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El problema de Procusto y la distinguibilidad de estados cuánticos
Mariela PortesiJavier Sparacino
PWL
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Preliminares
•Un ensemble cuántico es un conjunto de estados cuánticos, cada
uno de ellos ocurriendo aleatoriamente con probabilidad ( , )x xp x
xp
•Los ensembles cuánticos son necesarios para describir situaciones con información a priori incompleta. Por ejemplo:
la salida de un canal cuántico estocástico
•Los estados de los sistemas clásicos pueden ser confiablemente distinguidos; mientras que dos estados cuánticos genéricos NO pueden ser distinguidos con precisión arbitraria (por cualquier medio operacional).
•Para estados puros una medida natural de similitud es la proyección(probabilidad de transición)
y
2
•Para estados mezclas no hay una generalización natural de esta prob. de transición. Una propuesta es la fidelidad
( , )F Tr , estados mezclas
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A partir de la Fidelidad se introducen distintas distancias :
( , ) 1 ( , )B F • Bures
•Ángulo de Bures ( , ) arccos ( , )A F
•La distancia traza†1
( , ) ;2
O Tr O O
También
•Divergencia de Jensen-Shannon cuántica
1
222JSSS
)()()2
( 21
21
NNNHHH
Para un estado puro 0NH 2NH
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,( , ) min
2N Nd H
Nuestra propuesta
donde el mínimo es tomado sobre todas las purificaciones de y .
Entropía y purificaciones
Entropía de Shannon
Entropía de von Neumann
2( ) logS i ii
H P p p
( log )NH tr
Fuente de mensajes
clásicosMensaje a con probabilidad p(a) 2( ) ( ) log ( )S
a
H fuente p a p a
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Fuente de mensajes
cuánticos
Se codifica cada mensaje con un estado a alos cuales ocurren
con prob. ( )p a
La fuente tiene matriz densidad ( )a
p a a a
( ) ( ( )N SH H p a ( ) ( )N SH fuente H fuente
2NH
Además
,
Da el menor número de qubits por estado que Alicia necesita para comunicar la informacióncuántica con precisión arbitraria.
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Purificación:
Un estado mezcla sobre H
Una purificación de es un estado puro sobre unespacio ampliado
auxH H
Tal que
auxtr
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( , )2N Nd H
Para estados puros, nuestra propuesta queda
Alternativamente
( , )Nd
2 2
1 1 1 1( ) log log 0 1
2 2 2 2
x x x xx x
donde
Propiedades: •Es simétrica;•Se anula si y solo si•Es acotada•Verifica la desigualdad triangular
ie
0 1Nd
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,( , ) min
2N Nd H
Para estados mezclas
Se puede demostrar que la fidelidad ( , )F Tr
se puede escribir como ,( , ) maxF
( , ) ( , )Nd F
( , ) min ( )2N Nd H
Una expresión más sencilla para la métrica ( , )Nd es
mín sobre todas las purificaciones de y
una purificación fija de
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Conceptualmente cambiamos el problema de medir la distinguibilidad de dos estados por el problema de medir la distinguibilidad de todos los ensembles construidos con las purificaciones de y .
Evaluación para estados mezclas de 1-qubit
2 .
2
I r
urur
4 2 2,
1
2 i i i i ij i ji i i j
P I r I I A
TA r r r
31 (#)T TAA r I rr uurr r
2
det( ) 1A r r
Toda purificación de es de esta formacon , con S un elemento delgrupo de Lie SO(3,R) y
una solución particular del sistema (#)
°A AS°A
Representación de Bloch
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La búsqueda del mínimo sobre las purificaciones es equivalente a unproblema de extremización sobre el espacio de los parámetros delgrupo de Lie SO(3,R)!!
2( ) (1 ) 0 12p
pIE p p
Ejemplo: Canal de depolarización
El canal de depolarizacióntiene el efecto de cambiarr por r´=(1-p)r en la representación deBloch
Queremos calcular la distancia ( , ( ))N pd E p
Estrategia: sea la solución de (#) correspondiente a r´.pA
2
( )
det det ( ) (%)
T Tp p
p
A A AA f p
A A f p r
r donde
2
2
3
( ) 1 (1 )
T
f p p
r I rr
uurr r
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Tomamos una purificación fija de caracterizada por A yevaluamos una matriz que satisface (%).°
pA
Toda purificación de puede expresarse de la forma ( )pE
° (3, )ppA A S con S SO ¡
Entonces: Encontrar el mínimo sobre las purificaciones es
equivalente a encontrar S SO(3,R) tal que minimiza la norma
°p
HSA S A
Una vez que tenemos la purificación de que minimiza ()( )pE
( )
2pEP P ( )
2pE
N
P PH
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Comentarios finales:
•Podemos extender este procedimiento a varios q-bits•Nuestra propuesta se basa en dos conceptos muy naturales en Información cuántica:
Purificación y Entropía
Esto puede ser importante en el estudio de decoherencia cuántica