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El ojo clınico: matematicas en la Medicina
Colegio Libre de Emeritos, 26 de noviembre de 2015
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Progresiones geometricas
a, ar , ar2, ar3, . . . , arn, . . .
a = primer termino, r = razon (r 6= 1).
Suma de los terminos:
Sn = a + ar + ar2 + · · ·+ arn−1 + arn
rSn = ar + ar2 + · · ·+ arn−1 + arn +arn+1
(1− r)Sn = a −arn+1
De manera que
(1− r)Sn = a− arn+1 =⇒ Sn =a
1− r− a
1− rrn+1
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Caso 0 < r < 1: como rn+1 → 0,
Sn →a
1− r.
Ejemplo:
1 +1
2+
1
22+ · · ·+ 1
2n=
1
1− 1/2− 1
1− 1/2
(1
2
)n+1= 2− 1
2n.
De manera que
1 +1
2+
1
22+
1
23+
1
24· · · = 2
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Administrando medicamentos
Cmax = concentracion maxima tolerada
Cmın = concentracion mınima eficaz
Cop = concentracion optima
[Cmın,Cmax] es el intervalo terapeutico:
Cmın < Cop < Cmax.
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Sea r , con 0 < r < 1, la fraccion del medicamento que queda en elcuerpo pasado un tiempo T = 1. Entonces rT sera la fraccion quequeda tras tiempo T .
Queremos querT Cop > Cmın.
Es decir,
rT >Cmın
Cop=⇒ T ln r > lnCmın − lnCop
Esto es,
T <lnCmın − lnCop
ln r
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Diseno de tomas
Llamamos C0 a la dosis inicial, con Cop < C0 < Cmax.
Sea C la dosis cada T .
Llamamos ρ = rT . Tenemos que 0 < ρ < 1.
Cantidad de droga en el cuerpo en cada unidad de tiempo T :
C1 = ρC0 + C
C2 = ρC1 + C = ρ2 C0 + C (1 + ρ)
...
Cn = ρCn−1 + C = ρn C0 + C (1 + ρ+ · · ·+ ρn−1)
= ρn C0 +C
1− ρ− C
1− ρρn =
C
1− ρ+ ρn
(C0 −
C
1− ρ
).
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Tomamos
C
1− ρ= Cop =⇒ C = (1− ρ)Cop,
de manera queCn = Cop + ρn (C0 − Cop)
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Olvidar k tomas:
ρk Cn = ρk Cop + ρn+k (C0 − Cop),
¡se hace menor que Cmın muy rapidamente!
Tomar una dosis doble:
≥ 2(1− ρ)Cop,
¡puede hacerse mayor que Cmax!
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Rayos X
Wilhelm Rontgen Radiografıa
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TAC
Johann Radon Maquina de TAC
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Llamamos
ρ = ρ(x) a la densidad del tejido;
Ei a la energıa inicial (salida del emisor);
Ef a la energıa final (llegada al receptor).
Entonces
ln(Ef
Ei
)= −κ
∫Lρ(x) dx
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¿De donde viene la formula?
Supongamos que, al pasar una banda de anchura ∆ = 1 ydensidad ρ = 1, la energıa se atenua en un factor c :
Ef
Ei= c < 1
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ρ = 1 ∆ = 1
Ef
Ei= c2 Ef
Ei= c2
Ef
Ei= cn
Ef
Ei= cn
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En el caso general,
Ef
Ei= cρ1∆1+···+ρn∆n
de donde
log( Ei
Ef
)= log(c) · (ρ1∆1 + · · ·+ ρn∆n) = log(c)
∫Lρ(x)dx .
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Tomografıa de coherencia optica.
Jose Luis Rubio
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La viruela, segun Bernoulli
Daniel Bernoulli
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Hipotesis:
Las personas infectadas con la viruela por primera vez muerencon una probabilidad p (independientemente de la edad), ysobreviven con probabilidad 1− p.
Todo el mundo tiene una probabilidad q de ser infectado cadaano. De manera que la probabilidad de que un individuoresulte afectado entre la edad t y t + ∆t es q ·∆t.
Quien sobrevive a la viruela queda protegido contra nuevasinfecciones para el resto de su vida.
Los valores de p y q se estiman a partir de los datos historicosconocidos de la enfermedad.Bernoulli uso las tablas publicadas por Halley que sugerıanvalores p = q = 1/8.
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Las tablas de Halley
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Sea m(t) la mortalidad a la edad t debida a otras causas distintasde la viruela. Es decir, la probabilidad que tiene un individuo demorir por esas causas entre la edad t y t + ∆t es m(t) ·∆t (∆t sesupone pequeno).
Sean:
S(t) es el numero de “susceptibles” de contraer la enfermedada edad t; es decir, los que han llegado a esa edad sin habersido infectados por la viruela.
R(t) es el numero de personas de edad t que han sobrevividoa la viruela.
P(t) = S(t) + R(t) es el numero total de personas de edad t.
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El tiempo t = 0 corresponde a los nacimientos: S(0) = P(0) yR(0) = 0.
{∆S = −q S ∆t −m(t)S ∆t = −(q + m(t))S ∆t
∆R = q (1− p)S ∆t −m(t)R ∆t
Es decir, ∆S
∆t= −(q + m(t))S
∆R
∆t= q (1− p) S −m(t)R
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Ecuacion diferencial:dS
dt= −(q + m(t))S(t)
dR
dt= q(1− p)S(t) −m(t)R(t)
Solucion:S(t)
P(t)=
1
(1− p) eqt + p
donde P(t) = S(t) + R(t).
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Caso de inoculacion masiva al nacer:
P0 es el numero de nacimientos;
P∗(t) es el numero de personas de edad t cuando la viruelaha desaparecido.
dP∗(t)
dt= −m(t)P∗(t)
Solucion:
P∗(t) =P(t)
(1− p) + p e−qt
donde P(t) es la poblacion cuando la viruela esta presente.
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Ecuaciones de las epidemias (Kermack y McKendrick)
P(t) = S(t) + A(t) + I (t) es la poblacion en tiempo t;
S(t), numero de personas susceptibles de contraer laenfermedad;
I (t), numero de personas infectadas;
A(t), numero de personas aisladas (hospitalizados ofallecidos).
dS
dt= −a · S(t) · I (t)
dI
dt= a · S(t) · I (t)− b · I (t)
dA
dt= b · I (t)
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Umbral:
ρ =b
a
Conclusion: una epidemia solo puede ocurrir cuando el numero desusceptibles S(0) exceda el valor del umbral ρ = b/a.
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