Barranquilla, 14 de agosto de 2015

Universidad del Norte

Division de Ciencias Basicas

Analisis Numerico - Taller 01

Ejercicios E1

1. Considere el problema de Cauchy{

x′(t) = x0eat(a cos(t)− sin(t)), t > 0

x(0) = x0

Estudie la condicion del problema de valor inicial con respecto al dato inicial y muestre que sobre unintervalo no acotado es bien condicionado si a < 0, while que para a > 0 es mal condicionado. Ayuda:

Determine la solucion del PVI y considere el numero de condicion absoluto Kabs.

2. Usando diferencias finitas centrales, aproxime numericamente la solucion de la ecuacion de Helmhotz{

−u′′(x)− λu(x) = f(x), para x ∈ (0, 1), λ ∈ R

u(0) = u(1) = 0.

Escogiendo u(x), λ y su correspondiente f(x):

a) Explique la obtencion y forma de la matriz del sistema lineal obtenido.

b) Realizando discretizaciones uniformes (y dividiendo a la mitad los intervalos), para el nodo x = 1/2calcule el error e = |u(x)−uh(x)| con respecto a la solucion exacta para diferentes discretizaciones.Llene la siguiente tabla:

h eh := |u(x)− uh(x)| α

donde αh =log(ehj+1

/ehj)

log(hj+1/hj).

A medida que h se hace ”pequeno”, ¿ tambien lo es error puntual?

3. Implemente en MatLab el metodo de eliminacion gaussiana aplicado a matrices tridiagonales n × n yresuelva el sistema lineal obtenido al aproximar el problema anterior. Compare tiempos de computo conrespecto al metodo de eliminacion gaussiana usando los comandos tic y toc y complete la siguientetabla:

h tiempo computo eli. gaussina tiempo computo eli. gaussiana tridiagonal

Que puede concluir?

4. Resuelva el siguiente sistema usando el programa de eliminacion gaussiana (visto en clase)

20514 4424 978 2244424 978 224 54978 224 54 14224 54 14 4

x1

x2

x3

x4

= b =

205144424978224

Despues resuelva el sistema usando b = [20515, 4424, 978, 224]T . Que puede afirmar sobre el sistemalineal o sobre la matriz?

NRC: 8261Prof. Catalina Domınguez

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5. Implemente en MatLab el metodo de eliminacion gaussiana usando pivote parcial. Resuelva los siguientessistemas Ax = b con b = e1 y compare las soluciones con respecto a la implementacion del metodo deeliminacion gaussina sin pivote (visto en clase).

a)

1 2 32 4 −13 −1 5

b)

1 100 0,01 10002 200 −0,0002 0,40,1 −10 5 23 4 10 100

6. Determine el numero de multiplicaciones (con divisiones) realizado en la eliminacion gaussiana paramatrices tridiagonales n× n. Explique.

7. Implemente en MatLab un programa para obtener la matriz inversa de matriz no singular A usandoeliminacion gaussiana sin pivote.

8. Muestre que al usar eliminacion gaussiana (sin pivote) para determianr la descomposicion LU de unamatriz, se cumple

L−11 L−1

2 . . . L−1n−1 =

1m21 1m31 m32 1...

.... . .

mn1 mn2 mn,n−1 1

9. Implemente en MatLab un programa para obtener la descomposicion LU de una matriz no singular A.Escoja tres matrices adecuadas y con ellas verique su programa.

Tarea 1

Puntos a entregar: 2,3,5,6,9. Debe entregar los programas usados en la resolucion de los ıtems.Fecha de entrega: Jueves, 27 de Agosto de 2015 (al inicio de clase).

NRC: 8261Prof. Catalina Domınguez

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