El teorema de la separación de Tobin: información del primer semestre de 2008 del mercado accionario colombianoTobin’s Separation Theorem: Information from the Colombian Stock Market for the First Half of 2008
JOsé gabriel astaiza góMez1
Recibido: 24/08/2012 Aceptado: 11/10/2012
1 Economista de la Universidad del Cauca y Especialista en Finanzas de la Universidad EAFIT. Ha recibido honores como el premio al mérito Jesús Antonio Bejarano y reconocimiento de la Universidad del Cauca, así como el 2° lugar en el Concurso Nacional de Ponencias por el Banco de la República. Se ha desempeñado como docente de la Universidad del Cauca y la Corporación Universitaria Autónoma del Cauca. Actualmente ocupa el cargo de Director de Relaciones Empresariales de la Institución Universitaria Tecnológica de Comfacauca. Correo electrónico: [email protected]
ResumenEl artículo muestra una situación especial en donde el portafolio surgido del teorema de la separación de Tobin no se encuentra en la frontera eficiente de Markowitz. El desarrollo del mismo inicia con una revisión del modelo de selección de carteras de Harry Markowitz seguido del teorema de la separación de Tobin. A continuación, se hace uso de los modelos como herramientas para el inversionista individual, con datos sobre el mercado accionario colombiano del primer semestre de 2008. Finalmente se muestran las conclusiones. Es importante enfatizar que el objetivo del artículo no es hacer predicciones sobre los rendimientos esperados, varianzas o covarianzas de los mismos rendimientos, ni sugerir un portafolio óptimo para un inversionista con una función de utilidad particular, sino mostrar un escenario concreto en el que el teorema de la separación de Tobin conlleva a un portafolio ubicado por fuera de la frontera eficiente.
Palabras claves: Portafolio; riesgo; rendimiento; frontera eficiente; activo sin riesgo
AD-minister Medellín-Colombia No. 21 julio - diciembre 2012 pp. 135 - 154 ISSN 1692-0279 e-ISSN: 2256-4322
136 José Gabriel astaiza Gómez|El teorema de la separación de Tobin: información del primer semestre de 2008 del mercado accionario colombiano
Clasificación JEL:G11, C61
AbstractThis paper shows a special situation where a portfolio created based on Tobin’s separation theorem does not match the Markowitz efficient set. Next a review of Markowitz s portfolio selection theory is offered, followed by a review of Tobin’s separation theorem. Next, these models are used as tools for the individual investor with data on the Colombian stock market of the first half of 2008. Finally, the conclusions are shown. It is important to emphasize that the objective of this paper is not to make predictions upon expected returns, variances and covariances of these returns, nor to suggest an optimal portfolio for an investor with a particular utility function, but to expose a concrete scenario in which Tobin s theorem leads to a portfolio located outside Markowitz s efficient set.
Key words: Portfolio; risk; return; efficient set; riskless asset.
JEL Classification: G11, C61
Introducción
La economía financiera avanzó significativamente con Harry Markowitz (1952) quien desarrolló un modelo para la elección de portafolios, el cual implicó la posterior unión entre la teoría económica y la capacidad práctica de obtener resultados observables mediante la matemática y la estadística. Al incorporar la media y la varianza de sumas ponderadas de variables aleatorias al estudio de activos, Markowitz no sólo propuso métodos de cuantificación del desempeño de portafolios, sino que también logró relacionar el rendimiento y el riesgo en la toma de decisiones económicamente racionales. Posteriormente, James Tobin (1958) incluyó al modelo de Markowitz una solución en la elección de carteras, cuando se cuenta con un activo sin riesgo. Tal solución, conocida como el teorema de la separación de Tobin fue de gran relevancia para el desarrollo de modelos de equilibrio económico, como el Capital Asset Pricing Model y posteriores.
Incluso, el teorema de la separación ha sido también útil para establecer estrategias de conversión de pagos únicos a flujos de pagos en plazos definidos, eficientes en el contexto media – varianza, como lo realizado recientemente por R. Gay (2011). Dicha conversión es aplicable al análisis de fondos de pensiones y de proyectos, en los que existen costos explícitos periódicos que se desean financiar mediante la creación de un fondo inicial de recursos sin adiciones posteriores por parte de la firma, como en los proyectos de investigación y desarrollo.
137AD-minister | Universidad EAFIT | Número 21 | julio-diciembre 2012 | Medellín
El Modelo de MarkowitzLa teoría moderna de portafolios tiene sus orígenes en el modelo desarrollado por
Harry Max Markowitz, publicado por primera vez en el Journal of Finance con el título de Portfolio Selection, en 1952. El gran avance de su modelo, con relación a lo existente hasta la época, consiste en que considera que las decisiones de inversión en activos financieros no se deben realizar únicamente sobre la base del valor descontado del rendimiento futuro o esperado de los títulos, sino que deben tener en cuenta la diversificación. En palabras de Markowitz:
La hipótesis (o máxima) de que el inversionista maximiza (o debería maximizar) el retorno descontado debe ser rechazada. Si ignoramos las imperfecciones del mercado, la regla precedente nunca implica que haya un portafolio diversificado que sea preferible a todos los portafolios no diversificados. La diversificación es al mismo tiempo observable y razonable; una norma de comportamiento que no implique la superioridad de la diversificación debe rechazarse como hipótesis y como máxima (Markowitz, 1952, p. 77).
La esencia del modelo está en la regla E – V (Expected Return – Variance), la cual establece que al escoger entre dos portafolios, el inversionista prefiere (o debería preferir) aquel que le da el rendimiento esperado mayor si los riesgos involucrados en los dos portafolios son los mismos; y si los retornos esperados son iguales, el inversionista elige (o debería elegir) la posición con menor riesgo, medido por la varianza o la desviación estándar del retorno, pertinentes a su inversión. Matemáticamente, una cartera formada por n activos individuales, puede representarse a través de un vector columna W, de n elementos. O lo mismo, mediante el vector transpuesto de W:
WT = [w1, w2,…,wn ]
Tal que ∑wi = 1,, donde w1 es la porción del presupuesto total, invertido en el activo i. De manera matricial, esto es:
WT 1n = 1
Donde 1n representa un vector columna cuyos elementos son iguales a 1. La anterior expresión indica que se invierte la totalidad de un presupuesto dado, en un conjunto de activos. Siendo las rentabilidades de los activos financieros variables aleatorias, el retorno de un portafolio es una suma ponderada de variables aleatorias (donde el inversionista escoge las ponderaciones), de la siguiente forma:
R=w1 r1 + w2 r2 + ... +wi ri
Donde R es la rentabilidad de la cartera, y ri el rendimiento del título i. Por tanto, R es también una variable aleatoria.
El valor esperado de una suma ponderada es el resultado ponderado de los valores esperados (Markowitz, 1952, p. 80), así, el valor esperado de R se calcula como:
138 JOsé gabriel astaiza góMez|El teorema de la separación de Tobin: información del primer semestre de 2008 del mercado accionario colombiano
Donde se tiene en cuenta el hecho de que los ponderadores wi no son variables aleatorias (porque son fijados por el inversionista). Matricialmente, la expresión anterior se puede escribir como:
(1)
Esto es, el producto entre el vector transpuesto de ponderaciones W y el vector de rendimientos esperados individuales, que genera como resultado un escalar.
Para estimar el riesgo de un portafolio medido por su varianza, dado que R es una suma ponderada de variables aleatorias, se deben calcular primero las covarianzas entre pares de rendimientos de los activos, las cuales se definen como:
En donde ri es el retorno observado del activo i, es la media de los rendimientos del título i, rj es el rendimiento observado del título j y es la media de los retornos del activo j. Una vez conocidas las covarianzas entre pares de activos, se puede definir la varianza de una cartera (Markowitz, 1952) como:
Lo cual, matricialmente puede expresarse como:
(2)
Donde Ω es la matriz Var-Cov de los rendimientos esperados de los títulos individuales. En esta expresión, se puede observar que la varianza del portafolio, está en función de las varianzas de los activos individuales y sus covarianzas, y que entre menores sean las covarianzas, menor es el riesgo de la cartera. Por tanto, para minimizar la varianza de los portafolios no es suficiente invertir en muchos activos, también es necesario evitar invertir en títulos con altas covarianzas entre ellos (Markowitz, 1952).
Una vez conocida la forma de calcular el retorno esperado y la varianza de un portafolio, se puede encontrar un conjunto de carteras que dentro de todas las posibles, cumplan con el siguiente criterio: Dado un nivel particular de desviación estándar, los portafolios en este conjunto tienen la tasa de rendimiento esperado más alta posible (Haugen, 1986), cuya representación gráfica se llama frontera eficiente. Para encontrar matemáticamente esta frontera, se debe resolver el siguiente problema, para diferentes valores de rendimiento esperado (Medina, 2003):
139AD-minister | Universidad EAFIT | Número 21 | julio-diciembre 2012 | Medellín
Lo cual significa que se encuentra un portafolio de mínima varianza para cada nivel particular de rendimiento del portafolio (primera restricción), dentro de todas las carteras posibles (matricialmente, los portafolios tales que 1 = WT 1n, lo cual constituye la segunda restricción). Por tanto, representa un nivel determinado de rendimiento esperado del portafolio, al que se le debe asignar diferentes valores. Si en el modelo se permiten las ventas en corto, el problema anterior se puede resolver mediante el método de Lagrange, así (Medina, 2003):
Al multiplicar por 1/2 en los dos lados de la ecuación (4) y despejando y 1 de las ecuaciones (5) y (6), el sistema puede representarse matricialmente como:
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Para encontrar los valores de wi o los elementos del vector W, que minimizan la varianza del portafolio, dado un nivel de rendimiento esperado de la cartera, se despeja W, λ1/2 y λ2/2 quedando el anterior sistema así:
Entonces, para construir el conjunto de portafolios de mínima varianza, se debe resolver (8) fijando diferentes valores a , por encima del rendimiento del portafolio de mínima varianza.
El portafolio de mínimo riesgo, se encuentra resolviendo:
Minimizar WT Ω WSujeto a: 1 = WT 1n
140 JOsé gabriel astaiza góMez|El teorema de la separación de Tobin: información del primer semestre de 2008 del mercado accionario colombiano
Utilizando de nuevo el método de Lagrange, se genera el siguiente resultado:
(9)
(10)
(11)
Así, para construir la frontera eficiente, se minimiza la varianza de diferentes carteras, a las cuales se les asignan rendimientos esperados , por encima del retorno del portafolio de mínimo riesgo. De ese conjunto de portafolios eficientes, un inversionista elige aquella posición que maximiza su utilidad, la cual se asume en función del retorno esperado y la varianza de los portafolios , esto es, elige un punto que se sitúe en la curva de indiferencia que representa su nivel más alto de utilidad alcanzable.
Al escoger entre posiciones de inversión, el inversionista prefiere aquella que le da el retorno esperado mayor si los riesgos involucrados en las posiciones son los mismos; y si los rendimientos esperados son iguales, el inversionista elige la posición con menor riesgo, medido por la varianza o la desviación estándar del retorno, pertinentes a su inversión. Por tanto, el inversionista es averso al riesgo. Estas suposiciones implican que la curva de indiferencia del inversionista es cóncava cuando el retorno esperado es ubicado en el eje vertical y la desviación estándar en el eje horizontal.
El Aporte de TobinAhora, si existe un activo que ofrece una rentabilidad pactada con anterioridad, y su emisor es de gran confiabilidad, de tal forma que se puede asumir que la probabilidad de recibir el retorno pactado es del 100%, entonces, como lo propuso Tobin (1958), la decisión de cuánta proporción del presupuesto invertir en ese activo sin riesgo y cuánta en los activos de renta variable, se puede separar. Independientemente de cuánta sea esa proporción, dada una tasa libre de riesgo, para Tobin se podría encontrar un portafolio de activos riesgosos que, al combinarse con el activo libre de riesgo de acuerdo a las preferencias del inversionista, tendría unas ponderaciones que generarían el mínimo riesgo y el máximo rendimiento esperado. Si a la combinación de un activo libre de riesgo, con una cartera de n activos riesgosos (en este caso acciones) se le llama portafolio global, la rentabilidad esperada de ese portafolio se encuentra de la siguiente manera (Medina, 2003):
Donde es el rendimiento esperado del portafolio global, ∅ es la proporción del presupuesto invertido en la cartera de acciones, es la tasa esperada de retorno del portafolio de acciones y la tasa libre de riesgo. El riesgo del portafolio global se obtiene como se indica a continuación:
y la tasa libre de riesgo. El riesgo del portafolio global se
141AD-minister | Universidad EAFIT | Número 21 | julio-diciembre 2012 | Medellín
Donde es la varianza del portafolio global, es la varianza de la cartera de acciones, es la varianza del activo libre de riesgo y σp,F es la covarianza entre el rendimiento esperado del portafolio de acciones y la tasa libre de riesgo. En la ecuación (11) se tiene en cuenta que la tasa libre de riesgo, por definición, tiene una varianza y una covarianza con otros activos iguales a cero. Si se supone que se puede comprar o vender el activo sin riesgo (para apalancar la compra de activos de riesgo) y se grafica el retorno esperado y la varianza de diferentes portafolios globales, en un espacio rendimiento esperado – varianza, el resultado es una línea recta, que tiene su origen en la tasa libre de riesgo y se extiende indefinidamente hacia el nororiente.
Dada la forma parabólica (si se realiza un gráfico en un espacio retorno esperado – varianza) o hiperbólica (si se hace con respecto a la desviación estándar en lugar de la varianza) del conjunto de mínima varianza, se puede encontrar el conjunto con las mejores oportunidades de compra y venta, extendiendo la línea recta desde v y haciéndola tocar de manera tangente el conjunto de mínima varianza. La pendiente de esa recta es la siguiente (Haugen, 1986):
es la varianza del activo libre de riesgo y
Y de forma matricial (Medina, 2003):
(12)
(13)
Donde es un vector cuyos n elementos son iguales a la tasa libre de riesgo, y θ es la pendiente de la recta. Entonces, para encontrar el punto tangente entre la línea recta con un origen en y el conjunto de mínima varianza, se deben estimar los elementos de la matriz W, que maximizan la pendiente de la recta:
Para hacerlo, se iguala a cero la primera derivada de la función respecto a W, y se despeja W (Medina, 2003):
Lo cual da como resultado, las ponderaciones o la parte del presupuesto asignado a cada título del portafolio de Tobin.
142 JOsé gabriel astaiza góMez|El teorema de la separación de Tobin: información del primer semestre de 2008 del mercado accionario colombiano
Elección de los TítulosEn Colombia existen tres índices accionarios: el Índice General de la Bolsa de Colombia
(IGBC), el COLCAP y el COL20, índice que refleja las variaciones de los precios de las 20 acciones más líquidas de la BVC, de acuerdo a una función de liquidez que incorpora la rotación, frecuencia y volumen transado. Es así como, observando las dos canastas del COL20 emitidas durante los períodos de enero-marzo y abril-junio, se pueden encontrar las 20 acciones más líquidas del primer semestre de 2008 de acuerdo a su valor de ponderación.
De dichas canastas (véase http://www.bvc.com.co) se puede notar la ausencia de cuatro títulos en alguna de las dos. Estos son: BOGOTÁ, ISAGEN (se encuentran sólo en la primera canasta) y ECOPETROL, PFBCRÉDITO (sólo se encuentran en la segunda canasta). Por tanto, se cuenta con un total de 18 acciones con presencia permanente en el COL20 durante los dos primeros trimestres. Para completar las 20 acciones de estudio, se revisaron las participaciones de los cuatro títulos faltantes y se eligieron los dos que contaron con mayores porcentajes.
De esa forma, las 20 acciones de estudio son las siguientes: BCOLOMBIA, BVC, CEMARGOS, CHOCOLATES, COLINVERS, COLTEJER, CORFICOLCF, ECOPETROL, ENKA, ETB, ÉXITO, FABRICATO, GRUPOAVAL, INTERBOLSA, INVERARGOS, ISA, PAZRÍO, PFBCRÉDITO, SURAMINV y TABLEMAC. Las series de precios diarios de cada título corresponden a los dos primeros trimestres del año 2008, con semanas de cinco días (de acuerdo a los días de operación de la BVC), que en total, acumulado para los 20 títulos, son 2,400 observaciones.
Aplicación del Modelo de MarkowitzPara la aplicación del modelo de Markowitz primero se deben estimar los rendimientos esperados de los títulos así como sus varianzas, para lo cual se calculan los rendimientos periódicos compuestos continuamente de la siguiente manera:
Donde Ln es logaritmo natural, rit es el rendimiento en el día t de un título i, Pit es el precio del título i en el día t y Pit-1 el precio del activo i en el día anterior. Conocidas las rentabilidades observadas de cada acción, se pueden calcular los valores esperados de los rendimientos y sus varianzas. Los rendimientos esperados son calculados dividendo la sumatoria de las rentabilidades periódicas entre el total de observaciones de la serie, así:
= E(ri) =∑rit /n
Donde es el valor esperado de los rendimientos de un activo determinado, y n es el número de rendimientos observados. Como se puede apreciar, el modelo asume que la media es una buena representación de los datos observados y de su comportamiento
143AD-minister | Universidad EAFIT | Número 21 | julio-diciembre 2012 | Medellín
futuro. El valor de los elementos del vector de rendimientos esperados individuales se puede observar a continuación:
1 1
1 BCOLOMBIA -0,00131108 11 ÉXITO -0,00251723
2 BVC -0,0019775 12 FABRICATO -0,00156763
3 CEMARGOS -0,00198417 13 GRUPOAVAL -0,00213936
4 CHOCOLATES -0,00079779 14 INTERBOLSA -0,00152721
5 COLINVERS -0,00079765 15 INVERARGOS -0,00205635
6 COLTEJER 0,001241369 16 ISA 0,000682549
7 CORFICOLCF -0,00231854 17 PAZRÍO -0,00170539
8 ECOPETROL 0,002080479 18 PFBCRÉDITO -0,0021711
9 ENKA -0,00389444 19 SURAMINV -0,00198866
10 ETB -0,00085159 20 TABLEMAC -0,00372605
De los resultados anteriores, es importante notar que sólo tres activos cuentan con rendimientos esperados positivos: COLTEJER, ECOPETROL e ISA. Esta información es congruente con el estado de los mercados del primer semestre de 2008, que estaban en el comienzo de la recesión económica, la cual se hizo evidente con la crisis de los mercados financieros americanos. El resultado son 17 (de las 20) acciones representativas del mercado colombiano con rendimientos esperados negativos durante el período en estudio.
Los riesgos de cada título, están medidos por sus varianzas muestrales, definidas como:
Tabla 1 Vector de Rendimientos esperados, r
Fuente: elaboración propia.
Los resultados de esas estimaciones se muestran en la diagonal principal de la matrizdevarianzasycovarianzas(representadacomoΩ)queestáenlaTabla2.Dela matriz se puede observar que la acción con mayor varianza durante el período fue COLTEJER con un valor de 0,00173809, una de las tres acciones con rendimientos medios positivos. Le sigue FABRICATO, con un valor de 0,00157719 y PAZRÍO con 0,00083307.
144 José Gabriel astaiza Gómez|El teorema de la separación de Tobin: información del primer semestre de 2008 del mercado accionario colombiano
Tabl
a 2.
MatrizdeVarianzasyCovarianzasΩ(F
uent
e: e
labo
raci
ón p
ropi
a).
BC
OLOM
BIA
BVC
CEM
ARGO
SCH
OCOL
ATES
COLI
NVE
RSCO
LTEJ
ERCO
RFIC
OLCF
ECOP
ETRO
LEN
KAET
B
1BC
OLOM
0,00
0369
010,
0002
384
0,00
0291
420,
0002
1898
80,
0003
0437
0,00
0331
580,
0002
3397
0,00
0233
940,
0002
6401
0,00
0238
82
2BV
C0,
0002
384
0,00
0362
240,
0002
7427
0,00
0206
291
0,00
0276
340,
0004
9531
0,00
0206
170,
0002
5451
0,00
0269
590,
0002
4433
3CE
MAR
0,00
0291
420,
0002
7427
0,00
0426
480,
0002
6429
0,00
0361
640,
0004
5055
0,00
0264
290,
0002
6849
0,00
0320
740,
0002
9165
4CH
OCOL
0,00
0218
990,
0002
0629
0,00
0264
290,
0003
3783
0,00
0239
310,
0003
191
0,00
0203
270,
0002
160,
0002
3776
0,00
0243
07
5CO
LIN
V0,
0003
0437
0,00
0276
340,
0003
6164
0,00
0239
312
0,00
0521
610,
0004
8087
0,00
0292
730,
0002
5736
0,00
0299
040,
0003
0514
6CO
LTEJ
E0,
0003
3158
0,00
0495
310,
0004
5055
0,00
0319
10,
0004
8087
0,00
1738
090,
0003
023
0,00
0395
580,
0005
2454
0,00
0380
14
7CO
RFIC
O0,
0002
3397
0,00
0206
170,
0002
6429
0,00
0203
272
0,00
0292
730,
0003
023
0,00
0321
310,
0002
2177
0,00
0215
960,
0002
4882
8EC
OPET
0,00
0233
940,
0002
5451
0,00
0268
490,
0002
1599
60,
0002
5736
0,00
0395
580,
0002
2177
0,00
0421
250,
0002
3775
0,00
0273
35
9EN
KA0,
0002
6401
0,00
0269
590,
0003
2074
0,00
0237
756
0,00
0299
040,
0005
2454
0,00
0215
960,
0002
3775
0,00
0638
820,
0002
4365
10ET
B0,
0002
3882
0,00
0244
330,
0002
9165
0,00
0243
073
0,00
0305
140,
0003
8014
0,00
0248
820,
0002
7335
0,00
0243
650,
0005
1277
11ÉX
ITO
0,00
0201
60,
0002
0252
0,00
0216
680,
0001
4229
70,
0002
3553
0,00
0307
90,
0001
7778
0,00
0181
190,
0001
9278
0,00
0185
44
12FA
BRIC
0,00
0409
760,
0004
5475
0,00
0482
850,
0003
1290
90,
0005
3275
0,00
1158
0,00
0345
530,
0003
6583
0,00
0615
010,
0004
0079
13GR
UPO
0,00
0280
870,
0002
194
0,00
0334
390,
0002
6393
90,
0003
0018
0,00
0384
980,
0002
7496
0,00
0251
890,
0003
0945
0,00
0323
01
14IN
TERB
7,86
94E-
057,
3838
E-05
0,00
0127
428,
1568
7E-0
50,
0001
1671
0,00
0131
190,
0001
0421
0,00
0111
928,
2744
E-05
0,00
0107
17
15IN
VERA
0,00
0307
080,
0002
6526
0,00
0377
320,
0002
2056
80,
0003
9351
0,00
0421
330,
0002
7152
0,00
0262
170,
0002
962
0,00
0305
04
16IS
A0,
0002
4368
0,00
0214
70,
0002
7247
0,00
0203
884
0,00
0274
380,
0003
3149
0,00
0218
980,
0002
3352
0,00
0250
340,
0002
4395
17PA
ZRÍO
0,00
0247
0,00
0267
180,
0002
4469
0,00
0154
818
0,00
0292
940,
0003
833
0,00
0190
630,
0002
2638
0,00
0235
120,
0002
3861
18PF
BCRE
0,00
0266
170,
0002
694
0,00
0322
590,
0002
2081
40,
0002
8417
0,00
0387
390,
0002
3966
0,00
0231
810,
0003
0453
0,00
0275
19
19SU
RAM
0,00
0315
260,
0002
7437
0,00
0356
430,
0002
5568
90,
0003
5784
0,00
0433
680,
0002
8615
0,00
0279
570,
0003
245
0,00
0301
17
20TA
BLE
0,00
0298
870,
0002
9398
0,00
0360
050,
0002
8824
50,
0003
6496
0,00
0474
260,
0002
857
0,00
0300
790,
0003
6196
0,00
0318
14
12
34
56
78
910
145AD-minister | Universidad EAFIT | Número 21 | julio-diciembre 2012 | Medellín
Cont
inua
ción
Tab
la 2
ÉXIT
OFA
BRIC
ATO
GRUP
OAVA
LIN
TERB
OLSA
INVE
RARG
OSIS
APA
ZRÍO
PFBC
RÉDI
TOSU
RAM
INV
TABL
EMAC
10,
0002
016
0,00
0409
760,
0002
8087
7,86
94E-
050,
0003
0707
90,
0002
4368
0,00
0247
0,00
0266
170,
0003
1526
0,00
0298
87
20,
0002
0252
0,00
0454
750,
0002
194
7,38
38E-
050,
0002
6526
20,
0002
147
0,00
0267
180,
0002
694
0,00
0274
370,
0002
9398
30,
0002
1668
0,00
0482
850,
0003
3439
0,00
0127
420,
0003
7731
90,
0002
7247
0,00
0244
690,
0003
2259
0,00
0356
430,
0003
6005
40,
0001
423
0,00
0312
910,
0002
6394
8,15
69E-
050,
0002
2056
80,
0002
0388
0,00
0154
820,
0002
2081
0,00
0255
690,
0002
8825
50,
0002
3553
0,00
0532
750,
0003
0018
0,00
0116
710,
0003
9350
60,
0002
7438
0,00
0292
940,
0002
8417
0,00
0357
840,
0003
6496
60,
0003
079
0,00
1158
0,00
0384
980,
0001
3119
0,00
0421
330,
0003
3149
0,00
0383
30,
0003
8739
0,00
0433
680,
0004
7426
70,
0001
7778
0,00
0345
530,
0002
7496
0,00
0104
210,
0002
7151
60,
0002
1898
0,00
0190
630,
0002
3966
0,00
0286
150,
0002
857
80,
0001
8119
0,00
0365
830,
0002
5189
0,00
0111
920,
0002
6216
90,
0002
3352
0,00
0226
380,
0002
3181
0,00
0279
570,
0003
0079
90,
0001
9278
0,00
0615
010,
0003
0945
8,27
44E-
050,
0002
962
0,00
0250
340,
0002
3512
0,00
0304
530,
0003
245
0,00
0361
96
100,
0001
8544
0,00
0400
790,
0003
2301
0,00
0107
170,
0003
0504
0,00
0243
950,
0002
3861
0,00
0275
190,
0003
0117
0,00
0318
14
110,
0002
3796
0,00
0316
340,
0001
8158
5,67
23E-
050,
0002
2423
30,
0001
8488
0,00
0198
940,
0001
9367
0,00
0216
460,
0001
8951
120,
0003
1634
0,00
1577
190,
0003
9181
0,00
0129
230,
0004
8051
0,00
0335
050,
0004
1204
0,00
0449
070,
0004
9864
0,00
0579
21
130,
0001
8158
0,00
0391
810,
0004
8062
0,00
0150
110,
0003
0904
50,
0002
6741
0,00
0229
390,
0003
2313
0,00
0332
50,
0003
8936
145,
6723
E-05
0,00
0129
230,
0001
5011
0,00
0207
750,
0001
1761
79,
1698
E-05
0,00
0149
738,
2723
E-05
0,00
0129
330,
0001
4184
150,
0002
2423
0,00
0480
510,
0003
0904
0,00
0117
620,
0004
3699
30,
0002
7461
0,00
0267
580,
0003
131
0,00
0350
360,
0003
4016
160,
0001
8488
0,00
0335
050,
0002
6741
9,16
98E-
050,
0002
7460
90,
0002
6677
0,00
0240
220,
0002
4649
0,00
0268
280,
0002
9046
170,
0001
9894
0,00
0412
040,
0002
2939
0,00
0149
730,
0002
6758
20,
0002
4022
0,00
0833
070,
0002
2971
0,00
0279
180,
0003
6435
180,
0001
9367
0,00
0449
070,
0003
2313
8,27
23E-
050,
0003
1310
30,
0002
4649
0,00
0229
710,
0005
4613
0,00
0318
570,
0003
3287
190,
0002
1646
0,00
0498
640,
0003
325
0,00
0129
330,
0003
5036
50,
0002
6828
0,00
0279
180,
0003
1857
0,00
0401
960,
0003
5165
200,
0001
8951
0,00
0579
210,
0003
8936
0,00
0141
840,
0003
4015
70,
0002
9046
0,00
0364
350,
0003
3287
0,00
0351
650,
0005
7418
1112
1314
1516
1718
1920
146 José Gabriel astaiza Gómez|El teorema de la separación de Tobin: información del primer semestre de 2008 del mercado accionario colombiano
También, al revisar las correlaciones, se encontraron las más altas entre INVERARGOS y CEMARGOS (0,874), SURAMINV y CEMARGOS (0,86084845) y SURAMINV e INVERARGOS (0,83597). La correlación más baja estuvo en el par COTEJER–INTERBOLSA con un valor de 0,21832555, siendo todas las correlaciones significativas a un nivel de 0,05.
Parte de las causas de estos valores se puede encontrar al revisar los perfiles de las empresas emisoras. Por ejemplo, la elevada correlación entre las emisiones de INVERARGOS y CEMARGOS se explica fundamentalmente porque Inversiones ARGOS es un holding de inversiones cuyo activo más importante estaba constituido por Cementos ARGOS, el cual ya representaba, para el 12 de Agosto de 2008, más del 80% del portafolio (Interbolsa, 2008). Además, el alto valor de las correlaciones entre los pares SURAMINV–CEMARGOS y SURAMINV–INVERARGOS, se explica en parte porque Suramericana de Inversiones es también un holding de inversiones que tuvo dentro de sus principales inversiones en 2008 activos de Inversiones ARGOS, junto con inversiones en Inversura, Bancolombia, Protección y GNCH (Interbolsa, 2008).
Al aplicar la ecuación (9) utilizando la información de la matriz de varianzas y covarianzas (Tabla 2), se obtiene el portafolio de mínimo riesgo, con los siguientes resultados:
Tabla 3. Portafolio de mínimo riesgo, [[W0 λ/2
1 1
1 0,1491357 12 -0,02502
2 0,1028059 13 -0,142665
3 -0,137699 14 0,5574277
4 0,2043032 15 -0,01543
5 -0,039359 16 0,1516851
6 -0,031594 17 -0,035523
7 0,1160013 18 0,0759284
8 -0,032886 19 -0,317842
9 0,0868059 20 -0,053576
10 0,0292791 21 -0,000104
11 0,3582224
Fuente: Elaboración propia.
Donde el elemento de la fila 21 corresponde a λ/2 y por tanto, los primeros 20 elementos son las ponderaciones de cada título, en el portafolio de mínimo riesgo. Además, los elementos negativos indican la realización de ventas en corto.
147AD-minister | Universidad EAFIT | Número 21 | julio-diciembre 2012 | Medellín
[ [Wλ1/2λ2/2
La varianza de este portafolio calculada como en (2) es la siguiente:
σp2 = 0,00010426 = 0,010426%
El rendimiento del portafolio de mínimo riesgo, calculado utilizando la ecuación (1) es igual a:
= -0,00154269 = -0,154269%
O sea, que dada la información sobre los rendimientos periódicos, el portafolio con la menor varianza posible durante el primer semestre de 2008, conformado por las 20 acciones más líquidas del mercado colombiano, tuvo una tasa esperada de rendimiento de -0,154269%, cifra que está acorde con la caída del mercado bursátil local, influenciada por el inicio de la crisis económica norteamericana.
Ya conocido el rendimiento esperado del portafolio de mínimo riesgo, se puede construir la frontera eficiente de Markowitz asignando diferentes valores a de la ecuación (8) por encima de -0,00154269. Los valores utilizados para tal fin son: -0,001; -0,0005; 0; 0,0005; 0,001; 0,0015; 0,002; 0,0025; 0,003; 0,0035; 0,004; 0,0045; 0,005; 0,0055; 0,006; 0,0065; 0,007; 0,008; y 0,0085, los cuales generan un resultado para cada . Los vectores se pueden observar en la tabla 4:
Los elementos 21 y 22 de cada vector corresponden a los valores y λ1/2 y λ2/2 de la ecuación (8). Así, el presupuesto asignado a cada título en las carteras de la frontera eficiente corresponde a los primeros 20 elementos de los vectores, donde, como se mencionó antes, los valores negativos representan ventas en corto.
Conlamatrizdevarianzasycovarianzas(Ω),y losvectoresdeponderaciones(W) de los portafolios de la frontera eficiente, se pueden encontrar, con la ecuación (2), las varianzas de cada una de esas carteras, las cuales aparecen relacionadas a continuación con sus respectivos rendimientos asignados :
0,0045; 0,005; 0,0055; 0,006; 0,0065; 0,007; 0,008; y 0,0085, los cuales generan un
Tabla 5. Rendimientos y varianzas de la Frontera eficiente
CARTERA RETORNO VARIANZA CARTERA RETORNO VARIANZA
WA -0,001 0,000105 WK 0,004 0,000204
WB -0,0005 0,000108 WL 0,0045 0,000223
WC 0 0,000112 WM 0,005 0,000243
WD 0,0005 0,000118 WN 0,0055 0,000265
WE 0,001 0,000125 WO 0,006 0,000289
WF 0,0015 0,000134 WP 0,0065 0,000314
WG 0,002 0,000145 WQ 0,007 0,000341
WH 0,0025 0,000157 WR 0,0075 0,000369
WI 0,003 0,000171 WS 0,008 0,0004
WJ 0,0035 0,000187 WT 0,0085 0,000431
Fuente: Elaboración propia.
148 José Gabriel astaiza Gómez|El teorema de la separación de Tobin: información del primer semestre de 2008 del mercado accionario colombiano
WA
WB
WC
WD
WE
WF
WG
WH
WI
WJ
10,
1512
4922
0,15
3196
470,
1551
4373
0,15
7090
980,
1590
3823
0,16
0985
480,
1629
3273
0,16
4879
980,
1668
2723
0,16
8774
48
20,
0936
8822
0,08
5287
80,
0768
8737
0,06
8486
950,
0600
8653
0,05
1686
110,
0432
8568
0,03
4885
260,
0264
8484
0,01
8084
42
3-0
,139
7341
2-0
,141
6091
-0,1
4348
407
-0,1
4535
905
-0,1
4723
402
-0,1
4910
9-0
,150
9839
8-0
,152
8589
5-0
,154
7339
3-0
,156
6089
1
40,
2109
2005
0,21
7016
350,
2231
1265
0,22
9208
940,
2353
0524
0,24
1401
540,
2474
9784
0,25
3594
140,
2596
9043
0,26
5786
73
5-0
,018
0331
80,
0016
1492
0,02
1263
020,
0409
1112
0,06
0559
220,
0802
0732
0,09
9855
420,
1195
0353
0,13
9151
630,
1587
9973
6-0
,029
2725
2-0
,027
1333
3-0
,024
9941
5-0
,022
8549
6-0
,020
7157
8-0
,018
5765
9-0
,016
4374
1-0
,014
2982
2-0
,012
1590
4-0
,010
0198
5
70,
0986
6593
0,08
2694
360,
0667
228
0,05
0751
240,
0347
7968
0,01
8808
110,
0028
3655
-0,0
1313
501
-0,0
2910
658
-0,0
4507
814
8-0
,001
7676
0,02
6902
720,
0555
7304
0,08
4243
350,
1129
1367
0,14
1583
980,
1702
543
0,19
8924
620,
2275
9493
0,25
6265
25
90,
0715
7545
0,05
7543
160,
0435
1087
0,02
9478
590,
0154
463
0,00
1414
02-0
,012
6182
7-0
,026
6505
6-0
,040
6828
4-0
,054
7151
3
100,
0269
4279
0,02
4790
310,
0226
3784
0,02
0485
370,
0183
3289
0,01
6180
420,
0140
2795
0,01
1875
470,
0097
230,
0075
7053
110,
3116
8068
0,26
8800
460,
2259
2024
0,18
3040
020,
1401
598
0,09
7279
590,
0543
9937
0,01
1519
15-0
,031
3610
7-0
,074
2412
9
12-0
,014
9849
8-0
,005
7397
30,
0035
0552
0,01
2750
760,
0219
9601
0,03
1241
260,
0404
8651
0,04
9731
760,
0589
770,
0682
2225
13-0
,141
6485
9-0
,140
7117
4-0
,139
7749
-0,1
3883
805
-0,1
3790
12-0
,136
9643
5-0
,136
0275
1-0
,135
0906
6-0
,134
1538
1-0
,133
2169
6
140,
5561
9124
0,55
5052
010,
5539
1279
0,55
2773
560,
5516
3434
0,55
0495
110,
5493
5589
0,54
8216
660,
5470
7743
0,54
5938
21
15-0
,038
2507
9-0
,059
2759
8-0
,080
3011
7-0
,101
3263
5-0
,122
3515
4-0
,143
3767
2-0
,164
4019
1-0
,185
4271
-0,2
0645
228
-0,2
2747
747
160,
2433
8791
0,32
7876
40,
4123
6489
0,49
6853
370,
5813
4186
0,66
5830
350,
7503
1884
0,83
4807
330,
9192
9582
1,00
3784
3
17-0
,034
1110
9-0
,032
8104
5-0
,031
5098
-0,0
3020
916
-0,0
2890
851
-0,0
2760
787
-0,0
2630
722
-0,0
2500
658
-0,0
2370
593
-0,0
2240
529
180,
0783
3734
0,08
0556
760,
0827
7618
0,08
4995
590,
0872
1501
0,08
9434
430,
0916
5385
0,09
3873
260,
0960
9268
0,09
8312
1
19-0
,332
5140
3-0
,346
0314
7-0
,359
5489
1-0
,373
0663
5-0
,386
5837
9-0
,400
1012
3-0
,413
6186
7-0
,427
1361
1-0
,440
6535
5-0
,454
1709
9
20-0
,092
3219
3-0
,128
0199
3-0
,163
7179
4-0
,199
4159
4-0
,235
1139
5-0
,270
8119
5-0
,306
5099
5-0
,342
2079
6-0
,377
9059
6-0
,413
6039
7
21-0
,001
7602
2-0
,003
3819
5-0
,005
0036
9-0
,006
6254
3-0
,008
2471
7-0
,009
8689
-0,0
1149
064
-0,0
1311
238
-0,0
1473
412
-0,0
1635
586
22-0
,000
1069
8-0
,000
1094
8-0
,000
1119
8-0
,000
1144
8-0
,000
1169
8-0
,000
1194
9-0
,000
1219
9-0
,000
1244
9-0
,000
1269
9-0
,000
1294
9
1
Tabl
a 4.
Vec
tore
s W
de
los
port
afol
ios
de la
Fro
nter
a ef
icie
nte
de M
arko
witz
(Fue
nte:
ela
bora
ción
pro
pia)
149AD-minister | Universidad EAFIT | Número 21 | julio-diciembre 2012 | Medellín
WK
WL
WM
WN
WO
WP
WQ
WR
WS
WT
10,
1707
2173
0,17
2668
980,
1746
1623
0,17
6563
480,
1785
1074
0,18
0457
990,
1824
0524
0,18
4352
490,
1862
9974
0,18
8246
99
20,
0096
840,
0012
8357
-0,0
0711
685
-0,0
1551
727
-0,0
2391
769
-0,0
3231
812
-0,0
4071
854
-0,0
4911
896
-0,0
5751
938
-0,0
6591
981
3-0
,158
4838
8-0
,160
3588
6-0
,162
2338
4-0
,164
1088
1-0
,165
9837
9-0
,167
8587
7-0
,169
7337
4-0
,171
6087
2-0
,173
4837
-0,1
7535
867
40,
2718
8303
0,27
7979
330,
2840
7562
0,29
0171
920,
2962
6822
0,30
2364
520,
3084
6081
0,31
4557
110,
3206
5341
0,32
6749
71
50,
1784
4783
0,19
8095
930,
2177
4403
0,23
7392
130,
2570
4023
0,27
6688
330,
2963
3643
0,31
5984
530,
3356
3263
0,35
5280
73
6-0
,007
8806
7-0
,005
7414
8-0
,003
6023
-0,0
0146
311
0,00
0676
070,
0028
1526
0,00
4954
440,
0070
9363
0,00
9232
810,
0113
72
7-0
,061
0497
-0,0
7702
126
-0,0
9299
283
-0,1
0896
439
-0,1
2493
595
-0,1
4090
751
-0,1
5687
908
-0,1
7285
064
-0,1
8882
22-0
,204
7937
6
80,
2849
3556
0,31
3605
880,
3422
762
0,37
0946
510,
3996
1683
0,42
8287
140,
4569
5746
0,48
5627
780,
5142
9809
0,54
2968
41
9-0
,068
7474
2-0
,082
7797
-0,0
9681
199
-0,1
1084
428
-0,1
2487
656
-0,1
3890
885
-0,1
5294
113
-0,1
6697
342
-0,1
8100
571
-0,1
9503
799
100,
0054
1805
0,00
3265
580,
0011
1311
-0,0
0103
937
-0,0
0319
184
-0,0
0534
431
-0,0
0749
679
-0,0
0964
926
-0,0
1180
173
-0,0
1395
421
11-0
,117
1215
1-0
,160
0017
3-0
,202
8819
4-0
,245
7621
6-0
,288
6423
8-0
,331
5226
-0,3
7440
282
-0,4
1728
304
-0,4
6016
325
-0,5
0304
347
120,
0774
675
0,08
6712
750,
0959
5799
0,10
5203
240,
1144
4849
0,12
3693
740,
1329
3898
0,14
2184
230,
1514
2948
0,16
0674
73
13-0
,132
2801
1-0
,131
3432
7-0
,130
4064
2-0
,129
4695
7-0
,128
5327
2-0
,127
5958
8-0
,126
6590
3-0
,125
7221
8-0
,124
7853
3-0
,123
8484
8
140,
5447
9898
0,54
3659
760,
5425
2053
0,54
1381
310,
5402
4208
0,53
9102
860,
5379
6363
0,53
6824
410,
5356
8518
0,53
4545
96
15-0
,248
5026
6-0
,269
5278
4-0
,290
5530
3-0
,311
5782
2-0
,332
6034
-0,3
5362
859
-0,3
7465
377
-0,3
9567
896
-0,4
1670
415
-0,4
3772
933
161,
0882
7279
1,17
2761
281,
2572
4977
1,34
1738
261,
4262
2674
1,51
0715
231,
5952
0372
1,67
9692
211,
7641
807
1,84
8669
18
17-0
,021
1046
5-0
,019
804
-0,0
1850
336
-0,0
1720
271
-0,0
1590
207
-0,0
1460
142
-0,0
1330
078
-0,0
1200
013
-0,0
1069
949
-0,0
0939
885
180,
1005
3151
0,10
2750
930,
1049
7035
0,10
7189
760,
1094
0918
0,11
1628
60,
1138
4801
0,11
6067
430,
1182
8685
0,12
0506
26
19-0
,467
6884
3-0
,481
2058
7-0
,494
7233
1-0
,508
2407
5-0
,521
7581
9-0
,535
2756
3-0
,548
7930
7-0
,562
3105
1-0
,575
8279
5-0
,589
3453
9
20-0
,449
3019
7-0
,484
9999
7-0
,520
6979
8-0
,556
3959
8-0
,592
0939
9-0
,627
7919
9-0
,663
4899
9-0
,699
188
-0,7
3488
6-0
,770
5840
1
21-0
,017
9775
9-0
,019
5993
3-0
,021
2210
7-0
,022
8428
1-0
,024
4645
4-0
,026
0862
8-0
,027
7080
2-0
,029
3297
6-0
,030
9514
9-0
,032
5732
3
22-0
,000
132
-0,0
0013
45-0
,000
137
-0,0
0013
95-0
,000
142
-0,0
0014
45-0
,000
1470
1-0
,000
1495
1-0
,000
1520
1-0
,000
1545
1
1
Cont
inua
ción
Tab
la 4
150 JOsé gabriel astaiza góMez|El teorema de la separación de Tobin: información del primer semestre de 2008 del mercado accionario colombiano
Gráficamente, la frontera eficiente de Markowitz construida con las 20 acciones más líquidas del mercado colombiano del primer semestre del 2008, toma la siguiente forma:
Fuente: elaboración propia.
Gráfico 1. Frontera Eficiente de Markowitz
El gráfico muestra las posiciones con el máximo rendimiento dados diferentes niveles de riesgo. Cada punto corresponde a un portafolio situado en la frontera eficiente, la cual se forma a partir de la cartera de mínimo riesgo, que en este caso tiene una varianza de y se localiza en el punto más bajo de la curva. Cualquier punto por debajo y a la derecha de la frontera eficiente, corresponde a un portafolio no eficiente porque, dado un nivel de rendimiento, se podrá encontrar una cartera con una varianza más pequeña o, dado un nivel de riesgo se podrá encontrar otro punto con un mayor rendimiento.
Elección de la Tasa Libre de riesgo y la Cartera de TobinJames Tobin (1958) desarrolló un método de elección de activos cuando existe una tasa libre de riesgo. Como lo señala Sharpe:
Tobin mostró que bajo ciertas condiciones, el modelo de Markowitz implica que el proceso de elección de inversiones puede separarse en dos fases: primero, la elección de una combinación óptima única de activos riesgosos; y segundo, una elección aparte concerniente a la asignación de fondos entre esa combinación y un activo sin riesgo (Sharpe, 1964, p. 426).
Utilizando el dinero como activo sin riesgo con una tasa de rendimiento del 0%, cifra que no es esencial debido a que lo importante es el diferencial entre la tasa de rendimiento esperada de los activos riesgosos y la tasa libre de riesgo (Tobin, 1958, p. 67), y encontrando la solución de (13) con RF = 0%, se obtiene el siguiente vector de ponderaciones:
151AD-minister | Universidad EAFIT | Número 21 | julio-diciembre 2012 | Medellín
Este vector corresponde al cálculo de la cartera de Tobin (1958). El rendimiento esperado de ese portafolio es de:
R =-0,022379663=-2,2379663%
Y su riesgo medido por la varianza es de:
σp2 = 0,001512512=0,1512512%
Ahora, el portafolio de Tobin se obtiene maximizando la función θ correspondiente a la ecuación (12). Al reemplazar los valores encontrados de W en esa ecuación, se puede conocer el valor de la pendiente, tal como aparece a continuación:
θ = -0,575445597
El valor negativo de la pendiente indica que la cartera que se obtiene al introducir una tasa libre de riesgo igual a 0%, se encuentra ubicada por debajo de la frontera eficiente de Markowitz. Ese resultado se debe a una coyuntura especial, la cual se puede entender siguiendo la formulación de Linter (1969), quien explica que el máximo de θ está determinado por el conjunto de valores zi que satisfacen el siguiente conjunto de ecuaciones simultáneas:
Tabla 6. Vector de ponderaciones, W
1 1
1 0,06798609 11 2,14520991
2 0,45288461 12 -0,41030554
3 -0,05956139 13 -0,18170757
4 -0,04975353 14 0,60490375
5 -0,8581727 15 0,860772
6 -0,12074262 16 -3,36928289
7 0,78159918 17 -0,08972577
8 -1,22769098 18 -0,01656342
9 0,67158655 19 0,24548257
10 0,1189811 20 1,43410066
Fuente: elaboración propia.
152 JOsé gabriel astaiza góMez|El teorema de la separación de Tobin: información del primer semestre de 2008 del mercado accionario colombiano
Donde,
zi=λwi
x i = r i - RF
Y por x i tanto es un exceso de rendimiento de un activo riesgoso con respecto al activo libre de riesgo, de lo que se puede especificar que:
Recuérdese de la sección uno que:
θ = (R – RF ) / σp
Entonces:
Lo que sucede con las 20 acciones en estudio, cuyos comportamientos se enmarcan en la crisis financiera, es que al ser la mayoría de los rendimientos medios negativos y, por tanto, menores a la tasa libre de riesgo, no existen en esos títulos excesos de rendimiento, lo cual deriva en una pendiente negativa.
Lo que acontece con los tres títulos que tienen retornos esperados positivos y exceso de rendimiento, es que el producto de λ y la suma ponderada de las varianzas y covarianzas (lo correspondiente al lado izquierdo del sistema de ecuaciones simultáneas), es menor a los excesos de rendimiento x i y, por tal motivo, el resultado es una venta en corto de esos activos (es decir, ponderaciones con signo negativo) aunque tengan rendimientos medios positivos. Al respecto Lintner expresa que:
De forma similar, el exceso de tasa de retorno esperado que el inversionista requiere por unidad de riesgo, para mantener un título valor dentro de los portafolios, está dado por el factor λ, el cual es la razón entre el x del portafolio, y la varianza del retorno del portafolio σx
2. Si el producto de este requerimiento de retorno λ con el riesgo total atribuible a la tenencia de un título determinado dentro de un portafolio-i.e. –con la suma ponderada de sus varianzas y covarianzasdelladoizquierdodelaecuación(11)–noes≥x i a su , el título no se mantendrá en posesión (o será vendido en corto) [Lintner, 1965, p. 597].
Entonces, al incluir la tasa libre de riesgo, el resultado del modelo indica realizar ventas de las únicas tres acciones con rendimientos esperados positivos (porque contribuyen notablemente al riesgo total del portafolio) y, dada esa circunstancia, hacer inversiones en algunos títulos con excesos de retorno negativos, formando una pendiente negativa.
153AD-minister | Universidad EAFIT | Número 21 | julio-diciembre 2012 | Medellín
ConclusionesComo se puede ver en esta aplicación, la versión original de Markowitz genera una
serie de carteras deseables para un inversionista racional averso al riesgo, es decir, que prefiere menor a mayor riesgo y mayor a menor rendimiento. Ese modelo hace uso de información pasada para generar estimaciones del riesgo, sobre la base de las varianzas y covarianzas de los rendimientos de los títulos, las cuales se relacionan con los retornos esperados para calcular portafolios eficientes, que se pueden elegir de acuerdo a las preferencias específicas del inversionista. Por ejemplo, un individuo que sea averso al riesgo, al ver la frontera eficiente podría estar buscando un portafolio de acciones con una rentabilidad esperada del 0,6% y una varianza de 0,0289%, por estar ese punto ubicado en la curva de indiferencia que maximiza su utilidad.
Sin embargo, la separación de la decisión de inversión incorporada por Tobin, aplicada a la elección del inversionista individual, parece ser un método que funciona cuando los mercados están al alza o al menos tienen un comportamiento lateral. El comportamiento bajista de la mayoría de los títulos objeto de estudio crearon un portafolio de Tobin que no es eficiente de acuerdo a la regla E – V de Markowitz, por lo cual se puede afirmar que a diferencia de lo que acontece con el modelo original de H. Markowitz, el método de separación de la decisión de inversión incluyendo una tasa libre de riesgo tiene obstáculos en su aplicación cuando los retornos esperados de los títulos son bajos, siendo la mayoría negativos con covarianzas mayores a cero.
AgradecimientosAgradezco a la Universidad del Cauca y a la Institución Universitaria Tecnológica de
Comfacauca por su apoyo frente al desarrollo de este artículo.
ReferenciasColombia. InterBolsa: Investigación Económica: Cobertura de Compañías. http://www.
interbolsa.com
National Bureau of Economic Research –NBER– Business Cycle Dating Committee. (2008). Determination of the December 2007 Peak in Economic Activity. Obtenido de http://www.nber.org/cycles/dec2008.html
Donald, D. (1977). Contributions and Growth in Tobin’s Economic Essays: A Review Essay. Journal of Economic Literature, 15(2), 486-494.
Douglas D.P. (1982). James Tobin’s Contributions to Economics. The Scandinavian Journal of Economics, 84(1), 61-88.
Gay, R. (2011). Using Black –Scholes to determine an optimal funding term. Managerial Finance, 37(11), 985-994.
154 José Gabriel astaiza Gómez|El teorema de la separación de Tobin: información del primer semestre de 2008 del mercado accionario colombiano
Haugen, R.A. (1986). Modern Investment Theory. New Jersey: Prentice Hall.
Lintner, J. (1965). Security Prices, Risk, and Maximal Gains from Diversification. The Journal of Finance, 20(4), 587-675.
Markowitz, H. (1952). Portfolio Selection. The Journal of Finance, 7(1), 770-91.
Medina, L.Á. (2003). Aplicación de la Teoría del Portafolio en el Mercado Accionario Colombiano. Cuadernos de Economía, 22(39), 129168.
Sharpe, W.F. (1964). Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk. The Journal of Finance, 19(3), 425-442.
Tobin, J. (Enero 01, 2012). Liquidity Preference as Behavior Towards Risk. Review of Economic Studies, XXV (2), February, 65-86. International Library of Critical Writings in Economics, 2, 268, 307-328