo" Esto signi2ca que, ni ms ni menos, algo que carece de masa puede e5ercer una atraccin
gravitatoria a causa de la curvatura que provoca en el espacio%tiempo"
Electrodinmica relativista III
Aunque este tema correponde ms bien a la Teora Especial de la Relatividad que a la Relatividad
General, se ha puesto aqu siguiendo no slo la metodologa pedaggica que indica que los temasdeben ser puestos en orden ascendente de difcultad sino tomando en cuenta el hecho de que el
tratamiento del tema requiere de un conocimiento previo del anlisis tensorial que no se acostumbr
dar en un curso introductorio de la Teora Especial de la Relatividad pero que es mandatorio antes d
entrar de lleno en el tema de la Relatividad General. Este tema requiere de cierta amiliaridad con la
nociones bsicas del electromagnetismo.
El tensor de Oaraday &, tan importante para el tratamiento tensorial dado a la electrodinmica clsic
puede ser a su ve+ de2nido en t*rminos de un potencial electromagn*tico %utili+ndolo como punt
de partida, a manera de a'ioma o postulado Euclideano, para el desarrollo de todo lo dems" /a
de2nicin del tensor de Oaraday en su )orma covariante sobre esta base es la siguiente.
El potencial electromagn*tico %es, desde luego, un tensor, cumpliendo con la de2nicin bsica de u
tensor.
!"#BLE$%. emostrar que, ba5o una transormacin de coordenadas al pasar de un sistema de
reerencia " a otro sistema de reerencia "#, la defnicin del tensor de +arada(&en uncin del
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potencial electromagn&tico%cumple con la defnicin undamental de un tensor"
En el sistema de re)erencia C, la de2nicin covariante del tensor de Oaraday &, si es que ha
permanecido realmente invariante en )orma, debe tener el siguiente aspecto.
6uesto que %es un tensor, lo podemos substitur aqu por su de2nicin tensorial bsica.
=esarrollando y simpli2cando tenemos entonces.
/o 1ltimo es precisamente la de2nicin de un tensor covariante de orden dos" e concluye que el
tensor de Oaraday, de2nido en t*rminos del potencial electromagn*tico %, es un tensor"
iendo el tensor de Oaraday &un tensor, en el pleno sentido de la palabra, podemos tomar laderivada covariantede dicho tensor, lo cual nos introduce los smbolos de $hristoel de la siguiente
manera 0como siempre, usamos el semicolon para denotar la derivacin covariante y la coma para
denotar la derivacin ordinaria4.
OU`V7 OU,V5 KVOKU5 KUVOK
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e vuelve necesario advertir aqu que la re)ormulacin tensorial de las leyes de la electrodinmica d
&a'(ell slo es vlida para las leyes de &a'(ell en el vaco, o sea para campos electromagn*ticos
propiamente dichos, conocidas tambi*n como las leyes microscpicas! de &a'(ell" 6ara las leyes
macroscpicas! de &a'(ell aplicadas a materiales de todo tipo, la presencia de dichos materiales
establece un marco de re)erencia 2-o con lo cual las leyes de-an de ser covariantes" /as ecuaciones
&a'(ell para el campo electromagn*tico macroscpico en la materia pueden ser deducidas de las
ecuaciones de &a'(ell postuladas para el campo electromagn*tico microscpico" /a inuencia de la
materia es lo que d origen a una densidad de carga el&ctrica microscpicay a una densidad de
corriente el&ctrica microscpica" $omo tales, los electrones producen cambios espaciales rpidos en
campo electromagn*tico"
El tensor de Oaraday es utili+ado tanto en el estudio de los campos electromagn*ticos como de las
cargas el*ctricas en movimiento" 6ara que las )ormulaciones tensoriales puedan ser covariantes,
invariantes en )orma al pasar de un sistema de re)erencia a otro sistema de re)erencia C, es
necesario re)ormular las variaciones con respecto al tiempo en )uncin del tiempo propio 0local4
medido por un observador situado en el sistema en reposo, y se vuelve necesario re)ormular tambi*
las de2niciones dadas clsicamente en el :5espacio Euclideano de modo tal que puedan ser
enunciadas en )uncin de B5vectores" n buen e-emplo de ello lo tenemos en la ecuacin de /orent+
para una carga el*ctrica en movimiento" $lsicamente, el campo el*ctrico Eest dado en )uncin de)uer+a de atraccin 0o repulsin4 &Eque act1a sobre una carga de prueba situada a cierta distancia d
la carga puntual que est generando dicho campo, mientras que la )uer+a &Bque act1a sobre una
carga en movimiento cuando est via-ando dentro de un campo de induccin magn*ticaBest dada
)uncin del producto cru+ de la velocidad ude la carga y la intensidad Bdel campo magn*tico"
/a )uer+a total &que act1a sobre la carga ser igual a la suma vectorial de &Ey de &B.
6uesto que, clsicamente, la )uer+a dinmica actuando sobre una partcula es por de2nicin igual al
cambio en su cantidad de movimiento, dpDdt, el lado i+quierdo de la e'presin anterior lo podemos
escribir de la siguiente manera.
Esta es la ecuaci1n de fuerza de Lorentz, una e'presin clsica pre5relativista, vlida en el :5
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espacio $artesiano 1nicamente para velocidades su2cientemente ba-as en comparacin con la
velocidad de la lu+" amos a tratar ahora de re)ormular esta 1ltima ecuacin para que sea covariant
invariante ba-o trans)ormaciones de /orent+" Antes de continuar, es importante aclarar de antemano
que un postulado esencial en la electrodinmica relativista es el de la invariancia de la carga el&ctri
o sea que la carga el*ctrica de una partcula es una cantidad cuya magnitud no cambia, se conserva
absolutamente sin variar al pasar la partcula de un sistema de re)erencia a otro" /a invariancia de la
carga ba-o trans)ormaciones de /orent+, o ms concretamente, la independencia de la velocidad de
carga observada de una partcula, es algo establecido e'perimentalmente que no resulta de teora
alguna"
En la ecuacin de )uer+a de /orent+, el momentum pde la partcula consta de tres componentes.
p7 0p', py, p+4
i este momentum p)orma parte de un B5vector, tal vector no puede ser otro ms que el B5vector
energa5momentum !que ya hemos estudiado con anterioridad.
!7 0p4 7 0p8, p4 7 0EDc, p', py, p+4
6ero el B5momentum relativista !es simplemente el producto de la masa propia mopor cada una de
las componentes de la B5velocidad U7 04 de la Teora Especial de la Relatividad, o sea.
!7 0mo8, moU4 7 mo
i usamos el tiempo propio 0local4 en lugar del tiempo absoluto t para la di)erenciacin, entonces l
ecuacin de )uer+a de /orent+ puede ser escrita de la siguiente manera para el B5espacio.
El lado i+quierdo lo podemos poner tambi*n en )uncin de la B5velocidad U7 04.
6odemos introducir adems el tensor de Oaraday ¶ escribir de este modo ambos lados de la B5
)uer+a de /orent+ en notacin tensorial de componentes.
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Ambos lados de esta e'presin estn escritos en )uncin de la B5velocidad U" i queremos escribirlo
en )uncin de la B5posicin, entonces la e'presin resultante es la siguiente.
!"#BLE$%. e la defnicin bsica del $%vector densidad de corrienteJ.
J7 0cH,J4
podemos ver que la carga el&ctrica total 2en cualquier marco de reerencia es'
en donde la integracin m6ltiple se e/tiende sobre una hipersuperfcie t constante. "i defnimos
a ncomo un vector unitario normal a esta hipersuperfcie, demostrar que'
En un :5espacio Euclideano, el :5vector n7 0n8, n9, n:4 es un vector unitario normal 0perpendicular4
un elemento de una 95super2cie d, de modo tal que el?u5o
de un vector%
a trav*s de dichasuper2cie es.
%; d.7 %; nd 7 0A8, A9, A:4 ; 0n8, n9, n:4 d
7 0A8n8< A9n9< A:n:4 d 7 And
En el B5espacio relativista, el u-o netoa trav*s de una :5super2cie quedar de2nida de la misma
manera, como And" i en el 95espacio tenemos que llevar a cabo una doble integracin para cada
seccin de super2cie atravesada por el campo vectorial %, en el :5espacio tenemos que llevar a cab
una triple integracin para cada :5super2cie" i llevamos a cabo la evaluacin de la integral del
vectorJ7 0#4 sobre una super2cie, entonces el u-o totalcuando la integracin se lleva a cabo sobr
una hipersuper2cie t 7 constante est dado por.
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@bviamente, las 1ltimas tres integrales se desvanecen al llevarse a cabo las integraciones sobre una
hipersuper2cie t 7 constante" Esto nos produce la e'presin que se deseaba demostrar para la
obtencin de la carga el*ctrica total L en un B5espacio relativista"
asta aqu hemos visto que un campo el*ctrico Ey un campo magn*tico Bno poseen una e'istenci
verdaderamente independiente ni poseen separadamente cada uno de ellos una invariancia/orent+iana, y hemos visto que ambos son a su ve+ meros componentes del tensor de Oaraday &, el
cual ses una invariante de /orent+, el cual es la descripcin invariante de los campos
electromagn*ticos dentro de la Teora de la Relatividad" emos anali+ado, desde el punto de vista
relativista, lo que ocurre cuando consideramos una carga el*ctrica que est en reposo en un marco
re)erencia y que vista desde otro marco de re)erencia se encuentra en movimiento" Tambi*n hemos
estudiado cmo una lnea in2nitamente larga cargada el*ctricamente, si es vista por un observador
movi*ndose a lo largo de un e-e paralelo a dicha lnea, produce la induccin propia de un campo
magn*tico B" /a concordancia plena entre la electrodinmica clsica y la Teora Qeneral de la
Relatividad es algo que no se pone a discusin" in embargo, al tratar de e'tender la electrodinmic
clsica hacia marcos de re)erencia acelerados, no tardamos en toparnos con problemas al tratar de
compaginar los resultados con las conclusiones obtenidas mediante la Relatividad Qeneral para el ca
del campo gravitacional" Antes de entrar en detalle sobre los problemas que con)rontamos al tratar
pegar! a la electrodinmica clsica con la Relatividad Qeneral, estudiaremos el caso de una carga
el*ctrica que est siendo sometida a una aceleracinconstante" El libro convencional $lassical
Electrodynamics! de #ohn =avid #ac%son utili+ado ampliamente para el estudio de la electrodinmica
programas de postgrado al igual que muchos otros te'tos inspirados en este libro adoptan la postura
de que la potencia de la radiacin emitida por una carga el*ctrica que est siendo acelerada depend
e'clusivamente de la aceleracin" El punto usual de partida es la de2nicin del vector de 6oynting .
o es di)cil demostrar que la potencia de la energa electromagn*tica est dada por la siguiente
)rmula conocida como f1rmula de Larmor para velocidades su2cientemente ba-as en comparaci
con la velocidad de la lu+.
siendo q la carga el*ctrica de la partcula y siendo a7 0a', ay, a+4 la aceleracin en coordenadas
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$artesianas rectangulares" Esta )rmula tiene adems la propiedad de que es una invariante de
/orent+, pese al hecho de que slo es vlida para velocidades su2cientemente ba-as en comparacin
con la velocidad de la lu+"
!"#BLE$%. "in recurrir a clculos detallados, demostrar que la rmula de !armor es una invariant
de !orent4 que conserva su orma tras un cambio de marcos de reerencia"
/a potencia de la energa electromagn*tica que est siendo radiada por la carga el*ctrica que est
siendo acelerada est dada por la ra+n de la p*rdida de energa, 5 dDdt, tal y como se observa y s
mide en el sistema de re)erencia " =el mismo modo, en el sistema de re)erencia C, la p*rdida de
energa est dada por 5 dCDdtC" 6ero es proporcional a la primera componente del B5vector energ
momentum 0EDc, p', py, p+4, mientras que t es proporcional tambi*n a la primera componente de un B
vector, el vector posicin 0ct,',y,+4, y en este caso ambas cantidades estn su-etas a la misma
trans)ormacin de /orent+, con lo cual la los )actores comunes de conversin /orent+iana tanto en e
numerador como en el denominador se cancelan, de-ndonos con la misma e'presin" e concluye q
la )rmula de /armor es una invariante de /orent+, y puede ser escrita para el sistema de re)erencia
de la siguiente manera.
"in embargo, tanto en el sistema de reerencia " como en el sistema de reerencia "#, la rmula de
!armor es slo vlida para velocidades sufcientemente ba5as en comparacin con la velocidad de la
lu4, de modo tal que la rmula de !armor no es covariante" El primer paso consistir en modi2car la
)rmula para que *sta sea covariante, tensorial" /a re)ormulacin de la :5aceleracin acomo una B5
aceleracin %se puede e)ectuar mediante una contraccin tensorial en el B5espacio de la siguiente
manera empleando la convencin de sumacin por la va de los ndices repetidos.
A & A &
=e este modo, la )rmula de /armor covariante queda escrita del siguiente modo especi2cada para
B5espacio en lugar del :5espacio.
Esta es la )rmula de /armor e'presada en )orma covariante" 6ero a1n no es una )rmularelativsticamente correcta" 6uesto que en la )rmula original de /armor tanto la aceleracin aen el
sistema de re)erencia C como la aceleracin aen el sistema de re)erencia son :5aceleraciones, el
paso lgico consiste en reempla+ar la :5aceleracin con una $%aceleracin%7 04, obtenida
directamente de la di)erenciacin con respecto al tiempo propio 0local4 de la B5velocidad U7 04
empleada en la Teora Especial de la Relatividad, la cual en nuestra introduccin a los B5vectores vim
que era igual a.
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'=(' ()=( c , $)
siendo ula :5velocidad" /a di)erenciacin de la B5velocidad Ucon respecto al tiempo propio viene
siendo entonces.
6ara poder llevar a cabo la contraccin tensorial de AKcon AKcomo se indica arriba, necesitamos la
)orma covariante de la B5aceleracin %, la cual obtenemos con la ayuda del tensor m*trico g7 0gU4
que corresponde al espacio5tiempo /orent+iano de la Teora Especial de la Relatividad, con lo cual
obtenemos lo siguiente tras ba-ar el ndice de AK.
6ero el tiempo t y el tiempo propio estn relacionados mediante la e'presin relativista para la
dilatacin del tiempo t 7 V" Entonces de inicio tenemos que tener algo como lo siguiente para el B5
vector velocidad U.
=e este modo, tenemos lo siguiente.
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Este paso anterior era necesario porque nuestro punto de partida )ue una relacin especi2cada no e
el tiempo propio sino en el tiempo del observador e'terno t, y esto nos introduce un )actor V al
ponerlo todo en )uncin de los B5vectores relativistas, algo que tenemos que agregar a la relacin 2n
que obtengamos"
$on lo que tenemos arriba, el procedimiento de desarrollo para obtener la B5aceleracin relativista q
tenemos que utili+ar en la versin covariante de la )rmula de /armor es directo" El lgebra es un po
laboriosa y no ser reproducida aqu" in embargo, una simpli2cacin que podemos utili+ar en los
procedimientos algebraicos para ahorrarnos varios pasos es la siguiente.
$on lo anterior llegamos por 2n a la siguiente )rmula de /armor relativista.
El t*rmino entre los par*ntesis es esencialmente un t*rmino relativista de aceleracin" 6odemos pon
esta ecuacin en una )orma un poco ms 1til, en lo que a interpretacin de resultados )sicos se re2e
recurriendo a la de2nicin del producto cru+ de dos vectores especi2cado del siguiente modo.
y recurriendo tambi*n a la de2nicin del producto escalar de dos vectores especi2cado del siguiente
modo.
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$on estas dos relaciones vectoriales, podemos e)ectuar la siguiente manipulacin del t*rminorelativista dentro los par*ntesis en la )rmula de /armor.
/a )rmula relativista de /armor toma entonces la siguiente )orma.
En un movimiento de aceleracin linealel :5vector velocidad usiempre ser paralelo al :5vectoraceleracin duDdt, de modo tal que el segundo t*rmino dentro del par*ntesis se desvanece
proporcionndonos la energa electromagn*tica emitida por la carga acelerada movi*ndose siempre
una misma direccin" M en un movimiento en el cual el :5vector velocidad uest cambiando de
direccin constantemente, siendo perpendicular al :5vector aceleracin duDdt como ocurre en el cas
de los aceleradores de partculas tales como el ciclotrn y el sincrotrn, el segundo t*rmino contribu
a la radiacin emitida, y es precisamente *ste t*rmino el que pone un lmite prctico a la velocidad q
se le pueda imprimir a partculas atmicas y sub5atmicas en un acelerador rotatorio" aciendo la
simpli2cacin 57 uDc y metiendo la constante cF tomndola del denominador del )actor e'terno par
meterla en el primer t*mino dentro del par*ntesis, -untndola con la otra constante cF que est en e
segundo t*rmino para incorporarla del mismo modo en cada udel segundo t*rmino, tenemos otravariante de la )rmula de /armor relativista, vlida para cualquier velocidad.
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!"#BLE$%. -btener una rmula para la potencia de la energa electromagn&tica radiada en unci
del cambio de la energa cin&tica B de la partcula con respecto a la distancia recorrida 7 dBCd/8 pa
una aceleracin lineal. "uponiendo para los aceleradores electroestticos lineales de partculas una
ganancia de )D eCmetro, demu&strese que ba5o tales condiciones la p&rdida de energa por
radiacin es despreciable"
Ma hemos visto previamente en otra entradas que la energa cin*tica relativista S est dada por la
)rmula.
S 7 0V 5 84 m?cF
Tomando la derivada de S con respecto al tiempo y usando un resultado obtenido arriba tenemos
entonces.
$on la ayuda de la regla de la cadena, podemos obtener dSDd' de la siguiente manera.
=espe-ando esto 1ltimo para poner todo en )uncin de la aceleracin duDdt.
Reempla+ando esto en la e'presin para la potencia radiada en el caso de que la aceleracin es line
con la velocidad uy la aceleracin duDdt colineares 0apuntando en la misma direccin4 obtenemos le'presin deseada.
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Evaluaremos ahora la potencia electormagn*tica radiada para un valor de dSDdt 7 8? &eDmetro"
6odemos llevar a cabo los clculos num*ricos de una manera ms elegante y menos propensa a
errores escribiendo lo anterior de la siguiente manera.
$on estos cambios, en el denominador tenemos a la energa en reposo m?cF de la partcula, que par
un electrn es igual a ?"88 &e" M en el numerador tenemos una cantidad 0qFDm?cF4 que resulta ser
igual a una longitud que en este caso viene siendo el radio clsico del electrnque )ue obtenido por
Thomson con la siguiente )rmula en el sistema de unidades Qaussianas.
6ara que esto sea cierto, tenemos que utili+ar para la unidad )undamental de carga un valor de B"f;88?statcoulombs 0o bien B"f;8?58?esu electrostatic unit, siendo el statcoulomb una unidad cuya
conversin al sistema I es 8 statcoulomb :"::B8?8?coulombs4" Empleando valores num*ric
tenemos entonces que la potencia radiada ser.
j909"f9;8?58:metro40:;8?8?cmDseg4D:0?"88 &e4kDj8? &eD8?? cmkF
88;8?5&eDsegundo
/a )raccin de la potencia que es perdida por radiacin electromagn*tica para esta partcula, en este
caso un electrn que suponemos que est via-ando a velocidades relativistas, ser entonces.
088;8?5&eDsegundo4D08? &eD8?? cm40:;8?8?cmDseg4
:";8?58B
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Esta es una )raccin despreciable, y tiene una consecuencia que ser relevante para nuestra discusi
posterior. es prcticamente imposible obtener de una partcula que est siendo
acelerada linealmente inormacin e/perimental que confrme la e/actitud de las rmulas relativist
para la radiacin electromagn&tica radiada por una carga acelerada"
En realidad, hay un pequeo detalle que hemos pasado por alto con el 2n de no embrollar ms los
clculos tericos" i una partcula es acelerada produciendo con ello un campo electromagn*tico de
radiacin, el movimiento posterior de la partcula indudablemente ser modi2cado por este campo d
radiacin" Este )enmeno es conocido tericamente como reacci1n de
radiaci1noamortiguamiento por la radiaci1n0radiation damping4" =e cualquier manera, en lo q
hemos visto acerca de cargas el*ctricas y consecuentemente campos el*ctricos aceleradostodo ha
aqu parece ser consistente, libre de conictos internos" $onsideraremos ahora cmo empie+an a su
di2cultades en cuanto entra en el panorama la Relatividad Qeneral"
i aceptamos en toda su e'tensin elprincipio uerte de equivalenciade la Relatividad Qeneral, la
equivalencia plena entre la gravedad y la aceleracin, la sola idea de que la radiacin
electromagn*tica es una )uncin de la aceleracin de una carga el*ctrica se vuelve problemtica,
porque ba-o este conte'to un ob-eto puede estar estacionario en el mismo lugar y acelerndose al
mismo tiempo" 6or e-emplo, un ob-eto cargado el*ctricamente puede estar en reposo sobre lasuper2cie de la Tierra, y sin embargo est su-eto tambi*n a una aceleracin gravitatoria gde
apro'imadamente "f metrosDsegF" Es precisamente esta aceleracin gravitatoria la que ocasiona q
una masa tengapeso0,7 mg4, y que ese peso sea menor en la super2cie de un cuerpo celeste co
menor atraccin gravitatoria 0como la /una4 o mayor en la super2cie de un cuerpo celeste con mayo
atraccin gravitatoria 0como el planeta #1piter4, siendo el peso igual a cero cuando el ob-eto est
otando libremente en el espacio" 6odemos decir con plena certe+a que un ob-eto que permanece
estacionario sobre la super2cie de la Tierra no est radiando energa electromagn*tica, al menos de
el punto de vista de observadores co5estacionarios" i estuviese radiando energa electromagn*tica,
tendramos entonces una )uente perpetua y gratuita de energa" 6uesto que la )uer+a de empu-e que
sostiene al cuerpo en su lugar en la super2cie terrestre no act1a a lo largo de distancia alguna, eltraba-o hecho por esta )uer+a es cero" Entonces no se est metiendo energa alguna en el ob-eto, de
modo tal que si el ob-eto estuviese emitiendo energa electromagn*tica 0y suponiendo que la energ
interna del ob-eto permanece constante4 tendramos una violacin del principio de la conservacin d
la energa"
aturalmente, podramos poner en tela de duda la asercin de que no se est haciendo traba-o algu
por la )uer+a de empu-e que mantiene al ob-eto en la super2cie de la Tierra" i imaginamos una
cpsula herm*ticamente sellada en cada libre, y si dentro de dicha cpsula un ob-eto se est
acelerando 0hacia arriba4 de )orma tal que mantiene la misma altura relativa en relacin a la )uente
gravitatoria e'terna, podramos decir que dentrode la cpsula hemos estado haciendo un traba-o
sobre el ob-eto al ir aumentando su velocidad 0hacia arriba4 dentro de la cpsula, relativa a la cpsumisma, pese a que desde el punto de vista 0e'terno4 de la )uente gravitatoria 0la Tierra4 el ob-eto
permanece estacionario y no se ha e)ectuado traba-o alguno sobre el ob-eto" Esto no debe
sorprendernos, puesto que el traba-o y la energa cin*tica son entendidos como conceptos relativos,
pero nos conduce a la conclusin inusual de que la radiacin electromagn*tica tambi*n debe ser un
concepto relativo" /a relatividad que ya nos debe ser )amiliar de la energa cin*tica se corresponde c
la simetra que hay entre marcos de re)erencia distintos, es decir, siempre podemos encontrar un
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7/26/2019 Electrodinmica Relativista I,II,III
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marco inercial 0/orent+iano4 de re)erencia con respecto al cual cualquier ob-eto 0en un instante dado
tiene una energa cin*tica igual a cero por estar el ob-eto instantneamente en reposo en dicho mar
de re)erencia que hemos llamado el marco de reerencia comvil" El considerar partculas cargadas
el*ctricamente en presencia de un campo gravitacional parece sugerir de igual modo que siempre
podemos encontrar un sistema de coordenadas 0al menos localmente4 con respecto al cual un ob-et
cargado el*ctricamente no emite radiacin electromagn*tica alguna en un instante dado, aunque la
partcula pueda estar emitiendo radiacin electromagn*tica con respecto a otro sistema de
coordenadas"
Tambi*n podemos cuestionar el hecho de que las ecuaciones de la electrodinmica realmente
impliquen el hecho de que una carga el*ctrica que se est* acelerando necesariamente deba radiar
energa electromagn*tica" orprendentemente, este asunto es un asunto que no se ha +an-ado del
todo en la teora clsica del electromagnetismo" /a di2cultad radica en saber cmo poder dilucidar la
inuencia de una partcula cargada el*ctricamente sobre s misma" Recordemos aqu que dos
electrones se repelen el uno al otro con una )uer+a que es estticamente proporcional al recproco d
distancia que hay entre las cargas" Esto es entendido tradicionalmente como la interaccin de cada
partcula con el campo el*ctrico de la otra partcula" /a intensidad del campo el*ctrico producido po
cada carga aumenta hasta el in2nito con)orme la distancia hacia la carga se apro'ima a cero
0suponiendo cargas puntuales, algo que la &ecnica $untica considera insostenible4" 6ero es aqu e
donde encontramos una di2cultad conceptual, porque de acuerdo con esta descripcin todo electrnest situado precisamente en un lugar en donde e/iste una uer4a de repulsin infnitamente grande
en contra de los electrones"
6odemos intentar mane-ar esto 1ltimo de varias maneras" /a solucin ms simplista consiste
simplemente en proclamar que un electrn no interact1a de modo alguno con su propio campo
el*ctrico, y cuando interact1a lo hace con los campos de otras partculas" i adoptamos *ste punto d
vista, tenemos que e'plicar entonces el por qu* una partcula cargada el*ctricamente opone una
mayor resistencia a cambios en su estado de movimiento que una partcula sin carga el*ctrica algun
pero con la misma masa inercial" El anlisis tradicional de las cargas aceleradas nos dice que *sta
)uer+a de reaccin de radiacin! aplicada a lo largo del movimiento de la carga acelerada es la quenos proporciona el suministro de energa que es emitida en la )orma de ondas electromagn*ticas"
Tradicionalmente se ha e'plicado q